हमले का छोटा कोण - [ए.एस. अंग्रेजी-रूसी ऊर्जा शब्दकोश। 2006] सामान्य रूप से विषय पावर इंजीनियरिंग समानार्थक शब्द हमले का कम कोण EN नकारात्मक घटना कम घटना ...
नकारात्मक काटने का कोण- - विषय तेल और गैस उद्योग EN नकारात्मक कटिंग कोण नकारात्मक कटिंग कोण नकारात्मक रेक ... तकनीकी अनुवादक की मार्गदर्शिका
ब्रश की ऊपरी सतह का नकारात्मक बेवल कोण- [गोस्ट 21888 82 (आईईसी 276 68, आईईसी 560 77)] सामान्य तौर पर विद्युत घूर्णन मशीनों के विषय... तकनीकी अनुवादक की मार्गदर्शिका
पंख का कोण विश्वकोश "विमानन"
पंख का कोण- विंग स्थापना कोण. पंख स्थापना कोण कोण φ0 पंख के केंद्रीय तार और विमान के आधार अक्ष के बीच (आंकड़ा देखें)। विमान के वायुगतिकीय विन्यास के आधार पर, यह कोण सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है। आम तौर पर … विश्वकोश "विमानन"
पंख का कोण- पंख के केंद्रीय तार और विमान के आधार अक्ष के बीच कोण (φ)0। विमान के वायुगतिकीय विन्यास के आधार पर, यह कोण सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है। आमतौर पर यह -2(°) से +3(°) के बीच होता है। कोण (φ)0… … प्रौद्योगिकी का विश्वकोश
धोखे का कोण- (दबाया हुआ कोण) क्षितिज के साथ ऊंचाई रेखा (सेमी) द्वारा बनाया गया कोण जब पहली रेखा क्षितिज के नीचे से गुजरती है, यानी एक नकारात्मक ऊंचाई कोण। समोइलोव के.आई. समुद्री शब्दकोश। एम.एल.: एनकेवीएमएफ यूनियन का स्टेट नेवल पब्लिशिंग हाउस... ... समुद्री शब्दकोश
ऑप्टिकल अक्षों का कोण- ऑप्ट के बीच तीव्र कोण। द्विअक्षीय शाफ्ट में धुरी. उ. ओ. ओ जब तीव्र द्विभाजक Ng होता है तो इसे धनात्मक कहा जाता है और जब तीव्र द्विभाजक Np होता है तो इसे ऋणात्मक कहा जाता है (ऑप्टिकली द्विअक्षीय क्रिस्टल देखें)। सच यू.ओ. ओ नामित है... ... भूवैज्ञानिक विश्वकोश
अरंडी (कोण)- इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, कैस्टर देखें। θ कैस्टर, लाल रेखा पहिये की स्टीयरिंग धुरी है। चित्र में, कैस्टर धनात्मक है (कोण को दक्षिणावर्त मापा जाता है, कार का अगला भाग बाईं ओर है) ... विकिपीडिया
कैस्टर (रोटेशन कोण)- θ कैस्टर, लाल रेखा पहिये की स्टीयरिंग धुरी है। चित्र में, कैस्टर सकारात्मक है (कोण को दक्षिणावर्त मापा जाता है, कार का अगला भाग बाईं ओर है) कैस्टर (अंग्रेजी कैस्टर) कार के पहिये के घूमने वाले अक्ष का अनुदैर्ध्य झुकाव कोण है। कैस्टर... ...विकिपीडिया
रेक कोण- 3.2.9 रेक कोण: रेक सतह और बेस प्लेन के बीच का कोण (चित्र 5 देखें)। 1 नकारात्मक रेक कोण; 2 सकारात्मक रेक कोण चित्र 5 रेक कोण
अल्फ़ा वास्तविक संख्या को दर्शाता है। उपरोक्त भावों में समान चिह्न इंगित करता है कि यदि आप अनंत में कोई संख्या या अनंत जोड़ते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, परिणाम वही अनंत होगा। यदि हम प्राकृतिक संख्याओं के अनंत समुच्चय को एक उदाहरण के रूप में लें, तो विचारित उदाहरणों को इस रूप में दर्शाया जा सकता है:
यह स्पष्ट रूप से साबित करने के लिए कि वे सही थे, गणितज्ञ कई अलग-अलग तरीके लेकर आए। व्यक्तिगत रूप से, मैं इन सभी तरीकों को तंबूरा के साथ नृत्य करने वाले ओझाओं के रूप में देखता हूं। अनिवार्य रूप से, वे सभी इस तथ्य पर आते हैं कि या तो कुछ कमरे खाली हैं और नए मेहमान अंदर आ रहे हैं, या मेहमानों के लिए जगह बनाने के लिए कुछ आगंतुकों को गलियारे में फेंक दिया गया है (बहुत मानवीय तरीके से)। मैंने ऐसे निर्णयों पर अपना दृष्टिकोण सुनहरे बालों वाली एक काल्पनिक कहानी के रूप में प्रस्तुत किया। मेरा तर्क किस पर आधारित है? अनंत संख्या में आगंतुकों को स्थानांतरित करने में अनंत समय लगता है। जब हम किसी अतिथि के लिए पहला कमरा खाली कर देते हैं, तो आगंतुकों में से एक हमेशा समय के अंत तक अपने कमरे से अगले कमरे तक गलियारे के साथ चलता रहेगा। बेशक, समय कारक को मूर्खतापूर्ण ढंग से नजरअंदाज किया जा सकता है, लेकिन यह "मूर्खों के लिए कोई कानून नहीं लिखा जाता" की श्रेणी में होगा। यह सब इस पर निर्भर करता है कि हम क्या कर रहे हैं: वास्तविकता को गणितीय सिद्धांतों के साथ समायोजित करना या इसके विपरीत।
"अंतहीन होटल" क्या है? अनंत होटल एक ऐसा होटल है जिसमें हमेशा किसी भी संख्या में खाली बिस्तर होते हैं, चाहे कितने भी कमरे भरे हों। यदि अंतहीन "आगंतुक" गलियारे के सभी कमरे भरे हुए हैं, तो "अतिथि" कमरों वाला एक और अंतहीन गलियारा है। ऐसे गलियारों की संख्या अनंत होगी। इसके अलावा, "अनंत होटल" में अनंत संख्या में देवताओं द्वारा बनाए गए अनंत ब्रह्मांडों में अनंत संख्या में ग्रहों पर अनंत संख्या में इमारतों में अनंत संख्या में मंजिलें हैं। गणितज्ञ रोजमर्रा की सामान्य समस्याओं से खुद को दूर नहीं कर पा रहे हैं: हमेशा एक ही ईश्वर-अल्लाह-बुद्ध होता है, एक ही होटल होता है, एक ही गलियारा होता है। इसलिए गणितज्ञ होटल के कमरों की क्रम संख्या को जोड़ने की कोशिश कर रहे हैं, और हमें आश्वस्त कर रहे हैं कि "असंभव को आगे बढ़ाना" संभव है।
मैं प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट के उदाहरण का उपयोग करके आपको अपने तर्क का तर्क प्रदर्शित करूंगा। सबसे पहले आपको एक बहुत ही सरल प्रश्न का उत्तर देना होगा: प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट हैं - एक या कई? इस प्रश्न का कोई सही उत्तर नहीं है, क्योंकि संख्याओं का आविष्कार हमने स्वयं किया है, प्रकृति में संख्याओं का अस्तित्व नहीं है। हाँ, प्रकृति गिनती करने में माहिर है, लेकिन इसके लिए वह अन्य गणितीय उपकरणों का उपयोग करती है जिनसे हम परिचित नहीं हैं। मैं तुम्हें फिर कभी बताऊंगा कि प्रकृति क्या सोचती है। चूंकि हमने संख्याओं का आविष्कार किया है, इसलिए हम स्वयं तय करेंगे कि प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट हैं। आइए दोनों विकल्पों पर विचार करें, जैसा कि वास्तविक वैज्ञानिकों को करना चाहिए।
विकल्प एक. "हमें दिया जाए" प्राकृतिक संख्याओं का एक एकल सेट, जो शेल्फ पर शांति से रखा हुआ है। हम इस सेट को शेल्फ से लेते हैं। बस, शेल्फ पर कोई अन्य प्राकृतिक संख्या नहीं बची है और उन्हें लेने के लिए कहीं नहीं है। हम इस सेट में एक भी नहीं जोड़ सकते, क्योंकि यह हमारे पास पहले से ही मौजूद है। यदि आप वास्तव में चाहते हैं तो क्या होगा? कोई बात नहीं। हम जो सेट पहले ही ले चुके हैं उसमें से एक ले सकते हैं और उसे शेल्फ में वापस कर सकते हैं। उसके बाद, हम शेल्फ से एक ले सकते हैं और जो हमारे पास बचा है उसमें जोड़ सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें फिर से प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट प्राप्त होगा। आप हमारे सभी जोड़तोड़ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
मैंने सेट के तत्वों की विस्तृत सूची के साथ, बीजगणितीय नोटेशन और सेट सिद्धांत नोटेशन में क्रियाओं को लिखा। सबस्क्रिप्ट इंगित करती है कि हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं का केवल और केवल एक सेट है। इससे पता चलता है कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय केवल तभी अपरिवर्तित रहेगा जब उसमें से एक घटा दिया जाए और वही इकाई जोड़ दी जाए।
विकल्प दो. हमारे शेल्फ पर प्राकृतिक संख्याओं के कई अलग-अलग अनंत सेट हैं। मैं जोर देता हूं - अलग, इस तथ्य के बावजूद कि वे व्यावहारिक रूप से अप्रभेद्य हैं। आइए इनमें से एक सेट लें। फिर हम प्राकृतिक संख्याओं के दूसरे सेट से एक लेते हैं और इसे उस सेट में जोड़ते हैं जो हमने पहले ही ले लिया है। हम प्राकृतिक संख्याओं के दो सेट भी जोड़ सकते हैं। हमें यही मिलता है:
उपस्क्रिप्ट "एक" और "दो" इंगित करते हैं कि ये तत्व अलग-अलग सेट से संबंधित थे। हाँ, यदि आप एक को अनंत समुच्चय में जोड़ते हैं, तो परिणाम भी एक अनंत समुच्चय होगा, लेकिन यह मूल समुच्चय के समान नहीं होगा। यदि आप एक अनंत सेट में एक और अनंत सेट जोड़ते हैं, तो परिणाम एक नया अनंत सेट होता है जिसमें पहले दो सेट के तत्व शामिल होते हैं।
प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का उपयोग गिनती के लिए उसी प्रकार किया जाता है जैसे रूलर का उपयोग मापने के लिए किया जाता है। अब कल्पना करें कि आपने रूलर में एक सेंटीमीटर जोड़ा है। यह एक अलग लाइन होगी, मूल लाइन के बराबर नहीं।
आप मेरे तर्क को मानें या न मानें - यह आपका अपना मामला है। लेकिन यदि आपको कभी गणितीय समस्याओं का सामना करना पड़े, तो इस बारे में सोचें कि क्या आप गणितज्ञों की पीढ़ियों द्वारा अपनाए गए झूठे तर्क के मार्ग का अनुसरण कर रहे हैं। आख़िरकार, गणित का अध्ययन, सबसे पहले, हमारे अंदर सोच की एक स्थिर रूढ़ि बनाता है, और उसके बाद ही हमारी मानसिक क्षमताओं में वृद्धि करता है (या, इसके विपरीत, हमें स्वतंत्र सोच से वंचित करता है)।
रविवार, 4 अगस्त 2019
मैं एक लेख की पोस्टस्क्रिप्ट समाप्त कर रहा था और विकिपीडिया पर यह अद्भुत पाठ देखा:
हम पढ़ते हैं: "... बेबीलोन के गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार में समग्र चरित्र नहीं था और यह एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान तकनीकों के एक सेट में सिमट गया था।"
बहुत खूब! हम कितने होशियार हैं और दूसरों की कमियाँ कितनी अच्छी तरह देख पाते हैं। क्या आधुनिक गणित को उसी दृष्टिकोण से देखना हमारे लिए कठिन है? उपरोक्त पाठ को थोड़ा सा व्याख्या करते हुए, मुझे व्यक्तिगत रूप से निम्नलिखित मिला:
आधुनिक गणित का समृद्ध सैद्धांतिक आधार प्रकृति में समग्र नहीं है और एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान वर्गों के एक समूह में सिमट गया है।
मैं अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए ज्यादा दूर नहीं जाऊंगा - इसकी एक भाषा और परंपराएं हैं जो गणित की कई अन्य शाखाओं की भाषा और परंपराओं से भिन्न हैं। गणित की विभिन्न शाखाओं में एक ही नाम के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं। मैं आधुनिक गणित की सबसे स्पष्ट गलतियों के लिए प्रकाशनों की एक पूरी श्रृंखला समर्पित करना चाहता हूं। जल्द ही फिर मिलेंगे।
शनिवार, 3 अगस्त 2019
किसी समुच्चय को उपसमुच्चय में कैसे विभाजित करें? ऐसा करने के लिए, आपको माप की एक नई इकाई दर्ज करनी होगी जो चयनित सेट के कुछ तत्वों में मौजूद है। आइए एक उदाहरण देखें.
हमारे पास बहुत कुछ हो एचार लोगों से मिलकर बना है. यह समुच्चय "लोग" के आधार पर बना है आइए इस समुच्चय के तत्वों को अक्षर से निरूपित करें ए, एक संख्या वाली सबस्क्रिप्ट इस सेट में प्रत्येक व्यक्ति की क्रम संख्या को इंगित करेगी। आइए माप की एक नई इकाई "लिंग" का परिचय दें और इसे अक्षर से निरूपित करें बी. चूँकि यौन विशेषताएँ सभी लोगों में अंतर्निहित होती हैं, हम समुच्चय के प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं एलिंग के आधार पर बी. ध्यान दें कि हमारा "लोगों" का समूह अब "लिंग विशेषताओं वाले लोगों" का समूह बन गया है। इसके बाद हम यौन विशेषताओं को पुरुष में विभाजित कर सकते हैं बी.एम.और महिलाओं का बी.डब्ल्यूयौन विशेषताएँ. अब हम एक गणितीय फ़िल्टर लागू कर सकते हैं: हम इन यौन विशेषताओं में से एक का चयन करते हैं, चाहे कोई भी हो - पुरुष या महिला। यदि किसी व्यक्ति के पास यह है तो हम इसे एक से गुणा करते हैं, यदि ऐसा कोई चिन्ह नहीं है तो हम इसे शून्य से गुणा करते हैं। और फिर हम नियमित स्कूली गणित का उपयोग करते हैं। देखो क्या हुआ.
गुणन, कटौती और पुनर्व्यवस्था के बाद, हमें दो उपसमुच्चय प्राप्त हुए: पुरुषों का उपसमुच्चय बी.एम.और महिलाओं का एक उपसमूह बउ. गणितज्ञ जब सेट सिद्धांत को व्यवहार में लागू करते हैं तो लगभग उसी तरह से तर्क करते हैं। लेकिन वे हमें विवरण नहीं बताते हैं, लेकिन हमें अंतिम परिणाम देते हैं - "बहुत से लोगों में पुरुषों का एक उपसमूह और महिलाओं का एक उपसमूह होता है।" स्वाभाविक रूप से, आपके मन में यह प्रश्न हो सकता है: ऊपर उल्लिखित परिवर्तनों में गणित को कितनी सही ढंग से लागू किया गया है? मैं आपको आश्वस्त करने का साहस करता हूं कि, संक्षेप में, परिवर्तन सही ढंग से किए गए थे; यह अंकगणित, बूलियन बीजगणित और गणित की अन्य शाखाओं के गणितीय आधार को जानने के लिए पर्याप्त है। यह क्या है? इसके बारे में फिर कभी बताऊंगा.
जहां तक सुपरसेट का सवाल है, आप इन दोनों सेटों के तत्वों में मौजूद माप की इकाई का चयन करके दो सेटों को एक सुपरसेट में जोड़ सकते हैं।
जैसा कि आप देख सकते हैं, माप की इकाइयाँ और सामान्य गणित सेट सिद्धांत को अतीत का अवशेष बनाते हैं। सेट सिद्धांत के साथ सब कुछ ठीक नहीं होने का संकेत यह है कि गणितज्ञ सेट सिद्धांत के लिए अपनी भाषा और संकेतन लेकर आए हैं। गणितज्ञों ने एक बार जादूगरों की तरह काम किया था। केवल जादूगर ही अपने "ज्ञान" को "सही ढंग से" लागू करना जानते हैं। वे हमें यह "ज्ञान" सिखाते हैं।
अंत में, मैं आपको दिखाना चाहता हूं कि गणितज्ञ कैसे हेरफेर करते हैं।
सोमवार, 7 जनवरी 2019
ईसा पूर्व पाँचवीं शताब्दी में, प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ऑफ़ एलिया ने अपना प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किया, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" एपोरिया है। यहाँ यह कैसा लगता है:
मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। अकिलिस को इस दूरी तक दौड़ने में जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलिस सौ कदम दौड़ता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, इत्यादि। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रहेगी, अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।
यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट... वे सभी किसी न किसी रूप में ज़ेनो के एपोरिया पर विचार करते थे। झटका इतना जोरदार था कि " ... चर्चा आज भी जारी है; वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार पर एक आम राय नहीं बना सका है ... मुद्दे के अध्ययन में गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण शामिल थे; ; उनमें से कोई भी समस्या का आम तौर पर स्वीकृत समाधान नहीं बन सका..."[विकिपीडिया, "ज़ेनो'स अपोरिया"। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखे में क्या शामिल है।
गणितीय दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में स्पष्ट रूप से मात्रा से संक्रमण का प्रदर्शन किया। इस परिवर्तन का तात्पर्य स्थायी के बजाय अनुप्रयोग से है। जहां तक मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों का उपयोग करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। अपने सामान्य तर्क को लागू करने से हम एक जाल में फंस जाते हैं। हम, सोच की जड़ता के कारण, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक मूल्य पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि समय धीमा हो रहा है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद न हो जाए जब अकिलिस कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस कछुए से आगे नहीं निकल सकता।
यदि हम अपने सामान्य तर्क को पलट दें, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस स्थिर गति से दौड़ता है। उसके पथ का प्रत्येक आगामी खंड पिछले वाले से दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ कछुए को असीम रूप से जल्दी पकड़ लेगा।"
इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की स्थिर इकाइयों में रहें और पारस्परिक इकाइयों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में यह इस तरह दिखता है:
अकिलिस को एक हजार कदम चलने में जितना समय लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। पहले के बराबर अगले समय अंतराल के दौरान, अकिलिस एक और हजार कदम दौड़ेगा, और कछुआ सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।
यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है. प्रकाश की गति की अप्रतिरोध्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" के समान है। हमें अभी भी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना होगा। और समाधान असीमित बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।
ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ने वाले तीर के बारे में बताता है:
एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में वह विश्राम में होता है, और चूँकि वह समय के प्रत्येक क्षण में विश्राम में होता है, इसलिए वह सदैव विश्राम में ही रहता है।
इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में एक उड़ता हुआ तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम कर रहा है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात पर ध्यान देने की जरूरत है. सड़क पर किसी कार की एक तस्वीर से उसकी गति के तथ्य या उससे दूरी का पता लगाना असंभव है। यह निर्धारित करने के लिए कि कोई कार चल रही है, आपको अलग-अलग समय पर एक ही बिंदु से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे दूरी निर्धारित नहीं कर सकते। किसी कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य का निर्धारण नहीं कर सकते (बेशक, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) ). मैं जिस बात पर विशेष ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे अनुसंधान के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।
बुधवार, 4 जुलाई 2018
मैं आपको पहले ही बता चुका हूं कि ओझा किसकी मदद से वास्तविकता को सुलझाने की कोशिश करते हैं। वे ऐसा कैसे करते हैं? समुच्चय का निर्माण वास्तव में कैसे होता है?
आइए समुच्चय की परिभाषा पर करीब से नज़र डालें: "विभिन्न तत्वों का एक संग्रह, जिसकी कल्पना एक संपूर्ण के रूप में की जाती है।" अब दो वाक्यांशों के बीच अंतर महसूस करें: "संपूर्ण रूप से बोधगम्य" और "संपूर्ण रूप से बोधगम्य।" पहला वाक्यांश अंतिम परिणाम, सेट है। दूसरा वाक्यांश भीड़ के गठन के लिए प्रारंभिक तैयारी है। इस स्तर पर, वास्तविकता को अलग-अलग तत्वों ("संपूर्ण") में विभाजित किया जाता है, जिससे फिर एक भीड़ बनेगी ("एकल संपूर्ण")। साथ ही, वह कारक जो "संपूर्ण" को "एकल संपूर्ण" में संयोजित करना संभव बनाता है, उसकी सावधानीपूर्वक निगरानी की जाती है, अन्यथा शेमस सफल नहीं होंगे। आख़िरकार, जादूगरों को पहले से पता होता है कि वे हमें किस प्रकार का सेट प्रदर्शित करना चाहते हैं।
मैं आपको एक उदाहरण के साथ प्रक्रिया दिखाऊंगा। हम "मुँहासे में लाल ठोस" का चयन करते हैं - यह हमारा "संपूर्ण" है। उसी समय, हम देखते हैं कि ये चीजें धनुष के साथ हैं, और धनुष के बिना भी हैं। उसके बाद, हम "संपूर्ण" का हिस्सा चुनते हैं और "धनुष के साथ" एक सेट बनाते हैं। इस प्रकार जादूगर अपने निर्धारित सिद्धांत को वास्तविकता से जोड़कर अपना भोजन प्राप्त करते हैं।
अब चलिए एक छोटी सी ट्रिक करते हैं. आइए "एक धनुष के साथ एक दाना के साथ ठोस" लें और लाल तत्वों का चयन करते हुए, रंग के अनुसार इन "संपूर्ण" को मिलाएं। हमें बहुत सारे "लाल" मिले। अब अंतिम प्रश्न: क्या परिणामी सेट "धनुष के साथ" और "लाल" एक ही सेट हैं या दो अलग-अलग सेट हैं? इसका उत्तर केवल ओझा ही जानते हैं। अधिक सटीक रूप से, वे स्वयं कुछ भी नहीं जानते हैं, लेकिन जैसा वे कहते हैं, वैसा ही होगा।
यह सरल उदाहरण दिखाता है कि जब वास्तविकता की बात आती है तो सेट सिद्धांत पूरी तरह से बेकार है। क्या राज हे? हमने "एक दाना और एक धनुष के साथ लाल ठोस" का एक सेट बनाया। माप की चार अलग-अलग इकाइयों में गठन हुआ: रंग (लाल), ताकत (ठोस), खुरदरापन (मुँहासा), सजावट (धनुष के साथ)। केवल माप की इकाइयों का एक सेट ही हमें गणित की भाषा में वास्तविक वस्तुओं का पर्याप्त रूप से वर्णन करने की अनुमति देता है. यह है जो ऐसा लग रहा है।
विभिन्न सूचकांकों वाला अक्षर "ए" माप की विभिन्न इकाइयों को इंगित करता है। माप की इकाइयाँ जिनके द्वारा प्रारंभिक चरण में "संपूर्ण" को प्रतिष्ठित किया जाता है, कोष्ठक में हाइलाइट किया गया है। माप की वह इकाई जिससे सेट बनता है, कोष्ठक से हटा दिया जाता है। अंतिम पंक्ति अंतिम परिणाम दिखाती है - सेट का एक तत्व। जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि हम एक सेट बनाने के लिए माप की इकाइयों का उपयोग करते हैं, तो परिणाम हमारे कार्यों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। और यह गणित है, तंबूरा के साथ जादूगरों का नृत्य नहीं। शमां "सहज ज्ञान" से उसी परिणाम पर आ सकते हैं, यह तर्क देते हुए कि यह "स्पष्ट" है, क्योंकि माप की इकाइयाँ उनके "वैज्ञानिक" शस्त्रागार का हिस्सा नहीं हैं।
माप की इकाइयों का उपयोग करके, एक सेट को विभाजित करना या कई सेटों को एक सुपरसेट में संयोजित करना बहुत आसान है। आइए इस प्रक्रिया के बीजगणित पर करीब से नज़र डालें।
शनिवार, 30 जून 2018
यदि गणितज्ञ एक अवधारणा को अन्य अवधारणाओं तक सीमित नहीं कर सकते, तो वे गणित के बारे में कुछ भी नहीं समझते हैं। मैं उत्तर देता हूं: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? उत्तर बहुत सरल है: संख्याएँ और माप की इकाइयाँ।
आज, जो कुछ भी हम नहीं लेते वह किसी न किसी सेट से संबंधित है (जैसा कि गणितज्ञ हमें आश्वस्त करते हैं)। वैसे, क्या आपने अपने माथे पर लगे दर्पण में उन सेटों की सूची देखी है जिनसे आप संबंधित हैं? और मैंने ऐसी कोई सूची नहीं देखी है. मैं और अधिक कहूंगा - वास्तव में किसी भी चीज़ पर उन सेटों की सूची वाला टैग नहीं है जिनसे यह चीज़ संबंधित है। सेट सभी जादूगरों के आविष्कार हैं। वे यह कैसे करते हैं? आइए इतिहास में थोड़ा गहराई से देखें और देखें कि सेट के तत्व गणितज्ञ जादूगरों द्वारा अपने सेट में ले जाने से पहले कैसे दिखते थे।
बहुत समय पहले, जब किसी ने गणित के बारे में कभी नहीं सुना था, और केवल पेड़ों और शनि के छल्ले थे, सेट के जंगली तत्वों के विशाल झुंड भौतिक क्षेत्रों में घूमते थे (आखिरकार, जादूगरों ने अभी तक गणितीय क्षेत्रों का आविष्कार नहीं किया था)। वे कुछ इस तरह दिखते थे.
हां, आश्चर्यचकित न हों, गणित के दृष्टिकोण से, सेट के सभी तत्व समुद्री अर्चिन के समान हैं - एक बिंदु से, सुई की तरह, माप की इकाइयां सभी दिशाओं में चिपक जाती हैं। उन लोगों के लिए, मैं आपको याद दिलाता हूं कि माप की किसी भी इकाई को ज्यामितीय रूप से मनमानी लंबाई के खंड के रूप में और एक संख्या को एक बिंदु के रूप में दर्शाया जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, किसी भी मात्रा को एक बिंदु से अलग-अलग दिशाओं में चिपके हुए खंडों के समूह के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह बिंदु बिंदु शून्य है. मैं ज्यामितीय कला का यह नमूना नहीं बनाऊंगा (कोई प्रेरणा नहीं), लेकिन आप आसानी से इसकी कल्पना कर सकते हैं।
माप की कौन सी इकाइयाँ किसी सेट का एक तत्व बनाती हैं? सभी प्रकार की चीज़ें जो किसी दिए गए तत्व का विभिन्न दृष्टिकोण से वर्णन करती हैं। ये माप की प्राचीन इकाइयाँ हैं जिनका उपयोग हमारे पूर्वज करते थे और जिनके बारे में हर कोई लंबे समय से भूल गया है। ये माप की आधुनिक इकाइयाँ हैं जिनका हम अब उपयोग करते हैं। ये हमारे लिए अज्ञात माप की इकाइयाँ भी हैं, जिन्हें हमारे वंशज आविष्कार करेंगे और जिनका उपयोग वे वास्तविकता का वर्णन करने के लिए करेंगे।
हमने ज्यामिति को सुलझा लिया है - सेट के तत्वों के प्रस्तावित मॉडल में स्पष्ट ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है। भौतिकी के बारे में क्या? माप की इकाइयाँ गणित और भौतिकी के बीच सीधा संबंध हैं। यदि जादूगर माप की इकाइयों को गणितीय सिद्धांतों के पूर्ण तत्व के रूप में नहीं पहचानते हैं, तो यह उनकी समस्या है। मैं व्यक्तिगत रूप से माप की इकाइयों के बिना गणित के वास्तविक विज्ञान की कल्पना नहीं कर सकता। इसीलिए सेट सिद्धांत के बारे में कहानी की शुरुआत में ही मैंने इसके पाषाण युग में होने की बात कही थी।
लेकिन आइए सबसे दिलचस्प बात पर चलते हैं - सेट के तत्वों का बीजगणित। बीजगणितीय रूप से, किसी समुच्चय का कोई भी तत्व विभिन्न मात्राओं का गुणनफल (गुणन का परिणाम) इस तरह दिखता है।
मैंने जानबूझकर सेट सिद्धांत की परंपराओं का उपयोग नहीं किया, क्योंकि हम सेट सिद्धांत के आगमन से पहले अपने प्राकृतिक आवास में एक सेट के एक तत्व पर विचार कर रहे हैं। कोष्ठक में अक्षरों का प्रत्येक जोड़ा एक अलग मात्रा को दर्शाता है, जिसमें अक्षर द्वारा इंगित एक संख्या शामिल होती है। एन"और पत्र द्वारा इंगित माप की इकाई" ए"। अक्षरों के आगे के सूचकांक दर्शाते हैं कि माप की संख्याएँ और इकाइयाँ अलग-अलग हैं। सेट के एक तत्व में अनंत संख्या में मात्राएँ शामिल हो सकती हैं (हम और हमारे वंशजों के पास कितनी कल्पना है)। प्रत्येक ब्रैकेट को ज्यामितीय रूप से दर्शाया गया है एक अलग खंड। समुद्री अर्चिन के उदाहरण में एक ब्रैकेट एक सुई है।
शेमस विभिन्न तत्वों से सेट कैसे बनाते हैं? वास्तव में, माप की इकाइयों द्वारा या संख्याओं द्वारा। गणित के बारे में कुछ भी न समझते हुए, वे अलग-अलग समुद्री अर्चिन लेते हैं और उस एक सुई की तलाश में उनकी सावधानीपूर्वक जांच करते हैं, जिसके साथ वे एक सेट बनाते हैं। यदि ऐसी कोई सुई है, तो यह तत्व इस सेट का है; यदि ऐसी कोई सुई नहीं है, तो यह तत्व इस सेट का नहीं है। शमां हमें विचार प्रक्रियाओं और समग्रता के बारे में दंतकथाएँ सुनाते हैं।
जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, एक ही तत्व बहुत भिन्न सेटों से संबंधित हो सकता है। आगे मैं आपको दिखाऊंगा कि समुच्चय, उपसमुच्चय और अन्य शर्मनाक बकवास कैसे बनते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, "एक सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते," लेकिन यदि किसी सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। समझदार प्राणी ऐसे बेतुके तर्क को कभी नहीं समझ पाएंगे। यह बोलने वाले तोतों और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिनके पास "पूरी तरह से" शब्द से कोई बुद्धि नहीं है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, और हमें अपने बेतुके विचारों का उपदेश देते हैं।
एक बार की बात है, पुल बनाने वाले इंजीनियर पुल का परीक्षण करते समय पुल के नीचे एक नाव में थे। यदि पुल ढह गया, तो औसत दर्जे का इंजीनियर अपनी रचना के मलबे के नीचे दबकर मर गया। यदि पुल भार सहन कर सका, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुल बनाए।
इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "मेरा ध्यान रखें, मैं घर में हूं" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि, "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है," एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह नाल ही धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।
हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश रजिस्टर पर बैठकर वेतन दे रहे हैं। तो एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसे पूरी राशि गिनते हैं और उसे अलग-अलग ढेरों में अपनी मेज पर रखते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "वेतन का गणितीय सेट" देते हैं। आइए गणितज्ञ को समझाएं कि उसे शेष बिल तभी प्राप्त होंगे जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना एक सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।
सबसे पहले, प्रतिनिधियों का तर्क काम करेगा: "यह दूसरों पर लागू किया जा सकता है, लेकिन मुझ पर नहीं!" फिर वे हमें आश्वस्त करना शुरू कर देंगे कि एक ही मूल्यवर्ग के बिलों में अलग-अलग बिल संख्याएँ होती हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें एक ही तत्व नहीं माना जा सकता है। ठीक है, आइए वेतन को सिक्कों में गिनें - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को पागलपन से याद करना शुरू कर देगा: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था प्रत्येक सिक्के के लिए अद्वितीय होती है...
और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह रेखा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी कोई रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ जादूगरों द्वारा तय किया जाता है, विज्ञान यहां झूठ बोलने के करीब भी नहीं है।
यहाँ देखो। हम समान फ़ील्ड क्षेत्र वाले फ़ुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। फ़ील्ड का क्षेत्रफल समान है - जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम इन्हीं स्टेडियमों के नाम देखें तो हमें कई मिलते हैं, क्योंकि नाम अलग-अलग हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक सेट और मल्टीसेट दोनों है। कौन सा सही है? और यहां गणितज्ञ-शमन-शार्पिस्ट अपनी आस्तीन से तुरुप का इक्का निकालता है और हमें सेट या मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी स्थिति में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।
यह समझने के लिए कि आधुनिक जादूगर सेट सिद्धांत के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से जोड़ते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देना पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको दिखाऊंगा, बिना किसी "एक पूरे के रूप में कल्पनीय" या "एक पूरे के रूप में कल्पनीय नहीं।"
आइए गतिमान त्रिज्या वेक्टर के वामावर्त दिशा में घूर्णन को सकारात्मक और विपरीत दिशा (घड़ी की दिशा) को नकारात्मक कहते हैं। गतिमान त्रिज्या वेक्टर के ऋणात्मक घूर्णन द्वारा वर्णित कोण को ऋणात्मक कोण कहा जाएगा।
नियम। यदि कोण धनात्मक है तो इसे धनात्मक संख्या से और यदि ऋणात्मक है तो ऋणात्मक संख्या से मापा जाता है।
उदाहरण 1. चित्र में. 80 एक सामान्य प्रारंभिक पक्ष OA और एक सामान्य अंत पक्ष OD के साथ दो कोण दिखाता है: एक +270° के बराबर है, दूसरा -90° के बराबर है।
दो कोणों का योग. निर्देशांक तल ऑक्सी पर, मूल बिंदु पर केंद्र के साथ इकाई त्रिज्या के एक वृत्त पर विचार करें (चित्र 81)।
मान लीजिए कि एक निश्चित गतिमान त्रिज्या वेक्टर के प्रारंभिक स्थिति OA से, ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ मेल खाते हुए, उसकी अंतिम स्थिति तक घूमने के परिणामस्वरूप एक मनमाना कोण a (ड्राइंग में सकारात्मक) प्राप्त होता है।
आइए अब हम त्रिज्या वेक्टर OE की स्थिति को प्रारंभिक स्थिति के रूप में लें और इससे एक मनमाना कोण अलग रखें (चित्र में सकारात्मक), जो हमें एक निश्चित गतिमान त्रिज्या वेक्टर को उसकी प्रारंभिक स्थिति OE से उसकी ओर घुमाने के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। अंतिम स्थिति ओएस. इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, हमें एक कोण प्राप्त होगा, जिसे हम कोणों का योग a और कहेंगे। (गतिमान त्रिज्या वेक्टर OA की प्रारंभिक स्थिति, त्रिज्या वेक्टर OS की अंतिम स्थिति।)
दो कोणों के बीच अंतर.
दो कोणों a और के अंतर से, जिसे हम निरूपित करते हैं, हम तीसरे कोण y को समझेंगे, जो कोण के योग में कोण a देता है, अर्थात यदि दो कोणों के अंतर को कोण a और के योग के रूप में समझा जा सकता है। वास्तव में, सामान्य तौर पर, किसी भी कोण के लिए, उनका योग उन वास्तविक संख्याओं के बीजगणितीय योग से मापा जाता है जो इन कोणों को मापते हैं।
उदाहरण 2. फिर ।
उदाहरण 3. कोण , और कोण . इनका योग.
सूत्र (95.1) में यह माना गया कि - कोई भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक। यदि हम मान लें कि वह कोई पूर्णांक (धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य) है, तो सूत्र का उपयोग करें
जहां आप कोई भी कोण लिख सकते हैं, सकारात्मक और नकारात्मक दोनों।
उदाहरण 4. -1370° के बराबर कोण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
ध्यान दें कि सूत्र (96.1) का उपयोग करके लिखे गए सभी कोण, के विभिन्न मानों के साथ, लेकिन समान ए, में सामान्य प्रारंभिक (ओए) और अंतिम (ओई) भुजाएं होती हैं (चित्र 79)। इसलिए, किसी भी कोण का निर्माण 360° से कम के संगत गैर-ऋणात्मक कोण के निर्माण तक सीमित हो जाता है। चित्र में. 79 कोण एक दूसरे से भिन्न नहीं हैं; वे केवल त्रिज्या सदिश के घूमने की प्रक्रिया में भिन्न हैं, जिसके कारण उनका निर्माण हुआ।
पिछले पाठ में, हमने सभी त्रिकोणमिति की प्रमुख अवधारणाओं में सफलतापूर्वक महारत हासिल की (या दोहराया, यह इस पर निर्भर करता है कि आप किसे चुनते हैं)। यह त्रिकोणमितीय वृत्त , एक वृत्त पर कोण , इस कोण की ज्या और कोज्या , और महारत भी हासिल की तिमाहियों द्वारा त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेत . हमने इसमें विस्तार से महारत हासिल की। उंगलियों पर, कोई कह सकता है.
लेकिन यह अभी पर्याप्त नहीं है. इन सभी सरल अवधारणाओं को व्यवहार में सफलतापूर्वक लागू करने के लिए, हमें एक और उपयोगी कौशल की आवश्यकता है। अर्थात्, सही वाला कोनों के साथ काम करना त्रिकोणमिति में. त्रिकोणमिति में इस कौशल के बिना कोई रास्ता नहीं है। यहां तक कि सबसे आदिम उदाहरणों में भी. क्यों? हाँ, क्योंकि कोण सभी त्रिकोणमिति में मुख्य सक्रिय अंक है! नहीं, त्रिकोणमितीय फलन नहीं, साइन और कोसाइन नहीं, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट नहीं कोना ही. कोई कोण नहीं होने का मतलब कोई त्रिकोणमितीय फलन नहीं है, हाँ...
वृत्त पर कोणों के साथ कैसे काम करें? ऐसा करने के लिए हमें दो बिंदुओं को मजबूती से समझने की जरूरत है।
1) कैसेक्या कोणों को वृत्त पर मापा जाता है?
2) क्याक्या उन्हें गिना (मापा) गया है?
पहले प्रश्न का उत्तर ही आज के पाठ का विषय है। हम पहले प्रश्न पर यहीं और अभी विस्तार से विचार करेंगे। दूसरे सवाल का जवाब मैं यहां नहीं दूंगा. क्योंकि यह काफी विकसित है. ठीक वैसे ही जैसे दूसरा प्रश्न अपने आप में बहुत फिसलन भरा है, हां।) मैं अभी विवरण में नहीं जाऊंगा। यह अगले अलग पाठ का विषय है।
क्या हम शुरुआत करें?
वृत्त पर कोण कैसे मापे जाते हैं? सकारात्मक और नकारात्मक कोण.
जिन लोगों ने पैराग्राफ का शीर्षक पढ़ा है उनके रोंगटे खड़े हो गए होंगे। ऐसा कैसे?! नकारात्मक कोण? क्या यह भी संभव है?
नकारात्मक को नंबरहम पहले ही इसके आदी हो चुके हैं। हम उन्हें संख्या अक्ष पर चित्रित कर सकते हैं: शून्य के दाईं ओर सकारात्मक हैं, शून्य के बाईं ओर नकारात्मक हैं। हाँ, और हम समय-समय पर खिड़की के बाहर थर्मामीटर को देखते हैं। खासकर सर्दियों में, ठंड में।) और फोन पर पैसा माइनस में है (यानी)। कर्तव्य) कभी-कभी वे चले जाते हैं। यह सब परिचित है.
कोनों के बारे में क्या? इससे पता चलता है कि गणित में ऋणात्मक कोण हैं वहाँ कई!यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि इस कोण को कैसे मापा जाए... नहीं, संख्या रेखा पर नहीं, बल्कि संख्या वृत्त पर! यानी एक वृत्त पर. वृत्त - यह यहाँ है, त्रिकोणमिति में संख्या रेखा का एक एनालॉग!
इसलिए, वृत्त पर कोण कैसे मापे जाते हैं?हम कुछ नहीं कर सकते, हमें पहले यही वृत्त बनाना होगा।
मैं यह सुंदर चित्र बनाऊंगा:
यह पिछले पाठ के चित्रों से काफी मिलता-जुलता है। अक्ष हैं, वृत्त है, कोण है। लेकिन नई जानकारी भी है.
मैंने अक्षों पर 0°, 90°, 180°, 270° और 360° संख्याएँ भी जोड़ीं। अब यह और अधिक दिलचस्प है।) ये किस प्रकार की संख्याएँ हैं? सही! ये हमारे निश्चित पक्ष से मापे गए कोण मान हैं जो गिरते हैं समन्वय अक्षों के लिए.हमें याद है कि कोण का निश्चित पक्ष हमेशा सकारात्मक अर्ध-अक्ष OX से कसकर बंधा होता है। और त्रिकोणमिति में कोई भी कोण ठीक इसी अर्ध-अक्ष से मापा जाता है। कोणों के लिए इस बुनियादी शुरुआती बिंदु को दृढ़ता से ध्यान में रखा जाना चाहिए। और अक्ष - वे समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, है ना? इसलिए हम प्रत्येक तिमाही में 90° जोड़ते हैं।
और भी बहुत कुछ जोड़ा गया रेड ऐरो। एक प्लस के साथ. लाल उद्देश्य पर है ताकि यह ध्यान आकर्षित करे। और यह मेरी स्मृति में अच्छी तरह अंकित है। क्योंकि इसे विश्वसनीय रूप से याद रखना चाहिए।) इस तीर का क्या मतलब है?
तो यह पता चला है कि अगर हम अपना कोना मोड़ते हैं प्लस वाले तीर के साथ(वामावर्त, तिमाहियों की संख्या के अनुसार), फिर कोण सकारात्मक माना जाएगा!उदाहरण के तौर पर, चित्र +45° का कोण दिखाता है। वैसे, कृपया ध्यान दें कि अक्षीय कोण 0°, 90°, 180°, 270° और 360° भी सकारात्मक दिशा में घूमते हैं! लाल तीर का अनुसरण करें.
आइए अब एक और तस्वीर देखें:
यहां लगभग सब कुछ वैसा ही है. केवल अक्षों पर बने कोणों को क्रमांकित किया गया है उलटा।दक्षिणावर्त. और उनमें ऋण चिह्न है।) अभी भी खींचा हुआ है नीला तीर. एक माइनस के साथ भी। यह तीर वृत्त पर ऋणात्मक कोणों की दिशा है। वह हमें दिखाती है कि अगर हम अपना कोना हटा दें दक्षिणावर्त, वह कोण ऋणात्मक माना जायेगा.उदाहरण के लिए, मैंने -45° का कोण दिखाया।
वैसे, कृपया ध्यान दें कि तिमाहियों की संख्या कभी नहीं बदलती! इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कोणों को प्लस या माइनस में ले जाते हैं। हमेशा सख्ती से वामावर्त।)
याद करना:
1. कोणों का प्रारंभिक बिंदु धनात्मक अर्ध-अक्ष OX से है। घड़ी के हिसाब से - "माइनस", घड़ी के विपरीत - "प्लस"।
2. कोणों की गणना चाहे किसी भी दिशा में की जाए, क्वार्टरों की संख्या हमेशा वामावर्त होती है।
वैसे, हर बार वृत्त खींचते समय अक्षों पर कोणों को 0°, 90°, 180°, 270°, 360° अंकित करना बिल्कुल भी अनिवार्य नहीं है। यह केवल बात को समझने के लिए किया गया है। लेकिन ये नंबर मौजूद होने चाहिए अपने सिर मेंकिसी भी त्रिकोणमिति समस्या को हल करते समय। क्यों? हाँ, क्योंकि यह बुनियादी ज्ञान त्रिकोणमिति के कई अन्य प्रश्नों के उत्तर प्रदान करता है! सबसे अहम सवाल है जिस कोण में हमारी रुचि है वह किस तिमाही में पड़ता है? विश्वास करें या न करें, इस प्रश्न का सही उत्तर देने से अन्य सभी त्रिकोणमिति समस्याओं का बड़ा हिस्सा हल हो जाता है। हम इस महत्वपूर्ण पाठ (कोणों को चार भागों में बांटना) पर उसी पाठ में चर्चा करेंगे, लेकिन थोड़ी देर बाद।
निर्देशांक अक्षों (0°, 90°, 180°, 270° और 360°) पर स्थित कोणों का मान अवश्य याद रखना चाहिए! इसे दृढ़ता से याद रखें, जब तक कि यह स्वचालित न हो जाए। और प्लस और माइनस दोनों।
लेकिन इसी क्षण से पहला आश्चर्य शुरू होता है। और उनके साथ-साथ, मुझे संबोधित पेचीदा प्रश्न, हाँ...) यदि किसी वृत्त पर ऋणात्मक कोण हो तो क्या होता है सकारात्मक से मेल खाता है?यह पता चला है कि वही बातकिसी वृत्त को धनात्मक और ऋणात्मक दोनों कोणों से दर्शाया जा सकता है???
एकदम सही! यह सच है।) उदाहरण के लिए, +270° का धनात्मक कोण एक वृत्त पर कब्जा करता है वही स्थिति , -90° के ऋणात्मक कोण के समान। या, उदाहरण के लिए, एक वृत्त पर +45° का धनात्मक कोण लगेगा वही स्थिति , ऋणात्मक कोण -315° के समान।
हम अगली ड्राइंग को देखते हैं और सब कुछ देखते हैं:
इसी प्रकार, +150° का धनात्मक कोण उसी स्थान पर पड़ेगा जिस स्थान पर -210° का ऋणात्मक कोण पड़ेगा, +230° का धनात्मक कोण उसी स्थान पर पड़ेगा जहां -130° का ऋणात्मक कोण पड़ेगा। और इसी तरह…
और अब मैं क्या कर सकता हूँ? यदि आप इसे इस तरह या उस तरह से कर सकते हैं तो कोणों की गणना कैसे करें? कौन सा सही है?
उत्तर: हर तरह से सही!गणित कोणों की गिनती के लिए दोनों दिशाओं में से किसी एक को भी प्रतिबंधित नहीं करता है। और एक विशिष्ट दिशा का चुनाव पूरी तरह से कार्य पर निर्भर करता है। यदि असाइनमेंट सादे पाठ में कोण के चिह्न के बारे में कुछ नहीं कहता है (जैसे "सबसे बड़े को परिभाषित करें नकारात्मककोना"आदि), फिर हम उन कोणों के साथ काम करते हैं जो हमारे लिए सबसे सुविधाजनक हैं।
बेशक, उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं जैसे अच्छे विषयों में, कोण गणना की दिशा उत्तर पर बहुत बड़ा प्रभाव डाल सकती है। और प्रासंगिक विषयों में हम इन नुकसानों पर विचार करेंगे।
याद करना:
वृत्त पर किसी भी बिंदु को धनात्मक या ऋणात्मक कोण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। कोई भी! हम जो भी चाहते हैं.
अब आइए इस बारे में सोचें. हमने पाया कि 45° का कोण बिल्कुल -315° के कोण के समान है? मुझे इन्हीं 315 के बारे में कैसे पता चला?° ? क्या आप अनुमान नहीं लगा सकते? हाँ! पूर्ण घूर्णन के माध्यम से।) 360° में। हमारा कोण 45° है। पूर्ण क्रांति को पूरा करने में कितना समय लगता है? 45 घटाएँ° 360 से° - तो हमें 315 मिलते हैं° . नकारात्मक दिशा में आगे बढ़ें और हमें -315° का कोण मिलता है। अभी भी स्पष्ट नहीं? फिर ऊपर दी गई तस्वीर को दोबारा देखें।
और यह हमेशा सकारात्मक कोणों को नकारात्मक (और इसके विपरीत) में परिवर्तित करते समय किया जाना चाहिए - एक वृत्त बनाएं, निशान लगाएं लगभगकिसी दिए गए कोण पर, हम गणना करते हैं कि एक पूर्ण क्रांति को पूरा करने के लिए कितने डिग्री गायब हैं, और परिणामी अंतर को विपरीत दिशा में ले जाते हैं। बस इतना ही।)
क्या आपको लगता है कि वृत्त पर समान स्थिति रखने वाले कोणों के बारे में और क्या दिलचस्प है? और तथ्य यह है कि ऐसे कोनों पर ठीक वैसा साइन, कोसाइन, स्पर्शज्या और कोटैंजेंट! हमेशा!
उदाहरण के लिए:
पाप45° = पाप(-315°)
Cos120° = cos(-240°)
Tg249° = tg(-111°)
सीटीजी333° = सीटीजी(-27°)
लेकिन यह अत्यंत महत्वपूर्ण है! किस लिए? हाँ, सभी एक ही चीज़ के लिए!) भावों को सरल बनाने के लिए। क्योंकि सफल समाधान के लिए अभिव्यक्तियों को सरल बनाना एक महत्वपूर्ण प्रक्रिया है कोईगणित कार्य. और त्रिकोणमिति में भी.
इसलिए, हमने वृत्त पर कोण गिनने का सामान्य नियम समझ लिया। ठीक है, अगर हमने पूर्ण घुमावों, चौथाई घुमावों के बारे में बात करना शुरू कर दिया है, तो इन्हीं कोनों को मोड़ने और खींचने का समय आ गया है। क्या हम चित्र बनाएंगे?)
चलो साथ - साथ शुरू करते हैं सकारात्मककोने उन्हें चित्रित करना आसान होगा.
हम एक क्रांति के भीतर (0° और 360° के बीच) कोण बनाते हैं।
उदाहरण के लिए, आइए 60° का कोण बनाएं। यहां सब कुछ सरल है, कोई झंझट नहीं। हम निर्देशांक अक्ष और एक वृत्त बनाते हैं। आप इसे बिना किसी कंपास या रूलर के, सीधे हाथ से कर सकते हैं। आओ बनाते हैं रेखाचित्र के रूप में: हम आपके साथ चित्र नहीं बना रहे हैं। आपको किसी भी GOST का अनुपालन करने की आवश्यकता नहीं है, आपको दंडित नहीं किया जाएगा।)
आप (अपने लिए) अक्षों पर कोण मान अंकित कर सकते हैं और दिशा में तीर इंगित कर सकते हैं घड़ी के खिलाफ।आख़िरकार, हम प्लस के रूप में बचत करने जा रहे हैं?) आपको ऐसा करने की ज़रूरत नहीं है, लेकिन आपको सब कुछ अपने दिमाग में रखना होगा।
और अब हम कोने का दूसरा (चलती हुई) भुजा खींचते हैं। किस तिमाही में? सबसे पहले, बिल्कुल! क्योंकि 60 डिग्री बिल्कुल 0° और 90° के बीच है। इसलिए हम पहली तिमाही में ड्रा करते हैं। एक कोण पर लगभगनिश्चित पक्ष से 60 डिग्री. कैसे गिनें लगभगबिना चाँदे के 60 डिग्री? आसानी से! 60° है समकोण का दो तिहाई!हम मानसिक रूप से चक्र के पहले शैतान को तीन भागों में विभाजित करते हैं, दो-तिहाई अपने लिए लेते हैं। और हम चित्र बनाते हैं... हम वास्तव में वहां कितना पहुंचते हैं (यदि आप एक चांदा लगाकर मापते हैं) - 55 डिग्री या 64 - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता! यह महत्वपूर्ण है कि यह अभी भी कहीं है लगभग 60°.
हमें चित्र मिलता है:
बस इतना ही। और किसी उपकरण की आवश्यकता नहीं थी. आइये अपनी आँख विकसित करें! यह ज्यामिति की समस्याओं में काम आएगा।) यह भद्दा चित्रण तब अपरिहार्य है जब आपको सुंदरता के बारे में वास्तव में सोचे बिना, एक वृत्त और एक कोण को जल्दी से लिखने की आवश्यकता होती है। लेकिन साथ ही स्क्रिबल भी सही, त्रुटियों के बिना, सभी आवश्यक जानकारी के साथ। उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने में सहायता के रूप में।
आइए अब एक कोण बनाएं, उदाहरण के लिए, 265°। आइए जानें कि यह कहां स्थित हो सकता है? खैर, यह स्पष्ट है कि पहली तिमाही में नहीं और दूसरी में भी नहीं: वे 90 और 180 डिग्री पर समाप्त होते हैं। आप यह पता लगा सकते हैं कि 265° 180° और अन्य 85° है। अर्थात्, ऋणात्मक अर्ध-अक्ष OX (जहाँ 180°) में आपको जोड़ना होगा लगभग 85°. या, और भी सरल, अनुमान लगाएं कि 265° नकारात्मक अर्ध-अक्ष ओए (जहां 270° है) तक नहीं पहुंचता है, कुछ दुर्भाग्यपूर्ण 5°। संक्षेप में कहें तो तीसरी तिमाही में यह कोण रहेगा। नकारात्मक अर्ध-अक्ष ओए के बहुत करीब, 270 डिग्री तक, लेकिन फिर भी तीसरे में!
आओ बनाते हैं:
फिर, यहां पूर्ण परिशुद्धता की आवश्यकता नहीं है। मान लीजिए वास्तव में यह कोण 263 डिग्री बनता है। लेकिन सबसे अहम सवाल पर (कौन सी तिमाही?)हमने सही उत्तर दिया. यह सबसे महत्वपूर्ण प्रश्न क्यों है? हां, क्योंकि त्रिकोणमिति में किसी कोण के साथ कोई भी काम (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम यह कोण बनाते हैं या नहीं) बिल्कुल इसी प्रश्न के उत्तर से शुरू होता है! हमेशा। यदि आप इस प्रश्न को अनदेखा करते हैं या मानसिक रूप से इसका उत्तर देने का प्रयास करते हैं, तो गलतियाँ लगभग अपरिहार्य हैं, हाँ... क्या आपको इसकी आवश्यकता है?
याद करना:
किसी कोण के साथ कोई भी कार्य (वृत्त पर इसी कोण को खींचने सहित) हमेशा उस तिमाही को निर्धारित करने से शुरू होता है जिसमें यह कोण पड़ता है।
अब, मुझे आशा है कि आप कोणों को सटीक रूप से चित्रित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, 182°, 88°, 280°। में सहीक्वार्टर. तीसरे, पहले और चौथे में, यदि वह...)
चौथी तिमाही 360° के कोण पर समाप्त होती है। यह एक पूर्ण क्रांति है. यह स्पष्ट है कि यह कोण वृत्त पर 0° (अर्थात मूल बिंदु) के समान स्थान रखता है। लेकिन कोण यहीं ख़त्म नहीं होते, हाँ...
360° से अधिक कोणों का क्या करें?
"क्या सचमुच ऐसी चीजें हैं?"- आप पूछना। वे घटित होते हैं! उदाहरण के लिए, 444° का कोण है। और कभी-कभी, मान लीजिए, 1000° का कोण। सभी प्रकार के कोण हैं।) यह सिर्फ इतना है कि दृष्टिगत रूप से ऐसे विदेशी कोणों को उन कोणों की तुलना में थोड़ा अधिक कठिन माना जाता है जिनके हम एक क्रांति के भीतर आदी हैं। लेकिन आपको ऐसे कोणों को बनाने और उनकी गणना करने में भी सक्षम होना चाहिए, हाँ।
किसी वृत्त पर ऐसे कोणों को सही ढंग से बनाने के लिए, आपको एक ही चीज़ की आवश्यकता है - पता लगाएं जिस कोण में हमारी रुचि है वह किस तिमाही में पड़ता है? यहां, तिमाही को सटीक रूप से निर्धारित करने की क्षमता 0° से 360° तक के कोणों की तुलना में कहीं अधिक महत्वपूर्ण है! तिमाही निर्धारित करने की प्रक्रिया केवल एक चरण से जटिल है। आप जल्द ही देखेंगे कि यह क्या है।
इसलिए, उदाहरण के लिए, हमें यह पता लगाने की आवश्यकता है कि 444° कोण किस चतुर्थांश में आता है। आइए घूमना शुरू करें. कहाँ? निस्संदेह, एक प्लस! उन्होंने हमें एक सकारात्मक दृष्टिकोण दिया! +444°. हम मोड़ते हैं, हम मोड़ते हैं... हमने इसे एक मोड़ में घुमाया - हम 360° पर पहुंच गए।
444° तक कितना समय शेष है?हम शेष पूंछ गिनते हैं:
444°-360° = 84°.
तो, 444° एक पूर्ण घूर्णन (360°) और दूसरा 84° है। जाहिर तौर पर यह पहली तिमाही है. अत: कोण 444° पड़ता है पहली तिमाही में.आधी लड़ाई हो चुकी है.
अब बस इस एंगल को दर्शाना बाकी है. कैसे? बहुत सरल! हम लाल (प्लस) तीर के साथ एक पूर्ण मोड़ बनाते हैं और एक और 84° जोड़ते हैं।
इस कदर:
यहां मैंने ड्राइंग को अव्यवस्थित नहीं किया - क्वार्टरों को लेबल करें, अक्षों पर कोण बनाएं। ये सारी अच्छी बातें लंबे समय तक मेरे दिमाग में रहनी चाहिए थीं।)
लेकिन मैंने यह दिखाने के लिए एक "घोंघा" या सर्पिल का उपयोग किया कि 360° और 84° के कोणों से 444° का कोण कैसे बनता है। बिंदीदार लाल रेखा एक पूर्ण क्रांति है। जिस पर 84° (सॉलिड लाइन) अतिरिक्त रूप से पेंच किया जाता है। वैसे, कृपया ध्यान दें कि यदि इस पूर्ण क्रांति को छोड़ दिया जाए, तो इससे हमारे कोण की स्थिति पर किसी भी तरह से कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा!
लेकिन यह महत्वपूर्ण है! कोण स्थिति 444° पूर्णतः मेल खाता है 84° की कोण स्थिति के साथ। कोई चमत्कार नहीं है, ऐसा ही होता है।)
क्या एक पूर्ण क्रांति को नहीं, बल्कि दो या अधिक को त्यागना संभव है?
क्यों नहीं? यदि कोण भारी है, तो यह न केवल संभव है, बल्कि आवश्यक भी है! कोण नहीं बदलेगा! अधिक सटीक रूप से, कोण स्वयं, निश्चित रूप से, परिमाण में बदल जाएगा। लेकिन सर्कल पर उनकी स्थिति - बिल्कुल नहीं!) इसीलिए वे हैं भरा हुआक्रांतियाँ, चाहे आप कितनी भी प्रतियाँ जोड़ लें, चाहे कितनी भी घटा दें, आप फिर भी एक ही बिंदु पर पहुँचेंगे। बढ़िया, है ना?
याद करना:
यदि आप किसी कोण में कोई कोण जोड़ते (घटाते) हैं साबुतपूर्ण क्रांतियों की संख्या, वृत्त पर मूल कोण की स्थिति नहीं बदलेगी!
उदाहरण के लिए:
1000° कोण किस तिमाही में पड़ता है?
कोई बात नहीं! हम गिनते हैं कि एक हजार डिग्री में कितने पूर्ण चक्कर होते हैं। एक क्रांति 360° है, दूसरी पहले से ही 720° है, तीसरी 1080° है... रुकें! बहुत अधिक! इसका मतलब है कि यह 1000° के कोण पर बैठता है दोपूर्ण मोड़. हम उन्हें 1000° से बाहर फेंकते हैं और शेष की गणना करते हैं:
1000° - 2 360° = 280°
अतः वृत्त पर कोण की स्थिति 1000° है जो उसी, जैसे 280° के कोण पर। जिसके साथ काम करना अधिक सुखद है।) और यह कोना कहाँ पड़ता है? यह चौथी तिमाही में आता है: 270° (नकारात्मक अर्ध-अक्ष OY) प्लस अन्य दस।
आओ बनाते हैं:
यहां मैंने अब बिंदीदार सर्पिल के साथ दो पूर्ण मोड़ नहीं खींचे: यह बहुत लंबा हो गया। मैंने अभी शेष पूँछ खींची है शून्य से, त्यागना सभीअतिरिक्त मोड़. ऐसा लगता है मानो उनका अस्तित्व ही नहीं था।)
फिर एक बार। अच्छे तरीके से, कोण 444° और 84°, साथ ही 1000° और 280°, भिन्न हैं। लेकिन ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए ये कोण हैं - जो उसी!
जैसा कि आप देख सकते हैं, 360° से अधिक कोणों के साथ काम करने के लिए, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है किसी दिए गए बड़े कोण में कितने पूर्ण चक्कर लगते हैं। यह बहुत ही अतिरिक्त कदम है जिसे ऐसे कोणों के साथ काम करते समय सबसे पहले किया जाना चाहिए। कुछ भी जटिल नहीं, है ना?
पूर्ण क्रांतियों को अस्वीकार करना निस्संदेह एक सुखद अनुभव है।) लेकिन व्यवहार में, जब बिल्कुल भयानक कोणों के साथ काम करते हैं, तो कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं।
उदाहरण के लिए:
31240° कोण किस तिमाही में पड़ता है?
तो क्या, क्या हम 360 डिग्री को कई बार जोड़ने जा रहे हैं? यह संभव है, अगर यह बहुत अधिक न जले। लेकिन हम न केवल जोड़ सकते हैं।) हम विभाजित भी कर सकते हैं!
तो आइए अपने विशाल कोण को 360 डिग्री में विभाजित करें!
इस क्रिया से हम यह पता लगा सकेंगे कि हमारी 31240 डिग्री में कितने पूर्ण चक्कर छिपे हैं। आप इसे एक कोने में विभाजित कर सकते हैं, आप कैलकुलेटर पर (अपने कान में फुसफुसाते हुए:)) कर सकते हैं।)
हमें 31240:360 = 86.777777… प्राप्त होता है।
तथ्य यह है कि संख्या भिन्नात्मक निकली, यह डरावना नहीं है। केवल हम साबुतमुझे रेव्स में दिलचस्पी है! अतः पूर्णतः विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है।)
तो, हमारे झबरा कोयले में 86 पूर्ण क्रांतियाँ होती हैं। डरावनी…
यह डिग्री में होगा86·360° = 30960°
इस कदर। यह वास्तव में 31240° के दिए गए कोण से दर्द रहित तरीके से कितनी डिग्री तक फेंका जा सकता है। अवशेष:
31240° - 30960° = 280°
सभी! कोण 31240° की स्थिति पूरी तरह से पहचानी गई है! 280° के समान स्थान। वे। चौथी तिमाही।) मुझे लगता है कि हम इस कोण को पहले ही चित्रित कर चुके हैं? 1000° का कोण कब खींचा गया था?) वहाँ हम 280° भी गये। संयोग।)
तो, इस कहानी का नैतिक यह है:
यदि हमें एक डरावना भारी कोण दिया जाए, तो:
1. निर्धारित करें कि इस कोने में कितनी पूर्ण क्रांतियाँ बैठती हैं। ऐसा करने के लिए, मूल कोण को 360 से विभाजित करें और भिन्नात्मक भाग को हटा दें।
2. हम गिनते हैं कि क्रांतियों की परिणामी संख्या में कितनी डिग्री हैं। ऐसा करने के लिए, क्रांतियों की संख्या को 360 से गुणा करें।
3. हम इन क्रांतियों को मूल कोण से घटाते हैं और 0° से 360° तक के सामान्य कोण के साथ काम करते हैं।
नकारात्मक कोणों के साथ कैसे काम करें?
कोई बात नहीं! बिल्कुल वैसा ही जैसा कि सकारात्मक लोगों के साथ होता है, केवल एक ही अंतर के साथ। कौन सा? हाँ! आपको कोनों को मोड़ने की जरूरत है विपरीत पक्ष, माइनस! दक्षिणावर्त दिशा में जा रहे हैं।)
उदाहरण के लिए, आइए -200° का कोण बनाएं। सबसे पहले, सकारात्मक कोणों के लिए सब कुछ सामान्य है - अक्ष, वृत्त। आइए ऋण के साथ एक नीला तीर भी बनाएं और अक्षों पर कोणों पर अलग-अलग हस्ताक्षर करें। स्वाभाविक है कि उनकी गिनती भी नकारात्मक दिशा में ही होगी। ये वही कोण होंगे, जो 90° से आगे बढ़ते हैं, लेकिन विपरीत दिशा में माइनस में गिने जाते हैं: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°।
चित्र इस प्रकार दिखेगा:
नकारात्मक कोणों के साथ काम करते समय अक्सर थोड़ी घबराहट महसूस होती है। ऐसा कैसे?! इससे पता चलता है कि एक ही समय में एक ही अक्ष, मान लीजिए, +90° और -270° है? नहीं, यहाँ कुछ गड़बड़ है...
हाँ, सब कुछ साफ़ और पारदर्शी है! हम पहले से ही जानते हैं कि वृत्त पर किसी भी बिंदु को धनात्मक या ऋणात्मक कोण कहा जा सकता है! बिल्कुल कोई भी. कुछ निर्देशांक अक्षों पर भी शामिल है। हमारे मामले में हमें चाहिए नकारात्मककोण कलन. इसलिए हम सभी कोनों को माइनस में स्नैप करते हैं।)
अब -200° का कोण सही ढंग से खींचना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है। यह -180° और है ऋणअन्य 20°. हम शून्य से माइनस की ओर झूलने लगते हैं: हम चौथी तिमाही में उड़ते हैं, हम तीसरी तिमाही से भी चूक जाते हैं, हम -180° तक पहुंच जाते हैं। बाकी बीस कहां खर्च करूं? हाँ, सब कुछ वहाँ है! घंटे के हिसाब से) कुल कोण -200° के अंतर्गत आता है दूसरातिमाही।
अब क्या आप समझ गए हैं कि निर्देशांक अक्षों पर कोणों को दृढ़ता से याद रखना कितना महत्वपूर्ण है?
निर्देशांक अक्षों (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) पर कोणों को सटीक रूप से याद किया जाना चाहिए ताकि उस तिमाही को सटीक रूप से निर्धारित किया जा सके जहां कोण पड़ता है!
क्या होगा यदि कोण बड़ा है, कई पूर्ण घुमावों के साथ? कोई बात नहीं! इससे क्या फ़र्क पड़ता है कि ये पूर्ण क्रांतियाँ सकारात्मक में बदल जाती हैं या नकारात्मक में? वृत्त पर एक बिंदु अपनी स्थिति नहीं बदलेगा!
उदाहरण के लिए:
-2000° कोण किस तिमाही में पड़ता है?
सब एक जैसे! सबसे पहले, हम गिनते हैं कि इस दुष्ट कोने में कितनी पूर्ण क्रांतियाँ बैठी हैं। संकेतों को खराब न करने के लिए, आइए अभी के लिए माइनस को अकेला छोड़ दें और बस 2000 को 360 से विभाजित करें। हमें 5 प्लस मिलेगा। फिलहाल हमें पूंछ की परवाह नहीं है, हम इसे थोड़ी देर बाद गिनेंगे जब हम कोना बनाएंगे। हम गिनते है पाँचडिग्री में पूर्ण परिभ्रमण:
5 360° = 1800°
बहुत खूब। यह वास्तव में कितनी अतिरिक्त डिग्रियाँ हैं जिन्हें हम अपने स्वास्थ्य को नुकसान पहुँचाए बिना सुरक्षित रूप से अपने कोने से बाहर फेंक सकते हैं।
हम शेष पूंछ गिनते हैं:
2000° – 1800° = 200°
लेकिन अब हम माइनस के बारे में याद कर सकते हैं।) हम 200° टेल को कहां घुमाएंगे? बेशक, माइनस! हमें एक नकारात्मक कोण दिया गया है।)
2000° = -1800° - 200°
तो हम बिना किसी अतिरिक्त चक्कर के -200° का कोण बनाते हैं। मैंने अभी इसे चित्रित किया है, लेकिन ऐसा ही होगा, मैं इसे एक बार और लिखूंगा। हाथ से।
यह स्पष्ट है कि दिया गया कोण -2000° के साथ-साथ -200° के अंतर्गत आता है दूसरी छमाही।
तो, चलो पागल हो जाएं... क्षमा करें... हमारे सिर पर:
यदि एक बहुत बड़ा ऋणात्मक कोण दिया गया है, तो उसके साथ काम करने का पहला भाग (पूर्ण चक्करों की संख्या ज्ञात करना और उन्हें त्यागना) वैसा ही है जैसे किसी धनात्मक कोण के साथ काम करते समय। समाधान के इस चरण में ऋण चिह्न कोई भूमिका नहीं निभाता है। पूर्ण क्रांतियों को हटाने के बाद शेष कोण के साथ काम करते समय, संकेत को केवल अंत में ही ध्यान में रखा जाता है।
जैसा कि आप देख सकते हैं, किसी वृत्त पर ऋणात्मक कोण बनाना धनात्मक कोण बनाने से अधिक कठिन नहीं है।
सब कुछ वैसा ही है, केवल दूसरी दिशा में! समय के साथ!
अब सबसे दिलचस्प हिस्सा आता है! हमने सकारात्मक कोण, नकारात्मक कोण, बड़े कोण, छोटे कोण - पूरी श्रृंखला को देखा। हमने यह भी पाया कि वृत्त पर किसी भी बिंदु को सकारात्मक और नकारात्मक कोण कहा जा सकता है, हमने पूर्ण क्रांतियों को त्याग दिया... कोई विचार? इसे स्थगित किया जाना चाहिए...
हाँ! आप वृत्त पर जो भी बिंदु लेंगे, वह उसके अनुरूप होगा कोणों की अनंत संख्या! बड़े वाले और इतने बड़े नहीं, सकारात्मक वाले और नकारात्मक - सभी प्रकार के! और इन कोणों के बीच का अंतर होगा साबुत पूर्ण क्रांतियों की संख्या. हमेशा! त्रिकोणमितीय वृत्त इसी प्रकार काम करता है, हाँ...) इसीलिए रिवर्सकार्य ज्ञात sine/cosine/tangent/cotangent का उपयोग करके कोण ज्ञात करना है - हल करने योग्य अस्पष्ट. और भी अधिक कठिन. प्रत्यक्ष समस्या के विपरीत - एक कोण दिया गया है, इसके त्रिकोणमितीय कार्यों का पूरा सेट ढूंढें। और त्रिकोणमिति के अधिक गंभीर विषयों में ( आरशेज़, त्रिकोणमितीय समीकरणऔर असमानता ) हम हर समय इस चाल का सामना करेंगे। हमें इसकी आदत हो रही है।)
1. -345° कोण किस तिमाही में पड़ता है?
2. 666° कोण किस तिमाही में पड़ता है?
3. 5555° कोण किस तिमाही में पड़ता है?
4. -3700° कोण किस तिमाही में पड़ता है?
5. कौन सा चिन्ह दर्शाता हैओल999°?
6. कौन सा चिन्ह दर्शाता हैसीटीजी999°?
और क्या यह काम किया? आश्चर्यजनक! एक समस्या है? फिर आप।
उत्तर:
1. 1
2. 4
3. 2
4. 3
5. "+"
6. "-"
इस बार परंपरा को तोड़ते हुए उत्तर क्रमबद्ध दिए गए। क्योंकि वहां केवल चार भाग हैं, और केवल दो ही चिन्ह हैं। आप ज्यादा भागेंगे नहीं...)
अगले पाठ में हम रेडियन के बारे में, रहस्यमय संख्या "पाई" के बारे में बात करेंगे, हम सीखेंगे कि रेडियन को आसानी से डिग्री में कैसे बदला जाए और इसके विपरीत कैसे किया जाए। और हमें यह जानकर आश्चर्य होगा कि यह सरल ज्ञान और कौशल भी हमारे लिए कई गैर-तुच्छ त्रिकोणमिति समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए पर्याप्त होंगे!
कोना: ° π रेड =
परिवर्तित करें: रेडियन डिग्री 0 - 360° 0 - 2π धनात्मक ऋणात्मक गणना करें
जब रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु के सापेक्ष चार अलग-अलग क्षेत्र होते हैं।
ये नए क्षेत्र कहलाते हैं कोने.
चित्र में रेखाओं AB और CD के प्रतिच्छेदन से बने 4 अलग-अलग कोण दिखाए गए हैं
कोणों को आमतौर पर डिग्री में मापा जाता है, जिसे ° के रूप में दर्शाया जाता है। जब कोई वस्तु एक पूरा चक्कर लगाती है, यानी बिंदु D से B, C, A और फिर वापस D पर जाती है, तो ऐसा कहा जाता है कि वह 360 डिग्री (360°) घूम गई है। तो एक डिग्री एक वृत्त की $\frac(1)(360)$ है।
360 डिग्री से अधिक कोण
हमने इस बारे में बात की कि जब कोई वस्तु एक बिंदु के चारों ओर एक पूर्ण चक्र बनाती है, तो वह 360 डिग्री का कोण बनाती है, हालाँकि, जब कोई वस्तु एक से अधिक वृत्त बनाती है, तो वह 360 डिग्री से अधिक का कोण बनाती है। रोजमर्रा की जिंदगी में यह एक सामान्य घटना है। जब गाड़ी चलती है तो पहिया कई चक्कर लगाता है यानी 360° से ज्यादा का कोण बनाता है।
किसी वस्तु को घुमाते समय चक्रों (पूर्ण वृत्तों) की संख्या जानने के लिए, हम गिनते हैं कि किसी दिए गए कोण के बराबर या उससे कम संख्या प्राप्त करने के लिए हमें कितनी बार 360 जोड़ने की आवश्यकता होती है। इसी तरह, हमें एक संख्या मिलती है जिसे हम 360 से गुणा करके एक ऐसी संख्या प्राप्त करते हैं जो छोटी लेकिन दिए गए कोण के सबसे करीब हो।
उदाहरण 2
1. कोण बनाने वाली वस्तु द्वारा वर्णित वृत्तों की संख्या ज्ञात कीजिए
ए) 380°
बी) 770°
ग) 1000°
समाधान
ए) 380 = (1 × 360) + 20
वस्तु ने एक वृत्त और 20° का वर्णन किया
चूँकि $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ वृत्त
वस्तु ने $1\frac(1)(18)$ वृत्तों का वर्णन किया।
बी) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
वस्तु में दो वृत्त और 50° का वर्णन किया गया है
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ वृत्त
वस्तु ने एक वृत्त के $2\frac(5)(36)$ का वर्णन किया
ग)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ वृत्त
वस्तु ने $2\frac(7)(9)$ वृत्तों का वर्णन किया
जब कोई वस्तु दक्षिणावर्त घूमती है, तो यह घूर्णन का नकारात्मक कोण बनाती है, और जब यह वामावर्त घूमती है, तो यह सकारात्मक कोण बनाती है। इस बिंदु तक, हमने केवल सकारात्मक कोणों पर ही विचार किया है।
आरेख के रूप में, एक ऋणात्मक कोण को नीचे दिखाए अनुसार दर्शाया जा सकता है। 
नीचे दिया गया चित्र कोण का चिह्न दिखाता है, जिसे एक सामान्य सीधी रेखा, 0 अक्ष (x-अक्ष - x-अक्ष) से मापा जाता है। 
इसका मतलब यह है कि यदि कोई ऋणात्मक कोण है, तो हम उसके अनुरूप धनात्मक कोण प्राप्त कर सकते हैं।
उदाहरण के लिए, एक ऊर्ध्वाधर रेखा का निचला भाग 270° है। जब नकारात्मक दिशा में मापा जाता है, तो हमें -90° मिलता है। हम बस 360 में से 270 घटा देते हैं। एक ऋणात्मक कोण दिए जाने पर, हम संगत धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए 360 जोड़ देते हैं।
जब कोण -360° होता है, तो इसका मतलब है कि वस्तु ने एक से अधिक दक्षिणावर्त वृत्त बनाए हैं।
उदाहरण 3
1. संगत धनात्मक कोण ज्ञात कीजिए
ए)-35°
बी) -60°
ग) -180°
घ) - 670°
2. 80°, 167°, 330° और 1300° के संगत ऋणात्मक कोण ज्ञात कीजिए।
समाधान
1. संगत धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए, हम कोण के मान में 360 जोड़ते हैं।
ए) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
बी) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
ग) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
घ) -670°= 360 + (-670) = -310
इसका मतलब है एक वृत्त दक्षिणावर्त (360)
360 + (-310) = 50°
कोण 360 + 50 = 410° है
2. संगत ऋणात्मक कोण प्राप्त करने के लिए, हम कोण के मान से 360 घटाते हैं।
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (एक चक्कर पूरा)
940 - 360 = 580 (दूसरा राउंड पूरा)
580 - 360 = 220 (तीसरा राउंड पूरा)
220 - 360 = -140°
कोण है -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
अत: 1300° = -1220°
कांति
रेडियन एक वृत्त के केंद्र से बना कोण है जो एक चाप को घेरता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। यह कोणीय परिमाण मापने की एक इकाई है। यह कोण लगभग 57.3° है।
अधिकांश मामलों में, इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है खुश.
इस प्रकार $1 रेड \लगभग 57.3^(\circ)$ 
त्रिज्या = आर = ओए = ओबी = एबी
कोण BOA एक रेडियन के बराबर है
चूँकि परिधि $2\pi r$ के रूप में दी गई है, तो वृत्त में $2\pi$ त्रिज्याएँ हैं, और इसलिए पूरे वृत्त में $2\pi$ रेडियन हैं।
गणना में दशमलव से बचने के लिए रेडियन को आमतौर पर $\pi$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। अधिकांश पुस्तकों में, संक्षिप्तीकरण खुशऐसा नहीं होता है, लेकिन पाठक को पता होना चाहिए कि जब कोण की बात आती है, तो इसे $\pi$ के संदर्भ में निर्दिष्ट किया जाता है, और माप की इकाइयाँ स्वचालित रूप से रेडियन बन जाती हैं।
$360^(\circ) = 2\pi\rad$
$180^(\circ) = \pi\rad$,
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$,
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$,
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$,
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$
उदाहरण 4
1. $\pi$ का उपयोग करके 240°, 45°, 270°, 750° और 390° को रेडियन में बदलें।
समाधान
आइए कोणों को $\frac(\pi)(180)$ से गुणा करें।
$240^(\circ) = 240 \गुना \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \गुना \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \गुना \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \गुना \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \गुना \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$
2. निम्नलिखित कोणों को डिग्री में बदलें।
ए) $\frac(5)(4)\pi$
बी) $3.12\pi$
ग) 2.4 रेडियन
समाधान
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
बी) $3.12\pi = 3.12 \गुना 180 = 561.6^(\circ)$
ग) 1 रेड = 57.3°
$2.4 = \frac(2.4 \गुना 57.3)(1) = 137.52$
ऋणात्मक कोण और $2\pi$ रेडियन से बड़े कोण
ऋणात्मक कोण को धनात्मक कोण में बदलने के लिए, हम इसे $2\pi$ में जोड़ते हैं।
किसी धनात्मक कोण को ऋणात्मक कोण में बदलने के लिए, हम उसमें से $2\pi$ घटाते हैं।
उदाहरण 5
1. $-\frac(3)(4)\pi$ और $-\frac(5)(7)\pi$ को रेडियन में धनात्मक कोण में बदलें।
समाधान
कोण में $2\pi$ जोड़ें
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ पाई$
$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ पाई$
जब कोई वस्तु $2\pi$; से अधिक कोण से घूमती है, तो यह एक से अधिक वृत्त बनाती है।
ऐसे कोण में क्रांतियों (वृत्त या चक्र) की संख्या निर्धारित करने के लिए, हम एक संख्या पाते हैं, इसे $2\pi$ से गुणा करते हैं, परिणाम बराबर या उससे कम होता है, लेकिन जितना संभव हो इस संख्या के करीब होता है।
उदाहरण 6
1. दिए गए कोणों पर वस्तु द्वारा तय किए गए वृत्तों की संख्या ज्ञात कीजिए
ए) $-10\pi$
बी) $9\pi$
ग) $\frac(7)(2)\pi$
समाधान
ए) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ का तात्पर्य दक्षिणावर्त दिशा में एक चक्र से है, इसका मतलब यह है
वस्तु ने 5 दक्षिणावर्त चक्र बनाए।
बी) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ आधा चक्र
वस्तु ने वामावर्त दिशा में साढ़े चार चक्कर लगाए
सी) $\frac(7)(2)\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$, $1.5\pi$ चक्र के तीन चौथाई के बराबर है $(\frac(1.5\pi)(2 \pi)= \frac(3)(4))$
वस्तु वामावर्त दिशा में एक और तीन चौथाई चक्र पार कर चुकी है
