1. Derivatif dan diferensial. Definisi turunan dan diferensial suatu fungsi variabel kompleks secara harfiah sama dengan definisi fungsi variabel riil tunggal.

Biarkan fungsinya w = f(z) = dan +iv didefinisikan di beberapa lingkungan kamu poin zo. Mari kita berikan variabel bebasnya z = x + gu kenaikan A z= A.g + tidak, tidak mengarah ke luar area sekitarnya kamu. Lalu fungsinya w = f(z) akan menerima kenaikan yang sesuai Ah = = f(z 0 + Dg) - f(z 0).

Turunan dari fungsi w = f(z) di titik zq disebut batas rasio kenaikan fungsi Ah dengan kenaikan argumen A z sambil berusaha Az ke nol (dengan cara sewenang-wenang).

Turunannya dilambangkan f"(z Q), w atau kamu-. Pengertian turunan dapat ditulis sebagai

Batasan pada (6.1) mungkin tidak ada; lalu mereka mengatakan bahwa fungsinya w = f(z) tidak mempunyai turunan di titik zq.

Fungsi w = f(z) ditelepon terdiferensiasi terhadap titik Zq, jika didefinisikan di beberapa lingkungan kamu poin zq dan kenaikannya Ah dapat direpresentasikan dalam bentuk

dimana bilangan kompleks L tidak bergantung pada A g, dan fungsi a(Ag) sangat kecil di Az-» 0, mis. Pm a(Ag) = 0.

Seperti halnya fungsi suatu variabel real, dibuktikan bahwa fungsi tersebut f(z) dapat dibedakan pada intinya zq jika dan hanya jika mempunyai turunan in zo. Dan SEBUAH = f"(zo). Ekspresi f"(zo)Az ditelepon diferensial fungsi f(z) di titik Zqdan ditunjuk dw atau df(zo). Dalam hal ini, kenaikannya Az dari variabel bebas -r disebut juga diferensial dari variabel r dan

dilambangkan dengan dz. Dengan demikian,

Diferensial adalah bagian linier utama dari kenaikan fungsi.

Contoh 6.1. Selidiki apakah fungsinya memiliki w= /(r) = R ya turunan pada titik sembarang Zq.

Larutan. Dengan syarat, w = Rea = X. Karena definisi turunan, batas (C.1) tidak boleh bergantung pada jalur mana

dot z = Zq + Az mendekat th di A z-? 0. Mari kita ambil A terlebih dahulu z - Ah(Gbr. 15, a). Karena Ah = Ah. maka = 1. Jika

ambil A z = iAy(Gbr. 15, B), Itu Oh= 0 dan oleh karena itu Ah = 0.

Artinya u = 0. Oleh karena itu, hubungan akan dikhianati ketika Az-> 0 bukan A z A z

ada dan karena itu fungsinya w= Kembali g = X tidak memiliki turunan pada titik mana pun.

Sekaligus fungsinya w = z = X + iy, jelas mempunyai turunan di sembarang titik r, dan /"(th) = 1. Dari sini jelas bahwa bagian real dan imajiner dari fungsi terdiferensiasi f(r) tidak bisa sembarang; mereka harus dihubungkan oleh beberapa relasi tambahan. Hubungan tersebut timbul karena syarat adanya turunan /"(0) jauh lebih ketat dibandingkan syarat adanya turunan fungsi suatu variabel riil atau turunan parsial fungsi beberapa variabel riil: diperlukan limit pada (6.1) ada dan tidak bergantung pada lintasan, yang melaluinya titik r = r + Ar mendekati r sebagai Ar 0. Untuk menurunkan hubungan ini, ingat kembali definisi diferensiasi suatu fungsi dua variabel.

Fungsi nyata kamu = kamu(x,kamu) variabel nyata X Dan pada disebut terdiferensiasi pada suatu titik Ro(ho,oo), jika didefinisikan di suatu lingkungan titik D> dan kenaikan totalnya adalah A Dan = milik mereka o + Oh oh+ SEBUAH y) - dan (ho, uo) dapat diwakilkan dalam bentuk

Di mana DI DALAM Dan DENGAN- bilangan real yang tidak bergantung pada J , Ay, A {3 Oh Dan Ay, cenderung nol pada Oh -» 0, Ah-> 0.

Jika fungsinya Dan terdiferensiasi di titik Po, maka mempunyai a

G, " di(P 0)^ di(Ro) gt ,

ny turunan di Po, dan DI DALAM= ---, C = ---. Tapi (berbeda

oh oh

dari fungsi satu variabel) dari adanya turunan parsial fungsi tersebut kamu(x,y) diferensiasinya belum mengikuti.

2. Kondisi Cauchy-Riemann.

Teorema 6.1. Biarkan fungsinya w = f(z) dari variabel kompleks z= (f, y) didefinisikan di sekitar titik, zq= (jo, y o) dan f(z) = u(x,y) +iv(x, y). Agar f(z) terdiferensialkan di titik Zq, fungsi u(x, y) XI v(x, y) harus terdiferensialkan di titik tersebut(jo, oo) dan pada saat ini kondisinya terpenuhi

Persamaan (6.4) disebut Kondisi Cauchy-Riemann .

Bukti. Kebutuhan. Biarkan fungsinya w = f(z) terdiferensiasi pada titik zq, yaitu

Mari kita tunjukkan f"(zo) = sEBUAH + ib a(Dg) = fi(Ax, Ау)+ g7(J, Ay); Az = Ah + (Ah, Di mana /3 dan 7 - fungsi nyata dari variabel Ah, oh cenderung nol karena J -> 0, Ya -> 0. Substitusikan persamaan ini ke dalam (6.5) dan pisahkan bagian nyata dan bagian imajiner, kita peroleh:

Karena persamaan bilangan kompleks setara dengan persamaan bagian real dan imajinernya, maka (6.6) setara dengan sistem persamaan

Persamaan (6.7) berarti fungsi kamu(x,y), v(x,y) memenuhi kondisi (6.3) dan, oleh karena itu, dapat dibedakan. Karena koefisien untuk J dan Ah sama dengan turunan parsial terhadap w dan pada karenanya, maka dari (6.7) kita peroleh

dari mana kondisi (6.4) mengikuti.

Kecukupan. Sekarang mari kita asumsikan fungsinya kamu(x, kamu) Dan v(x,y) terdiferensiasi pada suatu titik (ho.oo) Dan kamu(x,y) dan kondisi (6.4) terpenuhi.

Menyatakan a = ^, 6 = -^ dan menerapkan (6.4), kita sampai pada persamaan (6.8). Dari (6.8) dan kondisi diferensiasi fungsi kamu(x,y), v(x,y) kita punya

di mana kaki, 7i, kaki, D-2 - fungsi yang cenderung nol as Ah -> 0, Ya ->-> 0. Dari sini

Sebuah + iAv= (o+ ib)(Ah + i.Ay)+ (kaki + jika) Kapak + (71 + *72) Ay.(6.9) Mari kita definisikan fungsi a(Dr) dengan persamaan

dan letakkan A = A 4- ib. Maka (6.9) akan ditulis ulang sebagai persamaan

yang bertepatan dengan (6.2). Hari pembuktian diferensiasi

fungsi f(z) Tetap menunjukkan bahwa lim a(Az) = 0. Dari persamaan

mengikuti itu Oh^ |Dg|, Ah^ |Dg|. Itu sebabnya

Jika Az-? 0, lalu Oh-? 0, Ah-> 0, artinya fungsi ft, ft, 71, 72 cenderung nol. Oleh karena itu a(Dr) -> 0 pada Az-> 0, dan pembuktian Teorema 6.1 selesai.

Contoh 6.2. Cari tahu apakah suatu fungsi adalah w = z 2 terdiferensiasi; jika ya, pada titik apa?

Larutan, w = kamu + iv = (x + iy) 2 = x 2 - kamu 2 + 2xy, Di mana dan = = x 2 - y 2, V = 2xy. Karena itu,

Jadi, kondisi Cauchy-Riemann (6.4) terpenuhi di setiap titik; itu maksudnya fungsinya w = g 2 akan terdiferensiasi dalam C.

Contoh 6.3. Selidiki diferensiasi suatu fungsi w = - z - x - iy.

Larutan. w = kamu + iv = x - iy, Di mana kamu = x, v = -y Dan

Jadi, kondisi Cauchy-Riemann tidak terpenuhi pada titik mana pun, dan oleh karena itu juga fungsinya w = z tidak dapat dibedakan di mana pun.

Anda dapat memeriksa diferensiasi suatu fungsi dan mencari turunannya secara langsung menggunakan rumus (6.1).

Contoh 6.4. Dengan menggunakan rumus (6.1), selidiki diferensiasi fungsi tersebut IV = z 2.

Larutan. A a- (zq + A z) 2- Zq = 2 zqAz -I- (A z) 2 , Di mana

Oleh karena itu, fungsinya w = zr terdiferensialkan di sembarang titik 2o, dan turunannya f"(zo) =2 zo-

Karena teorema utama tentang limit dipertahankan untuk fungsi variabel kompleks, dan definisi turunan fungsi variabel kompleks juga tidak berbeda dengan definisi fungsi variabel nyata, maka aturan terkenal untuk membedakan jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi, dan fungsi kompleks tetap berlaku untuk fungsi variabel kompleks. Demikian pula dapat dibuktikan jika berfungsi f(z) dapat dibedakan pada intinya zo. maka hal itu berlanjut pada titik ini; sebaliknya tidak benar.

3. Fungsi analitis. Fungsi w= /(^hanya dapat dibedakan pada titik itu sendiri zq, tetapi juga di beberapa lingkungan titik ini, disebut analitis pada titik zq. Jika f(z) bersifat analitik di setiap titik wilayah D, lalu disebut analitik (reguler, holomorfik) di domain D.

Dari sifat-sifat turunan dapat disimpulkan bahwa jika f(z) Dan g(z)- fungsi analitis di lapangan D, lalu fungsinya f(z) + g(z), f(z) - g(z), f(z) g(z) juga analitis di lapangan D, dan hasil bagi f(z)/g(z) fungsi analitik di semua titik wilayah D. di mana g(z)f 0. Misalnya fungsi

bersifat analitik pada bidang C dengan poin turun z= = 1 dan z - saya.

Pernyataan berikut mengikuti teorema turunan fungsi kompleks: jika fungsi Dan = kamu(z) bersifat analitis dalam domain tersebut D dan menampilkan D ke wilayah tersebut D" variabel dan, dan fungsi w = f(kamu) analitis di lapangan D", maka fungsi yang kompleks w = f(kamu(z)) variabel z analitis di D.

Mari kita perkenalkan konsep fungsi analitik dalam domain tertutup D. Bedanya dengan wilayah terbuka di sini adalah ditambahkan titik-titik batas yang tidak mempunyai lingkungan milik D; oleh karena itu turunan pada titik-titik ini tidak terdefinisi. Fungsi f(z) ditelepon analitis (reguler, holomorfik) di wilayah tertutupD, jika fungsi ini dapat diperluas ke area yang lebih luas D saya mengandung D, untuk analitis D fungsi.

• Kondisi (6.4) dipelajari pada abad ke-18. d'Alembert dan Euler. Oleh karena itu, kadang-kadang disebut juga kondisi d'Alembert-Euler, yang lebih tepat dari sudut pandang sejarah.

Biarkan fungsinya W = F(Z) diberikan pada beberapa set dan Z 0 , milik E, titik batas himpunan ini. Mari kita tambahkan Z 0 = X 0 + Saya· kamu 0 kenaikan Δ Z = Δ X+ Saya· Δ kamu untuk menunjuk Z = Z 0 + Δ Z milik banyak orang E. Lalu fungsinya W = kamu+ Saya· ay = F(Z) = kamu(X, kamu)+ Saya· ay(X, kamu). Kami mendapatkan kenaikan Δ W = Δ kamu+ Saya· Δ ay = F(Z 0 + Δ Z) - F(Z 0 ) = Δ F(Z 0 ) ,
.

Jika ada batas yang terbatas
, lalu disebut turunan dari suatu fungsiF(Z) pada titikZ 0 oleh banyak orangE, dan dilambangkan
,
,
, W" .

Secara formal, fungsi turunan suatu variabel kompleks didefinisikan dengan cara yang persis sama dengan fungsi turunan dari variabel nyata, tetapi isinya berbeda.

Dalam definisi turunan suatu fungsi F(X) variabel nyata pada suatu titik X 0 , X→ x 0 sepanjang garis lurus. Dalam kasus fungsi variabel kompleks F(Z), Z mungkin diperjuangkan Z 0 sepanjang jalur bidang apa pun yang mengarah ke suatu titik Z 0 .

Oleh karena itu, persyaratan adanya turunan suatu fungsi variabel kompleks sangat ketat. Hal ini menjelaskan bahwa fungsi sederhana dari variabel kompleks pun tidak memiliki turunan.

Contoh.

Pertimbangkan fungsinya W = = X- Saya· kamu. Mari kita tunjukkan bahwa fungsi ini tidak memiliki turunan di titik mana pun. Mari kita ambil poin apa saja Z 0 = X 0 + Saya· kamu 0 , mari kita beri kenaikan Δ Z = Δ X+ Saya· Δ kamu, maka fungsi tersebut akan menerima kenaikan. Cara

,
,

Pertama-tama kita akan mempertimbangkan Δ Z = Δ X + Saya· Δ kamu sedemikian rupa sehingga Δ X → 0 , dan Δ kamu = 0 , yaitu titik Z 0 + Δ Z → Z 0 sepanjang garis lurus horizontal. Dalam hal ini kita mengerti

Sekarang kita akan mempertimbangkan kenaikan ∆ Z sedemikian rupa sehingga ∆ X = 0 , dan ∆ kamu → 0 , yaitu Kapan Z 0 + ∆ Z→ Z 0 sepanjang garis lurus vertikal, dan itu akan terlihat jelas
.

Batas yang dihasilkan berbeda-beda, begitu pula rasionya tidak memiliki batas di ∆ Z → 0 , yaitu fungsinya
tidak memiliki turunan pada titik mana pun Z 0 .

Mari kita cari tahu arti turunan terhadap suatu himpunan. Membiarkan E adalah sumbu nyata, dan W = F(Z) = X, maka ini adalah fungsi real biasa dari variabel real F(X) = X dan turunannya akan sama 1 (
).

Biarkan sekarang E- ini keseluruhan pesawatnya (Z). Mari kita tunjukkan fungsinya F(Z) = X dalam hal ini tidak memiliki turunan pada titik mana pun. Memang benar, dalam hal ini
.Dari sini jelas bahwa jika
A
, Itu
. Jika
, A
, Itu
.Oleh karena itu, sikapnya tidak memiliki batas di
, jadi fungsinya F(Z) = X tidak memiliki turunan pada titik mana pun
.

Perhatikan bahwa jika fungsi bernilai kompleks dari variabel riil dipertimbangkan, maka definisi turunannya langsung berikut
, oleh karena itu, (ini adalah turunan sepanjang sumbu real).

Rumus untuk menambah fungsi.

Biarkan fungsinya W = F(Z) sudah tepat sasaran Z 0 turunan
. Mari kita tunjukkan bahwa representasi (1) berlaku, di mana kuantitasnya
, Kapan
.

Memang, menurut definisi turunan yang kita miliki
, oleh karena itu, nilainya
, Kapan
. Oleh karena itu, representasi (1) terjadi (kalikan kedua sisi dengan
dan memindahkannya
ke sisi kiri).

Kuliah No. 8 Diferensiabilitas dan diferensial suatu fungsi variabel kompleks

Fungsi W = F(Z) ditelepon dapat dibedakan pada intinyaZ 0 , jika pada saat ini representasi (2) terjadi, dimana A adalah bilangan kompleks tetap, dan kuantitas
cenderung nol ketika
.

Jika fungsinya W = F(Z) dapat dibedakan pada intinya Z 0 , maka linear utama relatif terhadap
bagian dari itu A·
kenaikan
pada intinya Z 0 ditelepon fungsi diferensial F(Z) pada intinya dan ditunjuk
.

Teorema tersebut berlaku.

Dalil.

Agar fungsinyaW = F(Z) dapat dibedakan pada saat ituZ 0 , perlu dan cukup bahwa ia memiliki turunan berhingga pada titik ini
, dan ternyata selalu dalam representasi (2)
.

Bukti.

Kebutuhan. Biarkan fungsinya terdiferensiasi pada suatu titik Z 0 . Mari kita tunjukkan bahwa ia mempunyai turunan berhingga pada titik ini, dan turunannya sama dengan bilangan tersebut A. Karena diferensiasi F(Z) pada intinya Z 0 representasi (2) terjadi, yang artinya
(3). Melewati batas di sini
kita mengerti itu
, Cara
.

Kecukupan. Biarkan fungsinya F(Z) sudah tepat sasaran Z 0 turunan akhir
. Mari kita tunjukkan bahwa representasi (2) berlaku. Karena adanya turunannya
representasi (1) terjadi, tetapi ini juga merupakan representasi (2), di mana A =
. Kecukupan telah ditetapkan.

Seperti yang kita ketahui, diferensial, diambil sebagai diferensial dari variabel bebas Z kenaikannya
, yaitu dengan asumsi
, kita bisa menulis
dan maka dari itu
(ini adalah rasio perbedaan, bukan simbol tunggal).

Misalkan fungsi = kamu(x, y)+iv(x, y) didefinisikan di sekitar titik tersebut z = X+iy. Jika variabel z kenaikan  z= X+Saya kamu, lalu fungsinya
akan menerima kenaikan


= (z+ z)–
=kamu(X+ X, kamu+ kamu)+

+ iv(X+ X, kamu+ kamu) - kamu(x, y) - iv(x, y) = [kamu(X+ X, kamu+ kamu) –

– kamu(x, y)] + Saya[ay(X+ X, kamu+ kamu) - ay(x, y)] =

= kamu(x, y) + Saya ay(x, y).

Definisi. Jika ada batasnya

=

,

maka limit ini disebut turunan fungsi tersebut
pada intinya z dan dilambangkan dengan F(z) atau
. Jadi, menurut definisi,

=

=

. (1.37)

Jika fungsinya
mempunyai turunan pada titik tersebut z, lalu mereka mengatakan itu fungsinya
dapat dibedakan pada intinya z. Tentunya agar fungsinya dapat terdiferensiasi
perlu bahwa fungsinya kamu(x, y) Dan ay(x, y) dapat dibedakan. Namun hal ini belum cukup untuk keberadaan turunannya F(z). Misalnya saja untuk fungsinya w== X–iy fungsi kamu(x, y)=X

Dan ay(x, y)=–kamu terdiferensialkan di semua titik M( x, y), tetapi batas rasionya
pada  X0,  kamu0 tidak ada, karena jika  kamu= 0,  X 0, lalu  w/ z= 1,

jika  X = 0,  kamu 0, lalu  w/z = -1.

Tidak ada batasan tunggal. Artinya fungsinya

w= tidak memiliki turunan pada titik mana pun z. Untuk adanya turunan suatu fungsi variabel kompleks diperlukan syarat tambahan. Yang mana tepatnya? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema berikut.

Dalil. Biarkan fungsinya kamu(x, y) Dan ay(x, y) terdiferensiasi di titik M( x, y). Kemudian agar fungsinya

= kamu(x, y) + iv(x, y)

memiliki turunan pada titik tersebut z = X+iy, hal ini perlu dan cukup untuk menjaga kesetaraan

Persamaan (1,38) disebut kondisi Cauchy-Riemann.

Bukti. 1) Kebutuhan. Biarkan fungsinya
mempunyai turunan di titik z, yaitu ada limitnya

=

=
.(1.39)

Batas ruas kanan persamaan (1,39) tidak bergantung pada jalur mana yang dilalui titik tersebut  z =  X+Saya kamu berusaha

ke 0. Khususnya, jika y = 0, x  0 (Gbr. 1.10), maka

Jika x = 0, y  0 (Gbr. 1.11), maka

(1.41)

Gambar.1.10 Gambar. 1.11

Ruas kiri persamaan (1,40) dan (1,41) adalah sama. Artinya sisi kanannya juga sama

Oleh karena itu

Jadi dari asumsi adanya turunan F(z) persamaan (1.38) mengikuti, yaitu kondisi Cauchy-Riemann diperlukan untuk keberadaan turunan F(z).

1) Kecukupan. Sekarang mari kita asumsikan bahwa persamaan (1,38) terpenuhi:

dan buktikan bahwa dalam hal ini fungsinya
mempunyai turunan pada titik tersebut z= X+iy, yaitu batas (1,39)

=

ada.

Sejak fungsinya kamu(x, y) Dan ay(x, y) terdiferensiasi di titik M( x, y), maka pertambahan total fungsi-fungsi tersebut di titik M( x, y) dapat direpresentasikan dalam bentuk

,

dimana  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 pada  X0, kamu0.

Karena, berdasarkan (1.38),

Karena itu,

=
,

 1 =  1 +Saya 1 0,  2 =  2 +Saya 2 0 pada z =  X+Sayakamu0.

Dengan demikian,

Sejak  z 2 =  X 2 + kamu 2 , lalu  X/ z1,  kamu/z1. Itu sebabnya

di  z  0.

Oleh karena itu ruas kanan persamaan (1,42) mempunyai limit di  z 0, oleh karena itu, ruas kiri juga mempunyai limit di  z 0, dan batas ini tidak bergantung pada jalur mana  z cenderung 0. Dengan demikian terbukti jika pada titik M(x,y) kondisi (1,38) terpenuhi, maka fungsinya
mempunyai turunan pada titik tersebut z = X+iy, Dan

.

Teorema tersebut terbukti sepenuhnya.

Dalam proses pembuktian teorema tersebut diperoleh dua rumus (1.40) dan (1.42) untuk turunan fungsi variabel kompleks

,

.

Dengan menggunakan rumus (1.38) kita dapat memperoleh dua rumus lagi

, (1.43)

. (1.44)

Jika fungsinya F(z) mempunyai turunan di semua titik pada daerah D, maka kita katakan fungsi tersebut
dapat terdiferensiasi di domain D. Untuk itu, kondisi Cauchy-Riemann perlu dipenuhi di semua titik domain D.

Contoh. Periksa kondisi Cauchy-Riemann untuk

fungsi e z .

Karena e z = e x+iy = e X(kos kamu + Saya dosa kamu),

Itu kamu(X, kamu) = Ulang e z = e X karena kamu, ay(X, kamu) = Saya e z = e X dosa kamu,

,
,

,
,

karena itu,

Kondisi Cauchy-Riemann untuk suatu fungsi e z terpenuhi di semua titik z. Jadi fungsinya e z terdiferensiasi pada seluruh bidang variabel kompleks, dan

Diferensiabilitas dibuktikan dengan cara yang persis sama

fungsi z N , karena z, dosa z, bab z, SH z, Ln z, dan validitas rumus

(z N) = n z n-1, (kos z) = -dosa z, (dosa z) = cos z,

(bab z) = sh z, (SH z) = bab z, (Ln z) = 1/z.

Untuk fungsi variabel kompleks, semua aturan untuk membedakan fungsi variabel nyata tetap berlaku. Pembuktian aturan-aturan ini mengikuti definisi turunan dengan cara yang sama seperti fungsi variabel nyata.

Dalil

Agar fungsinya w = F(z) , didefinisikan di area tertentu D bidang kompleks, dapat dibedakan pada intinya z 0 = X 0 + Sayakamu 0 sebagai fungsi dari variabel kompleks z, bagian nyata dan bagian imajinernya perlu dan cukup kamu Dan ay terdiferensiasi pada titik tersebut ( X 0 ,kamu 0) sebagai fungsi variabel nyata X Dan kamu dan, sebagai tambahan, pada titik ini kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi:

; ;

Jika kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi, maka turunannya F"(z) dapat direpresentasikan dalam salah satu bentuk berikut:

Bukti

Konsekuensi

Cerita

Kondisi ini pertama kali muncul dalam karya d'Alembert (1752). Dalam karya Euler, yang dilaporkan ke Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg pada tahun 1777, kondisi tersebut pertama kali bersifat tanda umum analitik fungsi menggunakan hubungan ini untuk membangun teori fungsi, dimulai dengan memoar, yang dipresentasikan ke Akademi Ilmu Pengetahuan Paris pada tahun 1814. Disertasi Riemann yang terkenal tentang dasar-dasar teori fungsi dimulai pada tahun 1851.

literatur

• Sabat B.V. Pengantar analisis kompleks. - M.: Sains, . - 577 hal.
• Titchmarsh E.Sejarah pertemuanTitchmarsh E. Teori fungsi: Terjemahan. dari bahasa Inggris - Edisi ke-2, direvisi. - M.: Sains, . - 464 detik.
• Privalov I.I. Pengantar teori fungsi variabel kompleks: Panduan untuk pendidikan tinggi. - M.-L.: Rumah Penerbitan Negara, . - 316 hal.
• Evgrafov M.A. Fungsi analitis. - Edisi ke-2, direvisi. dan tambahan - M.: Sains, . - 472 detik.

Yayasan Wikimedia. 2010.

Lihat apa yang dimaksud dengan “Kondisi Cauchy-Riemann” di kamus lain:

Riemann, juga disebut kondisi d'Alembert Euler, hubungan yang menghubungkan bagian nyata dan imajiner dari setiap fungsi terdiferensiasi dari variabel kompleks. Isi 1 Kata-kata... Wikipedia

Kondisi Cauchy-Riemann, atau kondisi D'Alembert Euler, kondisi pada bagian nyata u = u(x,y) dan bagian imajiner v = v(x,y) dari suatu fungsi variabel kompleks, memastikan diferensiabilitas kontinu tak terhingga dari f( z) sebagai fungsi kompleks... ... Wikipedia

D Kondisi Alembert Euler, kondisi pada bagian nyata u=u(x, y).dan imajiner v=v(x, y).dari suatu fungsi variabel kompleks yang memastikan monogenitas dan analitik dari f(z) sebagai suatu fungsi dari variabel yang kompleks. Agar fungsi w=f(z),… … Ensiklopedia Matematika

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy ... Wikipedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (Perancis Augustin Louis Cauchy; 21 Agustus 1789, Paris 23 Mei 1857, Saux (Eau de Seine)) Matematikawan Perancis, anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Paris, mengembangkan dasar analisis matematika dan membuat dirinya sendiri kontribusi besar untuk analisis... Wikipedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (Perancis Augustin Louis Cauchy; 21 Agustus 1789, Paris 23 Mei 1857, Saux (Eau de Seine)) Matematikawan Perancis, anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Paris, mengembangkan dasar analisis matematika dan membuat dirinya sendiri kontribusi besar untuk analisis... Wikipedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (Perancis Augustin Louis Cauchy; 21 Agustus 1789, Paris 23 Mei 1857, Saux (Eau de Seine)) Matematikawan Perancis, anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Paris, mengembangkan dasar analisis matematika dan membuat dirinya sendiri kontribusi besar untuk analisis... Wikipedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (Perancis Augustin Louis Cauchy; 21 Agustus 1789, Paris 23 Mei 1857, Saux (Eau de Seine)) Matematikawan Perancis, anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Paris, mengembangkan dasar analisis matematika dan membuat dirinya sendiri kontribusi besar untuk analisis... Wikipedia

Konsep fungsi variabel kompleks

Pertama, mari kita segarkan kembali pengetahuan kita tentang fungsi sekolah dari satu variabel:

Fungsi satu variabel adalah aturan yang menyatakan bahwa setiap nilai variabel bebas (dari domain definisi) berhubungan dengan satu dan hanya satu nilai fungsi. Tentu saja, “x” dan “y” adalah bilangan real.

Dalam kasus yang kompleks, ketergantungan fungsional ditentukan dengan cara yang sama:

Fungsi bernilai tunggal dari variabel kompleks adalah aturan yang menyatakan bahwa setiap nilai kompleks dari variabel independen (dari domain definisi) berhubungan dengan satu dan hanya satu nilai kompleks dari fungsi tersebut. Teori ini juga mempertimbangkan fungsi multi-nilai dan beberapa jenis fungsi lainnya, tetapi untuk kesederhanaan saya akan fokus pada satu definisi.

Apa perbedaan antara fungsi variabel kompleks?

Perbedaan utamanya: bilangan kompleks. Saya tidak bersikap ironis. Pertanyaan seperti itu sering kali membuat orang pingsan; di akhir artikel saya akan menceritakan sebuah kisah lucu. Di pelajaran Bilangan kompleks untuk boneka kami mempertimbangkan bilangan kompleks dalam bentuk . Karena sekarang huruf “z” telah menjadi variabel, kita akan menyatakannya sebagai berikut: , sedangkan “x” dan “y” dapat memiliki nilai real yang berbeda. Secara kasar, fungsi variabel kompleks bergantung pada variabel dan , yang mengambil nilai “biasa”. Poin berikut secara logis mengikuti fakta ini:

Bagian nyata dan imajiner dari suatu fungsi variabel kompleks

Fungsi variabel kompleks dapat ditulis sebagai:
, di mana dan adalah dua fungsi dari dua variabel real.

Fungsi tersebut disebut bagian real dari fungsi tersebut.
Fungsi tersebut disebut bagian imajiner dari fungsi tersebut.

Artinya, fungsi variabel kompleks bergantung pada dua fungsi nyata dan . Untuk memperjelas semuanya, mari kita lihat contoh praktis:

Penyelesaian: Variabel bebas “zet”, seperti yang Anda ingat, ditulis dalam bentuk , oleh karena itu:

(1) Kami menggantinya.

(2) Untuk suku pertama digunakan rumus perkalian yang disingkat. Pada istilah tersebut, tanda kurung telah dibuka.

(3) Hati-hati menyusunnya, jangan lupa itu

(4) Pengelompokan kembali suku-suku: pertama kita tulis ulang suku-suku yang tidak ada satuan imajinernya (kelompok pertama), kemudian suku-suku yang ada (kelompok kedua). Perlu diperhatikan bahwa mengacak istilah tidak perlu dilakukan, dan langkah ini dapat dilewati (dengan melakukannya secara lisan).

(5) Untuk kelompok kedua kita keluarkan dari tanda kurung.

Hasilnya, fungsi kita terwakili dalam bentuk

Menjawab:
– bagian nyata dari fungsi tersebut.
– bagian imajiner dari fungsi.

Fungsi apa sajakah yang dihasilkan dari hal-hal tersebut? Fungsi paling umum dari dua variabel yang dapat Anda temukan sangat populer turunan parsial. Tanpa ampun, kita akan menemukannya. Tapi sebentar lagi.

Secara singkat algoritma penyelesaian masalah dapat dituliskan sebagai berikut: kita substitusikan , ke dalam fungsi aslinya, lakukan penyederhanaan dan bagi semua suku menjadi dua kelompok - tanpa satuan imajiner (bagian nyata) dan dengan satuan imajiner (bagian imajiner) .

Temukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Sebelum Anda terburu-buru berperang di pesawat kompleks dengan catur terhunus, izinkan saya memberi Anda saran paling penting tentang topik ini:

HATI-HATI! Tentu saja, Anda harus berhati-hati di mana pun, tetapi dalam bilangan kompleks Anda harus lebih berhati-hati dari sebelumnya! Ingatlah bahwa, buka braket dengan hati-hati, jangan sampai ada yang hilang. Menurut pengamatan saya, kesalahan paling umum adalah kehilangan tanda. Jangan terburu-buru!

Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Sekarang kubus. Dengan menggunakan rumus perkalian yang disingkat, kita memperoleh:
.

Rumus sangat mudah digunakan dalam praktik, karena mempercepat proses penyelesaian secara signifikan.

Diferensiasi fungsi variabel kompleks.
Kondisi Cauchy-Riemann

Saya punya dua berita: baik dan buruk. Saya akan mulai dengan yang bagus. Untuk fungsi variabel kompleks, aturan diferensiasi dan tabel turunan fungsi dasar berlaku. Jadi, turunannya diambil dengan cara yang persis sama seperti dalam kasus fungsi variabel riil.

Kabar buruknya adalah untuk banyak fungsi variabel kompleks tidak ada turunan sama sekali, dan Anda harus mencari tahu apakah suatu fungsi dapat terdiferensiasi. Dan “mencari tahu” bagaimana perasaan hati Anda dikaitkan dengan masalah tambahan.

Mari kita pertimbangkan fungsi variabel kompleks. Agar fungsi ini dapat terdiferensiasi maka perlu dan cukup:

1) Sehingga ada turunan parsial orde pertama. Lupakan segera notasi ini, karena teori fungsi variabel kompleks biasanya menggunakan notasi lain: .

2) Sehingga kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi:

Hanya dalam kasus ini turunannya akan ada!

Tentukan bagian real dan imajiner suatu fungsi . Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann. Jika kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi, tentukan turunan fungsi tersebut.

Solusinya dibagi menjadi tiga tahap berturut-turut:

1) Temukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut. Tugas ini telah dibahas pada contoh sebelumnya, jadi saya akan menuliskannya tanpa komentar:

Dari dulu:

Dengan demikian:
– bagian nyata dari fungsi;
– bagian imajiner dari fungsi.

Izinkan saya membahas satu hal teknis lagi: dalam urutan apa kita harus menulis suku-suku di bagian nyata dan imajiner? Ya, pada prinsipnya tidak masalah. Misalnya, bagian nyata dapat ditulis seperti ini: , dan bagian imajiner seperti ini: .

3) Mari kita periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann. Ada dua di antaranya.

Mari kita mulai dengan memeriksa kondisinya. Kami menemukan turunan parsial:

Dengan demikian, kondisinya terpenuhi.

Tentu saja, kabar baiknya adalah turunan parsial hampir selalu sangat sederhana.

Kami memeriksa pemenuhan kondisi kedua:

Hasilnya sama, tetapi tandanya berlawanan, yaitu syaratnya juga terpenuhi.

Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi, sehingga fungsinya terdiferensiasi.

3) Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut. Turunannya juga sangat sederhana dan ditemukan berdasarkan aturan biasa:

Satuan imajiner dianggap konstan selama diferensiasi.

Menjawab: – bagian nyata, – bagian imajiner.
Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi, .

integral FKP. teorema Cauchy.

Rumus ( 52 ) disebut rumus integral Cauchy atau integral Cauchy. Jika sebagai kontur di ( 52 ) pilihlah sebuah lingkaran , kemudian dengan mengganti dan memperhitungkan selisih panjang busur , integral Cauchy dapat direpresentasikan sebagai rumus nilai rata-rata:

Selain arti independen dari rumus integral Cauchy, ( 52 ), (54 ) sebenarnya memberikan cara yang sangat mudah untuk menghitung integral kontur, yang, seperti dapat dilihat, akan dinyatakan melalui nilai “sisa” integral pada titik di mana fungsi ini memiliki singularitas.

Contoh 3-9. Menghitung integral suatu fungsi sepanjang kontur (Gambar.20).

Larutan. Titik dimana fungsi mempunyai singularitas, tidak seperti Contoh 4-1, terletak di dalam lingkaran. Mari kita nyatakan integralnya dalam bentuk ( 52 ):

rumus Cauchy.

Misalkan suatu daerah pada bidang kompleks dengan batas halus sepotong-sepotong, fungsinya holomorfik dan menjadi titik di dalam daerah tersebut. Maka rumus Cauchy berikut ini valid:

Rumus ini juga valid jika kita berasumsi bahwa bagian dalamnya bersifat holomorfik dan kontinu pada penutupannya, dan juga jika batasnya tidak mulus sebagian, tetapi hanya dapat disearahkan (Fungsi holomorfik adalah fungsi bilangan kompleks, halus sebagian adalah fungsi dari bilangan real)

FKP Dasar: Fungsi Taylor, fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik, fungsi trigonometri invers, fungsi logaritma, rumus Cauchy.