PRODUK CAMPURAN TIGA VEKTOR DAN SIFAT-SIFATNYA

Pekerjaan campuran tiga vektor disebut bilangan yang sama dengan . Ditunjuk . Di sini dua vektor pertama dikalikan secara vektor dan kemudian vektor yang dihasilkan dikalikan secara skalar dengan vektor ketiga. Jelas, produk semacam itu jumlahnya tertentu.

Mari kita perhatikan sifat-sifat produk campuran.

1. Arti geometris pekerjaan campuran. Hasil kali campuran dari 3 vektor, sampai suatu tanda, sama dengan volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor-vektor ini, seperti pada tepinya, yaitu. .

   Jadi, dan .

   

   Bukti. Mari kita kesampingkan vektor-vektor dari titik asal yang sama dan membuat sebuah paralelepiped di atasnya. Mari kita nyatakan dan perhatikan bahwa . Menurut definisi produk skalar

   Dengan asumsi itu dan dilambangkan dengan H carilah tinggi parallelepiped.

   Jadi, kapan

   Jika, maka demikian. Karena itu, .

   Menggabungkan kedua kasus ini, kita mendapatkan atau .

   Dari pembuktian sifat ini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa jika tripel vektor bertangan kanan, maka hasil kali campurannya adalah , dan jika bertangan kiri, maka .

2. Untuk sembarang vektor , , persamaannya benar

   Pembuktian sifat ini mengikuti Sifat 1. Memang mudah untuk menunjukkan bahwa dan . Apalagi tanda “+” dan “–” diambil secara bersamaan, karena sudut antara vektor dan dan dan keduanya lancip dan tumpul.

3. Jika dua faktor diurutkan ulang, hasil perkalian campuran akan berubah tandanya.

   Memang, jika kita mempertimbangkan produk campuran, misalnya, atau

4. Hasil kali campuran jika dan hanya jika salah satu faktornya sama dengan nol atau vektor-vektornya koplanar.

   Bukti.

   Jadi, syarat perlu dan cukup untuk koplanaritas 3 vektor adalah hasil kali campurannya sama dengan nol. Selain itu, tiga buah vektor membentuk basis dalam ruang jika .

   Jika vektor-vektor diberikan dalam bentuk koordinat, maka dapat ditunjukkan bahwa hasil kali campurannya ditentukan dengan rumus:

   .

   Jadi, hasil kali campuran sama dengan determinan orde ketiga yang mempunyai koordinat vektor pertama pada baris pertama, koordinat vektor kedua pada baris kedua, dan koordinat vektor ketiga pada baris ketiga.

   Contoh.

GEOMETRI ANALITIS DI RUANG ANGKASA

Persamaannya F(x, y, z)= 0 didefinisikan dalam ruang Oksiz beberapa permukaan, mis. tempat kedudukan titik-titik yang koordinatnya x, kamu, z memenuhi persamaan ini. Persamaan ini disebut persamaan permukaan, dan x, kamu, z– koordinat saat ini.

Namun, seringkali permukaan tidak ditentukan oleh persamaan, tetapi sebagai sekumpulan titik dalam ruang yang memiliki satu atau beberapa sifat. Dalam hal ini perlu dicari persamaan permukaan berdasarkan sifat geometrinya.

PESAWAT.

VEKTOR BIDANG NORMAL.

PERSAMAAN BIDANG YANG MELALUI TITIK TERTENTU

Mari kita perhatikan bidang sembarang σ di ruang angkasa. Posisinya ditentukan dengan menentukan vektor yang tegak lurus terhadap bidang tertentu dan beberapa titik tetap M0(x 0, kamu 0, z 0), berbaring di bidang σ.

Vektor yang tegak lurus bidang σ disebut normal vektor bidang ini. Biarkan vektor memiliki koordinat .

Mari kita turunkan persamaan bidang σ yang melalui titik ini M0 dan mempunyai vektor normal. Untuk melakukan ini, ambil titik sembarang pada bidang σ M(x, y, z) dan pertimbangkan vektornya.

Untuk poin apa pun MО σ adalah vektor, sehingga hasil kali skalarnya sama dengan nol. Kesetaraan ini adalah syarat yang intinya M tentang σ. Ini berlaku untuk semua titik pada bidang ini dan dilanggar segera setelah titik tersebut M akan berada di luar bidang σ.

Jika kita menyatakan titik-titik dengan vektor jari-jari M, – vektor radius suatu titik M0, maka persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk

Persamaan ini disebut vektor persamaan bidang. Mari kita tuliskan dalam bentuk koordinat. Dari dulu

Jadi, kita telah memperoleh persamaan bidang yang melalui titik ini. Jadi, untuk membuat persamaan suatu bidang, Anda perlu mengetahui koordinat vektor normal dan koordinat suatu titik yang terletak pada bidang tersebut.

Perhatikan bahwa persamaan bidang adalah persamaan derajat 1 terhadap koordinat arus x, kamu Dan z.

Contoh.

PERSAMAAN UMUM BIDANG

Dapat ditunjukkan bahwa setiap persamaan derajat pertama terhadap koordinat kartesius x, kamu, z mewakili persamaan bidang tertentu. Persamaan ini ditulis sebagai:

Kapak+Oleh+Cz+D=0

dan dipanggil persamaan umum bidang, dan koordinatnya A, B, C berikut adalah koordinat vektor normal bidang tersebut.

Mari kita perhatikan kasus-kasus khusus dari persamaan umum. Mari kita cari tahu bagaimana letak bidang relatif terhadap sistem koordinat jika satu atau lebih koefisien persamaan menjadi nol.

A adalah panjang ruas yang dipotong oleh bidang pada sumbunya Sapi. Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa B Dan C– panjang segmen yang dipotong oleh bidang yang ditinjau pada sumbunya Oi Dan Ons.

Lebih mudah menggunakan persamaan bidang dalam segmen untuk membuat bidang.

Kalkulator online ini menghitung hasil kali campuran vektor. Solusi terperinci diberikan. Untuk menghitung produk campuran vektor, pilih metode representasi vektor (berdasarkan koordinat atau dua titik), masukkan data ke dalam sel dan klik tombol "Hitung".

×

Peringatan

Hapus semua sel?

Tutup Hapus

Instruksi entri data. Angka dimasukkan sebagai bilangan bulat (contoh: 487, 5, -7623, dst.), desimal (mis. 67., 102.54, dst.) atau pecahan. Pecahan tersebut harus dimasukkan dalam bentuk a/b, dimana a dan b (b>0) adalah bilangan bulat atau bilangan desimal. Contoh 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, dst.

Produk campuran vektor (teori)

Sepotong campuran tiga vektor adalah bilangan yang diperoleh perkalian skalar dari hasil perkalian vektor dua vektor pertama dan vektor ketiga. Dengan kata lain, jika diberikan tiga vektor a, b Dan C, lalu untuk mendapatkan hasil kali campuran vektor-vektor tersebut, pertama-tama dua vektor pertama dan vektor yang dihasilkan [ ab] dikalikan secara skalar dengan vektor C.

Hasil kali campuran tiga vektor a, b Dan C dilambangkan sebagai berikut: abc atau lebih ( a,b,c). Kemudian kita dapat menulis:

abc=([ab],C)

Sebelum merumuskan teorema yang mewakili makna geometri suatu hasil kali campuran, kenali terlebih dahulu konsep rangkap tiga kanan, rangkap tiga kiri, sistem koordinat kanan, sistem koordinat kiri (definisi 2, 2" dan 3 pada halaman perkalian vektor vektor online).

Untuk lebih pastinya, berikut ini kita hanya akan membahas sistem koordinat tangan kanan.

Teorema 1. Produk campuran vektor ([ab],C) sama dengan volume suatu bangun paralel yang dikonstruksikan pada vektor-vektor yang direduksi menjadi titik asal yang sama a, b, c, diambil dengan tanda plus, jika tiga a, b, c benar, dan dengan tanda minus jika tiga a, b, c kiri Jika vektor a, b, c adalah koplanar, maka ([ ab],C) sama dengan nol.

Akibat wajar 1. Persamaan berikut berlaku:

Oleh karena itu, cukup kita buktikan saja

([ab],C)=([SM],A)

(3)

Dari persamaan (3) jelas bahwa bagian kiri dan kanan sama dengan volume suatu bangun datar. Tetapi tanda-tanda sisi kanan dan kirinya bertepatan, karena merupakan tiga kali lipat vektor abc Dan bca mempunyai orientasi yang sama.

Persamaan yang terbukti (1) memungkinkan kita menulis hasil kali campuran tiga vektor a, b, c hanya dalam bentuk abc, tanpa menentukan dua vektor mana yang dikalikan secara vektor dengan dua vektor pertama atau dua vektor terakhir.

Akibat wajar 2. Syarat perlu dan cukup untuk koplanaritas tiga vektor adalah hasil kali campurannya sama dengan nol.

Pembuktiannya mengikuti Teorema 1. Memang, jika vektor-vektornya sebidang, maka hasil kali campuran vektor-vektor tersebut sama dengan nol. Sebaliknya, jika hasil kali campuran sama dengan nol, maka koplanaritas vektor-vektor ini mengikuti Teorema 1 (karena volume suatu paraleliped yang dibangun di atas vektor-vektor yang direduksi menjadi titik asal yang sama adalah sama dengan nol).

Akibat wajar 3. Hasil kali campuran tiga vektor, dua di antaranya berimpit, sama dengan nol.

Benar-benar. Jika dua dari ketiga vektor tersebut berimpit, maka vektor-vektor tersebut koplanar. Oleh karena itu, hasil kali campuran vektor-vektor ini sama dengan nol.

Produk campuran vektor dalam koordinat Cartesian

Teorema 2. Misalkan tiga buah vektor a, b Dan C ditentukan oleh koordinat persegi panjang kartesiusnya

Bukti. Sepotong campuran abc sama dengan hasil kali skalar vektor [ ab] Dan C. Perkalian silang vektor [ ab] dalam koordinat kartesius dihitung dengan rumus ():

Ekspresi terakhir dapat ditulis menggunakan determinan orde kedua:

determinannya perlu dan cukup sama dengan nol, yang baris-barisnya diisi dengan koordinat vektor-vektor tersebut, yaitu:

.

(7)

Untuk membuktikan akibat wajarnya, cukup dengan memperhatikan rumus (4) dan Akibat wajar 2.

Hasil kali campuran vektor beserta contohnya

Contoh 1. Temukan produk campuran vektor abc, Di mana

Produk campuran vektor a, b, c sama dengan determinan matriks L. Mari kita hitung determinan matriksnya L, memperluas determinan sepanjang garis 1:

Titik akhir vektor A.

Produk campuran (atau vektor-skalar). tiga vektor a, b, c (diambil sesuai urutan yang ditunjukkan) disebut hasil kali skalar vektor a dan hasil kali vektor b x c, yaitu bilangan a(b x c), atau, yang sama, (b x c)a.
Sebutan: abc.

Tujuan. Kalkulator online dirancang untuk menghitung hasil kali campuran vektor. Solusi yang dihasilkan disimpan dalam file Word. Selain itu, templat solusi dibuat di Excel.

Tanda-tanda koplanaritas vektor

Tiga vektor (atau bilangan yang lebih besar) disebut koplanar jika ketiga vektor tersebut, jika direduksi menjadi titik asal yang sama, terletak pada bidang yang sama.
Jika paling sedikit salah satu dari ketiga vektor tersebut adalah nol, maka ketiga vektor tersebut juga dianggap koplanar.

Tanda koplanaritas. Jika sistem a, b, c adalah sistem kidal, maka abc>0 ; jika dibiarkan, maka abc Arti geometris dari produk campuran. Hasil kali campuran abc dari tiga vektor non-koplanar a, b, c sama dengan volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor a, b, c, diambil dengan tanda tambah jika sistem a, b, c bertangan kanan , dan dengan tanda minus jika sistem ini kidal.

Sifat-sifat produk campuran

1. Bila faktor-faktornya disusun ulang secara melingkar, hasil kali campurannya tidak berubah; bila dua faktor disusun ulang, tandanya terbalik: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Ini mengikuti dari arti geometris.
2. (a+b)cd=acd+bcd (sifat distributif). Meluas ke sejumlah istilah apa pun.
   Berikut dari definisi produk campuran.
3. (ma)bc=m(abc) (properti kombinatif terhadap faktor skalar).
   Berikut dari definisi produk campuran. Sifat-sifat ini memungkinkan penerapan transformasi pada hasil kali campuran yang berbeda dari hasil kali aljabar biasa hanya karena urutan faktornya hanya dapat diubah dengan mempertimbangkan tanda hasil kali.
4. Hasil kali campuran yang mempunyai paling sedikit dua faktor yang sama sama dengan nol: aab=0.

Contoh No.1. Temukan produk campuran. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Contoh No.2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca. Semua suku kecuali dua suku ekstrem sama dengan nol. Juga, bca=abc . Oleh karena itu (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Contoh No.3. Hitung hasil kali campuran tiga vektor a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Larutan. Untuk menghitung hasil kali campuran vektor, perlu dicari determinan suatu sistem yang tersusun dari koordinat vektor. Mari kita tulis sistemnya dalam bentuk.

Definisi. Bilangan [, ] disebut hasil kali campuran dari tripel vektor terurut, .

Kami menyatakan: (,) = = [, ].

Karena hasil kali vektor dan skalar terlibat dalam definisi hasil kali campuran, sifat-sifat umumnya adalah sifat-sifat hasil kali campuran.

Misalnya, () = ().

Teorema 1. Hasil kali campuran tiga vektor koplanar adalah nol.

Bukti. Jika suatu tripel vektor tertentu adalah koplanar, maka salah satu kondisi berikut terpenuhi untuk vektor-vektor tersebut.

• 1. Dalam suatu tripel vektor tertentu terdapat paling sedikit satu vektor nol. Dalam hal ini, bukti teorema tersebut jelas.
• 2. Pada suatu tripel vektor tertentu terdapat paling sedikit satu pasang vektor yang segaris. Jika ||, maka [, ] = 0, karena [, ]= . Jika

|| , maka [, ] dan [, ] = 0. Demikian pula jika || .

3. Misalkan tripel vektor ini koplanar, namun kasus 1 dan 2 tidak berlaku. Maka vektor [, ] akan tegak lurus terhadap bidang yang sejajar dengan ketiga vektor tersebut.

Oleh karena itu, [, ] dan (,) = 0.

Teorema 2. Biarkan vektor (), (), () ditentukan dalam basis (). Kemudian

Bukti. Menurut definisi produk campuran

(,) = [, ] = с 1 - с 2 + с 3 = .

Karena sifat-sifat determinan, kita mempunyai:

Teorema tersebut terbukti.

Teorema 3. (,) = [, ].

Bukti. Karena

dan karena sifat-sifat determinannya kita mempunyai:

(,) = = = [, ] = [, ].

Teorema tersebut terbukti.

Teorema 4. Modulus produk campuran dari tripel vektor non-koplanar secara numerik sama dengan volume paralelepiped yang dibangun di atas perwakilan vektor-vektor ini dengan asal usul yang sama.

Bukti. Mari kita pilih titik sembarang O dan sisihkan perwakilan dari vektor-vektor ini, : , . Di bidang OAB kita akan membuat jajar genjang OADB dan, dengan menambahkan edge OS, kita akan membuat jajar genjang OADBCADB. Volume V dari parallelepiped ini sama dengan hasil kali luas alas OADB dan panjang tinggi dari parallelepiped OO.

Luas jajar genjang OADB adalah |[, ]|. Di sisi lain

|OO| = || |cos |, dimana adalah sudut antara vektor dan [, ].

Pertimbangkan modul produk campuran:

|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = V.

Teorema tersebut telah terbukti.

Catatan 1. Jika hasil kali campuran tripel vektor sama dengan nol, maka tripel vektor tersebut bergantung linier.

Catatan 2. Jika hasil kali campuran dari tripel vektor tertentu adalah positif, maka tripel vektornya adalah kanan, dan jika negatif, maka tripel vektornya adalah kiri. Memang benar, tanda hasil kali campuran bertepatan dengan tanda cos, dan besar sudut menentukan orientasi tripel, . Jika sudutnya lancip maka ketiganya siku-siku, dan jika sudut tumpul maka ketiganya adalah kiri.

Contoh 1. Diketahui ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 yang paralelepiped dan koordinat vektor-vektor berikut secara ortonormal: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).

Temukan: 1) volume paralelepiped;

• 2) luas muka ABCD dan CDD 1 C;
• 3) kosinus sudut dihedral antara bidang ABC dan CDD 1.

Larutan.

Paralelepiped ini dibangun di atas vektor

Jadi, volumenya sama dengan modulus hasil kali campuran vektor-vektor ini, yaitu.

Jadi, V uap = 12 satuan kubik.

Ingatlah bahwa luas jajar genjang sama dengan panjang hasil kali vektor dari vektor-vektor yang menjadi dasar pembuatannya.

Mari kita perkenalkan notasinya: , lalu

Oleh karena itu, (6; - 8; - 2), dari mana

Itu. unit persegi

Juga,

Biarkan saja

dari mana (15; - 20; 1) dan

Ini berarti satuan persegi.

Mari kita perkenalkan notasi berikut: pl. (ABC)=, hal. (DCC 1)=.

Menurut definisi perkalian vektor, kita mempunyai:

Artinya persamaan berikut ini benar:

Dari poin kedua solusi yang kita miliki:

Buktikan bahwa jika dan merupakan vektor satuan yang saling tegak lurus, maka untuk sembarang vektor persamaan berikut berlaku:

Larutan.

Biarkan koordinat vektor diberikan secara ortonormal: ; . Karena berdasarkan sifat produk campuran kita mempunyai:

Jadi, persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk berikut: , dan ini merupakan salah satu sifat terbukti dari hasil kali vektor vektor dan. Dengan demikian, validitas persamaan (1) terbukti.

Memecahkan versi nol dari pekerjaan tes

Tugas No.1

Vektor membentuk sudut dan dengan vektor basis dan masing-masing. Tentukan sudut yang dibuat vektor terhadap vektor.

Larutan.

Mari kita buat sebuah parallelepiped pada vektor dan diagonal, sehingga vektor dan sama.

Kemudian pada segitiga siku-siku yang sudutnya siku-siku, besar sudutnya sama dengan dimana.

Demikian pula pada segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku, besarnya sama dengan, dimana.

Dalam segitiga siku-siku, dengan menggunakan teorema Pythagoras kita menemukan:

Pada segitiga siku-siku, kaki dan sisi miringnya siku-siku. Jadi sudutnya sama besar. Tetapi sudutnya sama dengan sudut antara vektor dan. Dengan demikian masalahnya terpecahkan.

Tugas No.2.

Tiga vektor diberikan sebagai dasar. Buktikan bahwa segi empat itu datar. Temukan luasnya.

Larutan.

1. Jika vektor-vektornya sebidang, maka itu adalah segiempat datar. Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor-vektor ini.

Karena determinannya sama dengan nol, maka vektor-vektornya adalah koplanar, yang berarti segiempat tersebut datar.

2. Perhatikan bahwa, oleh karena itu, segi empat adalah trapesium dengan alas AB dan CD.

Berdasarkan properti perkalian vektor kita mempunyai:

Menemukan produk vektor

Tugas No.3. Tentukan vektor yang segaris dengan vektor (2; 1; -2) yang panjangnya 5.

Larutan.

Mari kita nyatakan koordinat vektor (x, y, z). Seperti yang Anda ketahui, vektor-vektor collinear memiliki koordinat proporsional, dan oleh karena itu kita memiliki:

x = 2t, y = t, z = ? 2t.

Sesuai dengan kondisi soal || = 5, dan dalam bentuk koordinat:

Mengekspresikan variabel melalui parameter t, kita mendapatkan:

4t 2 +t 2 +4t 2 =25,

Dengan demikian,

x = , kamu = , z = .

Kami menerima dua solusi.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat dua operasi lagi dengan vektor: produk vektor dari vektor Dan produk campuran vektor (link langsung bagi yang membutuhkan). Tidak apa-apa, terkadang hal itu terjadi untuk kebahagiaan total produk skalar vektor, semakin banyak yang dibutuhkan. Ini adalah kecanduan vektor. Tampaknya kita memasuki hutan geometri analitik. Ini salah. Pada bagian matematika tingkat tinggi ini umumnya hanya terdapat sedikit kayu, kecuali mungkin cukup untuk Pinokio. Faktanya, materinya sangat umum dan sederhana - hampir tidak lebih rumit dari materi yang sama produk skalar, tugas-tugas tipikal bahkan akan lebih sedikit. Hal utama dalam geometri analitik, seperti yang diyakini atau sudah diyakini banyak orang, adalah JANGAN MEMBUAT KESALAHAN DALAM PERHITUNGAN. Ulangi seperti mantra dan Anda akan bahagia =)

Jika vektor bersinar di suatu tempat yang jauh, seperti kilat di cakrawala, tidak masalah, mulailah dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh kembali pengetahuan dasar tentang vektor. Pembaca yang lebih siap dapat mengenal informasi secara selektif; Saya mencoba mengumpulkan kumpulan contoh terlengkap yang sering ditemukan dalam kerja praktek

Apa yang akan membuatmu bahagia saat itu juga? Ketika saya masih kecil, saya bisa menyulap dua atau bahkan tiga bola. Itu berhasil dengan baik. Sekarang Anda tidak perlu melakukan juggling sama sekali, karena kami akan mempertimbangkannya hanya vektor spasial, dan vektor datar dengan dua koordinat akan diabaikan. Mengapa? Beginilah cara tindakan ini lahir - vektor dan produk campuran vektor didefinisikan dan bekerja dalam ruang tiga dimensi. Ini sudah lebih mudah!

Operasi ini, seperti halnya perkalian skalar, melibatkan dua vektor. Biarlah ini menjadi surat-surat yang tidak dapat binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan dengan cara berikut: . Ada pilihan lain, tapi saya terbiasa menyatakan perkalian vektor dari vektor dengan cara ini, dalam tanda kurung siku dengan tanda silang.

Dan segera pertanyaan: jika di produk skalar vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga dikalikan Apa bedanya? Perbedaan yang jelas, pertama-tama, terletak pada HASILnya:

Hasil perkalian skalar vektor adalah NOMOR:

Hasil perkalian silang vektor adalah VEKTOR: , yaitu kita mengalikan vektor-vektornya dan mendapatkan sebuah vektor lagi. Klub tertutup. Sebenarnya dari sinilah nama operasi tersebut berasal. Dalam literatur pendidikan yang berbeda, sebutannya juga bisa berbeda-beda, saya akan menggunakan surat itu.

Definisi perkalian silang

Pertama akan ada definisi dengan gambar, lalu komentar.

Definisi: Produk vektor non-kolinear vektor, diambil dalam urutan ini, disebut VEKTOR, panjang yang secara numerik sama dengan luas jajaran genjang, dibangun di atas vektor-vektor ini; vektor ortogonal terhadap vektor, dan diarahkan agar landasan mempunyai orientasi yang benar:

Mari kita uraikan definisinya sepotong demi sepotong, ada banyak hal menarik di sini!

Jadi, poin-poin penting berikut dapat disoroti:

1) Vektor asli, ditunjukkan dengan panah merah, menurut definisi tidak kolinear. Kasus vektor collinear akan lebih tepat untuk dibahas nanti.

2) Vektor diambil dalam urutan yang ditentukan secara ketat: – "a" dikalikan dengan "menjadi", bukan "menjadi" dengan "a". Hasil perkalian vektor adalah VECTOR, yang ditandai dengan warna biru. Jika vektor-vektor dikalikan dalam urutan terbalik, kita memperoleh vektor yang sama panjang dan berlawanan arah (warna raspberry). Artinya, kesetaraan itu benar .

3) Sekarang mari kita mengenal arti geometri perkalian vektor. Ini adalah poin yang sangat penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh karena itu, vektor merah tua) secara numerik sama dengan AREA jajar genjang yang dibangun di atas vektor tersebut. Pada gambar, jajaran genjang ini diberi warna hitam.

Catatan : gambarnya skematis, dan tentu saja panjang nominal hasil kali vektor tidak sama dengan luas jajaran genjang.

Mari kita mengingat kembali salah satu rumus geometri: Luas jajar genjang sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antara keduanya. Oleh karena itu, berdasarkan hal di atas, rumus menghitung PANJANG suatu produk vektor adalah valid:

Saya tekankan bahwa rumusnya adalah tentang PANJANG vektor, dan bukan tentang vektor itu sendiri. Apa arti praktisnya? Dan artinya dalam soal geometri analitik, luas jajar genjang sering ditemukan melalui konsep perkalian vektor:

Mari kita dapatkan rumus penting kedua. Diagonal jajar genjang (garis putus-putus merah) membaginya menjadi dua segitiga sama besar. Oleh karena itu, luas segitiga yang dibangun di atas vektor (arsir merah) dapat dicari dengan menggunakan rumus:

4) Fakta yang sama pentingnya adalah bahwa vektor tersebut ortogonal terhadap vektor, yaitu . Tentu saja, vektor yang arahnya berlawanan (panah raspberry) juga ortogonal terhadap vektor aslinya.

5) Vektor diarahkan sedemikian rupa dasar Memiliki Kanan orientasi. Dalam pelajaran tentang transisi ke dasar yang baru Saya berbicara dengan cukup detail tentang orientasi bidang, dan sekarang kita akan mengetahui apa itu orientasi ruang. Saya akan menjelaskannya dengan jari Anda tangan kanan. Gabungkan secara mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan kelingking tekan ke telapak tangan Anda. Sebagai akibat ibu jari– produk vektor akan terlihat. Ini adalah basis yang berorientasi ke kanan (yang ini ada pada gambar). Sekarang ubah vektornya ( telunjuk dan jari tengah) di beberapa tempat, akibatnya ibu jari akan berputar, dan hasil kali vektor sudah terlihat ke bawah. Ini juga merupakan dasar yang berorientasi ke kanan. Anda mungkin mempunyai pertanyaan: basis manakah yang memiliki orientasi kiri? “Tetapkan” ke jari yang sama tangan kiri vektor, dan dapatkan basis kiri dan orientasi ruang kiri (dalam hal ini, ibu jari akan ditempatkan pada arah vektor bawah). Secara kiasan, pangkalan-pangkalan ini “memutar” atau mengarahkan ruang ke arah yang berbeda. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - misalnya, orientasi ruang diubah oleh cermin paling biasa, dan jika Anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari kaca", maka secara umum itu adalah tidak akan mungkin untuk menggabungkannya dengan "asli". Ngomong-ngomong, dekatkan tiga jari ke cermin dan analisis pantulannya ;-)

...betapa bagusnya hal yang sekarang Anda ketahui berorientasi kanan dan kiri dasar, karena pernyataan beberapa dosen tentang perubahan orientasi itu menakutkan =)

Produk silang dari vektor-vektor collinear

Definisinya sudah dibahas secara detail, masih harus dicari tahu apa yang terjadi jika vektor-vektornya segaris. Jika vektor-vektornya segaris, maka vektor-vektor tersebut dapat ditempatkan pada satu garis lurus dan jajar genjang kita juga “melipat” menjadi satu garis lurus. Area seperti itu, seperti yang dikatakan para ahli matematika, merosot jajaran genjang sama dengan nol. Hal yang sama mengikuti rumus - sinus nol atau 180 derajat sama dengan nol, yang berarti luasnya nol

Jadi, jika , maka Dan . Perlu diketahui bahwa hasil kali vektor itu sendiri sama dengan vektor nol, namun dalam praktiknya hal ini sering diabaikan dan ditulis juga sama dengan nol.

Kasus khusus adalah perkalian silang suatu vektor dengan dirinya sendiri:

Dengan menggunakan perkalian vektor, Anda dapat memeriksa kolinearitas vektor tiga dimensi, dan kami juga akan menganalisis masalah ini, antara lain.

Untuk memecahkan contoh-contoh praktis yang mungkin Anda perlukan tabel trigonometri untuk menemukan nilai sinus darinya.

Baiklah, mari kita nyalakan apinya:

Contoh 1

a) Tentukan panjang hasil kali vektor vektor-vektor jika

b) Tentukan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Bukan, ini bukan salah ketik, saya sengaja membuat data awal pada klausa sama. Karena desain solusinya akan berbeda!

a) Sesuai dengan kondisi yang perlu dicari panjang vektor (perkalian silang). Menurut rumus yang sesuai:

Menjawab:

Jika Anda ditanya tentang panjang, maka dalam jawabannya kami menunjukkan dimensi - satuan.

b) Sesuai dengan kondisi yang perlu dicari persegi jajaran genjang dibangun di atas vektor. Luas jajaran genjang ini secara numerik sama dengan panjang hasil kali vektor:

Menjawab:

Harap dicatat bahwa jawabannya tidak berbicara tentang perkalian vektor sama sekali; kami ditanya tentangnya luas gambar, oleh karena itu, dimensinya adalah satuan persegi.

Kami selalu melihat APA yang perlu kami temukan sesuai kondisi, dan berdasarkan itu kami merumuskannya jernih menjawab. Ini mungkin tampak seperti literalisme, tetapi ada banyak guru yang literalis, dan tugas tersebut memiliki peluang besar untuk dikembalikan untuk direvisi. Meskipun hal ini bukanlah sebuah argumen yang dibuat-buat - jika jawabannya salah, maka akan ada kesan bahwa orang tersebut tidak memahami hal-hal sederhana dan/atau belum memahami esensi tugas. Poin ini harus selalu dikendalikan ketika memecahkan masalah apa pun dalam matematika tingkat tinggi, dan juga dalam mata pelajaran lain.

Kemana perginya huruf besar “en”? Pada prinsipnya, ini bisa saja dilampirkan pada solusi, tetapi untuk mempersingkat entri, saya tidak melakukan ini. Saya harap semua orang memahami hal itu dan merupakan sebutan untuk hal yang sama.

Contoh populer untuk solusi DIY:

Contoh 2

Temukan luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Rumus untuk mencari luas segitiga melalui perkalian vektor diberikan dalam komentar definisi. Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Dalam praktiknya, tugas ini sangat umum; segitiga umumnya dapat menyiksa Anda.

Untuk memecahkan masalah lain kita memerlukan:

Sifat-sifat hasil kali vektor dari vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa properti produk vektor, namun saya akan memasukkannya ke dalam daftar ini.

Untuk vektor sembarang dan bilangan sembarang, sifat-sifat berikut ini benar:

1) Dalam sumber informasi lain, item ini biasanya tidak disorot dalam propertinya, tetapi sangat penting dalam istilah praktis. Jadi biarkan saja.

2) – properti juga dibahas di atas, kadang-kadang disebut antikomutatif. Dengan kata lain, urutan vektor itu penting.

3) – asosiatif atau asosiatif hukum produk vektor. Konstanta dapat dengan mudah dipindahkan ke luar perkalian vektor. Sebenarnya, apa yang harus mereka lakukan di sana?

4) – distribusi atau distributif hukum produk vektor. Buka bracketnya juga tidak ada masalah.

Untuk mendemonstrasikannya, mari kita lihat contoh singkat:

Contoh 3

Temukan jika

Larutan: Kondisi tersebut sekali lagi mengharuskan mencari panjang hasil kali vektor. Mari kita melukis miniatur kita:

(1) Menurut hukum asosiatif, kita mengambil konstanta di luar lingkup perkalian vektor.

(2) Kita memindahkan konstanta ke luar modul, dan modul “memakan” tanda minus. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Selebihnya jelas.

Menjawab:

Saatnya menambahkan lebih banyak kayu ke dalam api:

Contoh 4

Hitung luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Mencari luas segitiga menggunakan rumus . Tangkapannya adalah bahwa vektor “tse” dan “de” disajikan sebagai jumlah dari vektor. Algoritme di sini standar dan agak mengingatkan pada contoh No. 3 dan 4 dari pelajaran Produk titik dari vektor. Untuk lebih jelasnya, kami akan membagi solusinya menjadi tiga tahap:

1) Pada langkah pertama, kita menyatakan perkalian vektor melalui perkalian vektor, pada kenyataannya, mari kita nyatakan suatu vektor dalam bentuk vektor. Belum ada kabar mengenai panjangnya!

(1) Substitusikan ekspresi vektor-vektor tersebut.

(2) Dengan menggunakan hukum distributif, kita membuka tanda kurung menurut aturan perkalian polinomial.

(3) Dengan menggunakan hukum asosiatif, kita memindahkan semua konstanta melampaui hasil kali vektor. Dengan sedikit pengalaman, langkah 2 dan 3 dapat dilakukan secara bersamaan.

(4) Suku pertama dan suku terakhir sama dengan nol (vektor nol) karena sifat bagus. Pada suku kedua kita menggunakan sifat antikomutatif suatu produk vektor:

(5) Kami menyajikan istilah serupa.

Hasilnya, vektor tersebut ternyata dinyatakan dalam vektor, yang ingin dicapai:

2) Pada langkah kedua, kita mencari panjang hasil kali vektor yang kita butuhkan. Tindakan ini mirip dengan Contoh 3:

3) Temukan luas segitiga yang diinginkan:

Tahapan 2-3 solusinya bisa saja ditulis dalam satu baris.

Menjawab:

Masalah yang dipertimbangkan cukup umum dalam pengujian, berikut adalah contoh penyelesaiannya sendiri:

Contoh 5

Temukan jika

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran. Mari kita lihat seberapa perhatian Anda saat mempelajari contoh sebelumnya ;-)

Produk silang vektor dalam koordinat

, ditentukan dalam dasar ortonormal, dinyatakan dengan rumus:

Rumusnya sangat sederhana: di baris atas determinan kita tulis vektor koordinatnya, di baris kedua dan ketiga kita “letakkan” koordinat vektornya, dan kita masukkan dalam urutan yang ketat– pertama koordinat vektor “ve”, kemudian koordinat vektor “double-ve”. Jika vektor perlu dikalikan dalam urutan yang berbeda, maka barisnya harus ditukar:

Contoh 10

Periksa apakah vektor-vektor ruang berikut ini segaris:
A)
B)

Larutan: Pemeriksaannya didasarkan pada salah satu pernyataan dalam pelajaran ini: jika vektor-vektornya segaris, maka hasil kali vektornya sama dengan nol (vektor nol): .

a) Temukan produk vektor:

Jadi, vektor-vektornya tidak segaris.

b) Temukan produk vektor:

Menjawab: a) tidak segaris, b)

Ini mungkin semua informasi dasar tentang perkalian vektor dari vektor.

Bagian ini tidak akan terlalu besar, karena hanya ada sedikit soal yang menggunakan perkalian campuran vektor. Faktanya, semuanya akan bergantung pada definisi, makna geometris, dan beberapa rumus kerja.

Hasil kali campuran vektor adalah hasil kali tiga buah vektor:

Jadi mereka berbaris seperti kereta api dan tidak sabar untuk diidentifikasi.

Pertama, sekali lagi, definisi dan gambarannya:

Definisi: Pekerjaan campuran non-koplanar vektor, diambil dalam urutan ini, ditelepon volume paralelepiped, dibangun di atas vektor-vektor tersebut, dilengkapi dengan tanda “+” jika basisnya di kanan, dan tanda “–” jika basisnya di kiri.

Mari kita menggambar. Garis yang tidak terlihat oleh kita digambar dengan garis putus-putus:

Mari selami definisinya:

2) Vektor diambil dalam urutan tertentu, yaitu penataan ulang vektor-vektor dalam produk, seperti yang Anda duga, bukannya terjadi tanpa konsekuensi.

3) Sebelum mengomentari makna geometris, saya akan mencatat fakta yang jelas: hasil kali campuran vektor adalah ANGKA: . Dalam literatur pendidikan, desainnya mungkin sedikit berbeda, saya biasa menyatakan hasil perkalian campuran dengan , dan hasil perhitungan dengan huruf “pe”.

A-priori produk campuran adalah volume parallelepiped, dibangun di atas vektor (gambar digambar dengan vektor merah dan garis hitam). Artinya, jumlahnya sama dengan volume suatu parallelepiped tertentu.

Catatan : Gambarnya skematis.

4) Jangan khawatir lagi mengenai konsep orientasi dasar dan ruang. Arti dari bagian terakhir adalah dapat ditambahkan tanda minus pada volume. Dengan kata sederhana, produk campuran bisa menjadi negatif: .

Langsung dari definisi berikut rumus untuk menghitung volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor.