Diferensial disebut persamaan bentuk

P(x, y)dx + Q(x, y)mati = 0 ,

dimana ruas kiri adalah diferensial total dari setiap fungsi dua variabel.

Mari kita nyatakan fungsi dua variabel yang tidak diketahui (inilah yang perlu dicari saat menyelesaikan persamaan diferensial total) dengan F dan kami akan segera kembali ke sana.

Hal pertama yang harus diperhatikan adalah harus ada angka nol di ruas kanan persamaan, dan tanda yang menghubungkan kedua suku di ruas kiri harus berupa tanda tambah.

Kedua, persamaan tertentu harus diperhatikan, yang menegaskan bahwa persamaan diferensial ini adalah persamaan diferensial total. Pemeriksaan ini adalah bagian wajib dari algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial total (ada di paragraf kedua pelajaran ini), jadi proses mencari suatu fungsi F cukup padat karya dan penting untuk memastikan pada tahap awal bahwa kita tidak membuang waktu.

Jadi, fungsi yang tidak diketahui yang perlu dicari dilambangkan dengan F. Jumlah diferensial parsial untuk semua variabel independen menghasilkan diferensial total. Oleh karena itu, jika persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial total, maka ruas kiri persamaan tersebut adalah jumlah diferensial parsialnya. Kemudian menurut definisi

dF = P(x, y)dx + Q(x, y)mati .

Mari kita mengingat kembali rumus menghitung diferensial total suatu fungsi dua variabel:

Menyelesaikan dua persamaan terakhir, kita dapat menulis

.

Kami membedakan persamaan pertama terhadap variabel "y", yang kedua - terhadap variabel "x":

.

yang merupakan syarat agar suatu persamaan diferensial tertentu benar-benar merupakan persamaan diferensial total.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan diferensial dalam diferensial total

Langkah 1. Pastikan persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial total. Agar ekspresinya adalah diferensial total suatu fungsi F(x, kamu) perlu dan cukup sehingga . Dengan kata lain, Anda perlu mengambil turunan parsial terhadap X dan turunan parsial terhadap kamu suku lain dan jika turunannya sama, maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial total.

Langkah 2. Tuliskan sistem persamaan diferensial parsial yang membentuk fungsi tersebut F:

Langkah 3. Integrasikan persamaan pertama sistem - oleh X (kamu F:

,
kamu.

Pilihan alternatif (jika lebih mudah mencari integral dengan cara ini) adalah dengan mengintegrasikan persamaan kedua sistem - by kamu (X tetap konstan dan dikeluarkan dari tanda integral). Dengan cara ini fungsinya juga dikembalikan F:

,
dimana adalah fungsi yang belum diketahui X.

Langkah 4. Hasil langkah 3 (integral umum yang ditemukan) dibedakan dengan kamu(sebagai alternatif - menurut X) dan samakan dengan persamaan kedua sistem:

,

dan dalam versi alternatif - ke persamaan pertama sistem:

.

Dari persamaan yang dihasilkan kita tentukan (sebagai alternatif)

Langkah 5. Hasil dari langkah 4 adalah mengintegrasikan dan menemukan (sebagai alternatif, find ).

Langkah 6. Gantikan hasil langkah 5 ke hasil langkah 3 - ke dalam fungsi yang dipulihkan dengan integrasi parsial F. Konstanta sewenang-wenang C sering ditulis setelah tanda sama dengan - di sisi kanan persamaan. Dengan demikian kita memperoleh solusi umum persamaan diferensial dalam diferensial total. Itu, sebagaimana telah disebutkan, memiliki bentuk F(x, kamu) = C.

Contoh penyelesaian persamaan diferensial pada diferensial total

Contoh 1.

Langkah 1. persamaan dalam diferensial total X satu suku di sisi kiri ekspresi

dan turunan parsial terhadap kamu istilah lain
persamaan dalam diferensial total .

Langkah 2. F:

Langkah 3. Oleh X (kamu tetap konstan dan dikeluarkan dari tanda integral). Jadi kami mengembalikan fungsinya F:

dimana adalah fungsi yang belum diketahui kamu.

Langkah 4. kamu

.

.

Langkah 5.

Langkah 6. F. Konstanta sewenang-wenang C :
.

Kesalahan apa yang paling mungkin terjadi di sini? Kesalahan yang paling umum adalah mengambil integral parsial atas salah satu variabel sebagai integral biasa dari suatu produk fungsi dan mencoba mengintegrasikannya dengan bagian-bagian atau variabel pengganti, dan juga mengambil turunan parsial dari dua faktor sebagai turunan dari a hasil kali fungsi dan cari turunannya menggunakan rumus yang sesuai.

Hal ini harus diingat: ketika menghitung integral parsial terhadap salah satu variabel, variabel lainnya adalah konstanta dan dikeluarkan dari tanda integral, dan ketika menghitung turunan parsial terhadap salah satu variabel, variabel lainnya. juga merupakan konstanta dan turunan dari ekspresi tersebut ditemukan sebagai turunan dari variabel “akting” dikalikan dengan konstanta.

Di antara persamaan dalam diferensial total Tidak jarang kita menemukan contoh dengan fungsi eksponensial. Ini adalah contoh selanjutnya. Hal ini juga penting karena solusinya menggunakan opsi alternatif.

Contoh 2. Selesaikan persamaan diferensial

.

Langkah 1. Mari kita pastikan persamaannya benar persamaan dalam diferensial total . Untuk melakukan ini, kita mencari turunan parsial terhadap X satu suku di sisi kiri ekspresi

dan turunan parsial terhadap kamu istilah lain
. Turunan ini sama, artinya persamaannya adalah persamaan dalam diferensial total .

Langkah 2. Mari kita tuliskan sistem persamaan diferensial parsial yang membentuk fungsi tersebut F:

Langkah 3. Mari kita integrasikan persamaan kedua dari sistem - oleh kamu (X tetap konstan dan dikeluarkan dari tanda integral). Jadi kami mengembalikan fungsinya F:

dimana adalah fungsi yang belum diketahui X.

Langkah 4. Kami membedakan hasil langkah 3 (integral umum yang ditemukan) terhadap X

dan menyamakannya dengan persamaan pertama sistem:

Dari persamaan yang dihasilkan kita menentukan:
.

Langkah 5. Kami mengintegrasikan hasil langkah 4 dan menemukan:
.

Langkah 6. Kami mengganti hasil langkah 5 ke hasil langkah 3 - ke dalam fungsi yang dipulihkan dengan integrasi parsial F. Konstanta sewenang-wenang C tulis setelah tanda sama dengan. Jadi kita mendapatkan totalnya menyelesaikan persamaan diferensial dalam diferensial total :
.

Dalam contoh berikut, kita kembali dari opsi alternatif ke opsi utama.

Contoh 3. Selesaikan persamaan diferensial

Langkah 1. Mari kita pastikan persamaannya benar persamaan dalam diferensial total . Untuk melakukan ini, kita mencari turunan parsial terhadap kamu satu suku di sisi kiri ekspresi

dan turunan parsial terhadap X istilah lain
. Turunan ini sama, artinya persamaannya adalah persamaan dalam diferensial total .

Langkah 2. Mari kita tuliskan sistem persamaan diferensial parsial yang membentuk fungsi tersebut F:

Langkah 3. Mari kita integrasikan persamaan pertama sistem - Oleh X (kamu tetap konstan dan dikeluarkan dari tanda integral). Jadi kami mengembalikan fungsinya F:

dimana adalah fungsi yang belum diketahui kamu.

Langkah 4. Kami membedakan hasil langkah 3 (integral umum yang ditemukan) terhadap kamu

dan samakan dengan persamaan kedua sistem:

Dari persamaan yang dihasilkan kita menentukan:
.

Langkah 5. Kami mengintegrasikan hasil langkah 4 dan menemukan:

Langkah 6. Kami mengganti hasil langkah 5 ke hasil langkah 3 - ke dalam fungsi yang dipulihkan dengan integrasi parsial F. Konstanta sewenang-wenang C tulis setelah tanda sama dengan. Jadi kita mendapatkan totalnya menyelesaikan persamaan diferensial dalam diferensial total :
.

Contoh 4. Selesaikan persamaan diferensial

Langkah 1. Mari kita pastikan persamaannya benar persamaan dalam diferensial total . Untuk melakukan ini, kita mencari turunan parsial terhadap kamu satu suku di sisi kiri ekspresi

dan turunan parsial terhadap X istilah lain
. Turunan-turunan ini adalah sama, artinya persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial total.

Langkah 2. Mari kita tuliskan sistem persamaan diferensial parsial yang membentuk fungsi tersebut F:

Langkah 3. Mari kita integrasikan persamaan pertama sistem - Oleh X (kamu tetap konstan dan dikeluarkan dari tanda integral). Jadi kami mengembalikan fungsinya F:

dimana adalah fungsi yang belum diketahui kamu.

Langkah 4. Kami membedakan hasil langkah 3 (integral umum yang ditemukan) terhadap kamu

dan samakan dengan persamaan kedua sistem:

Dari persamaan yang dihasilkan kita menentukan:
.

Langkah 5. Kami mengintegrasikan hasil langkah 4 dan menemukan:

Langkah 6. Kami mengganti hasil langkah 5 ke hasil langkah 3 - ke dalam fungsi yang dipulihkan dengan integrasi parsial F. Konstanta sewenang-wenang C tulis setelah tanda sama dengan. Jadi kita mendapatkan totalnya menyelesaikan persamaan diferensial dalam diferensial total :
.

Contoh 5. Selesaikan persamaan diferensial

.

Langkah 1. Mari kita pastikan persamaannya benar persamaan dalam diferensial total . Untuk melakukan ini, kita mencari turunan parsial terhadap kamu satu suku di sisi kiri ekspresi

dan turunan parsial terhadap X istilah lain
. Turunan ini sama, artinya persamaannya adalah persamaan dalam diferensial total .

Pernyataan masalah dalam kasus dua dimensi

Merekonstruksi fungsi beberapa variabel dari diferensial totalnya

9.1. Pernyataan masalah dalam kasus dua dimensi. 72

9.2. Deskripsi solusi. 72

Ini adalah salah satu penerapan integral lengkung jenis kedua.

Ekspresi diferensial total suatu fungsi dua variabel diberikan:

Temukan fungsi.

1. Karena tidak setiap ekspresi bentuk merupakan diferensial penuh dari suatu fungsi kamu(X,kamu), maka perlu dilakukan pengecekan kebenaran rumusan masalah, yaitu memeriksa kondisi perlu dan cukup untuk diferensial total, yang untuk fungsi 2 variabel berbentuk . Kondisi ini mengikuti persamaan pernyataan (2) dan (3) pada teorema bagian sebelumnya. Jika kondisi yang ditentukan terpenuhi, maka masalah tersebut mempunyai solusi, yaitu suatu fungsi kamu(X,kamu) dapat dipulihkan; jika syarat tidak terpenuhi maka masalah tidak ada penyelesaiannya, yaitu fungsinya tidak dapat dikembalikan.

2. Anda dapat mencari suatu fungsi dari diferensial totalnya, misalnya dengan menggunakan integral lengkung jenis kedua, menghitungnya dari sepanjang garis yang menghubungkan suatu titik tetap ( X 0 ,kamu 0) dan titik variabel ( x;y) (Beras. 18):

Dengan demikian, diperoleh integral lengkung jenis kedua dari diferensial total dU(X,kamu) sama dengan selisih antara nilai fungsi kamu(X,kamu) di titik akhir dan titik awal garis integrasi.

Mengetahui hasil ini sekarang, kita perlu menggantinya dU ke dalam ekspresi integral lengkung dan hitung integral sepanjang garis putus-putus ( ACB), mengingat independensinya dari bentuk garis integrasi:

pada ( AC): pada ( TIDAK) :

(1)

Dengan demikian, rumus telah diperoleh dengan bantuan fungsi 2 variabel dipulihkan dari diferensial totalnya.

3. Suatu fungsi dapat direduksi dari diferensial totalnya hanya sampai suatu suku konstan, karena D(kamu+ konstanta) = dU. Oleh karena itu, sebagai hasil penyelesaian masalah, kita memperoleh himpunan fungsi yang berbeda satu sama lain sebesar suku konstan.

Contoh (merekonstruksi fungsi dua variabel dari diferensial totalnya)

1. Temukan kamu(X,kamu), Jika dU = (X 2 – kamu 2)dx – 2xydy.

Kami memeriksa kondisi diferensial total suatu fungsi dua variabel:

Kondisi diferensial lengkap terpenuhi, yang berarti fungsinya kamu(X,kamu) dapat dipulihkan.

Periksa: – benar.

Menjawab: kamu(X,kamu) = X 3 /3 – xy 2 + C.

2. Temukan fungsi sedemikian rupa sehingga

Kami memeriksa kondisi perlu dan cukup untuk diferensial lengkap suatu fungsi tiga variabel: , , , jika ekspresi diberikan.

Dalam masalah yang sedang dipecahkan

semua kondisi untuk diferensial penuh terpenuhi, sehingga fungsinya dapat dipulihkan (masalah dirumuskan dengan benar).

Kita akan mengembalikan fungsi tersebut menggunakan integral lengkung jenis kedua, menghitungnya sepanjang garis tertentu yang menghubungkan titik tetap dan titik variabel, karena

(persamaan ini diturunkan dengan cara yang sama seperti dalam kasus dua dimensi).

Sebaliknya integral lengkung jenis kedua tidak bergantung pada diferensial total pada bentuk garis integrasi, sehingga paling mudah untuk menghitungnya sepanjang garis putus-putus yang terdiri dari ruas-ruas yang sejajar dengan sumbu koordinat. Dalam hal ini, sebagai titik tetap, Anda cukup mengambil suatu titik dengan koordinat numerik tertentu, hanya memantau bahwa pada titik ini dan di sepanjang garis integrasi kondisi keberadaan integral lengkung terpenuhi (yaitu, sehingga fungsinya, dan kontinu). Dengan memperhatikan pernyataan tersebut, dalam soal ini kita dapat mengambil, misalnya, titik M 0 sebagai titik tetap. Kemudian pada setiap link garis putus-putus tersebut akan kita dapatkan

10.2. Perhitungan integral permukaan jenis pertama. 79

10.3. Beberapa penerapan integral permukaan jenis pertama. 81

Menunjukkan cara mengenali persamaan diferensial dalam diferensial total. Metode untuk menyelesaikannya diberikan. Contoh penyelesaian persamaan diferensial total dengan dua cara diberikan.

Isi

Perkenalan

Persamaan diferensial orde satu pada diferensial total adalah persamaan yang berbentuk:
(1) ,
dimana ruas kiri persamaan adalah diferensial total suatu fungsi U (x, kamu) dari variabel x, y:
.
Di mana .

Jika fungsi U ditemukan (x, kamu), maka persamaannya berbentuk:
dU (x, kamu) = 0.
Integral umumnya adalah:
kamu (x, y) = C,
dimana C adalah sebuah konstanta.

Jika persamaan diferensial orde pertama dituliskan dalam bentuk turunannya:
,
maka mudah untuk membentuknya (1) . Untuk melakukannya, kalikan persamaan tersebut dengan dx. Kemudian . Hasilnya, kita memperoleh persamaan yang dinyatakan dalam perbedaan:
(1) .

Sifat persamaan diferensial dalam diferensial total

Agar persamaannya (1) adalah persamaan diferensial total, maka perlu dan cukup agar relasi tersebut dapat dipertahankan:
(2) .

Bukti

Kami selanjutnya berasumsi bahwa semua fungsi yang digunakan dalam pembuktian terdefinisi dan memiliki turunan yang sesuai dalam rentang nilai variabel x dan y tertentu. Poin x 0 , kamu 0 juga milik daerah ini.

Mari kita buktikan perlunya kondisi (2).
Biarkan ruas kiri persamaan (1) adalah diferensial dari beberapa fungsi U (x, kamu):
.
Kemudian
;
.
Karena turunan kedua tidak bergantung pada orde diferensiasi, maka
;
.
Oleh karena itu. Kondisi kebutuhan (2) terbukti.

Mari kita buktikan kecukupan kondisi (2).
Biarkan kondisinya terpenuhi (2) :
(2) .
Mari kita tunjukkan bahwa fungsi U seperti itu dapat ditemukan (x, kamu) bahwa perbedaannya adalah:
.
Artinya ada fungsi U (x, kamu), yang memenuhi persamaan:
(3) ;
(4) .
Mari kita temukan fungsi seperti itu. Mari kita integrasikan persamaannya (3) oleh x dari x 0 ke x, dengan asumsi y adalah konstanta:
;
;
(5) .
Kami membedakan terhadap y, dengan asumsi bahwa x adalah konstanta dan menerapkannya (2) :

.
Persamaannya (4) akan dieksekusi jika
.
Integrasikan y dari y 0 kepada kamu:
;
;
.
Gantikan (5) :
(6) .
Jadi, kami telah menemukan fungsi yang diferensialnya
.
Kecukupannya telah terbukti.

Dalam rumusnya (6) ,kamu (x 0 , kamu 0) adalah konstanta - nilai fungsi U (x, kamu) di titik x 0 , kamu 0. Itu dapat diberi nilai apa pun.

Cara mengenali persamaan diferensial dalam diferensial total

Perhatikan persamaan diferensial:
(1) .
Untuk menentukan apakah persamaan ini termasuk dalam diferensial total, Anda perlu memeriksa kondisinya (2) :
(2) .
Jika berlaku, maka persamaan ini termasuk dalam diferensial total. Jika tidak, maka persamaan tersebut bukan persamaan diferensial total.

Contoh

Periksa apakah persamaannya termasuk dalam diferensial total:
.

Di Sini
, .
Kami membedakannya terhadap y, dengan mempertimbangkan konstanta x:


.
Mari kita bedakan


.
Karena:
,
maka persamaan yang diberikan adalah diferensial total.

Metode penyelesaian persamaan diferensial pada diferensial total

Metode ekstraksi diferensial berurutan

Metode paling sederhana untuk menyelesaikan persamaan diferensial total adalah metode isolasi diferensial secara berurutan. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus diferensiasi yang ditulis dalam bentuk diferensial:
du±dv = d (kamu ± v);
v du + kamu dv = d (uv);
;
.
Dalam rumus ini, u dan v adalah ekspresi arbitrer yang terdiri dari kombinasi variabel apa pun.

Contoh 1

Selesaikan persamaan:
.

Sebelumnya kita menemukan bahwa persamaan ini adalah diferensial total. Mari kita ubah:
(P1) .
Kami menyelesaikan persamaan dengan mengisolasi diferensial secara berurutan.
;
;
;
;

.
Gantikan (P1):
;
.

Metode integrasi berturut-turut

Dalam metode ini kita mencari fungsi U (x, kamu), memenuhi persamaan:
(3) ;
(4) .

Mari kita integrasikan persamaannya (3) di x, dengan mempertimbangkan konstanta y:
.
Di sini φ (kamu)- fungsi arbitrer dari y yang perlu ditentukan. Ini adalah konstanta integrasi. Substitusikan ke dalam persamaan (4) :
.
Dari sini:
.
Mengintegrasikan, kita menemukan φ (kamu) dan, dengan demikian, U (x, kamu).

Contoh 2

Selesaikan persamaan dalam diferensial total:
.

Sebelumnya kita menemukan bahwa persamaan ini adalah diferensial total. Mari kita perkenalkan notasi berikut:
, .
Mencari Fungsi U (x, kamu), yang diferensialnya adalah ruas kiri persamaan:
.
Kemudian:
(3) ;
(4) .
Mari kita integrasikan persamaannya (3) di x, dengan mempertimbangkan konstanta y:
(P2)
.
Bedakan terhadap y:

.
Mari kita gantikan (4) :
;
.
Mari berintegrasi:
.
Mari kita gantikan (P2):

.
Integral umum persamaan:
kamu (x, y) = konstanta.
Kami menggabungkan dua konstanta menjadi satu.

Metode integrasi sepanjang kurva

Fungsi U ditentukan oleh relasi:
dU = hal (x, y) dx + q(x, y) dy,
dapat ditemukan dengan mengintegrasikan persamaan ini sepanjang kurva yang menghubungkan titik-titik (x 0 , kamu 0) Dan (x, kamu):
(7) .
Karena
(8) ,
maka integralnya hanya bergantung pada koordinat awal (x 0 , kamu 0) dan terakhir (x, kamu) titik dan tidak bergantung pada bentuk kurva. Dari (7) Dan (8) kami menemukan:
(9) .
Di sini x 0 dan kamu 0 - permanen. Oleh karena itu kamu (x 0 , kamu 0)- juga konstan.

Contoh definisi U diperoleh dalam pembuktian:
(6) .
Di sini integrasi dilakukan terlebih dahulu sepanjang segmen yang sejajar sumbu y dari titik tersebut (x 0 , kamu 0 ) ke titik (x 0 , kamu). Kemudian dilakukan integrasi sepanjang ruas yang sejajar sumbu x dari titik tersebut (x 0 , kamu) ke titik (x, kamu) .

Secara umum, Anda perlu merepresentasikan persamaan kurva yang menghubungkan titik-titik (x 0 , kamu 0 ) Dan (x, kamu) dalam bentuk parametrik:
X 1 = s(t 1); kamu 1 = r(t 1);
X 0 = s(t 0); kamu 0 = r(t 0);
x = s (T); kamu = r (T);
dan mengintegrasikan lebih dari t 1 dari T 0 ke t.

Cara termudah untuk melakukan integrasi adalah melalui titik-titik penghubung segmen (x 0 , kamu 0 ) Dan (x, kamu). Pada kasus ini:
X 1 = x 0 + (x - x 0)t 1; kamu 1 = kamu 0 + (kamu - kamu 0) t 1;
T 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; mati 1 = (kamu - kamu 0) dt 1.
Setelah substitusi, kita memperoleh integral atas t dari 0 sebelum 1 .
Namun metode ini menghasilkan perhitungan yang agak rumit.

Referensi:
V.V. Stepanov, Mata kuliah persamaan diferensial, "LKI", 2015.

Bisa saja terjadi ruas kiri persamaan diferensial

adalah diferensial total suatu fungsi:

dan oleh karena itu, persamaan (7) berbentuk .

Jika fungsi tersebut merupakan solusi persamaan (7), maka , dan, oleh karena itu,

di mana adalah sebuah konstanta, dan sebaliknya, jika suatu fungsi mengubah persamaan berhingga (8) menjadi suatu identitas, maka dengan mendiferensiasikan identitas yang dihasilkan, kita peroleh , dan oleh karena itu, , di mana adalah konstanta sembarang, adalah integral umum dari persamaan aslinya persamaan.

Jika nilai awal diberikan, maka konstanta ditentukan dari (8) dan

adalah integral parsial yang diinginkan. Jika pada titik , maka persamaan (9) didefinisikan sebagai fungsi implisit dari .

Agar ruas kiri persamaan (7) menjadi diferensial lengkap suatu fungsi, maka perlu dan cukup bahwa

Jika kondisi yang ditentukan oleh Euler terpenuhi, maka persamaan (7) dapat dengan mudah diintegrasikan. Benar-benar, . Di sisi lain, . Karena itu,

Saat menghitung integral, besaran dianggap sebagai konstanta, oleh karena itu merupakan fungsi sembarang dari . Untuk menentukan suatu fungsi, kita diferensiasikan fungsi yang ditemukan terhadap dan, karena , kita peroleh

Dari persamaan ini kita menentukan dan, dengan mengintegrasikan, mencari .

Seperti diketahui dari analisis matematis, menentukan suatu fungsi dengan diferensial totalnya bahkan lebih mudah lagi, dengan mengambil integral lengkung antara suatu titik tetap tertentu dan suatu titik dengan koordinat variabel di sepanjang jalur mana pun:

Paling sering, sebagai jalur integrasi, akan lebih mudah untuk mengambil garis putus-putus yang terdiri dari dua tautan yang sejajar dengan sumbu koordinat; pada kasus ini

Contoh. .

Ruas kiri persamaan adalah diferensial total suatu fungsi, karena

Oleh karena itu, integral umum mempunyai bentuk

Metode lain untuk mendefinisikan suatu fungsi dapat digunakan:

Kita memilih, misalnya, asal koordinat sebagai titik awal, dan garis putus-putus sebagai jalur integrasi. Kemudian

dan integral umum mempunyai bentuk

Yang bertepatan dengan hasil sebelumnya, sehingga menghasilkan penyebut yang sama.

Dalam beberapa kasus, jika ruas kiri persamaan (7) bukan merupakan diferensial sempurna, mudah untuk memilih suatu fungsi, setelah dikalikan dengan ruas kiri persamaan (7) yang berubah menjadi diferensial total. Fungsi ini disebut faktor pengintegrasian. Perhatikan bahwa perkalian dengan faktor pengintegrasi dapat menyebabkan munculnya solusi parsial yang tidak diperlukan yang mengubah faktor ini menjadi nol.

Contoh. .

Jelasnya, setelah dikalikan dengan faktor, ruas kiri berubah menjadi diferensial total. Memang setelah dikalikan dengan kita dapatkan

atau, mengintegrasikan, . Mengalikannya dengan 2 dan mempotensiasi, kita mendapatkan.

Tentu saja, faktor pengintegrasi tidak selalu dipilih dengan mudah. Dalam kasus umum, untuk mencari faktor pengintegrasian, kita perlu memilih setidaknya satu solusi parsial persamaan dalam turunan parsial, atau dalam bentuk diperluas, yang tidak identik dengan nol.

yang, setelah membagi dan memindahkan beberapa suku ke bagian lain persamaan, direduksi menjadi bentuk

Dalam kasus umum, mengintegrasikan persamaan diferensial parsial ini bukanlah tugas yang lebih sederhana daripada mengintegrasikan persamaan awal, namun dalam beberapa kasus, memilih solusi tertentu untuk persamaan (11) tidaklah sulit.

Selain itu, mengingat faktor pengintegrasinya adalah fungsi dari satu argumen saja (misalnya, merupakan fungsi dari satu-satunya atau satu-satunya , atau fungsi dari satu-satunya , atau satu-satunya , dll.), kita dapat dengan mudah mengintegrasikan persamaan (11) dan menunjukkan kondisi di mana faktor pengintegrasi dari jenis yang dipertimbangkan ada. Ini mengidentifikasi kelas-kelas persamaan yang faktor pengintegrasinya dapat ditemukan dengan mudah.

Sebagai contoh, mari kita cari kondisi di mana persamaan tersebut mempunyai faktor pengintegrasi yang hanya bergantung pada , yaitu. . Dalam hal ini, persamaan (11) disederhanakan dan mengambil bentuk , yang darinya, jika dianggap sebagai fungsi kontinu dari , kita peroleh

Jika merupakan fungsi saja dari , maka faktor pengintegrasi yang hanya bergantung pada , ada dan sama dengan (12), jika tidak maka faktor pengintegrasi berbentuk tidak ada.

Syarat adanya faktor pengintegrasian yang hanya bergantung pada terpenuhi, misalnya untuk persamaan linier atau . Memang benar, dan karena itu. Kondisi keberadaan faktor pengintegrasi bentuk, dll., dapat ditemukan dengan cara yang sangat mirip.

Contoh. Apakah persamaan tersebut mempunyai faktor pengintegrasian yang berbentuk?

Mari kita nyatakan . Persamaan (11) di mengambil bentuk , dari mana atau

Agar suatu faktor pengintegrasi suatu tipe tertentu dapat ada, maka faktor tersebut perlu dan, dengan asumsi kontinuitas, cukup agar faktor tersebut menjadi suatu fungsi saja. Oleh karena itu, dalam hal ini, faktor pengintegrasinya ada dan sama dengan (13). Ketika kita menerima. Mengalikan persamaan awal dengan , kita mereduksinya menjadi bentuk

Mengintegrasikan, kita memperoleh , dan setelah potensiasi kita akan memiliki , atau dalam koordinat kutub - keluarga spiral logaritmik.

Contoh. Temukan bentuk cermin yang memantulkan semua sinar yang datang dari suatu titik tertentu sejajar dengan arah tertentu.

Mari kita letakkan titik asal koordinat pada suatu titik tertentu dan mengarahkan sumbu absis sejajar dengan arah yang ditentukan dalam kondisi soal. Biarkan sinar jatuh pada cermin pada titik . Mari kita perhatikan bagian cermin oleh sebuah bidang yang melalui sumbu absis dan titik . Mari kita menggambar garis singgung pada bagian permukaan cermin yang ditinjau di titik . Karena sudut datang sinar sama dengan sudut pantul, maka segitiga tersebut adalah segitiga sama kaki. Karena itu,

Persamaan homogen yang dihasilkan mudah diintegrasikan dengan mengubah variabel, tetapi lebih mudah lagi, terbebas dari irasionalitas penyebutnya, untuk menulis ulang dalam bentuk . Persamaan ini mempunyai faktor integrasi yang jelas , , , (keluarga parabola).

Masalah ini dapat diselesaikan dengan lebih sederhana dalam koordinat dan , di mana , dan persamaan penampang permukaan yang diperlukan berbentuk .

Keberadaan faktor pengintegrasian, atau, yang sama, keberadaan solusi bukan nol terhadap persamaan diferensial parsial (11) dapat dibuktikan dalam beberapa domain jika fungsi dan memiliki turunan kontinu dan setidaknya salah satu dari ini fungsi tidak hilang. Oleh karena itu, metode pengintegrasian faktor dapat dianggap sebagai metode umum untuk mengintegrasikan persamaan bentuk , namun karena sulitnya menemukan faktor pengintegrasi, metode ini paling sering digunakan dalam kasus di mana faktor pengintegrasiannya jelas.