Metode berikut ini paling sering digunakan untuk mencari pusat gravitasi suatu benda atau bangun:

· metode simetri;

· metode partisi;

· metode massa negatif.

Mari kita lihat teknik yang digunakan dalam masing-masing metode berikut.

Metode simetri

Bayangkan sebuah benda homogen yang memiliki bidang simetri. Mari kita pilih sistem koordinat sedemikian rupa sehingga sumbunya X Dan z terletak pada bidang simetri (lihat Gambar 1).

Dalam hal ini, setiap partikel elementer secara gravitasi G saya dengan absis kamu saya = +a sesuai dengan partikel elementer yang sama dengan absis kamu saya = -a , Kemudian:

y C = Σ(G i x i)/ΣG i = 0.

Oleh karena itu kesimpulannya: jika suatu benda homogen mempunyai bidang simetri, maka pusat gravitasi benda tersebut terletak pada bidang tersebut.

Hal serupa juga dapat dibuktikan dengan proposisi berikut:

· Jika suatu benda homogen mempunyai sumbu simetri, maka pusat gravitasi benda terletak pada sumbu tersebut;

· Jika suatu benda homogen mempunyai dua sumbu simetri, maka pusat gravitasi benda tersebut berada pada titik perpotongannya;

· Pusat gravitasi benda rotasi homogen terletak pada sumbu rotasi.

Metode pemisahan

Metode ini terdiri dari membagi benda menjadi beberapa bagian terkecil, gaya gravitasi dan posisi pusat gravitasinya diketahui, setelah itu rumus yang diberikan sebelumnya digunakan untuk menentukan pusat gravitasi keseluruhan benda.

Katakanlah kita menghancurkan tubuh dengan gravitasi G menjadi tiga bagian G" , G"" , G""" , absis pusat gravitasi bagian-bagian ini x" C , x"" C , x""" C diketahui.
Rumus untuk menentukan absis pusat gravitasi seluruh benda:

x C = Σ(G i x i)/ΣG i.

Mari kita tulis ulang dalam bentuk berikut:

x C ΣG i = Σ(G i x i) atau Gx C = Σ(G i x i) .

Kami menulis persamaan terakhir untuk masing-masing dari tiga bagian tubuh secara terpisah:

G"x" C = Σ(G"x" saya), G""x"" C = Σ(G"" i x"" i), G"""x""" C = Σ(G""" saya x""" saya).

Menjumlahkan ruas kiri dan kanan dari ketiga persamaan ini, kita memperoleh:

G"x" C + G"x"" C + G"""x""" C = Σ(G" i x" i) + Σ(G""x"" i) + Σ(G""" i x """ saya) = Σ(G saya x saya).

Namun ruas kanan persamaan terakhir adalah hasil perkaliannya GxC , Karena

Gx C = Σ(G i x i),

Karena itu, x C = (G"x" C + G"x"" C + G"""x""" C)/G , itulah yang perlu dibuktikan.
Koordinat pusat gravitasi pada sumbu koordinat ditentukan dengan cara yang sama kamu Dan z :

y C = (G"y" C + G""y"" C + G"""y""" C)/G ,
z C = (G"z" C + G""z"" C + G"""z""" C)/G .

Rumus yang dihasilkan mirip dengan rumus untuk menentukan koordinat pusat gravitasi yang diturunkan di atas. Oleh karena itu, tidak mungkin untuk mengganti gaya gravitasi partikel elementer ke dalam rumus aslinya G saya , dan gaya gravitasi pada bagian akhir; di bawah koordinat x saya ,kamu aku ,z saya memahami koordinat pusat gravitasi bagian-bagian tubuh yang terbagi.

Metode massa negatif

Metode ini didasarkan pada kenyataan bahwa benda yang memiliki rongga bebas dianggap padat, dan massa rongga bebas dianggap negatif. Bentuk rumus penentuan koordinat pusat gravitasi suatu benda tidak berubah.

Jadi, ketika menentukan pusat gravitasi suatu benda yang memiliki rongga bebas, sebaiknya digunakan metode partisi, tetapi massa rongga tersebut dianggap negatif.

Metode praktis untuk menentukan pusat gravitasi suatu benda

Dalam praktiknya, untuk menentukan pusat gravitasi benda datar berbentuk kompleks, sering digunakan metode gantung , yang terdiri dari menggantungkan benda datar pada seutas benang dari beberapa titik. Sebuah garis ditarik di sepanjang benang, dan benda tersebut digantung dari titik lain yang tidak terletak pada garis yang dihasilkan.
Kemudian tarik garis lagi di sepanjang benang.
Titik potong kedua garis tersebut akan menjadi pusat gravitasi benda datar.

Metode lain untuk menentukan pusat gravitasi yang digunakan dalam praktik disebut metode penimbangan . Metode ini sering digunakan untuk menentukan pusat gravitasi mesin dan produk besar - mobil, pesawat terbang, traktor beroda, dll., yang memiliki bentuk volumetrik kompleks dan titik tumpu di permukaan tanah.
Metode ini terdiri dari penerapan kondisi kesetimbangan, berdasarkan fakta bahwa jumlah momen semua gaya yang bekerja pada benda diam sama dengan nol.
Dalam prakteknya hal ini dilakukan dengan menimbang salah satu penyangga mesin (roda belakang atau depan dipasang pada timbangan), sedangkan pembacaan timbangan sebenarnya merupakan reaksi dari penyangga yang diperhitungkan pada saat menggambar. naikkan persamaan kesetimbangan relatif terhadap titik tumpu kedua (terletak di luar skala).
Berdasarkan massa (masing-masing berat) benda yang diketahui, pembacaan timbangan di salah satu titik tumpu, dan jarak antar titik tumpu, Anda dapat menentukan jarak dari salah satu titik tumpu ke bidang di mana pusat gravitasi berada.
Untuk menemukan garis (sumbu) di mana pusat gravitasi mesin berada dengan cara ini, perlu dilakukan dua kali penimbangan sesuai dengan prinsip yang diuraikan di atas untuk metode gantung. (lihat Gambar 1a).

Pertanyaan 12

Momen inersia benda.

MOMEN INERSIA- besaran yang mencirikan distribusi massa dalam suatu benda dan, bersama dengan massa, merupakan ukuran inersia suatu benda ketika tidak bergerak. pergerakan. Dalam mekanika, ada M. dan. aksial dan sentrifugal. Osev M. dan. benda relatif terhadap sumbu z disebut. kuantitas yang ditentukan oleh kesetaraan

Di mana saya- massa titik tubuh, Hai- jaraknya dari sumbu z, r - kepadatan massa, V- volume tubuh. Besarnya saya z adalah ukuran kelembaman suatu benda selama rotasinya pada suatu sumbu (lihat Gerak rotasi ) . Aksial M. dan. juga dapat dinyatakan melalui besaran linier r z, disebut. radius girasi relatif terhadap sumbu z, menurut f-le saya z = M r 2 z, dimana M- massa tubuh. Dimensi M. dan.- L 2 M; satuan pengukuran - kg. m 2.

Sentrifugal M. dan. dibandingkan dengan sistem persegi panjang. sumbu x, kamu, z, dilakukan pada titik tersebut TENTANG, ditelepon besaran yang ditentukan oleh persamaan

atau integral volume yang sesuai. Besaran-besaran ini merupakan ciri-ciri dinamis. ketidakseimbangan tubuh. Misalnya, saat memutar benda di sekitar sumbu z dari nilai saya xz Dan saya ya Gaya tekanan pada bantalan tempat poros dipasang bergantung.

M.dan. relatif terhadap sumbu sejajar z dan z" dihubungkan oleh relasi (teorema Huygens)

di mana z" adalah sumbu yang melalui pusat massa benda, D- jarak antar gandar.

M.dan. relatif terhadap setiap yang melewati titik asal TENTANG sumbu Ol dengan arah cosinus a, b, g ditemukan sesuai rumus

Mengetahui enam besaran saya x , saya y , saya z , saya xy , saya yz , saya zx, Anda dapat secara berurutan, menggunakan rumus (4) dan (3), menghitung seluruh himpunan M. dan. benda relatif terhadap sumbu apa pun. Keenam besaran ini menentukan apa yang disebut. tensor inersia benda. Melalui setiap titik pada benda dapat ditarik 3 sumbu yang saling tegak lurus, yang disebut. Bab. sumbu inersia, yang mana saya xy = saya ya= Izx= 0. Kemudian M. dan. benda relatif terhadap sumbu mana pun dapat ditentukan dengan mengetahui Ch. sumbu inersia dan M. dan. relatif terhadap sumbu ini.

Sebelum mencari titik berat bangun bangun sederhana, misalnya bangun datar, bulat, bulat, bulat, atau silinder, serta persegi, perlu diketahui di titik manakah letak pusat simetri bangun tertentu. Karena dalam hal ini pusat gravitasi akan bertepatan dengan pusat simetri.

Pusat gravitasi batang homogen terletak pada pusat geometrinya. Jika Anda perlu menentukan pusat gravitasi piringan bundar berstruktur homogen, carilah terlebih dahulu titik potong diameter lingkaran. Ini akan menjadi pusat gravitasi benda ini. Mengingat bangun-bangun seperti bola, lingkaran, dan paralelepiped persegi panjang seragam, kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa pusat gravitasi lingkaran itu akan berada di tengah-tengah gambar, tetapi di luar titik-titiknya, pusat gravitasi bola adalah pusat geometris bola, dan dalam kasus terakhir, pusat gravitasi dianggap sebagai persimpangan diagonal dari paralelepiped persegi panjang.

Pusat gravitasi benda tidak homogen

Untuk menemukan koordinat pusat gravitasi, serta pusat gravitasi benda tak homogen itu sendiri, perlu diketahui di segmen benda manakah titik di mana semua gaya gravitasi berpotongan, bekerja pada angka tersebut jika dibalik. Dalam praktiknya, untuk menemukan titik seperti itu, tubuh digantung pada seutas benang, secara bertahap mengubah titik-titik pemasangan benang ke tubuh. Dalam hal benda berada dalam keadaan setimbang, pusat gravitasi benda akan terletak pada garis yang berimpit dengan garis benang. Jika tidak, gravitasi menyebabkan tubuh bergerak.

Ambil pensil dan penggaris, gambar garis lurus vertikal yang secara visual akan bertepatan dengan arah benang (benang menempel pada berbagai titik tubuh). Jika bentuk tubuhnya cukup rumit, maka gambarlah beberapa garis yang akan berpotongan di satu titik. Ini akan menjadi pusat gravitasi benda tempat Anda melakukan percobaan.

Pusat gravitasi segitiga

Untuk menemukan pusat gravitasi sebuah segitiga, Anda perlu menggambar sebuah segitiga - sebuah bangun datar yang terdiri dari tiga segmen yang dihubungkan satu sama lain di tiga titik. Sebelum mencari pusat gravitasi suatu bangun, Anda perlu menggunakan penggaris untuk mengukur panjang salah satu sisi segitiga. Beri tanda di tengah sisinya, kemudian hubungkan titik sudut yang berlawanan dan titik tengah ruas tersebut dengan garis yang disebut median. Ulangi algoritma yang sama dengan sisi kedua segitiga, lalu dengan sisi ketiga. Hasil usaha Anda adalah tiga median yang berpotongan di satu titik, yang akan menjadi pusat gravitasi segitiga.

Jika Anda dihadapkan pada tugas bagaimana mencari pusat gravitasi suatu benda yang berbentuk segitiga sama sisi, maka Anda perlu menggambar tinggi setiap titik sudut dengan menggunakan penggaris berbentuk persegi panjang. Pusat gravitasi dalam segitiga sama sisi akan berada pada perpotongan ketinggian, median, dan garis bagi, karena segmen yang sama juga merupakan ketinggian, median, dan garis bagi.

Koordinat pusat gravitasi segitiga

Sebelum mencari pusat gravitasi segitiga dan koordinatnya, mari kita lihat lebih dekat gambarnya. Ini adalah pelat segitiga homogen, dengan simpul A, B, C dan koordinatnya masing-masing: untuk simpul A - x1 dan y1; untuk titik B - x2 dan y2; untuk simpul C - x3 dan y3. Saat mencari koordinat pusat gravitasi, kami tidak akan memperhitungkan ketebalan pelat segitiga. Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa pusat gravitasi segitiga dilambangkan dengan huruf E - untuk menemukannya, kita menggambar tiga median, di persimpangannya kita menempatkan titik E. Ia memiliki koordinatnya sendiri: xE dan yE.

Salah satu ujung median yang ditarik dari titik A ke ruas B mempunyai koordinat x 1 , y 1 (ini adalah titik A), dan koordinat kedua median diperoleh berdasarkan fakta bahwa titik D (ujung kedua median) berada di tengah-tengah segmen BC. Ujung-ujung ruas ini mempunyai koordinat yang kita ketahui: B(x 2, y 2) dan C(x 3, y 3). Koordinat titik D dilambangkan dengan xD dan yD. Berdasarkan rumus berikut:

x=(X1+X2)/2; kamu=(U1+U2)/2

Tentukan koordinat titik tengah ruas tersebut. Kami mendapatkan hasil berikut:

xd=(X2+X3)/2; kamud=(У2+У3)/2;

D *((X2+X3)/2, (U2+U3)/2).

Kita mengetahui koordinat apa yang khas untuk ujung-ujung ruas AD. Kita juga mengetahui koordinat titik E, yaitu pusat gravitasi pelat segitiga. Kita juga mengetahui bahwa pusat gravitasi terletak di tengah-tengah ruas AD. Sekarang, dengan menggunakan rumus dan data yang kita ketahui, kita dapat menemukan koordinat pusat gravitasi.

Dengan demikian, kita dapat menemukan koordinat pusat gravitasi segitiga, atau lebih tepatnya, koordinat pusat gravitasi pelat segitiga, mengingat ketebalannya tidak kita ketahui. Mereka sama dengan rata-rata aritmatika dari koordinat homogen dari simpul-simpul pelat segitiga.

Persegi panjang. Karena persegi panjang mempunyai dua sumbu simetri, maka pusat gravitasinya berada pada perpotongan sumbu simetri, yaitu. pada titik potong diagonal-diagonal persegi panjang.

Segi tiga. Pusat gravitasi terletak pada titik perpotongan mediannya. Dari geometri diketahui median suatu segitiga berpotongan di satu titik dan terbagi dengan perbandingan 1:2 dari alasnya.

Lingkaran. Karena lingkaran mempunyai dua sumbu simetri, maka pusat gravitasinya berada pada perpotongan sumbu simetri.

Setengah lingkaran. Sebuah setengah lingkaran mempunyai satu sumbu simetri, maka pusat gravitasi terletak pada sumbu tersebut. Koordinat lain dari pusat gravitasi dihitung dengan rumus: .

Banyak elemen struktural dibuat dari produk canai standar - sudut, balok-I, saluran, dan lainnya. Semua dimensi, serta karakteristik geometris profil yang digulung, adalah data tabular yang dapat ditemukan dalam literatur referensi dalam tabel bermacam-macam normal (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

Contoh 1. Tentukan posisi pusat gravitasi gambar pada gambar.

Larutan:

Kami memilih sumbu koordinat sehingga sumbu Ox berada di sepanjang dimensi keseluruhan paling bawah, dan sumbu Oy berada di sepanjang dimensi keseluruhan paling kiri.

Kami memecah angka kompleks menjadi jumlah minimum angka sederhana:

persegi panjang 20x10;

segitiga 15x10;

lingkaran R = 3 cm.

Kami menghitung luas setiap gambar sederhana dan koordinat pusat gravitasinya. Hasil perhitungan dimasukkan ke dalam tabel

Gambar No.	Luas gambar A,	Koordinat pusat gravitasi

Menjawab: C(14.5; 4.5)

Contoh 2 . Tentukan koordinat titik berat suatu bagian komposit yang terdiri dari bagian lembaran dan bagian gulungan.

Larutan.

Kami memilih sumbu koordinat seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Mari kita tentukan angka dengan angka dan tuliskan data yang diperlukan dari tabel:

Gambar No.	Luas gambar A,	Koordinat pusat gravitasi

Kami menghitung koordinat pusat gravitasi gambar menggunakan rumus:

Menjawab: C(0; 10)

Pekerjaan laboratorium No. 1 “Penentuan pusat gravitasi bangun datar komposit”

Target: Tentukan pusat gravitasi suatu bangun datar kompleks menggunakan metode eksperimen dan analitis dan bandingkan hasilnya.

Perintah kerja

Gambarlah bangun datar Anda di buku catatan Anda sesuai ukurannya, yang menunjukkan sumbu koordinat.

Tentukan pusat gravitasi secara analitis.

1. Bagilah angka tersebut menjadi jumlah minimum angka yang pusat gravitasinya dapat kita tentukan.

   Tunjukkan nomor luas dan koordinat pusat gravitasi setiap gambar.

   Hitung koordinat pusat gravitasi setiap gambar.

   Hitung luas setiap gambar.

   Hitung koordinat pusat gravitasi seluruh gambar menggunakan rumus (posisi pusat gravitasi diplot pada gambar gambar):

Instalasi untuk menentukan secara eksperimental koordinat pusat gravitasi dengan metode gantung terdiri dari dudukan vertikal 1 (lihat gambar) tempat jarum dipasang 2 . Sosok datar 3 Terbuat dari karton yang mudah dilubangi. lubang A Dan DI DALAM ditusuk pada titik-titik yang terletak secara acak (sebaiknya pada jarak terjauh satu sama lain). Sebuah bangun datar digantungkan pada sebuah jarum, mula-mula pada suatu titik A , dan kemudian pada intinya DI DALAM . Menggunakan garis tegak lurus 4 , diikatkan pada jarum yang sama, gambarlah garis vertikal pada gambar dengan pensil yang sesuai dengan benang garis tegak lurus. Pusat gravitasi DENGAN gambar tersebut akan terletak pada titik potong garis vertikal yang ditarik ketika gambar digantung pada titik-titik tersebut A Dan DI DALAM .

6.1. Informasi Umum

Pusat Kekuatan Paralel
Mari kita perhatikan dua gaya paralel yang diarahkan ke satu arah, dan , diterapkan pada benda di titik-titik A 1 dan A 2 (Gbr.6.1). Sistem gaya-gaya ini mempunyai resultan, yang garis kerjanya melalui suatu titik tertentu DENGAN. Posisi titik DENGAN dapat ditemukan menggunakan teorema Varignon:

Jika Anda memutar kekuatan dan mendekati titik A 1 dan A 2 dalam satu arah dan sudut yang sama, maka diperoleh sistem salas paralel baru yang mempunyai modul yang sama. Dalam hal ini, resultannya juga akan melewati titik tersebut DENGAN. Titik ini disebut pusat gaya paralel.
Mari kita perhatikan sistem gaya-gaya paralel dan berarah sama yang diterapkan pada benda padat di titik-titik. Sistem ini mempunyai resultan.
Jika setiap gaya sistem diputar di dekat titik penerapannya dalam arah yang sama dan pada sudut yang sama, maka akan diperoleh sistem baru dengan gaya paralel yang berarah sama dengan modulus dan titik penerapan yang sama. Resultan sistem tersebut akan mempunyai modulus yang sama R, tetapi setiap kali arahnya berbeda. Setelah melipat kekuatanku F 1 dan F 2 kita menemukan bahwa resultannya R 1 yang selalu melewati titik tersebut DENGAN 1 yang kedudukannya ditentukan oleh persamaan . Lipat lebih jauh R 1 dan F 3, kita cari resultannya, yang selalu melewati titik tersebut DENGAN 2 berbaring pada garis lurus A 3 DENGAN 2. Setelah menyelesaikan proses penambahan gaya sampai akhir, kita akan sampai pada kesimpulan bahwa resultan semua gaya memang akan selalu melalui titik yang sama. DENGAN, yang posisinya relatif terhadap titik-titik tersebut tidak akan berubah.
Dot DENGAN, yang melaluinya garis kerja sistem resultan gaya-gaya paralel untuk setiap rotasi gaya-gaya ini di dekat titik penerapannya dalam arah yang sama pada sudut yang sama disebut pusat gaya paralel (Gbr. 6.2).

Gambar.6.2

Mari kita tentukan koordinat pusat gaya paralel. Karena posisi intinya DENGAN relatif terhadap suatu benda tidak berubah, maka koordinatnya tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat. Mari kita putar semua gaya di sekitar penerapannya sehingga menjadi sejajar dengan sumbu kamu dan menerapkan teorema Varignon pada gaya rotasi. Karena R" adalah resultan gaya-gaya ini, maka menurut teorema Varignon, kita punya , Karena , , kita mendapatkan

Dari sini kita mencari koordinat pusat gaya paralel zc:

Untuk menentukan koordinatnya xc Mari kita buat ekspresi momen gaya terhadap sumbu Ons.

Untuk menentukan koordinatnya kamu mari kita putar semua gaya sehingga menjadi sejajar dengan sumbu Ons.

Posisi pusat gaya sejajar terhadap titik asal (Gbr. 6.2) dapat ditentukan oleh vektor jari-jarinya:

6.2. Pusat gravitasi benda tegar

Pusat gravitasi benda tegar adalah suatu titik yang selalu diasosiasikan dengan benda tersebut DENGAN, yang melaluinya garis kerja resultan gaya gravitasi suatu benda tertentu, untuk setiap posisi benda di ruang angkasa.
Pusat gravitasi digunakan dalam mempelajari kestabilan posisi setimbang benda dan media kontinu di bawah pengaruh gravitasi dan dalam beberapa kasus lain, yaitu: dalam kekuatan material dan dalam mekanika struktur - saat menggunakan aturan Vereshchagin.
Ada dua cara untuk menentukan pusat gravitasi suatu benda: analitis dan eksperimental. Metode analisis untuk menentukan pusat gravitasi secara langsung mengikuti konsep pusat gaya paralel.
Koordinat pusat gravitasi sebagai pusat gaya paralel ditentukan dengan rumus:

Di mana R- seluruh berat badan; pk- berat partikel tubuh; xk, yk, zk- koordinat partikel tubuh.
Untuk benda homogen, berat seluruh benda dan bagian mana pun sebanding dengan volumenya P=Vγ, pk =vkγ, Di mana γ - berat per satuan volume, V- volume tubuh. Mengganti ekspresi P, pk ke dalam rumus untuk menentukan koordinat pusat gravitasi dan dikurangi dengan faktor persekutuan γ , kita mendapatkan:

Dot DENGAN, yang koordinatnya ditentukan oleh rumus yang dihasilkan, disebut pusat gravitasi volume.
Jika benda berupa pelat tipis homogen, maka pusat gravitasi ditentukan dengan rumus:

Di mana S- luas seluruh pelat; sk- luas bagiannya; xk, ya- Koordinat pusat gravitasi bagian pelat.
Dot DENGAN dalam hal ini disebut daerah pusat gravitasi.
Pembilang ekspresi yang menentukan koordinat pusat gravitasi bangun datar disebut dengan momen statis suatu luas relatif terhadap sumbu pada Dan X:

Maka pusat gravitasi suatu daerah dapat ditentukan dengan rumus:

Untuk benda yang panjangnya beberapa kali lebih besar dari dimensi penampang, tentukan pusat gravitasi garis tersebut. Koordinat pusat gravitasi garis ditentukan dengan rumus:

Di mana L- panjang garis; lk- panjang bagian-bagiannya; xk, yk, zk- koordinat pusat gravitasi bagian-bagian garis.

6.3. Metode untuk menentukan koordinat pusat gravitasi suatu benda

Berdasarkan rumus yang diperoleh, dimungkinkan untuk mengusulkan metode praktis untuk menentukan pusat gravitasi suatu benda.
1. Simetri. Jika suatu benda mempunyai pusat simetri, maka pusat gravitasi berada pada pusat simetri.
Jika benda mempunyai bidang simetri. Misalnya bidang XOU, maka pusat gravitasinya terletak pada bidang tersebut.
2. Pemisahan. Untuk benda yang terdiri dari benda-benda yang bentuknya sederhana digunakan metode pemisahan. Benda tersebut dibagi menjadi beberapa bagian, yang pusat gravitasinya ditentukan dengan metode simetri. Pusat gravitasi seluruh benda ditentukan oleh rumus pusat gravitasi volume (luas).

Contoh. Tentukan pusat gravitasi pelat yang ditunjukkan pada gambar di bawah (Gbr. 6.3). Pelat dapat dibagi menjadi persegi panjang dengan berbagai cara dan koordinat pusat gravitasi setiap persegi panjang serta luasnya dapat ditentukan.

Gambar.6.3

Menjawab: XC=17,0cm; kamuC=18.0cm.

3. Tambahan. Metode ini merupakan kasus khusus dari metode partisi. Ini digunakan ketika benda memiliki potongan, irisan, dll., jika koordinat pusat gravitasi benda tanpa potongan tersebut diketahui.

Contoh. Tentukan pusat gravitasi pelat berbentuk lingkaran yang mempunyai jari-jari potongan R = 0,6 R(Gbr. 6.4).

Gambar.6.4

Sebuah pelat berbentuk bulat mempunyai pusat simetri. Mari kita letakkan titik asal koordinat di tengah pelat. Area pelat tanpa potongan, area potongan. Piring persegi dengan potongan; .
Pelat yang dipotong memiliki sumbu simetri sekitar 1x, karena itu, kamu=0.

4. Integrasi. Jika suatu benda tidak dapat dibagi menjadi sejumlah bagian yang berhingga, yang posisi pusat gravitasinya diketahui, maka benda tersebut dibagi menjadi volume-volume kecil yang berubah-ubah, yang rumusnya menggunakan metode partisi berbentuk: .
Kemudian mereka menuju ke batas, mengarahkan volume dasar ke nol, yaitu. mengontraksikan volume menjadi poin. Jumlah tersebut diganti dengan integral yang diperluas ke seluruh volume benda, maka rumus untuk menentukan koordinat pusat gravitasi volume berbentuk:

Rumus untuk menentukan koordinat pusat gravitasi suatu daerah:

Koordinat pusat gravitasi suatu daerah harus ditentukan ketika mempelajari kesetimbangan pelat, ketika menghitung integral Mohr dalam mekanika struktur.

Contoh. Tentukan pusat gravitasi busur lingkaran yang berjari-jari R dengan sudut tengah AOB= 2α (Gbr. 6.5).

Beras. 6.5

Busur suatu lingkaran simetris terhadap sumbunya Oh, oleh karena itu, pusat gravitasi busur terletak pada sumbunya Oh, kamu = 0.
Menurut rumus titik berat suatu garis:

6.Metode eksperimen. Pusat gravitasi benda tak homogen dengan konfigurasi kompleks dapat ditentukan secara eksperimental: dengan metode digantung dan ditimbang. Cara pertama adalah dengan menggantungkan badan pada kabel di berbagai titik. Arah kabel tempat benda digantung akan memberikan arah gravitasi. Titik perpotongan arah ini menentukan pusat gravitasi benda.
Metode penimbangan melibatkan terlebih dahulu menentukan berat suatu benda, misalnya mobil. Kemudian tekanan poros belakang kendaraan pada penyangga ditentukan pada timbangan. Dengan menyusun persamaan kesetimbangan terhadap suatu titik, misalnya sumbu roda depan, Anda dapat menghitung jarak dari sumbu ini ke pusat gravitasi mobil (Gbr. 6.6).

Gambar.6.6

Terkadang, ketika memecahkan masalah, perlu menggunakan metode berbeda untuk menentukan koordinat pusat gravitasi secara bersamaan.

6.4. Pusat gravitasi beberapa bangun geometri sederhana

Untuk menentukan pusat gravitasi benda dengan bentuk yang sering muncul (segitiga, busur lingkaran, sektor, segmen), akan lebih mudah menggunakan data referensi (Tabel 6.1).

Tabel 6.1

Koordinat pusat gravitasi beberapa benda homogen

№	Nama gambar tersebut	Menggambar
	Busur lingkaran: titik berat busur lingkaran beraturan berada pada sumbu simetri (koordinat universitas=0). R- jari-jari lingkaran.
	Sektor melingkar homogen universitas=0). dimana α adalah setengah sudut pusat; R- jari-jari lingkaran.
	Segmen: pusat gravitasi terletak pada sumbu simetri (koordinat universitas=0). dimana α adalah setengah sudut pusat; R- jari-jari lingkaran.
	Setengah lingkaran:
	Segi tiga: pusat gravitasi segitiga homogen berada pada titik potong mediannya. Di mana x1, y1, x2, y2, x3, y3- Koordinat titik sudut segitiga
	Kerucut: pusat gravitasi kerucut berbentuk lingkaran beraturan terletak pada tingginya dan terletak pada jarak 1/4 tingginya dari alas kerucut.

Cara menemukan pusat gravitasi

Pengarang: Mari kita ambil benda yang bentuknya berubah-ubah. Apakah mungkin untuk menggantungnya pada seutas benang sehingga setelah digantung tetap pada posisinya (yaitu tidak mulai berputar) ketika setiap orientasi awal (Gbr. 27.1)?

Dengan kata lain, adakah suatu titik di mana jumlah momen gravitasi yang bekerja pada berbagai bagian benda sama dengan nol di setiap orientasi tubuh dalam ruang?

Pembaca: Ya, menurutku begitu. Poin ini disebut pusat gravitasi tubuh.

Bukti. Untuk mempermudah, mari kita perhatikan sebuah benda berbentuk pelat datar dengan bentuk sembarang, berorientasi sembarang dalam ruang (Gbr. 27.2). Mari kita ambil sistem koordinatnya X 0pada dengan permulaan di pusat massa – titik DENGAN, Kemudian x C = 0, di C = 0.

Mari kita bayangkan benda ini sebagai kumpulan sejumlah besar titik massa saya, posisi masing-masing ditentukan oleh vektor radius.

Menurut definisi, pusat massa adalah , dan koordinatnya x C = .

Karena dalam sistem koordinat yang kami adopsi x C= 0, maka . Mari kalikan persamaan ini dengan G dan kita mendapatkan

Seperti yang dapat dilihat dari Gambar. 27.2, | x saya| - ini adalah bahu kekuatan. Dan jika x saya> 0, maka momen gaya saya> 0, dan jika xj < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x saya momen gaya akan sama M saya = saya gx saya . Maka persamaan (1) ekuivalen dengan persamaan , dimana saya– momen gravitasi. Artinya, dengan orientasi benda yang berubah-ubah, jumlah momen gravitasi yang bekerja pada benda akan sama dengan nol terhadap pusat massanya.

Agar benda yang kita pertimbangkan berada dalam keadaan setimbang, maka perlu diterapkan pada titik tersebut DENGAN memaksa T = mg, diarahkan secara vertikal ke atas. Momen gaya ini relatif terhadap suatu titik DENGAN sama dengan nol.

Karena alasan kami sama sekali tidak bergantung pada bagaimana tepatnya benda itu berorientasi di ruang angkasa, kami membuktikan bahwa pusat gravitasi bertepatan dengan pusat massa, dan hal ini perlu kami buktikan.

Soal 27.1. Temukan pusat gravitasi batang tak berbobot yang panjangnya aku, di ujung-ujungnya dua massa titik ditetapkan T 1 dan T 2 .

T 1 T 2 aku	Larutan. Kita tidak akan mencari pusat gravitasinya, tetapi pusat massanya (karena keduanya adalah hal yang sama). Mari kita perkenalkan porosnya X(Gbr. 27.3). Beras. 27.3
x C =?

Menjawab: pada jarak dari massa T 1 .

BERHENTI! Putuskan sendiri: B1–B3.

Pernyataan 1 . Jika suatu benda datar homogen mempunyai sumbu simetri, maka pusat gravitasinya terletak pada sumbu tersebut.

Memang, untuk massa titik mana pun saya, terletak di sebelah kanan sumbu simetri, terdapat titik massa yang sama yang terletak simetris terhadap sumbu pertama (Gbr. 27.4). Dalam hal ini, jumlah momen gaya .

Karena seluruh benda dapat direpresentasikan sebagai dibagi menjadi pasangan-pasangan titik yang serupa, momen gravitasi total relatif terhadap setiap titik yang terletak pada sumbu simetri adalah nol, yang berarti bahwa pusat gravitasi benda terletak pada sumbu ini. . Hal ini mengarah pada kesimpulan penting: jika suatu benda mempunyai beberapa sumbu simetri, maka pusat gravitasi terletak pada perpotongan sumbu tersebut(Gbr. 27.5).

Beras. 27.5

Pernyataan 2. Jika dua benda mempunyai massa T 1 dan T 2 dihubungkan menjadi satu, maka pusat gravitasi benda tersebut akan terletak pada ruas garis lurus yang menghubungkan pusat gravitasi benda pertama dan kedua (Gbr. 27.6).

Beras. 27.6 Beras. 27.7

Bukti. Mari kita posisikan benda komposit sedemikian rupa sehingga ruas yang menghubungkan pusat gravitasi benda adalah vertikal. Maka jumlah momen gravitasi benda pertama terhadap titik tersebut DENGAN 1 sama dengan nol, dan jumlah momen gravitasi benda kedua relatif terhadap titik DENGAN 2 sama dengan nol (Gbr. 27.7).

perhatikan itu bahu gravitasi dari setiap massa titik itu saya sama terhadap setiap titik yang terletak pada segmen tersebut DENGAN 1 DENGAN 2, dan oleh karena itu momen gravitasi relatif terhadap titik mana pun yang terletak pada segmen tersebut DENGAN 1 DENGAN 2, sama. Akibatnya, gaya gravitasi seluruh benda adalah nol terhadap titik mana pun pada segmen tersebut DENGAN 1 DENGAN 2. Jadi, pusat gravitasi benda komposit terletak pada segmen tersebut DENGAN 1 DENGAN 2 .

Kesimpulan praktis yang penting mengikuti Pernyataan 2, yang dirumuskan dengan jelas dalam bentuk instruksi.

instruksi,

cara mencari titik berat benda padat jika dapat dipatahkan

menjadi beberapa bagian, posisi pusat gravitasi masing-masing diketahui

1. Setiap bagian harus diganti dengan massa yang terletak pada pusat gravitasi bagian tersebut.

2. Temukan Pusat massa(dan ini sama dengan pusat gravitasi) dari sistem massa titik yang dihasilkan, memilih sistem koordinat yang sesuai X 0pada, menurut rumus:

Bahkan, mari kita susun benda komposit tersebut sedemikian rupa sehingga menjadi ruas DENGAN 1 DENGAN 2 berbentuk horizontal, dan digantung pada benang pada titik-titiknya DENGAN 1 dan DENGAN 2 (Gbr. 27.8, A). Jelas bahwa tubuh akan berada dalam keseimbangan. Dan keseimbangan ini tidak akan terganggu jika kita mengganti setiap benda dengan massa titik T 1 dan T 2 (Gbr. 27.8, B).

Beras. 27.8

BERHENTI! Putuskan sendiri: C3.

Soal 27.2. Bola bermassa ditempatkan pada dua titik sudut segitiga sama sisi T setiap. Sebuah bola bermassa 2 ditempatkan pada titik sudut ketiga T(Gbr. 27.9, A). Sisi segitiga A. Tentukan pusat gravitasi sistem ini.

T 2T A	Beras. 27.9
x C = ? di C = ?

Larutan. Mari kita perkenalkan sistem koordinat X 0pada(Gbr. 27.9, B). Kemudian

,

.

Menjawab: x C = A/2; ; pusat gravitasi terletak pada setengah ketinggian IKLAN.