Silinder adalah benda geometris yang dibatasi oleh dua bidang sejajar dan permukaan silinder. Dalam artikel tersebut, kita akan berbicara tentang cara menemukan luas silinder dan, menggunakan rumus, kita akan memecahkan beberapa masalah misalnya.
Sebuah silinder memiliki tiga permukaan: atas, bawah, dan permukaan samping.
Bagian atas dan bawah silinder berbentuk lingkaran dan mudah dikenali.
Diketahui luas lingkaran sama dengan r 2 . Oleh karena itu, rumus luas dua lingkaran (atas dan bawah silinder) akan terlihat seperti r 2 + r 2 = 2πr 2 .
Yang ketiga, permukaan samping silinder, adalah dinding lengkung silinder. Untuk merepresentasikan permukaan ini dengan lebih baik, mari kita coba mengubahnya untuk mendapatkan bentuk yang dapat dikenali. Bayangkan sebuah silinder adalah kaleng biasa yang tidak memiliki tutup atas dan bawah. Mari kita buat sayatan vertikal pada dinding samping dari atas ke bawah toples (Langkah 1 pada gambar) dan cobalah untuk membuka (meluruskan) gambar yang dihasilkan sebanyak mungkin (Langkah 2).
Setelah pengungkapan penuh toples yang dihasilkan, kita akan melihat sosok yang sudah dikenal (Langkah 3), ini adalah persegi panjang. Luas persegi panjang mudah dihitung. Namun sebelum itu, mari kita kembali sejenak ke silinder aslinya. Titik sudut silinder asli adalah lingkaran, dan kita tahu bahwa keliling lingkaran dihitung dengan rumus: L = 2πr. Itu ditandai dengan warna merah pada gambar.
Ketika dinding samping silinder diperluas penuh, kita melihat bahwa keliling menjadi panjang persegi panjang yang dihasilkan. Sisi persegi panjang ini akan menjadi keliling (L = 2πr) dan tinggi silinder (h). Luas persegi panjang sama dengan hasil kali sisi-sisinya - S = panjang x lebar = L x t = 2πr x h = 2πrh. Hasilnya, kami memperoleh rumus untuk menghitung luas permukaan lateral silinder.
Rumus untuk luas permukaan lateral silinder
sisi S = 2prh
Luas permukaan penuh silinder
Akhirnya, jika kita menjumlahkan luas ketiga permukaan, kita mendapatkan rumus untuk luas permukaan total silinder. Luas permukaan silinder sama dengan luas bagian atas silinder + luas alas silinder + luas permukaan samping silinder atau S = r 2 + r 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Terkadang ekspresi ini ditulis dengan rumus identik 2πr (r + h).
Rumus luas permukaan total silinder
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r adalah jari-jari silinder, h adalah tinggi silinder
Contoh menghitung luas permukaan silinder
Untuk memahami rumus di atas, mari kita coba menghitung luas permukaan silinder menggunakan contoh.
1. Jari-jari alas silinder adalah 2, tinggi adalah 3. Tentukan luas permukaan samping silinder.
Luas permukaan total dihitung dengan rumus: S sisi. = 2prh
sisi S = 2 * 3,14 * 2 * 3
sisi S = 6,28 * 6
sisi S = 37,68
Luas permukaan lateral silinder adalah 37,68.
2. Bagaimana cara mencari luas permukaan silinder jika tingginya 4 dan jari-jarinya 6?
Luas permukaan total dihitung dengan rumus: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
Silinder (berasal dari bahasa Yunani, dari kata "skating rink", "roller") adalah tubuh geometris yang dibatasi di luar oleh permukaan yang disebut permukaan silinder dan dua bidang. Bidang-bidang ini memotong permukaan gambar dan sejajar satu sama lain.
Permukaan silinder adalah permukaan yang diperoleh dengan garis lurus dalam ruang. Gerakan-gerakan ini sedemikian rupa sehingga titik yang dipilih dari garis lurus ini bergerak sepanjang kurva tipe datar. Garis lurus seperti itu disebut generatrix, dan garis lengkung disebut guide.
Silinder terdiri dari sepasang alas dan permukaan silinder lateral. Silinder terdiri dari beberapa jenis:
1. Melingkar, silinder lurus. Untuk silinder seperti itu, alas dan pemandu tegak lurus terhadap generatrix, dan ada
2. Silinder miring. Dia memiliki sudut antara garis pembangkit dan alas tidak lurus.
3. Sebuah silinder dengan bentuk yang berbeda. Hiperbolik, elips, parabola dan lain-lain.
Luas silinder, serta luas permukaan total silinder apa pun, ditemukan dengan menambahkan luas alas gambar ini dan luas permukaan samping.
Rumus untuk menghitung luas total silinder untuk silinder lurus melingkar adalah:
Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).
Luas permukaan lateral sedikit lebih sulit ditemukan daripada luas seluruh silinder, dihitung dengan mengalikan panjang generatrix dengan keliling bagian yang dibentuk oleh bidang yang tegak lurus terhadap generasi.
Data silinder untuk silinder lurus dan melingkar dikenali dengan pengembangan objek ini.
Suatu pengembangan adalah persegi panjang yang memiliki tinggi h dan panjang P, yang sama dengan keliling alasnya.
Oleh karena itu luas lateral silinder sama dengan luas sapuan dan dapat dihitung menggunakan rumus ini:
Jika kita mengambil silinder lurus dan melingkar, maka untuk itu:
P = 2p R, dan Sb = 2p Rh.
Jika silinder dimiringkan, maka luas permukaan lateral harus sama dengan produk dari panjang generatriksnya dan keliling penampang, yang tegak lurus dengan generatrix ini.
Sayangnya, tidak ada rumus sederhana untuk menyatakan luas permukaan lateral silinder miring dalam hal ketinggian dan parameter dasarnya.
Untuk menghitung silinder, Anda perlu mengetahui beberapa fakta. Jika bagian dengan bidangnya memotong alas, maka bagian seperti itu selalu persegi panjang. Tetapi persegi panjang ini akan berbeda, tergantung pada posisi bagian. Salah satu sisi bagian aksial dari gambar, yang tegak lurus dengan alas, sama dengan tingginya, dan yang lainnya sama dengan diameter alas silinder. Dan luas bagian seperti itu, masing-masing, sama dengan produk dari satu sisi persegi panjang dengan yang lain, tegak lurus dengan yang pertama, atau produk dari tinggi gambar ini dengan diameter alasnya.
Jika bagian tegak lurus dengan alas gambar, tetapi tidak melewati sumbu rotasi, maka luas bagian ini akan sama dengan produk dari tinggi silinder ini dan akord tertentu. Untuk mendapatkan akord, Anda perlu membuat lingkaran di dasar silinder, menggambar jari-jari dan menyisihkan jarak di mana bagian itu berada. Dan dari titik ini Anda perlu menggambar tegak lurus ke jari-jari dari persimpangan dengan lingkaran. Titik-titik persimpangan terhubung ke pusat. Dan alas segitiga adalah yang diinginkan, yang dicari terdengar seperti ini: "Jumlah kuadrat dua kaki sama dengan kuadrat sisi miring":
C2 = A2 + B2.
Jika bagian tersebut tidak mempengaruhi dasar silinder, dan silinder itu sendiri berbentuk lingkaran dan lurus, maka luas bagian ini ditemukan sebagai luas lingkaran.
Luas lingkaran adalah :
S env. = 2p R2.
Untuk menemukan R, Anda perlu membagi panjangnya C dengan 2p:
R = C \ 2n, di mana n adalah pi, konstanta matematika yang dihitung untuk bekerja dengan data lingkaran dan sama dengan 3,14.
Ada sejumlah besar masalah yang terkait dengan silinder. Di dalamnya, Anda perlu menemukan jari-jari dan tinggi badan atau jenis bagiannya. Plus, terkadang Anda perlu menghitung luas silinder dan volumenya.
Badan apa silinder?
Dalam perjalanan kurikulum sekolah, sebuah lingkaran, yaitu silinder yang seperti itu di pangkalan, dipelajari. Tetapi mereka juga membedakan penampilan elips dari sosok ini. Dari namanya sudah jelas bahwa alasnya akan berbentuk elips atau oval.
Silinder memiliki dua basis. Mereka sama satu sama lain dan dihubungkan oleh segmen yang menggabungkan titik-titik pangkalan yang sesuai. Mereka disebut generator silinder. Semua generator sejajar satu sama lain dan sama. Mereka membentuk permukaan lateral tubuh.
Secara umum, silinder adalah benda miring. Jika generator membuat sudut kanan dengan pangkalan, maka mereka sudah berbicara tentang sosok lurus.
Menariknya, silinder melingkar adalah badan revolusi. Itu diperoleh dengan memutar persegi panjang di sekitar salah satu sisinya.
Elemen utama silinder
Elemen utama silinder adalah sebagai berikut.
- Tinggi. Ini adalah jarak terpendek antara dasar silinder. Jika lurus, maka tingginya bertepatan dengan generatrix.
- Radius. Bertepatan dengan yang bisa dilakukan di pangkalan.
- Sumbu. Ini adalah garis lurus yang berisi pusat dari kedua pangkalan. Sumbu selalu sejajar dengan semua generator. Dalam silinder kanan, itu tegak lurus dengan alas.
- Bagian aksial. Ini terbentuk ketika silinder memotong bidang yang mengandung sumbu.
- Pesawat singgung. Ini melewati salah satu generator dan tegak lurus terhadap bagian aksial, yang ditarik melalui generatrix ini.
Bagaimana silinder terkait dengan prisma tertulis di dalamnya atau dibatasi di dekatnya?
Terkadang ada masalah di mana perlu untuk menghitung luas silinder, sementara beberapa elemen prisma yang terkait dengannya diketahui. Bagaimana angka-angka ini terkait?
Jika sebuah prisma ditulis dalam sebuah silinder, maka alasnya adalah poligon yang sama. Selain itu, mereka tertulis di dasar silinder yang sesuai. Tepi samping prisma bertepatan dengan generator.
Prisma yang dijelaskan memiliki poligon beraturan di alasnya. Mereka digambarkan di dekat lingkaran silinder, yang merupakan alasnya. Bidang yang berisi permukaan prisma menyentuh silinder di sepanjang generator.
Di area permukaan lateral dan alas untuk silinder melingkar kanan
Jika Anda membuka permukaan samping, Anda mendapatkan persegi panjang. Sisi-sisinya akan bertepatan dengan generatrix dan keliling alasnya. Oleh karena itu, luas lateral silinder akan sama dengan produk dari dua besaran ini. Jika Anda menulis rumus, Anda mendapatkan yang berikut:
S sisi \u003d l * n,
di mana n adalah generatrix, l adalah keliling.
Selain itu, parameter terakhir dihitung dengan rumus:
l = 2 *r,
di sini r adalah jari-jari lingkaran, adalah angka "pi", sama dengan 3,14.
Karena alasnya adalah lingkaran, maka luasnya dihitung menggunakan persamaan berikut:
S utama \u003d * r 2.
Pada luas seluruh permukaan silinder melingkar kanan
Karena dibentuk oleh dua alas dan permukaan lateral, ketiga besaran ini harus ditambahkan. Artinya, luas total silinder akan dihitung dengan rumus:
S lantai = 2 * r * n + 2 * r 2 .
Hal ini sering ditulis dalam bentuk yang berbeda:
S lantai = 2 * r (n + r).
Pada bidang silinder melingkar miring
Sedangkan untuk alasnya, semua rumusnya sama, karena masih berbentuk lingkaran. Tapi permukaan samping tidak lagi memberikan persegi panjang.
Untuk menghitung luas permukaan lateral silinder miring, Anda perlu mengalikan nilai generatrix dan keliling bagian, yang akan tegak lurus dengan generatrix yang dipilih.
Rumusnya terlihat seperti ini:
S sisi \u003d x * P,
di mana x adalah panjang generatrix silinder, P adalah keliling penampang.
Ngomong-ngomong, penampang melintang lebih baik dipilih sedemikian rupa sehingga membentuk elips. Kemudian perhitungan kelilingnya akan disederhanakan. Panjang elips dihitung menggunakan rumus yang memberikan jawaban perkiraan. Tetapi seringkali cukup untuk tugas-tugas kursus sekolah:
l \u003d * (a + b),
di mana "a" dan "b" adalah setengah sumbu elips, yaitu jarak dari pusat ke titik terdekat dan terjauh.
Luas seluruh permukaan harus dihitung menggunakan ekspresi berikut:
S lantai = 2 * r 2 + x * R.
Apa saja bagian dari silinder lingkaran siku-siku?
Ketika penampang melewati sumbu, maka luasnya ditentukan sebagai produk dari generatrix dan diameter alas. Ini karena ia memiliki bentuk persegi panjang, yang sisi-sisinya bertepatan dengan elemen yang ditentukan.
Untuk menemukan luas penampang silinder yang sejajar dengan sumbu, Anda juga memerlukan rumus persegi panjang. Dalam situasi ini, salah satu sisinya masih akan bertepatan dengan ketinggian, dan yang lainnya akan sama dengan tali alasnya. Yang terakhir bertepatan dengan garis bagian di sepanjang pangkalan.
Ketika bagian tersebut tegak lurus terhadap sumbu, maka tampak seperti lingkaran. Apalagi luasnya sama dengan dasar gambar.
Dimungkinkan juga untuk berpotongan di beberapa sudut terhadap sumbu. Kemudian di bagian itu diperoleh oval atau bagiannya.
Contoh tugas
Tugas nomor 1. Sebuah silinder lurus diberikan, luas alasnya adalah 12,56 cm 2 . Perlu untuk menghitung luas total silinder jika tingginya 3 cm.
Larutan. Hal ini diperlukan untuk menggunakan rumus untuk luas total silinder kanan melingkar. Namun kekurangan data yaitu jari-jari alas. Tetapi luas lingkaran diketahui. Dari situ mudah untuk menghitung jari-jari.
Ternyata sama dengan akar kuadrat dari hasil bagi, yang diperoleh dengan membagi area dasar dengan pi. Membagi 12,56 dengan 3,14 adalah 4. Akar kuadrat dari 4 adalah 2. Oleh karena itu, jari-jarinya akan memiliki nilai ini.
Jawaban: S lantai \u003d 50,24 cm 2.
Tugas nomor 2. Sebuah silinder dengan jari-jari 5 cm dipotong oleh bidang yang sejajar dengan sumbu. Jarak dari bagian ke sumbu adalah 3 cm, tinggi silinder adalah 4 cm, diperlukan untuk menemukan luas bagian.
Larutan. Bentuk bagiannya persegi panjang. Salah satu sisinya bertepatan dengan ketinggian silinder, dan yang lainnya sama dengan tali busur. Jika nilai pertama diketahui, maka yang kedua harus ditemukan.
Untuk melakukan ini, Anda perlu membuat konstruksi tambahan. Di pangkalan kami menggambar dua segmen. Keduanya akan mulai di tengah lingkaran. Yang pertama akan berakhir di tengah akord dan sama dengan jarak yang diketahui ke sumbu. Yang kedua adalah di akhir akord.
Anda mendapatkan segitiga siku-siku. Sisi miring dan salah satu kakinya diketahui di dalamnya. Hipotenusa sama dengan jari-jari. Kaki kedua sama dengan setengah akord. Kaki yang tidak diketahui, dikalikan dengan 2, akan memberikan panjang akord yang dibutuhkan. Mari kita hitung nilainya.
Untuk menemukan kaki yang tidak diketahui, Anda perlu mengkuadratkan sisi miring dan kaki yang diketahui, kurangi yang kedua dari yang pertama dan ambil akar kuadrat. Kuadrat adalah 25 dan 9. Perbedaannya adalah 16. Setelah mengekstrak akar kuadrat, tersisa 4. Ini adalah kaki yang diinginkan.
Akord akan sama dengan 4 * 2 = 8 (cm). Sekarang Anda dapat menghitung luas penampang: 8 * 4 \u003d 32 (cm 2).
Jawaban: S detik adalah 32 cm 2.
Tugas nomor 3. Penting untuk menghitung luas bagian aksial silinder. Diketahui sebuah kubus dengan rusuk 10 cm berada di dalamnya.
Larutan. Bagian aksial silinder bertepatan dengan persegi panjang yang melewati empat simpul kubus dan berisi diagonal alasnya. Sisi kubus adalah generatrix silinder, dan diagonal alas bertepatan dengan diameter. Hasil kali kedua besaran ini akan memberikan luas yang perlu Anda cari dalam soal.
Untuk menemukan diameter, Anda perlu menggunakan pengetahuan bahwa alas kubus adalah persegi, dan diagonalnya membentuk segitiga siku-siku sama sisi. Sisi miringnya adalah diagonal yang diperlukan dari gambar.
Untuk menghitungnya, Anda memerlukan rumus teorema Pythagoras. Anda perlu mengkuadratkan sisi kubus, mengalikannya dengan 2 dan mengambil akar kuadrat. Sepuluh pangkat dua adalah seratus. Dikalikan 2 adalah dua ratus. Akar kuadrat dari 200 adalah 10√2.
Bagian ini lagi-lagi persegi panjang dengan sisi 10 dan 10√2. Luasnya mudah dihitung dengan mengalikan nilai-nilai ini.
Menjawab. S detik \u003d 100√2 cm 2.
Stereometri adalah cabang geometri yang mempelajari bentuk dalam ruang. Tokoh utama dalam ruang adalah titik, garis, dan bidang. Dalam stereometri, jenis baru dari susunan garis muncul: garis miring. Ini adalah salah satu dari sedikit perbedaan signifikan antara geometri padat dan planimetri, karena dalam banyak kasus masalah stereometri diselesaikan dengan mempertimbangkan bidang yang berbeda di mana hukum planimetri terpenuhi.
Di alam sekitar kita, banyak sekali benda-benda yang menjadi model fisik dari sosok ini. Misalnya, banyak bagian mesin berbentuk silinder atau kombinasinya, dan pilar megah kuil dan katedral, dibuat dalam bentuk silinder, menekankan harmoni dan keindahannya.
Orang yunani kyulindros. istilah kuno. Dalam kehidupan sehari-hari - gulungan papirus, roller, arena skating (kata kerja - twist, roll).
Dalam Euclid, silinder diperoleh dengan memutar persegi panjang. Untuk Cavalieri - dengan pergerakan generatrix (dengan panduan sewenang-wenang - "silinder").
Tujuan dari esai ini adalah untuk mempertimbangkan tubuh geometris - silinder.
Untuk mencapai tujuan ini, tugas-tugas berikut harus dipertimbangkan:
memberikan definisi silinder;
- pertimbangkan elemen silinder;
untuk mempelajari sifat-sifat silinder;
- pertimbangkan jenis bagian silinder;
- dapatkan rumus untuk luas silinder;
turunkan rumus untuk volume silinder;
memecahkan masalah menggunakan silinder.
1.1. Definisi Silinder
Pertimbangkan beberapa garis (kurva, garis putus-putus atau garis campuran) l terletak di beberapa bidang dan beberapa garis lurus S yang memotong bidang ini. Melalui semua titik dari garis yang diberikan l kita menggambar garis sejajar dengan garis S; permukaan yang dibentuk oleh garis-garis lurus ini disebut permukaan silinder. Garis l disebut pemandu permukaan ini, garis s 1 , s 2 , s 3 ,... adalah generatornya.
Jika pemandu adalah garis putus-putus, maka permukaan silinder seperti itu terdiri dari serangkaian strip datar yang tertutup di antara pasangan garis paralel, dan disebut permukaan prismatik. Generatrices yang melewati simpul dari polyline pemandu disebut tepi permukaan prismatik, strip datar di antara mereka disebut wajahnya.
Jika kita memotong setiap permukaan silinder dengan bidang sembarang yang tidak sejajar dengan generatornya, maka kita mendapatkan garis yang juga dapat diambil sebagai panduan untuk permukaan ini. Di antara panduan, satu menonjol, yang diperoleh dari bagian permukaan oleh bidang yang tegak lurus terhadap generator permukaan. Bagian seperti itu disebut bagian normal, dan panduan yang sesuai disebut panduan normal.
Jika pemandu adalah garis tertutup (cembung) (garis putus-putus atau kurva), maka permukaan yang sesuai disebut permukaan prismatik atau silinder tertutup (cembung). Dari permukaan silinder, yang paling sederhana memiliki lingkaran pemandu normal. Mari kita membedah permukaan prismatik cembung tertutup dengan dua bidang yang sejajar satu sama lain, tetapi tidak sejajar dengan generator.
Di bagian kami memperoleh poligon cembung. Sekarang bagian dari permukaan prismatik yang tertutup antara bidang dan ", dan dua pelat poligonal yang terbentuk di bidang ini, membatasi benda, yang disebut benda prismatik - prisma.
Badan silinder - silinder didefinisikan mirip dengan prisma:
Silinder adalah benda yang dibatasi secara lateral oleh permukaan silinder tertutup (cembung), dan dari ujungnya oleh dua alas sejajar yang datar. Kedua alas silinder sama, dan semua generator silinder juga sama satu sama lain, mis. segmen yang membentuk permukaan silinder antara bidang alas.
Silinder (lebih tepatnya, silinder melingkar) adalah benda geometris, yang terdiri dari dua lingkaran yang tidak terletak pada bidang yang sama dan digabungkan dengan transfer paralel, dan semua segmen yang menghubungkan titik-titik yang sesuai dari lingkaran ini (Gbr. 1) .
Lingkaran disebut alas silinder, dan segmen yang menghubungkan titik-titik yang sesuai dari lingkaran lingkaran disebut generator silinder.
Karena translasi paralel adalah gerak, alas silinder adalah sama.
Karena selama translasi paralel pesawat melewati bidang paralel (atau ke dalam dirinya sendiri), maka alas silinder terletak pada bidang paralel.
Karena, selama translasi paralel, titik-titik dipindahkan sepanjang garis paralel (atau bertepatan) dengan jarak yang sama, maka generator silinder sejajar dan sama.
Permukaan silinder terdiri dari alas dan permukaan samping. Permukaan lateral terdiri dari generator.
Sebuah silinder disebut lurus jika generatornya tegak lurus terhadap bidang alasnya.
Silinder lurus dapat divisualisasikan sebagai benda geometris yang menggambarkan persegi panjang saat berputar di sekitar sisi sebagai sumbu (Gbr. 2).
Beras. 2 Silinder lurus
Berikut ini, kami hanya akan mempertimbangkan silinder lurus, menyebutnya hanya silinder untuk singkatnya.
Jari-jari silinder adalah jari-jari alasnya. Tinggi silinder adalah jarak antara bidang alasnya. Sumbu silinder adalah garis lurus yang melalui pusat-pusat alas. Itu sejajar dengan generator.
Sebuah silinder disebut sama sisi jika tingginya sama dengan diameter alasnya.
Jika alas silinder itu datar (dan karenanya bidang-bidang yang memuatnya sejajar), maka silinder dikatakan berdiri di atas sebuah bidang. Jika alas silinder yang berdiri pada bidang tegak lurus terhadap generatrix, maka silinder tersebut disebut lurus.
Secara khusus, jika alas silinder yang berdiri di atas bidang adalah lingkaran, maka kita berbicara tentang silinder (bulat) melingkar; jika elips, maka elips.
1. 3. Bagian silinder
Bagian silinder dengan bidang yang sejajar dengan sumbunya adalah persegi panjang (Gbr. 3, a). Dua sisinya adalah generatris silinder, dan dua lainnya adalah akord paralel alasnya.
sebuah) 
b)
di) G)
Beras. 3 - Bagian silinder
Secara khusus, persegi panjang adalah bagian aksial. Ini adalah bagian dari silinder oleh bidang yang melewati porosnya (Gbr. 3, b).
Bagian silinder dengan bidang yang sejajar dengan alasnya adalah lingkaran (Gbr. 3, c).
Penampang silinder dengan bidang yang tidak sejajar dengan alas dan porosnya berbentuk oval (Gbr. 3d).
Teorema 1. Sebuah bidang yang sejajar dengan bidang alas silinder memotong permukaan lateralnya sepanjang lingkaran yang sama dengan keliling alasnya.
Bukti. Biarkan menjadi bidang yang sejajar dengan bidang alas silinder. Transfer paralel dalam arah sumbu silinder, yang menggabungkan bidang dengan bidang alas silinder, menggabungkan bagian permukaan samping oleh bidang dengan keliling alas. Teorema telah terbukti.
Luas permukaan lateral silinder.
Luas permukaan sisi silinder diambil sebagai batas di mana luas permukaan sisi prisma biasa yang tertulis di dalam silinder cenderung ketika jumlah sisi alas prisma ini meningkat tanpa batas.
Teorema 2. Luas permukaan lateral silinder sama dengan hasil kali keliling alas dan tingginya (sisi S.c = 2πRH, di mana R adalah jari-jari alas silinder, H adalah tinggi silinder).
TETAPI) 
b) 
Beras. 4 - Luas permukaan lateral silinder
Bukti.
Misalkan P n dan H, berturut-turut, adalah keliling alas dan tinggi prisma n-gonal beraturan di dalam sebuah silinder (Gbr. 4, a). Maka luas permukaan lateral prisma ini adalah sisi S.c P n H. Mari kita asumsikan bahwa jumlah sisi poligon yang tertulis di alas bertambah tanpa batas (Gbr. 4, b). Maka keliling P n cenderung ke keliling C = 2πR, dimana R adalah jari-jari alas silinder, dan tinggi H tidak berubah. Dengan demikian, luas permukaan lateral prisma cenderung ke batas 2πRH, yaitu, luas permukaan lateral silinder sama dengan sisi S.c = 2πRH. Teorema telah terbukti.
Luas permukaan total silinder.
Luas permukaan total silinder adalah jumlah luas permukaan lateral dan kedua alasnya. Luas setiap alas silinder sama dengan R 2, oleh karena itu, luas permukaan penuh silinder S penuh dihitung dengan rumus sisi S.c \u003d 2πRH + 2πR 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
Beras. 5 Luas permukaan penuh silinder
Jika permukaan lateral silinder dipotong sepanjang generatrix FT (Gbr. 5, a) dan dibuka sehingga semua generatrix berada di bidang yang sama, maka sebagai hasilnya kita mendapatkan persegi panjang FTT1F1, yang disebut pengembangan lateral permukaan silinder. Sisi FF1 persegi panjang merupakan pengembangan dari keliling alas silinder, oleh karena itu, FF1=2πR, dan FT sisinya sama dengan generatrix silinder, yaitu FT = H (Gbr. 5, b). Jadi, luas FT∙FF1=2πRH dari pengembangan silinder sama dengan luas permukaan lateralnya.
1.5. Volume silinder
Jika benda geometris sederhana, yaitu dapat dibagi menjadi sejumlah piramida segitiga yang terbatas, maka volumenya sama dengan jumlah volume piramida ini. Untuk benda sewenang-wenang, volume didefinisikan sebagai berikut.
Benda tertentu memiliki volume V jika ada benda sederhana yang memuatnya dan benda sederhana yang terkandung di dalamnya dengan volume yang sedikit berbeda dari V seperti yang diinginkan.
Mari kita terapkan definisi ini untuk mencari volume silinder dengan jari-jari alas R dan tinggi H.
Saat menurunkan rumus untuk luas lingkaran, dua n-gon (satu berisi lingkaran, yang lain berisi lingkaran) dibangun sedemikian rupa sehingga luasnya dengan peningkatan n tak terbatas mendekati luas lingkaran tanpa batas waktu. Mari kita buat poligon seperti itu untuk lingkaran di dasar silinder. Misalkan P adalah poligon yang berisi lingkaran, dan P" adalah poligon yang terdapat dalam lingkaran (Gbr. 6).
Beras. 7 - Silinder dengan prisma dijelaskan dan tertulis di dalamnya
Mari kita bangun dua prisma lurus dengan alas P dan P" dan tinggi H, sama tinggi silinder. Prisma pertama berisi silinder dan prisma kedua berisi silinder. Karena dengan peningkatan n yang tidak terbatas, luas alas prisma secara tak terbatas mendekati luas alas silinder S, volumenya mendekati SH tanpa batas. Menurut definisi, volume silinder
V = SH = R 2 H.
Jadi, volume silinder sama dengan produk dari luas alas dan tinggi.
Tugas 1.
Bagian aksial silinder adalah persegi yang luasnya Q.
Temukan luas alas silinder.
Diberikan: silinder, persegi - bagian aksial silinder, S persegi = Q.
Temukan: S silinder utama.
Sisi persegi adalah . Ini sama dengan diameter alas. Jadi luas alasnya adalah 
.
Jawaban: S silinder utama. =
Tugas 2.
Sebuah prisma heksagonal biasa tertulis dalam sebuah silinder. Tentukan sudut antara diagonal permukaan sisinya dan sumbu silinder jika jari-jari alasnya sama dengan tinggi silinder.
Diketahui: sebuah silinder, sebuah prisma heksagonal beraturan di dalam sebuah silinder, jari-jari alas = tinggi silinder.
Cari: sudut antara diagonal permukaan sisinya dan sumbu silinder.
Solusi: Sisi sisi prisma berbentuk bujur sangkar, karena sisi segi enam beraturan yang terdapat dalam lingkaran sama dengan jari-jarinya.
Tepi prisma sejajar dengan sumbu silinder, sehingga sudut antara diagonal muka dan sumbu silinder sama dengan sudut antara diagonal dan tepi samping. Dan sudut ini adalah 45 °, karena wajah-wajah itu persegi.
Jawab: sudut antara diagonal sisi muka dan sumbu silinder = 45°.
Tugas 3.
Tinggi tabung adalah 6 cm, jari-jari alasnya adalah 5 cm.
Cari luas bagian yang ditarik sejajar dengan sumbu silinder pada jarak 4 cm darinya.
Diketahui: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.
Temukan: S detik.
S detik. = KM × KS,
OE = 4 cm, KS = 6 cm.
Segitiga OKM - sama kaki (OK = OM = R = 5 cm),
segitiga OEK adalah segitiga siku-siku.
Dari segitiga OEK, menurut teorema Pythagoras:
KM \u003d 2EK \u003d 2 × 3 \u003d 6,
S detik. \u003d 6 × 6 \u003d 36 cm 2.
Tujuan esai ini terpenuhi, benda geometris seperti silinder dipertimbangkan.
Tugas-tugas berikut dipertimbangkan:
definisi silinder diberikan;
elemen silinder dipertimbangkan;
mempelajari sifat-sifat silinder;
jenis bagian silinder dipertimbangkan;
rumus luas silinder diturunkan;
rumus untuk volume silinder diturunkan;
Masalah diselesaikan dengan penggunaan silinder.
1. Pogorelov A. V. Geometri: Buku teks untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan, 1995.
2. Beskin L.N. Stereometri. Buku pegangan untuk guru sekolah menengah, 1999.
3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geometri: Buku teks untuk kelas 10-11 lembaga pendidikan, 2000.
4. Aleksandrov A.D., Verner A.L., Ryzhik V.I. Geometri: buku teks untuk kelas 10-11 lembaga pendidikan, 1998.
5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometri: Stereometri: Kelas 10 - 11: Buku teks dan buku masalah, 2000.
Ini adalah tubuh geometris yang dibatasi oleh dua bidang paralel dan permukaan silinder.
Silinder terdiri dari permukaan samping dan dua alas. Rumus untuk luas permukaan silinder mencakup perhitungan terpisah dari luas alas dan permukaan lateral. Karena alas dalam silinder sama, maka luas totalnya akan dihitung dengan rumus:
Kami akan mempertimbangkan contoh penghitungan luas silinder setelah kami mengetahui semua rumus yang diperlukan. Pertama kita membutuhkan rumus untuk luas alas silinder. Karena alas silinder adalah lingkaran, kita perlu menerapkan: 
Kita ingat bahwa perhitungan ini menggunakan bilangan konstan = 3.1415926, yang dihitung sebagai rasio keliling lingkaran dengan diameternya. Angka ini adalah konstanta matematika. Kami juga akan mempertimbangkan contoh menghitung luas alas silinder nanti.
Luas permukaan sisi silinder
Rumus untuk luas permukaan lateral silinder adalah produk dari panjang alas dan tingginya:
Sekarang pertimbangkan masalah di mana kita perlu menghitung luas total silinder. Pada gambar yang diberikan, tingginya adalah h = 4 cm, r = 2 cm Mari kita cari luas total silinder.
Pertama, mari kita hitung luas alasnya:
Sekarang perhatikan contoh menghitung luas permukaan lateral silinder. Ketika diperluas, itu adalah persegi panjang. Luasnya dihitung menggunakan rumus di atas. Substitusikan semua data ke dalamnya:
Luas total lingkaran adalah jumlah dua kali luas alas dan sisinya:
Jadi, dengan menggunakan rumus untuk luas alas dan permukaan lateral gambar, kami dapat menemukan luas permukaan total silinder.
Bagian aksial silinder adalah persegi panjang yang sisi-sisinya sama dengan tinggi dan diameter silinder.
Rumus luas penampang aksial silinder diturunkan dari rumus perhitungan:
