Operasi dengan pecahan persamaan. Operasi dengan pecahan

instruksi

Pertama, ingatlah bahwa pecahan hanyalah notasi konvensional untuk membagi suatu bilangan dengan bilangan lainnya. Selain penjumlahan dan perkalian, pembagian dua bilangan bulat tidak selalu menghasilkan bilangan bulat. Jadi, sebutlah dua bilangan yang “dapat dibagi” ini. Bilangan yang dibagi adalah pembilangnya, dan bilangan yang dibagi adalah penyebutnya.

Untuk menulis pecahan, tulis dulu pembilangnya, lalu buat garis mendatar di bawah bilangan tersebut, dan tulis penyebutnya di bawah garis tersebut. Garis mendatar yang memisahkan pembilang dan penyebut disebut garis pecahan. Terkadang digambarkan sebagai garis miring "/" atau "∕". Dalam hal ini, pembilangnya ditulis di sebelah kiri garis, dan penyebutnya di sebelah kanan. Jadi, misalnya pecahan “dua pertiga” akan ditulis 2/3. Agar lebih jelas, pembilangnya biasanya ditulis di bagian atas baris, dan penyebutnya di bagian bawah, yaitu, alih-alih 2/3, Anda dapat menemukan: ⅔.

Jika pembilang suatu pecahan lebih besar dari penyebutnya, maka pecahan biasa biasanya ditulis sebagai pecahan campuran. Untuk membuat pecahan campuran dari pecahan biasa, cukup bagi pembilangnya dengan penyebutnya dan tulis hasil bagi yang dihasilkan. Kemudian masukkan sisa pembagian ke dalam pembilang pecahan dan tuliskan pecahan tersebut di sebelah kanan hasil bagi (jangan sentuh penyebutnya). Misalnya, 7/3 = 2⅓.

Untuk menjumlahkan dua pecahan yang penyebutnya sama, cukup tambahkan pembilangnya (biarkan penyebutnya saja). Misalnya, 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Kurangi dua pecahan dengan cara yang sama (pembilangnya dikurangi). Misalnya, 6/7 – 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

Untuk menjumlahkan dua pecahan yang penyebutnya berbeda, kalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, lalu kalikan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama. Hasilnya, Anda akan mendapatkan jumlah dua pecahan dengan penyebut yang sama, yang penjumlahannya dijelaskan pada paragraf sebelumnya.

Misalnya, 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17/12 = 1 5/12.

Jika penyebut suatu pecahan mempunyai faktor persekutuan, yaitu habis dibagi dengan bilangan yang sama, maka pilihlah bilangan terkecil yang habis dibagi penyebut pertama dan kedua sebagai penyebut yang sama. Jadi, misalnya penyebut pertama adalah 6 dan penyebut kedua adalah 8, maka yang menjadi penyebutnya bukanlah hasil kali (48), melainkan bilangan 24 yang habis dibagi 6 dan 8. Pembilang pecahannya adalah dikalikan dengan hasil bagi membagi penyebut yang sama dengan penyebut masing-masing pecahan. Misalnya, untuk penyebut 6 angkanya adalah 4 – (24/6), dan untuk penyebut 8 – 3 (24/8). Proses ini terlihat lebih jelas dalam contoh spesifik:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

Pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda dilakukan dengan cara yang persis sama.

Mari kita sepakat bahwa “aksi dengan pecahan” dalam pelajaran kita berarti tindakan dengan pecahan biasa. Pecahan biasa adalah pecahan yang mempunyai ciri-ciri seperti pembilang, garis pecahan, dan penyebut. Hal ini membedakan pecahan biasa dengan desimal, yang diperoleh dari pecahan biasa dengan cara memperkecil penyebutnya menjadi kelipatan 10. Desimal ditulis dengan koma yang memisahkan bagian bilangan bulat dari pecahan. Kita akan berbicara tentang operasi dengan pecahan biasa, karena operasi inilah yang menyebabkan kesulitan terbesar bagi siswa yang telah melupakan dasar-dasar topik ini, yang dibahas pada paruh pertama kursus matematika sekolah. Pada saat yang sama, ketika mentransformasikan ekspresi dalam matematika tingkat tinggi, yang digunakan terutama adalah operasi dengan pecahan biasa. Singkatan pecahan saja sudah sepadan! Pecahan desimal tidak menimbulkan kesulitan khusus. Jadi silakan!

Dua pecahan dikatakan sama jika .

Misalnya sejak

Pecahan dan (sejak), dan (sejak) juga sama.

Jelasnya, kedua pecahan dan pecahan itu sama. Artinya jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan bilangan asli yang sama, maka diperoleh pecahan yang sama dengan pecahan tersebut: .

Sifat ini disebut sifat dasar pecahan.

Sifat dasar pecahan dapat digunakan untuk mengubah tanda pembilang dan penyebut suatu pecahan. Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan -1, didapat . Artinya nilai pecahan tidak akan berubah jika tanda pembilang dan penyebutnya diubah secara bersamaan. Jika Anda mengubah tanda pembilangnya saja atau penyebutnya saja, maka pecahan tersebut akan mengubah tandanya:

Mengurangi Pecahan

Dengan menggunakan sifat dasar pecahan, Anda dapat mengganti pecahan tertentu dengan pecahan lain yang sama dengan pecahan tersebut, tetapi pembilang dan penyebutnya lebih kecil. Substitusi ini disebut reduksi pecahan.

Misalkan diberikan pecahan. Bilangan 36 dan 48 mempunyai pembagi persekutuan terbesar yaitu 12. Maka

Secara umum, pengurangan pecahan selalu dapat dilakukan jika pembilang dan penyebutnya bukan bilangan prima. Jika pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan prima, maka pecahan tersebut disebut tak dapat direduksi.

Jadi, mereduksi suatu pecahan berarti membagi pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan faktor persekutuan. Semua hal di atas juga berlaku untuk ekspresi pecahan yang mengandung variabel.

Contoh 1. Kurangi pecahan

Larutan. Untuk memfaktorkan pembilangnya, pertama-tama tampilkan monomial - 5 xy sebagai jumlah - 2 xy - 3xy, kita mendapatkan

Untuk memfaktorkan penyebutnya, kita menggunakan rumus selisih kuadrat:

Sebagai akibat

Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama

Misalkan dua pecahan dan . Penyebutnya berbeda: 5 dan 7. Dengan menggunakan sifat dasar pecahan, Anda dapat mengganti pecahan tersebut dengan pecahan lain yang sama dengannya, sehingga pecahan yang dihasilkan memiliki penyebut yang sama. Mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan 7, kita peroleh

Mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan 5, kita peroleh

Jadi, pecahan-pecahan tersebut direduksi menjadi penyebut yang sama:

Namun ini bukan satu-satunya solusi untuk masalah ini: misalnya, pecahan berikut juga dapat direduksi menjadi penyebut yang sama yaitu 70:

dan secara umum untuk setiap penyebut yang habis dibagi 5 dan 7.

Mari kita perhatikan contoh lain: mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama. Berdebat seperti pada contoh sebelumnya, kita dapatkan

Namun dalam kasus ini, pecahan dapat direduksi menjadi penyebut yang sama yang lebih kecil dari hasil kali penyebut pecahan tersebut. Mari kita cari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 24 dan 30: KPK(24, 30) = 120.

Karena 120:4 = 5, untuk menulis pecahan yang penyebutnya 120, pembilang dan penyebutnya harus dikalikan dengan 5, bilangan ini disebut faktor tambahan. Cara .

Selanjutnya, kita mendapatkan 120:30=4. Mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahan 4, kita peroleh .

Jadi, pecahan-pecahan ini direduksi menjadi penyebut yang sama.

Kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut pecahan tersebut adalah penyebut persekutuan terkecil yang mungkin ada.

Untuk ekspresi pecahan yang melibatkan variabel, penyebutnya adalah polinomial yang dibagi dengan penyebut setiap pecahan.

Contoh 2. Temukan penyebut pecahan dan.

Larutan. Penyebut pecahan ini adalah polinomial karena habis dibagi dan. Namun, polinomial ini bukanlah satu-satunya yang dapat menjadi penyebut yang sama dari pecahan-pecahan tersebut. Ini juga bisa berupa polinomial , dan polinomial , dan polinomial dll. Biasanya mereka mengambil penyebut yang sama sehingga penyebut umum lainnya dibagi dengan penyebut yang dipilih tanpa sisa. Penyebut ini disebut penyebut persekutuan terkecil.

Dalam contoh kita, penyebut terkecilnya adalah . Telah mendapatkan:

;

Kami dapat mereduksi pecahan hingga penyebut terkecilnya. Hal ini dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan , serta pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan . Polinomial disebut faktor tambahan, masing-masing untuk pecahan pertama dan kedua.

Penjumlahan dan pengurangan pecahan

Penjumlahan pecahan didefinisikan sebagai berikut:

Misalnya,

Jika B = D, Itu

Artinya, untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama, cukup menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tetap sama. Misalnya,

Jika Anda menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda, biasanya Anda mengurangi pecahan tersebut ke penyebut terkecilnya, lalu menjumlahkan pembilangnya. Misalnya,

Sekarang mari kita lihat contoh penjumlahan ekspresi pecahan dengan variabel.

Contoh 3. Ubah ekspresi menjadi satu pecahan

Larutan. Mari kita cari penyebut terkecilnya. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita memfaktorkan penyebutnya.

Mengalikan dan membagi pecahan.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Operasi ini jauh lebih bagus daripada penjumlahan-pengurangan! Karena lebih mudah. Ingatlah bahwa untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilangnya (ini akan menjadi pembilang hasilnya) dan penyebutnya (ini akan menjadi penyebutnya). Itu adalah:

Misalnya:

Semuanya sangat sederhana. Dan tolong jangan mencari persamaan! Dia tidak perlu ada di sini...

Untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda perlu melakukan pembalikan Kedua(ini penting!) pecahan dan mengalikannya, yaitu:

Misalnya:

Jika Anda menjumpai perkalian atau pembagian dengan bilangan bulat dan pecahan, tidak apa-apa. Seperti halnya penjumlahan, kita membuat pecahan dari bilangan bulat dengan satu sebagai penyebutnya - dan lanjutkan! Misalnya:

Di sekolah menengah, Anda sering kali harus berurusan dengan pecahan tiga lantai (atau bahkan empat lantai!). Misalnya:

Bagaimana caranya agar pecahan ini terlihat layak? Ya, sangat sederhana! Gunakan pembagian dua titik:

Tapi jangan lupa tentang urutan pembagiannya! Berbeda dengan perkalian, ini sangat penting di sini! Tentu saja, kita tidak akan bingung membedakan 4:2 atau 2:4. Namun mudah untuk membuat kesalahan dalam pecahan tiga lantai. Harap dicatat misalnya:

Dalam kasus pertama (ekspresi di sebelah kiri):

Yang kedua (ekspresi di sebelah kanan):

Apakah Anda merasakan perbedaannya? 4 dan 1/9!

Apa yang menentukan urutan pembagian? Baik dengan tanda kurung, atau (seperti di sini) dengan panjang garis horizontal. Kembangkan mata Anda. Dan jika tidak ada tanda kurung atau tanda hubung, seperti:

lalu bagi dan kalikan secara berurutan, dari kiri ke kanan!

Dan teknik lain yang sangat sederhana dan penting. Dalam tindakan dengan derajat, itu akan sangat berguna bagi Anda! Mari kita bagi satu dengan pecahan apa pun, misalnya dengan 13/15:

Tembakannya telah terbalik! Dan ini selalu terjadi. Jika 1 dibagi dengan pecahan apa pun, hasilnya adalah pecahan yang sama, hanya saja terbalik.

Itu saja untuk operasi pecahan. Masalahnya cukup sederhana, tetapi memberikan lebih dari cukup kesalahan. Pertimbangkan nasihat praktis, dan kesalahan (kesalahan) akan lebih sedikit!

Kiat praktis:

1. Hal terpenting saat mengerjakan ekspresi pecahan adalah akurasi dan perhatian! Ini bukan kata-kata umum, bukan harapan baik! Ini adalah kebutuhan yang mendesak! Lakukan semua perhitungan pada Unified State Examination sebagai tugas yang lengkap, fokus dan jelas. Lebih baik menulis dua baris tambahan di draf Anda daripada membuat kesalahan saat melakukan perhitungan mental.

2. Dalam contoh berbagai jenis pecahan, kita beralih ke pecahan biasa.

3. Kita kurangi semua pecahan sampai berhenti.

4. Kita mereduksi ekspresi pecahan bertingkat menjadi ekspresi biasa menggunakan pembagian melalui dua titik (kita mengikuti urutan pembagian!).

5. Bagilah satuan dengan pecahan di kepala Anda, cukup balikkan pecahan tersebut.

Berikut tugas-tugas yang pasti harus Anda selesaikan. Jawaban diberikan setelah semua tugas. Gunakan materi tentang topik ini dan tips praktis. Perkirakan berapa banyak contoh yang dapat Anda selesaikan dengan benar. Pertama kali! Tanpa kalkulator! Dan ambil kesimpulan yang benar...

Ingat - jawaban yang benar adalah diterima dari kali kedua (terutama yang ketiga) tidak dihitung! Begitulah kerasnya kehidupan.

Jadi, selesaikan dalam mode ujian ! Omong-omong, ini sudah merupakan persiapan untuk Ujian Negara Bersatu. Kita selesaikan contohnya, periksa, selesaikan yang berikutnya. Kami memutuskan segalanya - memeriksa lagi dari awal hingga terakhir. Tapi hanya Kemudian lihat jawabannya.

Menghitung:

Sudahkah Anda memutuskan?

Kami mencari jawaban yang sesuai dengan jawaban Anda. Sengaja saya tulis berantakan, jauh dari godaan, boleh dibilang... Ini dia jawabannya, ditulis dengan titik koma.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Sekarang kita menarik kesimpulan. Jika semuanya berhasil, saya turut berbahagia untuk Anda! Perhitungan dasar dengan pecahan bukan masalah Anda! Anda dapat melakukan hal-hal yang lebih serius. Jika tidak...

Jadi, Anda memiliki satu dari dua masalah. Atau keduanya sekaligus.) Kurangnya pengetahuan dan (atau) kurangnya perhatian. Tapi ini larut Masalah.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tetap sama.
Untuk mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu mengurangkan pembilang minuend dari pembilang minuend, dan membiarkan penyebutnya tetap sama.
Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda, Anda harus terlebih dahulu mereduksinya menjadi penyebut yang sama, lalu menerapkan aturan penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama.
Hasil kali pecahan adalah pecahan yang pembilangnya sama dengan hasil kali pembilang pecahan tersebut, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebut pecahan tersebut.
Untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda harus mengalikan pembagian dengan kebalikan dari pembaginya.
Bilangan asli apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut alami apa pun.
Untuk mengubah pecahan (atau bilangan asli) menjadi penyebut baru, Anda perlu menggunakansifat utama pecahan :

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama yang tidak sama dengan nol, maka diperoleh pecahan yang sama dengan bilangan yang diberikan.

Aturan untuk menangani bilangan campuran.

Bilangan campuran adalah penjumlahan bilangan asli dan pecahan biasa. Bilangan asli disebut bagian bilangan bulat, dan pecahan biasa disebut bagian pecahan dari bilangan campuran.

Misalnya, - pecahan campuran.

Untuk menjumlahkan bilangan campuran, Anda perlu menjumlahkan seluruh bagian secara terpisah dan bagian pecahan secara terpisah, dan menjumlahkan hasil yang dihasilkan. Jika akibat penjumlahan bagian pecahan menjadi pecahan biasa, maka bagian bilangan bulat tersebut harus dipisahkan dan dijumlahkan dengan bagian bilangan bulat dari hasil penjumlahan tersebut.
Jika bagian-bagian pecahan suatu bilangan campuran mempunyai penyebut yang berbeda, maka bagian-bagian tersebut harus disamakan terlebih dahulu, kemudian aturan penjumlahan bilangan campuran harus diterapkan.
Untuk mengurangkan bilangan campuran, Anda perlu mengurangi bagian bilangan bulat dan pecahan secara terpisah, lalu menjumlahkan hasilnya. Hal ini dapat dilakukan jika bagian bilangan bulat dan pecahan dari pengurangan masing-masing lebih besar daripada bagian bilangan bulat dan pecahan dari pengurangnya.
Jika bagian pecahan dari minuend lebih kecil dari bagian pecahan dari pengurangan tersebut, maka Anda harus mengambil satuan dari seluruh bagian dari minuend tersebut, nyatakan sebagai pecahan dengan penyebut yang sama dan tambahkan ke bagian pecahan dari minuend tersebut. . Kemudian terapkan aturan pengurangan pecahan.
Perhatian! Tidak perlu menyatakan seluruh minuend dan pengurangan sebagai pecahan biasa! Hal ini dapat menyebabkan kesalahan komputasi!
Jika bilangan campuran memiliki penyebut yang berbeda, maka sebelum melakukan pengurangan, Anda perlu membawanya ke penyebut yang sama, dan kemudian menerapkan aturan pengurangan bilangan campuran.
Untuk mengalikan atau membagi bilangan campuran, Anda dapat menyatakannya sebagai pecahan biasa lalu menerapkan aturan mengalikan atau membagi pecahan biasa.

Pecahan- suatu bentuk representasi bilangan dalam matematika. Bilah pecahan menunjukkan operasi pembagian. Pembilang pecahan disebut dividen, dan penyebut- pembagi. Misalnya pecahan mempunyai pembilang 5 dan penyebut 7.

Benar Pecahan disebut pecahan yang modulus pembilangnya lebih besar dari modulus penyebutnya. Jika suatu pecahan bernilai wajar, maka modulus nilainya selalu kurang dari 1. Semua pecahan lainnya bernilai wajar salah.

Pecahan tersebut disebut Campuran, jika ditulis sebagai bilangan bulat dan pecahan. Ini sama dengan jumlah dari bilangan ini dan pecahannya:

Sifat utama pecahan

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan dengan bilangan yang sama, maka nilai pecahan tersebut tidak akan berubah, misalnya

Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama

Untuk membawa dua pecahan ke penyebut yang sama, Anda memerlukan:

Kalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua
Kalikan pembilang pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama
Gantikan penyebut kedua pecahan dengan hasil kali keduanya