लेख एक सीधी रेखा और एक विमान के लंबवतता की अवधारणा को प्रकट करता है, एक सीधी रेखा की परिभाषा देता है, एक विमान, ग्राफिक रूप से सचित्र और लंबवत रेखाओं और एक विमान के पदनाम को दर्शाता है। आइए हम एक समतल के साथ एक सीधी रेखा के लंबवतता का चिह्न बनाते हैं। उन स्थितियों पर विचार करें जिनके तहत एक सीधी रेखा और एक तल समतल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दिए गए समीकरणों के साथ लंबवत होंगे। सब कुछ उदाहरणों के साथ दिखाया जाएगा।

Yandex.RTB आर-ए-339285-1 परिभाषा 1

रेखा तल के लंबवत हैजब यह इस तल में पड़ी किसी भी रेखा के लंबवत हो।

यह सत्य है कि तल रेखा के लंबवत है, साथ ही रेखा से तल पर भी।

लंबवतता "⊥" द्वारा इंगित की जाती है। यदि शर्त निर्दिष्ट करती है कि रेखा c समतल पर लंबवत है, तो संकेतन c है।

उदाहरण के लिए, यदि रेखा समतल के लंबवत है, तो केवल एक रेखा खींचना संभव है, जिसके कारण कमरे की दो आसन्न दीवारें प्रतिच्छेद करेंगी। रेखा को छत के तल के लंबवत माना जाता है। जिम में स्थित रस्सी को एक सीधी रेखा खंड के रूप में माना जाता है जो विमान के लंबवत होता है, में इस मामले मेंअर्द्ध.

यदि तल पर लंबवत रेखा हो तो रेखा और तल के बीच का कोण सही माना जाता है, अर्थात 90 डिग्री के बराबर।

एक सीधी रेखा और एक तल की लंबवतता - एक संकेत और लंबवतता की शर्तें

लंबवतता का पता लगाने के लिए, एक रेखा और एक विमान की लंबवतता के लिए पर्याप्त स्थिति का उपयोग करना आवश्यक है। यह गारंटी देता है कि रेखा और विमान लंबवत हैं। इस स्थिति को पर्याप्त माना जाता है और इसे एक रेखा और एक तल की लंबवतता का संकेत कहा जाता है।

प्रमेय 1

किसी दी गई रेखा के समतल के लंबवत होने के लिए, यह पर्याप्त है कि रेखा इस तल में स्थित दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत हो।

कक्षा 10-11 की ज्यामिति पाठ्यपुस्तक में विस्तृत प्रमाण दिया गया है। प्रमेय का उपयोग उन समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है जहां एक रेखा और एक विमान की लंबवतता स्थापित करना आवश्यक होता है।

प्रमेय 2

बशर्ते कि कम से कम एक रेखा विमान के समानांतर हो, यह माना जाता है कि दूसरी रेखा भी इस विमान के लंबवत है।

एक सीधी रेखा और एक विमान के लंबवतता के संकेत को स्कूल से ही माना जाता है, जब ज्यामिति में समस्याओं को हल करना आवश्यक होता है। आइए हम एक और आवश्यक और पर्याप्त स्थिति पर अधिक विस्तार से विचार करें जिसके तहत रेखा और तल लंबवत होंगे।

प्रमेय 3

रेखा के लिए विमान के लंबवत होने के लिए, एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त लाइन ए के निर्देशन वेक्टर और विमान के सामान्य वेक्टर की संपार्श्विकता है।

प्रमाण

a → = (a x , a y , a z) रेखा a का सदिश होने के कारण n → = (n x , n y , n z) समतल γ का एक सामान्य सदिश होने के कारण लंबवतता को पूरा करने के लिए यह आवश्यक है कि रेखा a और विमान γ वैक्टर a → = (a x , a y , a z) और n → = (n x , n y , n z) की संरेखता की शर्त की पूर्ति से संबंधित है। अतः हम पाते हैं कि a → = t n → ⇔ a x = t n x a y = t n y a z = t n z , t एक वास्तविक संख्या है।

यह प्रमाण रेखा और तल की लंबवतता, रेखा के निर्देशन सदिश और समतल के सामान्य सदिश के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति पर आधारित है।

यह स्थिति एक सीधी रेखा और एक विमान की लंबवतता को साबित करने के लिए लागू होती है, क्योंकि यह सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सामान्य वेक्टर के निर्देशांक खोजने के लिए पर्याप्त है, और फिर गणना करें। इसका उपयोग उन मामलों के लिए किया जाता है जब एक सीधी रेखा को अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है, और एक समतल को किसी प्रकार के समतल के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है।

उदाहरण 1

सिद्ध कीजिए कि दी गई रेखा x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 तल x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z पर लंबवत है।

फेसला

विहित समीकरणों के हर दिए गए रेखा के दिशा सदिश के निर्देशांक हैं। अत: a → = (2 - 1 , 2 , 2 - 7) रेखा x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 का निर्देशन सदिश है।

समतल के सामान्य समीकरण में चर x, y, z के सामने के गुणांक दिए गए तल के प्रसामान्य सदिश के निर्देशांक होते हैं। यह इस प्रकार है कि n → = (1 , 2 (2 + 1), - (5 + 6 2)) तल x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z - 4 = 0 का प्रसामान्य सदिश है।

शर्त की पूर्ति की जांच करना आवश्यक है। हमें वह मिलता है

2 - 1 \u003d t 1 2 \u003d t 2 (2 + 1) 2 \u003d t (- (5 + 6 2)) t \u003d 2 - 1, फिर वैक्टर a → और n → से संबंधित हैं व्यंजक a → = ( ​​2 - 1) n → ।

यह वैक्टर की संपार्श्विकता है। यह इस प्रकार है कि रेखा x 2 - 1 \u003d y - 1 2 \u003d z + 2 2 - 7 समतल x + 2 (2 + 1) y - (5 + 6 2) z - 4 \u003d 0 के लंबवत है .

जवाब:रेखा और तल लंबवत हैं।

उदाहरण 2

निर्धारित करें कि क्या रेखा y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 और समतल x 1 2 + z - 1 2 = 1 लंबवत हैं।

फेसला

लंबवतता के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, यह आवश्यक है कि आवश्यक और पर्याप्त शर्त पूरी हो, अर्थात, पहले आपको दी गई रेखा के वेक्टर और विमान के सामान्य वेक्टर को खोजने की आवश्यकता है।

सीधी रेखा y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 से यह देखा जा सकता है कि दिशा सदिश a → समतल y-1 = 0 और x + 4 z - 2 के प्रसामान्य सदिशों का गुणनफल है। = 0।

अतः हम पाते हैं कि a → = i → j → k → 0 1 0 1 0 4 = 4 i → - k → ।

सदिश a → = (4 , 0 , - 1) के निर्देशांक।

खंड x 1 2 + z - 1 2 = 1 में समतल का समीकरण समतल 2 x - 2 z - 1 = 0 के समीकरण के तुल्य है, जिसका प्रसामान्य सदिश n → = (2 , 0 , - 2)।

आपको सदिशों a → = (4 , 0 , - 1) और n → = (2 , 0 , - 2) की संरेखता की जांच करनी चाहिए।

ऐसा करने के लिए, हम लिखते हैं:

4 = टी 2 0 = टी 0 - 1 = टी (- 2) टी = 2 टी आर ⇔ टी ∈ ∅ टी = 1 2

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सीधी रेखा का निर्देशन सदिश समतल के अभिलंब सदिश के साथ संरेख नहीं है। अतः y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 एक सीधी रेखा है जो तल x 1 2 + z - 1 2 के लंबवत नहीं है।

जवाब:रेखा और तल लंबवत नहीं हैं।

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"एक रेखा और एक विमान की लंबवतता" विषय पर कक्षा 10 में ज्यामिति में एक पाठ की रूपरेखा

पाठ मकसद:

शिक्षात्मक

एक सीधी रेखा और एक तल के लंबवतता के चिन्ह का परिचय;

एक सीधी रेखा और एक तल के लम्बवत्ता, उनके गुणों के बारे में विद्यार्थियों के विचार बनाना;

विषय पर विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए छात्रों की क्षमता बनाने के लिए, बयानों को साबित करने की क्षमता;

विकसित होना

स्वतंत्रता, संज्ञानात्मक गतिविधि विकसित करना;

विश्लेषण करने, निष्कर्ष निकालने, प्राप्त जानकारी को व्यवस्थित करने की क्षमता विकसित करना,

तार्किक सोच विकसित करना;

स्थानिक कल्पना विकसित करें।

शिक्षात्मक

छात्रों के भाषण की संस्कृति की शिक्षा, दृढ़ता;

छात्रों में विषय के प्रति रुचि पैदा करना।

पाठ प्रकार:अध्ययन का पाठ और ज्ञान का प्राथमिक समेकन।

छात्र कार्य के रूप:सामने मतदान।

उपकरण:कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, स्क्रीन।

साहित्य:"ज्यामिति 10-11", पाठ्यपुस्तक। अतानासियन एल.एस. और आदि।

(2009, 255पी।)

शिक्षण योजना:

संगठनात्मक क्षण (1 मिनट);

ज्ञान अद्यतन करना (5 मिनट);

नई सामग्री सीखना (15 मिनट);

अध्ययन की गई सामग्री का प्राथमिक समेकन (20 मिनट);

संक्षेप (2 मिनट);

होमवर्क (2 मिनट)।

कक्षाओं के दौरान।

संगठनात्मक क्षण (1 मिनट)

छात्रों का अभिवादन। पाठ के लिए छात्रों की तत्परता की जाँच करना: नोटबुक, पाठ्यपुस्तकों की उपलब्धता की जाँच करना। अनुपस्थिति की जाँच करना।

ज्ञान अद्यतन (5 मिनट)

शिक्षक। किस रेखा को तल के लंबवत् कहा जाता है?

विद्यार्थी। इस तल में पड़ी किसी भी रेखा के लंबवत रेखा को इस तल पर लंबवत रेखा कहा जाता है।

शिक्षक। लेम्मा तीसरी ध्वनि के लंबवत दो समानांतर रेखाओं के बारे में कैसे बताता है?

विद्यार्थी। यदि दो समानांतर रेखाओं में से एक तीसरी रेखा के लंबवत है, तो दूसरी रेखा भी इस रेखा पर लंबवत है।

शिक्षक। एक तल पर दो समान्तर रेखाओं के लम्ब पर प्रमेय।

विद्यार्थी। यदि दो समानांतर रेखाओं में से एक समतल पर लंबवत है, तो दूसरी रेखा भी उस तल पर लंबवत है।

शिक्षक। इस प्रमेय का विलोम क्या है?

विद्यार्थी। यदि दो रेखाएँ एक ही तल पर लंबवत हों, तो वे समानांतर होती हैं।

होमवर्क की जाँच करना

छात्रों को इसे हल करने में कठिनाई होने पर होमवर्क की जाँच की जाती है।

नई सामग्री सीखना (15 मिनट)

शिक्षक। आप और मैं जानते हैं कि यदि कोई रेखा किसी तल पर लंबवत है, तो वह इस तल में पड़ी किसी भी रेखा के लंबवत होगी, लेकिन परिभाषा में, एक रेखा की समतल को लंबवतता एक तथ्य के रूप में दी गई है। व्यवहार में, अक्सर यह निर्धारित करना आवश्यक होता है कि रेखा समतल पर लंबवत होगी या नहीं। जीवन से ऐसे उदाहरण दिए जा सकते हैं: भवनों के निर्माण के दौरान, ढेर पृथ्वी की सतह पर लंबवत रूप से संचालित होते हैं, अन्यथा संरचना गिर सकती है। इस मामले में विमान के लंबवत सीधी रेखा की परिभाषा का उपयोग नहीं किया जा सकता है। क्यों? एक समतल में कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

विद्यार्थी। एक समतल में अपरिमित रूप से कई सीधी रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

शिक्षक। सही ढंग से। और प्रत्येक व्यक्तिगत तल पर एक सीधी रेखा की लंबवतता की जांच करना असंभव है, क्योंकि इसमें असीम रूप से लंबा समय लगेगा। यह समझने के लिए कि क्या कोई रेखा एक तल पर लंबवत है, हम एक रेखा और एक तल के लंबवतता के चिह्न का परिचय देते हैं। अपनी कॉपी मैं लिखो। यदि एक रेखा एक समतल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत है, तो वह उस तल पर लंबवत है।

नोटबुक प्रविष्टि। यदि एक रेखा एक समतल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत है, तो वह उस तल पर लंबवत है।

शिक्षक। इस प्रकार, हमें प्रत्येक सीधे विमान के लिए एक रेखा की लंबवतता की जांच करने की आवश्यकता नहीं है, यह इस विमान की केवल दो पंक्तियों के लिए लंबवतता की जांच करने के लिए पर्याप्त है।

शिक्षक। आइए इस संकेत को साबित करें।

दिया गया: पीऔर क्यू- सीधा, पी ∩ क्यू = हे, ए⊥ पी, ए⊥ क्यू, पी ϵ α, क्यू ϵ α.

सिद्ध करना: ए⊥ α.

शिक्षक। और फिर भी, सबूत के लिए, हम विमान के लंबवत सीधी रेखा की परिभाषा का उपयोग करते हैं, यह कैसा लगता है?

विद्यार्थी। यदि कोई रेखा किसी समतल पर लंबवत है, तो वह उस तल में पड़ी किसी भी रेखा के लंबवत होती है।

शिक्षक। सही ढंग से। समतल α में कोई भी रेखा m खींचिए। बिंदु O से होकर एक रेखा l m खींचिए। रेखा पर एक चिह्न A और B इस प्रकार इंगित करता है कि बिंदु O खंड AB का मध्यबिंदु है। आइए रेखा z को इस प्रकार बनाएं कि यह रेखाओं p, q, l को प्रतिच्छेद करे, इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु क्रमशः P, Q, L द्वारा दर्शाए जाएंगे। खंड AB के सिरों को बिंदु P, Q और L से जोड़िए।

शिक्षक। त्रिभुज APQ और BPQ के बारे में हम क्या कह सकते हैं?

विद्यार्थी। ये त्रिभुज बराबर होंगे (त्रिभुजों की समानता की तीसरी कसौटी के अनुसार)।

शिक्षक। क्यों?

विद्यार्थी। क्योंकि रेखाएँ p और q लंबवत समद्विभाजक हैं, तो AP = BP, AQ = BQ, और भुजा PQ उभयनिष्ठ है।

शिक्षक। सही ढंग से। हम त्रिभुजों ∆APL और BPL के बारे में क्या कह सकते हैं?

विद्यार्थी। ये त्रिभुज भी बराबर होंगे (त्रिभुजों की समानता के 1 चिन्ह के अनुसार)।

शिक्षक। क्यों?

विद्यार्थी। एपी = बीपी, पी एल- आम पक्ष एपीएल =  गरीबी रेखा से नीचे(समानता . से एपीक्यूऔर बीपीक्यू)

शिक्षक। सही ढंग से। तो एएल = बीएल। तो ∆ALB क्या होगा?

विद्यार्थी। अतः ALB समद्विबाहु होगा।

शिक्षक। ALB में माध्यिका LO है, तो इस त्रिभुज में यह क्या होगा?

विद्यार्थी। तो LO भी ऊंचाई होगी।

शिक्षक। इसलिए सीधी रेखामैंरेखा के लंबवत होगाए. और सीधी रेखा के बाद सेमैंविमान α से संबंधित कोई भी रेखा है, तो परिभाषा के अनुसार रेखाए⊥ ए। क्यू.ई.डी.

प्रस्तुति के साथ सिद्ध

शिक्षक। लेकिन क्या होगा यदि रेखा a बिंदु O को नहीं काटती है, लेकिन रेखा p और q पर लंबवत रहती है? यदि रेखा a दिए गए तल के किसी अन्य बिंदु को काटती है?

विद्यार्थी। एक लाइन का निर्माण संभव है 1 , जो रेखा a के समानांतर होगा, बिंदु O को काटेगा, और लेम्मा द्वारा तीसरी के लंबवत दो समानांतर रेखाओं पर, हम यह साबित कर सकते हैं किए 1 ⊥ पी, ए 1 ⊥ क्यू.

शिक्षक। सही ढंग से।

अध्ययन की गई सामग्री का प्राथमिक समेकन (20 मिनट)

शिक्षक। हमने जिस सामग्री का अध्ययन किया है उसे समेकित करने के लिए, हम संख्या 126 को हल करेंगे। कार्य पढ़ें।

विद्यार्थी। रेखा MB त्रिभुज ABC की भुजा AB और BC पर लंबवत है। त्रिभुज MBD के प्रकार का निर्धारण करें, जहाँ D सीधी रेखा AC का एक मनमाना बिंदु है।

तस्वीर।

दिया गया: एबीसी, एमबी⊥ बी ० ए, एमबी⊥ ईसा पूर्व, डी ϵ एसी.

खोजें: एमबीडी.

फेसला।

शिक्षक। क्या आप त्रिभुज के शीर्षों से होकर एक तल खींच सकते हैं?

विद्यार्थी। हाँ आप कर सकते हैं। विमान को तीन बिंदुओं पर खींचा जा सकता है।

शिक्षक। इस तल के सापेक्ष BA और CB रेखाएँ किस प्रकार स्थित होंगी?

विद्यार्थी। ये रेखाएँ इस समतल में स्थित होंगी।

शिक्षक। यह पता चला है कि हमारे पास एक विमान है, और इसमें दो प्रतिच्छेदन रेखाएं हैं। MW लाइन इन लाइनों से कैसे संबंधित है?

विद्यार्थी। प्रत्यक्ष मेगावाटवीए, एमवी ⊥ बीसी।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। क्योंकि एमवी⊥ वीए, एमवी वीएस

शिक्षक। यदि एक रेखा समतल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत हो, तो वह रेखा इस तल की होगी?

विद्यार्थी। सीधी रेखा MB समतल ABC पर लंबवत होगी।

एबीसी।

शिक्षक। बिंदु D खंड AC पर एक मनमाना बिंदु है, तो रेखा BD समतल ABC से कैसे संबंधित होगी?

विद्यार्थी। अतः BD समतल ABC से संबंधित है।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। क्योंकि बीडी ϵ एबीसी

शिक्षक। एमबी और बीडी एक दूसरे के सापेक्ष क्या रेखाएं होंगी?

विद्यार्थी। ये रेखाएँ समतल के लंबवत रेखा की परिभाषा से लंबवत होंगी।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। एमवी⊥ बीडी

शिक्षक। यदि MB, BD पर लंबवत है, तो त्रिभुज MBD क्या होगा?

विद्यार्थी। त्रिभुज MBD समकोण होगा।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। MBD - आयताकार।

शिक्षक। सही ढंग से। आइए संख्या 127 को हल करें। कार्य पढ़ें।

विद्यार्थी। एक त्रिभुज मेंएबीसीकोणों का योग एऔर बी90° के बराबर होता है। सीधाबीडीविमान के लंबवतएबीसी. साबित करो सीडी⊥ एसी।

छात्र ब्लैकबोर्ड पर जाता है। एक चित्र बनाता है।

बोर्ड पर और एक नोटबुक में लिखें।

दिया गया: एबीसी,  ए +  बी= 90°, बीडी⊥ एबीसी.

सिद्ध करना: सीडी⊥ एसी.

प्रमाण:

शिक्षक। त्रिभुज के कोणों का योग कितना होता है?

विद्यार्थी। त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है।

शिक्षक। त्रिभुज ABC में कोण C क्या है?

विद्यार्थी। त्रिभुज ABC में कोण C 90° होगा।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। सी = 180° - ए- बी= 90°

शिक्षक। यदि कोण C 90° है, तो रेखाएँ AC और BC एक दूसरे के सापेक्ष किस प्रकार स्थित हैं?

विद्यार्थी। मतलब एसीसूर्य।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। एसीसुन

शिक्षक। रेखा BD समतल ABC पर लंबवत है। इससे क्या होता है?

विद्यार्थी। अत: BD, ABC से किसी भी रेखा पर लम्ब है।

बीडी⊥ एबीसी ↔ बीडीकिसी भी रेखा के लंबवतएबीसी(ए-प्राथमिकता)

शिक्षक। इसके अनुसार, बीडी और एसी को कैसे निर्देशित किया जाएगा?

विद्यार्थी। अतः ये रेखाएँ लंबवत हैं।

बीडी⊥ एसी

शिक्षक। AC समतल DBC में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत है, लेकिन AC प्रतिच्छेदन बिंदु से नहीं गुजरती है। इसे कैसे जोड़ेंगे?

विद्यार्थी। बिंदु B और समानांतर AC ​​से होकर एक रेखा खींचिए। चूँकि AC BC और BD पर लंबवत है, तो a भी BC पर और BD लेम्मा द्वारा लंबवत होगा।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। बिंदु B a AC ↔ a . से होकर एक रेखा खींचिए⊥ ईसा पूर्व, और बीडी

शिक्षक। यदि रेखा a, BC और BD पर लंबवत है, तो रेखा a और समतल BDC की सापेक्ष स्थिति के बारे में क्या कहा जा सकता है?

विद्यार्थी। इसका अर्थ है कि रेखा a समतल BDC के लंबवत होगी, और इसलिए रेखा AC BDC पर लंबवत होगी।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। ए⊥ बीडीसीएसी बीडीसी.

शिक्षक। यदि AC, BDC के लम्बवत है, तो रेखाएँ AC और DC एक-दूसरे के सापेक्ष किस प्रकार स्थित होंगी?

विद्यार्थी। विमान के लंबवत रेखा की परिभाषा के अनुसार एसी और डीसी लंबवत होंगे।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। क्योंकि एसी⊥ बीडीसीएसी डीसी

शिक्षक। बहुत अच्छा। आइए 129 नंबर को हल करें। कार्य पढ़ें।

विद्यार्थी। सीधाहूँवर्ग के तल के लंबवतऐ बी सी डी, जिसके विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि: a) रेखाबीडीविमान के लंबवतएमो; बी)एमओ⊥ बीडी.

एक छात्र बोर्ड में आता है। एक चित्र बनाता है।

बोर्ड पर और एक नोटबुक में लिखें।

दिया गया:ऐ बी सी डी- वर्ग,हूँ⊥ ऐ बी सी डी, एसी ∩ बीडी = हे

सिद्ध करना:बीडी⊥ एएमओ, एमओ⊥ बीडी

प्रमाण:

शिक्षक। हमें यह साबित करने की आवश्यकता है किबीडी⊥ एमो. ऐसा होने के लिए किन शर्तों को पूरा करना होगा?

विद्यार्थी। यह आवश्यक है कि प्रत्यक्षबीडी समतल से कम से कम दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत हैएएमओ।

शिक्षक। शर्त यह है किबीडी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवतएएमओ?

विद्यार्थी। नहीं।

शिक्षक। लेकिन हम जानते हैं किहूँ सीधाऐ बी सी डी . इससे क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?

विद्यार्थी। क्या मतलबहूँ इस तल से किसी भी रेखा के लंबवत, अर्थात्।हूँ सीधाबी.डी.

हूँ⊥ ऐ बी सी डी ↔ हूँ⊥ बीडी(ए-प्राथमिकता)।

शिक्षक। एक पंक्ति लंबवत हैबीडी वहाँ है। वर्ग पर ध्यान दें कि रेखाएँ एक दूसरे के सापेक्ष कैसे स्थित होंगीएसी और बीडी?

विद्यार्थी। एसी लंबवत होगाबीडी वर्ग के विकर्णों के गुण से।

बोर्ड पर और एक नोटबुक में लिखें। क्योंकिऐ बी सी डी- वर्ग, फिरएसी⊥ बीडी(एक वर्ग के विकर्णों के गुण से)

शिक्षक। हमने एक समतल में दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ पाई हैंएमो रेखा के लंबवतबीडी . इससे क्या होता है?

विद्यार्थी। क्या मतलबबीडी विमान के लंबवतएएमओ।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। क्योंकिएसी⊥ बीडीऔरहूँ⊥ बीडी ↔ बीडी⊥ एमो(संकेत द्वारा)

शिक्षक। कौन सी रेखा तल के लंबवत रेखा कहलाती है?

विद्यार्थी। एक रेखा को एक विमान के लंबवत कहा जाता है यदि वह उस विमान में किसी भी रेखा के लंबवत हो।

शिक्षक। रेखाएँ आपस में किस प्रकार संबंधित हैं?बीडी और ओम?

विद्यार्थी। मतलब बीडी सीधाओएम . क्यू.ई.डी.

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना। मैंबीडी⊥ एमओ(ए-प्राथमिकता)। क्यू.ई.डी.

डीब्रीफिंग (2 मिनट)

शिक्षक। आज हमने एक रेखा और एक तल के लम्बवत् चिन्हों का अध्ययन किया। यह कैसा लग रहा है?

विद्यार्थी। यदि एक रेखा एक समतल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत है, तो यह रेखा उस तल पर लंबवत होती है।

शिक्षक। सही ढंग से। हमने समस्याओं को हल करने में इस सुविधा को लागू करना सीख लिया है। जिसने ब्लैकबोर्ड पर जवाब दिया और जगह से मदद की, अच्छा किया।

होमवर्क (2 मिनट)

शिक्षक। पैराग्राफ 1, पैराग्राफ 15-17, जानें: लेम्मा, परिभाषा और सभी प्रमेय। नंबर 130, 131।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विमान के होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि आरेख पर सीधी रेखा का क्षैतिज प्रक्षेपण क्षैतिज के क्षैतिज प्रक्षेपण का, और ललाट प्रक्षेपण के ललाट प्रक्षेपण का हो इस विमान के सामने।

एक बिंदु से एक विमान की दूरी का निर्धारण(चित्र 19)

1. बिंदु से, विमान के लंबवत को नीचे करें (इसके लिए, विमान में

होल्ड एच, एफ);

2. समतल के साथ सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 18);

3. एन.वी. का पता लगाएं लंबवत खंड (चित्र 7 देखें)।

प्रक्षेपण विमानों को बदलने के लिए दूसरा खंड विधि

(कार्यों के लिए 5, 6.7)

यह ज्यामितीय आकृति प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली में गतिहीन रहती है। नए प्रक्षेपण विमानों को सेट किया जाता है ताकि उन पर प्राप्त अनुमान विचाराधीन समस्या का तर्कसंगत समाधान प्रदान करें। इसके अलावा, प्रक्षेपण विमानों की प्रत्येक नई प्रणाली एक ओर्थोगोनल प्रणाली होनी चाहिए। समतल पर वस्तुओं को प्रक्षेपित करने के बाद, उन्हें परस्पर लंबवत विमानों के प्रत्येक जोड़े की सामान्य सीधी रेखाओं (प्रक्षेपण कुल्हाड़ियों) के चारों ओर घुमाकर एक में जोड़ दिया जाता है।

उदाहरण के लिए, बिंदु ए को दो विमानों पी 1 और पी 2 की प्रणाली में सेट होने दें। आइए सिस्टम को एक और विमान पी 4 (छवि 20), पी 1 P 4 के साथ पूरक करें। इसमें समतल P 1 के साथ एक उभयनिष्ठ रेखा X 14 है। हम P 4 पर प्रोजेक्शन A 4 बनाते हैं।

एए 1 \u003d ए 2 ए 12 \u003d ए 4 ए 14.

अंजीर पर। 21, जहां पी 1, पी 2 और पी 4 विमानों को संरेखण में लाया जाता है, यह तथ्य ए 1 ए 4 X 14, और ए 14 ए 4 ए 2 ए 12 के परिणाम से निर्धारित होता है।

नए प्रक्षेपण अक्ष (ए 4 ए 14) के लिए नए बिंदु प्रक्षेपण की दूरी प्रतिस्थापित बिंदु प्रक्षेपण से प्रतिस्थापित अक्ष (ए 2 ए 12) की दूरी के बराबर है।

वर्णनात्मक ज्यामिति की बड़ी संख्या में मीट्रिक समस्याओं को निम्नलिखित चार समस्याओं के आधार पर हल किया जाता है:

1. सामान्य स्थिति रेखा का समतल रेखा में परिवर्तन (चित्र 22):

क) पी 4 || एबी (एक्स-अक्ष 14 || ए 1 बी 1);

बी) ए 1 ए 4 X 14; बी 1 बी 4 X 14;

ग) ए 4 ए 14 \u003d ए 12 ए 2;

वी 4 वी 14 = वी 12 वी 2 ;

ए 4 बी 4 - वर्तमान

2. एक सीधी रेखा को सामान्य स्थिति में प्रक्षेपित करने वाली रेखा में बदलना (चित्र 23):

क) पी 4 || एबी (एक्स 14 || ए 1 बी 1);

ए 1 ए 4 X 14;

बी 1 बी 4 X 14;

ए 14 ए 4 \u003d ए 12 ए 2;

14वी 4 = 12वी 2 ;

ए 4 बी 4 - एन.वी.;

बी) पी 5 एबी (एक्स 45 ए 4 वी 4);

ए 4 ए 5 X 45;

बी 4 बी 5 X 45;

ए 45 ए 5 \u003d बी 45 बी 5 \u003d ए 14 ए 1 \u003d बी 14 बी 1;

3. सामान्य स्थिति के समतल को प्रक्षेपित स्थिति में बदलना (चित्र 24):

एक विमान को प्रक्षेपित करने की स्थिति में लाया जा सकता है यदि विमान की एक सीधी रेखा को प्रक्षेपित किया जाता है। आइए ABC समतल में एक क्षैतिज रेखा (h 2 ,h 1) खींचते हैं, जिसे एक परिवर्तन में प्रक्षेपी बनाया जा सकता है। आइए क्षैतिज के लंबवत एक विमान P 4 बनाएं; यह इस तल पर एक बिंदु से प्रक्षेपित होता है, और त्रिभुज का तल एक सीधी रेखा द्वारा प्रक्षेपित होता है।

4. जेनेरिक प्लेन का लेवल प्लेन में बदलना (चित्र 25)।

दो परिवर्तनों का उपयोग करके विमान को एक समतल समतल बनाएं। सबसे पहले, विमान को प्रक्षेपित किया जाना चाहिए (चित्र 25 देखें), और फिर पी 5 || ए 4 बी 4 सी 4, हमें ए 5 बी 5 सी 5 - एन.वी.

कार्य #5

सामान्य स्थिति में बिंदु C से एक सीधी रेखा तक की दूरी निर्धारित करें (चित्र 26)।

समाधान दूसरी मुख्य समस्या के लिए नीचे आता है। फिर आरेख के साथ की दूरी को दो बिंदुओं के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है

ए 5  बी 5  डी 5 और सी 5.

प्रोजेक्शन 4 डी 4 || एक्स 45.

टास्क #6

बिंदु A, B, C (चित्र 27) द्वारा दी गई ()D से समतल तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

दूसरी मुख्य समस्या का उपयोग करके समस्या का समाधान किया जाता है। दूरी (ई 4 डी 4), () डी 4 से सीधी रेखा ए 4 सी 4 बी 4 तक, जिसमें विमान एबीसी प्रक्षेपित किया गया था, खंड ईडी का प्राकृतिक मूल्य है।

प्रोजेक्शन डी 1 ई 1 || एक्स 14;

ई 2 ई एक्स 12 = ई 4 ई एक्स 14।

अपना खुद का डी 1 ई 1 बनाएं।

अपना खुद का डी 2 ई 2 बनाएं।

टास्क #7

त्रिभुज ABC का वास्तविक आकार ज्ञात कीजिए (चौथी मुख्य समस्या का हल देखिए) (चित्र 25)

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छाते खंड केएल दो दिए गए विमानों के चौराहे की रेखा के अनुमानों की दिशा निर्धारित करता है।

2.8 एक रेखा और एक तल की लंबवतता, दो तल

एक रेखा और एक तल की लंबवतता की स्थिति और दो विमानों की लंबवतता समकोण प्रक्षेपण प्रमेय पर आधारित होती है। एक बिंदु से एक समतल की दूरी निर्धारित करने के लिए मीट्रिक समस्याओं को हल करने के लिए प्रमेय को अपनाना, एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक की दूरी निर्धारित करना, या एक निश्चित दूरी पर किसी दिए गए के समानांतर एक विमान का निर्माण करना, हम लंबवतता की स्थिति तैयार करते हैं एक सीधी रेखा और एक समतल का।

रेखा l (l1, l2) समतल पर लंबवत है , यदि यह दिए गए तल से संबंधित दो प्रतिच्छेदी स्तर रेखाओं (उदाहरण के लिए, क्षैतिज और ललाट) के लंबवत है।

एल 1एच 1

एल 2 एफ 2

एक सीधी रेखा और एक तल की लंबवतता की स्थिति के अनुप्रयोग पर विशिष्ट मीट्रिक समस्याओं को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1. बिंदु N से समतल Q(mIIn) की दूरी ज्ञात कीजिए (चित्र 2.35)।

समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. समस्या की स्थिति का विश्लेषण करें। (एक बिंदु से एक रेखा तक की सबसे छोटी दूरी बिंदु N से समतल Q पर गिराए गए लंबवत द्वारा निर्धारित की जाती है।)

2. एक सीधी रेखा और एक तल के लम्बवत्ता की शर्त को पूरा करने के लिए, पहले तल में एक क्षैतिज h (h 1, h 2) और एक ललाट f (f 1, f 2) का निर्माण करना आवश्यक है, और फिर तल Q (आकृति 2.35) के लंबवत एक रेखा l (l 1, l 2) की रचना करें।

चित्र 2.35 - समतल पर लंबवत रेखा

3. लम्ब का आधार ज्ञात कीजिए, अर्थात्। निर्मित लाइन के चौराहे का बिंदु l(l 1 , l 2 ) किसी दिए गए विमान Q के साथ। एक बिंदु K का निर्माण करने के लिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं, उदाहरण के लिए, लाइन l 2 का ललाट प्रक्षेपण सामने से प्रक्षेपित विमान में। हम दो विमानों (क्यू∩∑) के चौराहे की रेखा के संबंधित प्रक्षेपण के साथ लाइन एल के चौराहे की रेखा के अनुमानों को निर्धारित करते हैं। हम बिंदु K1 और K2 के अनुमानों की स्थिति निर्धारित करते हैं।

4. एक समकोण त्रिभुज के कर्ण के रूप में खंड NK का वास्तविक आकार निर्धारित करें (चित्र 2.36)।

चित्र 2.36 - एक बिंदु से एक समतल की दूरी का अनुमान

उदाहरण 2. बिंदु A से रेखा n की दूरी ज्ञात कीजिए। समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. समस्या की स्थितियों का विश्लेषण। समस्या की स्थिति का विश्लेषण करने के बाद, हम कहते हैं कि एक बिंदु से एक रेखा तक की सबसे छोटी दूरी को बिंदु A से रेखा n पर गिराए गए लंबवत द्वारा मापा जाता है। चूंकि दी गई रेखा n (n .) 1, n2) सामान्य स्थिति में एक रेखा है, तो समस्या को हल करने के लिए अतिरिक्त निर्माण करना आवश्यक है।

2. बिंदु A(A .) के अनुमानों के माध्यम से 1,А2) हम रेखा n (n1, n2) के लंबवत एक समतल Σ (h ∩ f) बनाते हैं।

3. दी गई रेखा n(n .) के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण करें 1 , n2 ) समतल Σ (h ∩ f) के साथ और रेखा खंड A1 B1 और A2 B2 के अनुमानों को बिंदु A से रेखा n तक की दूरी के अनुमानों के रूप में खोजें।

4. हम बिंदु A से सीधी रेखा n तक की दूरी का प्राकृतिक मान बनाते हैं (चित्र 2.37)।

चित्र 2.37 - बिंदु A से सीधी रेखा n . तक की दूरी

उदाहरण 3. एक समतल की रचना कीजिए, जो समतल (ΔABC) के समान्तर हो, उससे 25 मिमी की दूरी पर।

समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. समस्या की स्थितियों का विश्लेषण। विमान (ΔABC) से 25 मिमी की दूरी पर बनाया जाएगा। इसलिए, आपको विमान के लंबवत निर्माण करने की आवश्यकता है।

2. समतल के लंबवत रेखा का निर्माण करने के लिए, हम समतल में समतल रेखाएँ निर्धारित करते हैं - क्षैतिज h(h 1 , h2 ) और ललाट f(f1, f2) और समतल Σ (ΔАВС) (चित्र 2.38) के लंबवत एक रेखा l(l 1 , l 2) का निर्माण करें।

चित्र 2.38 - बिंदु L . की स्थिति

3. लंब का आधार ज्ञात कीजिए, अर्थात्। समतल (ΔABS) के साथ रेखा l (l 1, l 2) के प्रतिच्छेदन का बिंदु K (K1, K2)।

4. लाइन पर चुनें l(l 1 , l 2 ) मनमाना बिंदु N(N1,N2) और चुने हुए बिंदु से समतल (N1 Kº) की दूरी निर्धारित करें।

5. हम एक सीधी रेखा पर पाते हैंएल(एल 1, एल 2) बिंदु एल (एल 1, एल 2) की स्थिति 25 मिमी के विमान से दूरी है।

6. बिंदु L(L1, L2) से होकर हम दिए गए समतल (ΔАВС) के समांतर एक समतल Θ(m∩n) की रचना करते हैं (चित्र 2.39)

चित्र 2.39 - आवश्यक दूरी पर दिए गए विमान के समानांतर समतल

विषय 2 पर आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न:

1. सीधी रेखा के सापेक्ष बिंदु की स्थिति क्या है?

2. एक बिंदु एक सीधी रेखा का कब होता है?

3. सीधी रेखाओं को एक दूसरे के सापेक्ष कैसे व्यवस्थित किया जा सकता है?

4. किन बिंदुओं को प्रतिस्पर्धा कहा जाता है?

5. वाक्य जारी रखें: एक समकोण को ललाट प्रक्षेपण तल पर बिना विरूपण के प्रक्षेपित किया जाता है यदि यह दो प्रतिच्छेदित सीधी रेखाओं से बनता है, जिनमें से एक सामान्य स्थिति में एक सीधी रेखा है, और दूसरा …… ..

6. सामान्य स्थिति में किसी रेखाखंड के प्राकृतिक आकार का निर्धारण कैसे करें?

7. एक सीधी रेखा और एक तल के लंबवत होने की क्या शर्त है?

8. दो तलों के लंबवत होने की स्थिति क्या है?

9. एक रेखा एक समतल के समानांतर कब होती है?

10. दो विमान समानांतर कब होते हैं?

11. एक सीधी रेखा के समतल से संबंधित होने की क्या शर्त है?

12. एक बिंदु एक विमान से संबंधित कब होता है?

13. एक समतल के साथ एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथम क्या है?

14. दो विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा का पता लगाते समय बिचौलियों के सहायक विमानों की विधि का सार क्या है?

15. प्रक्षेपण विमान क्या है?

3 प्रक्षेपण रूपांतरण

3.1 सार और ड्राइंग को परिवर्तित करने के मुख्य तरीके

वर्णनात्मक ज्यामिति में स्थितीय और मीट्रिक समस्याओं का समाधान बहुत सरल है यदि सीधे और सपाट आंकड़े सीधी रेखाओं और विमानों, या सीधी रेखाओं और समतल विमानों को प्रक्षेपित करने की स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं।

समस्याओं के समाधान को सरल बनाने के लिए एक आवश्यक शर्त नए अतिरिक्त अनुमानों का निर्माण है, जो व्यक्तिगत तत्वों, या इन तत्वों के पूर्ण आकार में या तो पतित अनुमानों को प्राप्त करना संभव बनाता है। अतिरिक्त अनुमानों के निर्माण को ड्राइंग ट्रांसफॉर्मेशन कहा जाता है।

रूपांतरण निम्नलिखित तरीकों से किया जा सकता है:

1. प्रक्षेपण विमानों का परिवर्तन (प्रतिस्थापन) इस शर्त के साथ कि प्रश्न में वस्तु या उसके तत्व प्रक्षेपण विमानों की नई प्रणाली के सापेक्ष विशेष पदों में से एक पर कब्जा कर लेंगे;

2. प्रक्षेपित अक्ष के चारों ओर अंतरिक्ष में ज्यामितीय वस्तुओं का घूमना ताकि वे कब्जा करेंप्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष कोई विशेष स्थिति।

3. वस्तु का समतल-समानांतर गति, जिसमें, प्रक्षेपित अक्ष के चारों ओर घूमने की विधि और वस्तु की गति, सामान्य स्थिति की वस्तु से विशेष स्थिति की वस्तु में संक्रमण प्राप्त करती है;

4. समतल रेखा के चारों ओर अंतरिक्ष में ज्यामितीय वस्तुओं का घूमना ताकि वे एक स्तर रेखा या एक समतल तल की स्थिति पर कब्जा कर लें।

3.2 बुनियादी स्थितीय और मीट्रिक समस्याओं को हल करने के लिए सिद्धांत और एल्गोरिदम

प्रक्षेपण विमानों को बदलने की विधि का सार प्रक्षेपण विमानों की दी गई प्रणाली से एक नए में संक्रमण है। इस मामले में, रेखा खंड और सपाट आंकड़े अपनी स्थिति बनाए रखते हैं, और उनके नए अनुमान अतिरिक्त प्रक्षेपण विमानों को पेश करके प्राप्त किए जाते हैं।

प्रक्षेपण विमानों को बदलते समय, दो प्रक्षेपण विमानों की पारस्परिक लंबवतता - नए और गैर-बदली जाने योग्य - आवश्यक रूप से संरक्षित होती है।

एक बिंदु के साथ परिवर्तन के उदाहरण का उपयोग करके प्रक्षेपण विमानों को बदलने के तंत्र पर विचार करें (चित्र 3.1।)।

चित्र 3.1 - अनुमानों के तल को P2 से P4 . में बदलने की क्रियाविधि

आरेख में, यह परिवर्तन चित्र 3.2 में दिखाया गया है। हम प्रक्षेपण विमानों P1 और P2 की प्रणाली में बिंदु A (A1, A2) के दो अनुमान लगाते हैं। आइए हम समतल P4 की स्थिति का परिचय दें। बिंदु A - A1 . के अपूरणीय प्रक्षेपण से

हम समतल P4 की अनुरेखण रेखा के लंबवत एक संचार रेखा खींचते हैं। चूंकि प्रोजेक्शन प्लेन P1 - P2 से प्लेन P1 - P4 के सिस्टम में जाने पर बिंदु की ऊंचाई नहीं बदलती है, इसलिए इस ऊंचाई को P2 फील्ड पर मापा जाता है और फील्ड P4 पर चौराहे की लाइन से जमा किया जाता है। नई संचार लाइन की दिशा में विमान।

चित्र 3.2 - आरेख पर प्रणाली P1 - P2 से P1 - P4 में संक्रमण का तंत्र

प्रक्षेपण विमानों में से एक को बदलने से हमेशा समस्या का अंतिम समाधान नहीं होता है, इसलिए, हम क्रमिक रूप से प्रक्षेपण विमानों P1 - P2 से P1 - P4 और फिर P4 - P5 की प्रणाली से संक्रमण के तंत्र पर विचार करेंगे। (चित्र 3. 3)।

प्रक्षेपण P5 के तल पर बिंदु A का प्रक्षेपण प्राप्त करने के लिए, पहले बिंदु को विमान P4 और फिर विमान P5 में क्रमिक रूप से स्थानांतरित करना आवश्यक है। निर्माण करने के लिए, हम विमान P2 को समतल P4 से बदलते हैं।

चित्र 3.3 - आरेख पर प्रणाली P1 - P2 से P4 - P5 में संक्रमण का तंत्र

बिंदु A4 का प्रक्षेपण निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है: बिंदु A1 के गैर-प्रतिस्थापन योग्य प्रक्षेपण से हम P1 - P4 विमानों के चौराहे की रेखा के लंबवत एक कनेक्शन रेखा खींचते हैं और इससे अलग किए गए प्रक्षेपण से मापी गई दूरी को अलग करते हैं। विमान P1 - P2 के प्रतिच्छेदन की रेखा के बिंदु से। प्रोजेक्शन प्लेन P4 - P5 की प्रणाली में संक्रमण के दौरान, प्लेन P1 को P5 से बदल दिया जाता है। बिंदु A4 के अपूरणीय प्रक्षेपण से, हम P4 - P5 विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा के लंबवत एक संचार रेखा खींचते हैं। इस रेखा से हम बिंदु A1 के प्रतिस्थापित प्रक्षेपण से P1 - P4 विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा तक मापी गई दूरी को स्थगित कर देते हैं। नतीजतन, हम बिंदु A5 के प्रक्षेपण का निर्माण करते हैं।

एक ड्राइंग को बदलने का दूसरा तरीका रोटेशन विधि है। यह इस तथ्य में शामिल है कि प्रक्षेपण विमानों की दी गई प्रणाली अपरिवर्तित रहती है, और आकृति को एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है जब तक कि यह प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष एक विशेष स्थिति नहीं लेता है, विशेष रूप से, यह प्रक्षेपण विमानों में से एक के समानांतर या लंबवत हो जाता है। .

बातें घूर्णन अक्षों के चारों ओर लंबवत या प्रक्षेपण विमानों के समानांतर किया जाता है।

आइए हम प्रक्षेपित अक्ष के चारों ओर बिंदु रोटेशन के तंत्र पर ध्यान दें। बिंदु A को क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित अक्ष के चारों ओर घूमने दें i। इस मामले में, बिंदु रोटेशन के अक्ष से गुजरने वाले केंद्र के साथ एक सर्कल का वर्णन करेगा i (i 1,i 2)। घूर्णन के दौरान, बिंदु A का प्रक्षेपवक्र एक वृत्त है, जिसका तल क्षैतिज प्रक्षेपण तल के समानांतर है (चित्र 3. 4)।

चित्र 3. 4 - क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित अक्ष के चारों ओर घूमना

आरेख पर, बिंदु रोटेशन की प्रक्रिया को निम्नानुसार दर्शाया गया है। रोटेशन की धुरी चुनें i (i1, i2)। प्रक्षेपणों के क्षैतिज तल पर, यह अक्ष बिंदु i1 पर प्रक्षेपित होता है। केंद्र i1 से, बिंदु A1 का प्रक्षेपण एक वृत्त का वर्णन करता है, जो किसी भी कोण पर तब तक मुड़ता है जब तक कि वह A1 "की स्थिति नहीं ले लेता। बिंदु A2 का ललाट प्रक्षेपण फिर एक क्षैतिज सीधी रेखा के साथ बिंदु A2 की नई स्थिति में चला जाता है" .

इस प्रकार, क्षैतिज के चारों ओर घूमते समय

प्रक्षेपित अक्ष, बिंदु का क्षैतिज प्रक्षेपण एक वृत्त के साथ चलता है, और ललाट प्रक्षेपण रोटेशन की धुरी के प्रक्षेपण के लंबवत एक सीधी रेखा के साथ चलता है (चित्र 3.5)।

चित्र 3.5 - क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित अक्ष के चारों ओर घूमने का एल्गोरिदम

जब कोई बिंदु सामने से प्रक्षेपित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो बिंदु एक वृत्त के रूप में एक प्रक्षेपवक्र का वर्णन करता है, जिसका तल ललाट प्रक्षेपण तल के समानांतर होता है (चित्र 3. 6)।

चित्र 3.6 - सामने प्रक्षेपित अक्ष के चारों ओर घूमना

जब एक ललाट प्रक्षेपित रेखा के चारों ओर घूमते हैं, तो बिंदु का ललाट प्रक्षेपण एक वृत्त का वर्णन करता है, और क्षैतिज एक सीधी रेखा के साथ घूर्णन की धुरी के लंबवत चलता है। एक ललाट प्रक्षेपित अक्ष के चारों ओर एक बिंदु को घुमाने के लिए एल्गोरिथ्म चित्र 3.7 में दिखाया गया है।

चित्र 3.7 - सामने प्रक्षेपित अक्ष के चारों ओर रोटेशन का एल्गोरिदम

3.3. प्रक्षेपण विमानों को बदलने की विधि। मुख्य कार्यों का समाधान

कोई फर्क नहीं पड़ता कि ड्राइंग कैसे परिवर्तित की जाती है, रूपांतरण के मुख्य कार्यों को निम्न में घटाया जा सकता है:

1. एक परिवर्तन जिसमें एक सामान्य सीधी रेखा एक सीधी रेखा बन जाती है।

2. एक परिवर्तन जिसमें स्तर रेखा एक प्रक्षेपित रेखा बन जाती है।

3. एक परिवर्तन जिसमें एक सामान्य विमान एक प्रक्षेपण विमान बन जाता है।

4. एक परिवर्तन जिसमें प्रोजेक्शन प्लेन एक लेवल प्लेन बन जाता है।

आइए प्रक्षेपण विमानों को बदलकर ड्राइंग को परिवर्तित करने के मुख्य कार्यों के समाधान पर विचार करें।

एक सामान्य स्थिति रेखा के लिए एक स्तर रेखा होने के लिए, एक नया प्रक्षेपण विमान 4 पेश करना आवश्यक है जो इसके समानांतर होगा। आइए, उदाहरण के लिए, समतल P2 को समतल P4 से बदलें (चित्र 3.8)।

विमान P4 सीधी रेखा खंड A1 B1 के अपूरणीय प्रक्षेपण के समानांतर स्थित है। रेखा खंड A4 B4 का परिणामी प्रक्षेपण एक समतल रेखा है, इसलिए, यह प्रक्षेपण खंड का प्राकृतिक आकार है। इस समस्या का समाधान आपको क्षैतिज प्रक्षेपण विमान -α पर सीधी रेखा खंड AB के झुकाव के कोण को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

चित्र 3.8 - सामान्य स्थिति रेखा का समतल रेखा में परिवर्तन

एक सीधी स्तर की रेखा को प्रक्षेपित करने के लिए (अर्थात, किसी बिंदु द्वारा किसी प्रक्षेपण तल पर प्रक्षेपित किया जाना है), नया प्रक्षेपण विमान इसके लंबवत होना चाहिए।

जटिल ड्राइंग में लंबवतता केवल स्तर रेखा तक ही संरक्षित है। इसलिए, एक नया प्रोजेक्शन प्लेन P4 लेवल लाइन के संबंधित प्रोजेक्शन के लंबवत चुना जाता है, यानी। खंड AB के प्राकृतिक आकार तक (चित्र 3.9)।

चित्र 3.9 - प्रत्यक्ष स्तर को प्रोजेक्टिंग स्तर में बदलना

सामान्य स्थिति में एक विमान को प्रक्षेपी होने के लिए, यह आवश्यक है कि प्रक्षेपण विमानों की नई प्रणाली इसके लंबवत हो। एक विमान किसी दिए गए विमान के लंबवत होगा यदि वह इस विमान की किसी भी स्तर की रेखा के लंबवत है। इसलिए, नए विमान P4 की स्थिति चुनने के लिए, यह तय करना आवश्यक है कि कौन से प्रक्षेपण विमानों को बदला जाएगा। उदाहरण के लिए, आइए P2 प्लेन को P4 प्लेन से बदलें (चित्र 3.10)। क्षैतिज प्रक्षेपण विमान में, क्षैतिज को विरूपण के बिना प्रक्षेपित किया जाता है।

क्षैतिज h1 का छत्र प्रक्षेपण, इसलिए हम समतल P4 को इसके लंबवत बनाते हैं।

समतल P4 पर, त्रिभुज ABC एक प्रक्षेपित स्थिति में है

चित्र 3.10 - एक सामान्य स्थिति तल का प्रक्षेपित तल में परिवर्तन

दिए गए तल को समतल बनाने के लिए, P4 तल को इसके समानांतर रखना आवश्यक है (चित्र 3.11)।

चित्र 3.11 - प्रक्षेपित तल का समतल तल में परिवर्तन

एक सामान्य स्थिति विमान को एक स्तर के विमान में बदलने के लिए, दो परिवर्तन करना आवश्यक है: पहला, सामान्य स्थिति विमान को एक प्रोजेक्टिंग में बदलना, और फिर, दूसरे विमान П5 को पेश करके, प्रोजेक्टिंग प्लेन को एक लेवल प्लेन में बदलना .

3.4 प्रोजेक्टिंग अक्ष के चारों ओर घूमने की विधि। मुख्य कार्यों का समाधान

कार्य 1. सामान्य स्थिति रेखा को समतल रेखा में बदलना

समस्या को हल करने के लिए, रोटेशन की धुरी की स्थिति का चयन करना आवश्यक है। आइए, उदाहरण के लिए, रोटेशन की धुरी के रूप में एक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित रेखा चुनें। इस मामले में, क्षैतिज प्रक्षेपण विमान में रोटेशन किया जाएगा। सीधी रेखा के रोटेशन का कोण समस्या की स्थिति से निर्धारित होता है: सीधी रेखा को स्तर रेखा की स्थिति में घुमाया जाना चाहिए, इस मामले में, ललाट स्तर की रेखा की स्थिति (चित्र 3.12)।

चित्र 3.12 - रोटेशन द्वारा एक सामान्य स्थिति रेखा को एक समतल रेखा में बदलना

टास्क 2. लेवल लाइन को प्रोजेक्टिंग लाइन में बदलें।

रोटेशन करते समय, आपको रोटेशन की धुरी की स्थिति का चयन करना होगा। इस मामले में, क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित अक्ष को रोटेशन की धुरी के रूप में चुना जाना चाहिए और सीधी रेखा के रोटेशन के कोण को निर्धारित किया जाना चाहिए। रोटेशन का कोण समस्या की स्थिति से निर्धारित होता है (चित्र 3.13)।

चित्र 3.13 - रोटेशन विधि द्वारा लेवल लाइन का प्रोजेक्टिंग लाइन में परिवर्तन

कार्य 3. सामान्य स्थिति के विमान को अनुमानित में बदलना

समस्या का समाधान रोटेशन की धुरी के चुनाव से शुरू होता है। आइए, उदाहरण के लिए, रोटेशन की धुरी के रूप में एक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित रेखा चुनें। इस मामले में, रोटेशन क्षैतिज प्रक्षेपण विमान में किया जाना चाहिए। क्षैतिज प्रक्षेपित अक्ष के चारों ओर त्रिभुज के तल का घूर्णन कोण दिए गए तल में स्थित क्षैतिज के क्षैतिज प्रक्षेपण को निर्धारित करेगा (चित्र 3.14)।

चित्र 3.14 - रोटेशन विधि द्वारा सामान्य स्थिति के विमान को प्रक्षेप्य में बदलना

टास्क 4. प्रोजेक्टिंग प्लेन को लेवल प्लेन में बदलें।

आइए रोटेशन की धुरी की स्थिति चुनें। इस मामले में, आपको रोटेशन के क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित अक्ष का चयन करना चाहिए। वस्तु का रोटेशन कोण निर्दिष्ट विमान के रोटेशन को स्तर के ललाट तल की स्थिति (चित्र 3.15) निर्धारित करता है।

चित्र 3.15 - प्रक्षेपित तल का घूर्णन विधि द्वारा समतल तल में परिवर्तन

3.5 समतल-समानांतर संचलन विधि

समतल-समानांतर गति की विधि में यह शामिल है कि प्रक्षेपण विमान अपरिवर्तित रहते हैं, और वस्तु को प्रक्षेपित अक्ष के चारों ओर तब तक घुमाया जाता है जब तक कि यह प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष एक विशेष स्थिति नहीं ले लेता और स्थानांतरित नहीं हो जाता। कार्यों की स्थितियों के आधार पर, वस्तु को रूपांतरित किया जाना चाहिए ताकि वह लंबवत या प्रक्षेपण विमानों के समानांतर स्थित हो।

कार्य 1. एक सामान्य विमान को एक समतल विमान में बदलना।

चित्र 3.16 - समतल-समानांतर गति की विधि

विषय 3 पर आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न:

1. प्रक्षेपण विमानों को बदलने की विधि का सार क्या है?

2. क्या एकल परिवर्तन का उपयोग करके एक सामान्य रेखा को एक स्तर रेखा में परिवर्तित किया जा सकता है?

3. प्रोजेक्शन प्लेन को प्रोजेक्शन प्लेन में बदलने के लिए प्रोजेक्शन डायरेक्शन कैसे चुना जाता है?

4. प्रक्षेपण विमानों को बदलने की विधि और समतल-समानांतर गति की विधि में क्या अंतर है?

5. प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष सामान्य स्थिति में एक रेखा को कितनी बार अपनी स्थिति बदलनी चाहिए 1, P2 सामने की ओर प्रक्षेपित सीधी रेखा बनने के लिए?

6. प्रोजेक्टिंग लाइन के चारों ओर घूमने की विधि का सार क्या है?

4 पॉलीहेडा

4.1 पॉलीहेड्रा के बारे में सामान्य जानकारी। बहु-आरेखण में पॉलीहेड्रा निर्दिष्ट करना

सबसे सरल ज्यामितीय आकृतियों का प्रतिनिधित्व करने वाले पॉलीहेड्रा इंजीनियरिंग संरचनाओं के डिजाइन में मौलिक हैं। पॉलीहेड्रल रूपों का व्यापक रूप से मशीन भागों और प्रौद्योगिकी में तंत्र के डिजाइन के साथ-साथ विभिन्न वास्तुशिल्प संरचनाओं में उपयोग किया जाता है।

सबसे बड़ी व्यावहारिक रुचि प्रिज्म, पिरामिड और उत्तल वर्दी पॉलीहेड्रा हैं, जिनमें से सभी चेहरे नियमित और समान बहुभुज हैं - प्लेटो के ठोस (टेट्राहेड्रॉन - 4, ऑक्टाहेड्रोन - 8, इकोसाहेड्रोन - 20 नियमित त्रिकोण; हेक्साहेड्रोन (घन - 6 नियमित आयताकार); डोडेकाहेड्रॉन - 12 नियमित पेंटागन)। एक पॉलीहेड्रॉन को उत्तल कहा जाता है यदि यह इसके किसी भी फलक के तल के एक तरफ स्थित हो।

एक पॉलीहेड्रॉन एक शरीर है जो फ्लैट बहुभुज से घिरा हुआ है। इन बहुभुजों को कहा जाता हैकिनारों (चित्र 4.1)।

चित्र 4.1 - बहुफलक के उदाहरण

एक बहुफलक के सभी फलकों का योग उसका पृष्ठ कहलाता है

फलक सीधी रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करते हैं जिन्हें किनार कहा जाता है। किनारे उन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं जिन्हें शीर्ष कहते हैं।

पॉलीहेड्रा के चित्र प्रतिवर्ती होने चाहिए। यह प्राप्त किया जा सकता है यदि अनुमानों में पॉलीहेड्रॉन के किनारों के स्थान के लिए कुछ शर्तों को पूरा किया जाता है।

ड्राइंग में, पॉलीहेड्रा को उनके कोने और किनारों के अनुमानों के रूप में दर्शाया गया है। चित्र 4.2 में एक सीधा चतुष्फलकीय प्रिज्म ABCDKLMN और एक त्रिफलक पिरामिड SABC दिया गया है। एक प्रिज्म को सीधा कहा जाता है यदि उसके किनारे और किनारे आधार के लंबवत हों। एक सही प्रिज्म को नियमित कहा जाता है यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है।

चित्र 4.2 - आरेख पर पॉलीहेड्रा निर्दिष्ट करना

4.2 एक समतल और एक सीधी रेखा द्वारा बहुफलक का प्रतिच्छेदन

समतल के साथ बहुफलक का प्रतिच्छेदन रेखा एक समतल बहुभुज है (चित्र 4.3)।

चित्र 4.3 - एक समतल द्वारा बहुफलक का प्रतिच्छेदन

एक समतल द्वारा एक बहुफलक की कट रेखा का निर्माण दो प्रकार से किया जा सकता है।

पहला तरीका। कटिंग प्लेन के साथ पॉलीहेड्रॉन के किनारों के चौराहे के परिणामस्वरूप वांछित बहुभुज के कोने खोजें।

दूसरा तरीका। कटिंग प्लेन के साथ पॉलीहेड्रॉन के चेहरों के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप वांछित बहुभुज की भुजाएँ ज्ञात करें।

पहले मामले में, एक विमान के साथ एक सीधी रेखा के चौराहे के बिंदु के निर्माण की समस्या को बार-बार हल करना पड़ता है, दूसरे मामले में, दो विमानों के चौराहे की एक रेखा का निर्माण करना। ऐसे मामलों में जहां काटने वाला विमान या सतह किसी विशेष स्थिति में है, कार्य बहुत सरल है, क्योंकि प्रक्षेपण विमानों में से एक पर अनुभाग रेखा का प्रक्षेपण या तो काटने वाले विमान (चित्रा 4.4) के प्रक्षेपण के साथ मेल खाएगा, या इसके साथ बहुफलक की सतह का अपक्षयी प्रक्षेपण (चित्र 4.5)।

एक फ़्रंटली प्रोजेक्टिंग प्लेन के साथ ट्राइहेड्रल पिरामिड के चौराहे की एक लाइन का निर्माण करने के लिए, SABC पिरामिड के प्रत्येक किनारे के इंटरसेक्शन पॉइंट्स को फ्रंटली प्रोजेक्टिंग प्लेन के साथ खोजना आवश्यक है। निर्माण के परिणामस्वरूप, हमें त्रिभुज DFE प्राप्त होता है। यदि एक सामान्य सतह को सामने से प्रक्षेपित विमान द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो अनुभाग रेखा (त्रिकोण) का ललाट प्रक्षेपण काटने वाले विमान ∑2 के ललाट प्रक्षेपण के साथ मेल खाएगा। सेक्शन लाइन (D2, F2, E2) के शीर्षों के ललाट अनुमानों को काटने वाले विमान के साथ पिरामिड के प्रत्येक किनारे के प्रतिच्छेदन के परिणाम के रूप में परिभाषित किया गया है। संबंधित किनारों के अनुमानों पर अनुमानों के क्षैतिज तल पर अनुभाग रेखा को परिभाषित करने वाले बिंदुओं को प्रक्षेपित करके, हम वांछित खंड रेखा (D1, F1, E1) का क्षैतिज प्रक्षेपण प्राप्त करते हैं।

चित्र 4.4 - प्रक्षेपित तल द्वारा पिरामिड का प्रतिच्छेदन

एक सामान्य समतल Q(a||b) द्वारा एक सीधे प्रिज्म ABCD के एक खंड का निर्माण करने के लिए, आपको वांछित बहुभुज की भुजाएँ बनाने की आवश्यकता है

KLMN बहुफलक के फलकों के समतल Q(a||b) के साथ प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप (चित्र 4.5)। ऐसा करने के लिए, हम चेहरे B1 C1 के प्रक्षेपण के माध्यम से एक सहायक कटिंग प्लेन खींचते हैं। यह तल दिए गए समतल Q(a||b) को बिंदुओं 11 , 21 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के अनुदिश काटेगा। हम अनुमानों के ललाट तल (12, 22) में दो विमानों की खंड रेखा के प्रक्षेपण का निर्माण करते हैं और इस खंड के किनारों के साथ बी और सी - एल और एम के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं। इसी तरह, हम चौराहे की रेखा का निर्माण करते हैं विमान Q के साथ चेहरा AD - खंड KN। अनुमानों के ललाट तल में, हम चेहरों की दृश्यता को ध्यान में रखते हुए बहुभुज K2 L2 M2 N2 के खंडों के अनुमानों को जोड़ते हैं

- यदि दिए गए प्रक्षेपण में चेहरा दिखाई दे रहा है, दिखाई नहीं दे रहा है - यदि चेहरा प्रक्षेपण दिखाई नहीं दे रहा है, तो खंड प्रक्षेपण दिखाई देता है। इसके अलावा, प्रिज्म के किनारों और काटने वाले विमान की पारस्परिक दृश्यता स्थापित करना आवश्यक है।

चित्र 4.5 - प्रक्षेपित प्रिज्म का सामान्य स्थिति के समतल द्वारा प्रतिच्छेदन

सामान्य स्थिति में एक विमान द्वारा सामान्य स्थिति में पिरामिड के एक खंड के निर्माण पर विचार करें (चित्र 4.6)।

चित्र 4.6 - सामान्य स्थिति में एक समतल द्वारा पिरामिड का प्रतिच्छेदन

चौराहे की रेखा का निर्माण करने के लिए, हम सामान्य स्थिति ∑(a||b) के समतल के साथ पिरामिड के प्रत्येक किनारे के प्रतिच्छेदन के परिणाम के रूप में खंड के शीर्षों को परिभाषित करेंगे। समतल (a||b) के साथ किनारे SA के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए, किनारे को छेदक विमान Q में संलग्न करना और दो विमानों Q और ∑ के प्रतिच्छेदन की रेखा का पता लगाना आवश्यक है - खंड 12 22 ;11 21 . शीर्ष K का निर्माण किनारे SA और खंड 1,2 के अनुमानों के संबंधित अनुमानों के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप किया गया है। कोने एल और एन एक ही एल्गोरिथ्म के अनुसार पाए जाते हैं, जो कि एसबी और एससी के किनारों के चौराहे के परिणाम (ए||बी) के साथ होते हैं।

परिभाषा कार्यएक सीधी रेखा के साथ एक बहुफलक के प्रतिच्छेदन बिंदु सहायक काटने वाले विमानों की विधि के आधार पर हल किया गया। इस मामले में, किसी दी गई सीधी रेखा के अनुमानों में से एक प्रक्षेपित छेदक विमान में संलग्न है। सहायक के प्रतिच्छेदन की रेखा ज्ञात कीजिए

एक पॉलीहेड्रॉन के साथ विमान काटना। एक पॉलीहेड्रॉन के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के अनुमान, निर्मित खंड रेखा के प्रतिच्छेदन और किसी दी गई सीधी रेखा के दूसरे प्रक्षेपण और दोनों प्रक्षेपण विमानों में उनकी स्थिति के बाद के निर्धारण के परिणामस्वरूप पाए जाते हैं। सामान्य स्थिति में एक सीधी रेखा के साथ पिरामिड के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए (चित्र 4.7)।

चित्र 4.7 - एक पिरामिड के साथ एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन

आइए हम निष्कर्ष निकालें, उदाहरण के लिए, दी गई सीधी रेखा l 2 के ललाट प्रक्षेपण को सामने से प्रक्षेपित विमान Q2 में और इस विमान द्वारा पिरामिड के खंड की एक रेखा का निर्माण करें। हम रेखा l 1 - K1 और L1 के क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ पहले खंड के त्रिभुज के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप रेखा l के साथ पिरामिड के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का निर्माण करते हैं, और फिर हम उनके ललाट अनुमान (K2,) प्राप्त करते हैं एल2)।

आइए हम पिरामिड SABC के साथ रेखा l (l 1, l 2 ) की पारस्परिक दृश्यता निर्धारित करें। यदि तत्वों में से एक किसी विशेष स्थिति में है, तो पॉलीहेड्रा के चौराहे बिंदुओं को लाइनों के साथ निर्धारित करने के कार्यों को सरल किया जाता है।

उदाहरण के लिए, एक प्रक्षेप्य प्रिज्म के साथ सामान्य स्थिति में एक रेखा के प्रतिच्छेदन के बिंदुओं का निर्धारण करते समय, समस्या को प्रिज्म चेहरों के पतित प्रक्षेपणों के साथ एक रेखा के प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए कम किया जाता है (चित्र 4.8)।

चित्र 4.8 - एक सीधी प्रिज्म के साथ एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन

प्रोजेक्टिंग लाइन के साथ पिरामिड के चौराहे के बिंदुओं को खोजने पर, चौराहे के बिंदुओं (K1, N1) के क्षैतिज अनुमानों को सीधी रेखा के पतित प्रक्षेपण पर निर्धारित किया जाता है, और फिर उनके ललाट अनुमानों को पंक्तिबद्ध किया जाता है (K2, N2) और उनकी पारस्परिक दृश्यता स्थापित होती है (चित्र 4.9)।

चित्र 4.9 - प्रोजेक्टिंग लाइन के साथ पिरामिड का प्रतिच्छेदन

4.3 पॉलीहेड्रा के विकास का निर्माण

यदि सतहों को लचीलेपन और अकाट्यता के गुण दिए जाते हैं, तो उनमें से कुछ को सिलवटों और टूटने के बिना, यानी सतह के विकास को प्राप्त करने के लिए विमान के साथ जोड़ा जा सकता है।

एक बहुफलक का विकास एक समतल आकृति है जो एक बहुफलक के सभी फलकों को एक विमान के साथ एक निश्चित क्रम में जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

एक प्रिज्म या पिरामिड के विकास का निर्माण करने के लिए, उनके किनारों और आधारों के वास्तविक आकार को निर्धारित करना आवश्यक है, और फिर सतहों के विकास का निर्माण करना (आंकड़े 4.10 और 4.11)।

पिरामिड के विकास का निर्माण इसकी सतह को सीमित करने वाले त्रिभुजों के प्राकृतिक आकार के बार-बार निर्माण के लिए कम हो जाता है।

आइए एक त्रिभुज पिरामिड के पूर्ण विकास का निर्माण करें (चित्र 4.10)। ऐसा करने के लिए, हम समकोण त्रिभुज विधि का उपयोग करके प्रत्येक किनारे का वास्तविक आकार निर्धारित करते हैं। धार SC स्तर की अग्रिम पंक्ति है, इसलिए इसका प्रक्षेपण S2 C2 स्वाभाविक है। पिरामिड का आधार एक क्षैतिज स्तर का तल है, इसलिए त्रिभुज ABC का क्षैतिज प्रक्षेपण एक प्राकृतिक मान है।

चित्र 4.10 - पिरामिड का विकास

पॉलीहेड्रॉन के चेहरों के प्राकृतिक मूल्यों के निर्माण के लिए इच्छुक प्रिज्म के स्कैन का निर्माण कम हो गया है। ये निर्माण निम्नलिखित तरीकों से किए जा सकते हैं:

1. सामान्य खंड की विधि, जिसमें प्रिज्म के किनारों के लंबवत काटने वाले विमान का उपयोग करके प्रत्येक चेहरे की चौड़ाई निर्धारित की जाती है;

2. रोलिंग विधि, जो समतल रेखा के चारों ओर घुमाकर, समतल के साथ प्रिज्म के सभी चेहरों के अनुक्रमिक संयोजन पर आधारित है;

3. त्रिभुजों में विकर्णों द्वारा समचतुर्भुजों को विभाजित करने और त्रिभुजों की भुजाओं के प्राकृतिक मूल्यों को निर्धारित करने के आधार पर एक त्रिभुज विधि।

आइए हम सामान्य खंड पद्धति के सार पर विचार करने पर अधिक विस्तार से ध्यान दें। आइए प्रिज्म की स्थिति इस तरह से सेट करें कि इसके किनारे, उदाहरण के लिए, मोर्चों की स्थिति में हों (चित्र 4.11)।

चित्र 4.11 - सामान्य खंड विधि का उपयोग करके प्रिज्म को स्कैन करना

आइए हम दिए गए प्रिज्म को प्रिज्म के किनारों के लंबवत एक सहायक तल के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, अर्थात। प्रिज्म के प्रत्येक फलक की चौड़ाई निर्धारित करें। आइए हम इस सामान्य खंड का प्राकृतिक मूल्य निर्धारित करें और प्रिज्म की सतह के विकास का निर्माण करें। विकास का निर्माण एक क्षैतिज रेखा के निर्माण के साथ शुरू होता है, जिस पर हम उन खंडों को अलग करते हैं जो प्रत्येक चेहरे की चौड़ाई को उसके सामान्य खंड के साथ निर्धारित करते हैं।

खंडों की लंबाई निर्धारित करने वाले बिंदुओं के माध्यम से, हम उन पर लंबवत रेखाएँ खींचते हैं, जिस पर हम खंड रेखा और प्रिज़्म के आधारों के बीच संलग्न पसलियों के खंडों की लंबाई को प्लॉट करते हैं।

प्रिज्म की पार्श्व सतह का विकास निर्मित खंडों के सिरों को सीधी रेखाओं से जोड़ने के बाद प्राप्त होता है। प्रिज्म के पूर्ण स्वीप का निर्माण करने के लिए, प्रिज्म के आधारों के प्राकृतिक मूल्यों को पूरा करना आवश्यक है।

4.4 बहुफलक का परस्पर प्रतिच्छेदन

दो पॉलीहेड्रा के चौराहे का परिणाम एक स्थानिक बहुभुज बंद रेखा है जो दोनों पॉलीहेड्रा की पार्श्व सतह के साथ चलती है।

इसके लिंक को एक पॉलीहेड्रॉन के चेहरों के दूसरे के चेहरे के साथ चौराहे के परिणाम के रूप में परिभाषित किया जाता है, और शिखर को दूसरे के चेहरों के साथ प्रत्येक पॉलीहेड्रॉन के किनारों के चौराहे के बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार, दो पॉलीहेड्रा के पारस्परिक चौराहे की रेखा के निर्माण की समस्या को दो विमानों के चौराहे की समस्या को हल करने के लिए या एक विमान के साथ एक रेखा के चौराहे तक कम किया जा सकता है।

पॉलीहेड्रा के चौराहे की रेखा दो या दो से अधिक शाखाओं में विभाजित हो सकती है, जो बंद स्थानिक बहुभुज रेखाएं और फ्लैट बहुभुज दोनों हो सकती हैं। प्रतिच्छेदन रेखा दोनों प्रतिच्छेदी सतहों के अनुमानों के सामान्य भाग के भीतर हो सकती है।

आइए SABC पिरामिड के साथ KLMN प्रिज्म के प्रतिच्छेदन की एक रेखा बनाएं।

एक प्रतिच्छेदन रेखा बनाने के लिए, हम पहले प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं, उदाहरण के लिए, एक पिरामिड के फलकों के साथ एक प्रिज्म के किनारे (चित्र 4.12)। चित्र से यह देखा जा सकता है कि किनारे M, N, L दो पॉलीहेड्रा के अतिव्यापी क्षेत्र के बाहर हैं, इसलिए, वे पिरामिड के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। किनारे K पिरामिड CSA और CSB (चेहरे C1 S1 A1 और C1 S1 B1 और किनारे K1 के क्षैतिज अनुमानों द्वारा निर्धारित) के दो चेहरों के अनुमानों के सुपरपोजिशन के क्षेत्र में स्थित है, इसलिए हम निर्धारित करते हैं इन फलकों के साथ किनारे K के प्रतिच्छेदन बिंदु।

चित्र 4.12 - पिरामिड के फलकों के साथ प्रिज्म के किनारों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का पता लगाना

निर्माण के लिए, हम सहायक सीधी रेखाओं (S1 11 , S1 21 ) का उपयोग करेंगे, जिसे हम CSB और CSA के चेहरों के साथ किनारे K के चौराहे बिंदुओं के अनुमानों के माध्यम से खींचते हैं - अंक 3 और 4 (पहले हम उनका निर्धारण करते हैं) क्षैतिज अनुमान 31 और 41)। आइए हम सहायक लाइनों S2 12 , S2 22 के अनुमानों के साथ किनारे K2 के अनुमानों के चौराहे पर अंक 3 और 4 के ललाट अनुमानों का निर्माण करें।

हम प्रिज्म के चेहरों के साथ पिरामिड के किनारों के चौराहे के बिंदु पाते हैं। हम इन बिंदुओं को प्रक्षेपणों के क्षैतिज तल से बनाना शुरू करेंगे, क्योंकि प्रिज्म क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित स्थिति में है। किनारे S1 A1 का प्रक्षेपण प्रिज्म K1 L1 और L1 N1 के दो चेहरों को 51 और 61 बिंदुओं पर काटता है। आइए इन बिंदुओं को किनारे S2 B2 के प्रक्षेपण पर अनुमानों के ललाट तल में प्रोजेक्ट करें और अनुमानों का निर्माण करें 52 तथा 62 ।

इसी तरह तर्क देते हुए, हम प्रिज्म केएल, केएन और केएम (7,8, 9, 10) (चित्रा 4.13) के चेहरों के साथ किनारों एसए और एससी के चौराहे बिंदुओं के अनुमानों का निर्माण करते हैं।

चित्र 4.13 - प्रिज्म के फलकों के साथ पिरामिड के किनारों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का पता लगाना

प्रिज्म और पिरामिड के चेहरों से एक साथ संबंधित सीधी रेखाओं के खंडों द्वारा प्रतिच्छेदन के बिंदुओं के अनुमानों को क्रमिक रूप से कनेक्ट करें। उदाहरण के लिए, अंक 7-5-4-9-3-7 के अनुमान क्रमिक रूप से जुड़े हुए हैं, प्रवेश क्षेत्र में दो पॉलीहेड्रा के चौराहे की रेखा के खंडों को जोड़ते हुए और निकास क्षेत्र में अंक 8, 6 और 10 को जोड़ते हैं। दो पॉलीहेड्रा।

निर्माण का अंतिम चरण निर्मित चौराहे लाइन के वर्गों की दृश्यता निर्धारित करना है। चौराहे रेखा खंड का प्रक्षेपण दृश्यमान माना जाता है यदि खंड पिरामिड चेहरे और प्रिज्म चेहरे के दृश्य अनुमानों में है। यदि चेहरों के अनुमानों में से कम से कम एक दिखाई नहीं दे रहा है, तो प्रतिच्छेदन रेखा के माने गए खंड का प्रक्षेपण दिखाई नहीं देता है। आइए चौराहे की रेखा के वर्गों को जोड़ते हैं और चेहरे की दृश्यता को ध्यान में रखते हुए ड्राइंग को स्ट्रोक करते हैं (चित्र 4.14)।

चित्र 4.14 - बहुफलक का पारस्परिक प्रतिच्छेदन

विषय 4 पर आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न:

1. पॉलीहेड्रॉन क्या है?

2. एक जटिल चित्र में बहुफलक की सतह को क्या परिभाषित करता है?

3. एक समतल द्वारा बहुफलक के एक खंड का निर्माण करने के लिए किन विधियों का उपयोग किया जाता है?

4. जब एक पॉलीहेड्रॉन एक सीधी रेखा के साथ प्रतिच्छेद करता है तो प्रवेश और निकास बिंदु कैसे बनते हैं?

5. प्रिज्म के स्वीप का निर्माण करते समय सामान्य खंड विधि का सार क्या है?

6. पिरामिड स्वीप बनाने के लिए किस विधि का उपयोग किया जाता है?

5 वक्र और सतह

5.1 घुमावदार रेखाएं

घुमावदार रेखाओं का उपयोग विभिन्न सतहों के डिजाइन में, मशीनों और तंत्रों के सिद्धांत में, मॉडलिंग और अंकन व्यवसाय में, मल्टीकंपोनेंट सिस्टम के राज्य आरेखों के निर्माण में किया जाता है।

वक्र रेखा अंतरिक्ष में गतिमान किसी बिंदु की क्रमागत स्थितियों का समुच्चय है।

घुमावदार रेखाएँ, जिनमें से सभी बिंदु एक ही तल से संबंधित होते हैं, समतल कहलाते हैं, उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा, एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त, एक परवलय, एक अतिपरवलय, एक साइनसॉइड, एक चर के कार्यों के रेखांकन, समीकरणों के रेखांकन दो अज्ञात, अन्य घुमावदार रेखाएँ - स्थानिक, उदाहरण के लिए, पेचदार रेखाएँ।

प्रत्येक वक्र में ज्यामितीय तत्व शामिल होते हैं जो इसका निर्धारक बनाते हैं, अर्थात। स्वतंत्र स्थितियों का एक समूह जो इस वक्र को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है।

वक्रों को परिभाषित करने के निम्नलिखित तरीके हैं:

1. विश्लेषणात्मक - वक्र गणितीय समीकरण द्वारा दिया जाता है;

2. ग्राफिकल - वक्र केवल ग्राफिक रूप से सेट किया गया है;

3. सारणीबद्ध - वक्र को उसके बिंदुओं की क्रमिक श्रृंखला के निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है।

किसी भी वक्र रेखा को अंतरिक्ष में एक बिंदु को स्थानांतरित करके प्राप्त किया जा सकता है, एक विमान द्वारा घुमावदार सतहों के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप और सतहों के पारस्परिक चौराहे के परिणामस्वरूप, जिनमें से कम से कम एक वक्र है।

एक सपाट घुमावदार रेखा के बिंदुओं को साधारण (स्पर्शरेखा बिंदु A) और विशेष (विभक्ति बिंदु B - विभक्ति बिंदु पर, वक्रता परिवर्तन चिह्न - से विभाजित किया जाता है)

इस बिंदु के एक तरफ, वक्र उत्तल है, दूसरी तरफ अवतल है; क्यूप्स सी - पहली तरह के क्यूप्स (चक्रवात का बिंदु एफ पहली तरह के क्यूप्स को संदर्भित करता है), डी - दूसरी तरह के क्यूप्स; बिंदु E स्ट्रोफॉइड का दोहरा बिंदु है, इस बिंदु पर वक्र में दो अलग-अलग स्पर्शरेखाएँ m1 और m2) होती हैं (चित्र 5.1)।

चित्र 5.1 - वक्र के साधारण और एकवचन बिंदु

नियमित घुमावदार रेखाओं को बीजीय (वृत्त, परवलय) और अनुवांशिक (साइनसॉइड) में विभाजित किया जाता है।

एक सपाट घुमावदार रेखा का अध्ययन करते समय, अक्सर इसका क्रम निर्धारित करना आवश्यक हो जाता है। एक सपाट घुमावदार रेखा का क्रम एक सीधी रेखा के साथ उसके प्रतिच्छेदन के बिंदुओं की सबसे बड़ी संख्या या उसके समीकरण की डिग्री से निर्धारित होता है। पहले क्रम की रेखा एक सीधी रेखा है। दूसरे क्रम की घुमावदार रेखाएँ - एक दीर्घवृत्त (इसका विशेष रूप एक वृत्त है), एक परवलय, एक अतिपरवलय।

एक वृत्त एक बंद वक्र होता है, जिसके सभी बिंदु इस तल में स्थित किसी बिंदु O से समान दूरी पर होते हैं, जिसे केंद्र कहा जाता है। वृत्त समीकरण: x 2 +y 2 =R 2 ।

एक दीर्घवृत्त एक तल में सभी बिंदुओं का एक समूह है, दो दिए गए बिंदुओं F1 और F2 की दूरी का योग, जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मान (2a) है। अंडाकार समीकरण: एक्स 2 / ए 2 + वाई 2 / बी 2 = 1।

चित्र 5.2 - दूसरे क्रम की रेखाएँ: वृत्त और दीर्घवृत्त

परवलय को समीकरण y 2 = 2px द्वारा परिभाषित किया गया है। एक परवलय में एक अनुचित बिंदु होता है, जिसमें समरूपता की एक धुरी होती है।

अतिपरवलय को समीकरण x2 /a2 - y2 /b2 =1 द्वारा परिभाषित किया जाता है। हाइपरबोला में एक केंद्र और दो सममिति अक्ष होते हैं, और दो अनुचित बिंदु होते हैं।

चित्र 5.3 - दूसरे क्रम की रेखाएँ: परवलय और अतिपरवलय

स्थानिक घुमावदार रेखाओं में से बेलनाकार और शंक्वाकार पेचदार रेखाएँ सबसे बड़ी व्यावहारिक रुचि हैं।

बेलनाकार हेलिक्स - यह एक सीधी रेखा के साथ एक समान गति के साथ एक बिंदु द्वारा वर्णित एक रेखा है, इसके समानांतर एक अक्ष के चारों ओर इसके घूर्णन के समान घूर्णन के साथ।

चित्र 5.4 - हेलिक्स

एक पूर्ण परिक्रमण में जिस ऊँचाई तक बिंदु A ऊपर उठता है, उसे कहते हैं हेलिक्स पिच.

बेलनाकार पेचदार रेखा का ललाट प्रक्षेपण एक साइनसॉइड है, क्षैतिज प्रक्षेपण एक चक्र है।

5.2 घुमावदार सतहों का निर्माण

एक घुमावदार सतह एक निश्चित कानून के अनुसार अंतरिक्ष में चलती एक निश्चित रेखा की क्रमिक स्थितियों का एक समूह है।

चित्रों में सतहों को निम्नलिखित तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है:

1. गतिज - सतह को एक निश्चित नियम के अनुसार अंतरिक्ष में गतिमान रेखा की स्थिति का एक सतत समुच्चय माना जाता है।

गतिमान रेखा को पृष्ठ का जनक कहते हैं, और रेखा

जिसके साथ जनरेटर चलता है गाइड कहलाता है (चित्र 5.5)।

चित्र 5.5 - सतहों को परिभाषित करने की गतिज विधि

2. वायरफ्रेम - यदि गणितीय रूप से वर्णन करना असंभव है, तो सतह इन सतहों से संबंधित लाइनों के पर्याप्त घने नेटवर्क द्वारा निर्धारित की जाती है। सतह के कंकाल में त्रि-आयामी वक्र या समतल वर्गों के परिवार शामिल हो सकते हैं (आकृति 5.6)।

चित्र 5.6 - एक फ्रेम के साथ सतह को परिभाषित करना

3. विश्लेषणात्मक - सतह को बिंदुओं के निरंतर द्वि-आयामी सेट के रूप में माना जाता है। इस सेट के बिंदुओं के निर्देशांक कुछ समीकरण F(x,y,z) = 0 को संतुष्ट करते हैं।

4. एक निर्धारक एक सतह के एक अद्वितीय असाइनमेंट के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों का एक समूह है। भूतल क्वालीफायर

ज्यामितीय और एल्गोरिथम भागों से मिलकर बनता है D = [G] [A] । उदाहरण के लिए, क्रांति के एक सिलेंडर की सतह को एक सीधी रेखा को एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घुमाकर परिभाषित किया जा सकता है I निर्धारक का उपयोग कर: डी = [ए]। निर्धारक के ज्यामितीय भाग को अक्ष और जेनरेट्रिक्स के ललाट अनुमानों द्वारा दर्शाया जाता है। एल्गोरिथम भाग में, "क्रांति की सतह" लिखी जानी चाहिए (चित्र 5.7)।

चित्र 5.7 - एक सारणिक के साथ सतह को परिभाषित करना

5. रूपरेखा - संबंधित प्रक्षेपण तल पर सतह के दृश्य भाग की सीमा। वर्णनात्मक ज्यामिति की समस्याओं को हल करने में यह विधि सबसे अधिक दृश्य है। उदाहरण के लिए, एक लम्ब वृत्तीय बेलन की सतह को उसकी क्षैतिज और ललाट रूपरेखा (चित्र 5.8) के प्रक्षेपणों द्वारा दर्शाया जा सकता है।

चित्र 5.8 - एक रेखाचित्र के साथ सतह को परिभाषित करना

सतहों की एक विशाल विविधता, उनके गठन के विभिन्न तरीके, ज्यामितीय विशेषताओं की जटिलता सतहों को वर्गीकृत करने के प्रयासों में कठिनाइयाँ पैदा करती हैं।

जनरेटर के प्रकार के आधार पर सभी घुमावदार सतहों को शासित सतहों में विभाजित किया जाता है, जिसमें जेनरेटर एक सीधी रेखा होती है, और गैर-शासित, जिसमें जेनरेटर एक वक्र होता है।

अलग-अलग शासित सतहें, यदि उन्हें लचीलेपन और अस्थिरता के भौतिक गुण दिए जाते हैं, तो उन्हें बिना झुर्रियों या टूटने के विमान के साथ मेल खाने के लिए विस्तारित किया जा सकता है। ऐसी सतहों को कहा जाता है परिनियोजन योग्य. वे शासित सतहें जो निर्दिष्ट आवश्यकताओं के साथ-साथ गैर-शासित सतहों को पूरा नहीं करती हैं, कहलाती हैं गैर-तैनाती योग्य.

5.3 सतहें: घूर्णन, शासित, पेचदार, चक्रीय

5.3.1 क्रांति की सतहें

क्रांति की सतह एक वक्र (या सीधी रेखा) जेनरेटर द्वारा वर्णित सतह है जब यह एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमती है।

जनरेटर का प्रत्येक बिंदु अपने घूर्णन के दौरान धुरी पर केंद्रित एक चक्र का वर्णन करता है। इन वृत्तों को समांतर कहा जाता है। सबसे बड़े त्रिज्या के समानांतर को भूमध्य रेखा कहा जाता है, सबसे छोटा - कंठ (चित्र 5.9)।

धुरी से गुजरने वाले विमानों द्वारा क्रांति के शरीर के खंड में प्राप्त वक्रों को मेरिडियन कहा जाता है। ललाट प्रक्षेपण विमान के समानांतर मेरिडियन को मुख्य कहा जाता है।

चित्र 5.9 - घूर्णन की सतह

एक सीधी रेखा के घूमने से बनने वाली सतहों में निम्नलिखित सतहें शामिल होती हैं:

1. रोटेशन का सिलेंडर - इसके समानांतर i-अक्ष के चारों ओर एक सीधी रेखा के घूमने से बनता है।

2. घूर्णन का शंकु - i-अक्ष के चारों ओर एक सीधी रेखा के घूमने से बनता है जो इसके साथ प्रतिच्छेद करता है।

3. क्रांति का एक शीट वाला अतिपरवलयज i-अक्ष के चारों ओर एक सीधी रेखा को इसके साथ प्रतिच्छेद करते हुए घुमाकर प्राप्त किया जाता है।

एक अतिपरवलय को उसके काल्पनिक अक्ष के चारों ओर घुमाकर परिक्रमण का अतिपरवलयज भी प्राप्त किया जा सकता है।

नामित सतहें भी शासित सतह होती हैं (चित्र 5.10)।

चित्र 5.10 - क्रांति के पृष्ठ: बेलन, शंकु, अतिपरवलयज

एक वृत्त के घूमने से बनने वाली क्रांति की सतहों में शामिल हैं:

1. गोला - इसके व्यास के चारों ओर एक वृत्त के घूमने से बनने वाली सतह;

2. टोरस - इस वृत्त के तल में पड़ी एक धुरी के चारों ओर एक वृत्त के घूमने से बनने वाली सतह, लेकिन इसके केंद्र से नहीं गुजरती;

3. वलय - वृत्त के बाहर स्थित अक्ष के चारों ओर वृत्त के घूमने से बनने वाली सतह।

टोरस चौथे क्रम की सतह है।

किसी भी सतह को दिया हुआ माना जाता है यदि उसकी सतह पर किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करना संभव हो। सतह पर अंक बनाने के लिए

गोला या टोरस, इन सतहों के समानांतर और मेरिडियन का उपयोग करना आवश्यक है (चित्र 5.11)।

चित्र 5.11 - क्रांति की सतहें: गोला, टोरस, वलय

एक दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय के घूर्णन द्वारा निर्मित क्रांति की सतहों को क्रमशः कहा जाता है: क्रांति का दीर्घवृत्त, क्रांति का परवलयिक, क्रांति का एक-पत्रक अतिपरवलय (चित्र 5.12)।

चित्र 5.12 - क्रांति की सतहें: दीर्घवृत्ताभ, परवलयिक, अतिपरवलयज

5.3.2 शासित सतहें

एक सीधी रेखा की गति से बनने वाली सतह को शासित कहा जाता है।

एक रेक्टिलिनियर जेनरेट्रिक्स की गति से बनी एक शासित सतह जो लगातार किसी बिंदु S से गुजरती है और सभी मामलों में कुछ गाइड वक्र को काटती है, शंकु कहलाती है।

एक निश्चित दिशा के समानांतर और एक गाइड को प्रतिच्छेद करने वाले जेनरेट्रिक्स की गति द्वारा गठित एक शासित सतह को बेलनाकार सतह कहा जाता है।

शासित सतहों में शामिल हैं cusp . के साथ सतह- एक निश्चित स्थानिक वक्र के साथ एक सीधी रेखा को घुमाने से बनता है, और सीधी रेखा का जनक वक्रता गाइड के स्पर्शरेखा के प्रत्येक बिंदु पर रहता है (चित्र 5.13)।

चित्र 5.13 - शासित सतहें: शंक्वाकार, बेलनाकार, वापसी किनारे वाली सतह

5.3.3 पेचदार सतह

पेचदार सतह कुछ उत्पन्न करने वाली रेखा की पेचदार गति से बनती है (चित्र 5.14)।

सीधी रेखाएँ उत्पन्न करने वाली पेचदार सतहों को हेलिकॉइड कहा जाता है।

एक हेलिकॉइड को सीधा कहा जाता है यदि उत्पन्न करने वाली सीधी रेखा सतह के z-अक्ष के साथ एक समकोण बनाती है। अन्य मामलों में, हेलिकॉइड को तिरछा या तिरछा कहा जाता है।

चित्र 5.14 - सीधे और तिरछे हेलिकॉइड

5.3.4 चक्रीय सतह

एक सतह को चक्रीय कहा जाता है यदि इसकी मनमानी गति के दौरान स्थिर या चर त्रिज्या के एक चक्र द्वारा वर्णित किया जाता है।

चक्रीय सतह का एक उदाहरण क्रांति की कोई भी सतह हो सकती है। इसके अलावा, उनमें चैनल और ट्यूबलर सतह शामिल हैं।

चैनल की सतह एक घुमावदार गाइड के साथ चर त्रिज्या के एक चक्र को घुमाकर बनाई गई है।

एक घुमावदार गाइड के साथ स्थिर त्रिज्या के एक वृत्त को घुमाकर एक ट्यूबलर सतह बनाई जाती है (चित्र 5.15)।

चित्र 5.15 - चक्रीय सतहें: चैनल और ट्यूबलर

5.4 सामान्यीकृत स्थितीय समस्याएं

5.4.1 समतल द्वारा वक्र सतहों का प्रतिच्छेदन

जब एक वक्र सतह को एक समतल द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो सामान्य स्थिति में, एक समतल वक्र (दीर्घवृत्त, वृत्त) प्राप्त होता है। एक विमान के साथ शासित सतहों को पार करते समय, सीधी रेखाएं भी प्राप्त की जा सकती हैं, एक विशेष मामले में, यदि सेकेंड प्लेन जनरेटर के साथ निर्देशित होता है या एक बिंदु (सिलेंडर या शंकु) से गुजरता है।

एक समतल द्वारा घुमावदार सतह के प्रतिच्छेदन की एक रेखा का निर्माण करने के लिए, सहायक काटने वाले विमानों की विधि का उपयोग किया जाता है। सहायक विमान को चुना जाता है ताकि यह दिए गए विमान को एक सीधी रेखा के साथ, और सतह को एक रेखीय रूप से सरल रेखा (वृत्त या सीधी रेखा) के साथ काटता हो। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु सतह और काटने वाले तल से संबंधित वांछित बिंदु होंगे।

विमान द्वारा सतह के खंड की रेखा के अनुमानों का निर्माण बहुत सरल है यदि काटने वाला विमान प्रक्षेपित स्थिति पर कब्जा कर लेता है

जेनी इस मामले में, खंड रेखा के अनुमानों में से एक पहले से ही चित्र पर है: यह विमान के प्रक्षेपण के साथ मेल खाता है। कार्य केवल इस रेखा के एक और प्रक्षेपण के निर्माण के लिए कम हो गया है।

प्रोजेक्टिंग प्लेन द्वारा सिलेंडर की सेक्शन लाइन के निर्माण पर विचार करें (चित्र 5. 16)।

चित्र 5.16 - प्रक्षेपित तल द्वारा बेलन का प्रतिच्छेदन

बेलन को समतल द्वारा एक दीर्घवृत्त के अनुदिश प्रतिच्छेदित किया जाता है। चूंकि सिलेंडर एक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित स्थिति पर कब्जा कर लेता है, दीर्घवृत्त क्षैतिज प्रक्षेपण विमान पर सिलेंडर की क्षैतिज रूपरेखा के साथ मेल खाते हुए एक सर्कल में पतित हो जाता है। चूंकि काटने वाला विमान एक ललाट प्रक्षेपित स्थिति में होता है, दीर्घवृत्त का ललाट प्रक्षेपण एक सीधी रेखा खंड 12 22 में पतित हो जाता है।

सामान्य स्थिति में एक समतल द्वारा लम्ब वृत्तीय बेलन की एक खंड रेखा की रचना पर विचार करें (चित्र 5.17)।

निर्माण एल्गोरिथ्म:

1. समस्या की स्थिति का विश्लेषण करें। चूंकि सिलेंडर एक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित स्थिति में रहता है, खंड दीर्घवृत्त का क्षैतिज प्रक्षेपण एक वृत्त में बदल जाता है, और सामने का प्रक्षेपण एक दीर्घवृत्त में प्रक्षेपित होता है।

दृष्टिकोण ए और बी ऐसे बिंदु हैं जो दीर्घवृत्त खंड के ललाट प्रक्षेपण को दृश्य और अदृश्य भागों में विभाजित करते हैं। अनुमान A2 और B2 अनुमानों A1 और B1 के माध्यम से खींचे गए सहायक सेकेंट प्लेन Q (लेवल फ्रंटल प्लेन) का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं।

निकट और दूर बिंदु C और D को अनुमानों C1 और D1 के माध्यम से खींचे गए ललाट स्तर के कटिंग विमानों का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है और निकट और दूर जनरेटर के साथ सिलेंडर को काटते हुए, और दिए गए विमान - संबंधित मोर्चों के साथ। बिंदुओं C2 और D2 के अनुमान रेखाओं के संगत अनुमानों के प्रतिच्छेदन पर पाए जाते हैं।

चित्र 5.17 - सामान्य स्थिति के समतल द्वारा बेलन का प्रतिच्छेदन

खंड के उच्चतम और निम्नतम अंक K और L किसी दिए गए तल के क्षैतिज के लंबवत बेलन की धुरी के माध्यम से खींची गई ढलान रेखा पर हैं। खंड KL दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष की स्थिति निर्धारित करता है।

दीर्घवृत्त की लघु धुरीएमएन प्रमुख अक्ष के लंबवत स्थित है, इसके लंबवत है और सिलेंडर की धुरी से होकर गुजरता है।

3. यादृच्छिक बिंदुओं की स्थिति निर्धारित करें। ललाट स्तर के सहायक छेदक विमानों को खर्च करें और अनुमानों के क्षैतिज और ललाट विमानों पर यादृच्छिक बिंदुओं के अनुमानों की स्थिति निर्धारित करें।

4. ललाट प्रक्षेपण विमान में दीर्घवृत्त की दृश्यता सेट करें । अनुमानों में सिलेंडर और काटने वाले विमान की पारस्परिक दृश्यता सेट करें।

पर समतल द्वारा एक लंब वृत्तीय शंकु के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप, रेखाएँ प्राप्त की जा सकती हैं, जिनकी प्रकृति को शंकु और छेदक तल के स्थान के आधार पर पूर्वाभास किया जा सकता है। ये रेखाएँ हो सकती हैं: एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त, एक परवलय, एक अतिपरवलय, और यदि काटने वाला तल शंकु के शीर्ष से होकर गुजरता है, तो सीधी रेखाओं का एक जोड़ा (चित्र 5.18)।

आइए एक प्रक्षेपित तल द्वारा एक लम्ब वृत्तीय शंकु की एक खंड रेखा बनाते हैं (चित्र 5.19)।

निर्माण एल्गोरिथ्म:

1. समस्या की स्थिति का विश्लेषण करें।

काटने वाला विमान सामने की ओर प्रक्षेपित स्थिति में है, इसलिए, दीर्घवृत्त खंड का ललाट प्रक्षेपण एक सीधी रेखा खंड AB में ललाट प्रक्षेपण में पतित हो जाता है।

2. संदर्भ बिंदुओं की स्थिति निर्धारित करें: खंड ए और बी के ऊपरी और निचले बिंदु अंडाकार के प्रमुख अक्ष की स्थिति निर्धारित करते हैं। निकट और दूर के बिंदुओं (C और D) की स्थिति दीर्घवृत्त के लघु अक्ष पर निर्धारित होती है, जो दीर्घ अक्ष के लंबवत होती है और खंड AB के मध्य में स्थित होती है।

3. यादृच्छिक बिंदुओं की स्थिति निर्धारित करें: के, एल और एम, एन। उनके निर्माण के लिए, स्तर के सहायक काटने वाले विमानों का उपयोग किया जाता है, जो

राई शंकु की सतह को संबंधित त्रिज्या के हलकों के साथ, और समतल - सामने की ओर सीधी रेखाओं को प्रक्षेपित करती है।

चित्र 5. 18 - शंकु वर्ग (शंकु)

चित्र 5.19 - सामने प्रक्षेपित समतल द्वारा शंकु का प्रतिच्छेदन

5.4.2 एक सीधी रेखा वाले वक्र पृष्ठ का प्रतिच्छेदन

एक सीधी रेखा के साथ एक घुमावदार सतह के प्रतिच्छेदन का परिणाम बिंदुओं की एक जोड़ी है।

एक घुमावदार सतह के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की एक जोड़ी को सशर्त रूप से प्रवेश और निकास बिंदु कहा जाता है। इन बिंदुओं के निर्माण के लिए सहायक काटने वाले विमानों की विधि का उपयोग किया जाता है।

निर्माण एल्गोरिथ्म:

1. किसी दी गई सीधी रेखा का कोई भी प्रक्षेपण एक काटने वाले विमान में संलग्न होता है। (आमतौर पर, प्रक्षेपित विमानों को सहायक विमान के रूप में चुना जाता है।)

2. एक समतल द्वारा सतह के रेखा खंड के अनुमानों का निर्माण करें।

3. दी गई सीधी रेखा के साथ परिणामी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें

4. एक सीधी रेखा और एक सतह की पारस्परिक दृश्यता निर्धारित करें। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्माण के विभिन्न मामलों पर विचार करें

सीधी रेखा की सतहें।

यदि कोई एक तत्व (एक रेखा या सतह) किसी विशेष स्थिति में है (चित्र 5.20) तो समस्या समाधान सरल हो जाता है। इस मामले में, अनुमानों में से एक में, घुमावदार सतह के साथ सीधी रेखा के चौराहे के बिंदुओं के अनुमानों की स्थिति निर्धारित की जाती है।

सिलेंडर के खंड में प्रोजेक्टिंग सेकेंट प्लेन में दी गई सीधी रेखा के ललाट प्रक्षेपण को संलग्न करके, हम एक दीर्घवृत्त प्राप्त करते हैं, जो एक सर्कल के रूप में क्षैतिज प्रक्षेपण विमान पर प्रक्षेपित होता है जो सिलेंडर सतह की क्षैतिज रूपरेखा के साथ मेल खाता है। . सीधी रेखा के साथ प्रोजेक्टिंग सिलेंडर के चौराहे के बिंदु क्षैतिज प्रक्षेपण विमान पर सीधी रेखा के प्रक्षेपण के साथ सिलेंडर के क्षैतिज समोच्च के चौराहे पर निर्धारित किए जाते हैं। एक सीधी रेखा और एक सिलेंडर की पारस्परिक दृश्यता स्थापित होती है।

सामान्य स्थिति में एक शंकु की सतह के साथ विशेष स्थिति की रेखा के चौराहे के बिंदुओं को खोजने पर, कोई शंकु की सतह से संबंधित जनरेटर के निर्माण का उपयोग कर सकता है। एम और एन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का निर्माण करें और रेखा और शंकु की पारस्परिक दृश्यता स्थापित करें।

चित्र 5.20 - सीधी रेखाओं के साथ सतहों के प्रतिच्छेदन के विशेष मामले

एक सीधी रेखा के साथ एक शंकु के प्रतिच्छेदन के उदाहरण का उपयोग करते हुए सामान्य स्थिति में एक सीधी रेखा के साथ एक घुमावदार सतह के प्रतिच्छेदन के सामान्य मामले पर विचार करें (चित्र 5.21)। हम इस समस्या का दो तरह से समाधान करेंगे।

पहले मामले में, सीधी रेखा AB का ललाट प्रक्षेपण शंकु के शीर्ष (प्लेन ABS) से गुजरने वाले एक विमान में संलग्न है। यह तल शंकु को S1 और S2 रेखाओं के अनुदिश काटेगा। इन रेखाओं के निर्माण के लिए शंकु के आधार के तल के साथ समतल ABS के प्रतिच्छेदन की रेखा DC और शंकु के आधार के वृत्त के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदु 1 और 2 पाए जाते हैं। रेखा AB के शंकु की सतह के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु K और N रेखा S1 और S2 के साथ रेखा CD के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप पाए जाते हैं। एक सीधी रेखा और एक शंकु की पारस्परिक दृश्यता निर्धारित करें।

दूसरे मामले में, रेखा AB एक ललाट प्रक्षेपित तल में संलग्न है जो एक दीर्घवृत्त में शंकु को प्रतिच्छेद करता है। चौराहे के बिंदु K और N एक सीधी रेखा के साथ निर्मित दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप पाए जाते हैं

एबी और एक सीधी रेखा और एक काटने वाले विमान की पारस्परिक दृश्यता निर्धारित करें।

समस्या को हल करने का पहला तरीका सबसे तर्कसंगत है।

चित्र 5.21 - सामान्य स्थिति में एक सीधी रेखा वाले शंकु का प्रतिच्छेदन

सामान्य स्थिति में एक सीधी रेखा के साथ एक गोले के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करने की समस्या को हल करने के लिए (चित्र 5.22), प्रक्षेपण विमानों को बदलने की विधि का उपयोग करना अधिक तर्कसंगत है। इस मामले में, उदाहरण के लिए, एक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान में दी गई सीधी रेखा AB का एक क्षैतिज प्रक्षेपण निष्कर्ष निकाला गया है। इस विमान द्वारा गोले के खंड में, एक वृत्त प्राप्त होता है, जिसे वृत्त के रूप में विरूपण के बिना P4 तल पर प्रक्षेपित किया जाता है,

और रेखाखंड A4 B4 - अपने प्राकृतिक आकार में। चौराहे के बिंदु C और D को वृत्त के चौराहे और समतल P4 में सीधी रेखा पर निर्धारित किया जाता है, और फिर P1 और P2 विमानों पर उनके अनुमानों को निर्धारित किया जाता है। निर्मित खंड रेखा की दृश्यता के अनुसार एक सीधी रेखा और एक गोले के अनुमानों की दृश्यता निर्धारित करें।

चित्र 5.22 - सामान्य स्थिति में एक सीधी रेखा वाले गोले का प्रतिच्छेदन

5.4.3 घुमावदार सतहों के प्रतिच्छेदन की रेखाएँ बनाने की विधियाँ

दो वक्र पृष्ठ सामान्य स्थिति में स्थानिक वक्र रेखा के अनुदिश प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 5.23)।

चित्र 5.23 - घुमावदार सतहों का परस्पर प्रतिच्छेदन

दो घुमावदार सतहों के प्रतिच्छेदन की रेखा इसके अलग-अलग बिंदुओं पर बनी है। इन बिंदुओं को सहायक मध्यस्थ सतहों की सहायता से निर्धारित किया जाता है। किसी सहायक सतह के साथ दी गई सतहों को प्रतिच्छेद करते हुए, खंड रेखाएँ प्राप्त की जाती हैं, जिसके चौराहे पर वे ऐसे बिंदु पाते हैं जो एक साथ दोनों सतहों से संबंधित होते हैं और इसलिए, वांछित खंड रेखा तक।

विमानों या गोले को अक्सर मध्यस्थ सतहों के रूप में चुना जाता है। इन सतहों का उपयोग निर्दिष्ट सतहों के प्रकार और स्थान द्वारा निर्धारित किया जाता है।

5.4.3.1 सहायक कटिंग प्लेन विधि

सहायक काटने वाले विमानों की विधि का उपयोग तब किया जाता है जब दोनों सतहों को प्रक्षेपित विमानों या समतल विमानों के एक निश्चित सेट द्वारा ग्राफिक रूप से सरल रेखाओं (वृत्त या सीधी रेखाओं) के साथ प्रतिच्छेद किया जा सकता है (चित्र 5.24)।

चित्र 5.24 - एक शंकु और एक बेलन का प्रतिच्छेदन

एक सिलेंडर और एक शंकु (चित्रा 5.25) के चौराहे की रेखा के निर्माण की समस्या के उदाहरण पर स्तर के सहायक काटने वाले विमानों की विधि के आवेदन पर विचार करें।

चित्र 5.25 - कटिंग प्लेन विधि: एक बेलन और एक शंकु का प्रतिच्छेदन

आइए संदर्भ बिंदुओं (अनुभाग के ऊपरी, निचले, दाएं और बाएं बिंदु और दृश्यता बिंदुओं) को परिभाषित करके निर्माण शुरू करें। चूँकि वृत्ताकार सिलेंडर की सतह सामने की ओर प्रक्षेपित स्थिति में होती है, ये बिंदु सतह के ललाट रूपरेखा पर स्थित होते हैं - वह वृत्त जिसमें सिलेंडर प्रक्षेपित होता है।

अनुमानों के ललाट तल में ही खंड रेखा सिलेंडर की ललाट रूपरेखा के साथ मेल खाएगी और दो सतहों के अनुमानों के सुपरपोजिशन के क्षेत्र द्वारा निर्धारित की जाती है।

खंड के ऊपरी और निचले बिंदुओं के अनुमानों का निर्माण उनके ललाट अनुमानों 12 और 22 की परिभाषा के साथ शुरू होगा। आइए उन्हें पहाड़ों पर बनाएं

मुख्य मेरिडियन के अनुमानों पर अनुमानों का छत्र विमान और अंक 11 और 21 के क्षैतिज अनुमानों का पता लगाएं।

अनुभाग के सबसे दाहिने और सबसे बाएं बिंदुओं के क्षैतिज अनुमानों के निर्माण के लिए, हम समतल विमानों को काटने की विधि का उपयोग करेंगे। हम सहायक विमान की स्थिति को इस तरह से चुनते हैं कि यह एक साथ दोनों सतहों को ग्राफिक रूप से सरल रेखाओं के साथ-साथ सर्कल या सीधी रेखाओं के साथ काटता है। एक सहायक काटने वाला विमान - एक क्षैतिज स्तर का विमान - अंक 3 और 4 के ललाट अनुमानों के माध्यम से खींचा जाएगा। इस मामले में, एक गोलाकार सिलेंडर की सतह को सीधी रेखाओं में और एक गोलाकार शंकु की सतह को काट दिया जाएगा - एक चक्र में। अंक 31 और 41 के क्षैतिज अनुमान खंड रेखाओं के क्षैतिज अनुमानों के चौराहे पर प्राप्त किए जाएंगे।

अंक 3 और 4 एक ही समय में खंड रेखा के क्षैतिज प्रक्षेपण के लिए देखने के बिंदु हैं, अर्थात। इस प्रक्षेपण को दृश्यमान और अदृश्य भागों में परिसीमित करें।

सेक्शन लाइन से संबंधित अन्य सभी बिंदु सहायक होंगे और उनकी पसंद यादृच्छिक है। यादृच्छिक बिंदुओं की संख्या निर्माण की सटीकता से निर्धारित होती है: जितने अधिक होते हैं, उतना ही सटीक समाधान बनाया जाता है।

आइए हम यादृच्छिक बिंदुओं 5 और 6 की एक जोड़ी के निर्माण पर ध्यान दें। ऐसा करने के लिए, हम ललाट प्रक्षेपण विमान में प्रतिस्पर्धी बिंदुओं की एक जोड़ी का चयन करते हैं और उनके क्षैतिज अनुमानों को निर्धारित करने के लिए क्षैतिज स्तर के सहायक छेदक विमान का उपयोग करते हैं।

एक चिकनी घुमावदार रेखा के साथ बिंदुओं के निर्मित अनुमानों को जोड़कर, हम दो सतहों की खंड रेखा का एक क्षैतिज प्रक्षेपण प्राप्त करते हैं। इस मामले में, क्षैतिज प्रक्षेपण विमान में, हम दृश्यता बिंदुओं की स्थिति को ध्यान में रखेंगे। अंक 3 और 4 के ऊपर खंड रेखा का खंड,

दिखाई देगा, और उनके नीचे - अदृश्य। इस रेखा का ललाट प्रक्षेपण बेलनाकार सतह की ललाट रूपरेखा के साथ मेल खाता है, और सममित होने के कारण, दिखाई देगा।

इस प्रकार, सतहों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा बनाने के लिए, यह आवश्यक है:

1. निर्धारित करें कि कौन सी सतहें प्रतिच्छेद करती हैं और क्या समस्या की स्थिति में प्रतिच्छेदन रेखा का प्रक्षेपण है।

2. लंगर बिंदुओं की स्थिति निर्धारित करें।

3. सहायक काटने वाले विमानों की स्थिति का चयन करें।

4. चयनित कटिंग विमानों का उपयोग करके शेष संदर्भ और यादृच्छिक बिंदुओं की स्थिति का पता लगाएं।

5. वांछित खंड रेखा के अनुमान बनाएं।

6. दृश्यता को परिभाषित कीजिए।

सतहों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा बनाने के लिए जिसमें समरूपता का एक सामान्य तल नहीं है, छेदक विमानों की विधि का उपयोग करें (चित्र 5.26)। बिंदु 1 और 2 की स्थिति निर्धारित करने के लिए, शंकु की समरूपता की धुरी के माध्यम से हम स्तर के ललाट तल को खींचते हैं, जो शंकु को मुख्य मेरिडियन के साथ और परिधि के साथ गोले को काटते हैं। अंक 12 और 22 के ललाट अनुमान निर्धारित किए जाते हैं, और फिर अनुमान 11, 21।

उच्चतम और निम्नतम बिंदुओं (3 और 4) की स्थिति शंकु और गोले के केंद्रों से गुजरते हुए और दो सतहों के समरूपता के विमान के रूप में, छेदक विमान Q का उपयोग करके निर्धारित की जाती है। अंक 32, 42 और 31, 41 के अनुमानों को निर्धारित करने के लिए, शंकु के समरूपता के अक्ष से गुजरने वाले अक्ष के चारों ओर प्राप्त वर्गों (दोनों सतहों के मेरिडियन) के रोटेशन की विधि का उपयोग किया गया था।

चित्र 5.26 - शंकु और गोले का प्रतिच्छेदन - तलों को काटने की विधि

प्रक्षेपणों के क्षैतिज तल (5.6) के लिए देखने के बिंदु गोले के भूमध्य रेखा के माध्यम से खींचे गए समतल का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं।

क्षैतिज स्तर के कटिंग विमानों का उपयोग करके यादृच्छिक बिंदुओं की स्थिति निर्धारित की जाती है।

ललाट प्रक्षेपण विमान के लिए दृष्टिकोण गोले के मुख्य मध्याह्न रेखा पर होंगे। यदि हम गोले के मुख्य मध्याह्न रेखा के माध्यम से एक काटने वाला विमान खींचते हैं, तो गोले के खंड में एक वृत्त होगा, और शंकु के खंड में - एक अतिपरवलय। आइए हम इनकी अनुमानित स्थिति निर्धारित करें

सतहों की एक सामान्य खंड रेखा के निर्माण के बाद अंक।

हम संबंधित प्रक्षेपण विमानों में दृश्यता को ध्यान में रखते हुए, निर्मित बिंदुओं के अनुमानों को जोड़ते हैं।

5.4.3.2 सहायक काटने वाले क्षेत्रों की विधि

सहायक सेकेंट स्फेयर्स पद्धति का उपयोग क्रांति की सतहों में निहित संपत्ति पर आधारित है। इसमें दो

क्रांति की कोई भी समाक्षीय सतह सतहों के मेरिडियन के चौराहे के बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्तों के साथ प्रतिच्छेद करती है।

इस मामले में, खंड के मंडलियों के विमान रोटेशन की धुरी के लंबवत होते हैं, और मंडलियों के केंद्र इस धुरी से संबंधित होते हैं। इसलिए, यदि क्रांति की सतहों की कुल्हाड़ियां प्रक्षेपणों के तल के समानांतर हैं, तो इस तल पर खंड के वृत्तों को क्रांति की सतहों के अक्षों के प्रक्षेपणों के लंबवत सीधी रेखाओं के खंडों में प्रक्षेपित किया जाता है, और अन्य विमान - हलकों के रूप में।

क्रांति की सहायक छेदक सतह के रूप में, एक गोलाकार सतह का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, जिसका केंद्र क्रांति की सतह के अक्ष से संबंधित होना चाहिए (चित्र 5.27)।

चित्र 5.27 - गोलों को काटने का गुण

पर सतहों की सापेक्ष स्थिति के आधार पर, छेदक गोले की विधि का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए दो संभावित विकल्प हैं:

1. दोनों सतहों की कुल्हाड़ियां प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर हैं।

2. प्रतिच्छेद करने वाली सतहों का एक उभयनिष्ठ प्रतीक तल होता है

पर पहले मामले में, संकेंद्रित छेदक क्षेत्रों की विधि का उपयोग किया जाता है (चित्र 5.28), दूसरे मामले में, सनकी छेदक गोले।

चित्र 5.28 - संकेंद्रित छेदक गोले की विधि: शंकुओं का प्रतिच्छेदन

आइए हम दो शंकुओं के प्रतिच्छेदन की एक रेखा के निर्माण की समस्या को हल करने के लिए संकेंद्रित छेदक गोले की विधि का उपयोग करने पर अधिक विस्तार से ध्यान दें (चित्र 5.29)।

चौराहे की रेखा का निर्माण संदर्भ बिंदुओं के अनुमानों की स्थिति निर्धारित करने के साथ शुरू होता है। अंक 12, 22 और 32, 42 के अनुमान शंकु सतहों के प्रवेश क्षेत्र में और उनके बाहर निकलने के क्षेत्र में उच्चतम और निम्नतम बिंदु हैं। उनके क्षैतिज प्रक्षेपण 11 , 21 , 31 , 41 क्षैतिज प्रक्षेपण तल में सममिति के अक्ष पर प्रक्षेपित करके प्राप्त किए जाते हैं।

सतहों के प्रतिच्छेदन की रेखा के शेष बिंदुओं को प्राप्त करने के लिए, संकेंद्रित छेदक क्षेत्रों की विधि का उपयोग किया जाता है। सतहों के समरूपता कुल्हाड़ियों के चौराहे पर ललाट प्रक्षेपण विमान में छेदक क्षेत्रों का केंद्र चुना जाता है। निर्माण छेदक क्षेत्र के न्यूनतम त्रिज्या को निर्धारित करने के साथ शुरू होता है - दो लंबवत में से बड़े का मान, गोले के केंद्र से शंकु के जेनरेट्रिक्स सतहों तक कम किया जाता है।

चित्र 5.29 - संकेंद्रित काटने वाले गोले की विधि

आइए दो जीवाओं के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप सतहों के प्रतिच्छेदन की रेखा से संबंधित बिंदुओं का निर्माण करें (अंतरिक्ष मंडल जिसके साथ सहायक क्षेत्र शंकु को काटता है)।

आइए चौराहे की रेखा से संबंधित यादृच्छिक बिंदुओं का निर्माण करें - अंक 5 और 6, एक छेदक क्षेत्र का उपयोग करके, जिसकी त्रिज्या को सीमा से चुना जाता है: न्यूनतम से अधिक और अधिकतम से कम (केंद्र से बिंदु 22 के प्रक्षेपण तक) .

हम संबंधित अनुमानों में उनकी दृश्यता को ध्यान में रखते हुए, अनुभाग रेखा के अनुमानों को जोड़ते हैं।

एक शंकु और एक गोले के प्रतिच्छेदन को निर्धारित करने की समस्या को हल करने के लिए सनकी काटने वाले विमानों की विधि का उपयोग करने पर विचार करें, जिसमें समरूपता का एक सामान्य विमान है (चित्र 5.30)।

चित्र 5.30 - समाक्षीय शंकु और गोला

हम सतहों के ललाट रेखाचित्रों के चौराहे पर खंड (12, 22) के ऊपरी और निचले बिंदुओं की स्थिति निर्धारित करके चौराहे की रेखा का निर्माण शुरू करते हैं और उनके क्षैतिज अनुमान 11 और 21 (चित्र 5.31) निर्धारित करते हैं। शेष बिंदुओं को शंकु के सममिति अक्ष पर स्थित एक या विभिन्न केंद्रों से खींचे गए छेदक गोले का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।

चित्र 5.31 - एक शंकु और एक गोले का प्रतिच्छेदन - गोले का मार्ग

अंक 3.4 और 5.6 के जोड़े पहले दिए गए सतहों के सहायक क्षेत्र के संबंधित वर्गों से जीवाओं के चौराहे पर अनुमानों के ललाट तल में निर्धारित किए जाते हैं। फिर वे अपने क्षैतिज अनुमानों का निर्माण करते हैं। चौराहे की रेखा की दृश्यता क्षैतिज प्रक्षेपण विमान में क्षेत्र के भूमध्य रेखा से गुजरने वाले एक काटने वाले विमान का उपयोग करके निर्धारित की जाती है। ललाट प्रक्षेपण तल में, खंड रेखा, सममित होने के कारण, एक दृश्यमान चिकने वक्र में प्रक्षेपित होती है।

एक खुले टोरस और एक काटे गए शंकु के प्रतिच्छेदन की रेखा का निर्माण करते समय सनकी छेदक क्षेत्रों की विधि का उपयोग किया जाता है (चित्र 5.32)। खंड ए और बी के ऊपरी और निचले बिंदु दोनों सतहों के मुख्य मध्याह्न रेखा के तल में हैं और इसलिए सतहों की रूपरेखा के चौराहे पर उनके ललाट अनुमानों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। फिर उनके क्षैतिज प्रक्षेपण A1 और B1 बनाए जाते हैं।

चित्र 5.32 - सनकी गोले की विधि: एक टोरस और एक शंकु का प्रतिच्छेदन

शेष बिंदुओं का निर्माण छेदक क्षेत्रों का उपयोग करके किया जाता है जो रिंग की सतह को उसके मेरिडियन सर्कल के साथ काटते हैं। छेदक गोले के केंद्रों को खोजने के लिए, छेदक विमान खींचे जाते हैं जो वलय के केंद्र से होकर गुजरते हैं। इस तल के प्रतिच्छेदन बिंदु और टोरस की धुरी के माध्यम से एक स्पर्शरेखा तब तक खींची जाती है जब तक कि यह शंकु की धुरी के साथ प्रतिच्छेद न कर दे - यह बिंदु टोरस और शंकु दोनों के लिए सामान्य छेदक क्षेत्र का केंद्र होगा। बिंदु C2 और D2 के अनुमान टोरस और शंकु की सतहों पर जीवाओं (अंतरिक्ष वृत्त) के प्रतिच्छेदन पर निर्धारित किए जाते हैं। जनरेटर की स्थिति निर्धारित की जाती है और अनुमान C1 और D1 टोरस के जनरेटर के संबंधित अनुमानों पर बनाए जाते हैं।

खंड रेखा के क्षैतिज प्रक्षेपण के लिए दृष्टिकोण अनुमानों के ललाट तल में काटे गए शंकु की समरूपता के अक्ष पर निर्धारित किए जाते हैं (एक क्षैतिज स्तर का विमान खींचा जाता है) और दृष्टिकोणों के क्षैतिज अनुमान (L1 और N1) निर्धारित किए जाते हैं . ललाट प्रक्षेपण तल में, रेखा को एक दृश्य वक्र के रूप में प्रक्षेपित किया जाता है।

5.5 स्पर्शरेखा रेखाएँ और सतह से समतल

वक्र के समान तल में पड़ी एक सीधी रेखा इसे दो या अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकती है। ऐसी रेखा को छेदक कहते हैं। यदि छेदक को इस प्रकार स्थानांतरित किया जाता है कि दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच चाप AB की लंबाई शून्य तक पहुंच जाए, तो सीमा स्थिति में छेदक स्थिति t ले लेगा और इसे स्पर्शरेखा कहा जाएगा (चित्र 5.33)।

स्पर्शरेखा प्रत्येक स्पर्शरेखा बिंदु पर वक्र के साथ गति की दिशा को इंगित करती है।

किसी सतह के स्पर्शरेखा वाले समतल में इस पृष्ठ के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, एक सीधी रेखा या एक सपाट वक्र रेखा। एक तल किसी सतह को एक स्थान पर छू सकता है और दूसरे स्थान पर प्रतिच्छेद कर सकता है। संपर्क की रेखा एक साथ विमान के साथ सतह के प्रतिच्छेदन की रेखा हो सकती है।

चित्र 5.33 - वक्र की स्पर्शरेखा

सामान्य तौर पर, एक सतह पर स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा का एक सेट होता है जो किसी भी वक्र से संबंधित होता है

सतह को दबाने और इस सतह के दिए गए बिंदु से गुजरने पर।

किसी भी सतह पर स्पर्शरेखा तल स्थापित करने के लिए, सतह पर दिए गए बिंदु के माध्यम से सतह से संबंधित वक्र खींचना और उनमें से प्रत्येक के लिए एक बिंदु से गुजरने वाली स्पर्श रेखा का निर्माण करना पर्याप्त है। ये सीधी रेखाएं स्पर्शरेखा तल को परिभाषित करेंगी। सतह पर स्पर्शरेखा तल, छेदक तल की सीमित स्थिति है।

स्पर्शरेखा बिंदु और स्पर्शरेखा तल के लंबवत से गुजरने वाली एक सीधी रेखा उस बिंदु पर सामान्य सतह कहलाती है। किसी दिए गए बिंदु पर सामान्य सतह उस बिंदु पर सतह के स्पर्शरेखा की दिशा निर्धारित करती है (चित्र 5.34)।

सतह पर प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्शरेखा विमान बनाना संभव नहीं है। कुछ बिंदुओं पर, स्पर्शरेखा तल को परिभाषित नहीं किया जा सकता है या अद्वितीय नहीं है। ऐसे बिंदुओं को सतहों के विशेष बिंदु कहा जाता है, उदाहरण के लिए, धड़ की सतह की वापसी के किनारे के बिंदु, शंक्वाकार सतह का शीर्ष, क्रांति की सतह के बिंदु, जहां मेरिडियन और अक्ष नहीं होते हैं समकोण आदि पर प्रतिच्छेद करते हैं।

चित्र 5.34 - स्पर्शरेखा समतल

सतह पर किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले स्पर्शरेखा विमानों के निर्माण का कार्य निम्न तक कम हो जाता है:

1. एक वक्र पृष्ठ पर एक बिंदु के माध्यम से किन्हीं दो छेदों को खींचा जाता है

विमान

2. इन विमानों द्वारा सतह के खंड की रेखाएं खोजें।

3. किसी दिए गए बिंदु पर खंड रेखाओं पर स्पर्शरेखाएँ बनाएँ।

दो स्पर्श रेखाएँ वांछित तल को परिभाषित करती हैं। काटने वाले विमानों का चयन करते समय, वे सबसे सरल प्रकार का खंड प्राप्त करते हैं - एक सीधी रेखा या एक वृत्त।

बिंदु A के माध्यम से एक स्पर्शरेखा विमान के निर्माण के मामले पर विचार करें, जो क्रांति के शंकु की सतह से संबंधित है (चित्र 5.35)।

दो आवश्यक वर्गों के निर्माण के लिए, दिए गए बिंदु A और शंकु के शीर्ष के माध्यम से एक काटने वाला विमान खींचा जाता है। यह समतल शंकु की सतह को स्पर्शरेखा की रेखा के रूप में कार्य करने वाले जेनरेट्रिक्स के साथ प्रतिच्छेद करेगा, और इसलिए स्पर्शरेखा तल को परिभाषित करने वाली सीधी रेखाओं में से एक है। दूसरी सीधी रेखा m, बिंदु A के माध्यम से खींचे गए क्षैतिज स्तर के विमान द्वारा शंकु के खंड की परिधि की स्पर्शरेखा। शंकु के आधार की परिधि के लिए स्पर्शरेखा भी खींची जा सकती है।

चित्र 5.35 - शंकु की सतह पर स्पर्शरेखा समतल

5.6 भूतल विकास

एक सतह विकास एक समतल आकृति है जो एक सतह को एक समतल के साथ जोड़कर बनाई जाती है।

सतह के तत्वों के ज्यामितीय गुणों से, जो अनफोल्डिंग के दौरान संरक्षित होते हैं, यह ध्यान दिया जा सकता है कि सतह रेखा अनफोल्डेड लाइन में गुजरती है और यह कि लाइनों की लंबाई, समतल कोणों के मान और बंद रेखाओं से बंधे क्षेत्र अपरिवर्तित रहते हैं।

सभी सतहों को बिल्कुल चपटा नहीं किया जा सकता है। इसलिए, सतहों को विकास योग्य और गैर-विकास योग्य में विभाजित किया गया है। विकासशील सतहों में शासित सतहें शामिल हैं: सिलेंडर, शंकु और टोरोस, क्योंकि आसन्न जनरेटर समानांतर या प्रतिच्छेद करते हैं, अर्थात। एक विमान बनाओ।

एक लम्ब वृत्तीय बेलन का झाडू बनाने के लिए, आपको आधार 2πR के साथ एक आयत बनाने की आवश्यकता है, जहाँ R आधार वृत्त की त्रिज्या है। आयत की ऊँचाई बेलन की ऊँचाई के बराबर होती है (चित्र 5.36)।

2. जब विमान क्रांति के एक सिलेंडर को काटते हैं तो कौन सी रेखाएं प्राप्त होती हैं?

3. जब विमान क्रांति के शंकु को काटते हैं तो क्या वक्र प्राप्त होते हैं?

4. घुमावदार खंड रेखा के चरम बिंदु क्या हैं?

5. किन मामलों में दो घुमावदार सतहों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा बनाने के लिए सहायक काटने वाले विमानों की विधि या सहायक काटने वाले क्षेत्रों की विधि का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है?

6 कंप्यूटर ग्राफिक्स

6.1 कंप्यूटर ग्राफिक्स और कंप्यूटर एडेड डिजाइन में इसका स्थान

कंप्यूटर ग्राफिक्स सॉफ्टवेयर और हार्डवेयर सिस्टम का उपयोग करके छवियों को बनाने और संसाधित करने के तरीकों और साधनों का अध्ययन करता है।

कंप्यूटर ग्राफिक्स में डिस्प्ले डिवाइस (डिस्प्ले, ग्राफ प्लॉटर) पर विजुअल फॉर्म में जानकारी बनाने, बदलने और प्रदर्शित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विभिन्न सॉफ्टवेयर टूल्स का एक कॉम्प्लेक्स शामिल है।

हार्डवेयर के बीच हैं विशेष उपकरणऔर सामान्य प्रयोजन के उपकरण.

पहले इनपुट हैं जैसे लाइट पेन, डिजिटल टैबलेटऔर आउटपुट का मतलब है - षड्यंत्रकारियों(चित्र 6.1)।

चित्र 6.1 - विशिष्ट उपकरण

दूसरे को - आगत यंत्र- "माउस" और "जॉयस्टिक" जोड़तोड़, और आउटपुट डिवाइस-बिटमैप ग्राफिक डिस्प्ले, प्रिंटर, कीबोर्ड(चित्र 6.2)।

सॉफ्टवेयर निम्नलिखित पर केंद्रित है: मुख्य प्रकार के ग्राफिक्स: व्यापार, चित्रण, वैज्ञानिक, डिजाइन (सीएडी के लिए), कार्टोग्राफिक (वास्तुकला और भूमि प्रबंधन सीएडी), ललित कला और विज्ञापन।

कंप्यूटर ग्राफिक्स कंप्यूटर प्रौद्योगिकी और सॉफ्टवेयर के सामान्य विकास के अनुरूप विकसित हुए। प्रारंभ में, उच्च-स्तरीय भाषाओं के हिस्से के रूप में एप्लिकेशन पैकेज के हिस्से के रूप में ग्राफ़ प्रदर्शित करने के लिए प्रोग्राम बनाए गए थे। उदाहरण के लिए, GRAFOR पैकेज को FORTRAN भाषा अनुप्रयोग पैकेज के भाग के रूप में बनाया गया था।

चित्र 6.2 - सामान्य प्रयोजन के उपकरण

पर इसके अलावा, ग्राफिक कार्यक्रमों का निर्माण सॉफ्टवेयर की एक स्वतंत्र दिशा के रूप में सामने आया।

पर छवि निर्माण की विधि के आधार पर, कंप्यूटर ग्राफिक्स में विभाजित हैं:

∙ रेखापुंज ग्राफिक्स;

∙ वेक्टर ग्राफिक्स;

∙ भग्न ग्राफिक्स।

रेखापुंज संपादकों में छवि तत्व एक बिंदु है। एक बिंदु के कई पैरामीटर हो सकते हैं: निर्देशांक, रंग, स्वर, पारदर्शिता। छवि बिंदुओं के व्यवस्थितकरण द्वारा बनाई गई है। इस मामले में, छवि संकल्प का एक संकेतक है - छवि के प्रति इकाई क्षेत्र में डॉट्स की संख्या। आधुनिक इंजीनियरिंग ग्राफिक्स टूल आपको 2540 डीपीआई (डॉट्स प्रति इंच) या अधिक के रिज़ॉल्यूशन वाली छवियां बनाने की अनुमति देते हैं। प्रत्येक बिंदु को मीडिया पर भंडारण के लिए संबोधित करने की आवश्यकता होती है। संसाधित किए जा रहे डेटा की एक महत्वपूर्ण मात्रा, साथ ही छवियों को सहेजने के लिए आवश्यक डेटा, रेखापुंज ग्राफिक्स का एक महत्वपूर्ण दोष है।

रास्टर संपादकों का एक सामान्य नुकसान यह है कि जब छवि को बढ़ाया जाता है, तो अंक तदनुसार बढ़ जाते हैं, इसलिए जब छवि को बड़ा किया जाता है, तो इसका संकल्प और, परिणामस्वरूप, सटीकता खो जाती है; तत्वों के साथ काम करने में असमर्थता (बढ़ी हुई छवियां) - पिक्सेलेशन।

चूंकि छवि तत्व एक बिंदु है, रेखा को पहले से ही बिंदुओं के व्यवस्थितकरण की आवश्यकता होगी। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि द्वि-आयामी और त्रि-आयामी वस्तुओं का निर्माण छवि के विवरण को काफी जटिल करता है, जिससे संसाधित और संग्रहीत डेटा की मात्रा बढ़ जाती है।

रेखापुंज संपादकों में पेंट, एडोब फोटोशॉप आदि शामिल हैं। उन्हें कलात्मक चित्र, चित्र, ग्राफिक्स (चित्र 6.3) जैसी छवियां बनाने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

चित्र 6.3 - रेखापुंज ग्राफिक्स का उपयोग करने के उदाहरण

वेक्टर ग्राफिक्स में, मूल तत्व रेखा है। रेखा को गणितीय रूप से एकल ऑब्जेक्ट के रूप में वर्णित किया गया है, और इसलिए वेक्टर ग्राफिक्स में किसी ऑब्जेक्ट को प्रदर्शित करने के लिए डेटा की मात्रा रास्टर ग्राफिक्स की तुलना में काफी कम है।

सभी माने जाने वाले ग्राफिक संपादक या तो सबसे सरल संपादक होते हैं, उदाहरण के लिए, पेंट, या संपादकों की एक विस्तृत श्रृंखला।

तीन मुख्य ब्लॉक: एक सिम्युलेटर, एक गणना ब्लॉक और एक विशेषज्ञ प्रणाली - डिजाइन कार्य के दौरान आवश्यक सभी मुख्य प्रक्रियाएं करते हैं।

गणना ब्लॉक एप्लिकेशन पैकेज से किसी भी प्रोग्राम को निष्पादित कर सकता है, जिसमें डेवलपर्स द्वारा उपयोग किए जाने वाले सभी आवश्यक प्रोग्राम शामिल हैं। किसी विशेष कार्यक्रम की कॉल या तो सिम्युलेटर के अनुरोध पर की जाती है या विशेषज्ञ प्रणाली, या स्वयं निर्माता।

डेटाबेस

टास्क फॉर्मेशन ब्लॉक

उपयोगकर्ता

चित्र 6.5 - CAD B . का विशिष्ट आरेख टास्क फॉर्मेशन ब्लॉकडिजाइनर तकनीकी परिचय देता है

डिज़ाइन संक्षिप्त, जो डिज़ाइन में प्राप्त किए जाने वाले सभी लक्ष्यों और उन सभी बाधाओं को निर्दिष्ट करता है जिनका उल्लंघन नहीं किया जा सकता है।

तकनीकी दस्तावेज तैयार करने के लिए इकाई डिजाइनर को नए उत्पाद बनाने के अंतिम दो चरणों के लिए आवश्यक दस्तावेज तैयार करने की अनुमति देता है।

विशिष्ट प्रणालियाँ इस विशिष्ट योजना से विचलित हो सकती हैं।

सीएडी और इंजीनियरिंग ग्राफिक संपादकों और सीएडी / सीएएम / सीएई सिस्टम के विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें

6.3 2D-3D मॉडलिंग मॉड्यूल की कार्यक्षमता

ऑटोकैड ग्राफिक्स सिस्टम इंजीनियरिंग ग्राफिक्स सिस्टम में वास्तविक मानक है। ऑटोकैड के नवीनतम संस्करण इंजीनियरों और सीएडी उपयोगकर्ताओं के लिए आधुनिक 32-बिट विंडोज़ अनुप्रयोग हैं। ऑटोकैड एक कुशल कार्य वातावरण प्रदान करता है और इस प्रकार डिजाइनरों को परियोजनाओं पर अधिक ध्यान केंद्रित करने और कीबोर्ड से पैरामीटर दर्ज करने में कम समय बिताने की अनुमति देता है।

मल्टीपल डिज़ाइन एनवायरनमेंट, ऑटोकैड डिज़ाइन सेंटर, इंटेलीमाउस सपोर्ट जैसी सुविधाएँ, और अधिक एक प्राकृतिक, सहज, कुशल कार्य वातावरण का समर्थन करती हैं।

सॉलिडकैम कैडटेक लिमिटेड का एक उत्पाद है। - ताकतवर

जटिल युक्त भागों को संसाधित करते समय सीएनसी मशीनों के लिए नियंत्रण कार्यक्रम प्राप्त करने के लिए एक उपकरण

सतह या ठोस ज्यामिति। सॉलिडकैम गारंटी के साथ 2.5 और 3-अक्ष मिलिंग प्रदान करता है

"अंडरकट्स" की थकी हुई अनुपस्थिति, मोड़

क्रांति के निकाय, सामग्री हटाने की नकल के साथ काटने की प्रक्रिया का दृश्य।

चित्र 6.6 - प्रोग्राम का उपयोग करना उत्पादन में सॉलिडकैम

बीसीएडी प्रणाली को अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए विकसित किया गया था, इसलिए इसकी कार्यक्षमता काफी बहुमुखी है (चित्र 6.7)।

बीसीएडी प्रणाली को एक सार्वभौमिक डिजाइनर के वर्कस्टेशन के रूप में डिजाइन और विकसित किया गया है, जो "एंड-टू-एंड" मोड में काम की एक विस्तृत श्रृंखला को पूरा करने की अनुमति देता है - एक ड्राइंग से तीन-आयामी मॉडल तक या, इसके विपरीत, तीन से फ्लैट अनुमानों के लिए -आयामी प्रतिनिधित्व। उसी समय, मानकों की आवश्यकताओं के अनुसार तकनीकी दस्तावेज तैयार करना, यथार्थवादी चित्र प्राप्त करना और निपटान प्रणालियों के लिए डेटा तैयार करना संभव है।

चित्र 6.7 - bCAD प्रणाली की विंडो

बीसीएडी में तैयार किए गए रेखापुंज छवियों को जीआईएफ, टीजीए, बीएमपी, जेपीजी, टीआईएफएफ या पीसीएक्स प्रारूपों में लिखा जा सकता है और प्रकाशन या चित्रण पैकेज में उपयोग किया जा सकता है।

हाल ही में, तकनीकी विश्वविद्यालयों की शैक्षिक प्रक्रिया में डिजाइन प्रलेखन विकसित करते समय, रूसी कंपनी ASCON द्वारा विकसित KOMPAS-3D प्रणाली का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

KOMPAS-3D ड्राइंग और डिज़ाइन एडिटर में रूसी मानकों के पूर्ण समर्थन के साथ किसी भी जटिलता के चित्र बनाने के लिए पर्याप्त ड्राइंग टूल हैं। इस कार्यक्रम का सरल और समझने योग्य इंटरफ़ेस सफलतापूर्वक एक पेशेवर प्रणाली के लचीलेपन के साथ संयुक्त है, जब ड्राइंग ऑब्जेक्ट्स का निर्माण, चयन, हटाना, GOST के अनुसार टाइप करना, सभी प्रकार के आयाम सेट करना, आकार सहिष्णुता और सतहों का स्थान, स्थिति, आधार, आदि। .

KOMPAS-3D को विशेष रूप से MS Windows ऑपरेटिंग वातावरण के लिए डिज़ाइन किया गया है और उपयोगकर्ता को काम में अधिकतम दक्षता और सुविधा प्रदान करते हुए, इसकी सभी विशेषताओं और लाभों का पूरा उपयोग करता है।

KOMPAS-3D में निम्नलिखित ग्राफिकल ऑब्जेक्ट समर्थित हैं।

ज्यामितीय वस्तुएँ:						सीधी रेखा खंड
	गोलाकार चाप,				बहुभुज,		टूटी पंक्ति,
बेजियर कर्व,		NURBS वक्र,		हैचिंग,		समदूरस्थ वक्र,
मैक्रोन्यूट्रिएंट।
		रैखिक आकार,			कोण का आकार,		रेडियल आकार
	व्यास का आकार,			ऊंचाई का आकार।
विशेष और तकनीकी पदनाम:							बहु

पाठ शिलालेख, आधार पदनाम, आकार और स्थान सहिष्णुता,

ड्राइंग डिजाइन ऑब्जेक्ट: तकनीकी आवश्यकताएं, मुख्य शिलालेख (टिकट), अनिर्दिष्ट सतहों की खुरदरापन का पदनाम।

KOMPAS-3D प्रणाली में मुख्य दस्तावेज हैं:

ड्राइंग, टुकड़ा, पाठ दस्तावेज़, विनिर्देश, असेंबली और विवरण।

किसी भी ड्राइंग सिस्टम की मदद से हल किया गया मुख्य कार्य विभिन्न ग्राफिक प्रलेखन (चित्र 6.10) का निर्माण और विमोचन है।

चित्र 6.10 - KOMPAS-3D . में विस्तृत आरेखण का अंश

निर्माण का सबसे सरल और सबसे समझने योग्य तरीका कर्सर के साथ इनपुट फ़ील्ड पर बिंदुओं की सीधी ओर इशारा करना है। उदाहरण के लिए, एक खंड बनाते समय, इसका प्रारंभिक बिंदु क्रमिक रूप से तय होता है, और फिर अंत बिंदु।

दूसरा तरीका यह है कि वांछित बिंदु पर जाने के लिए निर्देशांक के सटीक मान निर्दिष्ट करें और फिर इसे ठीक करें। निर्देशांक प्रदर्शित करने और दर्ज करने के लिए, विशेष X और Y फ़ील्ड प्रदान किए जाते हैं, जो वर्तमान स्थिति पट्टी के दाईं ओर प्रदर्शित होते हैं।

और अंत में, ऑब्जेक्ट पैरामीटर्स बार आपको ड्राइंग ऑब्जेक्ट्स के प्रबंधन के लिए व्यापक संभावनाओं को लागू करने की अनुमति देता है।

आप माउस से या मेनू कमांड का उपयोग करके ड्राइंग या फ्रैगमेंट ऑब्जेक्ट को स्थानांतरित कर सकते हैं।

काम के बुनियादी तरीके हैं: माउस से वस्तुओं को हिलाना; माउस के साथ वस्तुओं की प्रतिलिपि बनाना; ग्राफिक वस्तुओं का सरल निष्कासन; वस्तुओं के विशिष्ट बिंदुओं का संपादन; वस्तु मापदंडों का संपादन।

KOMPAS-3D प्रणाली सीएनसी उपकरणों के लिए नियंत्रण कार्यक्रमों के विकास के लिए ज्यामिति को विभिन्न डिज़ाइन मापदंडों या पैकेजों में स्थानांतरित करने के साथ-साथ विकसित भागों के लिए डिज़ाइन प्रलेखन बनाने के लिए एक भाग के त्रि-आयामी मॉडल बनाने में सक्षम है (चित्र 6.11) )

चित्र 6.11 KOMPAS-3D में कार्य का उदाहरण

KOMPAS-3D द्वारा हल किए जाने वाले मुख्य कार्य ज्यामिति को विभिन्न गणना पैकेजों में स्थानांतरित करने के लिए या नियंत्रण कार्यक्रमों के विकास के लिए पैकेजों के लिए एक भाग के त्रि-आयामी मॉडल का निर्माण हैं।

सीएनसी रूडिंग, साथ ही विकसित भागों के लिए डिजाइन प्रलेखन का निर्माण।

एक कठोर शरीर के मॉडलिंग के लिए आम तौर पर स्वीकृत प्रक्रिया ठोस तत्वों (गोलाकार, प्रिज्म, सिलेंडर, शंकु, पिरामिड, आदि) पर बूलियन संचालन (संघ, घटाव और चौराहे) का अनुक्रमिक निष्पादन है। ऐसे संक्रियाओं का एक उदाहरण चित्र 6.12 में दिखाया गया है।

चित्र 6.12 - बूलियन संचालन करने का एक उदाहरण

ठोस तत्वों पर बूलियन संचालन: ए) सिलेंडर; बी) एक सिलेंडर और एक प्रिज्म का संयोजन; ग) प्रिज्म घटाव; डी) सिलेंडर का घटाव।

KOMPAS-3D में, वॉल्यूमेट्रिक तत्वों के आकार को सेट करने के लिए, अंतरिक्ष में एक सपाट आकृति का ऐसा विस्थापन किया जाता है, जिसका ट्रेस तत्व के आकार को निर्धारित करता है (उदाहरण के लिए, एक अक्ष के चारों ओर एक गोलाकार चाप का घूमना एक गोला बनाता है) या एक टोरस, बहुभुज का विस्थापन - एक प्रिज्म, आदि)। आयतन तत्वों का निर्माण: a) एक प्रिज्म, b) एक टोरस, c) एक गतिज तत्व (चित्र 6.12)।

चित्र 6.12 - आयतन तत्वों का निर्माण

एक सपाट आकृति, जिसके आधार पर एक शरीर बनता है, एक स्केच कहलाता है, और एक स्केच के आकार देने की गति को एक ऑपरेशन कहा जाता है।

विषय 6 पर आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न:

1. "कंप्यूटर ग्राफिक्स" शब्द में क्या शामिल है?

2. कंप्यूटर ग्राफिक्स हार्डवेयर से संबंधित क्या है?

3. ग्राफिक्स के मुख्य प्रकारों की सूची बनाएं।

4. छवि निर्माण की विधि के अनुसार कंप्यूटर ग्राफिक्स को ……….. में विभाजित किया जाता है, उनका अंतर क्या है?

5. फ्रैक्टल ग्राफिक्स का मूल तत्व क्या है?

6. वेक्टर ग्राफिक्स का मूल तत्व क्या है?

7. एक विशिष्ट सीएडी प्रणाली के तत्व क्या हैं?

8. नाम इंजीनियरिंग ग्राफिक सिस्टम जो आपको ज्ञात हैं।

9. कठोर शरीर के मॉडल के लिए कौन से ऑपरेशन का उपयोग किया जाता है?

ग्रन्थसूची

1. रेनिन एन.ए. वर्णनात्मक रेखागणित। ओर्थोगोनल अनुमान। पेत्रोग्राद, 1918.- 334 पी।

2. गॉर्डन वी.ओ. वर्णनात्मक ज्यामिति पाठ्यक्रम / वी.ओ. गॉर्डन, एमए सेमेंट्सोव-ओगिएव्स्की. - एम: "विज्ञान", 2002. - 382 पी।

3. विन्नित्स्की आई.जी. वर्णनात्मक रेखागणित। हाई स्कूल के लिए पाठ्यपुस्तक। - एम।: "हायर स्कूल", 1975.- 280s।, चित्रण के साथ।

4. पोर्सिन यू.ए. मशीन-निर्माण भागों की एक्सोनोमेट्रिक छवियां।दूसरा संस्करण, संशोधित। और जोड़ें।-एल।: "इंजीनियरिंग", 1976.- 232p।, बीमार के साथ।

5. विनोग्रादोव वी.एन. वर्णनात्मक रेखागणित। मिन्स्क, "उच्चतम। स्कूल", 1977।-308s।, बीमार के साथ।

6. बुबेनिकोव ए.वी. वर्णनात्मक रेखागणित। विश्वविद्यालयों के लिए पाठ्यपुस्तक। - एम।:

उच्चतर स्कूल, 1985.-288s।, बीमार।

7. अरुस्तमोव के.ए. वर्णनात्मक ज्यामिति पर कार्यों का संग्रह

/ एच.ए. अरुस्तमोव। - एम: "इंजीनियरिंग", 1981. - 446s।

8. इंजीनियरिंग ग्राफिक्स: सामान्य पाठ्यक्रम: पाठ्यपुस्तक / एड। एनजी इवांत्सिव्स्काया और वी.जी. बुरोवा। - एड। 2, संशोधित। और जोड़ें.-एम.: लोगो, 2004.- 232p.: बीमार।

9. पेक्लिच वी.ए. वर्णनात्मक ज्यामिति / शैक्षिक संस्करण। - एम।: निर्माण विश्वविद्यालयों के संघ का प्रकाशन गृह, 2007.-272s।, दृष्टांतों के साथ।