बचपन में कताई टॉप के साथ खेलने वाले हजारों लोगों में से बहुत से लोग इस प्रश्न का सही उत्तर नहीं दे पाएंगे। कैसे, वास्तव में, इस तथ्य की व्याख्या करने के लिए कि एक कताई शीर्ष, लंबवत या यहां तक ​​​​कि तिरछे रखा गया, सभी अपेक्षाओं के विपरीत, उलट नहीं जाता है? कौन सी ताकत उसे इतनी अस्थिर स्थिति में रखती है? क्या गुरुत्वाकर्षण उस पर काम नहीं कर रहा है?

यहां बलों की एक बहुत ही उत्सुक बातचीत है। शीर्ष का सिद्धांत सरल नहीं है, और हम इसमें तल्लीन नहीं करेंगे। आइए हम केवल उस मुख्य कारण की रूपरेखा तैयार करें जिसके कारण घूर्णन शीर्ष नहीं गिरता है।

अंजीर पर। 26 तीरों की दिशा में घूमते हुए एक शीर्ष दिखाता है। भाग पर ध्यान दें लेकिनउसका रिम और भाग पर परइसके विपरीत। भाग लेकिनआप से दूर जाने के लिए जाता है, भाग पर- आपको। जब आप शीर्ष की धुरी को अपनी ओर झुकाते हैं तो अब इन भागों को क्या गति प्राप्त होती है, इसका पालन करें। इस धक्का के साथ आप भाग को मजबूर करते हैं लेकिनभाग ऊपर ले जाएँ पर- नीचे; दोनों भागों को अपनी गति के लिए समकोण पर एक धक्का मिलता है। लेकिन चूंकि शीर्ष के तेजी से घूमने के दौरान डिस्क के हिस्सों की परिधि गति बहुत अधिक होती है, इसलिए आपके द्वारा बताई गई महत्वहीन गति, बिंदु की उच्च गोलाकार गति के साथ जोड़कर, परिणामी को इस गोलाकार के बहुत करीब देती है। , और शीर्ष की गति लगभग अपरिवर्तित रहती है। इससे यह स्पष्ट है कि शीर्ष, जैसा कि था, इसे उलटने के प्रयास का विरोध क्यों करता है। शीर्ष जितना अधिक विशाल और तेज़ी से घूमता है, उतना ही हठपूर्वक यह ऊपर की ओर झुकता है।

कताई शीर्ष क्यों नहीं गिरता है?

इस स्पष्टीकरण का सार सीधे जड़ता के नियम से संबंधित है। शीर्ष का प्रत्येक कण घूर्णन के अक्ष के लंबवत समतल में एक वृत्त में गति करता है। जड़त्व के नियम के अनुसार, कण हर क्षण वृत्त से वृत्त की स्पर्श रेखा की ओर जाने की प्रवृत्ति रखता है। लेकिन प्रत्येक स्पर्शरेखा वृत्त के समान तल में होती है; इसलिए, प्रत्येक कण इस तरह से गति करता है कि वह हमेशा घूर्णन की धुरी के लंबवत विमान में रहता है। यह इस प्रकार है कि शीर्ष में सभी विमान, घूर्णन की धुरी के लंबवत, अंतरिक्ष में अपनी स्थिति बनाए रखते हैं, और इसलिए उनके लिए सामान्य लंबवत, यानी घूर्णन की धुरी भी अपनी दिशा बनाए रखती है।

एक कताई शीर्ष, उछाला जा रहा है, अपनी धुरी की मूल दिशा को बरकरार रखता है।

हम शीर्ष की उन सभी गतियों पर विचार नहीं करेंगे जो उस पर किसी बाह्य बल के कार्य करने पर घटित होती हैं। इसके लिए बहुत विस्तृत स्पष्टीकरण की आवश्यकता होगी, जो शायद, उबाऊ प्रतीत होगा। मैं सिर्फ यह बताना चाहता था कि किसी भी घूर्णन पिंड की रोटेशन की धुरी की दिशा को अपरिवर्तित रखने की इच्छा का कारण क्या है।

इस संपत्ति का व्यापक रूप से आधुनिक तकनीक द्वारा उपयोग किया जाता है। विभिन्न जाइरोस्कोपिक (शीर्ष की संपत्ति के आधार पर) उपकरण - कम्पास, स्टेबलाइजर्स, आदि - जहाजों और विमानों पर स्थापित होते हैं। [रोटेशन उड़ान में प्रोजेक्टाइल और गोलियों के लिए स्थिरता प्रदान करता है, और अंतरिक्ष प्रोजेक्टाइल की स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए भी इसका उपयोग किया जा सकता है - उपग्रह और रॉकेट - जैसे ही वे चलते हैं। - नोट एड।]

ऐसा प्रतीत होता है कि साधारण खिलौने का उपयोगी उपयोग है।

कताई शीर्ष अद्भुत है! आप इस घटना को लंबे समय तक देख सकते हैं, जैसे आग की आग में, अदम्य रुचि, जिज्ञासा और कुछ अन्य समझ से बाहर भावनाओं का अनुभव करना ... क्लासिक कताई शीर्ष के सिद्धांत और व्यवहार में इसके पर्याप्त अनुप्रयोग को समझने में, शायद "कुत्ता दफन है" ...

गुरुत्वाकर्षण का उपयोग और विजय ... या शायद हम कभी-कभी ऐसा सोचना चाहते हैं जब हम ऐसी घटनाएं देखते हैं जिन्हें हम तुरंत समझ नहीं पाते हैं और उन्हें स्पष्टीकरण नहीं देते हैं।

आइए लेख के शीर्षक में प्रश्न का उत्तर देना शुरू करें। मैंने उत्तर के पाठ को छोटे-छोटे पैराग्राफों में विभाजित किया है ताकि पढ़ने की प्रक्रिया के दौरान विकर्षण की संभावना के साथ जानकारी की धारणा को यथासंभव आसान बनाया जा सके और लेख के पाठ और अर्थ पर आसान वापसी हो सके। पिछले पैराग्राफ के सार को समझने के बाद ही अगले पैराग्राफ पर जाएं।

आइए चित्र की ओर मुड़ें, जो एक क्लासिक कताई शीर्ष दिखाता है।

1. निश्चित निरपेक्ष समन्वय प्रणाली बैल 0 आप 0 जेड 0 चित्र में बैंगनी रंग में दिखाया गया है। एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का केंद्र एक बिंदु है हेजिस पर कताई शीर्ष टिकी हुई है।

2. चलती समन्वय प्रणाली Cxyzचित्र में नीले रंग में दिखाया गया है। इस प्रणाली की कुल्हाड़ियाँ ऊपर से नहीं घूमती हैं, बल्कि इसके अन्य सभी आंदोलनों को दोहराती हैं! इस आयताकार समन्वय प्रणाली का केंद्र बिंदु है सी, जो शीर्ष डिस्क के मध्य तल पर स्थित है और इसका द्रव्यमान केंद्र है।

3. शीर्ष की सापेक्ष गति गतिमान समन्वय प्रणाली के सापेक्ष गति (घूर्णन) है Cxyz.

4. पोर्टेबल आंदोलन चलती समन्वय प्रणाली के साथ शीर्ष की गति है Cxyzस्थिर प्रणाली के सापेक्ष बैल 0 आप 0 जेड 0 .

5. बलों और आघूर्णों के सदिशों को चित्र में हरे रंग में दिखाया गया है।

6. शीर्ष डिस्क का द्रव्यमान होता है एमऔर वजन जी= एम* जी, कहाँ पे जी- गुरुत्वाकर्षण का त्वरण।

7. तथ्य यह है कि एक गैर-कताई शीर्ष, एक नियम के रूप में, किसी को भी आश्चर्यचकित नहीं करता है। पलड़ा पलटने से चोटी अपनी तरफ गिर जाती है एमडीईएफ़= जी* पी, जो अनिवार्य रूप से शीर्ष की धुरी के किसी भी मामूली विचलन के लिए उत्पन्न होगा जेडऊर्ध्वाधर अक्ष से जेड 0 . यहां पी- ताकत की भुजा जी, अक्ष के साथ मापा जाता है आप.

8. आकृति के अनुसार, अक्ष के चारों ओर एक गैर-घूर्णन शीर्ष का गिरना होता है एक्स!

निरपेक्ष निश्चित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष बैल 0 आप 0 जेड 0 एक्सिस एक्सगिरने पर, यह एक त्रिज्या के साथ एक बेलनाकार सतह के साथ एक समतल-समानांतर तरीके से चलता है ओसी.

एक्सिस आपत्रिज्या वाले वृत्त पर लुढ़कते समय ओसी, अक्ष के साथ निरपेक्ष स्थान में दिशा बदलना जेड, जो एक बिंदु के चारों ओर घूमता है हे.

बिंदु के संबंध में निरपेक्ष स्थान में शीर्ष के गिरने को ध्यान में रखते हुए सी, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि शीर्ष और समन्वय प्रणाली इसके साथ सख्ती से जुड़ी हुई है Cxyzएक अक्ष के चारों ओर घूमता है एक्सउलटे पल की दिशा में एमडीईएफ़.

9. कताई शीर्ष की डिस्क से संबंधित एक मनमानी सामग्री बिंदु की गति पर विचार करें। ऐसा करने के लिए, एक बिंदु चुनें ए, जिसका द्रव्यमान है एम एऔर झूठ बोलना, उदाहरण के लिए, विमान में xyदूरी पर डिस्क की परिधि पर आरबिंदु के द्रव्यमान के केंद्र से सी.

10. हम मानते हैं कि प्रारंभ में बिंदु एसापेक्ष गति का एक रैखिक वेग है वीएरेले, केवल अक्ष के चारों ओर शीर्ष की घूर्णी गति के कारण जेड. वेग वेक्टर वीएरेलेअक्ष के समानांतर एक्स.

11. याद रखें कि एक शीर्ष बहुत उच्च कोणीय वेग के साथ दक्षिणावर्त घूमता है ω रेलेअक्ष के चारों ओर जेड, पल अभी भी मान्य है एमडीईएफ़, अक्ष के अपरिहार्य प्रारंभिक विचलन के परिणामस्वरूप जेडऊर्ध्वाधर से।

12. द्रव्यमान वाला एक बिंदु अपनी गति को तुरंत नहीं बदल सकता है क्योंकि इसके लिए इसे अनंत के बराबर त्वरण देने की आवश्यकता होती है - जो कि जड़त्व के नियम के कारण असंभव माना जाता है। इसका मतलब है कि गति में वृद्धि वीएगलीपलटने के क्षण के कारण एमडीईएफ़, कुछ समय के लिए घटित होगा और कताई शीर्ष के पास एक निश्चित कोण से मुड़ने का समय होगा। प्रक्रिया की व्याख्या को सरल बनाने के लिए, हम सशर्त मानते हैं कि बिंदु की स्थानांतरण गति ए वीएगलीउस समय अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है जब बिंदु ए 90° घूमता है (¼ मुड़ता है) और अक्ष को काटता है एक्स.

13. आकृति में, बिंदु के पोर्टेबल वेग के वैक्टर ए वीएगलीअलग-अलग समय पर रोटेशन के विभिन्न कोणों पर मैजेंटा में दिखाया जाता है, और सापेक्ष वेग वेक्टर वीएरेलेबिंदु की प्रारंभिक स्थिति में भूरे रंग में दिखाया गया है।

14. उपरोक्त के अनुसार, यदि आप आकृति को देखते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि शीर्ष धुरी के चारों ओर नहीं झुकना शुरू कर देगा एक्स, अक्ष के चारों ओर आप!

15. परिणामी पोर्टेबल आंदोलन (उलटने) के कारण, जब बिंदु एअक्ष के चारों ओर एक क्रांति करके जेड, अक्ष पर प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाएगा आप, इसका निरपेक्ष वेग वेक्टर वीएकैप्सिंग की दिशा में, यानी सापेक्ष वेग वेक्टर के सापेक्ष पोर्टेबल आंदोलन की दिशा में बंद कर दिया जाएगा वीएरेले.

16. गति में कोई भी परिवर्तन शून्येतर त्वरण की क्रिया के कारण ही हो सकता है! इस मामले में, इस त्वरण को कोरिओलिस त्वरण कहा जाता है। एसार. यह गति की कार्रवाई की रेखा के साथ निर्देशित है वीएगलीपोर्टेबल आंदोलन जो इसका कारण बना। वेक्टर एसारअक्ष के समानांतर जेड.

17. पोर्टेबल गति जो कोरिओलिस त्वरण का कारण बनी एसार, क्रमशः जड़ता के बल को जन्म देता है एफसार, जो वेक्टर की दिशा के विपरीत दिशा में कार्य करता है एसार.

18. बदले में, जड़त्व का कोरिओलिस बल एफसारअक्ष के बारे में एक पल बनाता है एक्स एमगिर= एफसार* आरजाइरोस्कोपिक पल कहा जाता है। यह जाइरोस्कोपिक क्षण है एमगिर, पलटने वाले क्षण का प्रतिकार करना एमडीईएफ़, प्रणाली को संतुलित करता है और कताई शीर्ष को अपनी तरफ गिरने नहीं देता !!!

19. कताई शीर्ष, एक धुरी के चारों ओर घूमने का समय नहीं है, दूसरे के चारों ओर घूमना शुरू कर देता है, और इसी तरह, जब तक घूर्णन होता है, जबकि गतिज क्षण कार्य करता है एच= ω रेले* एम* आर 2 /2 !

लाक्षणिक रूप से, हम यह कह सकते हैं: जैसे ही एक कताई शीर्ष गुरुत्वाकर्षण के क्षण की कार्रवाई के तहत गिरने लगती है एमडीईएफ़, एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना, इसलिए एक पल के बाद उसी अक्ष के चारों ओर एक जाइरोस्कोपिक क्षण उत्पन्न होता है एमगिरइस रोटेशन को रोकना। तो ये दो पल "प्ले कैच-अप" - एक ऊपर गिरता है, दूसरा उसे गिरने से रोकता है ...

20. अक्ष जेड, कठोर रूप से शीर्ष के रोटेशन की धुरी से जुड़ा हुआ है, पूर्ण समन्वय प्रणाली में वर्णन करता है बैल 0 आप 0 जेड 0 एक बिंदु पर शीर्ष के साथ शंकु हे. अक्ष का ऐसा वृत्ताकार संचलन जेडगति के साथ ω गलीपूर्वसर्ग कहा जाता है।

21. नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया वेक्टर आरेख एक दूसरे को संतुलित करते हुए, गुरुत्वाकर्षण के उलटे क्षण को दर्शाता है एमडीईएफ़और जाइरोस्कोपिक पल एमगिर.

एमडीईएफ़= एमगिर= एच* ω गली

जाइरोस्कोपिक पल एमगिरसबसे छोटे पथ के साथ कोणीय गति वेक्टर को घुमाने की कोशिश करता है एचट्रांसलेशनल रोटेशन के कोणीय वेग वेक्टर की दिशा में ω गली. इस मामले में, पूर्वसर्ग एक वेक्टर है ω गली- एक ही वेक्टर को घुमाना चाहता है एचऔर इसे गुरुत्वाकर्षण के पलटने वाले क्षण के वेक्टर के साथ दूसरे सबसे छोटे पथ के साथ जोड़ दें एमडीईएफ़. ये दो क्रियाएं घटना का आधार निर्धारित करती हैं, जिसका नाम जाइरोस्कोपिक प्रभाव है।

जब तक रोटेशन है ω रेले≠0 ), शीर्ष का गतिज क्षण होता है एच, जो जाइरोस्कोपिक पल के अस्तित्व को सुनिश्चित करता है एमगिर, जो बदले में गुरुत्वाकर्षण के क्षण की कार्रवाई के लिए क्षतिपूर्ति करता है एमडीईएफ़, जिसने जाइरोस्कोपिक क्षण को जन्म दिया एमगिर…

ऐसी कहानी है "जैक ने जो घर बनाया", केवल सर्कल बंद है, और यह तब मौजूद है जब "शीर्ष घूम रहा है - बचपन का मज़ा"!

लियोनार्ड यूलर (रूस) ने आधार पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ एक शीर्ष के लिए समस्या को हल करके शीर्ष के सिद्धांत की नींव रखी। सिद्धांत को जोसेफ लुई लैग्रेंज (फ्रांस) द्वारा विकसित किया गया था, जिसने समस्या को एक शीर्ष के साथ हल किया था जिसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र घूर्णन की धुरी पर है, लेकिन आधार पर नहीं। सोफिया वासिलिवेना कोवालेवस्काया (रूस) शीर्ष के सिद्धांत की समस्या को हल करने में सबसे आगे बढ़ी, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ एक शीर्ष के लिए समस्या को हल करना जो रोटेशन की धुरी पर नहीं है।

... या हो सकता है कि शीर्ष का घूर्णन पूरी तरह से अलग कारणों से होता है, न कि उपरोक्त सिद्धांत के अनुसार, जिसके बारे में लैग्रेंज ने दुनिया को बताया था? हो सकता है कि यह मॉडल "सही ढंग से" प्रक्रिया का वर्णन करता है, लेकिन भौतिक सार अलग है? कौन जानता है ... लेकिन सामान्य शब्दों में समस्या का अभी भी कोई गणितीय समाधान नहीं है, और कताई शीर्ष ने अभी तक मानवता के लिए अपने सभी रहस्यों को पूरी तरह से प्रकट नहीं किया है।

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सूत्र (92.1) से पता चलता है कि पूर्वगामी coj का कोणीय वेग जितना छोटा होता है, समरूपता की अपनी धुरी के चारों ओर शीर्ष के घूर्णन का कोणीय वेग उतना ही अधिक होता है।

सूत्र (92.1) से पता चलता है कि पूर्वगामी का कोणीय वेग जितना कम होगा, समरूपता की अपनी धुरी के चारों ओर शीर्ष के घूर्णन का कोणीय वेग उतना ही अधिक होगा।

आकृति की धुरी की स्थिति (शरीर की समरूपता की धुरी) किसी भी शीर्ष पर स्थापित करना आसान है और शीर्ष के घूर्णन के दौरान इसके आंदोलनों का निरीक्षण करना आसान है। रोटेशन की तात्कालिक धुरी, आम तौर पर बोलती है, अदृश्य है।

धातु समूहों को सममित शीर्ष के रूप में माना जा सकता है, जिसमें शीर्ष के घूर्णन के मुख्य अक्ष के लंबवत अक्षों के बारे में जड़ता के दो क्षण होते हैं।

धातु समूहों को सममित शीर्ष के रूप में माना जा सकता है, जिसमें शीर्ष के घूर्णन के मुख्य अक्ष के लंबवत अक्षों के बारे में जड़ता के दो क्षण होते हैं। अक्सर एक अणु में, कोई एक कठोर आधार को अलग कर सकता है, जिससे एक या अधिक कठोर शीर्ष जुड़े होते हैं।

आंतरिक रोटेशन /टी/1/ए, (VI. 152.

धातु समूहों को सममित शीर्ष के रूप में माना जा सकता है, जिसमें शीर्ष के घूर्णन के मुख्य अक्ष के लंबवत अक्षों के बारे में जड़ता के दो क्षण होते हैं। अक्सर एक अणु में एक कठोर आधार भेद कर सकता है, जिसके साथ एक या कई कठोर शीर्ष जुड़े हुए हैं।

शीर्ष के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, जिसकी धुरी तेजी से पूर्वसर्ग करती है, व्यावहारिक रूप से रुक जाती है और फिर से गति के अंतिम चरण में ही कुछ गति प्राप्त कर लेती है, जब शीर्ष के रोटेशन के कोणीय वेग में काफी कमी आती है।

अपने स्वयं के अक्ष के परितः घूर्णन के अभाव में, अक्ष की ऊर्ध्वाधर दिशा के साथ संतुलन की स्थिति अस्थिर होगी (यदि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र आधार से अधिक है); जब अक्ष के चारों ओर शीर्ष के घूर्णन का कोणीय वेग पर्याप्त रूप से बड़ा हो जाता है, तो इसकी मेरोस्टैटिक रोटेशन की स्थिति स्थिर हो जाती है (न केवल रैखिक में, बल्कि सख्त अर्थ में भी), यदि केवल भार बल को अभिनय बल माना जाता है। लेकिन अगर वायु प्रतिरोध को ध्यान में रखा जाता है, तो विघटनकारी बल छोटे दोलनों के समीकरणों में प्रवेश करते हैं, और हम सैद्धांतिक रूप से पाते हैं, जैसा कि वास्तव में होता है, कि कोणीय वेग, हालांकि धीरे-धीरे कम हो जाएगा, ताकि अंत में शीर्ष गिर जायेगा। इस घटना का विस्तृत विवरण अध्याय में दिया जाएगा।

एक कठोर शरीर का एक उदाहरण, कुआं, एक निश्चित बिंदु, एक शीर्ष है, जिसका नुकीला पैर एक स्टैंड में बने घोंसले के खिलाफ रहता है, ताकि शीर्ष के घूमने पर पैर का यह सिरा गतिहीन रहे।

एक संतुलन स्थिति में घूर्णन समूह सहित द्रव्यमान एम वाले पूरे अणु के लिए, जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्ष 1, 2, 3 और इन अक्षों के बारे में जड़ता के मुख्य क्षण / डी, 1 बी, / एस पाए जाते हैं; फिर शीर्ष के निर्देशांक अक्ष खींचे जाते हैं ताकि अक्ष 2 शीर्ष के घूर्णन के अक्ष के साथ मेल खाता हो, x-अक्ष शीर्ष के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है और z-अक्ष के लंबवत होता है, और y- अक्ष x, z के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है और उनके लंबवत होगा। घूर्णन अक्ष z पर पड़े शीर्ष परमाणुओं को आगे के विचार से बाहर रखा गया है।

शीर्ष की उच्च रोटेशन गति पर, पूर्वता दर नगण्य है। जब शीर्ष का घुमाव कमजोर हो जाता है, तो हमेशा एक पूर्वता होती है।

इलेक्ट्रिक मोटर चालू करें और ऊपर की रोटेशन की गति को 8000 आरपीएम पर लाएं। जब शीर्ष घूमता है, भारी खनिज बस जाते हैं और शीर्ष 5 के खांचे में फंस जाते हैं, और प्रकाश वाले को तरल के साथ अलग करने वाले फ़नल 2 और 6 की दीवारों पर फेंक दिया जाता है और आउटलेट 3 के माध्यम से बुचनर फ़नल में प्रवेश करता है। चूंकि निस्पंदन धीमा है, तेल पंप चालू है।

इम्पेटस बेनेडेटी दिशा की विशेषता है, इसे एक प्रकार का सीधा तत्व मानते हैं। तो, वह क्षैतिज और स्पर्शरेखा आवेगों की सीधीता द्वारा शीर्ष के रोटेशन की व्याख्या करता है, जो उन हिस्सों की गंभीरता को संतुलित करता है जिनसे वे जुड़े हुए हैं। जब तक शीर्ष की गति अधिक होती है, यह उसे अपनी स्थिति बनाए रखने की अनुमति देता है। जब सेवन किया जाता है, तो प्रेरणा गुरुत्वाकर्षण को रास्ता देती है, जो शीर्ष के गिरने की ओर ले जाती है। इन विचारों के आधार पर, बेनेडेटी ने दिखाया कि कोई भी पूर्ण प्राकृतिक गति नहीं हो सकती है (और यह केवल शाश्वत और एकसमान गोलाकार गति है)।

पिछले अध्याय को पढ़कर और आत्मसात करके हमने जिस छोटे से शिखर पर विजय प्राप्त की, वह हमें शीर्षक में दिए गए प्रश्न का उत्तर देने की अनुमति देता है।

कुछ शीर्ष की कल्पना करें, उदाहरण के लिए, पुस्तक की शुरुआत में क्या वर्णन किया गया है - एक पतली पीतल की डिस्क (गियर) जो पतली स्टील की धुरी पर लगाई गई है। शीर्ष का यह संस्करण चित्र 4 में दिखाया गया है।

ड्राइंग की जटिलता से डरो मत, यह स्पष्ट है। आखिरकार, कॉम्प्लेक्स को अच्छी तरह से समझा नहीं गया है। कुछ प्रयास और ध्यान - और सब कुछ सरल और स्पष्ट हो जाएगा।

चित्र 4.

आइए एक आयताकार समन्वय प्रणाली लें xzऔर इसके केंद्र को शेल्फ के द्रव्यमान के केंद्र में, यानी CM बिंदु पर रखें। अक्ष जेडशीर्ष के अपने स्वयं के तेजी से घूमने की धुरी से होकर गुजरता है, फिर कुल्हाड़ियों xzडिस्क के तल के समानांतर होगा और इसके अंदर स्थित होगा। हम सहमत हैं कि कुल्हाड़ियों xzअपने स्वयं के तीव्र घूर्णन को छोड़कर, शीर्ष के सभी आंदोलनों में भाग लें।

ऊपरी दाएं कोने में (चित्र 4, बी) हम समान समन्वय प्रणाली का चित्रण करेंगे xz. हमें भविष्य में वैक्टर की "भाषा" में बात करने की आवश्यकता होगी।

सबसे पहले, हम शीर्ष को स्पिन नहीं करेंगे, और हम इसे संदर्भ विमान पर अक्ष के निचले सिरे के साथ रखने का प्रयास करेंगे, उदाहरण के लिए, तालिका की सतह पर। परिणाम हमारी उम्मीदों को धोखा नहीं देगा: शीर्ष निश्चित रूप से इसके पक्ष में होगा। ऐसा क्यों हो रहा है? शीर्ष के द्रव्यमान का केंद्र (बिंदु .) से। मी) इसके आधार के ऊपर स्थित है (अंक हे) भार बल जीशीर्ष, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, सीएम बिंदु पर लागू होता है। इसलिए, अक्ष का कोई छोटा विचलन जेडऊर्ध्वाधर बी से ऊपर बल के कंधे की उपस्थिति का कारण होगा जीआधार के बारे में हे, वह है, पल की उपस्थिति एम, जो अपनी क्रिया की दिशा में, यानी अक्ष के चारों ओर शीर्ष पर दस्तक देगा एक्स।

अब हम शीर्ष को z-अक्ष के चारों ओर एक उच्च कोणीय वेग तक घुमाते हैं। पहले की तरह, शीर्ष के z-अक्ष को एक छोटे कोण से लंबवत B से विचलित होने दें, अर्थात। उसी क्षण M कताई शीर्ष पर कार्य करता है। अब क्या बदल गया है? जैसा कि हम बाद में देखेंगे, बहुत कुछ बदल गया है, लेकिन ये परिवर्तन इस तथ्य पर आधारित हैं कि अब हर भौतिक बिंदु मैंकोणीय वेग के साथ डिस्क के घूमने के कारण डिस्क में पहले से ही एक रैखिक वेग V है।

आइए डिस्क में एक बिंदु का चयन करें, उदाहरण के लिए बिंदु A, जिसका द्रव्यमान m A है और डिस्क के मध्य तल में रोटेशन की धुरी से r दूरी पर स्थित है (r डिस्क की त्रिज्या है)। एक क्रांति में इसके आंदोलन की विशेषताओं पर विचार करें।

तो में प्रारंभिक क्षणबिंदु A, डिस्क के अन्य सभी बिंदुओं की तरह, एक रैखिक वेग है, जिसका वेक्टर V A डिस्क के तल में स्थित है। एक पल एम शीर्ष (और इसकी डिस्क) पर कार्य करता है, जो शीर्ष को उलटने की कोशिश करता है, जिससे डिस्क रैखिक वेग के बिंदु मिलते हैं, जिनमें से वेक्टर डिस्क के विमान के लंबवत होते हैं।

क्षण M की क्रिया के तहत, बिंदु A गति W A प्राप्त करना शुरू कर देता है। जड़त्व के नियम के कारण, किसी भौतिक बिंदु की गति किसी भी तरह से तुरंत नहीं बढ़ सकती है। इसलिए, प्रारंभिक स्थिति में (बिंदु ए वाई अक्ष पर है), इसकी गति डब्ल्यू ए \u003d 0, और डिस्क के एक चौथाई मोड़ के बाद ही (जब बिंदु ए, घूर्णन, पहले से ही धुरी पर होगा) एक्स) इसकी गति W A बढ़ जाती है और अधिकतम हो जाती है। इसका मतलब यह है कि पल एम की कार्रवाई के तहत, घूर्णन शीर्ष धुरी के चारों ओर घूमता है पर, अक्ष के आसपास नहीं एक्स(जैसा कि अनस्पून स्पिनिंग टॉप के साथ था)। इस घटना में, कताई शीर्ष के रहस्य के समाधान की शुरुआत।

पल एम की क्रिया के तहत शीर्ष के घूर्णन को पूर्वसर्ग कहा जाता है, और घूर्णन के कोणीय वेग को पूर्ववर्ती गति कहा जाता है, हम इसे एसपी द्वारा निरूपित करते हैं। पूर्ववर्ती, शीर्ष y अक्ष के चारों ओर घूमना शुरू कर दिया।

यह आंदोलन उच्च कोणीय वेग के साथ शीर्ष के अपने (सापेक्ष) घूर्णन के संबंध में पोर्टेबल है।

पोर्टेबल आंदोलन के परिणामस्वरूप, सामग्री बिंदु ए के सापेक्ष रैखिक वेग वी ए का वेक्टर, जो पहले ही अपनी प्रारंभिक स्थिति में लौट आया है, पोर्टेबल रोटेशन की दिशा में बदल जाएगा।

इस प्रकार, रिश्तेदार पर पोर्टेबल गति के प्रभाव की एक परिचित तस्वीर पहले से ही है, प्रभाव जो कोरिओलिस त्वरण को जन्म देता है।

बिंदु ए के कोरिओलिस त्वरण वेक्टर की दिशा (पिछले अध्याय में दिए गए नियम के अनुसार), हम बिंदु ए के सापेक्ष वेग वेक्टर वी ए को 90 डिग्री से पोर्टेबल (पूर्ववर्ती) रोटेशन की दिशा में पाते हैं। ऊपर। बिंदु A का कोरिओलिस त्वरण, द्रव्यमान mA होने पर, एक जड़त्वीय बल FK उत्पन्न करता है, जो त्वरण वेक्टर a के विपरीत निर्देशित होता है और डिस्क के भौतिक बिंदुओं पर लागू होता है जो बिंदु A के संपर्क में होते हैं।

इस तरह से तर्क करते हुए, कोई भी डिस्क के किसी अन्य भौतिक बिंदु के लिए कोरिओलिस त्वरण के वैक्टर और जड़ता के बल की दिशा प्राप्त कर सकता है।

आइए बिंदु A पर वापस जाएं। कंधे पर जड़ता F K का बल आरएक्स-अक्ष के चारों ओर शीर्ष पर अभिनय करते हुए एक पल एम जीए बनाता है। जड़ता के कोरिओलिस बल द्वारा उत्पन्न इस क्षण को जाइरोस्कोपिक कहा जाता है।

इसका मान सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है:

एम जीए = आरएफ के \u003d एम ए आर 2 शच पी \u003d मैंए डब्ल्यू डब्ल्यू डब्ल्यू

मूल्य मैंए = एम ए आर 2, जो बिंदु के द्रव्यमान और घूर्णन के अक्ष से इसकी दूरी पर निर्भर करता है, बिंदु की जड़ता का अक्षीय क्षण कहलाता है। किसी बिंदु का जड़त्व आघूर्ण घूर्णी गति में उसकी जड़ता का माप है। जड़ता के क्षण की अवधारणा को एल। यूलर द्वारा यांत्रिकी में पेश किया गया था।

जड़ता के क्षण न केवल अलग-अलग बिंदुओं के पास होते हैं, बल्कि पूरे शरीर में भी होते हैं, क्योंकि उनमें अलग-अलग भौतिक बिंदु होते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, हम शीर्ष डिस्क द्वारा बनाए गए जाइरोस्कोपिक क्षण M G के लिए एक सूत्र तैयार करेंगे। ऐसा करने के लिए, पिछले सूत्र में, हम बिंदु की जड़ता के क्षण को प्रतिस्थापित करते हैं मैं A डिस्क की जड़ता के क्षण में मैंडी, और हम कोणीय वेग डब्ल्यू और डब्ल्यू पी को समान छोड़ दें, क्योंकि डिस्क के सभी बिंदु (कुल्हाड़ियों एचयू पर क्रमशः झूठ के अपवाद के साथ) समान कोणीय वेग डब्ल्यू और डब्ल्यू पी के साथ घूमते हैं।

नहीं। ज़ुकोवस्की "रूसी विमानन के पिता", जिन्होंने शीर्ष और जाइरोस्कोप के यांत्रिकी का भी अध्ययन किया, ने जाइरोस्कोपिक क्षण की दिशा निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित सरल नियम तैयार किया (चित्र 4, बी): जाइरोस्कोपिक क्षण कोणीय गति वेक्टर को संयोजित करने के लिए जाता है ट्रांसलेशनल रोटेशन के कोणीय वेग वेक्टर के साथ एच सबसे छोटा रास्ता है।

किसी विशेष मामले में, ट्रांसलेशनल रोटेशन की गति पूर्वता की गति है।

व्यवहार में, वे पूर्वसर्ग की दिशा निर्धारित करने के लिए एक समान नियम का भी उपयोग करते हैं: पूर्वसर्ग गतिज क्षण एच के वेक्टर को भौतिक बलों एम के क्षण के वेक्टर के साथ सबसे छोटे पथ के साथ जोड़ता है।

ये सरल नियम जाइरोस्कोपिक परिघटनाओं को रेखांकित करते हैं, और हम इनका व्यापक उपयोग निम्नलिखित में करेंगे।

लेकिन वापस भेड़िये के पास। यह क्यों नहीं गिरता है, एक्स-अक्ष के चारों ओर मुड़ना, स्पष्ट है - जाइरोस्कोपिक क्षण इसे रोकता है। लेकिन हो सकता है कि यह पूर्वता के परिणामस्वरूप y-अक्ष के चारों ओर घूमते हुए गिर जाए? भी नहीं! तथ्य यह है कि, पूर्ववर्ती होने पर, शीर्ष y-अक्ष के चारों ओर घूमना शुरू कर देता है, जिसका अर्थ है कि भार G का बल उसी अक्ष के चारों ओर शीर्ष पर अभिनय करते हुए एक क्षण बनाना शुरू कर देता है। यह चित्र हम पहले से ही परिचित है; हमने इससे एक घूर्णन शीर्ष के व्यवहार पर विचार करना शुरू किया। इसलिए, इस मामले में भी, एक जुलूस और एक जाइरोस्कोपिक क्षण उत्पन्न होगा, जो लंबे समय तक शीर्ष को y अक्ष के चारों ओर झुकाव की अनुमति नहीं देगा, लेकिन शीर्ष की गति को दूसरे विमान में स्थानांतरित कर देगा, और जिसमें इसकी घटना को फिर दोहराया जाएगा।

इस प्रकार, जब तक शीर्ष के स्वयं के घूर्णन W का कोणीय वेग बड़ा है, गुरुत्वाकर्षण का क्षण पूर्वता और जाइरोस्कोपिक क्षण का कारण बनता है, जो शीर्ष को किसी एक दिशा में गिरने से रोकता है। यह अक्ष की स्थिरता की व्याख्या करता है आरशीर्ष रोटेशन। कुछ सरलीकरणों की अनुमति देते हुए, हम मान सकते हैं कि शीर्ष की धुरी का अंत, बिंदु K वृत्त के चारों ओर घूमता है, और स्वयं घूर्णन की धुरी जेडएक बिंदु पर शिखर के साथ अंतरिक्ष शंक्वाकार सतहों का वर्णन करता है हे.

एक कताई शीर्ष एक शरीर के आंदोलन का एक उदाहरण है जिसमें एक निश्चित बिंदु होता है (शीर्ष के लिए, यह बिंदु ओ है)। इस तरह के एक शरीर की गति की प्रकृति की समस्या ने विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विकास में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई, कई उत्कृष्ट वैज्ञानिकों ने अपने कार्यों को इसके समाधान के लिए समर्पित किया।

तो, विशाल मतीफ, अपने करतब को पूरा करने के लिए, रस्सी को केवल 24 पाउंड के बल से खींचने के लिए पर्याप्त था!

ऐसा मत सोचो कि 24 पाउंड का यह आंकड़ा केवल सैद्धांतिक है और वास्तव में इसके लिए और अधिक प्रयास की आवश्यकता होगी। इसके विपरीत, हमें एक परिणाम मिला जो और भी महत्वपूर्ण है: साथ भांगरस्सी और लकड़ी काढेर प्रयास हास्यास्पद रूप से नगण्य की आवश्यकता है। यदि केवल रस्सी काफी मजबूत होती और तनाव का सामना कर सकती थी, तो एक बच्चा भी, यूलर के सूत्र के लिए धन्यवाद, रस्सी को 3-4 बार घुमाकर, न केवल जूल्स वर्ने विशाल के करतब को दोहरा सकता था, बल्कि इसे पार भी कर सकता था।

गांठों की ताकत क्या निर्धारित करती है?

रोजमर्रा की जिंदगी में, हम अक्सर उन लाभों का लाभ उठाते हैं जो यूलर का सूत्र हमें बताता है। उदाहरण के लिए, कोई गाँठ क्या है, यदि रोलर पर सुतली का घाव नहीं है, तो इस मामले में उसी सुतली के दूसरे भाग द्वारा किस भूमिका निभाई जाती है? किसी भी प्रकार की गांठों की ताकत - साधारण, "गज़ेबो", "समुद्री", - किसी भी प्रकार के संबंध, धनुष, आदि पूरी तरह से घर्षण पर निर्भर करते हैं, जो इस तथ्य के कारण कई बार बढ़ जाता है कि फीता अपने आप में लपेटता है , कुरसी के चारों ओर एक रस्सी की तरह। यह सत्यापित करना मुश्किल नहीं है कि क्या आप गाँठ में फीता के मोड़ का पालन करते हैं। जितना अधिक ये झुकते हैं, उतनी ही बार सुतली अपने चारों ओर लपेटती है - यूलर के सूत्र में "घुमावदार कोण" जितना अधिक होता है, और इसलिए, गाँठ उतनी ही मजबूत होती है।

एक बटन पर सिलाई करते समय अनजाने में यूलर के सूत्र और दर्जी का उपयोग करता है। वह सिलाई द्वारा पकड़े गए कपड़े के हिस्से के चारों ओर धागे को कई बार घुमाता है और फिर धागे को तोड़ देता है। सिलाई की ताकत के लिए, वह शांत हो सकता है: यदि केवल धागा मजबूत है, तो बटन बंद नहीं होगा। यहां पहले से ही परिचित नियम लागू होता है: अंकगणितीय प्रगति में धागे के क्रांतियों की संख्या में वृद्धि के साथ, सिलाई की ताकत तेजी से बढ़ जाती है।

यदि घर्षण नहीं होता, तो हम दो तार नहीं बांध सकते थे या फावड़ियों को नहीं बांध सकते थे; हम बटनों का भी उपयोग नहीं कर सकते थे: धागे उनके वजन के नीचे खुल जाते थे, और हमारा सूट बिना एक बटन के रह जाता था।

अध्याय तीन

घूर्णी आंदोलन। अभिकेन्द्रीय बल

कताई शीर्ष क्यों नहीं गिरता है?

यह कहना कोई अतिशयोक्ति नहीं है कि बचपन में कताई टॉप खेलने वाले एक हजार लोगों में से शायद ही कोई इस सवाल का सही जवाब दे सके। वास्तव में, क्या यह अजीब नहीं है कि एक कताई शीर्ष, लंबवत या यहां तक ​​​​कि तिरछे रखा गया, सभी अपेक्षाओं के विपरीत, टिप नहीं करता है? कौन सी ताकत उसे इतनी अस्थिर स्थिति में रखती है? क्या इस छोटी सी वस्तु पर गुरुत्वाकर्षण कार्य नहीं कर रहा है?

बेशक, कताई शीर्ष के लिए प्रकृति के नियमों में कोई अपवाद नहीं है। यहां बलों की केवल एक अत्यंत जिज्ञासु बातचीत है।

चावल। 22. चोटी क्यों नहीं गिरती?

अंजीर पर। 22 एक शीर्ष को काले तीरों की दिशा में घूमते हुए दिखाता है। भाग पर ध्यान दें लेकिनशीर्ष से आगे और भाग पर परहै, जो इसका घोर विरोध करती है। भाग लेकिनदाएं से बाएं जाने की प्रवृत्ति होती है, गिरती नहीं है? अंश पर- बाएं से दाएं। अब देखें कि जब आप शीर्ष की धुरी को अपने से दूर धकेलते हैं तो इन भागों को क्या गति मिलती है। इस तरह के एक धक्का के साथ आप भाग को मजबूर करते हैं लेकिनभाग ऊपर ले जाएँ पर- नीचे, यानी दोनों भागों को अपने स्वयं के आंदोलन के लिए समकोण पर एक धक्का मिलता है। लेकिन चूंकि, तेजी से घूमने वाले शीर्ष के साथ, डिस्क के कुछ हिस्सों की प्रारंभिक गति बहुत अधिक है, यह काफी समझ में आता है कि शीर्ष, जैसा कि यह था, इसे उलटने के प्रयास का विरोध करता है। शीर्ष जितना अधिक विशाल और तेज़ी से घूमता है, उतना ही हठपूर्वक यह ऊपर की ओर झुकता है।

तो, हम पहले से ही जानते हैं कि कौन सा कारण शीर्ष को पलटने से रोकता है, इस तथ्य के बावजूद कि यह अस्थिर स्थिति में प्रतीत होता है। यह हमारे लिए सर्वविदित है जड़ता - पदार्थ की मुख्य संपत्ति, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि कोई भी भौतिक कण अपनी गति की दिशा को अपरिवर्तित रखता है। हम यहां शीर्ष की उन सभी गतियों पर विचार नहीं करेंगे जो उस पर बाहरी बल के कार्य करने पर उत्पन्न होती हैं। इसके लिए बहुत विस्तृत स्पष्टीकरण की आवश्यकता होगी, जो शायद अधिकांश पाठकों को उबाऊ लगे। हम केवल किसी भी घूमने वाले पिंड की मुख्य इच्छा का कारण बताना चाहते थे - रोटेशन की धुरी की दिशा को अपरिवर्तित रखने के लिए। यह संपत्ति कई घटनाओं की व्याख्या करती है जिनका सामना हम रोजमर्रा की जिंदगी में करते हैं। सबसे कुशल साइकिल चालक अपने स्टील के घोड़े पर एक मिनट के लिए भी नहीं बैठा होता अगर तेजी से घूमने वाले पहिये अपनी कुल्हाड़ियों को क्षैतिज रखने का प्रयास नहीं करते: आखिरकार, पहिए एक ही सबसे ऊपर हैं, केवल उनकी कुल्हाड़ियाँ खड़ी नहीं हैं, बल्कि क्षैतिज हैं। और इसीलिए धीरे-धीरे बाइक चलाना इतना कठिन है: पहिए अब ऊपर की ओर नहीं घूम रहे हैं। एक बच्चा अपने घेरा को घुमाते हुए अनजाने में घूमने वाले पिंडों की समान संपत्ति का उपयोग करता है: जबकि घेरा तेजी से घूमता है, वह गिरता नहीं है। डायबोलो गेम पूरी तरह से एक ही सिद्धांत पर आधारित है: पहले, एक स्ट्रिंग की मदद से, हम डायबोलो के डबल कोन को तेजी से घूर्णी गति में लाते हैं और फिर इसे ऊपर फेंक देते हैं; लेकिन, ऊपर उड़ना और फिर नीचे गिरना, घूर्णन डायबोलो रोटेशन की धुरी की क्षैतिजता को बनाए रखना बंद नहीं करता है - यही कारण है कि इसे एक लंबी स्ट्रिंग पर पकड़ना, इसे फिर से फेंकना, इसे फिर से पकड़ना, आदि करना इतना आसान है। यदि डायबोलो नहीं घूमता, तो सबसे कुशल बाजीगर के लिए भी यह सब असंभव होता।

चावल। 23. डायबोलो को केवल इसलिए पकड़ना आसान है क्योंकि यह टेकऑफ़ और फॉल के दौरान घूमना बंद नहीं करता है।

बाजीगरों की कला

बाजीगरों की बात करें: उनके विविध कार्यक्रमों के लगभग सभी सबसे आश्चर्यजनक "संख्याएं" फिर से रोटेशन की धुरी की दिशा बनाए रखने के लिए पिंडों को घुमाने की इच्छा पर आधारित हैं। मैं यहां एक आधुनिक अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी प्रो. जॉन पेरी का स्पिनिंग टॉप:

"मैंने एक बार लंदन में विक्टोरिया कॉन्सर्ट हॉल के शानदार परिसर में कॉफी पीने और तंबाकू धूम्रपान करने वाले दर्शकों के सामने अपने कुछ प्रयोग दिखाए। मैंने जितना हो सके अपने श्रोताओं को दिलचस्पी लेने की कोशिश की, और इस तथ्य के बारे में बात की कि अगर एक सपाट अंगूठी को फेंकना है तो उसे घुमाया जाना चाहिए ताकि यह पहले से संकेत दिया जा सके कि यह कहां गिरेगा; वे उसी तरह से कार्य करते हैं यदि वे किसी को टोपी फेंकना चाहते हैं ताकि वह इस वस्तु को छड़ी से पकड़ सके। आप हमेशा उस प्रतिरोध पर भरोसा कर सकते हैं जो एक घूर्णन पिंड अपनी धुरी की दिशा बदलने पर करता है। मैंने अपने श्रोताओं को समझाया कि एक बार तोप के थूथन को सुचारू रूप से पॉलिश करने के बाद, कोई भी दृष्टि की सटीकता पर भरोसा नहीं कर सकता है; कि एक साधारण तोप का गोला किस प्रकार प्रवेश करता है, यह मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करता है कि तोप का गोला उस समय तोप के उद्घाटन को कैसे छूता है जब वह उसमें से उड़ता है; नतीजतन, अब राइफल वाले थूथन बनाए जाते हैं, यानी, सर्पिल खांचे को तोपों के थूथन के अंदर काट दिया जाता है, जिसमें कोर या प्रक्षेप्य के प्रोट्रूशियंस गिर जाते हैं, ताकि बाद वाले को घूर्णी गति प्राप्त हो जब विस्फोट का बल बारूद इसे बंदूक के थूथन के साथ ले जाता है। इसके लिए धन्यवाद, प्रक्षेप्य एक सटीक परिभाषित घूर्णी गति के साथ तोप को छोड़ देता है, जिसके बारे में कोई संदेह नहीं हो सकता है। चावल। 26 उस प्रकार की गति को इंगित करता है जो प्रक्षेप्य तब बनाता है: टोपी या अंगूठी की तरह, इसकी रोटेशन की धुरी लगभग अपने समानांतर रहती है।