Pertimbangkan sistem persamaan linear m yang mengandung n variabel

(1)

Sistem ini dapat ditulis secara singkat sebagai:

Atau dalam bentuk matriks: Ax = B.

Dalam masalah program linier, sistem persamaan tak tentu dipertimbangkan, yaitu. mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga. Maka pangkat r dari matriks sistem

,
kurang dari jumlah variabel: rn. Artinya jumlah maksimum persamaan bebas linier pada (1) sama dengan r. Kita asumsikan bahwa dalam sistem (1) jumlah persamaan bebas linier sama dengan m, yaitu. r = m. Dari aljabar diketahui bahwa dalam hal ini terdapat m variabel, koefisien yang pada sistem (1) membentuk matriks dengan determinan bukan nol. Penentu seperti itu disebut minor dasar, dan variabel-variabel yang bersesuaian disebut dasar. Variabel n – m yang tersisa disebut variabel bebas. Variabel dasar dapat dinyatakan melalui variabel bebas menggunakan persamaan sistem (1), menetapkan nilai sembarang pada variabel bebas, dan mencari nilai variabel dasar menggunakan rumus Cramer. Hasilnya adalah salah satu solusi untuk sistem (1).

Definisi 1. Penyelesaian sistem persamaan linier (1), yang diperoleh dengan nilai nol variabel bebas, disebut solusi dasar.

Variabel dasar, dan oleh karena itu komponen bukan nol dari solusi dasar, berhubungan dengan kolom bebas linier dari matriks koefisien sistem persamaan linier. Hal ini memungkinkan kita untuk memberikan definisi berbeda tentang solusi dasar sistem persamaan linier.

Definisi 2. Penyelesaian dasar suatu sistem persamaan linier adalah penyelesaian sistem yang komponen-komponennya yang bukan nol bersesuaian dengan kolom-kolom bebas linier dari matriks koefisien sistem ini.

Variabel dasar dapat berupa kelompok berbeda yang memuat m variabel dari n variabel yang ditentukan pada (1). Banyaknya cara maksimum yang mungkin untuk memilih m variabel dari himpunan yang berisi n variabel sama dengan banyaknya kombinasi . Namun, mungkin ada kasus ketika determinan yang bersesuaian dari suatu matriks yang terdiri dari koefisien untuk m variabel yang dipilih dalam sistem (1) sama dengan nol. Oleh karena itu, jumlah kelompok variabel dasar tidak melebihi . Untuk setiap kelompok variabel dasar, seseorang dapat menemukan solusi dasar sistem (1) yang sesuai. Dari alasan di atas, teorema berikut:

Dalil. Banyaknya solusi dasar suatu sistem tak tentu (1), dimana pangkat matriks sistemR = M < Ntidak melebihi .

Contoh. Temukan semua solusi dasar dari sistem persamaan (2):

(2)

Larutan. Jelas r=m=2, n=4. Jumlah kelompok variabel dasar tidak lebih dari = 6. Akan tetapi, kolom pertama, kedua, dan keempat dari koefisien variabel-variabel dalam matriks sistem adalah proporsional, oleh karena itu determinan orde kedua, yang terdiri dari koefisien dua dari tiga kolom tersebut, sama dengan nol. Set yang tersisa:
,
Dan
.

Untuk sekumpulan variabel
determinan terdiri dari koefisiennya d = = –2 0. Oleh karena itu, variabel-variabel tersebut dapat dianggap sebagai variabel dasar,
- bebas. Mari kita tetapkan nilai nol ke variabel bebas:
Kami memecahkan sistem:

(3)
, Di mana
.

Secara umum persamaan linearnya berbentuk:

Persamaan tersebut memiliki solusi: jika setidaknya salah satu koefisien yang tidak diketahui berbeda dari nol. Dalam hal ini, vektor berdimensi apa pun disebut penyelesaian persamaan jika, ketika koordinatnya disubstitusikan, persamaan tersebut menjadi suatu identitas.

Ciri-ciri umum sistem persamaan terselesaikan

Contoh 20.1

Menjelaskan sistem persamaan.

Larutan:

1. Apakah ada persamaan yang kontradiktif?(Jika koefisiennya, dalam hal ini persamaannya berbentuk: dan disebut kontroversial.)

• Jika suatu sistem mengandung sesuatu yang kontradiktif, maka sistem tersebut tidak konsisten dan tidak mempunyai solusi.

2. Temukan semua variabel yang diizinkan. (Yang tidak diketahui disebutdiizinkan untuk suatu sistem persamaan, jika termasuk dalam salah satu persamaan sistem dengan koefisien +1, tetapi tidak termasuk dalam persamaan lainnya (yaitu termasuk dengan koefisien sama dengan nol).

3. Apakah sistem persamaan terselesaikan? (Sistem persamaan disebut terselesaikan, jika setiap persamaan sistem berisi hal yang tidak diketahui yang terselesaikan, di antaranya tidak ada persamaan yang kebetulan)

Bentuk yang tidak diketahui yang terselesaikan, diambil satu dari setiap persamaan sistem set lengkap hal-hal yang tidak diketahui terselesaikan sistem. (dalam contoh kita ini adalah)

Hal-hal tidak diketahui yang diperbolehkan yang termasuk dalam set lengkap juga disebut dasar(), dan tidak termasuk dalam set - bebas ().

Secara umum, sistem persamaan yang diselesaikan berbentuk:

Pada tahap ini, hal utama adalah memahami apa itu diselesaikan tidak diketahui(termasuk dalam basis dan gratis).

Solusi Umum Khusus Dasar

Solusi umum sistem persamaan terselesaikan adalah himpunan ekspresi dari hal-hal yang tidak diketahui yang diselesaikan melalui suku-suku bebas dan hal-hal yang tidak diketahui bebas:

Keputusan pribadi disebut solusi yang diperoleh dari solusi umum untuk nilai-nilai tertentu dari variabel bebas dan variabel yang tidak diketahui.

Solusi dasar adalah solusi khusus yang diperoleh dari solusi umum untuk nilai nol variabel bebas.

• Solusi dasar (vektor) disebut merosot, jika jumlah koordinat bukan nolnya lebih kecil dari jumlah hal yang tidak diketahui yang diperbolehkan.
• Solusi dasar disebut tidak merosot, jika jumlah koordinat bukan nolnya sama dengan jumlah hal yang tidak diketahui yang diperbolehkan dari sistem yang termasuk dalam himpunan lengkap.

Teorema (1)

Sistem persamaan yang diselesaikan selalu konsisten(karena setidaknya ada satu solusi); Terlebih lagi, jika sistem tidak memiliki hal-hal yang tidak diketahui secara gratis,(yaitu, dalam sistem persamaan, semua persamaan yang diperbolehkan dimasukkan ke dalam basis) maka itu didefinisikan(memiliki solusi unik); jika ada setidaknya satu variabel bebas, maka sistem tidak terdefinisi(memiliki jumlah solusi yang tak terbatas).

Contoh 1. Temukan solusi umum, dasar, dan khusus dari sistem persamaan:

Larutan:

1. Apakah kita memeriksa apakah sistem tersebut diotorisasi?

• Sistem terselesaikan (karena setiap persamaan berisi hal yang tidak diketahui yang terselesaikan)

2. Kami menyertakan hal-hal yang tidak diketahui yang diperbolehkan dalam himpunan - satu dari setiap persamaan.

3. Kami menuliskan solusi umum tergantung pada hal-hal yang tidak diketahui yang kami sertakan dalam kumpulan.

4. Menemukan solusi pribadi. Untuk melakukan ini, kami menyamakan variabel bebas yang tidak kami sertakan dalam himpunan dengan bilangan arbitrer.

Menjawab: solusi pribadi(salah satu pilihan)

5. Menemukan solusi dasar. Untuk melakukan ini, kita menyamakan variabel bebas yang tidak kita sertakan dalam himpunan dengan nol.

Transformasi dasar persamaan linear

Sistem persamaan linear direduksi menjadi sistem penyelesaian ekuivalen menggunakan transformasi dasar.

Teorema (2)

Jika ada mengalikan persamaan sistem dengan bilangan bukan nol, dan biarkan persamaan lainnya tidak berubah, lalu . (yaitu, jika Anda mengalikan ruas kiri dan kanan persamaan dengan angka yang sama, Anda mendapatkan persamaan yang setara dengan persamaan ini)

Teorema (3)

Jika tambahkan yang lain ke persamaan sistem apa pun, dan biarkan semua persamaan lainnya tidak berubah kami mendapatkan sistem yang setara dengan yang ini. (yaitu, jika Anda menjumlahkan dua persamaan (dengan menjumlahkan ruas kiri dan kanannya), Anda akan mendapatkan persamaan yang setara dengan datanya)

Akibat Teorema (2 dan 3)

Jika menambahkan persamaan lain ke persamaan dikalikan dengan angka tertentu, dan biarkan semua persamaan lainnya tidak berubah, maka kita mendapatkan sistem yang setara dengan yang ini.

Rumus untuk menghitung ulang koefisien sistem

Jika kita memiliki sistem persamaan dan ingin mengubahnya menjadi sistem persamaan terselesaikan, metode Jordan-Gauss akan membantu kita dalam hal ini.

Transformasi Yordania dengan elemen penyelesaian memungkinkan Anda memperoleh sistem persamaan yang tidak diketahui terselesaikan dalam persamaan dengan bilangan . (contoh 2).

Transformasi Jordan terdiri dari dua jenis transformasi dasar:

Katakanlah kita ingin menjadikan hal yang tidak diketahui pada persamaan yang lebih rendah menjadi hal yang tidak diketahui. Untuk melakukannya, kita harus membaginya dengan , sehingga jumlahnya adalah .

Contoh 2 Mari kita hitung ulang koefisien sistem

Saat membagi persamaan dengan angka dengan , koefisiennya dihitung ulang menggunakan rumus:

Untuk mengecualikan persamaan dengan bilangan , Anda perlu mengalikan persamaan dengan bilangan dengan dan menambahkannya ke persamaan ini.

Teorema (4) Tentang pengurangan jumlah persamaan sistem.

Jika suatu sistem persamaan mengandung persamaan sepele, maka persamaan tersebut dapat dikeluarkan dari sistem, dan akan diperoleh sistem yang ekuivalen dengan persamaan aslinya.

Teorema (5) Tentang ketidaksesuaian sistem persamaan.

Jika suatu sistem persamaan mengandung persamaan yang tidak konsisten, maka persamaan tersebut tidak konsisten.

Algoritma metode Jordan-Gauss

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode Jordan-Gauss terdiri dari sejumlah langkah serupa, yang masing-masing tindakan dilakukan dengan urutan sebagai berikut:

1. Memeriksa untuk melihat apakah sistem tidak konsisten. Jika suatu sistem mengandung persamaan yang tidak konsisten, maka sistem tersebut tidak konsisten.
2. Kemungkinan mengurangi jumlah persamaan diperiksa. Jika sistem berisi persamaan sepele, maka dicoret.
3. Jika sistem persamaan terselesaikan, tuliskan solusi umum sistem tersebut dan, jika perlu, solusi partikular.
4. Jika sistem tidak terselesaikan, maka dalam persamaan yang tidak mengandung hal yang tidak diketahui terselesaikan, elemen penyelesaian dipilih dan transformasi Jordan dilakukan dengan elemen ini.
5. Kemudian kembali ke poin 1

Contoh 3 Selesaikan sistem persamaan menggunakan metode Jordan-Gauss.

Menemukan: dua solusi umum dan dua solusi dasar yang sesuai

Larutan:

Perhitungannya ditunjukkan pada tabel di bawah ini:

Di sebelah kanan tabel terdapat tindakan pada persamaan. Panah menunjukkan ke persamaan mana persamaan dengan elemen penyelesaian ditambahkan, dikalikan dengan faktor yang sesuai.

Tiga baris pertama tabel berisi koefisien yang tidak diketahui dan sisi kanan sistem aslinya. Hasil transformasi Jordan pertama dengan elemen penyelesaian sama dengan satu diberikan pada baris 4, 5, 6. Hasil transformasi Jordan kedua dengan elemen penyelesaian sama dengan (-1) diberikan pada baris 7, 8, 9 Karena persamaan ketiga itu sepele, maka persamaan tersebut dapat dihilangkan.

Kalkulator online ini menemukan solusi umum sistem persamaan linear menggunakan metode Jordan-Gauss. Solusi terperinci diberikan. Untuk menghitung, pilih jumlah persamaan dan jumlah variabel. Kemudian masukkan data ke dalam sel dan klik tombol "Hitung".

Lihat di bawah untuk bagian teoritis dalam mencari solusi sistem persamaan linear menggunakan metode Jordan-Gauss.

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Representasi angka:

Bilangan Bulat dan/atau Pecahan Biasa
Bilangan Bulat dan/atau Desimal

Jumlah tempat setelah pemisah desimal

×

Peringatan

Hapus semua sel?

Tutup Hapus

Instruksi entri data. Angka dimasukkan sebagai bilangan bulat (contoh: 487, 5, -7623, dst.), desimal (mis. 67., 102.54, dst.) atau pecahan. Pecahan tersebut harus dimasukkan dalam bentuk a/b, dimana a dan b (b>0) adalah bilangan bulat atau bilangan desimal. Contoh 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, dst.

Metode Jordan-Gauss

Metode Jordan-Gauss merupakan salah satu metode penyelesaian sistem persamaan linear dan juga metode pencarian matriks invers. Metode ini merupakan modifikasi dari metode Gauss.

Tahap pertama metode Jordan-Gauss mirip dengan metode Gauss (gerakan Gauss langsung), yang dapat dilihat secara detail pada halaman “Metode Gauss online”. Tahap kedua (kebalikan) dari metode Jordan-Gauss terdiri dari memusatkan semua elemen matriks koefisien sistem persamaan linier di atas elemen utama. Perhatikan bahwa di sini kita sedang mempertimbangkan sistem persamaan linear sembarang, yang jumlah variabelnya mungkin tidak sama dengan jumlah batasannya.

Perhatikan sistem persamaan linear berikut:

(1)

Mari kita tulis sistem (1) dalam bentuk matriks:

Kapak=b

(2)

(3)

A- disebut matriks koefisien sistem, B− sisi kanan pembatasan, X− vektor variabel yang dapat ditemukan. Biarkan peringkat( A)=P.

Mari kita membangun matriks sistem yang diperluas:

Jika ,..., sama dengan nol, maka sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian, tetapi jika paling sedikit salah satu dari bilangan-bilangan tersebut berbeda dengan nol, maka sistem tersebut inkonsisten. Dengan kata lain, sistem (2) konsisten jika dan hanya jika rank matriksnya A sama dengan pangkat matriks yang diperluas ( A|b).

Membiarkan . Kemudian, dalam urutan terbalik, dimulai dari elemen utama, kita menerapkan gerakan Gaussian terbalik. Inti dari gerakan mundur adalah mengatur ulang semua elemen matriks yang diperluas yang lebih tinggi dari elemen utama.

Jadi, mari kita reset semua elemen di kolom tersebut P, di atas elemen. Karena ≠0, kita tambahkan baris 1,2,... hal− 1 dengan garis P, dikalikan dengan masing-masing.

Matriks yang diperluas akan mengambil bentuk berikut:

Bagilah setiap baris dengan elemen utamanya yang sesuai (jika ada elemen utamanya):

Maka solusinya dapat dituliskan sebagai berikut:

Jenis rekaman matriks: Kapak=b, Di mana

Mari kita nyatakan dengan sebuah ij elemen Saya-baris ke-dan J kolom ke-.

Tahap pertama. Gerakan Gaussian ke depan

A sebelas . Caranya, tambahkan baris 2,3 dengan baris 1, dikalikan dengan 1/2,-3/2, masing-masing:

Mari kita kecualikan elemen kolom ke-3 matriks di atas elemen tersebut A 33. Untuk melakukannya, tambahkan baris 1, 2 dengan baris 3, masing-masing dikalikan dengan -3/2, -5/4:

Kami membagi setiap baris matriks dengan elemen utama yang sesuai (jika elemen utama ada):

Jenis rekaman matriks: Kapak=b, Di mana

Mari kita nyatakan dengan sebuah ij elemen Saya-baris ke-dan J kolom ke-.

Tahap pertama. Gerakan Gauss langsung.

Mari kita kecualikan elemen kolom pertama matriks di bawah elemen tersebut A sebelas . Untuk melakukannya, tambahkan baris 2,3 dengan baris 1, dikalikan masing-masing dengan 4/3, 5/3:

Fase kedua. Pembalikan Gaussian

Mari kita kecualikan elemen kolom ke-2 matriks di atas elemen tersebut A 22. Caranya, tambahkan baris 1 dengan baris 2 dikalikan -3/10:

Mari kita ekspresikan variabelnya X 1 , X 2 relatif terhadap variabel lain.

Maka solusi vektornya dapat direpresentasikan sebagai berikut:

,

X 3 adalah bilangan real sembarang.

§1. Sistem persamaan linear.

Lihat sistem

disebut suatu sistem M persamaan linier dengan N tidak dikenal.

Di Sini
- tidak dikenal, - koefisien untuk hal yang tidak diketahui,
- suku bebas persamaan.

Jika semua suku bebas persamaan sama dengan nol, maka sistem tersebut disebut homogen.Berdasarkan keputusan sistem disebut kumpulan bilangan
, ketika menggantinya ke dalam sistem alih-alih yang tidak diketahui, semua persamaan berubah menjadi identitas. Sistem itu disebut persendian, jika memiliki setidaknya satu solusi. Sistem kompatibel yang mempunyai solusi unik disebut yakin. Kedua sistem tersebut disebut setara, jika himpunan penyelesaiannya sama.

Sistem (1) dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks menggunakan persamaan

(2)

.

§2. Kompatibilitas sistem persamaan linear.

Mari kita sebut matriks yang diperluas dari sistem (1) sebagai matriks

Teorema Kronecker-Capelli. Sistem (1) konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks sistem sama dengan pangkat matriks yang diperluas:

.

§3. Solusi sistemN persamaan linier denganN tidak dikenal.

Pertimbangkan sistem yang tidak homogen N persamaan linier dengan N tidak dikenal:

(3)

teorema Cramer.Jika determinan utama sistem (3)
, maka sistem mempunyai solusi unik, ditentukan dengan rumus:

itu.
,

Di mana - determinan diperoleh dari determinan penggantian kolom ke kolom anggota bebas.

Jika
, dan setidaknya satu dari ≠0, maka sistem tidak memiliki solusi.

Jika
, maka sistem mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya.

Sistem (3) dapat diselesaikan dengan menggunakan bentuk matriksnya (2). Jika pangkat matriks A sama N, yaitu.
, lalu matriksnya A memiliki kebalikannya
. Mengalikan persamaan matriks
ke matriks
di sebelah kiri, kita mendapatkan:

.

Persamaan terakhir menyatakan metode penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan matriks invers.

Contoh. Selesaikan sistem persamaan menggunakan matriks invers.

Larutan. Matriks
tidak merosot, sejak itu
, yang berarti terdapat matriks invers. Mari kita hitung matriks inversnya:
.

,

Latihan. Selesaikan sistem menggunakan metode Cramer.

§4. Memecahkan sistem persamaan linear yang berubah-ubah.

Misalkan sistem persamaan linear tak homogen berbentuk (1) diberikan.

Mari kita asumsikan bahwa sistemnya konsisten, yaitu. kondisi teorema Kronecker-Capelli terpenuhi:
. Jika pangkat matriks
(jumlah yang tidak diketahui), maka sistem mempunyai solusi unik. Jika
, maka sistem mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya. Biar saya jelaskan.

Biarkan pangkat matriks R(A)= R< N. Karena
, maka ada beberapa orde minor bukan nol R. Sebut saja itu minor dasar. Yang tidak diketahui yang koefisiennya membentuk basis minor disebut variabel dasar. Kami menyebut variabel bebas yang tidak diketahui yang tersisa. Mari kita atur ulang persamaan dan penomoran ulang variabel sehingga minor ini terletak di sudut kiri atas matriks sistem:

.

Pertama R garis-garis bebas linier, sisanya dinyatakan melalui garis-garis tersebut. Oleh karena itu, garis-garis (persamaan) ini dapat dibuang. Kita mendapatkan:

Mari kita beri nilai numerik sembarang pada variabel bebas: . Mari kita tinggalkan variabel dasar saja di sisi kiri dan pindahkan variabel bebas ke sisi kanan.

Punya sistemnya R persamaan linier dengan R tidak diketahui, yang determinannya berbeda dari 0. Ia mempunyai solusi unik.

Sistem ini disebut solusi umum sistem persamaan linear (1). Jika tidak: ekspresi variabel dasar melalui variabel bebas disebut keputusan umum sistem. Dari situ Anda bisa mendapatkan jumlah yang tak terbatas solusi pribadi, memberikan nilai arbitrer pada variabel bebas. Solusi khusus yang diperoleh dari solusi umum untuk nilai nol variabel bebas disebut solusi dasar. Jumlah solusi dasar yang berbeda tidak melebihi
. Solusi basa dengan komponen non-negatif disebut mendukung solusi sistem.

Contoh.

,R=2.

Variabel
- dasar,
- bebas.

Mari kita jumlahkan persamaannya; mari berekspresi
melalui
:

- keputusan bersama.

- solusi pribadi untuk
.

- solusi dasar, referensi.

§5. metode Gauss.

Metode Gauss adalah metode universal untuk mempelajari dan menyelesaikan sistem persamaan linear arbitrer. Ini terdiri dari mereduksi sistem menjadi bentuk diagonal (atau segitiga) dengan menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui secara berurutan menggunakan transformasi dasar yang tidak melanggar kesetaraan sistem. Suatu variabel dianggap dikecualikan jika hanya terdapat dalam satu persamaan sistem dengan koefisien 1.

Transformasi dasar sistem adalah:

Mengalikan persamaan dengan angka selain nol;

Menjumlahkan persamaan yang dikalikan bilangan apa pun dengan persamaan lain;

Menata ulang persamaan;

Menolak persamaan 0 = 0.

Transformasi dasar tidak dapat dilakukan pada persamaan, tetapi pada matriks yang diperluas dari sistem ekuivalen yang dihasilkan.

Contoh.

Larutan. Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem:

.

Dengan melakukan transformasi dasar, kita akan mereduksi sisi kiri matriks menjadi bentuk satuan: kita akan membuat satuan di diagonal utama, dan nol di luarnya.

Komentar. Jika, ketika melakukan transformasi elementer, diperoleh persamaan bentuk 0 = k(Di mana Ke0), maka sistemnya tidak konsisten.

Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode eliminasi yang tidak diketahui secara berurutan dapat ditulis dalam bentuk tabel.

Kolom kiri tabel berisi informasi tentang variabel (dasar) yang dikecualikan. Kolom yang tersisa berisi koefisien yang tidak diketahui dan suku bebas persamaan.

Matriks yang diperluas dari sistem dicatat dalam tabel sumber. Selanjutnya, kita mulai melakukan transformasi Jordan:

1. Pilih variabel , yang akan menjadi dasar. Kolom yang sesuai disebut kolom kunci. Pilih persamaan yang variabelnya akan tetap ada, kecuali persamaan lainnya. Baris tabel yang bersesuaian disebut baris kunci. Koefisien , yang terletak di perpotongan baris kunci dan kolom kunci, disebut kunci.

2. Elemen string kunci dibagi menjadi elemen kunci.

3. Kolom kunci diisi dengan angka nol.

4. Elemen sisanya dihitung menggunakan aturan persegi panjang. Buatlah sebuah persegi panjang, pada titik sudut yang berlawanan terdapat elemen kunci dan elemen yang dihitung ulang; dari hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal persegi panjang dengan unsur kuncinya, dikurangi hasil kali unsur-unsur diagonal lainnya, dan selisihnya dibagi dengan unsur kuncinya.

Contoh. Temukan solusi umum dan solusi dasar sistem persamaan:

Larutan.

Solusi umum sistem:

Solusi dasar:
.

Transformasi substitusi tunggal memungkinkan Anda berpindah dari satu basis sistem ke basis lainnya: alih-alih salah satu variabel utama, salah satu variabel bebas dimasukkan ke dalam basis. Untuk melakukan ini, pilih elemen kunci di kolom variabel bebas dan lakukan transformasi sesuai dengan algoritma di atas.

§6. Menemukan solusi dukungan

Penyelesaian acuan suatu sistem persamaan linear merupakan penyelesaian dasar yang tidak mengandung komponen negatif.

Solusi referensi sistem ditemukan dengan metode Gaussian jika kondisi berikut terpenuhi.

1. Dalam sistem asli, semua syarat bebas harus non-negatif:
.

2. Elemen kunci dipilih di antara koefisien positif.

3. Jika suatu variabel yang dimasukkan ke dalam basis mempunyai beberapa koefisien positif, maka garis kuncinya adalah garis yang rasio suku bebas terhadap koefisien positifnya paling kecil.

Catatan 1. Jika, dalam proses menghilangkan yang tidak diketahui, muncul persamaan yang semua koefisiennya non-positif dan merupakan suku bebas
, maka sistem tidak memiliki solusi non-negatif.

Catatan 2. Jika tidak ada satu pun elemen positif dalam kolom koefisien variabel bebas, maka transisi ke solusi referensi lain tidak mungkin dilakukan.

Contoh.

Contoh 1. Temukan solusi umum dan solusi khusus dari sistem tersebut

Larutan Kami melakukannya menggunakan kalkulator. Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dan matriks utama:

Matriks utama A dipisahkan oleh garis putus-putus.Kita tuliskan sistem yang belum diketahui di bagian atas, dengan mengingat kemungkinan penataan ulang suku-suku dalam persamaan sistem. Dengan menentukan rank matriks yang diperluas, kita sekaligus mencari rank matriks utama. Pada matriks B, kolom pertama dan kedua proporsional. Dari dua kolom proporsional, hanya satu yang dapat masuk ke dalam minor dasar, jadi mari kita pindahkan, misalnya, kolom pertama melewati garis putus-putus dengan tanda berlawanan. Untuk sistem, ini berarti memindahkan suku dari x 1 ke ruas kanan persamaan.

Mari kita reduksi matriks menjadi bentuk segitiga. Kita hanya akan mengerjakan baris, karena mengalikan baris matriks dengan bilangan selain nol dan menjumlahkannya ke baris lain untuk sistem berarti mengalikan persamaan dengan bilangan yang sama dan menjumlahkannya dengan persamaan lain, yang tidak mengubah penyelesaian persamaan. sistem. Kami mengerjakan baris pertama: kalikan baris pertama matriks dengan (-3) dan tambahkan ke baris kedua dan ketiga secara bergantian. Kemudian kalikan baris pertama dengan (-2) dan tambahkan ke baris keempat.

Garis kedua dan ketiga sebanding, sehingga salah satunya, misalnya garis kedua, dapat dicoret. Hal ini setara dengan mencoret persamaan kedua dari sistem, karena merupakan konsekuensi dari persamaan ketiga.

Sekarang kita bekerja dengan baris kedua: kalikan dengan (-1) dan tambahkan ke baris ketiga.

Minor bertitik memiliki orde tertinggi (di antara minor yang mungkin) dan bukan nol (sama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama), dan minor ini termasuk dalam matriks utama dan matriks yang diperluas, oleh karena itu rangA = rangB = 3.
Minor adalah dasar. Ini mencakup koefisien untuk yang tidak diketahui x 2 , x 3 , x 4 , yang berarti bahwa yang tidak diketahui x 2 , x 3 , x 4 bergantung, dan x 1 , x 5 bebas.
Mari kita transformasikan matriksnya, sisakan hanya basis minor di sebelah kiri (yang sesuai dengan poin 4 dari algoritma solusi di atas).

Sistem dengan koefisien matriks ini ekuivalen dengan sistem aslinya dan mempunyai bentuk

Dengan menggunakan metode menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui, kami menemukan:
, ,

Kami memperoleh hubungan yang menyatakan variabel terikat x 2, x 3, x 4 melalui variabel bebas x 1 dan x 5, yaitu, kami menemukan solusi umum:

Dengan menetapkan nilai apa pun pada hal yang tidak diketahui bebas, kita memperoleh sejumlah solusi tertentu. Mari temukan dua solusi khusus:
1) misalkan x 1 = x 5 = 0, maka x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) masukkan x 1 = 1, x 5 = -1, maka x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Jadi, ditemukan dua solusi: (0,1,-3,3,0) – satu solusi, (1,4,-7,7,-1) – solusi lain.

Contoh 2. Jelajahi kompatibilitas, temukan solusi umum dan satu solusi khusus untuk sistem

Larutan. Mari kita susun ulang persamaan pertama dan kedua menjadi satu pada persamaan pertama dan tuliskan matriks B.

Kita mendapatkan angka nol pada kolom keempat dengan mengoperasikan baris pertama:

Sekarang kita mendapatkan angka nol di kolom ketiga menggunakan baris kedua:

Garis ketiga dan keempat proporsional, sehingga salah satunya dapat dicoret tanpa mengubah pangkatnya:
Kalikan baris ketiga dengan (–2) dan tambahkan ke baris keempat:

Kita melihat bahwa pangkat dari matriks utama dan matriks yang diperluas sama dengan 4, dan pangkat tersebut bertepatan dengan jumlah matriks yang tidak diketahui, oleh karena itu, sistem memiliki solusi unik:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Contoh 3. Periksa kompatibilitas sistem dan temukan solusi jika ada.

Larutan. Kami menyusun matriks yang diperluas dari sistem.

Kita susun ulang dua persamaan pertama sehingga ada 1 di pojok kiri atas:
Mengalikan baris pertama dengan (-1), menambahkannya ke baris ketiga:

Kalikan baris kedua dengan (-2) dan tambahkan ke baris ketiga:

Sistemnya tidak konsisten, karena pada matriks utama kita mendapat baris yang terdiri dari nol, yang dicoret ketika pangkatnya ditemukan, tetapi pada matriks yang diperluas, baris terakhir tetap ada, yaitu r B > r A .

Latihan. Selidiki kompatibilitas sistem persamaan ini dan selesaikan menggunakan kalkulus matriks.
Larutan

Contoh. Buktikan kesesuaian sistem persamaan linear dan selesaikan dengan dua cara: 1) dengan metode Gauss; 2) Metode Cramer. (masukkan jawabannya dalam bentuk: x1,x2,x3)
Solusi :dok :dok :xls
Menjawab: 2,-1,3.

Contoh. Sebuah sistem persamaan linear diberikan. Buktikan kompatibilitasnya. Temukan solusi umum dari sistem dan satu solusi khusus.
Larutan
Menjawab: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Latihan. Temukan solusi umum dan khusus dari setiap sistem.
Larutan. Kami mempelajari sistem ini menggunakan teorema Kronecker-Capelli.
Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dan matriks utama:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Di sini matriks A disorot dalam huruf tebal.
Mari kita reduksi matriks menjadi bentuk segitiga. Kita hanya akan mengerjakan baris, karena mengalikan baris matriks dengan bilangan selain nol dan menjumlahkannya ke baris lain untuk sistem berarti mengalikan persamaan dengan bilangan yang sama dan menjumlahkannya dengan persamaan lain, yang tidak mengubah penyelesaian persamaan. sistem.
Mari kalikan baris pertama dengan (3). Kalikan baris ke-2 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Kalikan baris ke-2 dengan (2). Kalikan baris ke-3 dengan (-3). Mari tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Kalikan baris ke-2 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Minor yang dipilih memiliki orde tertinggi (dari kemungkinan minor) dan bukan nol (sama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal terbalik), dan minor ini termasuk dalam matriks utama dan matriks yang diperluas, oleh karena itu rang( A) = rang(B) = 3 Karena rank matriks utama sama dengan rank matriks yang diperluas, maka sistemnya bersifat kolaboratif.
Anak di bawah umur ini adalah dasar. Ini mencakup koefisien untuk yang tidak diketahui x 1 , x 2 , x 3 , yang berarti bahwa yang tidak diketahui x 1 , x 2 , x 3 bergantung (dasar), dan x 4 , x 5 bebas.
Mari kita transformasikan matriksnya, hanya menyisakan basis minor di sebelah kiri.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Sistem dengan koefisien matriks ini ekuivalen dengan sistem aslinya dan berbentuk:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Dengan menggunakan metode menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui, kami menemukan:
Kami memperoleh hubungan yang menyatakan variabel terikat x 1 , x 2 , x 3 melalui variabel bebas x 4 , x 5 , yaitu, kami menemukan keputusan bersama:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
tidak pasti, Karena memiliki lebih dari satu solusi.

Latihan. Selesaikan sistem persamaan.
Menjawab:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Dengan menetapkan nilai apa pun pada hal yang tidak diketahui bebas, kita memperoleh sejumlah solusi tertentu. Sistemnya adalah tidak pasti