ऑपरेशन के बाद जैसे ही मैं व्याख्यान देने में सक्षम हुआ, छात्रों ने पहला प्रश्न पूछा:

आप हमारे लिए 4-आयामी घन कब बनाएंगे? इलियास अब्दुलखेविच ने हमसे वादा किया!

मुझे याद है कि मेरे प्यारे दोस्तों को कभी-कभी गणितीय शैक्षिक गतिविधियों का एक क्षण पसंद आता है। इसलिए, मैं गणितज्ञों के लिए अपने व्याख्यान का एक भाग यहां लिखूंगा। और मैं बिना बोर हुए कोशिश करूंगा. बेशक, कुछ बिंदुओं पर मैंने व्याख्यान को अधिक सख्ती से पढ़ा।

आइए पहले सहमत हों. 4-आयामी, और इससे भी अधिक 5-6-7- और आम तौर पर के-आयामी स्थान हमें संवेदी संवेदनाओं में नहीं दिया जाता है।
मेरे संडे स्कूल शिक्षक, जिन्होंने सबसे पहले मुझे बताया था कि 4-आयामी घन क्या है, ने कहा, "हम दुखी हैं क्योंकि हम केवल त्रि-आयामी हैं।" संडे स्कूल, स्वाभाविक रूप से, अत्यंत धार्मिक - गणितीय था। उस समय हम हाइपर-क्यूब्स का अध्ययन कर रहे थे। इसके एक सप्ताह पहले, गणितीय प्रेरण, उसके एक सप्ताह बाद, ग्राफ़ में हैमिल्टनियन चक्र - तदनुसार, यह 7वीं कक्षा है।

हम 4-आयामी घन को छू नहीं सकते, सूंघ नहीं सकते, सुन नहीं सकते या देख नहीं सकते। हम इसके साथ क्या कर सकते हैं? हम इसकी कल्पना कर सकते हैं! क्योंकि हमारा मस्तिष्क हमारी आँखों और हाथों से कहीं अधिक जटिल है।

तो, यह समझने के लिए कि 4-आयामी घन क्या है, आइए पहले समझें कि हमारे लिए क्या उपलब्ध है। त्रि-आयामी घन क्या है?

ठीक है ठीक है! मैं आपसे कोई स्पष्ट गणितीय परिभाषा नहीं माँग रहा हूँ। बस सबसे सरल और सबसे सामान्य त्रि-आयामी घन की कल्पना करें। परिचय?

अच्छा।
यह समझने के लिए कि 3-आयामी घन को 4-आयामी स्थान में कैसे सामान्यीकृत किया जाए, आइए जानें कि 2-आयामी घन क्या है। यह बहुत सरल है - यह एक वर्ग है!

एक वर्ग के 2 निर्देशांक होते हैं। घन में तीन हैं. वर्गाकार बिंदु दो निर्देशांक वाले बिंदु होते हैं। पहला 0 से 1 तक है और दूसरा 0 से 1 तक है। घन के बिंदुओं में तीन निर्देशांक हैं। और प्रत्येक 0 से 1 तक कोई संख्या है.

यह कल्पना करना तर्कसंगत है कि 4-आयामी घन एक ऐसी चीज़ है जिसमें 4 निर्देशांक होते हैं और सब कुछ 0 से 1 तक होता है।

/* 1-आयामी घन की कल्पना करना तुरंत तर्कसंगत है, जो 0 से 1 तक के एक साधारण खंड से ज्यादा कुछ नहीं है। */

तो, रुकिए, आप 4-आयामी घन कैसे बनाते हैं? आख़िरकार, हम एक समतल पर 4-आयामी स्थान नहीं बना सकते!
लेकिन हम किसी समतल पर त्रि-आयामी स्थान नहीं बनाते हैं, हम इसे बनाते हैं अनुमान 2-आयामी ड्राइंग प्लेन पर। हम तीसरे निर्देशांक (z) को एक कोण पर रखते हैं, यह कल्पना करते हुए कि ड्राइंग विमान से अक्ष "हमारी ओर" जाता है।

अब यह पूरी तरह से स्पष्ट है कि 4-आयामी घन कैसे बनाया जाए। जिस प्रकार हमने तीसरी धुरी को एक निश्चित कोण पर रखा है, उसी प्रकार आइए चौथी धुरी लें और इसे भी एक निश्चित कोण पर रखें।
और - वोइला! -- एक समतल पर 4-आयामी घन का प्रक्षेपण।

क्या? आख़िर ये क्या है? मुझे हमेशा पिछली डेस्कों से फुसफुसाहटें सुनाई देती हैं। आइए मैं और अधिक विस्तार से समझाऊं कि पंक्तियों की यह गड़बड़ी क्या है।
सबसे पहले त्रि-आयामी घन को देखें। हमने क्या किया है? हमने वर्ग लिया और उसे तीसरे अक्ष (z) के अनुदिश खींचा। यह एक ढेर में एक साथ चिपके हुए कई कागज़ के टुकड़ों की तरह है।
4-आयामी घन के साथ भी ऐसा ही है। आइए सुविधा के लिए और विज्ञान कथा के लिए चौथी धुरी को "समय धुरी" कहें। हमें एक साधारण त्रि-आयामी घन लेना होगा और इसे समय के माध्यम से "अभी" से "एक घंटे में" समय तक खींचना होगा।

हमारे पास एक "अभी" घन है। तस्वीर में यह गुलाबी रंग का है.

और अब हम इसे चौथे अक्ष के साथ-साथ समय अक्ष के साथ खींचते हैं (मैंने इसे हरे रंग में दिखाया)। और हमें भविष्य का घन मिलता है - नीला।

"क्यूब नाउ" का प्रत्येक शीर्ष समय में एक निशान छोड़ता है - एक खंड। उसके वर्तमान को उसके भविष्य से जोड़ना।

संक्षेप में, बिना किसी गीत के: हमने दो समान 3-आयामी क्यूब्स बनाए और संबंधित शीर्षों को जोड़ा।
बिल्कुल वैसा ही जैसा उन्होंने 3-आयामी घन के साथ किया था (2 समान 2-आयामी घन बनाएं और शीर्षों को जोड़ें)।

5-आयामी घन बनाने के लिए, आपको 4-आयामी घन (पांचवें निर्देशांक 0 के साथ एक 4-आयामी घन और पांचवें निर्देशांक 1 के साथ एक 4-आयामी घन) की दो प्रतियां खींचनी होंगी और संबंधित शीर्षों को किनारों से जोड़ना होगा। सच है, विमान में किनारों की ऐसी गड़बड़ी होगी कि कुछ भी समझ पाना लगभग असंभव हो जाएगा।

एक बार जब हम एक 4-आयामी घन की कल्पना कर लेते हैं और उसे खींचने में भी सक्षम हो जाते हैं, तो हम इसे विभिन्न तरीकों से खोज सकते हैं। इसे अपने दिमाग में और चित्र दोनों से तलाशना याद रखें।
उदाहरण के लिए। एक 2-आयामी घन 4 तरफ से 1-आयामी घनों से घिरा होता है। यह तर्कसंगत है: दोनों निर्देशांकों में से प्रत्येक के लिए शुरुआत और अंत दोनों हैं।
एक 3-आयामी घन 6 तरफ से 2-आयामी घनों से घिरा हुआ है। तीनों निर्देशांकों में से प्रत्येक के लिए इसकी शुरुआत और अंत है।
इसका मतलब यह है कि एक 4-आयामी घन आठ 3-आयामी घनों द्वारा सीमित होना चाहिए। 4 निर्देशांकों में से प्रत्येक के लिए - दोनों तरफ। उपरोक्त चित्र में हम स्पष्ट रूप से 2 चेहरे देखते हैं जो इसे "समय" समन्वय के साथ सीमित करते हैं।

यहां दो क्यूब हैं (वे थोड़े तिरछे हैं क्योंकि उनके 2 आयाम एक कोण पर विमान पर प्रक्षेपित हैं), हमारे हाइपरक्यूब को बाईं और दाईं ओर सीमित करते हैं।

"ऊपरी" और "निचले" पर ध्यान देना भी आसान है।

सबसे कठिन काम यह समझना है कि "सामने" और "पीछे" कहाँ हैं। सामने वाला "अभी के घन" के सामने के किनारे से शुरू होता है और "भविष्य के घन" के सामने के किनारे तक - यह लाल है। पीछे वाला बैंगनी है.

उन्हें नोटिस करना सबसे कठिन है क्योंकि अन्य क्यूब्स पैरों के नीचे उलझे हुए हैं, जो हाइपरक्यूब को एक अलग अनुमानित निर्देशांक पर सीमित करते हैं। लेकिन ध्यान दें कि घन अभी भी अलग हैं! यहां फिर से तस्वीर है, जहां "अभी का घन" और "भविष्य का घन" हाइलाइट किया गया है।

निःसंदेह, एक 4-आयामी घन को 3-आयामी अंतरिक्ष में प्रक्षेपित करना संभव है।
पहला संभावित स्थानिक मॉडल स्पष्ट है कि यह कैसा दिखता है: आपको 2 घन फ्रेम लेने होंगे और उनके संबंधित शीर्षों को एक नए किनारे से जोड़ना होगा।
अभी मेरे पास यह मॉडल स्टॉक में नहीं है। व्याख्यान में, मैं छात्रों को 4-आयामी घन का थोड़ा अलग 3-आयामी मॉडल दिखाता हूँ।

आप जानते हैं कि एक घन को इस प्रकार एक समतल पर कैसे प्रक्षेपित किया जाता है।
यह ऐसा है जैसे हम ऊपर से एक घन को देख रहे हैं।

निस्संदेह, निकट का किनारा बड़ा है। और दूर वाला किनारा छोटा दिखता है, हम उसे पास वाले किनारे से देखते हैं।

इस प्रकार आप एक 4-आयामी घन प्रोजेक्ट कर सकते हैं। घन अब बड़ा है, हम दूर से भविष्य का घन देखते हैं, इसलिए वह छोटा दिखता है।

दूसरी ओर। ऊपर की तरफ से.

बिल्कुल किनारे की ओर से:

पसली की ओर से:

और अंतिम कोण, असममित. अनुभाग से "मुझे बताएं कि मैंने उसकी पसलियों के बीच देखा।"

खैर, फिर आप कुछ भी लेकर आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, जिस तरह एक समतल पर 3-आयामी घन का विकास होता है (यह कागज की एक शीट को काटने जैसा है ताकि मोड़ने पर आपको एक घन मिल जाए), उसी तरह एक 4-आयामी घन के विकास के साथ भी होता है अंतरिक्ष। यह लकड़ी के एक टुकड़े को काटने जैसा है ताकि उसे 4-आयामी स्थान में मोड़कर हमें एक टेसेरैक्ट मिल जाए।

आप न केवल 4-आयामी घन का अध्ययन कर सकते हैं, बल्कि सामान्य रूप से एन-आयामी घन का भी अध्ययन कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, क्या यह सच है कि एक n-आयामी घन के चारों ओर घिरे गोले की त्रिज्या इस घन के किनारे की लंबाई से कम है? या यहाँ एक सरल प्रश्न है: एक n-आयामी घन में कितने शीर्ष होते हैं? कितने किनारे (एक-आयामी फलक)?

आइए यह समझाकर शुरुआत करें कि चार-आयामी स्थान क्या है।

यह एक आयामी स्थान है, अर्थात, केवल OX अक्ष। इस पर कोई भी बिंदु एक निर्देशांक द्वारा चित्रित होता है।

आइए अब ओए अक्ष को OX अक्ष पर लंबवत बनाएं। तो हमें एक द्वि-आयामी स्थान मिलता है, यानी XOY विमान। इस पर कोई भी बिंदु दो निर्देशांकों द्वारा चित्रित होता है - भुज और कोटि।

आइए OZ अक्ष को OX और OY अक्षों के लंबवत बनाएं। परिणाम एक त्रि-आयामी स्थान है जिसमें किसी भी बिंदु पर एक भुज, कोटि और अनुप्रयोग होता है।

यह तर्कसंगत है कि चौथी धुरी, OQ, एक ही समय में OX, OY और OZ अक्षों के लंबवत होनी चाहिए। लेकिन हम ऐसी धुरी का सटीक निर्माण नहीं कर सकते हैं, और इसलिए हम केवल इसकी कल्पना करने का प्रयास कर सकते हैं। चार-आयामी अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु के चार निर्देशांक होते हैं: x, y, z और q।

अब आइए देखें कि चार आयामी घन कैसे दिखाई दिया।

चित्र एक-आयामी अंतरिक्ष में एक आकृति दिखाता है - एक रेखा।

यदि आप ओए अक्ष के साथ इस रेखा का समानांतर अनुवाद करते हैं, और फिर दो परिणामी रेखाओं के संगत सिरों को जोड़ते हैं, तो आपको एक वर्ग मिलेगा।

इसी प्रकार, यदि आप OZ अक्ष के साथ वर्ग का समानांतर अनुवाद करते हैं और संबंधित शीर्षों को जोड़ते हैं, तो आपको एक घन मिलेगा।

और यदि हम OQ अक्ष के अनुदिश घन का समानांतर अनुवाद करते हैं और इन दोनों घनों के शीर्षों को जोड़ते हैं, तो हमें एक चार-आयामी घन प्राप्त होगा। वैसे, इसे कहा जाता है टेसेरेक्ट.

एक समतल पर एक घन बनाने के लिए, आपको इसकी आवश्यकता होती है परियोजना. देखने में यह इस तरह दिखता है:

आइए कल्पना करें कि यह सतह से ऊपर हवा में लटका हुआ है वायरफ्रेम मॉडलघन, यानी मानो "तार से बना" और उसके ऊपर एक प्रकाश बल्ब है। यदि आप प्रकाश बल्ब को चालू करते हैं, एक पेंसिल से घन की छाया का पता लगाते हैं, और फिर प्रकाश बल्ब को बंद कर देते हैं, तो घन का एक प्रक्षेपण सतह पर चित्रित किया जाएगा।

आइए कुछ अधिक जटिल चीज़ की ओर आगे बढ़ें। प्रकाश बल्ब के साथ चित्र को फिर से देखें: जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी किरणें एक बिंदु पर एकत्रित होती हैं। यह कहा जाता है लोपी बिन्दुऔर निर्माण के लिए उपयोग किया जाता है परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण(और यह समानांतर भी हो सकता है, जब सभी किरणें एक-दूसरे के समानांतर हों। इसका परिणाम यह होता है कि आयतन की अनुभूति पैदा नहीं होती है, लेकिन यह हल्का होता है, और इसके अलावा, यदि लुप्त बिंदु प्रक्षेपित वस्तु से काफी दूर है , तो इन दोनों अनुमानों के बीच अंतर थोड़ा ध्यान देने योग्य है)। एक लुप्त बिंदु का उपयोग करके किसी दिए गए बिंदु को किसी दिए गए विमान पर प्रक्षेपित करने के लिए, आपको लुप्त बिंदु और दिए गए बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचनी होगी, और फिर परिणामी सीधी रेखा और विमान का प्रतिच्छेदन बिंदु ढूंढना होगा। और एक अधिक जटिल आकृति, मान लीजिए, एक घन, को प्रक्षेपित करने के लिए, आपको इसके प्रत्येक शीर्ष को प्रक्षेपित करना होगा, और फिर संबंधित बिंदुओं को जोड़ना होगा। इस बात पे ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंतरिक्ष को उपस्थान पर प्रक्षेपित करने के लिए एल्गोरिदमइसे केवल 3डी->2डी ही नहीं, बल्कि 4डी->3डी के मामले में भी सामान्यीकृत किया जा सकता है।

जैसा कि मैंने कहा, हम बिल्कुल कल्पना नहीं कर सकते कि ओक्यू अक्ष कैसा दिखता है, बिल्कुल टेसेरैक्ट की तरह। लेकिन हम इसका एक सीमित विचार प्राप्त कर सकते हैं यदि हम इसे एक वॉल्यूम पर प्रोजेक्ट करें और फिर इसे कंप्यूटर स्क्रीन पर बनाएं!

अब बात करते हैं टेसेरैक्ट प्रोजेक्शन की।

बाईं ओर समतल पर घन का प्रक्षेपण है, और दाईं ओर आयतन पर टेसेरैक्ट है। वे काफी समान हैं: एक घन का प्रक्षेपण दो वर्गों की तरह दिखता है, छोटे और बड़े, एक दूसरे के अंदर, और जिनके संगत शीर्ष रेखाओं से जुड़े हुए हैं। और टेसेरैक्ट का प्रक्षेपण दो घनों की तरह दिखता है, छोटे और बड़े, एक दूसरे के अंदर, और जिनके संगत शीर्ष जुड़े हुए हैं। लेकिन हम सभी ने घन देखा है, और हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि छोटा वर्ग और बड़ा दोनों, और छोटे वर्ग के ऊपर, नीचे, दाएं और बाएं चार समलंब वास्तव में वर्ग हैं, और वे बराबर हैं . और टेसेरैक्ट में भी यही बात है. और एक बड़ा घन, और एक छोटा घन, और एक छोटे घन के किनारों पर छह कटे हुए पिरामिड - ये सभी घन हैं, और वे बराबर हैं।

मेरा प्रोग्राम न केवल किसी वॉल्यूम पर टेसेरैक्ट का प्रक्षेपण खींच सकता है, बल्कि उसे घुमा भी सकता है। आइए देखें कि यह कैसे किया जाता है।

सबसे पहले, मैं आपको बताऊंगा कि यह क्या है समतल के समानांतर घूमना.

कल्पना करें कि घन OZ अक्ष के चारों ओर घूमता है। फिर इसका प्रत्येक शीर्ष OZ अक्ष के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करता है।

वृत्त एक सपाट आकृति है। और इनमें से प्रत्येक वृत्त के तल एक दूसरे के समानांतर हैं, और इस मामले में XOY तल के समानांतर हैं। अर्थात्, हम न केवल OZ अक्ष के चारों ओर घूमने के बारे में बात कर सकते हैं, बल्कि XOY तल के समानांतर घूमने के बारे में भी बात कर सकते हैं। जैसा कि हम देखते हैं, XOY अक्ष के समानांतर घूमने वाले बिंदुओं के लिए, केवल भुज और कोटि परिवर्तन होते हैं, जबकि आवेदक बना रहता है अपरिवर्तित। और, वास्तव में, हम एक सीधी रेखा के चारों ओर घूमने के बारे में तभी बात कर सकते हैं जब हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष के साथ काम कर रहे हों। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में सब कुछ एक बिंदु के चारों ओर घूमता है, चार-आयामी अंतरिक्ष में सब कुछ एक विमान के चारों ओर घूमता है, पांच-आयामी अंतरिक्ष में हम एक आयतन के चारों ओर घूमने की बात करते हैं। और यदि हम एक बिंदु के चारों ओर घूमने की कल्पना कर सकते हैं, तो एक समतल और आयतन के चारों ओर घूमना अकल्पनीय है। और अगर हम समतल के समानांतर घूमने की बात करें तो किसी भी n-आयामी स्थान में एक बिंदु समतल के समानांतर घूम सकता है।

आप में से कई लोगों ने शायद रोटेशन मैट्रिक्स के बारे में सुना होगा। बिंदु को इससे गुणा करने पर, हमें फाई कोण द्वारा समतल के समानांतर घुमाया गया एक बिंदु मिलता है। द्वि-आयामी अंतरिक्ष के लिए यह इस तरह दिखता है:

गुणा कैसे करें: कोण phi द्वारा घुमाए गए किसी बिंदु का x = मूल बिंदु के कोण phi*ix की कोज्या शून्य से मूल बिंदु के कोण phi*ig की ज्या;
एक कोण द्वारा घुमाए गए बिंदु का ig phi = कोण phi की ज्या * मूल बिंदु का ix और कोण phi की कोज्या * मूल बिंदु का ig।
Xa`=cosф*Xa - पापф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, जहां Xa और Ya घुमाए जाने वाले बिंदु के भुज और कोटि हैं, Xa` और Ya` पहले से घुमाए गए बिंदु के भुज और कोटि हैं

त्रि-आयामी स्थान के लिए, इस मैट्रिक्स को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया गया है:

XOY समतल के समानांतर घूर्णन। जैसा कि आप देख सकते हैं, Z निर्देशांक नहीं बदलता है, केवल X और Y बदलता है
Xa`=cosф*Xa - पापф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (अनिवार्य रूप से, Za`=Za)

XOZ समतल के समानांतर घूर्णन। कोई नई बात नहीं,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - पापф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (अनिवार्य रूप से, Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

और तीसरा मैट्रिक्स.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (अनिवार्य रूप से, Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - synф*Za
Za`=Xa*0 + पापф*Ya + cosф*Za

और चौथे आयाम के लिए वे इस तरह दिखते हैं:


मुझे लगता है कि आप पहले से ही समझ गए हैं कि किससे गुणा करना है, इसलिए मैं दोबारा विस्तार में नहीं जाऊंगा। लेकिन मैं ध्यान देता हूं कि यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक विमान के समानांतर घूर्णन के लिए मैट्रिक्स के समान ही काम करता है! वे दोनों केवल कोर्डिनेट और एप्लिकेट को बदलते हैं, और अन्य निर्देशांक को नहीं छूते हैं, इसलिए इसका उपयोग त्रि-आयामी मामले में किया जा सकता है, बस चौथे निर्देशांक पर ध्यान नहीं दिया जा सकता है।

लेकिन प्रक्षेपण सूत्र के साथ, सब कुछ इतना सरल नहीं है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि मैंने कितने मंच पढ़े, किसी भी प्रक्षेपण विधि ने मेरे लिए काम नहीं किया। समानांतर वाला मेरे लिए उपयुक्त नहीं था, क्योंकि प्रक्षेपण त्रि-आयामी नहीं दिखेगा। कुछ प्रक्षेपण सूत्रों में, एक बिंदु खोजने के लिए आपको समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होती है (और मुझे नहीं पता कि उन्हें हल करने के लिए कंप्यूटर को कैसे सिखाया जाए), दूसरों को मैं बस समझ नहीं पाया... सामान्य तौर पर, मैंने निर्णय लिया अपने तरीके से आओ. इस प्रयोजन के लिए, 2D->1D प्रक्षेपण पर विचार करें।

pov का अर्थ है "दृष्टिकोण", ptp का अर्थ है "प्रोजेक्ट की ओर बिंदु" (प्रक्षेपित किया जाने वाला बिंदु), और ptp` OX अक्ष पर वांछित बिंदु है।

कोण povptpB और ptpptp`A संगत के बराबर हैं (बिंदीदार रेखा OX अक्ष के समानांतर है, सीधी रेखा povptp एक छेदक है)।
बिंदु ptp` का x, खंड ptp`A की लंबाई घटाकर बिंदु ptp के x के बराबर है। यह खंड त्रिभुज ptpptp`A से पाया जा सकता है: ptp`A = ptpA/कोण ptpptp`A की स्पर्शरेखा। हम इस स्पर्शरेखा को त्रिभुज povptpB से पा सकते हैं: स्पर्शरेखा ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp)।
उत्तर: Xptp`=Xptp-Yptp/कोण ptpptp`A की स्पर्शरेखा।

मैंने यहां इस एल्गोरिदम का विस्तार से वर्णन नहीं किया है, क्योंकि ऐसे कई विशेष मामले हैं जब सूत्र कुछ हद तक बदल जाता है। यदि किसी को दिलचस्पी है, तो कार्यक्रम के स्रोत कोड को देखें, वहां टिप्पणियों में सब कुछ वर्णित है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु को एक समतल पर प्रक्षेपित करने के लिए, हम बस दो समतलों - XOZ और YOZ पर विचार करते हैं, और उनमें से प्रत्येक के लिए इस समस्या का समाधान करते हैं। चार-आयामी अंतरिक्ष के मामले में, तीन विमानों पर विचार करना आवश्यक है: XOQ, YOQ और ZOQ।

और अंत में, कार्यक्रम के बारे में। यह इस तरह काम करता है: टेसेरैक्ट के सोलह शीर्षों को प्रारंभ करें -> उपयोगकर्ता द्वारा दर्ज किए गए आदेशों के आधार पर, इसे घुमाएं -> इसे वॉल्यूम पर प्रोजेक्ट करें -> उपयोगकर्ता द्वारा दर्ज किए गए आदेशों के आधार पर, इसके प्रक्षेपण को घुमाएं -> इसे वॉल्यूम पर प्रोजेक्ट करें समतल -> ड्रा।

मैंने प्रक्षेपण और घुमाव स्वयं लिखे। वे मेरे द्वारा अभी वर्णित सूत्रों के अनुसार काम करते हैं। ओपनजीएल लाइब्रेरी रेखाएँ खींचती है और रंग मिश्रण को भी संभालती है। और टेसेरैक्ट शीर्षों के निर्देशांक की गणना इस प्रकार की जाती है:

मूल बिंदु और लंबाई 2 पर केन्द्रित एक रेखा के शीर्षों के निर्देशांक - (1) और (-1);
- " - " - वर्ग - " - " - और लंबाई 2 का एक किनारा:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) और (-1; -1);
- " - " - घन - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
जैसा कि आप देख सकते हैं, एक वर्ग ओए अक्ष के ऊपर एक रेखा और ओए अक्ष के नीचे एक रेखा है; एक घन XOY तल के सामने एक वर्ग है, और उसके पीछे एक वर्ग है; टेसेरैक्ट XOYZ आयतन के दूसरी तरफ एक घन है, और इस तरफ एक है। लेकिन वन और माइनस वन के इस विकल्प को समझना बहुत आसान है अगर वे एक कॉलम में लिखे गए हों

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

पहले कॉलम में, एक और शून्य से एक वैकल्पिक। दूसरे कॉलम में पहले दो प्लस हैं, फिर दो माइनस। तीसरे में - चार प्लस वाले, और फिर चार माइनस वाले। ये घन के शीर्ष थे। टेसेरैक्ट में उनकी संख्या दोगुनी है, और इसलिए उन्हें घोषित करने के लिए एक लूप लिखना आवश्यक था, अन्यथा भ्रमित होना बहुत आसान है।

मेरा प्रोग्राम एनाग्लिफ़ भी बना सकता है। 3डी चश्मे के खुश मालिक त्रिविम छवि देख सकते हैं। चित्र बनाने में कुछ भी मुश्किल नहीं है; आप बस समतल पर दाईं और बाईं आंखों के लिए दो प्रक्षेपण बनाते हैं। लेकिन कार्यक्रम अधिक दृश्यमान और दिलचस्प हो जाता है, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह चार-आयामी दुनिया का बेहतर विचार देता है।

कम महत्वपूर्ण कार्य लाल रंग के किनारों में से एक की रोशनी है ताकि घुमावों को बेहतर ढंग से देखा जा सके, साथ ही छोटी सुविधाएं - "आंख" बिंदुओं के निर्देशांक का विनियमन, मोड़ की गति को बढ़ाना और घटाना।

प्रोग्राम, स्रोत कोड और उपयोग के लिए निर्देशों के साथ संग्रहित करें।

यदि आपके साथ कोई असामान्य घटना घटी हो, आपने कोई अजीब जीव या कोई समझ से परे घटना देखी हो, तो आप हमें अपनी कहानी भेज सकते हैं और वह हमारी वेबसाइट पर प्रकाशित की जाएगी===> .

बहुआयामी स्थानों का सिद्धांत 19वीं शताब्दी के मध्य में प्रकट होना शुरू हुआ। चार आयामी अंतरिक्ष का विचार विज्ञान कथा लेखकों द्वारा वैज्ञानिकों से उधार लिया गया था। अपने कार्यों में उन्होंने दुनिया को चौथे आयाम के अद्भुत आश्चर्यों के बारे में बताया।

उनके कार्यों के नायक, चार-आयामी अंतरिक्ष के गुणों का उपयोग करते हुए, खोल को नुकसान पहुंचाए बिना अंडे की सामग्री खा सकते थे, और बोतल का ढक्कन खोले बिना पेय पी सकते थे। चोरों ने चौथे आयाम के माध्यम से तिजोरी से खजाना निकाल लिया। सर्जनों ने मरीज के शरीर के ऊतकों को काटे बिना आंतरिक अंगों पर ऑपरेशन किया।

Tesseract

ज्यामिति में, हाइपरक्यूब एक वर्ग (n = 2) और एक घन (n = 3) का एक n-आयामी सादृश्य है। हमारे सामान्य 3-आयामी घन के चार-आयामी एनालॉग को टेसेरैक्ट के रूप में जाना जाता है। टेसेरैक्ट घन का है, जैसे घन वर्ग का है। अधिक औपचारिक रूप से, एक टेसेरैक्ट को एक नियमित उत्तल चार-आयामी पॉलीहेड्रॉन के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसकी सीमा में आठ घन कोशिकाएं होती हैं।

गैर-समानांतर 3D चेहरों का प्रत्येक जोड़ा 2D चेहरे (वर्ग) बनाने के लिए प्रतिच्छेद करता है, इत्यादि। अंत में, टेसेरैक्ट में 8 3D फलक, 24 2D फलक, 32 किनारे और 16 शीर्ष हैं।
वैसे, ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी के अनुसार, टेसेरैक्ट शब्द 1888 में चार्ल्स हॉवर्ड हिंटन (1853-1907) ने अपनी पुस्तक ए न्यू एज ऑफ थॉट में गढ़ा और इस्तेमाल किया था। बाद में, कुछ लोगों ने उसी आकृति को टेट्राक्यूब (ग्रीक टेट्रा - चार) कहा - एक चार-आयामी घन।

निर्माण एवं विवरण

आइए कल्पना करने का प्रयास करें कि त्रि-आयामी स्थान छोड़े बिना हाइपरक्यूब कैसा दिखेगा।
एक-आयामी "स्पेस" में - एक रेखा पर - हम लंबाई L के एक खंड AB का चयन करते हैं। AB से L की दूरी पर एक द्वि-आयामी विमान पर, हम इसके समानांतर एक खंड DC खींचते हैं और उनके सिरों को जोड़ते हैं। परिणाम एक वर्ग सीडीबीए है। समतल के साथ इस ऑपरेशन को दोहराते हुए, हमें एक त्रि-आयामी घन CDBAGHFE प्राप्त होता है। और घन को चौथे आयाम (पहले तीन के लंबवत) में दूरी L से स्थानांतरित करने पर, हमें हाइपरक्यूब CDBAGHFEKLJIOPNM प्राप्त होता है।

इसी तरह, हम बड़ी संख्या में आयामों के हाइपरक्यूब के लिए अपना तर्क जारी रख सकते हैं, लेकिन यह देखना अधिक दिलचस्प है कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष के निवासियों, हमारे लिए एक चार-आयामी हाइपरक्यूब कैसा दिखेगा।

आइए तार का घन ABCDHEFG लें और इसे किनारे की ओर से एक आंख से देखें। हम देखेंगे और समतल पर दो वर्ग (इसके निकट और दूर के किनारे) बना सकते हैं, जो चार रेखाओं - पार्श्व किनारों से जुड़े हुए हैं। इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक चार-आयामी हाइपरक्यूब दो क्यूबिक "बक्से" की तरह दिखेगा जो एक दूसरे में डाले गए हैं और आठ किनारों से जुड़े हुए हैं। इस मामले में, "बक्से" स्वयं - त्रि-आयामी चेहरे - "हमारे" स्थान पर प्रक्षेपित किए जाएंगे, और उन्हें जोड़ने वाली रेखाएं चौथे अक्ष की दिशा में फैलेंगी। आप घन की कल्पना प्रक्षेपण में नहीं, बल्कि एक स्थानिक छवि में करने का भी प्रयास कर सकते हैं।

जिस तरह एक त्रि-आयामी घन अपने चेहरे की लंबाई से स्थानांतरित एक वर्ग द्वारा बनता है, उसी तरह चौथे आयाम में स्थानांतरित एक घन एक हाइपरक्यूब बनाएगा। यह आठ घनों तक सीमित है, जो परिप्रेक्ष्य में कुछ जटिल आकृति जैसा दिखेगा। चार-आयामी हाइपरक्यूब को अनंत संख्या में क्यूब्स में विभाजित किया जा सकता है, जैसे एक त्रि-आयामी क्यूब को अनंत संख्या में फ्लैट वर्गों में "काटा" जा सकता है।

एक त्रि-आयामी घन के छह चेहरों को काटकर, आप इसे एक सपाट आकृति - एक विकास - में विघटित कर सकते हैं। इसमें मूल चेहरे के प्रत्येक तरफ एक वर्ग और एक और चेहरा होगा - इसके विपरीत चेहरा। और चार-आयामी हाइपरक्यूब के त्रि-आयामी विकास में मूल घन, उसमें से छह "बढ़ते" क्यूब, साथ ही एक और - अंतिम "हाइपरफेस" शामिल होगा।

कला में हाइपरक्यूब

टेसेरैक्ट एक ऐसी दिलचस्प शख्सियत है जिसने बार-बार लेखकों और फिल्म निर्माताओं का ध्यान आकर्षित किया है।
रॉबर्ट ई. हेनलेन ने कई बार हाइपरक्यूब का उल्लेख किया। द हाउस दैट टील बिल्ट (1940) में, उन्होंने एक घर का वर्णन एक बिना लपेटे हुए टेसेरैक्ट के रूप में किया और फिर, भूकंप के कारण, चौथे आयाम में "मुड़कर" एक "वास्तविक" टेसेरैक्ट बन गया। हेनलेन के उपन्यास ग्लोरी रोड में एक बड़े आकार के बक्से का वर्णन किया गया है जो बाहर की तुलना में अंदर से बड़ा था।

हेनरी कुट्टनर की कहानी "ऑल तेनाली बोरोगोव" सुदूर भविष्य के बच्चों के लिए एक शैक्षिक खिलौने का वर्णन करती है, जो संरचना में टेसेरैक्ट के समान है।

क्यूब 2 का कथानक: हाइपरक्यूब एक "हाइपरक्यूब" या जुड़े हुए क्यूब्स के नेटवर्क में फंसे आठ अजनबियों पर केंद्रित है।

एक समानांतर दुनिया

गणितीय अमूर्तताओं ने समानांतर दुनिया के अस्तित्व के विचार को जन्म दिया। इन्हें उन वास्तविकताओं के रूप में समझा जाता है जो हमारे साथ एक साथ मौजूद हैं, लेकिन इससे स्वतंत्र रूप से। एक समानांतर दुनिया के विभिन्न आकार हो सकते हैं: एक छोटे भौगोलिक क्षेत्र से लेकर संपूर्ण ब्रह्मांड तक। एक समानांतर दुनिया में, घटनाएँ अपने तरीके से घटित होती हैं; यह हमारी दुनिया से भिन्न हो सकती है, व्यक्तिगत विवरण और लगभग हर चीज़ में। इसके अलावा, समानांतर दुनिया के भौतिक नियम आवश्यक रूप से हमारे ब्रह्मांड के नियमों के समान नहीं हैं।

यह विषय विज्ञान कथा लेखकों के लिए उर्वर भूमि है।

साल्वाडोर डाली की पेंटिंग "द क्रूसिफ़िशन" में एक टेसरैक्ट दर्शाया गया है। "क्रूसिफ़िक्शन या हाइपरक्यूबिक बॉडी" स्पेनिश कलाकार साल्वाडोर डाली की एक पेंटिंग है, जिसे 1954 में चित्रित किया गया था। टेसेरैक्ट स्कैन पर क्रूस पर चढ़ाए गए ईसा मसीह को दर्शाया गया है। यह पेंटिंग न्यूयॉर्क के मेट्रोपॉलिटन म्यूजियम ऑफ आर्ट में रखी गई है

यह सब 1895 में शुरू हुआ, जब एच.जी. वेल्स ने अपनी कहानी "द डोर इन द वॉल" के साथ विज्ञान कथाओं के समानांतर दुनिया के अस्तित्व को खोला। 1923 में, वेल्स समानांतर दुनिया के विचार पर लौट आए और उनमें से एक में एक यूटोपियन देश रखा जहां उपन्यास मेन लाइक गॉड्स के पात्र जाते हैं।

उपन्यास पर किसी का ध्यान नहीं गया। 1926 में जी. डेंट की कहानी "द एम्परर ऑफ द कंट्री "इफ" छपी। डेंट की कहानी में पहली बार यह विचार आया कि ऐसे देश (दुनिया) हो सकते हैं जिनका इतिहास वास्तविक देशों के इतिहास से अलग हो सकता है हमारी दुनिया में। और ये दुनिया हमारी तुलना में कम वास्तविक नहीं हैं।

1944 में, जॉर्ज लुइस बोर्गेस ने अपनी पुस्तक फिक्शनल स्टोरीज़ में "द गार्डन ऑफ़ फोर्किंग पाथ्स" कहानी प्रकाशित की। यहाँ शाखा समय का विचार अंततः अत्यंत स्पष्टता के साथ व्यक्त किया गया।
ऊपर सूचीबद्ध कार्यों की उपस्थिति के बावजूद, कई दुनियाओं का विचार केवल 20वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में विज्ञान कथा में गंभीरता से विकसित होना शुरू हुआ, लगभग उसी समय जब भौतिकी में एक समान विचार उत्पन्न हुआ।

विज्ञान कथा में नई दिशा के अग्रदूतों में से एक जॉन बिक्सबी थे, जिन्होंने "वन वे स्ट्रीट" (1954) कहानी में सुझाव दिया था कि दुनिया के बीच आप केवल एक ही दिशा में आगे बढ़ सकते हैं - एक बार जब आप अपनी दुनिया से एक समानांतर दुनिया में जाते हैं, तुम वापस नहीं लौटोगे, बल्कि एक लोक से दूसरे लोक में चले जाओगे। हालाँकि, अपनी ही दुनिया में वापसी को भी बाहर नहीं रखा गया है - इसके लिए यह आवश्यक है कि दुनिया की व्यवस्था बंद हो।

क्लिफोर्ड सिमक के उपन्यास ए रिंग अराउंड द सन (1982) में पृथ्वी के कई ग्रहों का वर्णन किया गया है, जिनमें से प्रत्येक अपनी-अपनी दुनिया में मौजूद है, लेकिन एक ही कक्षा में है, और ये दुनिया और ये ग्रह केवल समय में मामूली (माइक्रोसेकंड) बदलाव से एक दूसरे से भिन्न होते हैं। उपन्यास का नायक जिन असंख्य पृथ्वियों का दौरा करता है, वे दुनिया की एक एकल प्रणाली का निर्माण करती हैं।

अल्फ्रेड बेस्टर ने अपनी कहानी "द मैन हू किल्ड मोहम्मद" (1958) में दुनिया की शाखाओं के बारे में एक दिलचस्प दृष्टिकोण व्यक्त किया है। "अतीत को बदलकर," कहानी के नायक ने तर्क दिया, "आप इसे केवल अपने लिए बदलते हैं।" दूसरे शब्दों में, अतीत में परिवर्तन के बाद, इतिहास की एक शाखा उत्पन्न होती है जिसमें परिवर्तन करने वाले पात्र के लिए ही यह परिवर्तन मौजूद होता है।

स्ट्रैगात्स्की बंधुओं की कहानी "मंडे बिगिन्स ऑन सैटरडे" (1962) विज्ञान कथा लेखकों द्वारा वर्णित भविष्य के विभिन्न संस्करणों के पात्रों की यात्रा का वर्णन करती है - विज्ञान कथा में पहले से मौजूद अतीत के विभिन्न संस्करणों की यात्रा के विपरीत।

हालाँकि, समानांतर दुनिया के विषय को छूने वाले सभी कार्यों की एक सरल सूची में भी बहुत अधिक समय लगेगा। और यद्यपि विज्ञान कथा लेखक, एक नियम के रूप में, बहुआयामीता की धारणा को वैज्ञानिक रूप से प्रमाणित नहीं करते हैं, वे एक बात के बारे में सही हैं - यह एक परिकल्पना है जिसे अस्तित्व का अधिकार है।
टेसेरैक्ट का चौथा आयाम अभी भी हमारे आने का इंतज़ार कर रहा है।

विक्टर सविनोव

यदि आप एवेंजर्स फिल्मों के प्रशंसक हैं, तो "टेसेरैक्ट" शब्द सुनते ही पहली चीज जो आपके दिमाग में आती है, वह इन्फिनिटी स्टोन का पारदर्शी घन-आकार का जहाज है जिसमें असीमित शक्ति होती है।

मार्वल यूनिवर्स के प्रशंसकों के लिए, टेसेरैक्ट एक चमकता हुआ नीला क्यूब है जो न केवल पृथ्वी, बल्कि अन्य ग्रहों के लोगों को भी दीवाना बना देता है। इसीलिए सभी एवेंजर्स पृथ्वीवासियों को टेसेरैक्ट की अत्यंत विनाशकारी शक्तियों से बचाने के लिए एक साथ आए।

हालाँकि, यह कहने की आवश्यकता है: टेसेरैक्ट एक वास्तविक ज्यामितीय अवधारणा है, या अधिक विशेष रूप से, एक आकृति है जो 4D में मौजूद है। यह एवेंजर्स का सिर्फ एक नीला क्यूब नहीं है... यह एक वास्तविक अवधारणा है।

टेसेरैक्ट 4 आयामों में एक वस्तु है। लेकिन इससे पहले कि हम इसे विस्तार से बताएं, आइए शुरुआत से शुरू करते हैं।

"माप" क्या है?

प्रत्येक व्यक्ति ने 2डी और 3डी शब्द सुने हैं, जो अंतरिक्ष में क्रमशः दो-आयामी या तीन-आयामी वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। लेकिन ये माप क्या हैं?

आयाम बस एक दिशा है जिस पर आप जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप कागज के एक टुकड़े पर एक रेखा खींच रहे हैं, तो आप बाएँ/दाएँ (x-अक्ष) या ऊपर/नीचे (y-अक्ष) पर जा सकते हैं। इसलिए हम कहते हैं कि पेपर द्वि-आयामी है क्योंकि आप केवल दो दिशाओं में जा सकते हैं।

3डी में गहराई का अहसास होता है।

अब, वास्तविक दुनिया में, ऊपर उल्लिखित दो दिशाओं (बाएं/दाएं और ऊपर/नीचे) के अलावा, आप "यहां/से" भी जा सकते हैं। परिणामस्वरूप, 3डी स्पेस में गहराई की भावना जुड़ जाती है। इसीलिए हम कहते हैं कि वास्तविक जीवन त्रि-आयामी है।

एक बिंदु 0 आयामों का प्रतिनिधित्व कर सकता है (क्योंकि यह किसी भी दिशा में नहीं चलता है), एक रेखा 1 आयाम (लंबाई) का प्रतिनिधित्व करती है, एक वर्ग 2 आयामों (लंबाई और चौड़ाई) का प्रतिनिधित्व करता है, और एक घन 3 आयामों (लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई) का प्रतिनिधित्व करता है ).

एक 3D घन लें और उसके प्रत्येक फलक (जो वर्तमान में वर्ग हैं) को एक घन से बदलें। इसलिए! आपको जो आकार मिलता है वह टेसेरैक्ट है।

टेसेरैक्ट क्या है?

सीधे शब्दों में कहें तो, टेसेरैक्ट 4-आयामी अंतरिक्ष में एक घन है। आप यह भी कह सकते हैं कि यह एक क्यूब का 4डी एनालॉग है। यह एक 4डी आकृति है जहां प्रत्येक फलक एक घन है।

दो ऑर्थोगोनल विमानों के चारों ओर दोहरा घूर्णन करते हुए एक टेसेरैक्ट का 3डी प्रक्षेपण।
छवि: जेसन हिज़

यहां आयामों की संकल्पना करने का एक सरल तरीका दिया गया है: एक वर्ग द्वि-आयामी है; इसलिए, इसके प्रत्येक कोने से 2 रेखाएँ एक दूसरे से 90 डिग्री के कोण पर फैली हुई हैं। घन 3D है, इसलिए इसके प्रत्येक कोने से 3 रेखाएँ निकलती हैं। इसी तरह, टेसेरैक्ट एक 4D आकार है, इसलिए प्रत्येक कोने से 4 रेखाएँ निकलती हैं।

टेसेरैक्ट की कल्पना करना कठिन क्यों है?

चूंकि हम मनुष्य के रूप में वस्तुओं को तीन आयामों में देखने के लिए विकसित हुए हैं, इसलिए जो कुछ भी अतिरिक्त आयामों जैसे 4डी, 5डी, 6डी आदि में जाता है, वह हमारे लिए ज्यादा मायने नहीं रखता है क्योंकि हम उन्हें बिल्कुल भी पेश नहीं कर सकते हैं। हमारा मस्तिष्क अंतरिक्ष में चौथे आयाम को नहीं समझ सकता। हम इसके बारे में सोच ही नहीं सकते.

हालाँकि, सिर्फ इसलिए कि हम बहुआयामी स्थानों की अवधारणा की कल्पना नहीं कर सकते इसका मतलब यह नहीं है कि इसका अस्तित्व नहीं हो सकता है।

गणितीय रूप से, टेसेरैक्ट एक बिल्कुल सटीक आकार है। इसी तरह, उच्च आयामों में सभी रूप, यानी 5डी और 6डी, भी गणितीय रूप से प्रशंसनीय हैं।

जिस प्रकार एक घन को 2डी स्थान में 6 वर्गों में विस्तारित किया जा सकता है, उसी प्रकार एक टेसेरैक्ट को 3डी अंतरिक्ष में 8 घनों में विस्तारित किया जा सकता है।

आश्चर्यजनक और समझ से बाहर, है ना?

तो टेसेरैक्ट एक "वास्तविक अवधारणा" है जो बिल्कुल गणितीय रूप से प्रशंसनीय है, न कि केवल चमकदार नीला क्यूब जिसके लिए एवेंजर्स फिल्मों में लड़ाई होती है।

हाइपरक्यूब और प्लेटोनिक ठोस

"वेक्टर" प्रणाली में एक काटे गए इकोसाहेड्रोन ("सॉकर बॉल") का मॉडल बनाएं
जिसमें प्रत्येक पंचभुज षट्कोण से घिरा है

कटा हुआ इकोसाहेड्रोननियमित पंचकोण के रूप में फलक बनाने के लिए 12 शीर्षों को काटकर प्राप्त किया जा सकता है। इस स्थिति में, नए बहुफलक के शीर्षों की संख्या 5 गुना (12×5=60) बढ़ जाती है, 20 त्रिकोणीय फलक नियमित षट्भुज में बदल जाते हैं (कुल मिलाकर) फलक 20+12=32 हो जाते हैं), ए किनारों की संख्या बढ़कर 30+12×5=90 हो जाती है.

वेक्टर प्रणाली में एक काटे गए आइकोसाहेड्रोन के निर्माण के लिए चरण

4-आयामी अंतरिक्ष में आकृतियाँ।

--à

--à ?

उदाहरण के लिए, एक घन और एक हाइपरक्यूब दिया गया है। एक हाइपरक्यूब के 24 फलक होते हैं। इसका मतलब है कि एक 4-आयामी अष्टफलक में 24 शीर्ष होंगे। हालाँकि नहीं, एक हाइपरक्यूब में घनों के 8 फलक होते हैं - प्रत्येक के शीर्ष पर एक केंद्र होता है। इसका मतलब यह है कि एक 4-आयामी अष्टफलक में 8 शीर्ष होंगे, जो और भी हल्का है।

4-आयामी अष्टफलक. इसमें आठ समबाहु और समान चतुष्फलक होते हैं,
प्रत्येक शीर्ष पर चार से जुड़ा हुआ।

चावल। अनुकरण का एक प्रयास
"वेक्टर" प्रणाली में हाइपरबॉल-हाइपरस्फीयर

सामने - पीछे के चेहरे - विरूपण के बिना गेंदें। अन्य छह गेंदों को दीर्घवृत्ताकार या द्विघात सतहों (जनरेटर के रूप में 4 समोच्च रेखाओं के माध्यम से) या चेहरों के माध्यम से (पहले जनरेटर के माध्यम से परिभाषित) के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।

हाइपरस्फेयर को "बनाने" की अधिक तकनीकें
- 4-आयामी अंतरिक्ष में वही "सॉकर बॉल"।

परिशिष्ट 2

उत्तल पॉलीहेड्रा के लिए, एक संपत्ति है जो इसके शीर्षों, किनारों और चेहरों की संख्या से संबंधित है, जिसे 1752 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा सिद्ध किया गया था, और इसे यूलर का प्रमेय कहा जाता है।

इसे तैयार करने से पहले, हमें ज्ञात पॉलीहेड्रा पर विचार करें और निम्नलिखित तालिका भरें, जिसमें बी किसी दिए गए पॉलीहेड्रॉन के शीर्षों, पी - किनारों और जी - चेहरों की संख्या है:

बहुफलकीय नाम
त्रिकोणीय पिरामिड
चतुष्कोणीय पिरामिड
त्रिकोणीय प्रिज्म
चतुष्कोणीय प्रिज्म
एन-कोयला पिरामिड	एन+1	2एन	एन+1
एन-कार्बन प्रिज्म	2एन	3एन	एन+2
एन-कोयला काट दिया गया पिरामिड	2एन	3एन	एन+2

इस तालिका से यह तुरंत स्पष्ट है कि सभी चयनित पॉलीहेड्रा के लिए समानता बी - पी + जी = 2 है। यह पता चलता है कि यह समानता न केवल इन पॉलीहेड्रा के लिए मान्य है, बल्कि एक मनमाना उत्तल पॉलीहेड्रा के लिए भी मान्य है।

यूलर का प्रमेय. किसी भी उत्तल बहुफलक के लिए समानता कायम है

बी - पी + जी = 2,

जहां B शीर्षों की संख्या है, P किनारों की संख्या है और G किसी दिए गए बहुफलक के फलकों की संख्या है।

सबूत।इस समानता को साबित करने के लिए, आइए हम एक लोचदार सामग्री से बने इस बहुफलक की सतह की कल्पना करें। आइए इसके एक चेहरे को हटा दें (काट दें) और शेष सतह को एक समतल पर फैला दें। हमें एक बहुभुज (पॉलीहेड्रॉन के हटाए गए चेहरे के किनारों द्वारा गठित) प्राप्त होता है, जो छोटे बहुभुजों में विभाजित होता है (पॉलीहेड्रॉन के शेष चेहरों द्वारा गठित)।

ध्यान दें कि बहुभुजों को तब तक विकृत, बड़ा, छोटा या यहां तक ​​कि उनकी भुजाओं को मोड़ा जा सकता है, जब तक कि भुजाओं में कोई अंतराल न हो। शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या नहीं बदलेगी।

आइए हम सिद्ध करें कि बहुभुज का छोटे बहुभुजों में परिणामी विभाजन समानता को संतुष्ट करता है

(*)बी - पी + जी " = 1,

जहां B शीर्षों की कुल संख्या है, P किनारों की कुल संख्या है और Г " विभाजन में शामिल बहुभुजों की संख्या है। यह स्पष्ट है कि Г " = Г - 1, जहां Г किसी दिए गए फलकों की संख्या है बहुफलक

आइए हम साबित करें कि यदि किसी दिए गए विभाजन के कुछ बहुभुज में एक विकर्ण खींचा जाता है तो समानता (*) नहीं बदलती है (चित्र 5, ए)। दरअसल, ऐसे विकर्ण को खींचने के बाद, नए विभाजन में B शीर्ष, P+1 किनारे होंगे और बहुभुजों की संख्या एक बढ़ जाएगी। इसलिए, हमारे पास है

बी - (पी + 1) + (जी "+1) = बी - पी + जी " .

इस संपत्ति का उपयोग करके, हम विकर्ण बनाते हैं जो आने वाले बहुभुजों को त्रिकोणों में विभाजित करते हैं, और परिणामी विभाजन के लिए हम समानता (*) की व्यवहार्यता दिखाते हैं (चित्र 5, बी)। ऐसा करने के लिए, हम क्रमिक रूप से बाहरी किनारों को हटा देंगे, जिससे त्रिकोणों की संख्या कम हो जाएगी। इस मामले में, दो स्थितियाँ संभव हैं:

a) एक त्रिकोण को हटाने के लिए एबीसीहमारे मामले में, दो पसलियों को हटाना आवश्यक है अबऔर ईसा पूर्व;

बी) त्रिकोण को हटाने के लिएएमकेएनहमारे मामले में, एक किनारे को हटाना आवश्यक हैएम.एन..

दोनों ही मामलों में, समानता (*) नहीं बदलेगी। उदाहरण के लिए, पहले मामले में, त्रिभुज को हटाने के बाद, ग्राफ़ में B - 1 शीर्ष, P - 2 किनारे और G "- 1 बहुभुज शामिल होंगे:

(बी - 1) - (पी + 2) + (जी "-1) = बी - पी + जी"।

दूसरे मामले पर आप स्वयं विचार करें।

इस प्रकार, एक त्रिभुज को हटाने से समानता (*) नहीं बदलती। त्रिभुजों को हटाने की इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम अंततः एक एकल त्रिभुज वाले विभाजन पर पहुंचेंगे। ऐसे विभाजन के लिए, बी = 3, पी = 3, जी " = 1 और, इसलिए, बी - पी + जी " = 1। इसका मतलब है कि समानता (*) मूल विभाजन के लिए भी लागू होती है, जिससे हम अंततः इसे प्राप्त करते हैं बहुभुज के इस विभाजन के लिए समानता (*) सत्य है। इस प्रकार, मूल उत्तल बहुफलक के लिए समानता B - P + G = 2 सत्य है।

एक बहुफलक का उदाहरण जिसके लिए यूलर का संबंध मान्य नहीं है,चित्र 6 में दिखाया गया है। इस बहुफलक में 16 शीर्ष, 32 किनारे और 16 फलक हैं। इस प्रकार, इस बहुफलक के लिए समानता B – P + G = 0 है।

परिशिष्ट 3.

फिल्म क्यूब 2: हाइपरक्यूब एक साइंस फिक्शन फिल्म है, जो फिल्म क्यूब का सीक्वल है।

घन-आकार के कमरों में आठ अजनबी जागते हैं। कमरे चार-आयामी हाइपरक्यूब के अंदर स्थित हैं। कमरे लगातार "क्वांटम टेलीपोर्टेशन" के माध्यम से आगे बढ़ रहे हैं, और यदि आप अगले कमरे में चढ़ते हैं, तो पिछले कमरे में लौटने की संभावना नहीं है। समानांतर दुनिया हाइपरक्यूब में प्रतिच्छेद करती है, कुछ कमरों में समय अलग-अलग तरीके से बहता है, और कुछ कमरे मौत के जाल हैं।

फिल्म का कथानक काफी हद तक पहले भाग की कहानी को दोहराता है, जो कुछ पात्रों की छवियों में भी परिलक्षित होता है। नोबेल पुरस्कार विजेता रोसेनज़वेग, जिन्होंने हाइपरक्यूब के विनाश के सटीक समय की गणना की, हाइपरक्यूब के कमरे में मर जाते हैं।.

आलोचना

अगर पहले भाग में भूलभुलैया में कैद लोगों ने एक-दूसरे की मदद करने की कोशिश की, तो इस फिल्म में हर आदमी अपने लिए है। बहुत सारे अनावश्यक विशेष प्रभाव (उर्फ ट्रैप) हैं जो तार्किक रूप से किसी भी तरह से फिल्म के इस हिस्से को पिछले हिस्से से नहीं जोड़ते हैं। यानी पता चलता है कि फिल्म क्यूब 2 भविष्य की 2020-2030 की एक तरह की भूलभुलैया है, लेकिन 2000 की नहीं। पहले भाग में, सभी प्रकार के जाल सैद्धांतिक रूप से एक व्यक्ति द्वारा बनाए जा सकते हैं। दूसरे भाग में, ये जाल एक प्रकार के कंप्यूटर प्रोग्राम हैं, जिन्हें तथाकथित "आभासी वास्तविकता" कहा जाता है।