आधार परिभाषा.सदिशों की एक प्रणाली एक आधार बनाती है यदि:

1) यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है,

2) इसके माध्यम से अंतरिक्ष के किसी भी वेक्टर को रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण 1अंतरिक्ष आधार: .

2. सदिशों की प्रणाली में वैक्टर आधार हैं: , क्योंकि वेक्टर के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया गया।

टिप्पणी।सदिशों की दी गई प्रणाली का आधार खोजने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) मैट्रिक्स में सदिशों के निर्देशांक लिखें,

2) प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके, मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाएँ,

3) मैट्रिक्स की गैर-शून्य पंक्तियाँ सिस्टम का आधार होंगी,

4) आधार में वैक्टर की संख्या मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है।

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली की संगतता के प्रश्न का विस्तृत उत्तर देता है

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत होती है यदि और केवल तभी जब सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक मुख्य मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो।

रैखिक समीकरणों की एक सुसंगत प्रणाली के सभी समाधान खोजने के लिए एल्गोरिदम क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय और निम्नलिखित प्रमेयों का अनुसरण करता है।

प्रमेय.यदि एक सुसंगत प्रणाली की रैंक अज्ञात की संख्या के बराबर है, तो प्रणाली के पास एक अद्वितीय समाधान है।

प्रमेय.यदि किसी सुसंगत प्रणाली की रैंक अज्ञात की संख्या से कम है, तो प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान हैं।

रैखिक समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. सिस्टम के मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें। यदि वे समान नहीं हैं (), तो सिस्टम असंगत है (कोई समाधान नहीं है)। यदि रैंक बराबर हैं ( , तो सिस्टम संगत है।

2. एक संगत प्रणाली के लिए, हमें कुछ माइनर मिलते हैं जिनका क्रम मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करता है (ऐसे माइनर को बेसिक कहा जाता है)। हम समीकरणों की एक नई प्रणाली बनाते हैं जिसमें अज्ञात के गुणांकों को मूल लघु में शामिल किया जाता है (इन अज्ञात को मुख्य अज्ञात कहा जाता है), हम बाकी समीकरणों को त्याग देते हैं। हम मुख्य अज्ञात को बाईं ओर के गुणांकों के साथ छोड़ देते हैं, और शेष अज्ञात (उन्हें मुक्त अज्ञात कहा जाता है) को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं।

3. आइए मुक्त अज्ञात के संदर्भ में प्रमुख अज्ञात की अभिव्यक्ति खोजें। हमें सिस्टम का सामान्य समाधान प्राप्त होता है।

4. मुक्त अज्ञात को मनमाना मान देकर, हम प्रमुख अज्ञात के संगत मान प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, हम समीकरणों की मूल प्रणाली के विशेष समाधान पाते हैं।

रैखिक प्रोग्रामिंग। बुनियादी अवधारणाओं

रैखिक प्रोग्रामिंगगणितीय प्रोग्रामिंग की एक शाखा है जो चरम समस्याओं को हल करने के तरीकों का अध्ययन करती है जो चर और एक रैखिक मानदंड के बीच एक रैखिक संबंध की विशेषता होती है।

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या स्थापित करने के लिए एक आवश्यक शर्त संसाधनों की उपलब्धता, मांग की मात्रा, उद्यम की उत्पादन क्षमता और अन्य उत्पादन कारकों पर प्रतिबंध है।

रैखिक प्रोग्रामिंग का सार तर्कों और जनरेटर पर लगाए गए प्रतिबंधों के एक निश्चित सेट के तहत एक निश्चित फ़ंक्शन के सबसे बड़े या सबसे छोटे मूल्य के बिंदुओं को ढूंढना है। प्रतिबंधों की प्रणाली , जिसके आमतौर पर अनंत संख्या में समाधान होते हैं। चर मानों का प्रत्येक सेट (फ़ंक्शन तर्क एफ ) जो बाधाओं की प्रणाली को संतुष्ट करता है, कहलाता है स्वीकार्य योजना रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याएं. समारोह एफ , जिसका अधिकतम या न्यूनतम निर्धारित हो, कहलाता है उद्देश्य समारोह कार्य. स्वीकार्य योजना जिस पर कार्य अधिकतम या न्यूनतम तक पहुँच जाता है एफ , कहा जाता है इष्टतम योजना कार्य.

योजनाओं के सेट को परिभाषित करने वाली बाधाओं की प्रणाली उत्पादन की स्थितियों से निर्धारित होती है। एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या ( ZLP ) व्यवहार्य योजनाओं के सेट से सबसे अधिक लाभदायक (इष्टतम) का विकल्प है।

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का सामान्य सूत्रीकरण इस प्रकार है:

कुछ चर हैं x = (x 1, x 2, ... x n) और इन चरों का कार्य एफ (एक्स) \u003d एफ (एक्स 1, एक्स 2, ... एक्स एन) , जो नाम रखता है लक्ष्य कार्य. कार्य निर्धारित है: उद्देश्य फ़ंक्शन के चरम (अधिकतम या न्यूनतम) को खोजने के लिए एफ(एक्स) बशर्ते कि चर एक्स किसी क्षेत्र के हैं जी :

फ़ंक्शन के प्रकार पर निर्भर करता है एफ(एक्स) और क्षेत्र जी और गणितीय प्रोग्रामिंग के अनुभागों के बीच अंतर करें: द्विघात प्रोग्रामिंग, उत्तल प्रोग्रामिंग, पूर्णांक प्रोग्रामिंग, आदि। रैखिक प्रोग्रामिंग की विशेषता इस तथ्य से है कि
एक समारोह एफ(एक्स) चरों का एक रैखिक फलन है एक्स 1, एक्स 2, ... एक्स एन
बी) क्षेत्र जी सिस्टम द्वारा निर्धारित रेखीय समानताएं या असमानताएं.

बीजगणित और ज्यामिति पर व्याख्यान। सेमेस्टर 1.

व्याख्यान 9. सदिश समष्टि का आधार।

सारांश: सदिशों की प्रणाली, सदिशों की एक प्रणाली का रैखिक संयोजन, सदिशों की एक प्रणाली के रैखिक संयोजन के गुणांक, एक रेखा, समतल और अंतरिक्ष में आधार, एक रेखा, समतल और अंतरिक्ष में सदिश स्थानों के आयाम, का अपघटन एक आधार में एक वेक्टर, एक आधार के संबंध में एक वेक्टर के निर्देशांक, समानता प्रमेय दो वैक्टर, समन्वय संकेतन में वैक्टर के साथ रैखिक संचालन, वैक्टर के ऑर्थोनॉर्मल ट्रिपल, वैक्टर के दाएं और बाएं ट्रिपल, ऑर्थोनॉर्मल आधार, वेक्टर बीजगणित के मौलिक प्रमेय।

अध्याय 9

वस्तु 1। रेखा पर, समतल पर और अंतरिक्ष में आधार।

परिभाषा। सदिशों के किसी भी परिमित समुच्चय को सदिशों की प्रणाली कहा जाता है।

परिभाषा। अभिव्यक्ति कहाँ
सदिशों की एक प्रणाली का रैखिक संयोजन कहा जाता है
, और संख्याएँ
इस रैखिक संयोजन के गुणांक कहलाते हैं।

मान लीजिए L, Р और S क्रमशः एक रेखा, एक समतल और बिंदुओं का एक स्थान हैं, और
. तब
क्रमशः रेखा L पर, समतल P पर और अंतरिक्ष S में निर्देशित खंडों के रूप में सदिशों के सदिश स्थान हैं।

किसी भी गैर-शून्य वेक्टर को कहा जाता है
, अर्थात। कोई भी गैर-शून्य वेक्टर सीधी रेखा L के संरेख में होता है:
और
.

आधार संकेतन
:
- आधार
.

परिभाषा। वेक्टर अंतरिक्ष आधार
अंतरिक्ष में असंरेख सदिशों का कोई क्रमित युग्म है
.

, कहाँ
,
- आधार
.

परिभाषा। वेक्टर अंतरिक्ष आधार
अंतरिक्ष के गैर-समतलीय सदिशों (अर्थात, एक ही तल में नहीं पड़े) का कोई क्रमबद्ध त्रिक है
.

- आधार
.

टिप्पणी। सदिश समष्टि के आधार में शून्य सदिश नहीं हो सकता: अंतरिक्ष में
परिभाषा के अनुसार, अंतरिक्ष में
दो सदिश संरेख होंगे यदि अंतरिक्ष में उनमें से कम से कम एक शून्य है
तीन सदिश समतलीय होंगे, अर्थात यदि तीन सदिशों में से कम से कम एक शून्य है तो वे एक ही तल में स्थित होंगे।

मद 2. आधार के संदर्भ में एक वेक्टर का अपघटन।

परिभाषा। होने देना एक मनमाना वेक्टर है,
सदिशों की एक मनमानी प्रणाली है। यदि समानता

फिर वे कहते हैं कि वेक्टर सदिशों की दी गई प्रणाली के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया गया है। यदि सदिशों की दी गई प्रणाली
सदिश समष्टि का आधार है, तो समानता (1) को सदिश का अपघटन कहा जाता है आधार
. रैखिक संयोजन गुणांक
इस मामले में वेक्टर के निर्देशांक कहलाते हैं आधार के सापेक्ष
.

प्रमेय. (आधार के संदर्भ में एक वेक्टर के विस्तार पर।)

किसी सदिश समष्टि के किसी भी सदिश को उसके आधार पर और इसके अलावा, एक अनूठे तरीके से विघटित किया जा सकता है।

सबूत। 1) मान लीजिए L एक मनमानी रेखा (या अक्ष) है और
- आधार
. एक मनमाना वेक्टर लें
. चूंकि दोनों वेक्टर और फिर, उसी रेखा L के संरेख में
. आइए हम दो सदिशों की संरेखता पर प्रमेय का उपयोग करें। क्योंकि
, तो ऐसी संख्या मौजूद (अस्तित्व में) है
, क्या
और इस प्रकार हमने वेक्टर का अपघटन प्राप्त किया है आधार
सदिश स्थल
.

अब हम ऐसे अपघटन की विशिष्टता साबित करते हैं। आइए इसके विपरीत मान लें। मान लीजिए कि वेक्टर के दो अपघटन हैं आधार
सदिश स्थल
:

और
, कहाँ
. तब
और वितरण कानून का उपयोग करके, हम पाते हैं:

क्योंकि
, तो अंतिम समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि
, वगैरह।

2) अब मान लीजिए कि P एक मनमाना विमान है और
- आधार
. होने देना
इस विमान का मनमाना वेक्टर। आइए इस तल के किसी एक बिंदु से तीनों सदिशों को स्थगित करें। आइए 4 सीधी रेखाएँ बनाएँ। चलिए एक सीधी रेखा खींचते हैं , जिस पर वेक्टर स्थित है , प्रत्यक्ष
, जिस पर वेक्टर स्थित है . वेक्टर के अंत के माध्यम से वेक्टर के समानांतर एक रेखा खींचें और वेक्टर के समानांतर एक सीधी रेखा . ये 4 रेखाएं एक समांतर चतुर्भुज को काटती हैं। नीचे चित्र देखें। 3. समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार
, और
,
,
- आधार ,
- आधार
.

अब, इस प्रमाण के पहले भाग में जो पहले ही सिद्ध हो चुका था, उसके अनुसार संख्याएँ हैं
, क्या

और
. यहाँ से हमें मिलता है:

और आधार की दृष्टि से विस्तार की सम्भावना सिद्ध होती है।

आइए अब आधार की दृष्टि से विस्तार की विशिष्टता सिद्ध करें। आइए इसके विपरीत मान लें। मान लीजिए कि वेक्टर के दो अपघटन हैं आधार
सदिश स्थल
:
और
. हमें समानता मिलती है

जहां चाहिए
. अगर
, वह
, और तबसे
, वह
और विस्तार गुणांक हैं:
,
. अभी चलो
. तब
, कहाँ
. दो सदिशों की संरेखता पर प्रमेय के अनुसार, इसका तात्पर्य यह है
. हमने प्रमेय की स्थिति का विरोधाभास प्राप्त कर लिया है। इस तरह,
और
, वगैरह।

3) चलो
- आधार
जाने देना
मनमाना वेक्टर. आइए हम निम्नलिखित निर्माण करें।

सभी तीन आधार वैक्टर को अलग रखें
और वेक्टर एक बिंदु से और 6 तल बनाएं: वह तल जिसमें आधार सदिश स्थित हैं
, विमान
और विमान
; आगे वेक्टर के अंत तक अभी बनाए गए तीन विमानों के समानांतर तीन विमान बनाएं। इन 6 विमानों ने बॉक्स को काट दिया:

वेक्टर जोड़ नियम के अनुसार, हमें समानता मिलती है:

. (1)

निर्माण द्वारा
. अतः, दो सदिशों की संरेखता पर प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक संख्या है
, ऐसा है कि
. वैसे ही,
और
, कहाँ
. अब, इन समानताओं को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

और आधार की दृष्टि से विस्तार की सम्भावना सिद्ध होती है।

आइए हम ऐसे अपघटन की विशिष्टता साबित करें। आइए इसके विपरीत मान लें। मान लीजिए कि वेक्टर के दो अपघटन हैं आधार
:

और । तब

ध्यान दें, धारणा के अनुसार, सदिश
असंरेखीय, इसलिए वे जोड़ीवार असंरेखीय हैं।

दो स्थितियाँ संभव हैं:
या
.

ए) चलो
, तो समानता (3) से यह निम्नानुसार है:

. (4)

समानता (4) से यह पता चलता है कि वेक्टर आधार की दृष्टि से विस्तारित किया गया
, अर्थात। वेक्टर सदिश तल में स्थित है
और इसलिए वेक्टर
समतलीय, जो स्थिति का खंडन करता है।

ख) एक मामला बाकी है
, अर्थात।
. तब समानता (3) से हमें या प्राप्त होता है

क्योंकि
समतल में पड़े सदिशों के स्थान का आधार है, और हम समतल के सदिशों के आधार में विस्तार की विशिष्टता को पहले ही सिद्ध कर चुके हैं, समानता (5) से यह पता चलता है कि
और
, वगैरह।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिणाम।

1) सदिश समष्टि के सदिशों के समुच्चय के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है
और वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R.

2) सदिश समष्टि के सदिशों के समुच्चय के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है
और कार्तीय वर्ग

3) सदिश समष्टि के सदिशों के समुच्चय के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है
और कार्तीय घन
वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R.

सबूत। आइए तीसरे दावे को सिद्ध करें। प्रथम दो भी इसी प्रकार सिद्ध हैं।

आइए अंतरिक्ष में चुनें और ठीक करें
कुछ आधार
और एक डिस्प्ले सेट करें
निम्नलिखित नियम के अनुसार:

वे। प्रत्येक वेक्टर अपने निर्देशांकों के क्रमबद्ध सेट से जुड़ा होता है।

चूँकि, एक निश्चित आधार पर, प्रत्येक वेक्टर में निर्देशांक का एक अद्वितीय सेट होता है, नियम (6) द्वारा दिया गया पत्राचार वास्तव में एक मानचित्रण है।

प्रमेय के प्रमाण से यह पता चलता है कि विभिन्न वैक्टरों के एक ही आधार के संबंध में अलग-अलग निर्देशांक होते हैं, अर्थात। मैपिंग (6) एक इंजेक्शन है।

होने देना
वास्तविक संख्याओं का एक मनमाना क्रमबद्ध सेट।

वेक्टर पर विचार करें
. निर्माण के अनुसार, इस वेक्टर के निर्देशांक हैं
. इसलिए, मानचित्रण (6) एक अनुमान है।

एक मानचित्रण जो विशेषण और विशेषण दोनों है, वह विशेषण है, अर्थात। एक-से-एक, आदि

परिणाम सिद्ध है.

प्रमेय. (दो सदिशों की समानता पर।)

दो सदिश समान होते हैं यदि और केवल तभी जब समान आधार के संबंध में उनके निर्देशांक समान हों।

इसका प्रमाण तुरंत पिछले परिणाम से मिलता है।

मद 3. एक सदिश समष्टि का आयाम.

परिभाषा। किसी सदिश समष्टि के आधार में सदिशों की संख्या को उसका आयाम कहा जाता है।

पद का नाम:
सदिश समष्टि V का आयाम है.

इस प्रकार, इस और पिछली परिभाषाओं के अनुसार, हमारे पास है:

1)
रेखा L के सदिशों का सदिश समष्टि है।

- आधार
,
,
,
– वेक्टर अपघटन
आधार
,
- वेक्टर समन्वय आधार के सापेक्ष
.

2)
समतल Р के सदिशों का सदिश समष्टि है।

- आधार
,
,
,
– वेक्टर अपघटन
आधार
,
वेक्टर निर्देशांक हैं आधार के सापेक्ष
.

3)
बिंदु S के स्थान में सदिशों का सदिश समष्टि है।

- आधार
,
,
– वेक्टर अपघटन
आधार
,
वेक्टर निर्देशांक हैं आधार के सापेक्ष
.

टिप्पणी। अगर
, वह
और आप आधार चुन सकते हैं
अंतरिक्ष
इसलिए
- आधार
और
- आधार
. तब
, और
, .

इस प्रकार, रेखा L, समतल P और स्थान S के किसी भी वेक्टर को आधार के संदर्भ में विस्तारित किया जा सकता है
:

पद का नाम। सदिश समानता प्रमेय के आधार पर, हम वास्तविक संख्याओं के क्रमबद्ध त्रिक वाले किसी भी सदिश की पहचान कर सकते हैं और लिख सकते हैं:

यह तभी संभव है जब आधार
फिक्स्ड और उलझने का कोई खतरा नहीं है.

परिभाषा। वास्तविक संख्याओं के क्रमित त्रिक के रूप में एक वेक्टर के रिकॉर्ड को वेक्टर रिकॉर्ड का समन्वय रूप कहा जाता है:
.

मद 4. समन्वय संकेतन में सदिशों के साथ रैखिक संचालन।

होने देना
- अंतरिक्ष आधार
और
इसके दो मनमाने सदिश हैं। होने देना
और
समन्वय रूप में इन वैक्टरों का अंकन है। चलो, आगे,
एक मनमाना वास्तविक संख्या है. इन अंकन में, निम्नलिखित प्रमेय लागू होता है।

प्रमेय. (समन्वय रूप में सदिशों के साथ रैखिक संक्रियाओं पर।)

2)
.

दूसरे शब्दों में, दो वेक्टर जोड़ने के लिए, आपको उनके संबंधित निर्देशांक जोड़ने होंगे, और एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको इस वेक्टर के प्रत्येक निर्देशांक को एक दिए गए नंबर से गुणा करना होगा।

सबूत। चूँकि, प्रमेय की स्थिति के अनुसार, सदिश समष्टि के अभिगृहीतों का उपयोग करते हुए, जो सदिशों को जोड़ने और एक सदिश को एक संख्या से गुणा करने की संक्रियाओं के अधीन हैं, हम प्राप्त करते हैं:

यह संकेत करता है ।

दूसरी समानता इसी प्रकार सिद्ध होती है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

मद 5. ऑर्थोगोनल वैक्टर. ऑर्थोनॉर्मल आधार.

परिभाषा। दो सदिशों को ओर्थोगोनल कहा जाता है यदि उनके बीच का कोण समकोण के बराबर हो, अर्थात।
.

पद का नाम:
– वैक्टर और ओर्थोगोनल.

परिभाषा। वेक्टर तिकड़ी
ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि ये वेक्टर एक दूसरे के लिए जोड़ीदार ऑर्थोगोनल हैं, यानी।
,
.

परिभाषा। वेक्टर तिकड़ी
इसे ऑर्थोनॉर्मल कहा जाता है यदि यह ऑर्थोगोनल है और सभी वैक्टर की लंबाई एक के बराबर है:
.

टिप्पणी। परिभाषा से यह पता चलता है कि एक ओर्थोगोनल और, इसलिए, वैक्टर का ऑर्थोनॉर्मल त्रिक गैर-समतलीय है।

परिभाषा। सदिशों के गैर-समतलीय त्रिगुण का आदेश दिया गया
, एक बिंदु से हटा दिया गया, दाएं (दाएं-उन्मुख) कहा जाता है यदि, जब तीसरे वेक्टर के अंत से देखा जाता है पहले दो सदिशों वाले तल पर और , पहले वेक्टर का सबसे छोटा घुमाव दूसरे को वामावर्त होता है. अन्यथा, सदिशों के त्रिगुण को बाएँ (बाएँ-उन्मुख) कहा जाता है।

यहाँ, चित्र 6 सदिशों का दायाँ त्रिक दर्शाता है
. निम्नलिखित चित्र 7 सदिशों के बाएँ त्रिक को दर्शाता है
:

परिभाषा। आधार
सदिश स्थल
ऑर्थोनॉर्मल यदि कहा जाता है
सदिशों का लम्बवत् त्रिगुण।

पद का नाम। निम्नलिखित में, हम सही ऑर्थोनॉर्मल आधार का उपयोग करेंगे
, निम्नलिखित चित्र देखें।

रूप की अभिव्यक्ति बुलाया सदिशों का रैखिक संयोजन ए 1 , ए 2 ,...,ए एनगुणांक के साथ λ 1, λ 2 ,...,λ एन.

सदिशों की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता का निर्धारण

वेक्टर प्रणाली ए 1 , ए 2 ,...,ए एनबुलाया रैखिक रूप से निर्भर, यदि संख्याओं का एक गैर-शून्य सेट है λ 1, λ 2 ,...,λ एन, जिसके अंतर्गत सदिशों का रैखिक संयोजन होता है λ 1 *ए 1 +λ 2 *ए 2 +...+λ एन *ए एनशून्य वेक्टर के बराबर, अर्थात्, समीकरणों की प्रणाली: एक गैर-शून्य समाधान है.
संख्याओं का समूह λ 1, λ 2 ,...,λ एन यदि संख्याओं में से कम से कम एक संख्या शून्य नहीं है λ 1, λ 2 ,...,λ एन शून्य से भिन्न.

सदिशों की एक प्रणाली की रैखिक स्वतंत्रता का निर्धारण

वेक्टर प्रणाली ए 1 , ए 2 ,...,ए एनबुलाया रैखिक रूप से स्वतंत्र, यदि इन सदिशों का रैखिक संयोजन λ 1 *ए 1 +λ 2 *ए 2 +...+λ एन *ए एनकेवल संख्याओं के शून्य सेट के लिए शून्य वेक्टर के बराबर है λ 1, λ 2 ,...,λ एन , अर्थात्, समीकरणों की प्रणाली: ए 1 एक्स 1 +ए 2 एक्स 2 +...+ए एन एक्स एन =Θएक अद्वितीय शून्य समाधान है.

उदाहरण 29.1

जाँचें कि क्या सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है

समाधान:

1. हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

2. हम इसे गॉस विधि का उपयोग करके हल करते हैं. सिस्टम के जॉर्डनियन परिवर्तन तालिका 29.1 में दिए गए हैं। गणना करते समय, सिस्टम के सही हिस्सों को नहीं लिखा जाता है, क्योंकि वे शून्य के बराबर होते हैं और जॉर्डन परिवर्तनों के तहत नहीं बदलते हैं।

3. तालिका की अंतिम तीन पंक्तियों से हम अनुमत प्रणाली को मूल के समतुल्य लिखते हैंप्रणाली:

4. हमें सिस्टम का सामान्य समाधान मिलता है:

5. अपने विवेक से मुक्त चर x 3 =1 का मान निर्धारित करके, हमें एक विशेष गैर-शून्य समाधान प्राप्त होता हैएक्स=(-3,2,1).

उत्तर: इस प्रकार, संख्याओं के गैर-शून्य सेट (-3,2,1) के साथ, वैक्टर का रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ के बराबर होता है। इस तरह, रैखिक रूप से आश्रित सदिशों की प्रणाली.

वेक्टर सिस्टम के गुण

संपत्ति (1)
यदि वैक्टरों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, तो कम से कम एक वेक्टर बाकी के संदर्भ में विघटित हो जाता है, और इसके विपरीत, यदि सिस्टम के कम से कम एक वेक्टर बाकी के संदर्भ में विघटित हो जाता है, तो सिस्टम की वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर है।

संपत्ति (2)
यदि सदिशों का कोई भी उपतंत्र रैखिक रूप से निर्भर है, तो पूरा तंत्र रैखिक रूप से निर्भर है।

संपत्ति (3)
यदि सदिशों की कोई प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, तो उसका कोई भी उपप्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

संपत्ति (4)
शून्य सदिश युक्त सदिशों की कोई भी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है।

संपत्ति (5)
एम-आयामी वैक्टर की एक प्रणाली हमेशा रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि वेक्टर एन की संख्या उनके आयाम (एन>एम) से अधिक है

वेक्टर प्रणाली का आधार

सदिशों की प्रणाली का आधार ए 1 , ए 2 ,..., ए एन ऐसा सबसिस्टम बी 1 , बी 2 ,...,बी आर(प्रत्येक सदिश B 1 ,B 2 ,...,B r सदिश A 1 , A 2 ,..., A n में से एक है) जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:
1. बी 1 ,बी 2 ,...,बी आरसदिशों की रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली;
2. कोई वेक्टरए जे सिस्टम A 1 , A 2 ,..., A n को वैक्टर B 1 ,B 2 ,...,B r के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है

आरआधार में शामिल वैक्टरों की संख्या है।

प्रमेय 29.1 सदिशों की प्रणाली के इकाई आधार पर।

यदि एम-आयामी वैक्टर की एक प्रणाली में एम विभिन्न इकाई वेक्टर ई 1 ई 2,..., ई एम शामिल हैं, तो वे सिस्टम का आधार बनाते हैं।

सदिशों की प्रणाली का आधार खोजने के लिए एल्गोरिदम

सदिशों A 1 ,A 2 ,...,A n की प्रणाली का आधार खोजने के लिए यह आवश्यक है:

• सदिशों की प्रणाली के अनुरूप समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली बनाएं ए 1 एक्स 1 +ए 2 एक्स 2 +...+ए एन एक्स एन =Θ
• ये सिस्टम लाओ