Salah satu topik yang paling sulit bagi siswa adalah memecahkan persamaan yang mengandung variabel di bawah tanda modulus. Mari kita lihat untuk memulai dengan apa itu terhubung? Mengapa, misalnya, persamaan kuadrat kebanyakan anak-anak mengklik seperti kacang, tetapi dengan konsep yang jauh dari kompleks seperti modul memiliki begitu banyak masalah?

Menurut pendapat saya, semua kesulitan ini terkait dengan kurangnya aturan yang dirumuskan dengan jelas untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus. Jadi, ketika memecahkan persamaan kuadrat, siswa mengetahui dengan pasti bahwa ia harus terlebih dahulu menerapkan rumus diskriminan, dan kemudian rumus akar-akar persamaan kuadrat. Tetapi bagaimana jika modul ditemukan dalam persamaan? Kami akan mencoba menggambarkan dengan jelas rencana tindakan yang diperlukan dalam kasus ketika persamaan berisi yang tidak diketahui di bawah tanda modulus. Kami memberikan beberapa contoh untuk setiap kasus.

Tapi pertama-tama, mari kita ingat definisi modul. Jadi, modulus bilangan sebuah bilangan itu sendiri disebut jika sebuah non-negatif dan -sebuah jika nomor sebuah kurang dari nol. Anda dapat menulisnya seperti ini:

|a| = a jika a 0 dan |a| = -a jika a< 0

Berbicara tentang arti geometris modul, harus diingat bahwa setiap bilangan real bersesuaian dengan titik tertentu pada sumbu bilangan - untuk koordinat. Jadi, modul atau nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak dari titik ini ke titik asal sumbu numerik. Jarak selalu diberikan sebagai bilangan positif. Jadi, modulus bilangan negatif apapun adalah bilangan positif. Omong-omong, bahkan pada tahap ini, banyak siswa mulai bingung. Angka berapa pun bisa ada di modul, tetapi hasil penerapan modul selalu berupa angka positif.

Sekarang mari kita lanjutkan ke penyelesaian persamaan.

1. Pertimbangkan persamaan bentuk |x| = c, dimana c adalah bilangan real. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan definisi modulus.

Kami membagi semua bilangan real menjadi tiga kelompok: yang lebih besar dari nol, yang kurang dari nol, dan kelompok ketiga adalah angka 0. Kami menulis solusinya dalam bentuk diagram:

(±c jika c > 0

Jika |x| = c, maka x = (0 jika c = 0

(tidak ada akar jika dengan< 0

1) |x| = 5, karena 5 > 0, maka x = ±5;

2) |x| = -5, karena -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, maka x = 0.

2. Persamaan bentuk |f(x)| = b, di mana b > 0. Untuk menyelesaikan persamaan ini, modulus harus dihilangkan. Kami melakukannya seperti ini: f(x) = b atau f(x) = -b. Sekarang perlu untuk menyelesaikan secara terpisah setiap persamaan yang diperoleh. Jika dalam persamaan awal b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, karena 4 > 0, maka

x + 2 = 4 atau x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, karena 11 > 0, maka

x 2 - 5 = 11 atau x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 tanpa akar

3) |x 2 – 5x| = -8 , karena -delapan< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Persamaan bentuk |f(x)| = g(x). Menurut arti modul, persamaan seperti itu akan memiliki solusi jika sisi kanannya lebih besar dari atau sama dengan nol, mis. g(x) 0. Maka kita memiliki:

f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Persamaan ini akan memiliki akar jika 5x - 10 0. Di sinilah penyelesaian persamaan tersebut dimulai.

1. O.D.Z. 5x – 10 0

2. Solusi:

2x - 1 = 5x - 10 atau 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Gabungkan O.D.Z. dan solusinya, kita dapatkan:

Akar x \u003d 11/7 tidak sesuai dengan O.D.Z., kurang dari 2, dan x \u003d 3 memenuhi kondisi ini.

Jawabannya: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 0. Selesaikan pertidaksamaan ini menggunakan metode interval:

(1 – x)(1 + x) 0

2. Solusi:

x - 1 \u003d 1 - x 2 atau x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 atau x = 1 x = 0 atau x = 1

3. Gabungkan solusi dan O.D.Z.:

Hanya akar x = 1 dan x = 0 yang cocok.

Jawaban: x = 0, x = 1.

4. Persamaan bentuk |f(x)| = |g(x)|. Persamaan tersebut ekuivalen dengan dua persamaan berikut f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Persamaan ini setara dengan dua berikut:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 atau x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 atau x = 4 x = 2 atau x = 1

Jawaban: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Persamaan diselesaikan dengan metode substitusi (perubahan variabel). Metode solusi ini paling mudah dijelaskan dengan contoh spesifik. Jadi, biarkan persamaan kuadrat dengan modulus diberikan:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Berdasarkan sifat modul x 2 = |x| 2 , sehingga persamaan dapat ditulis ulang sebagai berikut:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Mari kita buat perubahan |x| = t 0, maka kita akan memiliki:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Memecahkan persamaan ini, kita mendapatkan t \u003d 1 atau t \u003d 5. Mari kembali ke penggantian:

|x| = 1 atau |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Jawaban: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Mari kita lihat contoh lain:

x 2 + |x| – 2 = 0. Berdasarkan sifat modul x 2 = |x| 2 , jadi

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Mari kita buat perubahan |x| = t 0, maka:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Memecahkan persamaan ini, kita mendapatkan, t \u003d -2 atau t \u003d 1. Mari kembali ke penggantian:

|x| = -2 atau |x| = 1

Tidak ada akar x = ± 1

Jawaban: x = -1, x = 1.

6. Jenis persamaan lainnya adalah persamaan dengan modulus "kompleks". Persamaan tersebut termasuk persamaan yang memiliki "modul dalam modul". Persamaan jenis ini dapat diselesaikan dengan menggunakan properti modul.

1) |3 – |x|| = 4. Kami akan bertindak dengan cara yang sama seperti dalam persamaan tipe kedua. Karena 4 > 0, maka kita mendapatkan dua persamaan:

3 – |x| = 4 atau 3 – |x| = -4.

Sekarang mari kita nyatakan modul x pada setiap persamaan, lalu |x| = -1 atau |x| = 7.

Kami memecahkan setiap persamaan yang dihasilkan. Tidak ada akar dalam persamaan pertama, karena -satu< 0, а во втором x = ±7.

Jawaban x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Kami memecahkan persamaan ini dengan cara yang sama:

3 + |x + 1| = 5 atau 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 atau x + 1 = -2. Tidak ada akar.

Jawaban: x = -3, x = 1.

Ada juga metode universal untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus. Ini adalah metode jarak. Tapi kami akan mempertimbangkannya lebih lanjut.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Modul adalah salah satu hal yang sepertinya pernah didengar semua orang, tetapi kenyataannya tidak ada yang benar-benar mengerti. Oleh karena itu, hari ini akan ada pelajaran besar yang dikhususkan untuk menyelesaikan persamaan dengan modul.

Saya akan segera memberi tahu Anda: pelajarannya akan sederhana. Secara umum, modul umumnya merupakan topik yang relatif sederhana. “Ya, tentu saja, itu mudah! Itu membuat otakku meledak!" - banyak siswa akan mengatakan, tetapi semua kerusakan otak ini disebabkan oleh kenyataan bahwa kebanyakan orang tidak memiliki pengetahuan di kepala mereka, tetapi semacam omong kosong. Dan tujuan dari pelajaran ini adalah untuk mengubah omong kosong menjadi pengetahuan. :)

Sedikit teori

Jadi ayo pergi. Mari kita mulai dengan yang paling penting: apa itu modul? Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa modulus suatu bilangan hanyalah bilangan yang sama, tetapi diambil tanpa tanda minus. Yaitu, misalnya, $\left| -5 \kanan|=5$. Atau $\kiri| -129.5\kanan|=129,5$.

Apakah sesederhana itu? Ya, sederhana. Lalu apa modulus bilangan positif? Ini bahkan lebih sederhana: modulus bilangan positif sama dengan bilangan itu sendiri: $\left| 5\kanan|=5$; $\kiri| 129,5 \kanan|=129,5$ dll.

Ternyata hal yang aneh: nomor yang berbeda dapat memiliki modul yang sama. Misalnya: $\left| -5 \kanan|=\kiri| 5\kanan|=5$; $\kiri| -129.5 \kanan|=\kiri| 129,5 \kanan|=129,5$. Sangat mudah untuk melihat jenis angka apa ini, di mana modulnya sama: angka-angka ini berlawanan. Jadi, kami mencatat sendiri bahwa modul angka yang berlawanan adalah sama:

\\[\kiri| -a \kanan|=\kiri| a\kanan|\]

Fakta penting lainnya: modulus tidak pernah negatif. Berapa pun angka yang kita ambil - bahkan positif, bahkan negatif - modulusnya selalu menjadi positif (atau dalam kasus ekstrem, nol). Itulah sebabnya modulus sering disebut nilai mutlak suatu bilangan.

Selain itu, jika kita menggabungkan definisi modulus untuk bilangan positif dan negatif, maka kita mendapatkan definisi global modulus untuk semua bilangan. Yaitu: modulus suatu bilangan sama dengan bilangan itu sendiri, jika bilangan tersebut positif (atau nol), atau sama dengan bilangan lawannya, jika bilangan tersebut negatif. Anda dapat menulis ini sebagai rumus:

Ada juga modul nol, tetapi selalu sama dengan nol. Juga, nol adalah satu-satunya angka yang tidak memiliki lawan.

Jadi, jika kita perhatikan fungsi $y=\left| x \right|$ dan coba gambarkan grafiknya, Anda akan mendapatkan "daw" seperti itu:

Contoh solusi grafik modulus dan persamaan

Dari gambar ini Anda dapat langsung melihat bahwa $\left| -m \kanan|=\kiri| m \right|$, dan plot modul tidak pernah jatuh di bawah sumbu x. Tapi bukan itu saja: garis merah menandai garis lurus $y=a$, yang, dengan positif $a$, memberi kita dua akar sekaligus: $((x)_(1))$ dan $((x) _(2)) $, tetapi kita akan membicarakannya nanti. :)

Selain definisi aljabar murni, ada definisi geometris. Katakanlah ada dua titik pada garis bilangan: $((x)_(1))$ dan $((x)_(2))$. Dalam hal ini, ekspresi $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ hanyalah jarak antara titik-titik yang ditentukan. Atau, jika Anda suka, panjang segmen yang menghubungkan titik-titik ini:

Modulus adalah jarak antara titik-titik pada garis bilangan

Hal ini juga mengikuti dari definisi ini bahwa modulus selalu non-negatif. Tapi cukup definisi dan teori - mari kita beralih ke persamaan nyata. :)

Rumus Dasar

Oke, kita sudah menemukan definisinya. Tapi itu tidak menjadi lebih mudah. Bagaimana memecahkan persamaan yang mengandung modul ini?

Tenang, tenang saja. Mari kita mulai dengan hal-hal yang paling sederhana. Pertimbangkan sesuatu seperti ini:

\\[\kiri| x\kanan|=3\]

Jadi modulo$x$ adalah 3. Apa yang bisa sama dengan $x$? Nah, dilihat dari definisinya, $x=3$ akan cocok untuk kita. Betulkah:

\\[\kiri| 3\kanan|=3\]

Apakah ada nomor lain? Cap tampaknya mengisyaratkan bahwa ada. Misalnya, $x=-3$ — $\left| -3 \kanan|=3$, mis. persamaan yang disyaratkan terpenuhi.

Jadi mungkin jika kita mencari, berpikir, kita akan menemukan lebih banyak angka? Tapi putus: tidak ada lagi angka. Persamaan $\kiri| x \right|=3$ hanya memiliki dua akar: $x=3$ dan $x=-3$.

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas. Biarkan, alih-alih variabel $x$, fungsi $f\left(x \right)$ menggantung di bawah tanda modulus, dan di sebelah kanan, alih-alih triple, kami menempatkan angka arbitrer $a$. Kami mendapatkan persamaan:

\\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=a\]

Nah, bagaimana Anda memutuskan? Biarkan saya mengingatkan Anda: $f\left(x \right)$ adalah fungsi arbitrer, $a$ adalah angka apa pun. Itu. apapun! Sebagai contoh:

\\[\kiri| 2x+1 \kanan|=5\]

\\[\kiri| 10x-5 \kanan|=-65\]

Mari kita lihat persamaan kedua. Anda dapat segera mengatakan tentang dia: dia tidak memiliki akar. Mengapa? Itu benar: karena modulus harus sama dengan bilangan negatif, yang tidak pernah terjadi, karena kita sudah tahu bahwa modulus selalu bilangan positif atau, dalam kasus ekstrim, nol.

Tetapi dengan persamaan pertama, semuanya lebih menyenangkan. Ada dua opsi: apakah ada ekspresi positif di bawah tanda modul, dan kemudian $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, atau ekspresi ini masih negatif, dalam hal ini $\left| 2x+1 \kanan|=-\kiri(2x+1 \kanan)=-2x-1$. Dalam kasus pertama, persamaan kita akan ditulis ulang sebagai:

\\[\kiri| 2x+1 \kanan|=5\Panah kanan 2x+1=5\]

Dan tiba-tiba ternyata ekspresi submodule $2x+1$ memang positif - sama dengan angka 5. Artinya, kita dapat dengan aman menyelesaikan persamaan ini - akar yang dihasilkan akan menjadi bagian dari jawaban:

Mereka yang sangat tidak percaya dapat mencoba mengganti akar yang ditemukan ke dalam persamaan asli dan memastikan bahwa benar-benar akan ada bilangan positif di bawah modulus.

Sekarang mari kita lihat kasus ekspresi submodule negatif:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Panah kanan 2x+1=-5\]

Ups! Sekali lagi, semuanya jelas: kami berasumsi bahwa $2x+1 \lt 0$, dan sebagai hasilnya kami mendapatkan $2x+1=-5$ - memang, ekspresi ini kurang dari nol. Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan, sambil mengetahui dengan pasti bahwa akar yang ditemukan akan cocok untuk kami:

Secara total, kami kembali menerima dua jawaban: $x=2$ dan $x=3$. Ya, jumlah perhitungannya ternyata sedikit lebih banyak daripada persamaan yang sangat sederhana $\left| x \right|=3$, tetapi pada dasarnya tidak ada yang berubah. Jadi mungkin ada semacam algoritma universal?

Ya, ada algoritma seperti itu. Dan sekarang kita akan menganalisisnya.

Menyingkirkan tanda modul

Mari kita diberikan persamaan $\left| f\left(x \right) \right|=a$, dan $a\ge 0$ (jika tidak, seperti yang sudah kita ketahui, tidak ada akar). Kemudian Anda dapat menghilangkan tanda modulo sesuai dengan aturan berikut:

\\[\kiri| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Jadi, persamaan kita dengan modulus terbagi menjadi dua, tetapi tanpa modulus. Itulah seluruh teknologi! Mari kita coba memecahkan beberapa persamaan. Mari kita mulai dengan ini

\\[\kiri| 5x+4 \kanan|=10\Panah kanan 5x+4=\pm 10\]

Kami akan mempertimbangkan secara terpisah ketika ada sepuluh dengan plus di sebelah kanan, dan secara terpisah ketika ada minus. Kita punya:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Panah Kanan 5x=-14\Panah Kanan x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\akhir(sejajarkan)\]

Itu saja! Kami mendapatkan dua akar: $x=1.2$ dan $x=-2.8$. Seluruh solusi membutuhkan dua baris.

Oke, tidak ada pertanyaan, mari kita lihat sesuatu yang sedikit lebih serius:

\\[\kiri| 7-5x \kanan|=13\]

Sekali lagi, buka modul dengan plus dan minus:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Panah Kanan -5x=-20\Panah Kanan x=4. \\\akhir(sejajarkan)\]

Sekali lagi beberapa baris - dan jawabannya sudah siap! Seperti yang saya katakan, tidak ada yang rumit dalam modul. Anda hanya perlu mengingat beberapa aturan. Oleh karena itu, kami melangkah lebih jauh dan melanjutkan dengan tugas yang benar-benar lebih sulit.

Kasus sisi kanan variabel

Sekarang perhatikan persamaan ini:

\\[\kiri| 3x-2 \kanan|=2x\]

Persamaan ini pada dasarnya berbeda dari semua yang sebelumnya. Bagaimana? Dan fakta bahwa ekspresi $2x$ berada di sebelah kanan tanda sama dengan - dan kita tidak dapat mengetahui sebelumnya apakah itu positif atau negatif.

Bagaimana menjadi dalam kasus itu? Pertama, kita harus mengerti sekali dan untuk semua itu jika ruas kanan persamaan negatif, maka persamaan tersebut tidak memiliki akar- kita sudah tahu bahwa modulus tidak bisa sama dengan angka negatif.

Dan kedua, jika bagian kanan masih positif (atau sama dengan nol), maka Anda dapat melanjutkan dengan cara yang persis sama seperti sebelumnya: cukup buka modul secara terpisah dengan tanda plus dan secara terpisah dengan tanda minus.

Jadi, kami merumuskan aturan untuk fungsi arbitrer $f\left(x \right)$ dan $g\left(x \right)$ :

\\[\kiri| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Berkenaan dengan persamaan kami, kami mendapatkan:

\\[\kiri| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Yah, kami dapat menangani persyaratan $2x\ge 0$ entah bagaimana. Pada akhirnya, kita bisa dengan bodohnya mensubstitusikan akar-akar yang kita peroleh dari persamaan pertama dan memeriksa apakah pertidaksamaan itu berlaku atau tidak.

Jadi mari kita selesaikan persamaan itu sendiri:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Panah kanan 3x=0\Panah kanan x=0. \\\akhir(sejajarkan)\]

Nah, manakah dari dua akar ini yang memenuhi persyaratan $2x\ge 0$? Ya, keduanya! Oleh karena itu, jawabannya adalah dua angka: $x=(4)/(3)\;$ dan $x=0$. Itu solusinya. :)

Saya menduga salah satu siswa sudah mulai bosan? Nah, pertimbangkan persamaan yang lebih kompleks:

\\[\kiri| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \kanan|=x-((x)^(3))\]

Meskipun terlihat jahat, sebenarnya itu semua persamaan bentuk "modulus sama dengan fungsi":

\\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=g\kiri(x \kanan)\]

Dan itu diselesaikan dengan cara yang sama:

\\[\kiri| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \kanan|=x-((x)^(3))\Panah kanan \kiri\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \kiri(x-((x)^(3)) \kanan), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Kami akan menangani ketidaksetaraan nanti - entah bagaimana itu terlalu kejam (sebenarnya sederhana, tetapi kami tidak akan menyelesaikannya). Untuk saat ini, mari kita lihat persamaan yang dihasilkan. Pertimbangkan kasus pertama - ini adalah saat modul diperluas dengan tanda plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Nah, ini dia yang Anda butuhkan untuk mengumpulkan semua yang ada di sebelah kiri, bawa yang serupa dan lihat apa yang terjadi. Dan inilah yang terjadi:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\akhir(sejajarkan)\]

Menempatkan faktor persekutuan $((x)^(2))$ dari kurung, kita mendapatkan persamaan yang sangat sederhana:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Di sini kami menggunakan properti penting dari produk, yang untuknya kami memfaktorkan polinomial asli: produk sama dengan nol ketika setidaknya salah satu faktor sama dengan nol.

Sekarang, dengan cara yang sama, kita akan berurusan dengan persamaan kedua, yang diperoleh dengan memperluas modul dengan tanda minus:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\kiri(-3x+2 \kanan)=0. \\\akhir(sejajarkan)\]

Sekali lagi, hal yang sama: produk adalah nol ketika setidaknya salah satu faktornya nol. Kita punya:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Nah, kita mendapatkan tiga akar: $x=0$, $x=1.5$ dan $x=(2)/(3)\;$. Nah, apa yang akan menjadi jawaban akhir dari set ini? Untuk melakukan ini, ingatlah bahwa kita memiliki batasan ketidaksetaraan tambahan:

Bagaimana cara memperhitungkan persyaratan ini? Mari kita gantikan akar yang ditemukan dan periksa apakah ketidaksetaraan berlaku untuk $x$ ini atau tidak. Kita punya:

\[\begin(align)& x=0\Panah kanan x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Panah kanan x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Panah kanan x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\akhir(sejajarkan)\]

Jadi, akar $x=1.5$ tidak cocok untuk kita. Dan hanya dua akar yang akan merespons:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Seperti yang Anda lihat, bahkan dalam kasus ini tidak ada yang sulit - persamaan dengan modul selalu diselesaikan sesuai dengan algoritma. Anda hanya perlu memiliki pemahaman yang baik tentang polinomial dan pertidaksamaan. Oleh karena itu, kami beralih ke tugas yang lebih kompleks - tidak akan ada satu, tetapi dua modul.

Persamaan dengan dua modul

Sejauh ini, kami hanya mempelajari persamaan paling sederhana - ada satu modul dan yang lainnya. Kami mengirim "sesuatu yang lain" ini ke bagian lain dari ketidaksetaraan, jauh dari modul, sehingga pada akhirnya semuanya akan direduksi menjadi persamaan seperti $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ atau lebih sederhana $\left| f\kiri(x \kanan) \kanan|=a$.

Tetapi taman kanak-kanak sudah berakhir - saatnya untuk mempertimbangkan sesuatu yang lebih serius. Mari kita mulai dengan persamaan seperti ini:

\\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=\kiri| g\kiri(x \kanan) \kanan|\]

Ini adalah persamaan bentuk "modulus sama dengan modulus". Poin penting yang mendasar adalah tidak adanya istilah dan faktor lain: hanya satu modul di sebelah kiri, satu modul lagi di sebelah kanan - dan tidak lebih.

Orang sekarang akan berpikir bahwa persamaan seperti itu lebih sulit untuk dipecahkan daripada apa yang telah kita pelajari sejauh ini. Tapi tidak: persamaan ini diselesaikan dengan lebih mudah. Berikut rumusnya:

\\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=\kiri| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Semuanya! Kita cukup menyamakan ekspresi submodul dengan mengawali salah satunya dengan tanda plus atau minus. Dan kemudian kami memecahkan dua persamaan yang dihasilkan - dan akarnya sudah siap! Tidak ada batasan tambahan, tidak ada ketidaksetaraan, dll. Semuanya sangat sederhana.

Mari kita coba selesaikan masalah ini:

\\[\kiri| 2x+3 \kanan|=\kiri| 2x-7 \kanan|\]

Watson dasar! Membuka modul:

\\[\kiri| 2x+3 \kanan|=\kiri| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Mari kita pertimbangkan setiap kasus secara terpisah:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\kiri(2x-7 \kanan)\Panah kanan 2x+3=-2x+7. \\\akhir(sejajarkan)\]

Persamaan pertama tidak memiliki akar. Karena kapan $3=-7$? Untuk nilai $x$ berapa? “Apa itu $x$? Apakah Anda dirajam? Tidak ada $x$ sama sekali,” kata Anda. Dan Anda akan benar. Kami telah memperoleh persamaan yang tidak bergantung pada variabel $x$, dan pada saat yang sama persamaan itu sendiri salah. Itu sebabnya tidak ada akar.

Dengan persamaan kedua, semuanya sedikit lebih menarik, tetapi juga sangat, sangat sederhana:

Seperti yang Anda lihat, semuanya diputuskan secara harfiah dalam beberapa baris - kami tidak mengharapkan hal lain dari persamaan linier. :)

Akibatnya, jawaban akhirnya adalah: $x=1$.

Nah, bagaimana? Sulit? Tentu saja tidak. Mari kita coba yang lain:

\\[\kiri| x-1 \kanan|=\kiri| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|\]

Sekali lagi kita memiliki persamaan seperti $\left| f\kiri(x \kanan) \kanan|=\kiri| g\kiri(x \kanan) \kanan|$. Oleh karena itu, kami segera menulis ulang, mengungkapkan tanda modul:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Mungkin seseorang sekarang akan bertanya: “Hei, omong kosong macam apa? Mengapa plus-minus di sisi kanan dan bukan di sisi kiri? Tenang, saya akan menjelaskan semuanya. Memang, dengan cara yang baik, kita seharusnya menulis ulang persamaan kita sebagai berikut:

Maka Anda perlu membuka tanda kurung, pindahkan semua suku ke satu arah dari tanda sama dengan (karena persamaan, jelas, akan kuadrat dalam kedua kasus), dan kemudian temukan akarnya. Tapi Anda harus mengakui: ketika "plus-minus" di depan tiga istilah (terutama ketika salah satu istilah ini adalah ekspresi persegi), entah bagaimana terlihat lebih rumit daripada situasi ketika "plus-minus" hanya di depan dua ketentuan.

Tetapi tidak ada yang menghalangi kami untuk menulis ulang persamaan aslinya sebagai berikut:

\\[\kiri| x-1 \kanan|=\kiri| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|=\kiri| x-1 \kanan|\]

Apa yang terjadi? Ya, tidak ada yang istimewa: hanya menukar sisi kiri dan kanan. Hal sepele, yang pada akhirnya akan sedikit menyederhanakan hidup kita. :)

Secara umum, kami memecahkan persamaan ini, dengan mempertimbangkan opsi dengan plus dan minus:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\akhir(sejajarkan)\]

Persamaan pertama memiliki akar $x=3$ dan $x=1$. Yang kedua umumnya persegi yang tepat:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Oleh karena itu, ia memiliki akar tunggal: $x=1$. Tapi kami sudah menerima root ini sebelumnya. Dengan demikian, hanya dua angka yang akan masuk ke jawaban akhir:

\[(((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Misi selesai! Anda bisa mengambilnya dari rak dan memakan pai. Ada 2 dari mereka, rata-rata Anda. :)

Catatan penting. Kehadiran akar yang sama untuk versi yang berbeda dari perluasan modul berarti bahwa polinomial asli didekomposisi menjadi faktor-faktor, dan di antara faktor-faktor ini pasti ada yang sama. Betulkah:

\[\begin(align)& \left| x-1 \kanan|=\kiri| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|; \\&\kiri| x-1 \kanan|=\kiri| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\akhir(sejajarkan)\]

Salah satu properti modul: $\left| a\cdot b \kanan|=\kiri| a \kanan|\cdot \kiri| b \kanan|$ (yaitu, modulus produk sama dengan produk modulus), sehingga persamaan aslinya dapat ditulis ulang sebagai

\\[\kiri| x-1 \kanan|=\kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri| x-2 \kanan|\]

Seperti yang Anda lihat, kami benar-benar memiliki faktor yang sama. Sekarang, jika Anda mengumpulkan semua modul di satu sisi, maka Anda dapat mengeluarkan pengganda ini dari braket:

\[\begin(align)& \left| x-1 \kanan|=\kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri| x-2 \kanan|; \\&\kiri| x-1 \kanan|-\kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri| x-2 \kanan|=0; \\&\kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri(1-\kiri| x-2 \kanan| \kanan)=0. \\\akhir(sejajarkan)\]

Nah, sekarang kita ingat bahwa produk sama dengan nol ketika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \kanan|=0, \\& \kiri| x-2 \kanan|=1. \\end(sejajarkan) \kanan.\]

Jadi, persamaan asli dengan dua modul telah direduksi menjadi dua persamaan paling sederhana yang telah kita bicarakan di awal pelajaran. Persamaan tersebut dapat diselesaikan hanya dalam beberapa baris. :)

Pernyataan ini mungkin tampak rumit dan tidak perlu dalam praktik. Namun, pada kenyataannya, Anda mungkin menghadapi tugas yang jauh lebih kompleks daripada yang kami analisis hari ini. Di dalamnya, modul dapat dikombinasikan dengan polinomial, akar aritmatika, logaritma, dll. Dan dalam situasi seperti itu, kemampuan untuk menurunkan tingkat keseluruhan persamaan dengan mengeluarkan sesuatu dari kurung bisa sangat, sangat berguna. :)

Sekarang saya ingin menganalisis persamaan lain, yang sekilas mungkin tampak gila. Banyak siswa “menempel” di atasnya - bahkan mereka yang percaya bahwa mereka memiliki pemahaman yang baik tentang modul.

Namun, persamaan ini bahkan lebih mudah untuk dipecahkan daripada yang kita bahas sebelumnya. Dan jika Anda memahami alasannya, Anda akan mendapatkan trik lain untuk menyelesaikan persamaan dengan modul dengan cepat.

Jadi persamaannya adalah:

\\[\kiri| x-((x)^(3)) \kanan|+\kiri| ((x)^(2))+x-2 \kanan|=0\]

Tidak, ini bukan salah ketik: ini adalah nilai tambah antar modul. Dan kita perlu menemukan $x$ yang jumlah dua modulnya sama dengan nol. :)

Apa masalahnya? Dan masalahnya adalah setiap modul adalah angka positif, atau dalam kasus ekstrim, nol. Apa yang terjadi ketika Anda menambahkan dua angka positif? Jelas, sekali lagi angka positif:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Baris terakhir mungkin memberi Anda gambaran: satu-satunya kasus di mana jumlah modulus adalah nol adalah jika setiap modulus sama dengan nol:

\\[\kiri| x-((x)^(3)) \kanan|+\kiri| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Panah kanan \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]

Kapan modulus sama dengan nol? Hanya dalam satu kasus - ketika ekspresi submodule sama dengan nol:

\[((x)^(2))+x-2=0\Panah kanan \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Jadi, kami memiliki tiga titik di mana modulus pertama diatur ke nol: 0, 1, dan 1; serta dua titik di mana modul kedua dinolkan: 2 dan 1. Namun, kita membutuhkan kedua modul untuk dinolkan pada saat yang sama, jadi di antara angka-angka yang ditemukan, kita harus memilih yang termasuk dalam kedua set. Jelas, hanya ada satu nomor seperti itu: $x=1$ - ini akan menjadi jawaban terakhir.

metode pemisahan

Yah, kami telah membahas banyak tugas dan mempelajari banyak trik. Apakah Anda pikir itu saja? Tapi tidak! Sekarang kita akan mempertimbangkan teknik terakhir - dan pada saat yang sama yang paling penting. Kita akan berbicara tentang pemisahan persamaan dengan modulus. Apa yang akan dibahas? Mari kita kembali sedikit dan mempertimbangkan beberapa persamaan sederhana. Misalnya, ini:

\\[\kiri| 3x-5\kanan|=5-3x\]

Pada prinsipnya, kita sudah tahu bagaimana menyelesaikan persamaan seperti itu, karena ini adalah standar $\left| f\left(x \kanan) \kanan|=g\kiri(x \kanan)$. Tapi mari kita coba melihat persamaan ini dari sudut yang sedikit berbeda. Lebih tepatnya, perhatikan ekspresi di bawah tanda modul. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa modulus bilangan apa pun bisa sama dengan bilangan itu sendiri, atau bisa juga berlawanan dengan bilangan ini:

\\[\kiri| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Sebenarnya, ambiguitas ini adalah seluruh masalah: karena angka di bawah modulus berubah (tergantung pada variabel), tidak jelas bagi kita apakah itu positif atau negatif.

Tetapi bagaimana jika pada awalnya kita mengharuskan angka ini positif? Misalnya, mari kita menuntut $3x-5 \gt 0$ - dalam hal ini, kita dijamin mendapatkan bilangan positif di bawah tanda modulus, dan kita dapat sepenuhnya menghilangkan modulus ini:

Dengan demikian, persamaan kita akan berubah menjadi persamaan linier, yang mudah diselesaikan:

Benar, semua pertimbangan ini masuk akal hanya dalam kondisi $3x-5 \gt 0$ - kami sendiri memperkenalkan persyaratan ini untuk mengungkapkan modul dengan jelas. Jadi mari kita gantikan $x=\frac(5)(3)$ yang ditemukan ke dalam kondisi ini dan periksa:

Ternyata untuk nilai $x$ yang ditentukan, persyaratan kami tidak terpenuhi, karena ekspresi ternyata sama dengan nol, dan kita membutuhkannya untuk benar-benar lebih besar dari nol. Sedih. :(

Tapi tidak apa-apa! Lagi pula, ada opsi lain $3x-5 \lt 0$. Selain itu: ada juga kasus $3x-5=0$ - ini juga harus dipertimbangkan, jika tidak, solusinya tidak akan lengkap. Jadi, pertimbangkan kasus $3x-5 \lt 0$:

Jelas bahwa modul akan terbuka dengan tanda minus. Tetapi kemudian situasi aneh muncul: ekspresi yang sama akan menonjol di kiri dan kanan dalam persamaan asli:

Saya ingin tahu untuk apa $x$ ekspresi $5-3x$ akan sama dengan ekspresi $5-3x$? Dari persamaan seperti itu, bahkan Kapten jelas akan tersedak air liur, tetapi kita tahu bahwa persamaan ini adalah identitas, yaitu. itu benar untuk setiap nilai variabel!

Dan ini berarti bahwa $x$ apa pun akan cocok untuk kita. Namun, kami memiliki batasan:

Dengan kata lain, jawabannya tidak akan menjadi satu angka, tetapi seluruh interval:

Terakhir, ada satu kasus lagi yang perlu dipertimbangkan: $3x-5=0$. Semuanya sederhana di sini: akan ada nol di bawah modulus, dan modulus nol juga sama dengan nol (ini langsung mengikuti definisi):

Tapi kemudian persamaan aslinya $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ akan ditulis ulang seperti ini:

Kami telah memperoleh akar ini di atas ketika kami mempertimbangkan kasus $3x-5 \gt 0$. Selain itu, akar ini adalah solusi untuk persamaan $3x-5=0$ - ini adalah batasan yang kami perkenalkan sendiri untuk meniadakan modulus. :)

Jadi, selain interval, kita juga akan puas dengan angka yang terletak di akhir interval ini:

Menggabungkan Akar dalam Persamaan dengan Modulus

Total jawaban akhir: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Tidak terlalu umum untuk melihat omong kosong seperti itu dalam jawaban untuk persamaan yang agak sederhana (pada dasarnya linier) dengan modulus Nah, biasakan: kompleksitas modul terletak pada kenyataan bahwa jawaban dalam persamaan seperti itu bisa sepenuhnya tidak dapat diprediksi.

Jauh lebih penting adalah sesuatu yang lain: kami baru saja membongkar algoritma universal untuk memecahkan persamaan dengan modulus! Dan algoritma ini terdiri dari langkah-langkah berikut:

1. Samakan setiap modulus dalam persamaan dengan nol. Mari kita dapatkan beberapa persamaan;
2. Selesaikan semua persamaan ini dan tandai akar-akarnya pada garis bilangan. Akibatnya, garis lurus akan dibagi menjadi beberapa interval, di mana masing-masing modul diperluas secara unik;
3. Selesaikan persamaan asli untuk setiap interval dan gabungkan jawabannya.

Itu saja! Hanya ada satu pertanyaan: apa yang harus dilakukan dengan root itu sendiri, yang diperoleh pada langkah pertama? Katakanlah kita memiliki dua akar: $x=1$ dan $x=5$. Mereka akan memecah garis bilangan menjadi 3 bagian:

Memisahkan garis bilangan menjadi interval menggunakan titik

Jadi apa intervalnya? Jelas ada tiga di antaranya:

1. Paling kiri: $x \lt 1$ - unit itu sendiri tidak termasuk dalam interval;
2. Tengah: $1\le x \lt 5$ - di sini satu disertakan dalam interval, tetapi lima tidak disertakan;
3. Yang paling kanan: $x\ge 5$ — lima hanya disertakan di sini!

Saya pikir Anda sudah memahami polanya. Setiap interval termasuk ujung kiri dan tidak termasuk ujung kanan.

Sepintas, rekaman seperti itu mungkin tampak tidak nyaman, tidak logis, dan umumnya semacam gila. Tapi percayalah: setelah sedikit latihan, Anda akan menemukan bahwa ini adalah pendekatan yang paling dapat diandalkan dan pada saat yang sama tidak mengganggu modul yang mengungkapkan secara jelas. Lebih baik menggunakan skema seperti itu daripada berpikir setiap saat: berikan ujung kiri / kanan ke interval saat ini atau "lempar" ke yang berikutnya.

Pada artikel ini, kami akan menganalisis secara rinci nilai mutlak suatu bilangan. Kami akan memberikan berbagai definisi modulus angka, memperkenalkan notasi dan memberikan ilustrasi grafis. Dalam hal ini, kami mempertimbangkan berbagai contoh untuk menemukan modulus suatu bilangan menurut definisi. Setelah itu, kami membuat daftar dan membenarkan properti utama modul. Di akhir artikel, kita akan berbicara tentang bagaimana modulus bilangan kompleks ditentukan dan ditemukan.

Navigasi halaman.

Modulus bilangan - definisi, notasi dan contoh

Pertama kami perkenalkan penunjukan modulus. Modul angka a akan ditulis , yaitu di sebelah kiri dan di sebelah kanan angka tersebut akan kita beri garis vertikal yang membentuk tanda modul tersebut. Mari kita berikan beberapa contoh. Misalnya, modulo -7 dapat ditulis sebagai ; modul 4,125 ditulis sebagai , dan modul ditulis sebagai .

Definisi modul berikut mengacu pada, dan oleh karena itu, ke, dan ke bilangan bulat, dan ke bilangan rasional dan irasional, sebagai bagian penyusun himpunan bilangan real. Kita akan berbicara tentang modulus bilangan kompleks di.

Definisi.

Modul dari adalah bilangan a itu sendiri, jika a bilangan positif, atau bilangan a, kebalikan dari bilangan a, jika a bilangan negatif, atau 0, jika a=0 .

Definisi modulus bilangan yang disuarakan sering ditulis dalam bentuk berikut: , notasi ini berarti bahwa jika a>0 , jika a=0 , dan jika a<0 .

Catatan dapat direpresentasikan dalam bentuk yang lebih ringkas . Notasi ini berarti bahwa jika (a lebih besar dari atau sama dengan 0 ), dan jika a<0 .

Ada juga rekornya . Di sini, kasus ketika a=0 harus dijelaskan secara terpisah. Dalam hal ini, kita memiliki , tetapi 0=0 , karena nol dianggap sebagai bilangan yang berlawanan dengan dirinya sendiri.

Ayo bawa contoh mencari modulus bilangan dengan definisi yang diberikan. Sebagai contoh, mari kita cari modul angka 15 dan . Mari kita mulai dengan menemukan. Karena angka 15 positif, modulusnya, menurut definisi, sama dengan angka ini sendiri, yaitu . Apa modulus suatu bilangan? Karena merupakan bilangan negatif, maka modulusnya sama dengan bilangan yang berlawanan dengan bilangan tersebut, yaitu bilangan . Lewat sini, .

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami memberikan satu kesimpulan, yang sangat nyaman untuk diterapkan dalam praktik ketika menemukan modulus suatu bilangan. Dari definisi modulus suatu bilangan, maka: modulus angka sama dengan angka di bawah tanda modulus, terlepas dari tandanya, dan dari contoh yang dibahas di atas, ini terlihat sangat jelas. Pernyataan bersuara menjelaskan mengapa modulus suatu bilangan disebut juga nilai mutlak bilangan tersebut. Jadi modulus suatu bilangan dan nilai mutlak suatu bilangan adalah satu dan sama.

Modulus bilangan sebagai jarak

Secara geometris, modulus suatu bilangan dapat diartikan sebagai jarak. Ayo bawa penentuan modulus angka dalam hal jarak.

Definisi.

Modul dari adalah jarak dari titik asal pada garis koordinat ke titik yang bersesuaian dengan bilangan a.

Definisi ini konsisten dengan definisi modulus bilangan yang diberikan pada paragraf pertama. Mari kita jelaskan poin ini. Jarak dari titik asal ke titik yang bersesuaian dengan bilangan positif sama dengan bilangan ini. Nol sesuai dengan titik referensi, oleh karena itu jarak dari titik referensi ke titik dengan koordinat 0 sama dengan nol (tidak ada segmen tunggal dan tidak ada segmen yang merupakan pecahan dari satu segmen diperlukan untuk mendapatkan dari titik O ke titik dengan koordinat 0). Jarak dari titik asal ke titik dengan koordinat negatif sama dengan angka yang berlawanan dengan koordinat titik yang diberikan, karena sama dengan jarak dari titik asal ke titik yang koordinatnya berlawanan dengan angka.

Misalnya, modulus bilangan 9 adalah 9, karena jarak dari titik asal ke titik dengan koordinat 9 adalah sembilan. Mari kita ambil contoh lain. Titik dengan koordinat 3,25 berada pada jarak 3,25 dari titik O, jadi .

Definisi modulus bilangan yang dibunyikan adalah kasus khusus untuk mendefinisikan modulus selisih dua bilangan.

Definisi.

Modulus selisih dua bilangan a dan b sama dengan jarak antara titik-titik pada garis koordinat dengan koordinat a dan b .

Artinya, jika diberikan titik-titik pada garis koordinat A(a) dan B(b), maka jarak dari titik A ke titik B sama dengan modulus selisih angka a dan b. Jika kita mengambil titik O (titik acuan) sebagai titik B, maka kita akan mendapatkan definisi modulus dari bilangan yang diberikan di awal paragraf ini.

Menentukan modulus suatu bilangan melalui akar kuadrat aritmatika

Kadang-kadang ditemukan penentuan modulus melalui akar kuadrat aritmatika.

Misalnya, mari kita hitung modul angka 30 dan berdasarkan definisi ini. Kita punya . Demikian pula, kami menghitung modulus dua pertiga: .

Definisi modulus suatu bilangan dalam akar kuadrat aritmatika juga konsisten dengan definisi yang diberikan dalam paragraf pertama artikel ini. Mari kita tunjukkan. Biarkan a menjadi bilangan positif, dan biarkan a menjadi negatif. Kemudian dan , jika a=0 , maka .

Properti Modul

Modul ini memiliki sejumlah hasil karakteristik - properti modul. Sekarang kami akan memberikan yang utama dan paling umum digunakan. Saat membuktikan sifat-sifat ini, kita akan mengandalkan definisi modulus bilangan dalam hal jarak.

Mari kita mulai dengan properti modul yang paling jelas modulus suatu bilangan tidak boleh berupa bilangan negatif. Dalam bentuk literal, properti ini memiliki bentuk untuk sembarang bilangan a . Sifat ini sangat mudah untuk dibenarkan: modulus suatu bilangan adalah jarak, dan jarak tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan negatif.

Mari kita beralih ke properti modul berikutnya. Modulus suatu bilangan sama dengan nol jika dan hanya jika bilangan ini nol. Modulus nol adalah nol menurut definisi. Nol sesuai dengan asal, tidak ada titik lain pada garis koordinat yang sesuai dengan nol, karena setiap bilangan real dikaitkan dengan satu titik pada garis koordinat. Untuk alasan yang sama, angka apa pun selain nol sesuai dengan titik selain titik asal. Dan jarak dari titik asal ke sembarang titik selain titik O tidak sama dengan nol, karena jarak antara dua titik sama dengan nol jika dan hanya jika titik-titik ini bertepatan. Alasan di atas membuktikan bahwa hanya modulus nol yang sama dengan nol.

Pindah. Angka yang berlawanan memiliki modul yang sama, yaitu untuk angka apa pun a . Memang, dua titik pada garis koordinat, yang koordinatnya adalah angka yang berlawanan, berada pada jarak yang sama dari titik asal, yang berarti modul dari angka yang berlawanan adalah sama.

Properti modul berikutnya adalah: modulus produk dari dua angka sama dengan produk dari modul dari angka-angka ini, itu adalah, . Menurut definisi, modulus hasil kali bilangan a dan b adalah a b jika , atau (a b) jika . Ini mengikuti dari aturan perkalian bilangan real bahwa produk modulus bilangan a dan b sama dengan a b , , atau (a b) , jika , yang membuktikan properti yang dipertimbangkan.

Modulus hasil bagi pembagian a dengan b sama dengan hasil bagi pembagian modulus a dengan modulus b, itu adalah, . Mari kita membenarkan properti modul ini. Karena hasil bagi sama dengan produk, maka . Berdasarkan properti sebelumnya, kami memiliki . Tetap hanya menggunakan persamaan , yang valid karena definisi modulus angka.

Properti modul berikut ditulis sebagai pertidaksamaan: , a , b dan c adalah bilangan real sembarang. Ketidaksetaraan tertulis tidak lebih dari pertidaksamaan segitiga. Untuk memperjelas hal ini, mari kita ambil titik A(a) , B(b) , C(c) pada garis koordinat, dan perhatikan segitiga ABC yang merosot, yang simpulnya terletak pada garis yang sama. Menurut definisi, modulus selisihnya sama dengan panjang segmen AB, - panjang segmen AC, dan - panjang segmen CB. Karena panjang salah satu sisi segitiga tidak melebihi jumlah panjang kedua sisi lainnya, maka pertidaksamaan , oleh karena itu, ketidaksetaraan juga berlaku.

Ketidaksetaraan yang baru saja dibuktikan jauh lebih umum dalam bentuk . Pertidaksamaan tertulis biasanya dianggap sebagai properti modul yang terpisah dengan rumusan: “ Modulus jumlah dua angka tidak melebihi jumlah modulus angka-angka ini". Tapi pertidaksamaan langsung mengikuti dari pertidaksamaan , jika kita menempatkan b bukannya b di dalamnya, dan mengambil c=0 .

Modulus bilangan kompleks

Ayo berikan penentuan modulus bilangan kompleks. Mari kita diberi bilangan kompleks, ditulis dalam bentuk aljabar , di mana x dan y adalah beberapa bilangan real, masing-masing mewakili bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks tertentu z, dan merupakan unit imajiner.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja ketika Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang dapat kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Dalam hal diperlukan - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Nilai mutlak suatu bilangan sebuah adalah jarak dari titik asal ke titik TETAPI(sebuah).

Untuk memahami definisi ini, kami mengganti bukan variabel sebuah angka apa saja, misalnya 3 dan coba baca lagi:

Nilai mutlak suatu bilangan 3 adalah jarak dari titik asal ke titik TETAPI(3 ).

Menjadi jelas bahwa modul tidak lebih dari jarak biasa. Coba kita lihat jarak dari titik asal ke titik A( 3 )

Jarak dari titik asal koordinat ke titik A( 3 ) sama dengan 3 (tiga satuan atau tiga langkah).

Modulus suatu bilangan ditunjukkan oleh dua garis vertikal, misalnya:

Modulus dari angka 3 dilambangkan sebagai berikut: |3|

Modulus dari angka 4 dilambangkan sebagai berikut: |4|

Modulus dari angka 5 dilambangkan sebagai berikut: |5|

Kami mencari modulus angka 3 dan menemukan bahwa itu sama dengan 3. Jadi kami menulis:

Bacaan seperti: "Modulus tiga adalah tiga"

Sekarang mari kita coba mencari modulus dari bilangan -3. Sekali lagi, kita kembali ke definisi dan mengganti angka -3 ke dalamnya. Hanya alih-alih titik SEBUAH gunakan titik baru B. Titik SEBUAH kita telah menggunakan dalam contoh pertama.

Modulus bilangan tersebut adalah 3 sebut jarak dari asal ke titik B(—3 ).

Jarak dari satu titik ke titik lain tidak boleh negatif. Oleh karena itu, modulus bilangan negatif apa pun, karena jarak, juga tidak akan negatif. Modul angka -3 akan menjadi angka 3. Jarak dari titik asal ke titik B(-3) juga sama dengan tiga satuan:

Bacaan seperti: "Modulus suatu bilangan dikurangi tiga adalah tiga"

Modulus angka 0 adalah 0, karena titik dengan koordinat 0 bertepatan dengan titik asal, mis. jarak dari titik asal ke titik O(0) sama dengan nol:

"Modulus nol adalah nol"

Kami menarik kesimpulan:

• Modulus suatu bilangan tidak boleh negatif;
• Untuk bilangan positif dan nol, modulusnya sama dengan bilangan itu sendiri, dan untuk bilangan negatif, ke bilangan yang berlawanan;
• Angka yang berlawanan memiliki modul yang sama.

Angka berlawanan

Bilangan yang hanya berbeda tandanya disebut di depan. Misalnya, angka 2 dan 2 berlawanan. Mereka hanya berbeda dalam tanda. Angka 2 memiliki tanda minus, dan 2 memiliki tanda plus, tetapi kami tidak melihatnya, karena plus, seperti yang kami katakan sebelumnya, secara tradisional tidak ditulis.

Lebih banyak contoh bilangan berlawanan:

Angka yang berlawanan memiliki modul yang sama. Sebagai contoh, mari kita cari modul untuk 2 dan 2

Gambar tersebut menunjukkan bahwa jarak dari titik asal ke titik A(−2) dan B(2) sama dengan dua langkah.

Apakah Anda menyukai pelajarannya?
Bergabunglah dengan grup Vkontakte baru kami dan mulai menerima pemberitahuan tentang pelajaran baru