Konsep "polinomial" dan "faktorisasi polinomial" dalam aljabar sangat umum, karena Anda perlu mengetahuinya agar dapat dengan mudah melakukan perhitungan dengan bilangan multi-nilai yang besar. Artikel ini akan menjelaskan beberapa metode dekomposisi. Semuanya cukup mudah digunakan, Anda hanya perlu memilih yang tepat dalam setiap kasus.

Konsep polinomial

Polinomial adalah jumlah dari monomial, yaitu ekspresi yang hanya berisi operasi perkalian.

Misalnya, 2 * x * y adalah monomial, tetapi 2 * x * y + 25 adalah polinomial, yang terdiri dari 2 monomial: 2 * x * y dan 25. Polinomial semacam itu disebut binomial.

Terkadang, untuk kenyamanan memecahkan contoh dengan nilai multinilai, ekspresi harus diubah, misalnya, didekomposisi menjadi sejumlah faktor tertentu, yaitu angka atau ekspresi di mana operasi perkalian dilakukan. Ada beberapa cara untuk memfaktorkan polinomial. Layak untuk mempertimbangkannya mulai dari yang paling primitif, yang digunakan bahkan di kelas primer.

Pengelompokan (entri umum)

Rumus untuk memfaktorkan polinomial menjadi faktor dengan metode pengelompokan secara umum terlihat seperti ini:

ac + bd + bc + iklan = (ac + bc) + (iklan + bd)

Penting untuk mengelompokkan monomial sehingga faktor umum muncul di setiap kelompok. Dalam kurung pertama, ini adalah faktor c, dan di kurung kedua - d. Ini harus dilakukan untuk kemudian mengeluarkannya dari braket, sehingga menyederhanakan perhitungan.

Algoritma dekomposisi pada contoh tertentu

Contoh paling sederhana dari memfaktorkan polinomial menjadi faktor menggunakan metode pengelompokan diberikan di bawah ini:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Di kurung pertama, Anda perlu mengambil suku dengan faktor a, yang akan umum, dan yang kedua - dengan faktor b. Perhatikan tanda + dan - pada ekspresi yang sudah selesai. Kami menempatkan sebelum monomial tanda yang ada di ekspresi awal. Artinya, Anda harus bekerja bukan dengan ekspresi 25a, tetapi dengan ekspresi -25. Tanda minus, seolah-olah, "direkatkan" pada ekspresi di belakangnya dan selalu memperhitungkannya dalam perhitungan.

Pada langkah selanjutnya, Anda perlu mengeluarkan faktor, yang umum, dari braket. Itulah gunanya pengelompokan. Mengeluarkannya dari kurung berarti menuliskan di depan kurung (menghilangkan tanda perkalian) semua faktor yang diulang persis di semua suku yang ada di dalam kurung. Jika tidak ada 2, tetapi 3 atau lebih suku dalam kurung, faktor persekutuan harus terkandung di masing-masingnya, jika tidak maka tidak dapat dikeluarkan dari kurung.

Dalam kasus kami, hanya 2 istilah dalam tanda kurung. Pengganda keseluruhan segera terlihat. Tanda kurung pertama adalah a, yang kedua adalah b. Di sini Anda perlu memperhatikan koefisien digital. Dalam kurung pertama, kedua koefisien (10 dan 25) adalah kelipatan dari 5. Ini berarti bahwa tidak hanya a, tetapi juga 5a yang dapat dikurung. Sebelum kurung, tulis 5a, lalu bagi setiap suku dalam kurung dengan faktor persekutuan yang dikeluarkan, dan tulis juga hasil bagi dalam kurung, jangan lupa tanda + dan -. Lakukan hal yang sama dengan kurung kedua , keluarkan 7b, karena 14 dan 35 kelipatan 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Ternyata 2 istilah: 5a (2c - 5) dan 7b (2c - 5). Masing-masing mengandung faktor persekutuan (seluruh ekspresi dalam kurung di sini adalah sama, yang berarti merupakan faktor persekutuan): 2c - 5. Itu juga harus dikeluarkan dari kurung, yaitu, suku 5a dan 7b tetap di braket kedua:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Jadi ekspresi lengkapnya adalah:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Jadi, polinomial 10ac + 14bc - 25a - 35b diuraikan menjadi 2 faktor: (2c - 5) dan (5a + 7b). Tanda perkalian di antara mereka dapat dihilangkan saat menulis

Terkadang ada ekspresi dari jenis ini: 5a 2 + 50a 3, di sini Anda tidak hanya dapat mengurung a atau 5a, tetapi bahkan 5a 2. Anda harus selalu mencoba untuk mengambil faktor persekutuan terbesar yang mungkin dari kurung. Dalam kasus kami, jika kami membagi setiap suku dengan faktor persekutuan, kami mendapatkan:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(saat menghitung hasil bagi beberapa pangkat dengan basis yang sama, basis dipertahankan, dan eksponen dikurangi). Jadi, satu tetap berada di dalam kurung (dalam hal apapun jangan lupa untuk menulis satu jika Anda mengambil salah satu suku seluruhnya dari kurung) dan hasil bagi pembagian: 10a. Ternyata:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Rumus persegi

Untuk memudahkan perhitungan, beberapa rumus telah diturunkan. Mereka disebut rumus perkalian tereduksi dan cukup sering digunakan. Rumus ini membantu memfaktorkan polinomial yang mengandung pangkat. Ini adalah cara ampuh lainnya untuk memfaktorkan. Jadi di sini mereka adalah:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - rumus, yang disebut "kuadrat dari jumlah", karena sebagai hasil dari ekspansi ke kuadrat, jumlah angka yang diapit dalam tanda kurung diambil, yaitu, nilai jumlah ini dikalikan dengan dirinya sendiri 2 kali, yang berarti itu adalah pengganda.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - rumus kuadrat selisihnya, mirip dengan yang sebelumnya. Hasilnya adalah perbedaan yang diapit dalam tanda kurung, yang terkandung dalam kekuatan kuadrat.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- ini adalah rumus untuk selisih kuadrat, karena awalnya polinomial terdiri dari 2 kuadrat angka atau ekspresi di mana pengurangan dilakukan. Ini mungkin yang paling umum digunakan dari ketiganya.

Contoh untuk menghitung dengan rumus kuadrat

Perhitungan pada mereka dibuat cukup sederhana. Sebagai contoh:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - gunakan rumus "kuadrat jumlah".
2. 25x 2 adalah kuadrat dari 5x. 20xy adalah dua kali hasil kali 2*(5x*2y), dan 4y 2 adalah kuadrat dari 2y.
3. Jadi 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Polinomial ini didekomposisi menjadi 2 faktor (faktornya sama, oleh karena itu ditulis sebagai ekspresi dengan pangkat kuadrat).

Operasi sesuai dengan rumus kuadrat selisih dilakukan dengan cara yang sama. Yang tersisa adalah perbedaan rumus kuadrat. Contoh untuk rumus ini sangat mudah untuk diidentifikasi dan ditemukan di antara ekspresi lainnya. Sebagai contoh:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Sejak 25a 2 \u003d (5a) 2, dan 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). Sejak 36x 2 \u003d (6x) 2, dan 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Karena 169b 2 = (13b) 2

Adalah penting bahwa setiap suku adalah kuadrat dari beberapa ekspresi. Kemudian polinomial ini difaktorkan dengan rumus selisih kuadrat. Untuk ini, tidak perlu kekuatan kedua di atas angka. Ada polinomial yang mengandung pangkat besar, tetapi masih cocok untuk rumus ini.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Dalam contoh ini, a 8 dapat direpresentasikan sebagai (a 4) 2 , yaitu kuadrat dari ekspresi tertentu. 25 adalah 5 2 dan 10a adalah 4 - ini adalah produk ganda dari istilah 2*a 4 *5. Artinya, ekspresi ini, meskipun ada derajat dengan eksponen besar, dapat didekomposisi menjadi 2 faktor untuk bekerja dengannya nanti.

Rumus kubus

Rumus yang sama ada untuk memfaktorkan polinomial yang mengandung kubus. Mereka sedikit lebih rumit daripada yang memiliki kotak:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- rumus ini disebut jumlah kubus, karena dalam bentuk awalnya polinomial adalah jumlah dari dua ekspresi atau angka yang dimasukkan ke dalam kubus.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - rumus identik dengan yang sebelumnya dilambangkan sebagai perbedaan kubus.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - jumlah kubus, sebagai hasil perhitungan, jumlah angka atau ekspresi diperoleh, diapit dalam tanda kurung dan dikalikan dengan dirinya sendiri 3 kali, yaitu terletak di kubus
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - rumus, yang disusun dengan analogi dengan yang sebelumnya dengan perubahan hanya pada beberapa tanda operasi matematika (plus dan minus), disebut "kubus perbedaan".

Dua rumus terakhir praktis tidak digunakan untuk tujuan memfaktorkan polinomial, karena mereka kompleks, dan sangat jarang menemukan polinomial yang sepenuhnya sesuai dengan struktur seperti itu sehingga mereka dapat diuraikan menurut rumus ini. Tetapi Anda masih perlu mengetahuinya, karena mereka akan diperlukan untuk tindakan dalam arah yang berlawanan - saat membuka tanda kurung.

Contoh rumus kubus

Pertimbangkan sebuah contoh: 64a 3 8b 3 = (4a) 3 (2b) 3 = (4a 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Kami telah mengambil bilangan prima di sini, sehingga Anda dapat langsung melihat bahwa 64a 3 adalah (4a) 3 dan 8b 3 adalah (2b) 3 . Jadi, polinomial ini diperluas dengan rumus selisih kubus menjadi 2 faktor. Tindakan pada rumus jumlah kubus dilakukan dengan analogi.

Penting untuk dipahami bahwa tidak semua polinomial dapat didekomposisi setidaknya dengan salah satu cara. Tetapi ada ekspresi seperti itu yang mengandung kekuatan lebih besar daripada persegi atau kubus, tetapi mereka juga dapat diperluas menjadi bentuk perkalian yang disingkat. Contoh: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 5x 4 y + 25y 2).

Contoh ini berisi sebanyak 12 derajat. Tetapi bahkan dapat difaktorkan menggunakan rumus jumlah kubus. Untuk melakukan ini, Anda perlu merepresentasikan x 12 sebagai (x 4) 3, yaitu, sebagai kubus dari beberapa ekspresi. Sekarang, alih-alih a, Anda harus menggantinya ke dalam rumus. Nah, ekspresi 125y 3 adalah pangkat tiga dari 5y. Langkah selanjutnya adalah menulis rumus dan melakukan perhitungan.

Pada awalnya, atau jika ragu, Anda selalu dapat memeriksa dengan perkalian terbalik. Anda hanya perlu membuka tanda kurung di ekspresi yang dihasilkan dan melakukan tindakan dengan istilah serupa. Metode ini berlaku untuk semua metode pengurangan yang terdaftar: baik untuk bekerja dengan faktor umum dan pengelompokan, dan untuk operasi pada rumus pangkat tiga dan kuadrat.

Tujuan pelajaran: pembentukan keterampilan memfaktorkan polinomial menjadi faktor-faktor dalam berbagai cara; menumbuhkan ketelitian, ketekunan, ketekunan, kemampuan bekerja berpasangan. Peralatan: proyektor multimedia, PC, materi didaktik. Rencana pembelajaran: 1. Momen organisasi; 2. Memeriksa pekerjaan rumah; 3. Karya lisan; 4. Mempelajari materi baru; 5. Pendidikan Jasmani; 6. Konsolidasi materi yang dipelajari; 7. Bekerja berpasangan; 8. Pekerjaan rumah; 9. Menyimpulkan. Kursus pelajaran: 1. Saat organisasi. Tugaskan siswa ke pelajaran. Pendidikan tidak terdiri dari jumlah pengetahuan, tetapi dalam pemahaman penuh dan penerapan terampil dari semua yang diketahui. (Georg Hegel) 2. Memeriksa pekerjaan rumah. Analisis tugas-tugas yang dalam penyelesaiannya siswa mengalami kesulitan. 3. Karya lisan.  faktorkan: 1) 2) 3) ; empat).  Menetapkan korespondensi antara ekspresi kolom kiri dan kanan: a. 1. b. 2. c. 3. d. 4. d. 5. .  Memecahkan persamaan: 1. 2. 3. 4. Mempelajari materi baru. Untuk memfaktorkan polinomial, kami menggunakan tanda kurung, pengelompokan, dan rumus perkalian yang disingkat. Kadang-kadang dimungkinkan untuk memfaktorkan polinomial dengan menerapkan beberapa metode secara berurutan. Anda harus memulai transformasi, jika mungkin, dengan mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung. Agar berhasil memecahkan contoh-contoh seperti itu, hari ini kami akan mencoba mengembangkan rencana untuk penerapannya yang konsisten.

150.000₽ hadiah dana 11 dokumen kehormatan Bukti publikasi di media

RENCANA BELAJAR pelajaran aljabar di kelas 7

Guru Prilepova O.A.

Tujuan Pelajaran:

Tunjukkan penerapan berbagai metode untuk memfaktorkan polinomial

Ulangi metode faktorisasi dan konsolidasikan pengetahuan mereka selama latihan

Untuk mengembangkan keterampilan dan kemampuan siswa dalam penerapan rumus perkalian disingkat.

Mengembangkan pemikiran logis dan minat siswa dalam mata pelajaran.

Tugas:

ke arah pengembangan pribadi:

Pengembangan minat kreativitas matematis dan kemampuan matematis;

Pengembangan inisiatif, aktivitas dalam memecahkan masalah matematika;

Menumbuhkan kemampuan untuk membuat keputusan secara mandiri.

dalam arah meta-subjek :

Pembentukan cara umum aktivitas intelektual, karakteristik matematika dan menjadi dasar budaya kognitif;

Penggunaan teknologi TIK;

di bidang subjek:

Menguasai pengetahuan dan keterampilan matematika yang diperlukan untuk melanjutkan pendidikan;

Pembentukan pada siswa kemampuan untuk mencari cara memfaktorkan polinomial dan menemukannya untuk polinomial yang difaktorkan.

Peralatan:selebaran, lembar rute dengan kriteria evaluasi,proyektor multimedia, presentasi.

Jenis pelajaran:pengulangan, generalisasi, dan sistematisasi materi yang dibahas

Bentuk pekerjaan:bekerja berpasangan dan kelompok, individu, kolektif,kerja mandiri dan frontal.

Selama kelas:

Tahapan	Rencana		UUD
Momen organisasi.	Pembagian menjadi kelompok dan pasangan: Siswa memilih pasangan sesuai dengan kriteria berikut: Saya paling sedikit berkomunikasi dengan teman sekelas ini. Suasana psikologis: Pilih emotikon pilihan Anda (suasana hati di awal pelajaran) dan di bawahnya lihat nilai yang ingin Anda terima hari ini dalam pelajaran (SLIDE). - Tempatkan diri Anda di buku catatan di margin nilai yang ingin Anda terima hari ini dalam pelajaran. Anda akan menandai hasil Anda di tabel (SLIDE).Lembar rute. Latihan total Nilai Kriteria evaluasi: 1. Saya menyelesaikan semuanya dengan benar, tanpa kesalahan - 5 2. Saat memecahkan, saya membuat dari 1 hingga 2 kesalahan - 4 3. Membuat 3 hingga 4 kesalahan saat menyelesaikan - 3 4. Membuat lebih dari 4 kesalahan saat memecahkan - 2		Pendekatan baru untuk mengajar (dialog)
Aktualisasi.	Kerja kolektif. - Hari ini di pelajaran Anda akan dapat menunjukkan pengetahuan Anda, berpartisipasi dalam pengendalian bersama dan pengendalian diri atas aktivitas Anda Pertandingan (SLIDE): Pada slide berikutnya, perhatikan ekspresi, apa yang Anda perhatikan? (MENGGESER) 15x3y2 + 5x2y Mengambil pengali persekutuan dari tanda kurung p 2 + pq - 3 p -3 q Metode pengelompokan 16m2 - 4n2 Rumus perkalian yang disingkat Bagaimana tindakan ini dapat disatukan dalam satu kata? (Metode ekspansi polinomial) Pernyataan siswa tentang topik dan tujuan pelajaran sebagai tugas belajar mereka sendiri (SLIDE). Berdasarkan ini, mari kita merumuskan topik pelajaran kita dan menetapkan tujuan. Pertanyaan untuk siswa: Sebutkan topik pelajaran; Merumuskan tujuan pelajaran; Setiap orang memiliki kartu dengan nama rumus. (Bekerja berpasangan). Berikan formula untuk semua formula
Aplikasi pengetahuan	Bekerja berpasangan. Memeriksa slide 1. Pilih jawaban yang benar (SLIDE). Kartu-kartu: Latihan Menjawab (x+10)2= x2+100-20x x2+100+20x x2+100+10x (5y-7)2= 25th2+49-70thn 25u2-49-70u 25y2+49+70 x2-16y2= (x-4y)(x+4y) (x-16y)(x+16y) (x+4y)(4y-x) (2a+c)(2a-c)= 4a2-v2 4а2+в2 2a2-b2 a3-8v3 a2+16-64v6 (a-8c)(a+8c) (a-2c) (a2 + 2av + 4c2)	2. Temukan kesalahan (SLIDE): Kartu No. Memeriksa slide 1 pasang: Hai ( b- kamu)2 = b2 - 4 by+y2 Hai 49- c2=(49-c)(49+ detik) 2 pasangan: Hai (r- 10) 2=r2- 20r+10 Hai (2a+1)2=4a2+2a+1 3 pasangan: Hai (3th+1)2=9th+6y+1 Hai ( b- a) 2 =b²- 4ba+a2 4 pasangan: Hai x²- 25= ( x-25)( 25+x) Hai (7- a) 2 \u003d 7- 14a + a²	Pendidikan sesuai dengan karakteristik usia
	3. Setiap pasangan diberikan tugas dan waktu yang terbatas untuk menyelesaikannya (SLIDE) Kita cek pada kartu jawaban 1. Ikuti langkah-langkahnya: a) (a + 3c) 2; b) x 2 - 12 x + 36; c) 4v2-y2. 2. Faktorkan: a) ; b) ; dalam 2 x - a 2 y - 2 a 2 x + y 3. Temukan nilai dari ekspresi: (7 p + 4)2 -7 p (7 p - 2) pada p = 5.		Manajemen dan kepemimpinan
	4. Pekerjaan kelompok. Lihat, jangan salah (SLIDE). Kartu-kartu. Yuk cek slidenya. (а+…)²=…+2…с+с² (... + y)² \u003d x² + 2x ... + ... (... + 2x)² \u003d y² + 4xy + 4x² (…+2 m)²=9+…+4 m² (n + 2v)²= n²+…+4v²		Mengajarkan berpikir kritis. Manajemen dan kepemimpinan
	5. Kerja kelompok (konsultasi tentang solusi, diskusi tugas dan solusinya) Setiap anggota kelompok diberi tugas tingkat A, B, C. Setiap anggota kelompok memilih sendiri tugas yang layak. Kartu-kartu. (Slide) Mengecek dengan kartu jawaban Tingkat A 1. Faktorkan itu: a) c 2 - a 2 ; b) 5x2-45; c) 5a2 + 10av + 5v2; d) ax2-4ax + 4a 2. Lakukan hal berikut: a) (x - 3) (x + 3); b) (x - 3)2; c) x (x - 4). Tingkat B 1. Sederhanakan: a) (3a + p) (3a-p) + p2; b) (a + 11) 2 - 20a; c) (a-4) (a + 4) -2a (3-a). 2. Hitung: a) 962 - 862; b) 1262 - 742. Tingkat C 1. Selesaikan persamaan: (7 x - 8) (7x + 8) - (25x - 4)2 + 36(1 - 4x)2 =44 1. Selesaikan persamaan: (12 x - 4) (12 x + 4) - (12 x - 1)2 - (4 x - 5) = 16. 1.		Mengajar yang berbakat dan berbakat
Ringkasan pelajaran	- Mari kita simpulkan, kita akan mendapatkan perkiraan sesuai dengan hasil tabel. Bandingkan skor Anda dengan skor perkiraan Anda. Pilih emotikon yang sesuai dengan peringkat Anda (SLIDE). c) guru mengevaluasi pekerjaan kelas (aktivitas, tingkat pengetahuan, keterampilan, pengorganisasian diri, ketekunan) Pekerjaan mandiri berupa tes dengan cek RESERVE		Penilaian untuk Pembelajaran dan Penilaian untuk Pembelajaran
Pekerjaan rumah	Lanjutkan mengajarkan rumus perkalian yang disingkat.
Cerminan	Guys, tolong dengarkan perumpamaannya: (SLIDE) Seorang bijak sedang berjalan, dan tiga orang bertemu dengannya, membawa gerobak dengan Batu untuk pembangunan candi. Orang bijak itu berhenti dan bertanya pada masing-masing Pertanyaan. Yang pertama bertanya: - Apa yang Anda lakukan sepanjang hari? Dan dia menjawab dengan seringai bahwa dia telah membawa batu terkutuk sepanjang hari. Yang kedua bertanya: “Dan apa yang kamu lakukan sepanjang hari? ” Dan dia menjawab: "Saya melakukan pekerjaan saya dengan hati-hati." Dan yang ketiga tersenyum padanya, wajahnya berseri-seri dengan sukacita dan kesenangan, dan menjawab “A Saya mengambil bagian dalam pembangunan Kuil.” Apa Kuil Anda? (Pengetahuan) Teman-teman! Siapa yang telah bekerja sejak orang pertama? (tunjukkan emotikon) (Skor 3 atau 2) (SLIDE) Siapa yang bekerja dengan itikad baik? (Skor 4) Dan siapa yang mengambil bagian dalam pembangunan Kuil Pengetahuan? (Skor 5)		Pelatihan Berpikir Kritis

• Pembentukan keterampilan untuk menerapkan berbagai metode untuk faktorisasi.
• Berkontribusi pada pendidikan budaya berbicara, akurasi perekaman, kemandirian.
• Pembentukan keterampilan aktivitas pencarian parsial: menyadari masalah, menganalisis, menarik kesimpulan.

Peralatan: buku teks, papan tulis, buku catatan, kartu tugas.

Jenis pelajaran: Pelajaran penerapan ZUN.

Metode pengajaran: bermasalah, sebagian eksploratif.

Bentuk organisasi kegiatan pendidikan: kelompok, frontal, individu, bekerja berpasangan.

Durasi: 1 pelajaran (45 menit)

Rencana belajar:

1. Organisasi awal pelajaran. (1 menit)
2. Memeriksa pekerjaan rumah. (2 menit)
3. Aktualisasi. (5 menit)
4. Mempelajari materi baru. (10 menit)
5. Konsolidasi materi baru. (15 menit)
6. Kontrol dan pemeriksaan diri atas pengetahuan. (8 menit)
7. Meringkas. (2 menit)
8. Pekerjaan rumah. (2 menit)

Selama kelas

I. Momen organisasi

Hallo teman-teman.

Topik pelajaran adalah "Penerapan berbagai metode untuk faktorisasi". Hari ini kita akan membentuk keterampilan menggunakan berbagai metode faktorisasi dan sekali lagi kita akan diyakinkan akan kegunaan kemampuan memfaktorkan polinomial menjadi faktor.

Saya berharap Anda bekerja secara aktif dalam pelajaran. (Tulis topik di buku catatan).

II. Memeriksa pekerjaan rumah

Sebelum memulai pelajaran, siswa menyerahkan buku catatan dengan pekerjaan rumah yang telah diselesaikan untuk verifikasi. Masalah yang menyebabkan kesulitan dibahas.

AKU AKU AKU. Memperbarui pengetahuan dasar.

Sebelum kita mulai memecahkan masalah, kita akan memeriksa seberapa siap kita untuk ini. Mari kita ingat apa yang kita ketahui tentang topik pelajaran.

3.1. Polling depan:

a) Apa yang dimaksud dengan memfaktorkan polinomial?
b) Apa metode dasar memfaktorkan polinomial yang Anda ketahui?
c) Setiap polinomial dapat difaktorkan? Sebagai contoh?
d) Dalam tugas apa kadang-kadang berguna untuk menggunakan faktorisasi?

3.2. Gambar garis untuk menghubungkan polinomial dengan metode faktorisasi yang sesuai.

3.3. Temukan pernyataan yang salah:

a) a 2 + b 2 - 2ab \u003d (a - b) 2

b) m 2 + 2mn - n 2 \u003d (m - n) 2

c) –2pt + p2 + t2 = (p - t) 2

d) 25 - 16 dtk 2 = (5 - 4 dtk) (5 - 4 dtk) (kesalahan b, d)

3.4. Hadir sebagai produk: a) 64x 2 - 1; b) (d - 3) 2 - 36;

3.5. Selesaikan Persamaan x 2 - 16 = 0 (4; -4)

3.5. Temukan nilai ekspresi 34 2 – 24 2 (580)

IV. Mempelajari materi

Untuk memfaktorkan polinomial, kami menggunakan tanda kurung, pengelompokan, dan rumus perkalian yang disingkat.

Bagaimana menurut Anda, apakah ada situasi di mana dimungkinkan untuk memfaktorkan polinomial dengan menerapkan beberapa metode secara berurutan?

Tugas berikut akan membantu kita menemukan jawaban atas pertanyaan ini:

Faktorkan polinomial dan tunjukkan metode mana yang digunakan dalam kasus ini. ( Bekerja berpasangan dengan solusi berikutnya di papan tulis)

Contoh 1. 9x 3 - 36x menggunakan 2 metode:

Contoh 2. a 2 + 2ab + b 2 - c 2 menggunakan 2 metode:

• pengelompokan;
• penggunaan rumus perkalian yang disingkat.

Contoh 3. y 3 - 3y 2 + 6y - 18 menggunakan 3 metode:

• pengelompokan;
• penggunaan rumus perkalian yang disingkat;
• mengambil faktor persekutuan dari kurung.

Contoh 4. x 3 + 3x 2 + 2x menggunakan 3 cara:

• mengeluarkan faktor persekutuan dari kurung;
• konversi awal;
• pengelompokan.

Kami menyimpulkan: kadang-kadang dimungkinkan untuk memfaktorkan polinomial dengan menerapkan beberapa metode secara berurutan. Agar berhasil memecahkan contoh seperti itu, hari ini mari kita kembangkan rencana untuk menerapkannya secara konsisten:

1. Keluarkan faktor persekutuan dari kurung (jika ada).
2. Cobalah untuk memfaktorkan polinomial menggunakan rumus perkalian yang disingkat.
3. Cobalah untuk menerapkan metode pengelompokan (jika metode sebelumnya tidak mengarah ke tujuan).

V. Latihan untuk mengkonsolidasikan topik yang dinyatakan

5.1. Kombinasi berbagai metode pemfaktoran memungkinkan Anda untuk dengan mudah dan elegan melakukan perhitungan aritmatika, menyelesaikan persamaan dalam bentuk ax 2 + bx + c \u003d 0 (a 0) (persamaan seperti itu disebut kuadrat, kami akan mempelajarinya di kelas 8 ).

* Selesaikan persamaan: a) x 2 - 17x + 72 = 0, b) x 2 + 10x + 21 = 0

Petunjuk: Beberapa suku dari polinomial didekomposisi menjadi suku-suku yang diperlukan atau ditambah dengan menambahkan beberapa suku ke dalamnya. Dalam kasus terakhir, agar polinomial tidak berubah, suku yang sama dikurangi darinya.

(Dua siswa menyelesaikan persamaan mereka sendiri di buku catatan. Jawaban: a) 8; 9; b) - 1; - 5).

Selesaikan latihan dari buku teks No. 1016 (c), 1017 (c), hal. 186

(Dua siswa memutuskan di papan tulis, sisanya sesuai dengan pilihan di buku catatan).

5.2. Memecahkan persamaan ( Murid bekerja berpasangan, diikuti dengan pemeriksaan diri)

949, hal.177 a) x 3 - x = 0 b) 9x - x 3 = 0 c) x 3 + x 2 = 0 d) 5x 4 - 2x 2 = 0

** (tugas individu untuk siswa yang lebih siap)

Kartu 1	Kartu 2	Kartu 3
Selesaikan persamaan dan tulis jumlah akarnya x 2 + 3x + 6 + 2x = 0		Selesaikan persamaan dan tulis jumlah akarnya

x(x+3) +2(3+x) =0 jumlahnya -5

Jumlah akar persamaan ini:

Jumlah akar persamaan :.

VI. Kontrol dan pemeriksaan diri atas pengetahuan.

Topik yang dipertimbangkan merupakan bagian integral dari GIA dalam matematika. Untuk mengontrol dan menguji sendiri pengetahuan tentang topik ini, Anda diundang untuk menyelesaikan tugas tes dari tugas pelatihan GIA. Lingkari jawaban Anda pada pertanyaan tes.

Pekerjaan individu pada kartu: (Siswa melakukan tugas tes GIA, + tes mandiri)

Manakah dari ekspresi ini yang identik sama dengan 4x-10y 2(2x-5y) -2(5y-2x) -10y-4x -10th+4x? a) 1; 3; b) semua; c) 1;2;4; penindasan	Manakah dari ekspresi ini yang identik sama - 3 (-2a + y) -3(-y+2a) 6a-3y 3(2a-y) 3u-6a? dan semua; b) 2; y) 2;3; c)1;4	Manakah dari ekspresi ini yang identik sama dengan -6a + 12p -6 (a-2p) 12r-6a 6(-a+2p) -6(-p+a) ? a) 1; sama sekali; c) 2;4; d)1;3
3a 3 -3a 2 -5a + 5. a) (a-1) (3a 2 +5); b) (a + 1) (3a 2 -5); c) (a-1) (5-3a 2); e) (a-1) (3a 2 +5).	Nyatakan sebagai produk polinomial 13ah-26x-5av + 10v. e) (a-2) (13x-5c); b) (a + 2) (3x-5c); c) (3a-6)(4x-c); d) (a-2) (5c-3x).	Nyatakan sebagai produk polinomial bу-6b-5у 2 +30у. a) (6-y) (b-5y); b) (y -6) (b + 5y); c) (y-6)(b-5y); d) (y -6) (5y - b).
Ikuti langkah-langkahnya: (5a-c) 2 . a) 25a 2 + 10ac + s 2; b) 25a 2 + 10ac-c 2; p) 25a 2 -10ac + c 2; d) 25a 2 -5ac + s 2.	Lakukan hal berikut: (5x + 2y) 2 . a) 25x2 + 20xy + 4y2; kesuksesan

Guru: Mari kita periksa jawabannya. Baca kata-kata yang Anda miliki. Ini persis kata-kata yang menyertai siswa kelas tujuh dalam persiapan untuk GIA di kelas 9.

VII. Menyimpulkan pelajaran

Guru melakukan tinjauan frontal tahap utama pelajaran, mengevaluasi pekerjaan siswa dan mengarahkan siswa dalam pekerjaan rumah.

VIII. Pekerjaan rumah: 38, No. 950 (hlm. 177), No. 1016 (g), 1017 (g), hlm. 186.

** Temukan nilai dari ekspresi (x+3)2 -2 (x+3) (x-3) +(x-3)2 pada x=100.

Nilai ekspresi ini tidak bergantung pada pilihan x.

Pelajaran sudah berakhir. Terima kasih atas pelajarannya dan ingatlah bahwa pengetahuan yang tidak diisi ulang setiap hari semakin berkurang setiap hari.

Buku bekas:

1. Buku Ajar "Aljabar Kelas 7". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk dan lain-lain Ed. S.A. Telykovsky. - M.; Pencerahan, 2009.
2. Kumpulan tugas tes untuk kontrol tematik dan final. Aljabar 7. I.L. Guseva dan lainnya - M.; Pusat Intelek, 2009.
3. Sertifikasi akhir negara (sesuai dengan formulir baru): Grade 9. Tugas pelatihan tematik. Penyusun aljabar / FIPI: V.L. Kuznetsova. – M.: Eksmo, 2010.

Bagian: Matematika

Jenis pelajaran:

• menurut metode pelaksanaan - pelajaran praktis;
• untuk tujuan didaktik - pelajaran dalam penerapan pengetahuan dan keterampilan.

Target: membentuk kemampuan untuk memfaktorkan polinomial.

Tugas:

• Bersifat mendidik: mensistematisasikan, memperluas dan memperdalam pengetahuan, keterampilan siswa, menerapkan berbagai metode pemfaktoran polinomial menjadi faktor. Untuk membentuk kemampuan menerapkan dekomposisi polinomial menjadi faktor-faktor dengan kombinasi berbagai teknik. Untuk menerapkan pengetahuan dan keterampilan tentang topik: "Penguraian polinomial menjadi faktor-faktor" untuk menyelesaikan tugas-tugas di tingkat dasar dan tugas-tugas dengan kompleksitas yang meningkat.
• pendidikan: untuk mengembangkan aktivitas mental melalui pemecahan masalah dari berbagai jenis, untuk belajar menemukan dan menganalisis cara pemecahan yang paling rasional, untuk berkontribusi pada pembentukan kemampuan untuk menggeneralisasi fakta yang dipelajari, untuk mengekspresikan pikiran dengan jelas dan jelas.
• pendidikan: mengembangkan keterampilan kerja mandiri dan tim, keterampilan pengendalian diri.

Metode kerja:

• lisan;
• visual;
• praktis.

Peralatan pelajaran: papan tulis interaktif atau ruang lingkup overhead, tabel dengan rumus perkalian yang disingkat, instruksi, selebaran untuk kerja kelompok.

Struktur pelajaran:

1. Mengatur waktu. 1 menit
2. Merumuskan topik, tujuan dan sasaran dari pelajaran-praktik. 2 menit
3. Memeriksa pekerjaan rumah. 4 menit
4. Memperbarui pengetahuan dan keterampilan dasar siswa. 12 menit
5. Fizkultminutka. 2 menit
6. Petunjuk untuk menyelesaikan tugas-tugas bengkel. 2 menit
7. Mengerjakan tugas dalam kelompok. 15 menit
8. Memeriksa dan mendiskusikan pelaksanaan tugas. Analisis pekerjaan. 3 menit
9. Mengatur pekerjaan rumah. 1 menit
10. Tugas cadangan. 3 menit

Selama kelas

1. Momen organisasi

Guru memeriksa kesiapan kelas dan siswa untuk pelajaran.

2. Perumusan topik, tujuan, dan tujuan pembelajaran-praktik

• Pesan tentang pelajaran terakhir tentang topik tersebut.
• Motivasi kegiatan pendidikan siswa.
• Merumuskan tujuan dan menetapkan tujuan pelajaran (bersama-sama dengan siswa).

3. Memeriksa pekerjaan rumah

Di papan tulis adalah contoh penyelesaian latihan pekerjaan rumah No. 943 (a, c); 945 (c, d). Sampel dibuat oleh siswa kelas. (Kelompok siswa ini diidentifikasi dalam pelajaran sebelumnya, mereka meresmikan keputusan mereka saat istirahat). Para siswa bersiap untuk "mempertahankan" solusi.

Guru:

Memeriksa pekerjaan rumah di buku catatan siswa.

Undanglah siswa kelas untuk menjawab pertanyaan: “Kesulitan apa yang disebabkan oleh tugas tersebut?”.

Menawarkan untuk membandingkan solusi mereka dengan solusi di papan tulis.

Mengajak siswa di papan tulis untuk menjawab pertanyaan siswa di lapangan saat mengecek sampel.

Dia mengomentari jawaban siswa, melengkapi jawaban, menjelaskan (jika perlu).

Meringkas pekerjaan rumah.

Siswa:

Memberikan pekerjaan rumah kepada guru.

Ganti buku catatan (berpasangan) dan periksa satu sama lain.

Menjawab pertanyaan guru.

Periksa solusi Anda dengan sampel.

Mereka bertindak sebagai lawan, membuat tambahan, koreksi, menuliskan metode yang berbeda jika metode penyelesaian di buku catatan berbeda dengan metode di papan tulis.

Mintalah penjelasan yang diperlukan kepada siswa, kepada guru.

Temukan cara untuk memeriksa hasilnya.

Berpartisipasi dalam penilaian kualitas tugas di papan tulis.

4. Memperbaharui pengetahuan dan keterampilan dasar siswa

1. Karya lisan

Guru:

Jawablah pertanyaan:

1. Apa yang dimaksud dengan memfaktorkan polinomial?
2. Berapa banyak metode dekomposisi yang Anda ketahui?
3. Apa nama mereka?
4. Apa yang paling umum?

2. Polinomial ditulis di papan tulis:

1. 14x 3 - 14x 5

2. 16x 2 - (2 + x) 2

3. 9 - x 2 - 2xy - y 2

4.x3 - 3x - 2

Guru mengajak siswa untuk memfaktorkan polinomial No 1-3:

• Opsi I - dengan menghilangkan faktor persekutuan;
• Opsi II - menggunakan rumus perkalian yang disingkat;
• Varian III - dengan cara pengelompokan.

Satu siswa ditawarkan untuk memfaktorkan polinomial No. 4 (tugas individu dengan tingkat kesulitan yang meningkat, tugas dilakukan pada format A 4). Kemudian contoh solusi untuk tugas No 1-3 (dikerjakan oleh guru) muncul di papan tulis, contoh solusi untuk tugas No 4 (dikerjakan oleh siswa).

3. Pemanasan

Guru memberikan instruksi untuk memfaktorkan dan memilih huruf yang berhubungan dengan jawaban yang benar. Dengan menambahkan huruf, Anda akan mendapatkan nama matematikawan terbesar abad ke-17, yang memberikan kontribusi besar bagi pengembangan teori penyelesaian persamaan. (Descartes)

5. Pendidikan Jasmani Para siswa membaca pernyataan. Jika pernyataan itu benar, maka siswa harus mengangkat tangan ke atas, dan jika tidak benar, maka duduk di meja. (Lampiran 2)

6. Instruksi tentang cara menyelesaikan tugas-tugas bengkel.

Di papan tulis interaktif atau poster terpisah, meja dengan instruksi.

Saat menguraikan polinomial menjadi faktor, urutan berikut harus diperhatikan:

1. keluarkan faktor persekutuan dari kurung (jika ada);

2. menerapkan rumus perkalian yang disingkat (jika memungkinkan);

3. menerapkan metode pengelompokan;

4. periksa hasil yang diperoleh dengan perkalian.

Guru:

Menawarkan instruksi kepada siswa (menekankan langkah 4).

Menawarkan pelaksanaan tugas lokakarya dalam kelompok.

Bagikan lembar kerja ke dalam kelompok, lembar dengan kertas karbon untuk menyelesaikan tugas di buku catatan dan verifikasi selanjutnya.

Menentukan waktu untuk bekerja dalam kelompok, untuk bekerja di buku catatan.

siswa:

Mereka membaca petunjuknya.

Guru mendengarkan dengan seksama.

Mereka duduk berkelompok (masing-masing 4-5 orang).

Mempersiapkan kerja praktek.

7. Melakukan tugas dalam kelompok

Lembar kerja dengan tugas untuk kelompok. (Lampiran 3)

Guru:

Mengelola pekerjaan mandiri dalam kelompok.

Mengevaluasi kemampuan siswa untuk bekerja secara mandiri, kemampuan bekerja dalam kelompok, kualitas desain lembar kerja.

siswa:

Lakukan tugas pada lembaran kertas karbon yang terlampir dalam buku kerja.

Diskusikan solusi rasional.

Siapkan lembar kerja untuk kelompok.

Bersiaplah untuk mempertahankan pekerjaan Anda.

8. Memeriksa dan mendiskusikan tugas

Jawaban di papan tulis.

Guru:

Mengumpulkan salinan keputusan.

Mengelola pekerjaan siswa yang melaporkan pada lembar kerja.

Menawarkan untuk melakukan penilaian sendiri atas pekerjaan mereka, membandingkan jawaban di buku catatan, lembar kerja, dan sampel di papan tulis.

Mengingat kriteria penilaian untuk pekerjaan, untuk partisipasi dalam implementasinya.

Memberikan klarifikasi tentang keputusan yang muncul atau masalah penilaian diri.

Meringkas hasil pertama kerja praktek dan refleksi.

Meringkas (bersama dengan siswa) pelajaran.

Mengatakan bahwa hasil akhir akan diringkas setelah memeriksa salinan pekerjaan yang dilakukan oleh siswa.

siswa:

Berikan salinannya kepada guru.

Lembar kerja dilampirkan ke papan.

Melaporkan kinerja pekerjaan.

Melakukan self-assessment dan self-assessment terhadap prestasi kerja.

9. Mengatur pekerjaan rumah

Pekerjaan rumah ditulis di papan tulis: No. 1016 (a, b); 1017 (c, d); Nomor 1021 (d, e, f)*

Guru:

Menawarkan untuk menuliskan bagian wajib dari tugas di rumah.

Memberikan komentar tentang implementasinya.

Mengajak siswa yang lebih siap untuk menuliskan No. 1021 (d, e, f) *.

Memberitahu Anda untuk mempersiapkan pelajaran ulasan ulasan berikutnya