ऐतिहासिक विकास के क्रम में, निश्चित रूप से, वे लंबे समय तक जुड़ते और बढ़ते रहे, उन कानूनों को जाने बिना जिनके ये ऑपरेशन अधीन हैं। केवल पिछली शताब्दी के 20 और 30 के दशक में, मुख्य रूप से फ्रांसीसी और अंग्रेजी गणितज्ञों ने इन परिचालनों के मूल गुणों का पता लगाया। जो कोई भी इस मुद्दे के इतिहास से अधिक विस्तार से परिचित होना चाहता है, मैं यहां इसकी अनुशंसा कर सकता हूं, जैसा कि मैं इसे नीचे बार-बार करूंगा, बड़े "गणितीय विज्ञान का विश्वकोश"।

अपने विषय पर लौटते हुए, अब मेरा मतलब वास्तव में उन पाँच मूलभूत कानूनों को गिनाना है जिनमें जोड़ कम हो जाता है:

1) हमेशा एक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरे शब्दों में, जोड़ने की क्रिया बिना किसी अपवाद के हमेशा संभव होती है (घटाव के विपरीत, जो सकारात्मक संख्याओं के क्षेत्र में हमेशा संभव नहीं होती है);

2) राशि हमेशा विशिष्ट रूप से निर्धारित होती है;

3) एक संयोजनात्मक या साहचर्य नियम है: , इसलिए कोष्ठक को पूरी तरह से छोड़ा जा सकता है;

4) एक क्रमविनिमेय या क्रमविनिमेय कानून है:

5) एकरसता का नियम मानता है: यदि , तो .

यदि हमारी आंखों के सामने मात्रा के रूप में संख्या का दृश्य प्रतिनिधित्व हो तो इन गुणों को बिना किसी स्पष्टीकरण के समझा जा सकता है। लेकिन उन्हें सख्ती से औपचारिक रूप से व्यक्त किया जाना चाहिए ताकि सिद्धांत के आगे सख्ती से तार्किक विकास में उन पर भरोसा किया जा सके।

जहाँ तक गुणन का प्रश्न है, सबसे पहले, सूचीबद्ध नियमों के समान पाँच नियम हैं:

1) हमेशा एक संख्या होती है;

2) उत्पाद असंदिग्ध है,

3) संयोजन का नियम:

4) गतिशीलता का नियम:

5) एकरसता का नियम: यदि , तो

अंत में, जोड़ और गुणा के बीच संबंध छठे नियम द्वारा स्थापित किया जाता है:

6) वितरण, या वितरण का नियम:

यह समझना आसान है कि सभी गणनाएँ केवल इन 11 कानूनों पर आधारित हैं। मैं स्वयं को एक सरल उदाहरण तक सीमित रखूंगा, मान लीजिए, संख्या 7 को 12 से गुणा करना;

वितरण के नियम के अनुसार

इस संक्षिप्त चर्चा में, आप निश्चित रूप से, उन व्यक्तिगत चरणों को पहचानेंगे जो हम दशमलव प्रणाली में गणना करते समय करते हैं। मैं इसे आप पर छोड़ता हूँ कि आप स्वयं अधिक जटिल उदाहरणों का पता लगाएँ। यहां हम केवल एक सारांश परिणाम व्यक्त करेंगे: हमारी डिजिटल गणना में ऊपर सूचीबद्ध ग्यारह बुनियादी प्रावधानों को फिर से लागू करने के साथ-साथ दिल से सीखे गए एकल-अंकीय संख्याओं (जोड़ तालिका और गुणन तालिका) पर संचालन के परिणामों को लागू करना शामिल है। .

हालाँकि, एकरसता के नियम कहाँ लागू होते हैं? सामान्य, औपचारिक गणनाओं में, हम वास्तव में उन पर भरोसा नहीं करते हैं, लेकिन थोड़े अलग प्रकार की समस्याओं में वे आवश्यक हो जाते हैं। मैं यहां आपको एक विधि याद दिलाना चाहता हूं जिसे दशमलव गणना में उत्पाद और भागफल के मूल्य का अनुमान लगाना कहा जाता है। यह सबसे बड़े व्यावहारिक महत्व की एक तकनीक है, जो दुर्भाग्य से, अभी तक स्कूल और छात्रों के बीच पर्याप्त रूप से ज्ञात नहीं है, हालांकि कभी-कभी वे इसके बारे में दूसरी कक्षा में पहले से ही बात करते हैं; मैं यहां खुद को सिर्फ एक उदाहरण तक ही सीमित रखूंगा। मान लीजिए कि हमें 567 को 134 से गुणा करने की आवश्यकता है, और इन संख्याओं में इकाइयों के अंक स्थापित किए जाते हैं - मान लीजिए, भौतिक माप के माध्यम से - केवल बहुत ही अस्पष्ट रूप से। इस मामले में, उत्पाद की पूरी सटीकता के साथ गणना करना पूरी तरह से बेकार होगा, क्योंकि ऐसी गणना अभी भी हमें उस संख्या के सटीक मूल्य की गारंटी नहीं देती है जिसमें हम रुचि रखते हैं। लेकिन हमारे लिए वास्तव में जो महत्वपूर्ण है वह उत्पाद के परिमाण के क्रम को जानना है, यानी यह निर्धारित करना कि संख्या दसियों या सैकड़ों की संख्या के भीतर है। लेकिन एकरसता का नियम वास्तव में आपको यह अनुमान सीधे देता है, क्योंकि इससे पता चलता है कि आवश्यक संख्या 560-130 और 570-140 के बीच समाहित है। मैं फिर से इन विचारों के आगे के विकास को आप पर छोड़ता हूं।

किसी भी स्थिति में, आप देखते हैं कि "गणना का अनुमान लगाने" में आपको लगातार एकरसता के नियमों का उपयोग करना पड़ता है।

जहाँ तक स्कूली शिक्षण में इन सभी चीज़ों के वास्तविक अनुप्रयोग की बात है, तो जोड़ और गुणा के इन सभी मूलभूत नियमों की व्यवस्थित व्याख्या का कोई सवाल ही नहीं हो सकता है। शिक्षक केवल संयोजन, रूपान्तरण और वितरण के नियमों पर ध्यान केंद्रित कर सकता है, और उसके बाद केवल शाब्दिक गणनाओं पर आगे बढ़ते हुए, उन्हें सरल और स्पष्ट संख्यात्मक उदाहरणों से अनुमान लगाकर निकाल सकता है।

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स्लाइड कैप्शन:

10.22.15 बढ़िया काम

खंड AB a b A B b a B A AB= a + b AB= b + a की लंबाई ज्ञात करें

11 + 16 = 27 (फल) 16 + 11 = 27 (फल) यदि पदों को पुनर्व्यवस्थित किया जाए तो क्या फलों की कुल संख्या बदल जाएगी? माशा ने 11 सेब और 16 नाशपाती एकत्र कीं। माशा की टोकरी में कितने फल थे?

मौखिक कथन को रिकॉर्ड करने के लिए एक अक्षर अभिव्यक्ति बनाएं: "शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलेगा" a + b = b + a जोड़ का क्रमविनिमेय नियम

(5 + 7) + 3 = 15 (खिलौने) गिनती की कौन सी विधि आसान है? माशा क्रिसमस ट्री सजा रही थी। उसने 5 क्रिसमस गेंदें, 7 पाइन शंकु और 3 सितारे लटकाए। माशा ने कितने खिलौने टांगे? (7 + 3) + 5 =15 (खिलौने)

मौखिक कथन को रिकॉर्ड करने के लिए एक अक्षर अभिव्यक्ति बनाएं: "दो पदों के योग में तीसरा पद जोड़ने के लिए, आप दूसरे और तीसरे पद का योग पहले पद में जोड़ सकते हैं" (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी) जोड़ का संयोजन कानून

आइए गिनती करें: 27+ 148+13 = (27+13) +148= 188 124 + 371 + 429 + 346 = = (124 + 346) + (371 + 429) = = 470 + 800 = 1270 आइए जल्दी से गिनती करना सीखें !

क्या गुणा के लिए भी वही नियम मान्य हैं जो जोड़ने के लिए? ए बी = बी ए (ए बी) सी = ए (बी सी)

बी=15 ए =12 सी=2 वी = (ए बी) सी = ए (बी सी) वी = (12 15) 2= =12 (15 2)=360 एस = ए बी= बी ए एस = 12 15 = 15 12 = 180

ए · बी = बी · ए (ए · बी) · सी = ए · (बी · सी) गुणन का क्रमविनिमेय नियम, गुणन का संयोजनात्मक नियम

आइए गिनती करें: 25 · 756 · 4 = (25 · 4) · 756= 75600 8 · (956 · 125) = = (8 · 125) · 956 = = 1000 · 956 = 956000 आइए जल्दी से गिनती करना सीखें!

पाठ विषय: आज के पाठ में हम किसके साथ काम कर रहे हैं? पाठ का विषय तैयार करें।

212 (1 कॉलम), 214(ए,बी,सी), 231, 230 कक्षा होमवर्क में 212 (दूसरा कॉलम), 214(डी,ई,एफ), 253

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18-19 अक्टूबर, 2010

विषय: "अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम"

लक्ष्य: विद्यार्थियों को अंकगणितीय संक्रियाओं के नियमों से परिचित कराना।

पाठ मकसद:

जोड़ और गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों को प्रकट करने के लिए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करें, अभिव्यक्ति को सरल बनाते समय उन्हें लागू करना सिखाएं;

भावों को सरल बनाने की क्षमता विकसित करना;

बच्चों में तार्किक सोच और भाषण के विकास पर काम करें;

विषय में स्वतंत्रता, जिज्ञासा और रुचि पैदा करें।

यूयूडी: प्रतीकात्मक प्रतीकों के साथ कार्य करने की क्षमता,

वस्तुओं की तुलना, तुलना, मूल्यांकन और वर्गीकरण के लिए आधार, मानदंड चुनने की क्षमता।

उपकरण: पाठ्यपुस्तक, टीवीईटी, प्रस्तुति

चावल। 30 अंजीर. 31

चित्र 30 का प्रयोग करते हुए स्पष्ट करें कि समीकरण सत्य क्यों है

ए + बी = बी + ए.

यह समानता जोड़ के उस गुण को व्यक्त करती है जिसे आप जानते हैं। कौन सा याद रखने की कोशिश करें.

स्वयं की जांच करो:

पदों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है

यह संपत्ति है जोड़ का क्रमविनिमेय नियम.

चित्र 31 के अनुसार कौन सी समानता लिखी जा सकती है? यह समानता जोड़ के किस गुण को व्यक्त करती है?

स्वयं की जांच करो।

चित्र 31 से यह इस प्रकार है कि (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी): यदि आप दो पदों के योग में तीसरा पद जोड़ते हैं, तो आपको वही संख्या प्राप्त होती है जो पहले पद में दूसरे और तीसरे पद के योग को जोड़ने पर मिलती है।

(ए + बी) + सी के बजाय, जैसे | ए + (बी + सी) के बजाय, आप बस ए + बी + सी लिख सकते हैं।

यह संपत्ति है जोड़ का संयोजन नियम.

गणित में, अंकगणितीय संक्रियाओं के नियमों को | के रूप में लिखा जाता है मौखिक रूप में, और अक्षरों का उपयोग करके समानता के रूप में:

बताएं कि निम्नलिखित गणनाओं को जोड़ के नियमों का उपयोग करके कैसे सरल बनाया जा सकता है, और उन्हें निष्पादित करें:

212. ए) 48 + 56 + 52; ई) 25 + 65 + 75;

बी) 34 + 17 + 83; च) 35 + 17 + 65 + 33;

ग) 56 + 24 + 38 + 62; छ) 27 + 123 + 16 + 234;

घ) 88 + 19 + 21 + 12; ज) 156 + 79 + 21 + 44।

213. चित्र 32 का प्रयोग करते हुए स्पष्ट करें कि समीकरण सत्य क्यों है अब = बी एक।

क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि कौन सा कानून इस समानता को दर्शाता है? क्या ऐसा कहना संभव है

क्या गुणा के लिए भी वही नियम मान्य हैं जो जोड़ने के लिए? उन्हें तैयार करने का प्रयास करें

और फिर स्वयं का परीक्षण करें:

गुणन के नियमों का उपयोग करते हुए निम्नलिखित भावों के मानों की मौखिक गणना करें:

214. ए) 76 · 5 · 2; ग) 69 · 125 · 8; ई) 8 941 125; बी सी

बी) 465 · 25 · 4; घ) 4 213 5 5; ई) 2 5 126 4 25।

215. आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें ए बी सी डी(चित्र 33) दो प्रकार से।

216. चित्र 34 का उपयोग करते हुए बताएं कि समानता सत्य क्यों है: a(b + c) = ab + ac।

चावल। 34 यह अंकगणितीय संक्रियाओं के किस गुण को व्यक्त करता है?

स्वयं की जांच करो। यह समानता निम्नलिखित संपत्ति को दर्शाती है: किसी संख्या को किसी योग से गुणा करते समय, आप इस संख्या को प्रत्येक पद से गुणा कर सकते हैं और परिणामी परिणाम जोड़ सकते हैं।

इस संपत्ति को दूसरे तरीके से तैयार किया जा सकता है: समान कारक वाले दो या दो से अधिक उत्पादों के योग को इस कारक के उत्पाद और शेष कारकों के योग से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

यह गुण अंकगणित संक्रियाओं का एक अन्य नियम है - विभाजित करनेवाला. जैसा कि आप देख सकते हैं, इस कानून का मौखिक सूत्रीकरण बहुत बोझिल है, और गणितीय भाषा वह साधन है जो इसे संक्षिप्त और समझने योग्य बनाती है:

कार्य संख्या 217-220 में मौखिक रूप से गणना कैसे करें और उन्हें कैसे पूरा करें, इसके बारे में सोचें।

217. ए) 15 13; बी) 26 22; ग) 34 12; घ) 27 21.

218. ए) 44 52; बी) 16 42; ग) 35 33; घ) 36 26.

219. ए) 43 16 + 43 84; ई) 62 · 16 + 38 · 16;

बी) 85 47 + 53 85; ई) 85 · 44 + 44 · 15;

ग) 54 60 + 460 6. छ) 240 710 + 7100 76;

घ) 23 320 + 230 68; ज) 38 5800 + 380 520।

220. ए) 4 63 + 4 79 + 142 6; ग) 17 27 + 23 17 + 50 19;

बी) 7 125 + 3 62 + 63 3; घ) 38 46 + 62 46 + 100 54।

221. समानता सिद्ध करने के लिए अपनी नोटबुक में एक चित्र बनाएं ए ( बी - सी) = ए बी - इक्का

222. वितरण कानून का उपयोग करके मौखिक रूप से गणना करें: ए) 6 · 28; बी) 18 21; ग) 17 63; घ) 19 98.

223. मौखिक रूप से गणना करें: ए) 34 84 - 24 84; ग) 51·78 – 51·58;

बी) 45 · 40 - 40 · 25; घ) 63 7 – 7 33

224 गणना करें: ए) 560 · 188 - 880 · 56; ग) 490 730 - 73 900;

बी) 84 670 - 640 67; घ) 36 3400 - 360 140।

आपको ज्ञात तकनीकों का उपयोग करके मौखिक रूप से गणना करें:

225. ए) 13 · 5 + 71 · 5; ग) 87 · 5 – 23 · 5; ई) 43 · 25 + 25 · 17;

बी) 58 · 5 - 36 · 5; घ) 48 · 5 + 54 · 5; ई) 25 67 - 39 25।

226. गणना किए बिना, भावों के अर्थों की तुलना करें:

ए) 258 · (764 + 548) और 258 · 764 + 258 · 545; ग) 532 · (618 – 436) और 532 · 618 –532 · 436;

बी) 751· (339 + 564) और 751·340 + 751·564; घ) 496 · (862 – 715) और 496 · 860 – 496 · 715।

227. तालिका भरें:

क्या दूसरी पंक्ति को भरने के लिए गणना करना आवश्यक था?

228. यदि कारकों को निम्नानुसार बदल दिया जाए तो यह उत्पाद कैसे बदल जाएगा:

229. लिखिए कि निर्देशांक किरण पर कौन सी प्राकृतिक संख्याएँ स्थित हैं:

ए) संख्या 7 के बाईं ओर; ग) संख्या 2895 और 2901 के बीच;

बी) संख्या 128 और 132 के बीच; d) संख्या 487 के दाईं ओर, लेकिन संख्या 493 के बाईं ओर।

230. सही समानता प्राप्त करने के लिए क्रिया चिह्न डालें: a) 40 + 15? 17 = 72; ग) 40? 15 ? 17 = 8;

ख) 40? 15 ? 17 = 42; घ) 120? 60? 60 = 0.

231 . एक डिब्बे में मोज़े नीले और दूसरे में सफेद हैं। सफेद मोज़ों की तुलना में नीले मोज़ों के 20 जोड़े अधिक हैं, और दो बक्सों में कुल मिलाकर 84 लारी मोज़े हैं। प्रत्येक रंग के कितने जोड़े मोज़े?

232 . स्टोर में तीन प्रकार के अनाज हैं: एक प्रकार का अनाज, मोती जौ और चावल, कुल 580 किलोग्राम। यदि 44 किलोग्राम अनाज, 18 किलोग्राम मोती जौ और 29 किलोग्राम चावल बेचे गए, तो सभी प्रकार के अनाज का द्रव्यमान समान हो जाएगा। दुकान में प्रत्येक प्रकार का कितने किलोग्राम अनाज उपलब्ध है।