समीकरणों की प्रणाली

सर्विंग प्रवाह की यादृच्छिक संख्या के लिए विफलताओं वाला क्यूएस पॉइसन प्रवाह के लिए एक वेक्टर मॉडल है। ग्राफ, समीकरणों की प्रणाली.

आइए हम QS को एक सदिश के रूप में निरूपित करें, जहाँ के एमसिस्टम में अनुरोधों की संख्या है, जिनमें से प्रत्येक की सेवा ली गई है एमउपकरण; एल= क्यूअधिकतम- क्यून्यूनतम +1 इनपुट स्ट्रीम की संख्या है।

यदि सेवा के लिए अनुरोध स्वीकार कर लिया जाता है और सिस्टम तीव्रता λ वाली स्थिति में चला जाता है एम.

अनुरोधों में से किसी एक की सेवा पूरी होने पर, सिस्टम एक ऐसी स्थिति में चला जाएगा जिसमें संबंधित समन्वय का मूल्य राज्य की तुलना में एक कम है, =, यानी। रिवर्स ट्रांज़िशन घटित होगा.

QS वेक्टर मॉडल का एक उदाहरण एन = 3, एल = 3, क्यूमिनट = 1, क्यूअधिकतम=3, पी(एम) = 1/3, λ Σ = λ, उपकरण रखरखाव की तीव्रता μ है।

लागू संक्रमण तीव्रता वाले राज्यों के ग्राफ से रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है। इन समीकरणों के हल से सम्भावनाएँ ज्ञात की जाती हैं आर(), जिसके द्वारा QS विशेषताएँ निर्धारित की जाती हैं।

पॉइसन प्रवाह के लिए अनंत कतार के साथ क्यूएस। ग्राफ़, समीकरणों की प्रणाली, परिकलित अनुपात।

सिस्टम ग्राफ़

समीकरणों की प्रणाली

कहाँ एन- सेवा चैनलों की संख्या, एल- परस्पर सहायक चैनलों की संख्या

अनंत कतार और मनमाने प्रवाह के लिए आंशिक पारस्परिक सहायता के साथ क्यूएस। ग्राफ़, समीकरणों की प्रणाली, परिकलित अनुपात।

सिस्टम ग्राफ़

समीकरणों की प्रणाली

–λ आर 0 + एनμ आर 1 =0,

.………………

–(λ + एनμ) पी के+ λ पी के –1 + एनμ पी के +1 =0 (क = 1,2, ... , एन–1),

……………....

-(λ+ एनμ) पी एन+ λ पी एन –1 + एनμ पी एन+1=0,

……………….

-(λ+ एनμ) पन्+ज+ λ Р एन+जे –1 + एनμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)

अनंत कतार के साथ क्यूएस और मनमाने प्रवाह के लिए पूर्ण पारस्परिक सहायता। ग्राफ़, समीकरणों की प्रणाली, परिकलित अनुपात।

सिस्टम ग्राफ़

…

समीकरणों की प्रणाली

पॉइसन प्रवाह के लिए एक सीमित कतार के साथ क्यूएस। ग्राफ़, समीकरणों की प्रणाली, परिकलित अनुपात।

सिस्टम ग्राफ़

समीकरणों की प्रणाली

डिज़ाइन अनुपात:

,

वर्गीकरण सुविधाएँ

कतारबद्ध प्रणालियों की विविधताएँ

आने वाली मांग का प्रवाह

सीमित आवश्यकताएँ

बंद किया हुआ

खुला

वितरण कानून

आने वाले प्रवाह के वितरण के एक विशिष्ट नियम वाली प्रणालियाँ: घातीय, एर्लांग कक्रम, हथेली, सामान्य, आदि।

कतार

कतारबद्ध अनुशासन

आदेशित कतार के साथ

एक अव्यवस्थित कतार के साथ

सेवा प्राथमिकता

प्रतीक्षा सेवा सीमाएँ

अस्वीकृतियों के साथ

असीमित प्रतीक्षा के साथ

प्रतिबंधित (मिश्रित)

कतार की लंबाई के अनुसार

कतार में प्रतीक्षा का समय

एसएमओ में रहने के समय तक

संयुक्त

सेवा अनुशासन

सेवा चरण

सिंगल फेज़

पॉलीफ़ेज़

सेवा चैनलों की संख्या

एक चैनल

मल्टी-चैनल

समान चैनलों के साथ

असमान चैनलों के साथ

सेवा चैनलों की विश्वसनीयता

बिल्कुल विश्वसनीय चैनलों के साथ

अविश्वसनीय चैनलों के साथ

कोई पुनर्प्राप्ति नहीं

रिकवरी के साथ

पारस्परिक सहायता चैनल

आपसी सहायता के बिना

आपसी सहयोग से

सेवा विश्वसनीयता

गलतियों के साथ

कोई गलती नहीं

सेवा समय वितरण

एक विशिष्ट सेवा समय वितरण कानून वाली प्रणालियाँ: नियतात्मक, घातीय, सामान्य, आदि।

यदि सेवा चैनलों के कुछ अनुक्रम द्वारा चरणों में की जाती है, तो ऐसे QS को कहा जाता है बहुत अवस्थायाँ का.

में "आपसी सहायता" से सी.एम.ओ.चैनलों के बीच, एक ही अनुरोध दो या दो से अधिक चैनलों द्वारा एक साथ पूरा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक ही खराब मशीन एक साथ दो श्रमिकों को सेवा प्रदान कर सकती है। चैनलों के बीच ऐसी "पारस्परिक सहायता" खुले और बंद क्यूएस दोनों में हो सकती है।

में त्रुटियों के साथ सी.एम.ओसिस्टम में सेवा के लिए स्वीकार किए गए आवेदन को पूरी संभावना के साथ नहीं, बल्कि कुछ संभावना के साथ सेवा प्रदान की जाती है; दूसरे शब्दों में, सेवा में त्रुटियाँ हो सकती हैं, जिसका परिणाम यह है कि कुछ आवेदन जो क्यूएस के पास गए और कथित तौर पर "सेवारत" हुए, वास्तव में क्यूएस के काम में "विवाह" के कारण असेवित रह गए।

ऐसी प्रणालियों के उदाहरण हैं: सूचना डेस्क, जो कभी-कभी गलत जानकारी और निर्देश देते हैं; एक सुधारक जो किसी त्रुटि को छोड़ सकता है या उसे गलत तरीके से ठीक कर सकता है; टेलीफोन एक्सचेंज, कभी-कभी ग्राहक को गलत नंबर से जोड़ना; व्यापारिक और मध्यस्थ कंपनियाँ जो हमेशा अपने दायित्वों को उच्च गुणवत्ता और समय पर पूरा नहीं करती हैं, आदि।

QS में होने वाली प्रक्रिया का विश्लेषण करने के लिए यह जानना आवश्यक है बुनियादी सिस्टम पैरामीटर: चैनलों की संख्या, अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता, प्रत्येक चैनल का प्रदर्शन (चैनल द्वारा प्रति यूनिट समय में दिए गए अनुप्रयोगों की औसत संख्या), कतार के गठन की शर्तें, अनुप्रयोगों के प्रस्थान की तीव्रता कतार या सिस्टम से.

रिश्ता कहा जाता है सिस्टम लोड फैक्टर. प्रायः ऐसी प्रणालियों पर ही विचार किया जाता है जिनमें .

QS में सेवा समय यादृच्छिक और गैर-यादृच्छिक दोनों हो सकता है। व्यवहार में, इस समय को अक्सर घातीय नियम के अनुसार वितरित माना जाता है।

क्यूएस की मुख्य विशेषताएं सेवा समय वितरण कानून के प्रकार पर अपेक्षाकृत कम निर्भर करती हैं, लेकिन मुख्य रूप से औसत मूल्य पर निर्भर करती हैं। इसलिए, अक्सर यह माना जाता है कि सेवा समय एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है।

अनुरोधों के प्रवाह की पॉइसन प्रकृति और सेवा समय के घातीय वितरण (जिसे हम अब से मानेंगे) के बारे में धारणाएँ मूल्यवान हैं क्योंकि वे हमें कतार के सिद्धांत में तथाकथित मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रियाओं के तंत्र को लागू करने की अनुमति देते हैं। .

अध्ययन के कार्यों और उद्देश्यों की स्थितियों के आधार पर सेवा प्रणालियों की प्रभावशीलता को बड़ी संख्या में विभिन्न मात्रात्मक संकेतकों द्वारा चित्रित किया जा सकता है।

सबसे अधिक उपयोग निम्नलिखित हैं संकेतक:

1. संभावना है कि चैनल सेवा में व्यस्त हैं।

एक विशेष मामला यह संभावना है कि सभी चैनल मुफ़्त हैं।

2. सेवा में आवेदन अस्वीकृत होने की संभावना.

3. व्यस्त चैनलों की औसत संख्या सिस्टम लोड की डिग्री को दर्शाती है।

4. सेवा से मुक्त चैनलों की औसत संख्या:

5. निष्क्रिय चैनलों का गुणांक (संभावना)।

6. उपकरण लोड फैक्टर (व्यस्त चैनलों की संभावना)

7. सापेक्ष थ्रूपुट - सिस्टम द्वारा दिए गए आने वाले अनुरोधों का औसत हिस्सा, यानी। समय की प्रति इकाई सिस्टम द्वारा सेवित अनुरोधों की औसत संख्या और इस दौरान प्राप्त अनुरोधों की औसत संख्या का अनुपात।

8. पूर्ण थ्रूपुट, अर्थात। उन अनुप्रयोगों (आवश्यकताओं) की संख्या जिन्हें सिस्टम प्रति यूनिट समय में पूरा कर सकता है:

9. औसत चैनल निष्क्रिय समय

सिस्टम के लिए उम्मीद के साथअतिरिक्त सुविधाओं का उपयोग किया जाता है:

10. कतार में अनुरोधों के लिए औसत प्रतीक्षा समय।

11. सीएमओ में किसी आवेदन का औसत निवास समय।

12. औसत कतार की लंबाई.

13. सेवा क्षेत्र में आवेदनों की औसत संख्या (सीएमओ में)

14. संभावना है कि आवेदन कतार में रहने का समय एक निश्चित समय से अधिक नहीं रहेगा।

15. संभावना है कि सेवा शुरू करने की प्रतीक्षा कर रही कतार में अनुरोधों की संख्या कुछ संख्या से अधिक है।

सूचीबद्ध मानदंडों के अलावा, सिस्टम की प्रभावशीलता का मूल्यांकन करते समय, लागत संकेतक:

- सिस्टम में प्रत्येक आवश्यकता को पूरा करने की लागत;

- समय की प्रति इकाई प्रतीक्षा से जुड़े नुकसान की लागत;

- सिस्टम से आवश्यकताओं के प्रस्थान से जुड़े नुकसान की लागत;

समय की प्रति इकाई सिस्टम चैनल को संचालित करने की लागत है;

चैनल के लिए डाउनटाइम की प्रति यूनिट लागत है।

आर्थिक संकेतकों के लिए इष्टतम सिस्टम पैरामीटर चुनते समय, आप निम्नलिखित का उपयोग कर सकते हैं हानि लागत फ़ंक्शन:

a) असीमित प्रतीक्षा वाले सिस्टम के लिए

समय अंतराल कहाँ है;

बी) विफलताओं वाले सिस्टम के लिए;

ग) मिश्रित प्रणालियों के लिए।

सिस्टम के नए तत्वों (उदाहरण के लिए, सेवा चैनल) के निर्माण (कमीशनिंग) के लिए विकल्प प्रदान करने वाले विकल्पों की तुलना आमतौर पर कम लागत पर की जाती है।

प्रत्येक विकल्प के लिए कम की गई लागत वर्तमान लागत (लागत) और पूंजी निवेश का योग है, जो दक्षता मानक के अनुसार समान आयाम तक कम हो जाती है, उदाहरण के लिए:

(प्रति वर्ष दी गई लागत);

(पेबैक अवधि के लिए दी गई लागत),

जहां - प्रत्येक विकल्प के लिए वर्तमान लागत (लागत), पी.;

- पूंजी निवेश की आर्थिक दक्षता का उद्योग मानक गुणांक (आमतौर पर = 0.15 - 0.25);

- प्रत्येक विकल्प के लिए पूंजी निवेश, पी.;

पूंजी निवेश के लिए मानक वापसी अवधि, वर्ष है।

अभिव्यक्ति एक निश्चित अवधि के लिए वर्तमान और पूंजीगत लागत का योग है। वे कहते हैं दिया गया, क्योंकि वे समय की एक निश्चित अवधि (इस मामले में, मानक पेबैक अवधि) को संदर्भित करते हैं।

संकेतकों का उपयोग पूंजी निवेश के योग और तैयार उत्पादों की लागत के रूप में और दोनों के रूप में किया जा सकता है विशिष्ट पूंजी निवेशउत्पादन की प्रति इकाई और उत्पादन की इकाई लागत।

असतत अवस्थाओं वाले सिस्टम में होने वाली एक यादृच्छिक प्रक्रिया का वर्णन करने के लिए, राज्य संभावनाओं का अक्सर उपयोग किया जाता है, जहां संभावना है कि इस समय सिस्टम राज्य में होगा।

यह तो स्पष्ट है कि.

यदि किसी सिस्टम में अलग-अलग अवस्थाओं और निरंतर समय के साथ होने वाली प्रक्रिया होती है मार्कोवियन, तो राज्यों की संभावनाओं के लिए रैखिक कोलमोगोरोव अंतर समीकरणों की एक प्रणाली बनाना संभव है।

यदि राज्यों का एक लेबल वाला ग्राफ़ है (चित्र 4.3) (यहां, एक राज्य से दूसरे राज्य की ओर जाने वाले प्रत्येक तीर के ऊपर, घटनाओं के प्रवाह की तीव्रता को दर्शाया गया है, जो सिस्टम को इस तीर के साथ एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित करता है), तो सिस्टम संभावनाओं के लिए अंतर समीकरणों को निम्नलिखित सरल का उपयोग करके तुरंत लिखा जा सकता है नियम.

प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर एक व्युत्पन्न है, और दाईं ओर उतने ही पद हैं जितने तीर इस स्थिति से सीधे संबंधित हैं; यदि तीर इंगित करता है वी

यदि सिस्टम को एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित करने वाली घटनाओं के सभी प्रवाह स्थिर हैं, राज्यों की कुल संख्या सीमित है और निकास के बिना कोई राज्य नहीं है, तो सीमा मोड मौजूद है और इसकी विशेषता है सीमांत संभावनाएँ .

समस्या का निरूपण.प्रवेश पर एन-चैनल QS को घनत्व λ के साथ अनुरोधों का सबसे सरल प्रवाह प्राप्त होता है। प्रत्येक चैनल के सरलतम सेवा प्रवाह का घनत्व μ के बराबर है। यदि सेवा के लिए प्राप्त अनुरोध में सभी चैनल निःशुल्क पाए जाते हैं, तो इसे सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाता है और एक साथ सेवा प्रदान की जाती है एल चैनल ( एल < एन). इस मामले में, एक अनुरोध के सेवा प्रवाह में तीव्रता होगी एल.

यदि सर्विसिंग के लिए प्राप्त अनुरोध को सिस्टम में एक अनुरोध मिलता है, तो एन ≥ 2एलनए आए आवेदन को सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाएगा और साथ ही उसकी सेवा भी कर दी जाएगी एलचैनल.

यदि सर्विसिंग के लिए प्राप्त कोई आवेदन सिस्टम में मिलता है मैंअनुप्रयोग ( मैं= 0,1, ...), जबकि ( मैं+ 1)एल≤ एन, तो प्राप्त अनुरोध की सेवा की जाएगी एलकुल क्षमता वाले चैनल एल. यदि कोई नया प्राप्त एप्लिकेशन सिस्टम में मिलता है जेअनुरोध, और दो असमानताएँ एक साथ संतुष्ट हैं: ( जे + 1)एल > एनऔर जे < एन, तो आवेदन सेवा हेतु स्वीकार कर लिया जायेगा। इस मामले में, कुछ एप्लिकेशन परोसे जा सकते हैं एलचैनल, दूसरा भाग इससे छोटा है एल, चैनलों की संख्या, लेकिन सभी एनचैनल जो अनुप्रयोगों के बीच बेतरतीब ढंग से वितरित किए जाते हैं। यदि कोई नया प्राप्त आवेदन सिस्टम में पाया जाता है एनआवेदन, इसे अस्वीकार कर दिया जाता है और परोसा नहीं जाएगा। जिस एप्लिकेशन की सर्विस की जा चुकी है उसकी सर्विस अंत तक की जाती है (एप्लिकेशन "धैर्यपूर्ण" होते हैं)।

ऐसी प्रणाली का राज्य ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 3.8.

चावल। 3.8. विफलताओं और आंशिक के साथ क्यूएस राज्य ग्राफ़

चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता

ध्यान दें कि सिस्टम का राज्य ग्राफ़ राज्य तक है एक्स एचप्रवाह मापदंडों के अंकन तक, चित्र 2 में दिखाए गए विफलताओं के साथ शास्त्रीय कतार प्रणाली के राज्य ग्राफ के साथ मेल खाता है। 3.6.

इस तरह,

(मैं = 0, 1, ..., एच).

सिस्टम स्थिति का ग्राफ़, राज्य से प्रारंभ करते हुए एक्स एचऔर राज्य के साथ समाप्त होता है एक्स एन, पूर्ण पारस्परिक सहायता के साथ क्यूएस के राज्य ग्राफ के साथ अंकन तक मेल खाता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 3.7. इस प्रकार,

.

हम संकेतन का परिचय देते हैं λ / एलμ = ρ एल ; λ / एनμ = χ, फिर

सामान्यीकृत स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

आगे के अंकन को छोटा करने के लिए, हम अंकन का परिचय देते हैं

सिस्टम की विशेषताओं का पता लगाएं.

आवेदन सेवा संभाव्यता

सिस्टम में अनुप्रयोगों की औसत संख्या,

औसत व्यस्त चैनल

.

संभावना है कि कोई विशेष चैनल व्यस्त रहेगा

.

सिस्टम के सभी चैनलों के अधिभोग की संभावना

3.4.4. विफलताओं और अमानवीय प्रवाह के साथ कतारबद्ध प्रणालियाँ

समस्या का निरूपण.प्रवेश पर एन-चैनल क्यूएस को कुल तीव्रता λ Σ, और के साथ एक अमानवीय प्राथमिक प्रवाह प्राप्त होता है

λ Σ = ,

कहाँ λ मैं- में अनुप्रयोगों की तीव्रता मैं-एम स्रोत.

चूंकि अनुरोधों के प्रवाह को विभिन्न स्रोतों से आवश्यकताओं का सुपरपोजिशन माना जाता है, अभ्यास के लिए पर्याप्त सटीकता के साथ संयुक्त प्रवाह को पॉइसन माना जा सकता है एन = 5...20 और λ मैं ≈ λ मैं +1 (मैं1,एन). एक उपकरण की सेवा तीव्रता घातांकीय नियम के अनुसार वितरित की जाती है और μ = 1/ के बराबर होती है टी. किसी एप्लिकेशन की सर्विसिंग के लिए सर्विसिंग डिवाइसों को श्रृंखला में जोड़ा जाता है, जो सर्विसिंग के लिए कई डिवाइसों को जोड़ने पर सर्विस समय को कई गुना बढ़ाने के बराबर है:

टीओब्स = के.टी., μ ओब्स = 1 / के.टी. = μ/ क,

कहाँ टीअवलोकन - सेवा समय का अनुरोध करें; क- सेवा उपकरणों की संख्या; μ ओब्स - आवेदन सेवा की तीव्रता।

अध्याय 2 में की गई धारणाओं के ढांचे के भीतर, हम क्यूएस राज्य को एक वेक्टर के रूप में प्रस्तुत करते हैं, जहां क एमसिस्टम में अनुरोधों की संख्या है, जिनमें से प्रत्येक की सेवा ली गई है एमउपकरण; एल = क्यूअधिकतम- क्यून्यूनतम +1 इनपुट स्ट्रीम की संख्या है।

फिर अधिग्रहीत और मुक्त उपकरणों की संख्या ( एनज़ैन ( ),एनएसवी ( )) योग्य को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

राज्य से बाहर सिस्टम किसी अन्य राज्य में जा सकता है . चूंकि सिस्टम है एलइनपुट स्ट्रीम, तो प्रत्येक राज्य से यह संभावित रूप से संभव है एलप्रत्यक्ष परिवर्तन. हालाँकि, सिस्टम के सीमित संसाधनों के कारण, ये सभी परिवर्तन संभव नहीं हैं। क्यूएस को राज्य में रहने दें और एक आवेदन आवश्यकतानुसार आता है एमउपकरण। अगर एम≤ एनएसवी ( ), फिर अनुरोध सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाता है और सिस्टम तीव्रता λ वाली स्थिति में चला जाता है एम. यदि एप्लिकेशन को मुफ़्त उपकरणों की तुलना में अधिक उपकरणों की आवश्यकता है, तो उसे सेवा से इनकार कर दिया जाएगा, और क्यूएस स्थिति में रहेगा . यदि सक्षम हो ऐसे एप्लिकेशन हैं जिनकी आवश्यकता है एमउपकरण, फिर उनमें से प्रत्येक को तीव्रता  के साथ सेवित किया जाता है एम, और ऐसे अनुरोधों को पूरा करने की कुल तीव्रता (μ एम) को μ के रूप में परिभाषित किया गया है एम = क एम μ / एम. जब अनुरोधों में से किसी एक की सेवा पूरी हो जाती है, तो सिस्टम एक ऐसी स्थिति में चला जाएगा जिसमें संबंधित समन्वय का मान राज्य की तुलना में एक कम है ,=, यानी रिवर्स ट्रांज़िशन घटित होगा. अंजीर पर. 3.9 क्यूएस वेक्टर मॉडल का एक उदाहरण दिखाता है एन = 3, एल = 3, क्यूमिनट = 1, क्यूअधिकतम=3, पी(एम) = 1/3, λ Σ = λ, उपकरण रखरखाव की तीव्रता μ है।

चावल। 3.9. सेवा से इनकार के साथ QS वेक्टर मॉडल ग्राफ़ का एक उदाहरण

तो हर राज्य एक निश्चित प्रकार के सेवित अनुरोधों की संख्या द्वारा विशेषता। उदाहरण के लिए, किसी राज्य में
एक दावे की सेवा एक उपकरण द्वारा और एक दावे की सेवा दो उपकरणों द्वारा की जाती है। इस स्थिति में, सभी डिवाइस व्यस्त हैं, इसलिए, केवल रिवर्स ट्रांज़िशन संभव है (इस स्थिति में किसी भी ग्राहक के आगमन से सेवा से इनकार हो जाता है)। यदि पहले प्रकार के अनुरोध की सेवा पहले समाप्त हो जाती है, तो सिस्टम राज्य में स्विच हो जाएगा (0,1,0) तीव्रता μ के साथ, लेकिन यदि दूसरे प्रकार के अनुरोध की सेवा पहले समाप्त हो जाती है, तो सिस्टम राज्य में चला जाएगा (0,1,0) तीव्रता μ/2 के साथ।

लागू संक्रमण तीव्रता वाले राज्यों के ग्राफ से रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है। इन समीकरणों के हल से सम्भावनाएँ ज्ञात की जाती हैं आर(), जिसके द्वारा QS विशेषता निर्धारित की जाती है।

खोजने पर विचार करें आरओटीके (सेवा से इनकार की संभावना)।

,

कहाँ एसक्यूएस वेक्टर मॉडल की ग्राफ़ स्थितियों की संख्या है; आर() सिस्टम के राज्य में होने की संभावना है .

के अनुसार राज्यों की संख्या इस प्रकार परिभाषित की गई है:

, (3.22)

;

आइए चित्र में दिखाए गए उदाहरण के लिए (3.22) के अनुसार क्यूएस वेक्टर मॉडल की स्थितियों की संख्या निर्धारित करें। 3.9.

.

इस तरह, एस = 1 + 5 + 1 = 7.

सेवा उपकरणों के लिए वास्तविक आवश्यकताओं को लागू करने के लिए, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में एन (40, ..., 50), और व्यवहार में एप्लिकेशन के सेवा उपकरणों की संख्या के लिए अनुरोध 8-16 की सीमा में हैं। उपकरणों और अनुरोधों के ऐसे अनुपात के साथ, संभावनाओं को खोजने का प्रस्तावित तरीका बेहद बोझिल हो जाता है QS वेक्टर मॉडल में बड़ी संख्या में स्थितियाँ हैं एस(50) = 1790, एस(60) = 4676, एस(70) = 11075, और बीजीय समीकरणों की प्रणाली के गुणांकों के मैट्रिक्स का आकार वर्ग के समानुपाती होता है एस, जिसके लिए बड़ी मात्रा में कंप्यूटर मेमोरी और महत्वपूर्ण मात्रा में कंप्यूटर समय की आवश्यकता होती है। गणना की मात्रा को कम करने की इच्छा ने आवर्ती कम्प्यूटेशनल संभावनाओं की खोज को प्रेरित किया आर() राज्य संभावनाओं के प्रतिनिधित्व के गुणात्मक रूपों के आधार पर। यह पेपर गणना के लिए एक दृष्टिकोण प्रस्तुत करता है आर():

(3.23)

पेपर में प्रस्तावित मार्कोव श्रृंखलाओं के वैश्विक और विस्तृत संतुलन की समतुल्यता की कसौटी का उपयोग समस्या के आयाम को कम करना और गणना की पुनरावृत्ति का उपयोग करके औसत शक्ति के कंप्यूटर पर गणना करना संभव बनाता है। इसके अलावा, संभावना है:

- किसी भी मान के लिए गणना करें एन;

- गणना में तेजी लाएं और मशीन के समय की लागत कम करें।

सिस्टम की अन्य विशेषताओं को इसी तरह परिभाषित किया जा सकता है।

अब तक, हमने केवल उन क्यूएस पर विचार किया है जिनमें प्रत्येक दावे को केवल एक चैनल द्वारा पूरा किया जा सकता है; निष्क्रिय चैनल सेवा में व्यस्त व्यक्ति की "मदद" नहीं कर सकते।

सामान्य तौर पर, यह हमेशा मामला नहीं होता है: ऐसी कतार प्रणालियां होती हैं जहां एक ही अनुरोध को दो या दो से अधिक चैनलों द्वारा एक साथ पूरा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक ही खराब मशीन एक साथ दो श्रमिकों को सेवा प्रदान कर सकती है। चैनलों के बीच ऐसी "पारस्परिक सहायता" खुले और बंद क्यूएस दोनों में हो सकती है।

चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता वाले सीएमओ पर विचार करते समय, दो कारकों को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

1. किसी एप्लिकेशन की सेवा कितनी तेज़ होती है जब उस पर एक नहीं, बल्कि कई चैनल एक साथ काम करते हैं?

2. "पारस्परिक सहायता का अनुशासन" क्या है, यानी एक ही अनुरोध की सेवा कई चैनल कब और कैसे लेते हैं?

आइए पहले पहले प्रश्न पर विचार करें। यह मानना ​​स्वाभाविक है कि यदि एक से अधिक चैनल, लेकिन कई चैनल एक अनुरोध की सेवा पर काम करते हैं, तो सेवा प्रवाह की तीव्रता k बढ़ने के साथ कम नहीं होगी, अर्थात, यह संख्या k का एक निश्चित गैर-घटता हुआ कार्य नहीं होगा कार्यशील चैनल. आइए इस फ़ंक्शन को निरूपित करें। फ़ंक्शन का संभावित रूप अंजीर में दिखाया गया है। 5.11.

जाहिर है, एक साथ संचालित चैनलों की संख्या में असीमित वृद्धि से हमेशा सेवा दर में आनुपातिक वृद्धि नहीं होती है; यह मान लेना अधिक स्वाभाविक है कि, एक निश्चित महत्वपूर्ण मूल्य पर, व्यस्त चैनलों की संख्या में और वृद्धि से सेवा की तीव्रता नहीं बढ़ती है।

चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता से क्यूएस के संचालन का विश्लेषण करने के लिए, सबसे पहले, फ़ंक्शन के प्रकार को निर्धारित करना आवश्यक है

जांच के लिए सबसे सरल मामला वह होगा जब फ़ंक्शन k के आनुपातिक रूप से बढ़ता है जब a स्थिर रहता है और a के बराबर होता है (चित्र 5.12 देखें)। यदि, इसके अलावा, एक दूसरे की मदद करने वाले चैनलों की कुल संख्या अधिक नहीं है

आइए अब दूसरे प्रश्न की ओर मुड़ें: पारस्परिक सहायता का अनुशासन। इस अनुशासन का सबसे सरल मामला हम सशर्त रूप से "सभी को एक" के रूप में नामित करेंगे। इसका मतलब यह है कि जब एक एप्लिकेशन प्रकट होता है, तो सभी चैनल एक ही बार में इसकी सेवा शुरू कर देते हैं और तब तक व्यस्त रहते हैं जब तक इस एप्लिकेशन की सेवा समाप्त नहीं हो जाती; फिर सभी चैनल किसी अन्य अनुरोध (यदि यह मौजूद है) की सर्विसिंग पर स्विच कर देते हैं या यदि यह मौजूद नहीं है तो इसके प्रकट होने की प्रतीक्षा करते हैं, आदि। जाहिर है, इस मामले में, सभी चैनल एक के रूप में काम करते हैं, क्यूएस एकल-चैनल बन जाता है, लेकिन उच्चतर के साथ सेवा की तीव्रता.

सवाल उठता है: क्या चैनलों के बीच ऐसी पारस्परिक सहायता शुरू करना फायदेमंद है या नुकसानदेह? इस प्रश्न का उत्तर अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता, किस प्रकार का फ़ंक्शन, किस प्रकार का क्यूएस (विफलताओं के साथ, एक कतार के साथ), सेवा दक्षता की विशेषता के रूप में किस मूल्य को चुना जाता है, पर निर्भर करता है।

उदाहरण 1. विफलताओं के साथ एक तीन-चैनल क्यूएस है: अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता (प्रति मिनट आवेदन), एक चैनल द्वारा एक आवेदन का औसत सेवा समय (मिनट), फ़ंक्शन "? क्या यह सिस्टम में किसी एप्लिकेशन के औसत निवास समय को कम करने के दृष्टिकोण से फायदेमंद है?

समाधान ए. बिना आपसी मदद के

एर्लांग फ़ार्मुलों द्वारा (देखें § 4) हमारे पास है:

क्यूएस की सापेक्ष क्षमता;

पूर्ण बैंडविड्थ:

क्यूएस में एक आवेदन के औसत निवास समय को औसत सेवा समय से गुणा करके सेवा के लिए आवेदन स्वीकार किए जाने की संभावना के रूप में पाया जाता है:

सार (न्यूनतम).

यह नहीं भूलना चाहिए कि यह औसत समय सभी अनुरोधों पर लागू होता है - सेवित और असेवित दोनों। हमें उस औसत समय में रुचि हो सकती है जब एक सेवित अनुरोध सिस्टम में रहेगा। इस बार है:

6. आपसी सहयोग से.

सीएमओ में एक आवेदन का औसत निवास समय:

QS में सेवित अनुरोध का औसत निवास समय:

इस प्रकार, "सभी एक के रूप में" पारस्परिक सहायता की उपस्थिति में, एसएमओ के थ्रूपुट में उल्लेखनीय रूप से कमी आई है। इसे विफलता की संभावना में वृद्धि से समझाया गया है: जबकि सभी चैनल एक एप्लिकेशन की सेवा में व्यस्त हैं, अन्य एप्लिकेशन आ सकते हैं और, स्वाभाविक रूप से, अस्वीकार कर दिए जा सकते हैं। जहां तक ​​सीएमओ में एक आवेदन के औसत निवास समय का सवाल है, यह, जैसी कि उम्मीद थी, कम हो गई। यदि, किसी कारण से, हम हर संभव तरीके से उस समय को कम करने का प्रयास कर रहे हैं जो एप्लिकेशन QS में बिताता है (उदाहरण के लिए, यदि QS में रहना एप्लिकेशन के लिए खतरनाक है), तो कमी के बावजूद, ऐसा हो सकता है थ्रूपुट, तीन चैनलों को एक में जोड़ना अभी भी फायदेमंद होगा।

आइए अब उम्मीद के साथ सीएमओ के काम पर "सभी एक" पारस्परिक सहायता के प्रभाव पर विचार करें। सरलता के लिए, हम केवल असीमित कतार का मामला लेते हैं। स्वाभाविक रूप से, इस मामले में क्यूएस के थ्रूपुट पर पारस्परिक सहायता का कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा, क्योंकि किसी भी परिस्थिति में आने वाले सभी आवेदनों की सेवा की जाएगी। प्रतीक्षा की विशेषताओं पर पारस्परिक सहायता के प्रभाव के बारे में प्रश्न उठता है: कतार की औसत लंबाई, औसत प्रतीक्षा समय, क्यूएस में बिताया गया औसत समय।

आपसी सहायता के बिना सेवा के लिए सूत्र (6.13), (6.14) § 6 के आधार पर, कतार में ग्राहकों की औसत संख्या होगी

औसत प्रतीक्षा समय:

और सिस्टम में बिताया गया औसत समय:

यदि "सभी एक के रूप में" प्रकार की पारस्परिक सहायता का उपयोग किया जाता है, तो सिस्टम मापदंडों के साथ एकल-चैनल प्रणाली के रूप में काम करेगा

और इसकी विशेषताएँ सूत्र (5.14), (5.15) 5 द्वारा निर्धारित की जाती हैं:

उदाहरण 2. असीमित कतार वाला तीन-चैनल क्यूएस है; अनुप्रयोगों के प्रवाह की तीव्रता (प्रति मिनट आवेदन), औसत सेवा समय के मद्देनजर उपयोगी कार्य:

औसत कतार की लंबाई

सेवा के लिए औसत प्रतीक्षा समय,

सीएमओ में एक आवेदन का औसत निवास समय

"सभी एक समान" जैसे चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता का परिचय दें?

समाधान ए. कोई आपसी मदद नहीं.

सूत्र (9.1) - (9.4) द्वारा हमारे पास है

(3-2)

बी। आपसी सहयोग से

सूत्र (9.5) - (9.7) द्वारा हम पाते हैं;

इस प्रकार, पारस्परिक सहायता के मामले में कतार की औसत लंबाई और कतार में औसत प्रतीक्षा समय अधिक है, लेकिन सिस्टम में एप्लिकेशन द्वारा बिताया गया औसत समय कम है।

विचारित उदाहरणों से यह स्पष्ट है कि k के बीच पारस्परिक सहायता? "सभी एक" प्रकार की नकदी, एक नियम के रूप में, सेवा की दक्षता में सुधार करने में योगदान नहीं देती है: क्यूएस में एक एप्लिकेशन द्वारा बिताया गया समय कम हो जाता है, लेकिन सेवा की अन्य विशेषताएं खराब हो जाती हैं।

इसलिए, सेवा अनुशासन को बदलना वांछनीय है ताकि चैनलों के बीच पारस्परिक सहायता सेवा के लिए नए अनुरोधों को स्वीकार करने में हस्तक्षेप न करे यदि वे उस समय दिखाई देते हैं जब सभी चैनल व्यस्त होते हैं।

आइए हम सशर्त रूप से निम्नलिखित प्रकार की पारस्परिक सहायता को "समान पारस्परिक सहायता" कहें। यदि अनुरोध उस समय आता है जब सभी चैनल निःशुल्क हैं, तो सभी चैनल उसकी सेवा के लिए स्वीकार कर लिए जाते हैं; यदि, अनुरोध की सर्विसिंग के समय, कोई अन्य आता है, तो कुछ चैनल उसकी सर्विसिंग पर स्विच कर देते हैं; यदि, इन दो अनुरोधों को पूरा करने के दौरान, एक और अनुरोध आता है, तो कुछ चैनलों को इसे पूरा करने के लिए स्विच किया जाता है, और इसी तरह, जब तक कि सभी चैनलों पर कब्जा नहीं हो जाता; यदि ऐसा है, तो नया आया हुआ दावा अस्वीकार कर दिया जाता है (अस्वीकार के साथ क्यूएस में) या कतार में रखा जाता है (प्रतीक्षा के साथ क्यूएस में)।

पारस्परिक सहायता के इस अनुशासन के साथ, आवेदन केवल तभी अस्वीकार किया जाता है या कतारबद्ध किया जाता है जब इसकी सेवा करना संभव नहीं होता है। जहां तक ​​चैनलों के "डाउनटाइम" का सवाल है, यह इन शर्तों के तहत न्यूनतम है: यदि सिस्टम में कम से कम एक एप्लिकेशन है, तो सभी चैनल काम करते हैं।

हमने ऊपर उल्लेख किया है कि जब कोई नया अनुरोध सामने आता है, तो कुछ व्यस्त चैनल जारी कर दिए जाते हैं और नए आए अनुरोध की सेवा करने के लिए स्विच कर दिए जाते हैं। कौन सा हिस्सा? यह फ़ंक्शन के प्रकार पर निर्भर करता है। यदि इसमें एक रैखिक संबंध का रूप है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 5.12, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि नए प्राप्त अनुरोध की सेवा के लिए चैनलों का कौन सा हिस्सा आवंटित किया जाए, जब तक कि सभी चैनलों पर कब्जा नहीं हो जाता (तब अनुरोधों द्वारा चैनलों के किसी भी वितरण के लिए सेवाओं की कुल तीव्रता बराबर होगी)। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि वक्र ऊपर की ओर उत्तल है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 5.11, तो आपको चैनलों को अनुप्रयोगों के बीच यथासंभव समान रूप से वितरित करने की आवश्यकता है।

आइए चैनलों के बीच "समान" पारस्परिक सहायता के साथ -चैनल क्यूएस के काम पर विचार करें।

कंप्यूटर विज्ञान, साइबरनेटिक्स और प्रोग्रामिंग

एन कतारबद्ध चैनलों के साथ एक कतार प्रणाली तीव्रता λ के साथ अनुरोधों का एक पॉइसन प्रवाह प्राप्त करती है। प्रत्येक चैनल द्वारा एप्लिकेशन सेवा की तीव्रता। सेवा समाप्त होने के बाद, सभी चैनल जारी कर दिए जाते हैं। ऐसी कतार प्रणाली के व्यवहार को मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया टी द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो सिस्टम में ग्राहकों की संख्या है।

2. विफलताओं के साथ क्यूएस और बड़े पैमाने पर प्रवाह के लिए पूर्ण पारस्परिक सहायता। ग्राफ़, समीकरणों की प्रणाली, परिकलित अनुपात।

समस्या का निरूपण.एन कतारबद्ध चैनलों के साथ एक कतार प्रणाली तीव्रता λ के साथ अनुरोधों का एक पॉइसन प्रवाह प्राप्त करती है। प्रत्येक चैनल द्वारा अनुरोध को पूरा करने की तीव्रता µ है। अनुरोध सभी चैनलों द्वारा एक साथ परोसा जाता है। सेवा समाप्त होने के बाद, सभी चैनल जारी कर दिए जाते हैं। यदि किसी नए आए अनुरोध को कोई अनुरोध मिलता है, तो उसे भी सेवा के लिए स्वीकार कर लिया जाता है। कुछ चैनल पहले अनुरोध की सेवा जारी रखते हैं, जबकि बाकी - एक नया अनुरोध। यदि सिस्टम पहले से ही n अनुरोध परोस रहा है, तो नया आया हुआ अनुरोध अस्वीकार कर दिया जाता है। ऐसी कतार प्रणाली के व्यवहार को मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया ξ(t) द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो सिस्टम में ग्राहकों की संख्या है।

इस प्रक्रिया की संभावित अवस्थाएँ E = (0, 1,..., n) हैं। आइए स्थिर मोड में विचारित क्यूएस की विशेषताओं का पता लगाएं।

विचाराधीन प्रक्रिया से संबंधित ग्राफ़ चित्र 1 में दिखाया गया है।

चावल। 1. विफलताओं के साथ क्यूएस और पॉइसन प्रवाह के लिए पूर्ण पारस्परिक सहायता

हम बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

इस प्रणाली का समाधान इस प्रकार है:

यहां χ =λ/nµ सभी चैनलों द्वारा एक अनुरोध के औसत सेवा समय के दौरान सिस्टम में प्रवेश करने वाले अनुरोधों की औसत संख्या है।

विफलताओं और चैनलों के बीच पूर्ण पारस्परिक सहायता के साथ मल्टी-चैनल कतार प्रणाली की विशेषताएं।

1. सेवा से इनकार की संभावना (संभावना है कि सभी चैनल व्यस्त हैं):

2. किसी एप्लिकेशन की सर्विसिंग की संभावना (सिस्टम का सापेक्ष थ्रूपुट):

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