कई मुद्दों का समाधान, विशेष रूप से एक ही दिशा के कई दोलनों को जोड़ना (या, वही क्या है, कई हार्मोनिक कार्यों का जोड़), बहुत सुविधा प्रदान करता है और स्पष्ट हो जाता है यदि दोलनों को सदिशों के रूप में चित्रित किया जाता है एक विमान। इस प्रकार प्राप्त योजना को सदिश आरेख कहते हैं।

अक्ष को लीजिए, जिसे हम अक्षर x से व्यक्त करते हैं (चित्र 55.1)। अक्ष पर लिए गए बिंदु O से, हम लंबाई a का एक सदिश बनाते हैं, जो अक्ष के साथ एक कोण बनाते हैं।

यदि हम इस वेक्टर को कोणीय वेग के साथ घूर्णन में लाते हैं, तो वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण x-अक्ष के साथ -a से +a तक की सीमा में आगे बढ़ेगा, और इस प्रक्षेपण का समन्वय समय के अनुसार बदल जाएगा कानून

नतीजतन, अक्ष पर वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण वेक्टर की लंबाई के बराबर आयाम के साथ एक हार्मोनिक दोलन करेगा, वेक्टर के रोटेशन के कोणीय वेग के बराबर एक परिपत्र आवृत्ति के साथ, और प्रारंभिक चरण के बराबर समय के प्रारंभिक क्षण में अक्ष के साथ वेक्टर द्वारा बनाए गए कोण तक।

जो कहा गया है, उससे यह इस प्रकार है कि एक हार्मोनिक दोलन को एक वेक्टर का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जिसकी लंबाई दोलन के आयाम के बराबर है, और वेक्टर की दिशा एक्स-अक्ष के साथ एक कोण बनाती है जो प्रारंभिक चरण के बराबर है। दोलन

एक ही दिशा और एक ही आवृत्ति के दो हार्मोनिक दोलनों को जोड़ने पर विचार करें। दोलन करने वाले पिंड का विस्थापन x, विस्थापनों का योग होगा, जिसे इस प्रकार लिखा जाएगा:

आइए वैक्टर की मदद से दोनों उतार-चढ़ाव का प्रतिनिधित्व करते हैं (अंजीर। 55.2)। आइए हम सदिश योग के नियमों के अनुसार परिणामी सदिश a की रचना करें।

यह देखना आसान है कि एक्स-अक्ष पर इस वेक्टर का प्रक्षेपण वैक्टर की शर्तों के अनुमानों के योग के बराबर है:

इसलिए, वेक्टर a परिणामी दोलन का प्रतिनिधित्व करता है। यह वेक्टर वैक्टर के समान कोणीय वेग के साथ घूमता है ताकि परिणामी गति आवृत्ति आयाम a और प्रारंभिक चरण a के साथ एक हार्मोनिक दोलन हो। निर्माण से स्पष्ट है कि

तो, वैक्टर के माध्यम से हार्मोनिक दोलनों का प्रतिनिधित्व वैक्टर जोड़ने के संचालन के लिए कई दोलनों के योग को कम करना संभव बनाता है। यह तकनीक विशेष रूप से उपयोगी है, उदाहरण के लिए, प्रकाशिकी में, जहां एक निश्चित बिंदु पर प्रकाश कंपन को तरंग मोर्चे के विभिन्न वर्गों से दिए गए बिंदु पर आने वाले कई कंपनों के सुपरपोजिशन के परिणाम के रूप में परिभाषित किया जाता है।

सूत्र (55.2) और (55.3) निश्चित रूप से, व्यंजकों (55.1) को जोड़कर और संबंधित त्रिकोणमितीय परिवर्तनों को निष्पादित करके प्राप्त किए जा सकते हैं। लेकिन इन सूत्रों को प्राप्त करने के लिए हमने जिस तरह से उपयोग किया है वह अधिक सरल और स्पष्ट है।

आइए हम आयाम के लिए व्यंजक (55.2) का विश्लेषण करें। यदि दोनों दोलनों का चरण अंतर शून्य के बराबर है, तो परिणामी दोलन का आयाम a और के योग के बराबर है। यदि चरण अंतर बराबर है या , यानी, दोनों दोलन एंटीफेज में हैं, तो परिणामी दोलन का आयाम बराबर है

यदि दोलन आवृत्तियाँ समान नहीं हैं, तो सदिश a और भिन्न गति से घूमेंगे। इस मामले में, परिणामी वेक्टर a परिमाण में स्पंदित होता है और एक गैर-स्थिर दर पर घूमता है। नतीजतन, इस मामले में परिणामी गति एक हार्मोनिक दोलन नहीं होगी, बल्कि कुछ जटिल दोलन प्रक्रिया होगी।

एक ही दिशा के कई दोलनों का जोड़ (या, जो समान है, कई हार्मोनिक कार्यों का जोड़) बहुत सुविधा प्रदान करता है और स्पष्ट हो जाता है यदि दोलनों को एक विमान पर वैक्टर के रूप में रेखांकन के रूप में चित्रित किया जाता है।

आइए अक्ष लेते हैं, जिसे हम "x" से निरूपित करेंगे। अक्ष पर लिए गए बिंदु O से, दोलनों के प्रारंभिक चरण के बराबर कोण पर, हम लंबाई वेक्टर A (चित्र। 8.3) को प्लॉट करते हैं। हम सदिश A को x अक्ष पर प्रक्षेपित करते हैं, हमें x 0 =A . प्राप्त होता है क्योंकि a संतुलन की स्थिति से दोलन बिंदु का प्रारंभिक विस्थापन है। हम इस वेक्टर को कोणीय वेग w 0 के साथ वामावर्त घुमाते हैं। किसी भी समय इस वेक्टर की स्थिति को इसके बराबर कोणों द्वारा दर्शाया जाएगा:

डब्ल्यू 0 टी 1 +ए; डब्ल्यू 0 टी 2 +ए; डब्ल्यू 0 टी 3 +ए; आदि।

और इस वेक्टर का प्रक्षेपण x-अक्ष के साथ -A से +A की सीमा में चलेगा। इसके अलावा, इस प्रक्षेपण का समन्वय समय के साथ कानून के अनुसार बदल जाएगा:

.

इसलिए, कुछ मनमानी अक्ष पर वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण वेक्टर की लंबाई के बराबर आयाम के साथ एक हार्मोनिक दोलन करेगा, वेक्टर के रोटेशन के कोणीय वेग के बराबर एक गोलाकार आवृत्ति और के बराबर प्रारंभिक चरण समय के प्रारंभिक क्षण में अक्ष के साथ वेक्टर द्वारा गठित कोण।

तो, एक वेक्टर का उपयोग करके एक हार्मोनिक दोलन निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिसकी लंबाई दोलन के आयाम के बराबर है, और वेक्टर की दिशा दोलन के प्रारंभिक चरण के बराबर "x" अक्ष के साथ एक कोण बनाती है।

एक ही दिशा और एक ही आवृत्ति के दो हार्मोनिक दोलनों को जोड़ने पर विचार करें। दोलनशील पिंड "x" का विस्थापन, विस्थापन x 1 और x 2 का योग होगा, जिसे इस प्रकार लिखा जाएगा:

आइए वैक्टर की मदद से दोनों उतार-चढ़ाव का प्रतिनिधित्व करते हैं और (चित्र। 8.4) वैक्टर के जोड़ के नियमों के अनुसार, हम परिणामी वेक्टर का निर्माण करते हैं। एक्स अक्ष पर इस वेक्टर का प्रक्षेपण वैक्टर की शर्तों के अनुमानों के योग के बराबर होगा: x=x 1 +x 2 । इसलिए, वेक्टर परिणामी दोलन का प्रतिनिधित्व करता है। यह वेक्टर वैक्टर के समान कोणीय वेग w 0 के साथ घूमता है और, ताकि परिणामी गति आवृत्ति w 0, आयाम "a" और प्रारंभिक चरण a के साथ एक हार्मोनिक दोलन c हो। यह निर्माण से इस प्रकार है कि

तो, वैक्टर के माध्यम से हार्मोनिक दोलनों का प्रतिनिधित्व वैक्टर जोड़ने के संचालन के लिए कई दोलनों के योग को कम करना संभव बनाता है। त्रिकोणमितीय परिवर्तनों के उपयोग की तुलना में यह विधि अधिक सरल और स्पष्ट है।

आइए हम आयाम के लिए व्यंजक का विश्लेषण करें। यदि दोनों दोलनों का चरण अंतर 2 - a 1 = 0 है, तो परिणामी दोलन का आयाम योग के बराबर है ( एक 2 + एकएक)। यदि चरण अंतर 2 - a 1 = +p या -p, अर्थात। दोलन एंटीफेज में हैं, तो परिणामी दोलन का आयाम है।

यदि दोलन आवृत्तियों x 1 और x 2 समान नहीं हैं, तो सदिश और भिन्न गति से घूमेंगे। इस मामले में, परिणामी वेक्टर परिमाण में स्पंदित होता है और एक गैर-स्थिर दर पर घूमता है। इसलिए, इस मामले में परिणामी गति होगी नहींसिर्फ एक हार्मोनिक दोलन, लेकिन कुछ जटिल दोलन प्रक्रिया।

आइए एक अक्ष चुनें। इस अक्ष पर लिए गए बिंदु O से, हम लंबाई सदिश को अलग रखते हैं, जो अक्ष के साथ एक कोण बनाता है। यदि हम इस वेक्टर को कोणीय वेग के साथ घूर्णन में लाते हैं, तो अक्ष पर वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण कानून के अनुसार समय के साथ बदल जाएगा . इसलिए, अक्ष पर वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण वेक्टर की लंबाई के बराबर आयाम के साथ हार्मोनिक दोलन करेगा; घूर्णन के कोणीय वेग के बराबर एक गोलाकार आवृत्ति के साथ, और प्रारंभिक चरण के साथ वेक्टर द्वारा अक्ष के साथ गठित कोण के बराबर एक्सप्रारंभिक समय में।

सदिश आरेख सदिशों के ज्यामितीय योग में दोलनों के योग को कम करना संभव बनाता है। एक ही दिशा और एक ही आवृत्ति के दो हार्मोनिक दोलनों को जोड़ने पर विचार करें, जिनके निम्नलिखित रूप हैं:

आइए दोनों उतार-चढ़ावों को सदिशों और (अंजीर। 7.5) की सहायता से निरूपित करें। आइए वेक्टर जोड़ नियम के अनुसार परिणामी वेक्टर का निर्माण करें। यह देखना आसान है कि इस वेक्टर का अक्ष पर प्रक्षेपण वैक्टर की शर्तों के अनुमानों के योग के बराबर है। इसलिए, वेक्टर परिणामी दोलन का प्रतिनिधित्व करता है। यह वेक्टर वैक्टर के समान कोणीय वेग के साथ घूमता है, जिससे परिणामी गति आवृत्ति, आयाम और प्रारंभिक चरण के साथ एक हार्मोनिक दोलन होगा। कोसाइन के नियम के अनुसार, परिणामी दोलन के आयाम का वर्ग बराबर होगा

तो, वैक्टर के माध्यम से हार्मोनिक दोलनों का प्रतिनिधित्व वैक्टर जोड़ने के संचालन के लिए कई दोलनों के योग को कम करना संभव बनाता है। सूत्र (7.3) और (7.4) बेशक, के लिए और विश्लेषणात्मक रूप से भाव जोड़कर प्राप्त किए जा सकते हैं, लेकिन वेक्टर आरेख विधि अधिक सरल और स्पष्ट है।

भिगोना दोलन

किसी भी वास्तविक ऑसिलेटरी सिस्टम में प्रतिरोध बल होते हैं, जिसके प्रभाव से सिस्टम की ऊर्जा में कमी आती है। यदि बाहरी बलों के काम से ऊर्जा की हानि की भरपाई नहीं की जाती है, तो दोलनों का क्षय हो जाएगा। सबसे सरल और एक ही समय में सबसे आम, मामला, ड्रैग फोर्स गति के समानुपाती होता है:

,

कहाँ पे आरएक स्थिर मान है जिसे ड्रैग गुणांक कहा जाता है। माइनस साइन इस तथ्य के कारण है कि बल और गति की विपरीत दिशाएँ होती हैं; इसलिए अक्ष पर उनके प्रक्षेपण एक्सअलग-अलग संकेत हैं। प्रतिरोध बलों की उपस्थिति में न्यूटन के दूसरे नियम के समीकरण का रूप है:

.

संकेतन का उपयोग करते हुए, हम गति के समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखते हैं:

.

यह समीकरण वर्णन करता है लुप्त होतीसिस्टम दोलन। गुणांक को अवमंदन कारक कहा जाता है।

कम अवमंदन गुणांक पर अवमंद दोलनों का प्रायोगिक ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 7.6. अंजीर से। 7.6 यह देखा जा सकता है कि निर्भरता ग्राफ किसी फलन से गुणा कोज्या जैसा दिखता है, जो समय के साथ घटता जाता है। इस फ़ंक्शन को आकृति में धराशायी रेखाओं द्वारा दर्शाया गया है। इस तरह से व्यवहार करने वाला एक साधारण कार्य घातीय कार्य है। इसलिए, समाधान को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

,

नम दोलनों की आवृत्ति कहाँ है।

मूल्य एक्ससमय-समय पर शून्य से गुजरता है और अधिकतम और न्यूनतम अनंत बार तक पहुंचता है। शून्य से होकर गुजरने वाले दो क्रमागत परिच्छेदों के बीच का समय अंतराल है। इसका दुगना मान कहलाता है दोलन की अवधि.

आवर्त फलन के सामने गुणक कहलाता है नम दोलनों का आयाम. यह समय के साथ तेजी से घटती जाती है। क्षय दर मूल्य द्वारा निर्धारित की जाती है। वह समय जिसके बाद दोलनों का आयाम एक कारक से कम हो जाता है, क्षय समय कहलाता है। इस समय के दौरान, सिस्टम दोलन करता है। यह दोलनों की भिगोना को चिह्नित करने के लिए प्रथागत है लघुगणक भिगोना कमी।लॉगरिदमिक डंपिंग कमी अधिकतम या न्यूनतम के माध्यम से एक दोलन मूल्य के क्रमिक मार्ग के क्षणों में आयामों के अनुपात का लघुगणक है:

.

यह अनुपात से दोलनों की संख्या से संबंधित है:

मान कहा जाता है थरथरानवाला प्रणाली का गुणवत्ता कारक. गुणवत्ता कारक अधिक होता है, एक कारक द्वारा आयाम कम होने से पहले सिस्टम के पास दोलनों की संख्या जितनी अधिक होती है, उतनी ही अधिक होती है।

स्थिरांक और, जैसा कि हार्मोनिक दोलनों के मामले में, प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित किया जा सकता है।

जबरन कंपन

किसी बाहरी आवर्त बल के प्रभाव में होने वाले दोलनों को जबरन कहा जाता है। बाहरी बल सकारात्मक कार्य करता है और ऑसिलेटरी सिस्टम को ऊर्जा का प्रवाह प्रदान करता है। यह प्रतिरोध बलों की कार्रवाई के बावजूद दोलनों को फीका नहीं होने देता।

एक आवर्त बाह्य बल विभिन्न नियमों के अनुसार समय में भिन्न हो सकता है। विशेष रुचि का मामला तब होता है जब एक बाहरी बल, आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलता है, एक निश्चित आवृत्ति पर प्राकृतिक दोलन करने में सक्षम एक थरथरानवाला प्रणाली पर कार्य करता है 0 । उदाहरण के लिए, यदि आप एक वसंत पर एक आवृत्ति के साथ निलंबित भार को खींचते हैं, तो यह बाहरी बल की आवृत्ति के साथ हार्मोनिक दोलन करेगा, भले ही यह आवृत्ति वसंत की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल न खाए।

एक आवर्त बाह्य बल निकाय पर कार्य करने दें। इस मामले में, ऐसी प्रणाली की गति का वर्णन करने वाले निम्नलिखित समीकरण प्राप्त कर सकते हैं:

,

(7.5)

कहाँ पे । मजबूर दोलनों के साथ, दोलनों का आयाम, और, परिणामस्वरूप, थरथरानवाला प्रणाली को प्रेषित ऊर्जा, आवृत्तियों के बीच के अनुपात पर और साथ ही भिगोना गुणांक पर निर्भर करती है।

दोलन प्रणाली पर बाहरी बल के प्रभाव की शुरुआत के बाद, मजबूर दोलनों को स्थापित करने के लिए कुछ समय ωt की आवश्यकता होती है। प्रारंभिक क्षण में, दोनों प्रक्रियाएं ऑसिलेटरी सिस्टम में उत्तेजित होती हैं - आवृत्ति पर मजबूर दोलन और प्राकृतिक आवृत्ति 0 पर मुक्त दोलन। लेकिन घर्षण बलों की अपरिहार्य उपस्थिति के कारण मुक्त कंपन कम हो जाते हैं। इसलिए, कुछ समय के बाद, बाहरी ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर केवल स्थिर दोलन ही ऑसिलेटरी सिस्टम में रहते हैं। दोलन प्रणाली में मुक्त दोलनों के क्षय समय के परिमाण के क्रम में बसने का समय बराबर है। वसंत पर भार के स्थिर मजबूर दोलन हार्मोनिक कानून के अनुसार बाहरी प्रभाव की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ होते हैं। यह दिखाया जा सकता है कि स्थिर अवस्था में समीकरण (7.6) का हल इस प्रकार लिखा जाता है:

,

,
.

इस प्रकार, मजबूर दोलन ड्राइविंग बल की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ हार्मोनिक दोलन हैं। मजबूर दोलनों का आयाम ड्राइविंग बल के आयाम के समानुपाती होता है। किसी दिए गए ऑसिलेटरी सिस्टम के लिए (अर्थात, और के कुछ मूल्यों के साथ एक प्रणाली), आयाम ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर निर्भर करता है। मजबूर कंपन ड्राइविंग बल के साथ चरण से बाहर हैं। चरण बदलाव ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर निर्भर करता है।

गूंज

ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता इस तथ्य की ओर ले जाती है कि किसी दिए गए सिस्टम के लिए निर्धारित एक निश्चित आवृत्ति पर, दोलन आयाम अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाता है। इस आवृत्ति पर ड्राइविंग बल की कार्रवाई के लिए ऑसिलेटरी सिस्टम विशेष रूप से उत्तरदायी है। इस घटना को कहा जाता है गूंज, और संगत आवृत्ति है गुंजयमान आवृत्ति।ग्राफिक रूप से, ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर मजबूर दोलनों के आयाम x मीटर की निर्भरता को एक गुंजयमान वक्र (चित्र। 7.9) द्वारा वर्णित किया गया है।

हम आवृत्ति के आधार पर मजबूर दोलनों के आयाम के व्यवहार की जांच करते हैं। ड्राइविंग बल के आयाम को अपरिवर्तित छोड़कर, हम इसकी आवृत्ति को बदल देंगे। हम कब पाएंगे स्थिर विक्षेपणएक निरंतर बल की कार्रवाई के तहत:

जैसे-जैसे आवृत्ति बढ़ती है, विस्थापन का आयाम भी पहले बढ़ता है, फिर अधिकतम से गुजरता है, और अंत में स्पर्शोन्मुख रूप से शून्य हो जाता है। अंजीर से। 7.9 यह भी दर्शाता है कि छोटा, उच्च और दाईं ओर इस वक्र का अधिकतम भाग है। इसके अलावा, आवृत्ति के साथ अनुनाद के निकट आयाम जितना छोटा होता है, उतना ही तेज होता है।

प्रतिध्वनि की घटना पुलों, इमारतों और अन्य संरचनाओं के विनाश का कारण बन सकती है, यदि उनके दोलनों की प्राकृतिक आवृत्तियाँ समय-समय पर अभिनय करने वाले बाहरी बल की आवृत्ति के साथ मेल खाती हैं। मशीनों और विभिन्न प्रकार की संरचनाओं को डिजाइन करते समय अनुनाद की घटना को ध्यान में रखा जाना चाहिए। किसी भी मामले में इन उपकरणों की प्राकृतिक आवृत्ति संभावित बाहरी प्रभावों की आवृत्ति के करीब नहीं होनी चाहिए।

उदाहरण

जनवरी 1905 में सेंट पीटर्सबर्ग में मिस्र का पुल ढह गया। इसके दोषी 9 राहगीर, 2 कैब ड्राइवर और पीटरहॉफ हॉर्स गार्ड्स रेजिमेंट के तीसरे स्क्वाड्रन थे। निम्नलिखित हुआ। सभी सैनिक लयबद्ध रूप से पुल के उस पार चले गए। इससे पुल हिलने लगा - दोलन करने लगा। संयोग से, पुल की प्राकृतिक आवृत्ति सैनिकों की कदम आवृत्ति के साथ मेल खाती थी। गठन के लयबद्ध कदम ने ऊर्जा के अधिक से अधिक भागों के पुल को सूचित किया। प्रतिध्वनि के परिणामस्वरूप, पुल इतना हिल गया कि वह ढह गया। यदि सैनिकों की चरण आवृत्ति के साथ पुल की प्राकृतिक आवृत्ति की प्रतिध्वनि नहीं होती, तो पुल को कुछ नहीं होता। इसलिए, कमजोर पुलों पर सैनिकों को गुजरते समय, "पैर को नीचे गिराने" की आज्ञा देने की प्रथा है।

ऐसा कहा जाता है कि महान टेनर एनरिको कारुसो अपनी आवाज के शीर्ष पर उचित पिच का एक नोट गाकर कांच के गिलास को चकनाचूर कर सकते थे। इस मामले में, ध्वनि कांच की दीवारों के मजबूर कंपन का कारण बनती है। अनुनाद पर, दीवारों के कंपन इतने आयाम तक पहुंच सकते हैं कि कांच टूट जाता है।

प्रयोग करना

किसी तार वाले संगीत वाद्ययंत्र पर जाएं और जोर से "ए" चिल्लाएं: एक तार जवाब देगा - यह बज जाएगा। जो इस ध्वनि की आवृत्ति के साथ प्रतिध्वनित होता है, वह अन्य तारों की तुलना में अधिक दृढ़ता से कंपन करेगा - यह ध्वनि का जवाब देगा।

एक पतली रस्सी को क्षैतिज रूप से खींचे। इसमें धागे और प्लास्टिसिन का एक पेंडुलम संलग्न करें। रस्सी पर एक और समान पेंडुलम फेंको, लेकिन एक लंबे धागे के साथ। धागे के मुक्त सिरे को हाथ से खींचकर इस लोलक के निलंबन की लंबाई को बदला जा सकता है। इस लोलक को दोलन गति में लाओ। इस मामले में, पहला पेंडुलम भी दोलन करना शुरू कर देगा, लेकिन एक छोटे आयाम के साथ। दूसरे लोलक के दोलनों को रोके बिना, उसके निलंबन की लंबाई को धीरे-धीरे कम करें - पहले लोलक के दोलनों का आयाम बढ़ जाएगा। इस प्रयोग में, यांत्रिक कंपनों की प्रतिध्वनि को दर्शाते हुए, पहला पेंडुलम दूसरे पेंडुलम द्वारा उत्तेजित कंपन का रिसीवर है। पहले पेंडुलम को दोलन करने के लिए मजबूर करने का कारण दूसरे पेंडुलम के दोलनों की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ रस्सी का आवधिक कंपन है। पहले पेंडुलम के मजबूर दोलनों का अधिकतम आयाम तभी होगा जब इसकी प्राकृतिक आवृत्ति दूसरे पेंडुलम की दोलन आवृत्ति के साथ मेल खाती है।

ऑटो दोलन

मानव हाथों की असंख्य और विविध रचनाएँ हैं, जिनमें आत्म-दोलन उत्पन्न होते हैं और उनका उपयोग किया जाता है। सबसे पहले, ये विभिन्न संगीत वाद्ययंत्र हैं। पहले से ही प्राचीन काल में - सींग और सींग, पाइप, सीटी, आदिम बांसुरी। बाद में - वायलिन, जिसमें ध्वनि को उत्तेजित करने के लिए धनुष और स्ट्रिंग के बीच घर्षण बल का उपयोग किया जाता है; विभिन्न पवन उपकरण; सामंजस्य जिसमें हवा की एक निरंतर धारा के प्रभाव में कंपन धातु के नरकट द्वारा ध्वनि उत्पन्न होती है; वे अंग जिनकी नलियों से हवा के स्तम्भ प्रतिध्वनित होते हैं, संकीर्ण झिल्लियों के माध्यम से निकलते हैं।

चावल। 7.12

यह सर्वविदित है कि फिसलने वाले घर्षण का बल व्यावहारिक रूप से गति से स्वतंत्र होता है। हालांकि, यह गति पर घर्षण बल की बहुत कमजोर निर्भरता के कारण है कि वायलिन स्ट्रिंग लगता है। रस्सी पर धनुष के घर्षण बल की निर्भरता का गुणात्मक दृश्य अंजीर में दिखाया गया है। 7.12. स्थैतिक घर्षण बल के कारण, रस्सी को धनुष द्वारा पकड़ लिया जाता है और संतुलन की स्थिति से विस्थापित कर दिया जाता है। जब लोचदार बल घर्षण बल से अधिक हो जाता है, तो स्ट्रिंग धनुष से अलग हो जाएगी और बढ़ती गति के साथ संतुलन की स्थिति की ओर बढ़ जाएगी। गतिमान धनुष के सापेक्ष डोरी की गति बढ़ेगी, घर्षण बल बढ़ेगा और एक निश्चित क्षण में यह डोरी को पकड़ने के लिए पर्याप्त हो जाएगा। फिर प्रक्रिया फिर से दोहराई जाएगी। इस प्रकार, एक निरंतर गति से चलने वाला धनुष स्ट्रिंग के बिना कंपन का कारण बनेगा।

झुके हुए तार वाले यंत्रों में, धनुष और डोरी के बीच काम करने वाले घर्षण बल द्वारा आत्म-दोलन बनाए रखा जाता है, और वायु यंत्रों में, वायु जेट को उड़ाने से उपकरण के पाइप में वायु स्तंभ के स्व-दोलन होते हैं।

अलग-अलग समय के सौ से अधिक ग्रीक और लैटिन दस्तावेजों में प्रसिद्ध "मेमन कोलोसस" के गायन का उल्लेख है - फिरौन में से एक की राजसी लगने वाली मूर्ति, जिसने XIV सदी ईसा पूर्व में शासन किया था, मिस्र के शहर लक्सर के पास स्थापित किया गया था। प्रतिमा की ऊंचाई लगभग 20 मीटर है, द्रव्यमान एक हजार टन तक पहुंचता है। कोलोसस के निचले हिस्से में, उनके पीछे स्थित जटिल आकार के कक्षों के साथ कई दरारें और छेद पाए गए थे। मेमन का कोलोसस एक विशाल अंग है जो प्राकृतिक वायु धाराओं के प्रभाव में लगता है। मूर्ति मानव आवाज की नकल करती है।

कुछ हद तक विदेशी प्रकृति के प्राकृतिक आत्म-दोलन रेत गा रहे हैं। जहाँ तक 14वीं शताब्दी की बात है, महान यात्री मार्को पोलो ने एशिया में रहस्यमयी झील लोप नोर के "ध्वनि वाले तटों" का उल्लेख किया था। छह शताब्दियों के लिए, सभी महाद्वीपों पर विभिन्न स्थानों पर गायन रेत की खोज की गई है। स्थानीय आबादी में, वे ज्यादातर मामलों में डर पैदा करते हैं, किंवदंतियों और किंवदंतियों का विषय हैं। जैक लंदन उपन्यास "हार्ट्स ऑफ थ्री" के पात्रों की गायन रेत के साथ बैठक का वर्णन करता है, जो प्राचीन माया के खजाने की तलाश में एक गाइड के साथ गया था।

"जब देवता हंसते हैं, सावधान रहें!" बूढ़े आदमी को चेतावनी से चिल्लाया। उसने अपनी उँगली से बालू में एक घेरा बनाया, और जैसे ही वह खींचा, बालू गरजता और चिल्लाने लगा; तब बूढ़ा घुटने टेका, बालू गरजता और ललकारता रहा।

कजाकिस्तान में इली नदी के पास गायन रेत और यहां तक ​​​​कि एक पूरा गायन रेतीला पहाड़ है। एक विशाल प्राकृतिक अंग माउंट कालकान लगभग 300 मीटर ऊपर उठा। लोग इसे अलग तरह से कहते हैं: "गाते हुए टीले", "गाते हुए पहाड़"। यह हल्के रंग की रेत से बना है और, बड़े और छोटे कल्कन के Dzungarian Alatau के अंधेरे स्पर्स की पृष्ठभूमि के खिलाफ, रंग विपरीतता के कारण एक असाधारण दृश्य है। हवा में और यहां तक ​​कि जब कोई व्यक्ति उससे उतरता है, तो पहाड़ मधुर आवाज करता है। बारिश के बाद और शांति के दौरान पहाड़ पर सन्नाटा पसरा रहता है। पर्यटक सिंगिंग ड्यून की यात्रा करना पसंद करते हैं और इसकी तीन चोटियों में से एक पर चढ़कर, इली और ज़ैलिस्की अलाताउ रिज के खुले पैनोरमा की प्रशंसा करते हैं। यदि पहाड़ खामोश है, तो अधीर आगंतुक "इसे गाते हैं"। ऐसा करने के लिए, आपको पहाड़ की ढलान को जल्दी से नीचे चलाने की जरूरत है, आपके पैरों के नीचे से रेतीली धाराएं चलेंगी, और टीले की गहराई से एक भनभनाहट उठेगी।

गायन रेत की खोज के बाद से कई शताब्दियां बीत चुकी हैं, और इस अद्भुत घटना के लिए एक संतोषजनक स्पष्टीकरण की पेशकश नहीं की गई है। हाल के वर्षों में, अंग्रेजी ध्वनिकी, साथ ही सोवियत वैज्ञानिक वी.आई. अरबादज़ी। अरबादजी ने सुझाव दिया कि रेत की ध्वनि-उत्सर्जक ऊपरी परत निचली, सख्त परत पर किसी प्रकार के निरंतर गड़बड़ी के तहत चलती है, जिसमें एक लहरदार सतह प्रोफ़ाइल होती है। परतों के परस्पर विस्थापन के दौरान घर्षण बल के कारण ध्वनि उत्तेजित होती है।

जबरन कंपन अप्रकाशित कंपन हैं। मजबूर दोलनों के दौरान घर्षण के कारण होने वाली ऊर्जा की अपरिहार्य हानि की भरपाई एक समय-समय पर अभिनय करने वाले बाहरी स्रोत से ऊर्जा की आपूर्ति द्वारा की जाती है। ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें अप्रकाशित दोलन आवधिक बाहरी प्रभावों के कारण नहीं होते हैं, बल्कि एक स्थिर स्रोत से ऊर्जा के प्रवाह को विनियमित करने के लिए ऐसी प्रणालियों की क्षमता के परिणामस्वरूप उत्पन्न होते हैं। ऐसी प्रणालियों को स्व-दोलन कहा जाता है, और ऐसी प्रणालियों में अप्रकाशित दोलनों की प्रक्रिया को स्व-दोलन कहा जाता है। . योजनाबद्ध रूप से, एक स्व-ऑसिलेटिंग सिस्टम को एक ऊर्जा स्रोत, एक नम थरथरानवाला, और ऑसिलेटिंग सिस्टम और स्रोत के बीच एक फीडबैक डिवाइस के रूप में दर्शाया जा सकता है (चित्र। 7.10)।

एक दोलन प्रणाली के रूप में, किसी भी यांत्रिक प्रणाली का उपयोग किया जा सकता है जो अपने स्वयं के भीगने वाले दोलनों को करने में सक्षम है (उदाहरण के लिए, एक दीवार घड़ी का एक पेंडुलम) का उपयोग किया जा सकता है। ऊर्जा स्रोत एक विकृत वसंत या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में भार हो सकता है। फीडबैक डिवाइस एक ऐसा तंत्र है जिसके द्वारा सेल्फ-ऑसिलेटरी सिस्टम स्रोत से ऊर्जा के प्रवाह को नियंत्रित करता है।

एक यांत्रिक स्व-ऑसिलेटिंग सिस्टम का एक उदाहरण एंकर स्ट्रोक के साथ एक घड़ी की कल है (चित्र। 7.11)। एंकर स्ट्रोक वाली घड़ी में, तिरछे दांतों के साथ चलने वाले पहिये को गियर ड्रम से सख्ती से जोड़ा जाता है, जिसके माध्यम से वजन वाली एक श्रृंखला फेंकी जाती है। पेंडुलम के ऊपरी छोर पर, पेंडुलम की धुरी पर केंद्रित एक वृत्त के चाप के साथ मुड़ी हुई कठोर सामग्री की दो प्लेटों के साथ एक लंगर तय किया गया है। कलाई घड़ी में, वजन को एक स्प्रिंग से बदल दिया जाता है, और पेंडुलम को एक बैलेंसर से बदल दिया जाता है, जिसे एक सर्पिल स्प्रिंग में बांधा जाता है। बैलेंसर अपनी धुरी के चारों ओर मरोड़ कंपन करता है। घड़ी में दोलन प्रणाली एक पेंडुलम या बैलेंसर है, ऊर्जा का स्रोत ऊपर उठा हुआ भार या घाव का स्प्रिंग है। फीडबैक डिवाइस एक एंकर है जो रनिंग व्हील को एक आधे चक्र में एक दांत को चालू करने की अनुमति देता है। चलने वाले पहिये के साथ एंकर की बातचीत द्वारा प्रतिक्रिया प्रदान की जाती है। पेंडुलम के प्रत्येक दोलन के साथ, यात्रा पहिया दांत लंगर कांटा को पेंडुलम आंदोलन की दिशा में धकेलता है, इसे ऊर्जा के एक निश्चित हिस्से में स्थानांतरित करता है, जो घर्षण के कारण ऊर्जा के नुकसान की भरपाई करता है। इस प्रकार, वजन (या मुड़ वसंत) की संभावित ऊर्जा धीरे-धीरे, अलग-अलग हिस्सों में, पेंडुलम में स्थानांतरित हो जाती है।

रोजमर्रा की जिंदगी में, हम शायद खुद पर ध्यान दिए बिना, आवधिक ताकतों के कारण होने वाले दोलनों की तुलना में अधिक बार आत्म-दोलनों का सामना करते हैं। स्व-दोलन हमें प्रकृति और प्रौद्योगिकी में हर जगह घेरते हैं: भाप इंजन, आंतरिक दहन इंजन, बिजली की घंटियाँ, घड़ियाँ, एक बजने वाला वायलिन स्ट्रिंग या अंग पाइप, एक धड़कता हुआ दिल, बात करते या गाते समय मुखर तार - ये सभी प्रणालियाँ आत्म-दोलन करती हैं।

अनुभव करो!

चावल। 7.13

दोलन गति का अध्ययन आमतौर पर किसी प्रकार के पेंडुलम के व्यवहार पर विचार करके किया जाता है: वसंत, गणितीय या भौतिक। ये सभी ठोस हैं। आप एक ऐसा उपकरण बना सकते हैं जो तरल या गैसीय पिंडों के कंपन को प्रदर्शित करता हो। ऐसा करने के लिए, पानी की घड़ी के डिजाइन के पीछे के विचार का उपयोग करें। ढाई लीटर प्लास्टिक की बोतलों को उसी तरह से जोड़ा जाता है जैसे पानी की घड़ी में ढक्कन लगाकर। बोतलों की गुहाएं 15 सेंटीमीटर लंबी कांच की ट्यूब से जुड़ी होती हैं, जिसका भीतरी व्यास 4-5 मिलीमीटर होता है। बोतलों की साइड की दीवारें चिकनी और गैर-कठोर होनी चाहिए, निचोड़ने पर आसानी से कुचल दी जानी चाहिए (चित्र 7.13 देखें)।

दोलन शुरू करने के लिए ऊपर पानी की एक बोतल रखी जाती है। इससे पानी तुरंत ट्यूब के माध्यम से निचली बोतल में बहने लगता है। लगभग एक सेकंड के बाद, जेट अनायास बहना बंद कर देता है और निचली बोतल से ऊपरी बोतल तक हवा के एक हिस्से के आने वाले आंदोलन के लिए ट्यूब में एक मार्ग का रास्ता देता है। कनेक्टिंग ट्यूब के माध्यम से पानी और हवा के आने वाले प्रवाह के पारित होने का क्रम ऊपरी और निचली बोतलों में दबाव के अंतर से निर्धारित होता है और स्वचालित रूप से समायोजित हो जाता है।

सिस्टम में दबाव में उतार-चढ़ाव ऊपरी बोतल की साइड की दीवारों के व्यवहार से प्रकट होता है, जो समय के साथ पानी की रिहाई और हवा के प्रवेश के साथ समय-समय पर निचोड़ और विस्तार करता है। क्यों कि

लहरों का निर्माण

कंपन कैसे फैलता है? क्या कंपन के संचरण के लिए एक माध्यम आवश्यक है या क्या वे इसके बिना प्रसारित हो सकते हैं? ध्वनि ट्यूनिंग कांटे से ध्वनि श्रोता तक कैसे पहुँचती है? रेडियो ट्रांसमीटर के एंटीना में तेजी से प्रत्यावर्ती धारा किस प्रकार रिसीवर के एंटीना में प्रवाहित होती है? दूर के तारों से प्रकाश हमारी आँखों तक कैसे पहुंचता है? इस तरह की घटनाओं पर विचार करने के लिए, एक नई भौतिक अवधारणा - एक लहर पेश करना आवश्यक है। तरंग प्रक्रियाएँ अपनी भिन्न प्रकृति के बावजूद, घटनाओं के एक सामान्य वर्ग का प्रतिनिधित्व करती हैं।

लहरों के स्रोत, चाहे वे समुद्र की लहरें हों, एक तार में लहरें, भूकंप की लहरें या हवा में ध्वनि तरंगें, कंपन हैं। अंतरिक्ष में दोलनों के प्रसार की प्रक्रिया को तरंग कहा जाता है। उदाहरण के लिए, ध्वनि के मामले में, दोलन गति न केवल ध्वनि स्रोत (स्ट्रिंग, ट्यूनिंग कांटा) द्वारा की जाती है, बल्कि ध्वनि रिसीवर - ईयरड्रम या माइक्रोफ़ोन झिल्ली द्वारा भी की जाती है। जिस माध्यम से तरंग का प्रसार होता है वह भी दोलन करता है।

तरंग प्रक्रिया प्रणाली के अलग-अलग हिस्सों के बीच कनेक्शन की उपस्थिति के कारण होती है, जिसके आधार पर हमारे पास एक प्रकृति या किसी अन्य की लोचदार तरंग होती है। अंतरिक्ष के किसी भी हिस्से में होने वाली प्रक्रिया प्रणाली के पड़ोसी बिंदुओं में परिवर्तन का कारण बनती है, जिससे उन्हें एक निश्चित मात्रा में ऊर्जा स्थानांतरित होती है। इन बिंदुओं से, परेशानी उनके आस-पास के लोगों तक जाती है, और इसी तरह, बिंदु से बिंदु तक फैलती है, यानी लहर पैदा करती है।

किसी भी ठोस, तरल या गैसीय पिंड के तत्वों के बीच कार्य करने वाले लोचदार बल लोचदार तरंगों की उपस्थिति की ओर ले जाते हैं। लोचदार तरंगों का एक उदाहरण एक रस्सी के साथ फैलने वाली तरंग है। यदि, हाथ को ऊपर और नीचे ले जाने से, कॉर्ड के अंत के कंपन उत्तेजित होते हैं, तो कॉर्ड के पड़ोसी खंड, कनेक्शन के लोचदार बलों की कार्रवाई के कारण भी चलना शुरू हो जाएंगे, और एक लहर होगी कॉर्ड के साथ प्रचार करें। तरंगों का एक सामान्य गुण यह है कि वे लंबी दूरी तक फैल सकती हैं, और माध्यम के कण अंतरिक्ष के सीमित क्षेत्र में ही दोलन करते हैं। माध्यम के कण जिनमें तरंग का प्रसार होता है, वे तरंग द्वारा अनुवाद गति में शामिल नहीं होते हैं, वे केवल अपने संतुलन की स्थिति के आसपास दोलन करते हैं। तरंग प्रसार की दिशा के संबंध में माध्यम के कणों के दोलन की दिशा के आधार पर, अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगों को प्रतिष्ठित किया जाता है। एक अनुदैर्ध्य तरंग में, माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं; अनुप्रस्थ में - तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत। प्रत्यास्थ अनुप्रस्थ तरंगें केवल अपरूपण प्रतिरोध वाले माध्यम में ही उत्पन्न हो सकती हैं। इसलिए, तरल और गैसीय मीडिया में केवल अनुदैर्ध्य तरंगें ही हो सकती हैं। एक ठोस माध्यम में, अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ दोनों तरंगें हो सकती हैं।

अंजीर पर। 8.1 एक अनुप्रस्थ तरंग के माध्यम में प्रसार के दौरान कणों की गति और तरंग में कणों के स्थान को चार निश्चित बिंदुओं पर समय में दर्शाता है। नंबर 1, 2, आदि। कणों को इंगित किया जाता है कि कणों द्वारा किए गए दोलनों की अवधि के एक चौथाई में तरंग द्वारा तय की गई दूरी से एक दूसरे से अलग हो जाते हैं। शून्य के रूप में लिए गए समय के समय, तरंग, अक्ष के साथ बाएं से दाएं फैलती है, कण तक पहुंचती है 1 , जिसके परिणामस्वरूप कण संतुलन की स्थिति से ऊपर की ओर बढ़ने लगा, अगले कणों को अपने साथ खींच लिया। एक चौथाई अवधि के बाद, कण 1 उच्चतम स्थिति तक पहुँचता है; उसी समय, कण संतुलन की स्थिति से आगे बढ़ना शुरू कर देता है 2 . अवधि के एक और तिमाही के बाद, पहला कण ऊपर से नीचे की दिशा में चलते हुए, संतुलन की स्थिति से गुजरेगा, दूसरा कण चरम ऊपरी स्थिति में पहुंच जाएगा, और तीसरा कण संतुलन की स्थिति से ऊपर की ओर बढ़ना शुरू कर देगा। के बराबर समय के क्षण में, पहला कण पूर्ण दोलन पूरा करेगा और उसी गति की स्थिति में होगा जैसा कि प्रारंभिक क्षण में था। तरंग समय तक कण तक पहुंच जाएगी 5 .

अंजीर पर। 8.2 एक अनुदैर्ध्य तरंग के माध्यम में प्रसार के दौरान कणों की गति को दर्शाता है। एक अनुप्रस्थ तरंग में कणों के व्यवहार से संबंधित सभी विचारों को इस मामले में ऊपर और नीचे के विस्थापन के साथ दाएं और बाएं विस्थापन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। अंजीर से। 8.2 यह देखा जा सकता है कि माध्यम में एक अनुदैर्ध्य तरंग के प्रसार के दौरान, कणों की बारी-बारी से सांद्रता और विरलन का निर्माण होता है, जो तरंग प्रसार की दिशा में की गति से आगे बढ़ते हैं।

वे पिंड जो माध्यम पर कार्य करते हैं, कंपन पैदा करते हैं, तरंग स्रोत कहलाते हैं। लोचदार तरंगों का प्रसार पदार्थ के हस्तांतरण से जुड़ा नहीं है, लेकिन तरंगें ऊर्जा को स्थानांतरित करती हैं, जो तरंग प्रक्रिया द्वारा दोलनों के स्रोत से प्रदान की जाती हैं।

बिन्दुओं का वह स्थान जहाँ पर विक्षोभ एक निश्चित समय के क्षण तक पहुँचता है, तरंग मोर्चा कहलाता है। अर्थात्, तरंग मोर्चा वह सतह है जो तरंग प्रक्रिया में पहले से शामिल अंतरिक्ष के एक हिस्से को उस क्षेत्र से अलग करती है जहां अभी तक विक्षोभ नहीं पहुंचे हैं।

समान चरणों में दोलन करने वाले बिंदुओं के स्थान को तरंग सतह कहा जाता है। तरंग प्रक्रिया द्वारा कवर किए गए स्थान में किसी भी बिंदु के माध्यम से तरंग सतह को खींचा जा सकता है। लहर की सतह किसी भी आकार की हो सकती है। सरलतम मामलों में, उनके पास एक समतल या गोले का आकार होता है। तदनुसार, इन मामलों में लहर को फ्लैट या गोलाकार कहा जाता है। एक समतल तरंग में, तरंग पृष्ठ एक दूसरे के समांतर तलों का एक समुच्चय होते हैं; एक गोलाकार तरंग में, संकेंद्रित गोले का एक समूह।

वह दूरी जिस पर एक तरंग माध्यम के कणों के दोलन की अवधि के बराबर समय में फैलती है, तरंग दैर्ध्य कहलाती है। जाहिर है, तरंग प्रसार वेग कहाँ है।

अंजीर पर। 8.3, कंप्यूटर ग्राफिक्स का उपयोग करके बनाया गया है, एक बिंदु स्रोत से पानी पर एक अनुप्रस्थ तरंग के प्रसार का एक मॉडल दिखाता है। प्रत्येक कण संतुलन की स्थिति के आसपास हार्मोनिक दोलन करता है।

चावल। 8.3. कंपन के एक बिंदु स्रोत से अनुप्रस्थ तरंग का प्रसार

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पेज बनाने की तारीख: 2016-02-16

वेक्टर आरेख। कंपन का जोड़।

दोलनों के सिद्धांत में कई समस्याओं का समाधान बहुत आसान हो जाता है और अधिक स्पष्ट हो जाता है यदि दोलनों को विधि का उपयोग करके रेखीय रूप से चित्रित किया जाता है वेक्टर आरेख।चलो कुछ धुरी चुनें एक्स. एक बिंदु से 0 अक्ष पर हम लंबाई सदिश आलेखित करते हैं, जो पहले अक्ष के साथ एक कोण बनाता है (चित्र 2.14.1)। यदि हम इस वेक्टर को कोणीय वेग के साथ घूर्णन में लाते हैं, तो वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण अक्ष पर होता है एक्सकानून के अनुसार समय के साथ बदल जाएगा

.

इसलिए, अक्ष पर वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण वेक्टर की लंबाई के बराबर आयाम के साथ एक हार्मोनिक दोलन करेगा, वेक्टर के रोटेशन के कोणीय वेग के बराबर एक परिपत्र आवृत्ति के साथ, और प्रारंभिक चरण के बराबर उस कोण तक जो वेक्टर समय के प्रारंभिक क्षण में अक्ष के साथ बनता है। किसी निश्चित समय पर अक्ष के साथ सदिश द्वारा बनाया गया कोण उस क्षण में दोलन के चरण को निर्धारित करता है - .

जो कहा गया है, उससे यह इस प्रकार है कि एक हार्मोनिक दोलन को एक वेक्टर का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है, जिसकी लंबाई दोलन के आयाम के बराबर होती है, और इसकी दिशा दोलन के चरण के बराबर एक निश्चित अक्ष के साथ एक कोण बनाती है। यह वेक्टर आरेखों की विधि का सार है।

एक ही दिशा के दोलनों का जोड़।

दो हार्मोनिक दोलनों को जोड़ने पर विचार करें, जिनकी दिशाएँ समानांतर हैं:

. (2.14.1)

परिणामी ऑफसेट एक्सऔर का योग होगा। यह आयाम के साथ एक दोलन होगा।

आइए सदिश आरेखों की विधि का उपयोग करें (चित्र 2.14.2)। आकृति में, और क्रमशः परिणामी और जोड़े गए दोलनों के चरण हैं। यह देखना आसान है कि वैक्टर और . हालाँकि, यदि जोड़े गए दोलनों की आवृत्तियाँ भिन्न होती हैं, तो परिणामी आयाम समय के साथ परिमाण में बदल जाता है और वेक्टर एक गैर-स्थिर गति से घूमता है, अर्थात। दोलन हार्मोनिक नहीं होगा, लेकिन कुछ जटिल दोलन प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करेगा। परिणामी दोलन के हार्मोनिक होने के लिए, जोड़े गए दोलनों की आवृत्तियाँ समान होनी चाहिए

और परिणामी दोलन उसी आवृत्ति पर होता है

.

निर्माण से स्पष्ट है कि

आइए हम परिणामी दोलन के आयाम के लिए व्यंजक (2.14.2) का विश्लेषण करें। यदि एक जोड़े गए दोलनों का चरण अंतर शून्य के बराबर है(दोलन चरण में हैं), आयाम जोड़े गए दोलनों के आयामों के योग के बराबर है, अर्थात। अधिकतम संभव मूल्य है . यदि एक चरण अंतर है(दोलन एंटीफेज में हैं), तब परिणामी आयाम आयाम अंतर के बराबर है, अर्थात। सबसे छोटा संभव मूल्य है .

परस्पर लंबवत कंपनों का जोड़।

कण को ​​एक ही आवृत्ति के साथ दो हार्मोनिक दोलन करने दें: एक दिशा के साथ, जिसे हम निरूपित करते हैं एक्स, दूसरा लंबवत दिशा में है आप. इस मामले में, कण कुछ के साथ आगे बढ़ेगा, सामान्य स्थिति में, एक वक्रतापूर्ण प्रक्षेपवक्र, जिसका आकार दोलनों के चरण अंतर पर निर्भर करता है।

हम समय संदर्भ की उत्पत्ति चुनते हैं ताकि एक दोलन का प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर हो:

. (2.14.3)

कण प्रक्षेपवक्र समीकरण प्राप्त करने के लिए, (2.14.3) से बाहर करना आवश्यक है टी. पहले समीकरण से, ए। साधन, . आइए दूसरे समीकरण को फिर से लिखें

या

.

समीकरण के दाईं ओर से पहले पद को बाईं ओर स्थानांतरित करना, परिणामी समीकरण का वर्ग करना और परिवर्तन करना, हम प्राप्त करते हैं

. (2.14.4)

यह समीकरण एक दीर्घवृत्त का समीकरण है जिसकी कुल्हाड़ियों को अक्षों के सापेक्ष घुमाया जाता है एक्सतथा आपकिसी कोण पर। लेकिन कुछ विशेष मामलों में सरल परिणाम प्राप्त होते हैं।

1. चरण अंतर शून्य है। तब (2.14.4) से हमें प्राप्त होता है

या । (2.14.5)

यह एक सरल रेखा का समीकरण है (चित्र 2.14.3)। इस प्रकार, कण इस सीधी रेखा के साथ आवृत्ति और आयाम के बराबर दोलन करता है।

एक वेक्टर आरेख एक वेक्टर के रूप में एक दोलन गति को ग्राफिक रूप से परिभाषित करने का एक तरीका है।

एक दोलनशील मान (किसी भी भौतिक प्रकृति का) क्षैतिज अक्ष के अनुदिश आलेखित किया जाता है। बिंदु 0 से प्लॉट किया गया वेक्टर दोलन आयाम ए के निरपेक्ष मान के बराबर है और एक कोण α पर निर्देशित है, जो दोलन के प्रारंभिक चरण के बराबर है, अक्ष के लिए। यदि हम इस सदिश को दोलनों की चक्रीय आवृत्ति के बराबर कोणीय वेग के साथ घूर्णन में लाते हैं, तो इस सदिश का अक्ष पर प्रक्षेपण समय में एक मनमाना क्षण पर दोलन मात्रा का मान देता है।

समान आवृत्ति और समान दिशा के दोलनों का योग

दो कंपन होने दें: हम वेक्टर आरेख बनाते हैं और वैक्टर जोड़ते हैं:

कोसाइन के नियम के अनुसार

इसलिये फिर

यह स्पष्ट है (आरेख देखें) कि परिणामी दोलन का प्रारंभिक चरण संबंध द्वारा निर्धारित किया जाता है:

निकट आवृत्तियों के दोलनों का जोड़

पी इस प्रकार, लगभग समान आवृत्तियों वाले दो दोलन जोड़े जाते हैं, अर्थात।

त्रिकोणमिति से:

हमारे मामले पर लागू होने पर, हम प्राप्त करते हैं:

परिणामी दोलन का ग्राफ एक बीट ग्राफ है, अर्थात। आवृत्ति के लगभग हार्मोनिक दोलन, जिसका आयाम आवृत्ति के साथ धीरे-धीरे बदलता है।

आयाम मापांक के संकेत की उपस्थिति के कारण (आयाम हमेशा> 0) होता है, जिस आवृत्ति के साथ आयाम बदलता है वह Δω / 2 के बराबर नहीं होता है, लेकिन दो बार उच्च - होता है।

परस्पर लंबवत दोलनों का जोड़

एक छोटे से शरीर को समान कठोरता के परस्पर लंबवत स्प्रिंग्स पर दोलन करने दें। यह शरीर किस पथ पर गति करेगा?

ये पैरामीट्रिक रूप में प्रक्षेपवक्र समीकरण हैं। x और y निर्देशांक के बीच एक स्पष्ट संबंध प्राप्त करने के लिए, पैरामीटर t को समीकरणों से बाहर रखा जाना चाहिए।

पहले समीकरण से: ,

दूसरे से

प्रतिस्थापन के बाद

आइए जड़ से छुटकारा पाएं:

एक दीर्घवृत्त का समीकरण है

एच
विशेष स्थितियां:

27. नम कंपन। मजबूर कंपन। अनुनाद।

मुक्त दोलनों का अवमंदन

प्रतिरोध के कारण, मुक्त दोलन हमेशा जल्दी या बाद में मर जाते हैं। आइए हम दोलन अवमंदन की प्रक्रिया पर विचार करें। आइए मान लें कि प्रतिरोध बल शरीर की गति के समानुपाती होता है। (आनुपातिकता कारक सुविधा के कारणों के लिए 2mg द्वारा इंगित किया गया है, जिसे बाद में प्रकट किया जाएगा)। आइए हम उस स्थिति को ध्यान में रखें जब दोलन की अवधि में इसका अवमंदन छोटा होता है। तब हम मान सकते हैं कि भिगोना आवृत्ति पर बहुत कम प्रभाव डालता है, लेकिन यह दोलनों के आयाम को प्रभावित करेगा। फिर भीगने वाले दोलनों के समीकरण का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है क्योंकि यहाँ A(t) कुछ घटते फलन का प्रतिनिधित्व करता है जिसे निर्धारित करने की आवश्यकता है। हम ऊर्जा के संरक्षण और परिवर्तन के नियम से आगे बढ़ेंगे। दोलनों की ऊर्जा में परिवर्तन, अवधि के दौरान प्रतिरोध बल के औसत कार्य के बराबर होता है, अर्थात। हम समीकरण के दोनों पक्षों को dt से विभाजित करते हैं। दाईं ओर हमारे पास dx/dt होगा, यानी। गति v, और बाईं ओर आपको समय के संबंध में ऊर्जा का व्युत्पन्न मिलता है। इसलिए, ध्यान में रखते हुए लेकिन औसत गतिज ऊर्जा कुल ऊर्जा के आधे के बराबर। अतः लिखा जा सकता है कि इसके दोनों भागों को E से भाग दें और dt से गुणा करें। हमें वह मिलता है हम परिणामी समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं: पोटेंशिएशन के बाद, हमें मिलता है एकीकरण स्थिरांक सी प्रारंभिक स्थितियों से पाया जाता है। मान लीजिए t = 0 E = E0, तो E0 = C. इसलिए, लेकिन ई ~ ए ^ 2। इसलिए, घातीय कानून के अनुसार भीगने वाले दोलनों का आयाम भी कम हो जाता है:

और इसलिए, प्रतिरोध के कारण, दोलनों का आयाम कम हो जाता है और वे आम तौर पर अंजीर में दिखाए गए अनुसार दिखते हैं। 4.2. गुणांक को क्षीणन गुणांक कहा जाता है। हालांकि, यह क्षीणन की काफी विशेषता नहीं है। आमतौर पर, दोलनों के अवमंदन को अवमंदन अवक्रमण की विशेषता होती है। उत्तरार्द्ध दिखाता है कि दोलन अवधि के बराबर समय में दोलन आयाम कितनी बार घटता है। अर्थात्, अवमंदन कारक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: अवमंदन कमी के लघुगणक को लघुगणकीय कमी कहा जाता है, यह स्पष्ट रूप से बराबर है

मजबूर कंपन

यदि ऑसिलेटरी सिस्टम एक बाहरी आवधिक बल की कार्रवाई के अधीन है, तो तथाकथित मजबूर दोलन उत्पन्न होते हैं, जिनमें एक निर्विवाद चरित्र होता है। मजबूर दोलनों को स्व-दोलनों से अलग किया जाना चाहिए। सिस्टम में स्व-दोलन के मामले में, एक विशेष तंत्र ग्रहण किया जाता है, जो समय के साथ अपने स्वयं के दोलनों के साथ, कुछ ऊर्जा जलाशय से सिस्टम में ऊर्जा के छोटे हिस्से को "वितरित" करता है। इस प्रकार, प्राकृतिक दोलनों को बनाए रखा जाता है, जो क्षय नहीं होते हैं। स्व-दोलन के मामले में, सिस्टम, जैसा कि वह था, खुद को धक्का देता है। घड़ियाँ स्व-ऑसिलेटरी सिस्टम के उदाहरण के रूप में काम कर सकती हैं। घड़ी एक शाफ़्ट तंत्र से सुसज्जित है, जिसकी सहायता से पेंडुलम अपने स्वयं के दोलनों के साथ समय में छोटे झटके (एक संकुचित वसंत से) प्राप्त करता है। मजबूर दोलनों के मामले में, सिस्टम को बाहरी बल द्वारा धक्का दिया जाता है। नीचे हम इस मामले पर ध्यान देते हैं, यह मानते हुए कि सिस्टम में प्रतिरोध छोटा है और इसे उपेक्षित किया जा सकता है। मजबूर दोलनों के एक मॉडल के रूप में, हमारा मतलब वसंत पर निलंबित एक ही शरीर से होगा, जो बाहरी आवधिक बल (उदाहरण के लिए, एक बल जिसमें विद्युत चुम्बकीय प्रकृति है) से प्रभावित होता है। प्रतिरोध को ध्यान में रखे बिना, एक्स-अक्ष पर प्रक्षेपण में ऐसे शरीर की गति के समीकरण का रूप है: जहाँ w* चक्रीय आवृत्ति है, B बाह्य बल का आयाम है। यह ज्ञात है कि उतार-चढ़ाव मौजूद हैं। इसलिए, हम साइनसॉइडल फ़ंक्शन के रूप में समीकरण के एक विशेष समाधान की तलाश करेंगे हम फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके लिए हम समय के संबंध में दो बार अंतर करते हैं . प्रतिस्थापन संबंध की ओर जाता है

तीन शर्तें पूरी होने पर समीकरण एक पहचान में बदल जाता है:। फिर और मजबूर दोलनों के समीकरण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है वे एक आवृत्ति के साथ होते हैं जो बाहरी बल की आवृत्ति के साथ मेल खाते हैं, और उनका आयाम मनमाने ढंग से सेट नहीं होता है, जैसा कि मुक्त दोलनों के मामले में होता है, लेकिन स्वयं द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह स्थापित मूल्य प्रणाली के प्राकृतिक दोलन आवृत्ति और सूत्र के अनुसार बाहरी बल की आवृत्ति के अनुपात पर निर्भर करता है

एच और अंजीर। 4.3 बाहरी बल की आवृत्ति पर मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता का एक भूखंड दिखाता है। यह देखा जा सकता है कि दोलनों का आयाम काफी बढ़ जाता है क्योंकि बाहरी बल की आवृत्ति प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति के करीब पहुंचती है। जब प्राकृतिक आवृत्ति और बाहरी बल की आवृत्ति मेल खाती है तो मजबूर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि की घटना कहलाती है गूंज.

अनुनाद पर, दोलन आयाम असीम रूप से बड़ा होना चाहिए। वास्तव में, अनुनाद पर, मजबूर दोलनों का आयाम हमेशा परिमित होता है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि प्रतिध्वनि और उसके निकट, नगण्य रूप से छोटे प्रतिरोध की हमारी धारणा गलत हो जाती है। यदि निकाय में प्रतिरोध छोटा है, तो भी यह अनुनाद में महत्वपूर्ण है। इसकी उपस्थिति अनुनाद में दोलन आयाम को एक परिमित मान बनाती है। इस प्रकार, आवृत्ति पर दोलन आयाम की निर्भरता का वास्तविक ग्राफ चित्र में दिखाया गया रूप है। 4.4. सिस्टम में जितना अधिक प्रतिरोध होगा, अनुनाद बिंदु पर अधिकतम आयाम उतना ही कम होगा।

एक नियम के रूप में, यांत्रिक प्रणालियों में प्रतिध्वनि एक अवांछनीय घटना है, और इसकी वे बचने की कोशिश करते हैं: वे यांत्रिक संरचनाओं को दोलनों और कंपनों के अधीन डिजाइन करने का प्रयास करते हैं ताकि दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति बाहरी प्रभावों की आवृत्तियों के संभावित मूल्यों से दूर हो। लेकिन कई उपकरणों में अनुनाद का उपयोग सकारात्मक घटना के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए, रेडियो संचार में विद्युत चुम्बकीय दोलनों की प्रतिध्वनि का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जी-रे की प्रतिध्वनि - सटीक उपकरणों में।

थर्मोडायनामिक प्रणाली की स्थिति। प्रक्रियाओं

थर्मोडायनामिक राज्य और थर्मोडायनामिक प्रक्रियाएं

जब, यांत्रिकी के नियमों के अलावा, थर्मोडायनामिक्स के नियमों के आवेदन की आवश्यकता होती है, तो सिस्टम को थर्मोडायनामिक सिस्टम कहा जाता है। इस अवधारणा का उपयोग करने की आवश्यकता तब उत्पन्न होती है जब सिस्टम के तत्वों की संख्या (उदाहरण के लिए, गैस के अणुओं की संख्या) बहुत बड़ी होती है, और सिस्टम की गति या इसके मैक्रोस्कोपिक की तुलना में इसके व्यक्तिगत तत्वों की गति सूक्ष्म होती है। अवयव। इस मामले में, थर्मोडायनामिक्स थर्मोडायनामिक सिस्टम के मैक्रोस्कोपिक आंदोलनों (मैक्रोस्कोपिक राज्यों में परिवर्तन) का वर्णन करता है।

थर्मोडायनामिक प्रणाली के ऐसे आंदोलन (परिवर्तन) का वर्णन करने वाले मापदंडों को आमतौर पर बाहरी और आंतरिक में विभाजित किया जाता है। यह विभाजन बहुत सशर्त है और विशिष्ट कार्य पर निर्भर करता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक लोचदार खोल वाले गुब्बारे में एक गैस में बाहरी पैरामीटर के रूप में आसपास की हवा का दबाव होता है, और एक कठोर खोल वाले बर्तन में गैस के लिए, बाहरी पैरामीटर इस खोल से घिरा मात्रा होता है। एक थर्मोडायनामिक प्रणाली में, आयतन और दबाव एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से भिन्न हो सकते हैं। उनके परिवर्तन के सैद्धांतिक विवरण के लिए, कम से कम एक और पैरामीटर - तापमान पेश करना आवश्यक है।

अधिकांश थर्मोडायनामिक समस्याओं में, थर्मोडायनामिक प्रणाली की स्थिति का वर्णन करने के लिए तीन पैरामीटर पर्याप्त हैं। इस मामले में, संबंधित थर्मोडायनामिक मापदंडों से जुड़े तीन थर्मोडायनामिक निर्देशांक का उपयोग करके सिस्टम में परिवर्तन का वर्णन किया गया है।

संतुलन अवस्था- थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति - थर्मोडायनामिक सिस्टम की ऐसी स्थिति को कहा जाता है, जिसमें कोई प्रवाह (ऊर्जा, पदार्थ, गति, आदि) नहीं होता है, और सिस्टम के मैक्रोस्कोपिक पैरामीटर स्थिर होते हैं और समय में नहीं बदलते हैं।

शास्त्रीय ऊष्मप्रवैगिकी में कहा गया है कि एक पृथक थर्मोडायनामिक सिस्टम (स्वयं के लिए छोड़ दिया गया) थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति में जाता है और, उस तक पहुंचने के बाद, इसे स्वचालित रूप से नहीं छोड़ सकता है। इस कथन को अक्सर कहा जाता है ऊष्मप्रवैगिकी का शून्य नियम.

थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति में सिस्टम में निम्नलिखित हैं: गुणमील:

यदि दो थर्मोडायनामिक सिस्टम जिनमें थर्मल संपर्क होता है, थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति में होते हैं, तो कुल थर्मोडायनामिक सिस्टम भी थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति में होता है।

यदि कोई थर्मोडायनामिक प्रणाली दो अन्य प्रणालियों के साथ थर्मोडायनामिक संतुलन में है, तो ये दोनों सिस्टम एक दूसरे के साथ थर्मोडायनामिक संतुलन में हैं।

आइए हम थर्मोडायनामिक सिस्टम पर विचार करें जो थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति में हैं। उन प्रणालियों का विवरण जो एक गैर-संतुलन अवस्था में हैं, अर्थात ऐसी स्थिति में जहां मैक्रोस्कोपिक प्रवाह होता है, गैर-संतुलन थर्मोडायनामिक्स द्वारा निपटाया जाता है। एक ऊष्मागतिक अवस्था से दूसरी अवस्था में संक्रमण कहलाता है थर्मोडायनामिक प्रक्रिया. नीचे, केवल अर्ध-स्थैतिक प्रक्रियाओं या, जो समान है, अर्ध-संतुलन प्रक्रियाओं पर विचार किया जाएगा। अर्ध-संतुलन प्रक्रिया का सीमित मामला एक असीम रूप से धीमी संतुलन प्रक्रिया है जिसमें थर्मोडायनामिक संतुलन की लगातार क्रमिक अवस्थाएँ होती हैं। वास्तव में, ऐसी प्रक्रिया नहीं हो सकती है, हालांकि, यदि सिस्टम में मैक्रोस्कोपिक परिवर्तन धीरे-धीरे होते हैं (समय अंतराल के साथ थर्मोडायनामिक संतुलन स्थापित करने के लिए समय से काफी अधिक), तो वास्तविक प्रक्रिया को अर्ध-स्थैतिक (अर्ध-स्थिर) के रूप में अनुमानित करना संभव हो जाता है। संतुलन)। यह सन्निकटन व्यावहारिक समस्याओं के एक बड़े वर्ग के लिए पर्याप्त उच्च सटीकता के साथ गणना करना संभव बनाता है। संतुलन प्रक्रिया प्रतिवर्ती है, अर्थात्, जिसमें राज्य के मापदंडों के मूल्यों की वापसी जो पिछले समय में हुई थी, थर्मोडायनामिक सिस्टम को सिस्टम के आसपास के निकायों में किसी भी बदलाव के बिना पिछली स्थिति में लाना चाहिए। .

किसी भी तकनीकी उपकरण में अर्ध-संतुलन प्रक्रियाओं का व्यावहारिक अनुप्रयोग अप्रभावी है। इस प्रकार, एक गर्मी इंजन में एक अर्ध-संतुलन प्रक्रिया का उपयोग, उदाहरण के लिए, जो व्यावहारिक रूप से स्थिर तापमान पर होता है (तीसरे अध्याय में कार्नोट चक्र का विवरण देखें), अनिवार्य रूप से इस तथ्य की ओर जाता है कि ऐसी मशीन काम करेगी बहुत धीरे-धीरे (सीमा में - असीम रूप से धीरे-धीरे) और बहुत कम शक्ति होती है। इसलिए, व्यवहार में, तकनीकी उपकरणों में अर्ध-संतुलन प्रक्रियाओं का उपयोग नहीं किया जाता है। फिर भी, चूंकि वास्तविक प्रणालियों के लिए संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी की भविष्यवाणियां ऐसी प्रणालियों के प्रयोगात्मक डेटा के साथ पर्याप्त रूप से उच्च सटीकता के साथ मेल खाती हैं, इसलिए इसका व्यापक रूप से विभिन्न तकनीकी उपकरणों में थर्मोडायनामिक प्रक्रियाओं की गणना के लिए उपयोग किया जाता है।

यदि थर्मोडायनामिक प्रक्रिया के दौरान सिस्टम अपनी मूल स्थिति में लौट आता है, तो ऐसी प्रक्रिया को वृत्ताकार या चक्रीय कहा जाता है। परिपत्र प्रक्रियाएं, साथ ही साथ किसी भी अन्य थर्मोडायनामिक प्रक्रियाएं, संतुलन (और इसलिए प्रतिवर्ती) और गैर-संतुलन (अपरिवर्तनीय) दोनों हो सकती हैं। एक प्रतिवर्ती वृत्ताकार प्रक्रिया में, थर्मोडायनामिक प्रणाली अपनी मूल स्थिति में लौटने के बाद, इसके आसपास के पिंडों में कोई थर्मोडायनामिक गड़बड़ी उत्पन्न नहीं होती है, और उनकी स्थिति संतुलन में रहती है। इस मामले में, सिस्टम के बाहरी पैरामीटर, चक्रीय प्रक्रिया के कार्यान्वयन के बाद, अपने मूल मूल्यों पर वापस आ जाते हैं। एक अपरिवर्तनीय परिपत्र प्रक्रिया में, इसके पूरा होने के बाद, आसपास के निकाय गैर-संतुलन राज्यों में चले जाते हैं और थर्मोडायनामिक सिस्टम के बाहरी पैरामीटर बदल जाते हैं।