Perkenalan
Fungsi silinder merupakan penyelesaian persamaan diferensial linier orde kedua
di mana adalah variabel kompleks,
Parameter yang dapat mengambil nilai nyata atau kompleks apa pun.
Istilah “fungsi silinder” berasal dari fakta bahwa persamaan (1) muncul ketika mempertimbangkan masalah nilai batas teori potensial untuk domain silinder.
Kelas khusus fungsi silinder dikenal dalam literatur sebagai fungsi Bessel, dan terkadang nama ini diberikan untuk seluruh kelas fungsi silinder.
Teori yang dikembangkan dengan baik tentang fungsi-fungsi yang sedang dipertimbangkan, ketersediaan tabel terperinci dan berbagai aplikasi memberikan alasan yang cukup untuk mengklasifikasikan fungsi silinder sebagai salah satu fungsi khusus yang paling penting.
Persamaan Bessel muncul ketika mencari solusi persamaan Laplace dan persamaan Helmholtz dalam koordinat silinder dan bola. Oleh karena itu, fungsi Bessel digunakan dalam menyelesaikan banyak masalah tentang perambatan gelombang, potensial statis, dll, misalnya:
1) gelombang elektromagnetik dalam pandu gelombang silinder;
2) konduktivitas termal pada benda berbentuk silinder;
3) mode getaran membran bulat tipis;
4) kecepatan partikel dalam silinder berisi cairan dan berputar pada porosnya.
Fungsi Bessel juga digunakan dalam menyelesaikan masalah lain, misalnya dalam pemrosesan sinyal.
Fungsi Bessel Silinder adalah fungsi khusus yang paling umum. Mereka memiliki banyak penerapan dalam semua ilmu alam dan teknik (terutama astronomi, mekanika dan fisika). Dalam sejumlah soal dalam fisika matematika, terdapat fungsi silinder yang argumen atau indeksnya (terkadang keduanya) mengambil nilai kompleks. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut secara numerik, perlu dikembangkan algoritma yang memungkinkan seseorang menghitung fungsi Bessel dengan akurasi tinggi.
Tujuan dari pekerjaan kursus: mempelajari fungsi Bessel dan penerapan sifat-sifatnya dalam menyelesaikan persamaan diferensial.
1) Pelajari persamaan Bessel dan persamaan Bessel yang dimodifikasi.
2) Perhatikan sifat dasar fungsi Bessel, representasi asimtotik.
3) Selesaikan persamaan diferensial menggunakan fungsi Bessel.
Fungsi Bessel dengan tanda bilangan bulat positif
Untuk mempertimbangkan banyak masalah yang terkait dengan penggunaan fungsi silinder, cukup membatasi diri kita pada mempelajari kelas khusus dari fungsi-fungsi ini, yang sesuai dengan kasus ketika parameter dalam persamaan (1) sama dengan nol atau bilangan bulat positif.
Kajian terhadap kelompok ini lebih mendasar dibandingkan teori yang berkaitan dengan nilai-nilai arbitrer, dan dapat menjadi pengantar yang baik untuk teori umum ini.
Mari kita tunjukkan salah satu solusi persamaan tersebut
0, 1, 2, …, (1.1)
adalah fungsi Bessel jenis orde pertama, yang untuk nilai apa pun didefinisikan sebagai jumlah deret
Dengan menggunakan uji d'Alembert, mudah untuk memverifikasi bahwa deret yang ditinjau konvergen pada seluruh bidang variabel kompleks dan, oleh karena itu, mewakili seluruh fungsi.
Jika kita menyatakan ruas kiri persamaan (1.1) dengan dan memperkenalkan notasi singkat untuk koefisien deret (1.2), masukkan
maka sebagai hasil substitusi kita peroleh
maka ekspresi dalam tanda kurung kurawal sama dengan nol. Jadi, fungsi tersebut memenuhi persamaan (1.1), yaitu fungsi silinder.
Fungsi paling sederhana dari kelas yang dipertimbangkan adalah fungsi Bessel orde nol dan satu:
Mari kita tunjukkan bahwa fungsi Bessel dari ordo lain dapat dinyatakan dalam dua fungsi ini. Untuk membuktikannya, asumsikan a adalah bilangan bulat positif, kalikan deret (1.2) dengan dan bedakan dengan. Kalau begitu kita akan mendapatkannya
Demikian pula, mengalikan deret tersebut dengan yang kita temukan
Setelah membedakan persamaan (1,4 - 1,1) dan membaginya dengan faktor, kita sampai pada rumus:
yang langsung berikut:
Rumus yang dihasilkan dikenal sebagai relasi perulangan untuk fungsi Bessel.
Relasi pertama memungkinkan untuk mengekspresikan fungsi orde sembarang melalui fungsi orde nol dan satu, yang secara signifikan mengurangi pekerjaan menyusun tabel fungsi Bessel.
Relasi kedua memungkinkan seseorang untuk merepresentasikan turunan fungsi Bessel melalui fungsi Bessel. Untuk relasi ini diganti dengan rumus
langsung mengikuti definisi fungsi-fungsi ini.
Fungsi Bessel jenis pertama hanya terkait dengan koefisien perluasan fungsi deret Laurent):
Koefisien ekspansi ini dapat dihitung dengan mengalikan deret pangkat:
dan perkumpulan anggota yang mempunyai derajat yang sama. Setelah melakukan ini, kita mendapatkan:
maka perluasan yang dipertimbangkan dapat ditulis dalam bentuk
Fungsi tersebut disebut fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel dengan tanda bilangan bulat; relasi yang ditemukan (1.12) memainkan peran penting dalam teori fungsi-fungsi ini.
Untuk memperoleh integral umum persamaan (1.1), yang memberikan ekspresi fungsi silinder sembarang dengan tanda bilangan bulat, perlu dibuat solusi kedua dari persamaan tersebut, yang bebas linier dari c. Sebagai solusinya, dapat diambil fungsi Bessel jenis kedua, yang berdasarkan definisinya mudah diperoleh ekspresi analitisnya dalam bentuk deret.
(- Konstanta Euler) dan, dalam kasus ini, jumlah pertama harus ditetapkan sama dengan nol.
Fungsinya teratur pada bidang yang dipotong. Ciri penting dari solusi yang sedang dipertimbangkan adalah bahwa solusi tersebut berlaku hingga tak terhingga kapan. Ekspresi umum fungsi silinder untuk mewakili kombinasi linier dari solusi yang dibangun
di mana dan adalah konstanta sembarang,
Untuk melanjutkan ke penyelesaian masalah osilasi membran melingkar, pertama-tama kita harus mengenal fungsi Bessel. Fungsi Bessel adalah solusi persamaan diferensial linier orde kedua dengan koefisien variabel
Persamaan ini disebut persamaan Bessel. Baik persamaan itu sendiri maupun solusinya ditemukan tidak hanya dalam masalah osilasi membran melingkar, tetapi juga dalam sejumlah besar masalah lainnya.
Parameter k yang termasuk dalam persamaan (10.1), secara umum, dapat mengambil nilai positif apa pun. Solusi persamaan untuk k tertentu disebut fungsi Bessel orde k (terkadang disebut fungsi silinder). Kami akan mempertimbangkan secara rinci hanya kasus-kasus paling sederhana, kapan dan sejak dalam presentasi selanjutnya kami hanya akan menemukan fungsi Bessel dari orde ke-0 dan ke-1.
Untuk mempelajari fungsi Bessel secara umum, kami merujuk pembaca ke manual khusus (lihat, misalnya, disebut persamaan Bessel . Nomor \(v\) dipanggil urutan persamaan Bessel .
Persamaan diferensial ini dinamai menurut nama ahli matematika dan astronom Jerman Friedrich Wilhelm Bessel , yang mempelajarinya secara rinci dan menunjukkan (pada \(1824\)) bahwa solusi terhadap persamaan tersebut dinyatakan melalui kelas fungsi khusus yang disebut fungsi silinder atau Fungsi Besel .
Representasi spesifik dari solusi umum bergantung pada bilangan \(v.\) Selanjutnya, kita akan mempertimbangkan dua kasus secara terpisah:
Urutan \(v\) adalah bukan bilangan bulat;
Ordo \(v\) adalah bilangan bulat.
Kasus 1. Orde \(v\) bukan bilangan bulat
Dengan asumsi bilangan \(v\) bukan bilangan bulat dan positif, solusi umum persamaan Bessel dapat ditulis dalam bentuk \ dengan \((C_1),\) \((C_2)\) adalah konstanta sembarang, dan \((J_v)\ kiri(x \kanan),\) \((J_( - v))\kiri(x \kanan)\) − Fungsi Bessel jenis pertama .
Fungsi Bessel jenis pertama dapat direpresentasikan sebagai suatu deret, yang suku-sukunya dinyatakan melalui apa yang disebut fungsi gamma : \[(J_v)\kiri(x \kanan) = \jumlah\batas_(p = 0)^\infty (\frac((((\kiri(( - 1) \kanan))^p)))( (\Gamma \kiri((p + 1) \kanan)\Gamma \kiri((p + v + 1) \kanan)))((\kiri((\frac(x)(2)) \kanan)) ^(2p + v))) .\] Fungsi Gamma adalah ekstensi fungsi faktorial dari himpunan bilangan bulat ke himpunan bilangan real. Secara khusus, ia memiliki properti berikut: \[ (\Gamma \left((p + 1) \right) = p!,)\;\; (\Gamma \kiri((p + v + 1) \kanan) = \kiri((v + 1) \kanan)\kiri((v + 2) \kanan) \cdots \kiri((v + p) \ right)\Gamma \left((v + 1) \right).) \] Fungsi Bessel berorde negatif jenis pertama (dengan indeks \(-v\)) ditulis dengan cara serupa. Di sini kita berasumsi bahwa \(v > 0.\) \[(J_( - v))\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac((((\ left (( - 1) \kanan))^p)))((\Gamma \kiri((p + 1) \kanan)\Gamma \kiri((p - v + 1) \kanan)))((\ kiri ((\frac(x)(2)) \kanan))^(2p - v))) .\] Fungsi Bessel dihitung di sebagian besar paket matematika. Misalnya, bentuk fungsi Bessel orde pertama dari \(v = 0\) hingga \(v = 4\) ditunjukkan pada Gambar \(1.\) Fungsi-fungsi ini juga dapat dihitung di MS Excel.
Kasus 2. Ordo \(v\) adalah bilangan bulat
Jika orde \(v\) persamaan diferensial Bessel adalah bilangan bulat, maka fungsi Bessel jenis pertama \((J_v)\left(x \right)\) dan \((J_( - v))\left (x \kanan)\ ) menjadi bergantung satu sama lain. Dalam hal ini, solusi umum persamaan tersebut akan dijelaskan dengan rumus lain: \ di mana \((Y_v)\left(x \right)\) − Fungsi Bessel jenis kedua . Terkadang rangkaian fungsi ini juga disebut Fungsi Neumann atau Fungsi Weber .
Fungsi Bessel jenis kedua \((Y_v)\left(x \right)\) dapat dinyatakan melalui fungsi Bessel jenis pertama \((J_v)\left(x \right)\) dan \((J_( - v))\left (x \ kanan):\) \[(Y_v)\kiri(x \kanan) = \frac(((J_v)\kiri(x \kanan)\cos \pi v - (J_( - v))\kiri (x \ right)))((\sin \pi v)).\] Grafik fungsi \((Y_v)\left(x \right)\) untuk beberapa orde pertama \(v\) disajikan di atas dalam Gambar 2.\ )
Catatan: Faktanya, solusi umum persamaan diferensial Bessel dapat dinyatakan dalam fungsi Bessel jenis pertama dan kedua juga untuk kasus orde non-bilangan bulat \(v.\)
Beberapa persamaan diferensial dapat direduksi menjadi persamaan Bessel
1. Persamaan terkenal lainnya dari kelas ini adalah persamaan Bessel yang dimodifikasi , yang diperoleh dari persamaan Bessel reguler dengan mengganti \(x\) dengan \(-ix.\) Persamaan ini berbentuk: \[(x^2)y"" + xy" - \left(((x ^2) + (v^2)) \kanan)y = 0.\] Solusi persamaan ini dinyatakan melalui apa yang disebut modifikasi fungsi Bessel jenis pertama dan kedua : \[ (y\kiri(x \kanan) = (C_1)(J_v)\kiri(( - ix) \kanan) + (C_2)(Y_v)\kiri(( - ix) \kanan) ) = (( C_1)(I_v)\kiri(x \kanan) + (C_2)(K_v)\kiri(x \kanan),) \] di mana \((I_v)\kiri(x \kanan)\) dan \((K_v )\left(x \right)\) masing-masing menunjukkan fungsi Bessel jenis pertama dan kedua yang dimodifikasi.2.
Persamaan diferensial lapang
, yang dikenal dalam astronomi dan fisika, ditulis dalam bentuk: \ Dapat juga direduksi menjadi persamaan Bessel. Penyelesaian persamaan Airy dinyatakan melalui fungsi Bessel orde pecahan \(\pm \large\frac(1)(3)\normalsize:\) \[ (y\left(x \right) ) = ((C_1) \sqrt x (J_ (\large\frac(1)(3)\normalsize))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\frac(3)(2)\normalsize) )) \kanan) + (C_2)\sqrt x (J_( - \large\frac(1)(3)\normalsize))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\ frac(3)( 2)\ukuran normal)))\kanan).)\]
3.
Persamaan diferensial berbentuk \[(x^2)y"" + xy" + \left(((a^2)(x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] berbeda dari persamaan Bessel hanya sebuah faktor \((a^2)\) sebelum \((x^2)\) dan memiliki solusi umum dalam bentuk berikut: \
4.
Persamaan diferensial serupa \[(x^2)y"" + axy" + \left(((x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] juga direduksi menjadi persamaan Bessel \[ (x ^2)z"" + xz" + \left(((x^2) - (n^2)) \right)z = 0\] menggunakan substitusi \ Di sini parameternya \((n^2)\ ) melambangkan \[(n^2) = (v^2) + \frac(1)(4)(\left((a - 1) \right)^2).\] Sebagai hasilnya, solusi umum untuk persamaan diferensial ini ditentukan dengan rumus \.\]
Fungsi Bessel khusus banyak digunakan dalam menyelesaikan masalah fisika matematika, misalnya dalam penelitian
perambatan gelombang;
konduktivitas termal;
getaran membran
