Persamaan diferensial biasa disebut persamaan yang menghubungkan variabel bebas, fungsi yang tidak diketahui dari variabel ini dan turunannya (atau diferensial) dari berbagai ordo.

Orde persamaan diferensial adalah orde turunan tertinggi yang terkandung di dalamnya.

Selain yang biasa, persamaan diferensial parsial juga dipelajari. Ini adalah persamaan yang berhubungan dengan variabel bebas, fungsi yang tidak diketahui dari variabel-variabel ini dan turunan parsialnya terhadap variabel yang sama. Tapi kami hanya akan mempertimbangkan persamaan diferensial biasa dan karena itu kami akan menghilangkan kata "biasa" untuk singkatnya.

Contoh persamaan diferensial:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Persamaan (1) orde keempat, persamaan (2) orde ketiga, persamaan (3) dan (4) orde kedua, persamaan (5) orde pertama.

persamaan diferensial n orde tidak harus secara eksplisit mengandung suatu fungsi, semua turunannya dari pertama sampai n orde dan variabel bebas. Ini mungkin tidak secara eksplisit mengandung turunan dari beberapa pesanan, fungsi, variabel independen.

Misalnya, dalam persamaan (1) jelas tidak ada turunan dari orde ketiga dan kedua, serta fungsi; dalam persamaan (2) - turunan dan fungsi orde kedua; dalam persamaan (4) - variabel bebas; dalam persamaan (5) - fungsi. Hanya persamaan (3) yang secara eksplisit memuat semua turunan, fungsi, dan variabel bebas.

Dengan menyelesaikan persamaan diferensial fungsi apa pun disebut y = f(x), substitusikan mana ke dalam persamaan, itu berubah menjadi identitas.

Proses mencari penyelesaian persamaan diferensial disebut integrasi.

Contoh 1 Temukan solusi untuk persamaan diferensial.

Larutan. Kami menulis persamaan ini dalam bentuk . Solusinya adalah mencari fungsi dengan turunannya. Fungsi asli, seperti yang diketahui dari kalkulus integral, adalah antiturunan untuk, yaitu.

Itulah apa itu solusi dari persamaan diferensial yang diberikan . berubah di dalamnya C, kita akan mendapatkan solusi yang berbeda. Kami menemukan bahwa ada banyak sekali solusi untuk persamaan diferensial orde pertama.

Solusi umum persamaan diferensial n orde adalah solusinya dinyatakan secara eksplisit sehubungan dengan fungsi yang tidak diketahui dan mengandung n konstanta arbitrer independen, mis.

Penyelesaian persamaan diferensial pada contoh 1 bersifat umum.

Solusi parsial dari persamaan diferensial solusinya disebut, di mana nilai numerik tertentu diberikan ke konstanta arbitrer.

Contoh 2 Tentukan solusi umum persamaan diferensial dan solusi khusus untuk .

Larutan. Kami mengintegrasikan kedua bagian persamaan beberapa kali sehingga orde persamaan diferensialnya sama.

,

.

Akibatnya, kami mendapat solusi umum -

diberikan persamaan diferensial orde ketiga.

Sekarang mari kita cari solusi tertentu di bawah kondisi yang ditentukan. Untuk melakukan ini, kami mengganti nilainya alih-alih koefisien arbitrer dan memperoleh

.

Jika, selain persamaan diferensial, kondisi awal diberikan dalam bentuk , maka masalah seperti itu disebut Masalah Cauchy . Nilai dan disubstitusikan ke dalam solusi umum persamaan dan nilai konstanta arbitrer ditemukan C, dan kemudian solusi khusus dari persamaan untuk nilai yang ditemukan C. Ini adalah solusi untuk masalah Cauchy.

Contoh 3 Memecahkan masalah Cauchy untuk persamaan diferensial dari Contoh 1 di bawah kondisi .

Larutan. Kami mengganti ke dalam solusi umum nilai-nilai dari kondisi awal kamu = 3, x= 1. Kita dapatkan

Kami menuliskan solusi dari masalah Cauchy untuk persamaan diferensial yang diberikan dari orde pertama:

Memecahkan persamaan diferensial, bahkan yang paling sederhana, membutuhkan keterampilan yang baik dalam mengintegrasikan dan mengambil turunan, termasuk fungsi kompleks. Hal ini dapat dilihat pada contoh berikut.

Contoh 4 Temukan solusi umum dari persamaan diferensial.

Larutan. Persamaan ditulis sedemikian rupa sehingga kedua sisi dapat segera diintegrasikan.

.

Kami menerapkan metode integrasi dengan mengubah variabel (substitusi). Biarkan , lalu .

Diperlukan untuk mengambil dx dan sekarang - perhatian - kami melakukannya sesuai dengan aturan diferensiasi fungsi kompleks, karena x dan ada fungsi kompleks ("apel" - mengekstrak akar kuadrat atau, yang sama - meningkatkan pangkat "satu detik", dan "daging cincang" - ekspresi itu sendiri di bawah akar):

Kami menemukan integralnya:

Kembali ke variabel x, kita mendapatkan:

.

Ini adalah solusi umum dari persamaan diferensial tingkat pertama ini.

Tidak hanya keterampilan dari bagian sebelumnya dari matematika yang lebih tinggi akan diperlukan dalam memecahkan persamaan diferensial, tetapi juga keterampilan dari dasar, yaitu matematika sekolah. Seperti yang telah disebutkan, dalam persamaan diferensial dari urutan apa pun mungkin tidak ada variabel independen, yaitu variabel x. Pengetahuan tentang proporsi yang tidak dilupakan (namun, siapa pun menyukainya) dari bangku sekolah akan membantu menyelesaikan masalah ini. Ini adalah contoh berikutnya.

Ingat masalah yang kita hadapi ketika menemukan integral tertentu:

atau dy = f(x)dx. Solusi nya:

dan itu mengurangi ke perhitungan integral tak tentu. Dalam praktiknya, tugas yang lebih sulit lebih umum: menemukan fungsi kamu, jika diketahui memenuhi hubungan bentuk

Hubungan ini menghubungkan variabel bebas x, fungsi tidak diketahui kamu dan turunannya sampai orde n inklusif, disebut .

Persamaan diferensial mencakup fungsi di bawah tanda turunan (atau diferensial) dari satu orde atau lainnya. Urutan tertinggi disebut urutan (9.1) .

Persamaan Diferensial:

- pesanan pertama

pesanan kedua,

- urutan kelima, dll.

Suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial tertentu disebut penyelesaiannya , atau integral . Memecahkannya berarti menemukan semua solusinya. Jika untuk fungsi yang diinginkan kamu berhasil mendapatkan formula yang memberikan semua solusi, maka kami mengatakan bahwa kami telah menemukan solusi umumnya , atau integral umum .

Keputusan bersama mengandung n konstanta arbitrer dan sepertinya

Jika diperoleh relasi yang berhubungan x, y dan n konstanta arbitrer, dalam bentuk yang tidak diizinkan sehubungan dengan kamu -

maka hubungan seperti itu disebut integral umum persamaan (9.1).

Masalah Cauchy

Setiap solusi spesifik, yaitu, setiap fungsi spesifik yang memenuhi persamaan diferensial tertentu dan tidak bergantung pada konstanta sembarang, disebut solusi partikular. , atau integral pribadi. Untuk mendapatkan solusi khusus (integral) dari solusi umum, perlu untuk melampirkan nilai numerik tertentu ke konstanta.

Grafik solusi tertentu disebut kurva integral. Solusi umum, yang berisi semua solusi khusus, adalah keluarga kurva integral. Untuk persamaan orde pertama, keluarga ini bergantung pada satu konstanta arbitrer; untuk persamaan n urutan ke - dari n konstanta arbitrer.

Masalah Cauchy adalah menemukan solusi khusus untuk persamaan n pesanan th, memuaskan n kondisi awal:

yang menentukan n konstanta 1 , 2 ,..., c n.

persamaan diferensial orde 1

Untuk yang belum terselesaikan sehubungan dengan turunan, persamaan diferensial dari orde 1 memiliki bentuk

atau untuk diizinkan relatif

Contoh 3.46. Temukan solusi umum untuk persamaan

Larutan. Mengintegrasikan, kita mendapatkan

dimana C adalah konstanta sembarang. Jika kita memberikan nilai numerik spesifik C, maka kita mendapatkan solusi tertentu, misalnya,

Contoh 3.47. Pertimbangkan peningkatan jumlah uang yang disimpan di bank, tunduk pada akrual 100 r bunga majemuk per tahun. Biarkan Yo menjadi jumlah uang awal, dan Yx setelah kedaluwarsa x bertahun-tahun. Ketika bunga dihitung setahun sekali, kita mendapatkan

dimana x = 0, 1, 2, 3,.... Ketika bunga dihitung dua kali setahun, kita mendapatkan

dimana x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Saat menghitung bunga n setahun sekali dan jika x mengambil berturut-turut nilai 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., maka

Dilambangkan 1/n = h , maka persamaan sebelumnya akan terlihat seperti:

Dengan perbesaran tak terbatas n(pada ) dalam batas kita sampai pada proses peningkatan jumlah uang dengan akrual bunga terus menerus:

Dengan demikian, dapat dilihat bahwa dengan perubahan terus menerus x hukum perubahan jumlah uang beredar dinyatakan dengan persamaan diferensial orde pertama. Dimana Y x adalah fungsi yang tidak diketahui, x- variabel bebas, r- konstan. Kami memecahkan persamaan ini, untuk ini kami menulis ulang sebagai berikut:

di mana , atau , di mana P adalah singkatan dari e C .

Dari kondisi awal Y(0) = Yo , kami menemukan P: Yo = Pe o , dari mana, Yo = P. Oleh karena itu, solusinya terlihat seperti:

Pertimbangkan masalah ekonomi kedua. Model makroekonomi juga dijelaskan oleh persamaan diferensial linier orde 1, yang menggambarkan perubahan pendapatan atau output Y sebagai fungsi waktu.

Contoh 3.48. Biarkan pendapatan nasional Y meningkat pada tingkat yang sebanding dengan ukurannya:

dan biarkan, defisit pengeluaran pemerintah berbanding lurus dengan pendapatan Y dengan koefisien proporsionalitas q. Defisit dalam pengeluaran menyebabkan peningkatan utang nasional D:

Kondisi awal Y = Yo dan D = Lakukan pada t = 0. Dari persamaan pertama Y= Yoe kt . Mengganti Y kita mendapatkan dD/dt = qYoe kt . Solusi umum memiliki bentuk
D = (q/ k) Yoe kt +С, dimana = const, yang ditentukan dari kondisi awal. Mensubstitusi kondisi awal, kita memperoleh Do = (q/k)Yo + C. Jadi, akhirnya,

D = Lakukan +(q/k)Yo (e kt -1),

ini menunjukkan bahwa utang nasional meningkat pada tingkat yang relatif sama k, yang merupakan pendapatan nasional.

Pertimbangkan persamaan diferensial paling sederhana n urutan, ini adalah persamaan bentuk

Solusi umumnya dapat diperoleh dengan menggunakan n kali integrasi.

Contoh 3.49. Perhatikan contoh y """ = cos x.

Larutan. Mengintegrasikan, kami menemukan

Solusi umum memiliki bentuk

Persamaan diferensial linier

Dalam ekonomi, mereka sangat berguna, pertimbangkan solusi dari persamaan tersebut. Jika (9.1) berbentuk:

maka disebut linier, di mana po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) diberikan fungsi. Jika f(x) = 0, maka (9.2) disebut homogen, jika tidak disebut tidak homogen. Solusi umum persamaan (9.2) sama dengan jumlah semua solusi khususnya y(x) dan solusi umum persamaan homogen yang sesuai dengannya:

Jika koefisien p o (x), p 1 (x),..., p n (x) adalah konstanta, maka (9.2)

(9.4) disebut persamaan diferensial linier dengan koefisien orde konstan n .

Untuk (9.4) memiliki bentuk:

Kita dapat mengatur tanpa kehilangan keumuman p o = 1 dan menulis (9.5) dalam bentuk

Kami akan mencari solusi (9.6) dalam bentuk y = e kx , di mana k adalah konstanta. Kita punya: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Substitusikan ekspresi yang diperoleh ke (9.6), kita akan memiliki:

(9.7) adalah persamaan aljabar, yang tidak diketahui adalah k, itu disebut karakteristik. Persamaan karakteristik memiliki derajat n dan n akar, di antaranya bisa banyak dan kompleks. Misalkan k 1 , k 2 ,..., k n nyata dan berbeda, maka adalah solusi khusus (9.7), sedangkan solusi umum

Pertimbangkan persamaan diferensial homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan:

Persamaan karakteristiknya berbentuk

(9.9)

diskriminannya D = p 2 - 4q, tergantung pada tanda D, tiga kasus dimungkinkan.

1. Jika D>0, maka akar-akar k 1 dan k 2 (9.9) real dan berbeda, dan solusi umumnya berbentuk:

Larutan. Persamaan karakteristik: k 2 + 9 = 0, dimana k = ± 3i, a = 0, b = 3, solusi umumnya adalah:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Persamaan diferensial linier orde kedua digunakan untuk mempelajari model ekonomi seperti web dengan stok barang, di mana tingkat perubahan harga P tergantung pada ukuran stok (lihat paragraf 10). Jika penawaran dan permintaan adalah fungsi linier dari harga, yaitu,

a - adalah konstanta yang menentukan laju reaksi, maka proses perubahan harga digambarkan dengan persamaan diferensial:

Untuk solusi tertentu, Anda dapat mengambil konstanta

yang memiliki arti harga keseimbangan. Deviasi memenuhi persamaan homogen

(9.10)

Persamaan karakteristik akan menjadi sebagai berikut:

Dalam kasus, istilahnya positif. Menunjukkan . Akar persamaan karakteristik k 1,2 = ± i w, sehingga solusi umum (9.10) berbentuk:

di mana C dan konstanta arbitrer, mereka ditentukan dari kondisi awal. Kami telah memperoleh hukum perubahan harga dalam waktu:

Masukkan persamaan diferensial Anda, apostrof """ digunakan untuk memasukkan turunan, tekan kirim dan dapatkan solusinya

Entah sudah diselesaikan sehubungan dengan turunan, atau mereka dapat diselesaikan sehubungan dengan turunan .

Keputusan bersama persamaan diferensial ketik pada interval X, yang diberikan, dapat ditemukan dengan mengambil integral dari kedua sisi persamaan ini.

Mendapatkan .

Jika kita melihat sifat-sifat integral tak tentu, kita menemukan solusi umum yang diinginkan:

y = F(x) + C,

di mana F(x)- salah satu antiturunan dari fungsi f(x) diantara X, sebuah DARI adalah konstanta arbitrer.

Harap dicatat bahwa di sebagian besar tugas interval X tidak menunjukkan. Ini berarti bahwa solusi harus ditemukan untuk semua orang. x, yang dan fungsi yang diinginkan kamu, dan persamaan aslinya masuk akal.

Jika Anda perlu menghitung solusi tertentu dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal y(x0) = y0, kemudian setelah menghitung integral umum y = F(x) + C, masih perlu untuk menentukan nilai konstanta C=C0 menggunakan kondisi awal. Artinya, konstanta C=C0 ditentukan dari persamaan F(x 0) + C = y 0, dan solusi khusus yang diinginkan dari persamaan diferensial akan berbentuk:

y = F(x) + C0.

Pertimbangkan sebuah contoh:

Temukan solusi umum persamaan diferensial , periksa kebenaran hasilnya. Mari kita cari solusi khusus dari persamaan ini yang akan memenuhi kondisi awal .

Larutan:

Setelah kita mengintegrasikan persamaan diferensial yang diberikan, kita mendapatkan:

.

Kami mengambil integral ini dengan metode integrasi dengan bagian:

Itu., adalah solusi umum dari persamaan diferensial.

Mari kita periksa untuk memastikan hasilnya benar. Untuk melakukan ini, kami mengganti solusi yang kami temukan ke dalam persamaan yang diberikan:

.

Yaitu di persamaan asli berubah menjadi identitas:

oleh karena itu, solusi umum persamaan diferensial ditentukan dengan benar.

Solusi yang kita temukan adalah solusi umum dari persamaan diferensial untuk masing-masing sah nilai argumen x.

Tetap menghitung solusi tertentu dari ODE yang akan memenuhi kondisi awal. Dengan kata lain, perlu untuk menghitung nilai konstanta DARI, di mana persamaan akan menjadi benar:

.

.

Kemudian, menggantikan C = 2 ke dalam solusi umum ODE, kami memperoleh solusi khusus dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal:

.

Persamaan diferensial biasa dapat diselesaikan sehubungan dengan turunan dengan membagi 2 bagian persamaan dengan f(x). Transformasi ini akan setara jika f(x) tidak pergi ke nol untuk apapun x dari interval integrasi persamaan diferensial X.

Situasi mungkin terjadi ketika, untuk beberapa nilai argumen x ∈ X fungsi f(x) dan g(x) berubah menjadi nol secara bersamaan. Untuk nilai serupa x solusi umum persamaan diferensial adalah fungsi apa pun kamu, yang didefinisikan di dalamnya, karena .

Jika untuk beberapa nilai argumen x ∈ X kondisi terpenuhi, yang berarti dalam hal ini ODE tidak memiliki solusi.

Untuk semua yang lain x dari interval X solusi umum persamaan diferensial ditentukan dari persamaan yang ditransformasikan.

Mari kita lihat contohnya:

Contoh 1

Mari kita cari solusi umum dari ODE: .

Larutan.

Dari sifat-sifat fungsi dasar dasar, jelas bahwa fungsi logaritma natural didefinisikan untuk nilai argumen non-negatif, oleh karena itu, domain ekspresi log(x+3) ada jeda x > -3 . Oleh karena itu, persamaan diferensial yang diberikan masuk akal untuk x > -3 . Dengan nilai argumen ini, ekspresi x + 3 tidak hilang, sehingga seseorang dapat menyelesaikan ODE sehubungan dengan turunan dengan membagi 2 bagian dengan x + 3.

Kita mendapatkan .

Selanjutnya, kami mengintegrasikan persamaan diferensial yang dihasilkan, diselesaikan sehubungan dengan turunan: . Untuk mengambil integral ini, kami menggunakan metode subsuming di bawah tanda diferensial.

6.1. KONSEP DAN DEFINISI DASAR

Ketika memecahkan berbagai masalah matematika dan fisika, biologi dan kedokteran, seringkali tidak mungkin untuk segera membangun ketergantungan fungsional dalam bentuk rumus yang menghubungkan variabel yang menggambarkan proses yang sedang dipelajari. Biasanya, kita harus menggunakan persamaan yang mengandung, selain variabel bebas dan fungsi yang tidak diketahui, juga turunannya.

Definisi. Persamaan yang menghubungkan variabel bebas, fungsi yang tidak diketahui, dan turunannya dari berbagai ordo disebut diferensial.

Fungsi yang tidak diketahui biasanya dilambangkan y(x) atau hanya y, dan turunannya adalah y", y" dll.

Notasi lain juga dimungkinkan, misalnya: jika kamu= x(t), maka x"(t), x""(t) adalah turunannya, dan t adalah variabel bebas.

Definisi. Jika fungsi bergantung pada satu variabel, maka persamaan diferensial disebut biasa. Bentuk umum persamaan diferensial biasa:

atau

Fungsi F dan f mungkin tidak mengandung beberapa argumen, tetapi agar persamaan menjadi diferensial, keberadaan turunan sangat penting.

Definisi.Orde persamaan diferensial adalah urutan turunan tertinggi yang termasuk di dalamnya.

Sebagai contoh, x 2 y"- kamu= 0, y" + sin x= 0 adalah persamaan orde pertama, dan y"+ 2 y"+ 5 kamu= x adalah persamaan orde dua.

Saat menyelesaikan persamaan diferensial, operasi integrasi digunakan, yang dikaitkan dengan penampilan konstanta arbitrer. Jika tindakan integrasi diterapkan n kali, maka, jelas, solusinya akan berisi n konstanta arbitrer.

6.2. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER PERTAMA

Bentuk umum persamaan diferensial orde pertama ditentukan oleh ekspresi

Persamaan mungkin tidak secara eksplisit mengandung x dan y, tetapi harus mengandung y".

Jika persamaan dapat ditulis sebagai

maka kita mendapatkan persamaan diferensial orde pertama diselesaikan sehubungan dengan turunan.

Definisi. Solusi umum persamaan diferensial orde pertama (6.3) (atau (6.4)) adalah himpunan solusi , di mana DARI adalah konstanta arbitrer.

Grafik untuk menyelesaikan persamaan diferensial disebut kurva integral.

Memberikan konstanta arbitrer DARI nilai yang berbeda, adalah mungkin untuk mendapatkan solusi tertentu. Di permukaan xOy solusi umum adalah keluarga kurva integral yang sesuai dengan setiap solusi tertentu.

Jika Anda menetapkan titik A(x0, y0), yang harus dilalui kurva integral, maka, sebagai aturan, dari himpunan fungsi satu dapat dipilih - solusi tertentu.

Definisi.Keputusan pribadi persamaan diferensial adalah penyelesaiannya yang tidak mengandung konstanta sembarang.

Jika sebuah adalah solusi umum, maka dari kondisi

Anda dapat menemukan yang permanen DARI. Kondisi tersebut disebut kondisi awal.

Masalah menemukan solusi khusus dari persamaan diferensial (6.3) atau (6.4) yang memenuhi kondisi awal pada ditelepon masalah Cauchy. Apakah masalah ini selalu ada solusinya? Jawabannya terdapat pada teorema berikut.

teorema Cauchy(teorema keberadaan dan keunikan solusi). Biarkan dalam persamaan diferensial y"= f(x, y) fungsi f(x, y) dan dia

turunan parsial didefinisikan dan terus menerus dalam beberapa

daerah D, mengandung titik Kemudian di daerah D ada

satu-satunya solusi untuk persamaan yang memenuhi kondisi awal pada

Teorema Cauchy menyatakan bahwa dalam kondisi tertentu ada kurva integral yang unik kamu= f(x), melewati suatu titik Poin di mana kondisi teorema tidak terpenuhi

Kucing disebut spesial. Hancur di titik-titik ini f(x,y) atau.

Entah beberapa kurva integral melewati titik tunggal, atau tidak sama sekali.

Definisi. Jika solusi (6.3), (6.4) ditemukan dalam bentuk f(x, y, c)= 0 tidak diperbolehkan terhadap y, maka disebut integral umum persamaan diferensial.

Teorema Cauchy hanya menjamin bahwa solusi itu ada. Karena tidak ada metode tunggal untuk menemukan solusi, kita hanya akan mempertimbangkan beberapa jenis persamaan diferensial orde pertama yang dapat diintegralkan dalam kotak.

Definisi. Persamaan diferensial disebut integral dalam kuadrat, jika pencarian solusinya direduksi menjadi integrasi fungsi.

6.2.1. Persamaan diferensial orde pertama dengan variabel yang dapat dipisahkan

Definisi. Persamaan diferensial orde satu disebut persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan,

Ruas kanan persamaan (6.5) adalah produk dari dua fungsi, yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel.

Misalnya persamaan adalah persamaan dengan pemisahan

melewati variabel
dan persamaan

tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk (6.5).

Mengingat bahwa , kami menulis ulang (6.5) sebagai

Dari persamaan ini kita memperoleh persamaan diferensial dengan variabel terpisah, di mana diferensial berisi fungsi yang hanya bergantung pada variabel yang sesuai:

Mengintegrasikan istilah demi istilah, kami memiliki

dimana C = C 2 - C 1 adalah konstanta arbitrer. Ekspresi (6.6) adalah integral umum dari persamaan (6.5).

Membagi kedua bagian persamaan (6.5) dengan , kita dapat kehilangan solusi yang, Memang, jika pada

kemudian jelas merupakan solusi dari persamaan (6.5).

Contoh 1 Temukan solusi untuk persamaan yang memuaskan

kondisi: kamu= 6 at x= 2 (kamu(2) = 6).

Larutan. Ayo ganti pada" untuk itu . Kalikan kedua ruas dengan

dx, karena dalam integrasi lebih lanjut tidak mungkin untuk pergi dx dalam penyebut:

dan kemudian membagi kedua bagian dengan kita mendapatkan persamaan,

yang dapat diintegrasikan. Kami mengintegrasikan:

Kemudian ; mempotensiasi, kita mendapatkan y = C . (x + 1) - ob-

larutan.

Berdasarkan data awal, kami menentukan konstanta arbitrer dengan mensubstitusikannya ke dalam solusi umum

Akhirnya kita mendapatkan kamu= 2(x + 1) adalah solusi khusus. Pertimbangkan beberapa contoh penyelesaian persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Contoh 2 Temukan solusi dari persamaan

Larutan. Mengingat bahwa , kita mendapatkan .

Mengintegrasikan kedua sisi persamaan, kita memiliki

di mana

Contoh 3 Temukan solusi dari persamaan Larutan. Kami membagi kedua bagian persamaan dengan faktor-faktor yang bergantung pada variabel yang tidak bertepatan dengan variabel di bawah tanda diferensial, yaitu dengan dan mengintegrasikan. Kemudian kita mendapatkan

dan akhirnya

Contoh 4 Temukan solusi dari persamaan

Larutan. Mengetahui apa yang akan kita dapatkan. Bagian-

variabel lim. Kemudian

Mengintegrasikan, kita mendapatkan

Komentar. Dalam contoh 1 dan 2, fungsi yang diinginkan kamu dinyatakan secara eksplisit (solusi umum). Dalam contoh 3 dan 4 - secara implisit (integral umum). Di masa depan, bentuk keputusan tidak akan ditentukan.

Contoh 5 Temukan solusi dari persamaan Larutan.

Contoh 6 Temukan solusi dari persamaan memuaskan

kondisi kamu)= 1.

Larutan. Kami menulis persamaan dalam bentuk

Mengalikan kedua ruas persamaan dengan dx dan seterusnya, kita dapatkan

Mengintegrasikan kedua ruas persamaan (integral di ruas kanan diambil bagian), kita peroleh

Tapi dengan syarat kamu= 1 at x= e. Kemudian

Substitusikan nilai yang ditemukan DARI menjadi solusi umum:

Ekspresi yang dihasilkan disebut solusi khusus dari persamaan diferensial.

6.2.2. Persamaan diferensial homogen orde pertama

Definisi. Persamaan diferensial orde pertama disebut homogen jika dapat direpresentasikan sebagai

Kami menyajikan algoritma untuk memecahkan persamaan homogen.

1. Sebagai gantinya kamu perkenalkan fungsi baru Kemudian dan karenanya

2. Dari segi fungsi kamu persamaan (6.7) berbentuk

yaitu, penggantian mengurangi persamaan homogen menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

3. Memecahkan persamaan (6.8), pertama-tama kita cari u, dan kemudian kamu= uk.

Contoh 1 selesaikan persamaannya Larutan. Kami menulis persamaan dalam bentuk

Kami melakukan substitusi:
Kemudian

Ayo ganti

Kalikan dengan dx: Dibagi dengan x dan terus kemudian

Mengintegrasikan kedua bagian persamaan sehubungan dengan variabel yang sesuai, kami memiliki

atau, kembali ke variabel lama, kita akhirnya mendapatkan

Contoh 2selesaikan persamaannya Larutan.Membiarkan kemudian

Bagilah kedua ruas persamaan dengan x2: Mari kita buka tanda kurung dan mengatur ulang istilah:

Pindah ke variabel lama, kita sampai pada hasil akhir:

Contoh 3Temukan solusi dari persamaan dengan persyaratan

Larutan.Melakukan penggantian standar kita mendapatkan

atau

atau

Jadi solusi khusus memiliki bentuk Contoh 4 Temukan solusi dari persamaan

Larutan.

Contoh 5Temukan solusi dari persamaan Larutan.

kerja mandiri

Temukan solusi untuk persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan (1-9).

Temukan solusi untuk persamaan diferensial homogen (9-18).

6.2.3. Beberapa aplikasi persamaan diferensial orde pertama

Masalah peluruhan radioaktif

Laju peluruhan Ra (radium) pada setiap momen waktu sebanding dengan massa yang tersedia. Temukan hukum peluruhan radioaktif Ra jika diketahui bahwa pada saat awal ada Ra dan waktu paruh Ra adalah 1590 tahun.

Larutan. Biarkan saat ini massa Ra menjadi x= x(t) g, dan Maka laju peluruhan Ra adalah

Sesuai tugas

di mana k

Memisahkan variabel dalam persamaan terakhir dan mengintegrasikan, kita mendapatkan

di mana

Untuk menentukan C kita menggunakan kondisi awal: .

Kemudian dan maka dari itu,

Faktor proporsionalitas k ditentukan dari syarat tambahan:

Kita punya

Dari sini dan formula yang diinginkan

Masalah kecepatan reproduksi bakteri

Tingkat reproduksi bakteri sebanding dengan jumlah mereka. Pada saat awal ada 100 bakteri. Dalam waktu 3 jam jumlah mereka berlipat ganda. Temukan ketergantungan jumlah bakteri pada waktu. Berapa kali jumlah bakteri akan bertambah dalam 9 jam?

Larutan. Membiarkan x- jumlah bakteri saat ini t. Kemudian sesuai dengan kondisi

di mana k- koefisien proporsionalitas.

Dari sini Diketahui dari kondisi bahwa . Cara,

Dari syarat tambahan . Kemudian

Fungsi yang diperlukan:

Jadi, di t= 9 x= 800, yaitu dalam waktu 9 jam jumlah bakteri meningkat 8 kali lipat.

Tugas meningkatkan jumlah enzim

Dalam kultur ragi bir, laju pertumbuhan enzim aktif sebanding dengan jumlah awalnya. x. Jumlah awal enzim sebuah dua kali lipat dalam waktu satu jam. Temukan ketergantungan

x(t).

Larutan. Dengan syarat, persamaan diferensial dari proses memiliki bentuk

dari sini

Tetapi . Cara, C= sebuah lalu

Diketahui juga bahwa

Akibatnya,

6.3. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER KEDUA

6.3.1. Konsep dasar

Definisi.Persamaan diferensial orde kedua disebut relasi yang menghubungkan variabel bebas, fungsi yang diinginkan dan turunan pertama dan kedua.

Dalam kasus khusus, x mungkin tidak ada dalam persamaan, pada atau y". Namun, persamaan orde kedua harus mengandung y". Dalam kasus umum, persamaan diferensial orde kedua ditulis sebagai:

atau, jika mungkin, dalam bentuk yang diperbolehkan untuk turunan kedua:

Seperti dalam kasus persamaan orde pertama, persamaan orde kedua dapat memiliki solusi umum dan khusus. Solusi umum terlihat seperti:

Menemukan solusi pribadi

di bawah kondisi awal - diberikan

nomor) disebut masalah Cauchy. Secara geometris, ini berarti diperlukan untuk menemukan kurva integral pada= y(x), melewati suatu titik tertentu dan memiliki garis singgung pada titik ini, yaitu tentang

garpu dengan arah sumbu positif Sapi sudut yang diberikan. e. (Gbr. 6.1). Masalah Cauchy memiliki solusi unik jika ruas kanan persamaan (6.10), belum

adalah diskontinu dan memiliki turunan parsial kontinu terhadap kamu, kamu" di beberapa lingkungan dari titik awal

Untuk menemukan konstanta termasuk dalam solusi tertentu, perlu untuk memungkinkan sistem

Beras. 6.1. kurva integral