Kata majemuk "jajar genjang"? Dan di baliknya terdapat sosok yang sangat sederhana.
Artinya, kami mengambil dua garis paralel:
Dilintasi dua lagi:
Dan di dalamnya ada jajaran genjang!
Properti apa yang dimiliki jajaran genjang?
Sifat-sifat jajar genjang.
Artinya, apa yang bisa digunakan jika soal tersebut diberi jajar genjang?
Teorema berikut menjawab pertanyaan ini:
Mari kita gambarkan semuanya secara detail.
Apa artinya poin pertama dari teorema? Dan faktanya adalah jika Anda MEMILIKI jajar genjang, maka Anda pasti akan memilikinya
Poin kedua berarti jika ADA jajar genjang, sekali lagi, pasti:
Terakhir, poin ketiga artinya jika Anda MEMILIKI jajar genjang, maka pastikan untuk:
Apakah Anda melihat betapa banyaknya pilihan yang ada? Apa yang harus digunakan dalam masalah tersebut? Cobalah untuk fokus pada pertanyaan tugas, atau coba semuanya satu per satu - beberapa "kunci" bisa digunakan.
Sekarang mari kita bertanya pada diri sendiri pertanyaan lain: bagaimana kita bisa mengenali jajaran genjang “dengan melihat”? Apa yang harus terjadi pada segi empat agar kita berhak memberinya “judul” jajar genjang?
Beberapa tanda jajaran genjang menjawab pertanyaan ini.
Tanda-tanda jajaran genjang.
Perhatian! Mulai.
Genjang.
Harap dicatat: jika Anda menemukan setidaknya satu tanda dalam masalah Anda, maka Anda pasti memiliki jajar genjang, dan Anda dapat menggunakan semua properti jajar genjang.
2. Persegi Panjang
Saya pikir itu sama sekali bukan berita baru bagi Anda
Pertanyaan pertama: apakah persegi panjang merupakan jajar genjang?
Tentu saja! Lagi pula, dia punya - ingat, tanda kita 3?
Dan dari sini, tentu saja, dalam sebuah persegi panjang, seperti halnya jajaran genjang lainnya, diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya.
Namun persegi panjang juga memiliki satu ciri khas.
Properti persegi panjang
Mengapa properti ini istimewa? Karena tidak ada jajar genjang lain yang diagonalnya sama. Mari kita rumuskan lebih jelas.
Harap diperhatikan: untuk menjadi persegi panjang, segi empat harus terlebih dahulu menjadi jajar genjang, lalu menunjukkan persamaan diagonalnya.
3. Berlian
Dan lagi pertanyaannya: apakah belah ketupat itu jajar genjang atau bukan?
Di sebelah kanan adalah jajaran genjang, karena memiliki dan (ingat fitur kami 2).
Dan lagi, karena belah ketupat adalah jajar genjang, maka ia harus memiliki semua sifat jajar genjang. Artinya, pada belah ketupat, sudut-sudut yang berhadapan sama besar, sisi-sisi yang berhadapan sejajar, dan diagonal-diagonalnya berpotongan dua di titik potong.
Sifat-sifat belah ketupat
Lihatlah gambar:
Seperti halnya persegi panjang, sifat-sifat ini berbeda, yaitu, untuk masing-masing sifat ini kita dapat menyimpulkan bahwa ini bukan hanya jajar genjang, tetapi belah ketupat.
Tanda-tanda berlian
Dan sekali lagi, perhatikan: tidak boleh hanya ada segiempat yang diagonal-diagonalnya tegak lurus, tetapi juga jajar genjang. Memastikan:
Tidak, tentu saja, meskipun diagonal-diagonalnya tegak lurus, dan diagonalnya adalah garis bagi sudut dan. Tapi... diagonal-diagonalnya tidak terbagi dua oleh titik potongnya, oleh karena itu - BUKAN jajar genjang, dan karenanya BUKAN belah ketupat.
Artinya, persegi adalah persegi panjang dan belah ketupat sekaligus. Mari lihat apa yang terjadi.
Apakah sudah jelas alasannya? - belah ketupat adalah garis bagi sudut A yang sama dengan. Artinya, ia terbagi (dan juga) menjadi dua sudut.
Cukup jelas: diagonal-diagonal sebuah persegi panjang adalah sama; Diagonal-diagonal belah ketupat tegak lurus, dan pada umumnya jajar genjang diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya.
LEVEL RATA-RATA
Sifat-sifat segiempat. Genjang
Sifat-sifat jajar genjang
Perhatian! Kata-kata " sifat-sifat jajar genjang"berarti kalau dalam tugasmu Ada jajaran genjang, maka semua hal berikut dapat digunakan.
Teorema tentang sifat-sifat jajar genjang.
Dalam jajaran genjang apa pun:
Dengan kata lain, mari kita pahami mengapa semua ini benar KAMI AKAN BUKTIKAN dalil.
Jadi mengapa 1) benar?
Jika merupakan jajar genjang, maka:
- berbohong seperti bersilangan
- berbohong seperti salib.
Artinya (menurut kriteria II: dan - umum.)
Ya, itu dia, itu dia! - terbukti.
Tapi omong-omong! Kami juga membuktikan 2)!
Mengapa? Tapi (lihat gambarnya), justru karena itu.
Tinggal sisa 3).
Untuk melakukan ini, Anda masih harus menggambar diagonal kedua.
Dan sekarang kita melihatnya - menurut karakteristik II (sudut dan sisi “di antara”).
Khasiatnya terbukti! Mari kita beralih ke tanda-tandanya.
Tanda-tanda jajaran genjang
Ingatlah bahwa tanda jajar genjang menjawab pertanyaan “bagaimana Anda tahu?”
Dalam ikonnya seperti ini:
Mengapa? Akan menyenangkan untuk memahami alasannya - itu sudah cukup. Tapi lihatlah:
Nah, kami menemukan mengapa tanda 1 itu benar.
Ya, itu lebih mudah! Mari menggambar diagonal lagi.
Yang berarti:
DAN Ini juga mudah. Tapi...berbeda!
Cara, . Wow! Tetapi juga - internal satu sisi dengan garis potong!
Oleh karena itu faktanya berarti demikian.
Dan jika Anda melihat dari sisi lain, maka - bagian dalam satu sisi dengan garis potong! Dan maka dari itu.
Apakah Anda melihat betapa hebatnya itu?!
Dan sekali lagi sederhana:
Sama persis, dan.
Perhatian: jika kamu menemukannya setidaknya salah satu tanda jajaran genjang dalam masalah Anda, maka Anda punya tepat jajaran genjang dan dapat Anda gunakan setiap orang sifat-sifat jajar genjang.
Untuk lebih jelasnya, lihat diagram:
Sifat-sifat segi empat. Persegi panjang.
Properti persegi panjang:
Poin 1) cukup jelas - lagipula, tanda 3 () terpenuhi begitu saja
Dan poin 2) - sangat penting. Jadi, mari kita buktikan
Artinya di dua sisi (dan - umum).
Nah, karena segitiga-segitiga itu sama besar, maka sisi miringnya juga sama.
Buktikan itu!
Dan bayangkan, persamaan diagonal merupakan ciri khas persegi panjang di antara semua jajaran genjang. Artinya, pernyataan ini benar^
Mari kita pahami alasannya?
Artinya (artinya sudut-sudut jajar genjang). Tapi mari kita ingat sekali lagi bahwa itu adalah jajar genjang, dan karena itu.
Cara, . Ya, tentu saja, masing-masing dari mereka! Bagaimanapun, mereka harus memberi secara total!
Jadi mereka membuktikan bahwa jika genjang tiba-tiba (!) diagonalnya menjadi sama, lalu ini persis persegi panjang.
Tetapi! Perhatian! Ini tentang jajaran genjang! Bukan sembarang orang segi empat yang diagonal-diagonalnya sama adalah persegi panjang, dan hanya genjang!
Sifat-sifat segi empat. Belah ketupat
Dan lagi pertanyaannya: apakah belah ketupat itu jajar genjang atau bukan?
Dengan hak penuh - jajaran genjang, karena memiliki (Ingat fitur kami 2).
Dan lagi, karena belah ketupat adalah jajar genjang, ia harus memiliki semua sifat jajar genjang. Artinya, pada belah ketupat, sudut-sudut yang berhadapan sama besar, sisi-sisi yang berhadapan sejajar, dan diagonal-diagonalnya berpotongan dua di titik potong.
Namun ada juga sifat khusus. Mari kita rumuskan.
Sifat-sifat belah ketupat
Mengapa? Nah, karena belah ketupat adalah jajar genjang, maka diagonal-diagonalnya terbagi dua.
Mengapa? Ya, itu sebabnya!
Dengan kata lain, diagonal-diagonalnya ternyata merupakan garis bagi sudut-sudut belah ketupat.
Seperti halnya persegi panjang, sifat-sifat ini adalah berbeda, masing-masing juga merupakan tanda belah ketupat.
Tanda-tanda berlian.
Kenapa ini? Dan lihat,
Itu berarti keduanya Segitiga-segitiga ini adalah segitiga sama kaki.
Untuk menjadi belah ketupat, suatu segi empat harus “menjadi” jajar genjang terlebih dahulu, lalu memperlihatkan ciri 1 atau ciri 2.
Sifat-sifat segi empat. Persegi
Artinya, persegi adalah persegi panjang dan belah ketupat sekaligus. Mari lihat apa yang terjadi.
Apakah sudah jelas alasannya? Persegi - belah ketupat - adalah garis bagi suatu sudut yang sama besarnya. Artinya, ia terbagi (dan juga) menjadi dua sudut.
Cukup jelas: diagonal-diagonal sebuah persegi panjang adalah sama; Diagonal-diagonal belah ketupat tegak lurus, dan pada umumnya jajar genjang diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya.
Mengapa? Baiklah, mari kita terapkan teorema Pythagoras pada...
RINGKASAN DAN FORMULA DASAR
Sifat-sifat jajar genjang:
- Sisi-sisi yang berhadapan sama besar: , .
- Sudut-sudut yang berhadapan sama besar: , .
- Jumlah sudut pada salah satu sisinya adalah: , .
- Diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya: .
Properti persegi panjang:
- Diagonal-diagonal persegi panjang tersebut sama besar: .
- Persegi panjang adalah jajar genjang (untuk persegi panjang semua sifat jajar genjang terpenuhi).
Sifat-sifat belah ketupat:
- Diagonal-diagonal belah ketupat tegak lurus: .
- Diagonal belah ketupat adalah garis bagi sudut-sudutnya: ; ; ; .
- Belah ketupat adalah jajar genjang (untuk belah ketupat semua sifat jajar genjang terpenuhi).
Sifat-sifat persegi:
Persegi adalah belah ketupat dan persegi panjang sekaligus, oleh karena itu, untuk persegi semua sifat persegi panjang dan belah ketupat terpenuhi. Dan:
Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.
Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!
Sekarang hal yang paling penting.
Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.
Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...
Untuk apa?
Untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.
Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...
Orang yang mendapat pendidikan yang baik memperoleh penghasilan lebih banyak daripada mereka yang tidak mengenyam pendidikan. Ini adalah statistik.
Tapi ini bukanlah hal yang utama.
Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...
Tapi pikirkan sendiri...
Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?
DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.
Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.
Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.
Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.
Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.
Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!
Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.
Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.
Bagaimana? Ada dua pilihan:
- Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
- Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 899 RUR
Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.
Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.
Kesimpulannya...
Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.
“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.
Temukan masalah dan selesaikan!
Tanda para-ral-le-lo-gram-ma
1. Pengertian dan sifat dasar jajar genjang
Mari kita mulai dengan mengingat kembali definisi par-ral-le-lo-gram-ma.
Definisi. Genjang- apa-kamu-rekh-gon-nick, yang memiliki setiap dua sisi pro-ti-salah yang sejajar (lihat Gambar 1).
Beras. 1. Paral-le-lo-gram
Mari kita ingat sifat dasar par-ral-le-lo-gram-ma:
Untuk dapat menggunakan semua properti ini, Anda harus yakin bahwa fi-gu-ra, tentang seseorang -roy yang dimaksud, - par-ral-le-lo-gram. Untuk melakukan ini, perlu diketahui fakta-fakta seperti tanda-tanda para-ral-le-lo-gram-ma. Kami sedang melihat dua yang pertama tahun ini.
2. Tanda pertama jajar genjang
Dalil. Tanda pertama par-ral-le-lo-gram-ma. Jika pada empat batubara kedua sisi yang berhadapan sama besar dan sejajar, maka julukan empat batubara ini - genjang. 
.
Beras. 2. Tanda pertama par-ral-le-lo-gram-ma
Bukti. Mari kita letakkan dia-gonal di empat-reh-batubara-ni-ka (lihat Gambar 2), dia membaginya menjadi dua tri-batubara-ni-ka. Mari kita tuliskan apa yang kita ketahui tentang segitiga berikut:
menurut tanda pertama persamaan segitiga.
Dari persamaan segitiga-segitiga tersebut dapat disimpulkan bahwa, dengan tanda paralelisme garis-garis lurus ketika berpotongan ch-nii, s-ku-shchinya. Kami memiliki itu:
Lakukan-ka-za-tapi.
3. Tanda kedua jajar genjang
Dalil. Tanda kedua adalah para-ral-le-lo-gram-ma. Jika pada suatu empat sudut setiap dua sisi yang berhadapan sama besar, maka keempat sudut tersebut adalah genjang. 
.
Beras. 3. Tanda kedua dari para-ral-le-lo-gram-ma
Bukti. Kami menempatkan diagonal ke dalam empat sudut (lihat Gambar 3), dia membaginya menjadi dua segitiga. Mari kita tuliskan apa yang kita ketahui tentang segitiga-segitiga tersebut, berdasarkan bentuk teorinya:
menurut tanda ketiga persamaan segitiga.
Dari persamaan segitiga dapat disimpulkan bahwa, dengan tanda garis sejajar, ketika memotongnya s-ku-shchey. Mari makan:
par-ral-le-lo-gram menurut definisi. Q.E.D.
Lakukan-ka-za-tapi.
4. Contoh penggunaan fitur jajaran genjang yang pertama
Mari kita lihat contoh penggunaan tanda paral-le-lo-gram.
Contoh 1. Pada tonjolan tersebut tidak terdapat batubara. Tentukan: a) sudut-sudut batubara; b) seratus-ro-well.
Larutan. Ilustrasi Gambar. 4.
par-ral-le-lo-gram sesuai dengan tanda pertama par-ral-le-lo-gram-ma.
A. 
dengan sifat par-ral-le-lo-gram tentang sudut pro-ti-false, dengan sifat par-ral-le-lo-gram tentang jumlah sudut, jika terletak pada satu sisi.
B. 
berdasarkan sifat persamaan pihak yang pro-salah.
tanda tangan ulang para-ral-le-lo-gram-ma
5. Review : Pengertian dan Sifat-sifat Jajar Genjang
Mari kita ingat itu genjang- ini adalah sudut empat persegi, yang memiliki sisi pro-ti-salah berpasangan. Artinya, jika - par-ral-le-lo-gram, maka 
(lihat Gambar 1).
Paralel-le-lo-gram memiliki sejumlah sifat: sudut pro-ti-salah sama (), sudut pro-ti-salah -kita sama ( 
). Selain itu, dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram pada titik re-se-che-niya dibagi menurut jumlah sudutnya, at-le-menekan ke sisi mana pun pa -ral-le-lo-gram-ma, setara, dll.
Tetapi untuk memanfaatkan semua properti ini, perlu untuk benar-benar yakin bahwa ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - paral-le-lo-gram. Untuk tujuan ini, ada tanda-tanda par-ral-le-lo-gram: yaitu, fakta-fakta yang darinya seseorang dapat menarik kesimpulan bernilai tunggal, bahwa apa-you-rekh-coal-nick adalah par-ral- le-lo-gram-ibu. Pada pelajaran sebelumnya, kita telah melihat dua tanda. Sekarang kita sedang melihat yang ketiga kalinya.
6. Tanda ketiga jajar genjang dan pembuktiannya
Jika dalam empat batu bara ada dia-go-on di titik re-se-che-niya yang mereka lakukan, maka empat-kamu Roh-batubara-nick yang diberikan adalah paral-le -lo-gram-ibu.
Diberikan:
Apa-kamu-re-batubara-nick; ; .
Membuktikan:
Genjang.
Bukti:
Untuk membuktikan fakta ini, perlu ditunjukkan paralelisme para pihak dalam par-le-lo-gram. Dan paralelisme garis lurus paling sering dicapai melalui persamaan sudut melintang internal pada sudut siku-siku ini. Nah, berikut cara selanjutnya untuk mendapatkan tanda ketiga par-ral -le-lo-gram-ma: melalui persamaan segitiga 
.
Mari kita lihat bagaimana segitiga-segitiga ini sama besar. Memang dari kondisinya sebagai berikut: . Selain itu, karena sudut-sudutnya vertikal, maka besarnya sama besar. Itu adalah:
(tanda pertama kesetaraantri-batubara-ni-cov- sepanjang dua sisi dan sudut di antara keduanya).
Dari persamaan segitiga: (karena sudut melintang dalam pada garis lurus dan pemisah ini adalah sama besar). Selain itu, dari persamaan segitiga dapat disimpulkan bahwa . Jadi, kita memahami bahwa dalam empat batu bara tanpa batu bara, dua ratus adalah sama dan sejajar. Menurut tanda pertama, pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.
Lakukan-ka-za-tapi.
7. Contoh soal tanda ketiga jajar genjang dan generalisasinya
Perhatikan contoh penggunaan tanda ketiga para-ral-le-lo-gram.
Contoh 1
Diberikan:
- genjang; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (lihat Gambar 2).
Membuktikan:- par-ral-le-lo-gram.
Bukti:
Artinya dalam empat batu bara-no-dia-go-on-apakah pada titik re-se-che-niya mereka melakukan-by-lam. Dengan tanda ketiga par-ral-le-lo-gram, maka - par-ral-le-lo-gram.
Lakukan-ka-za-tapi.
Jika Anda menganalisis tanda ketiga dari par-ral-le-lo-gram, maka Anda dapat melihat bahwa tanda ini dengan-vet- memiliki sifat par-ral-le-lo-gram. Artinya, fakta bahwa dia-go-na-li de-la-xia bukan hanya milik par-le-lo-gram, tetapi khasnya, kha-rak-te-ri-sti-che- properti, yang dengannya dapat dibedakan dari himpunan apa-Anda-rekh-batubara-ni-cov.
SUMBER
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif
Kursus video "Dapatkan nilai A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu dalam matematika dengan 60-65 poin. Selesaikan semua tugas 1-13 Profil Ujian Negara Bersatu dalam matematika. Juga cocok untuk lulus Ujian Negara Terpadu Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan poin 90-100, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!
Kursus persiapan Ujian Negara Terpadu untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan Bagian 1 Ujian Negara Bersatu dalam matematika (12 soal pertama) dan Soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Terpadu, dan baik siswa dengan nilai 100 poin maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa poin tersebut.
Semua teori yang diperlukan. Solusi cepat, jebakan dan rahasia Ujian Negara Bersatu. Seluruh tugas saat ini bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Ujian Negara Terpadu 2018.
Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.
Ratusan tugas Ujian Negara Bersatu. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma yang sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas Unified State Examination. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Memahami bukan menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunannya. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks Bagian 2 Ujian Negara Bersatu.
Bukti
Pertama-tama, mari kita menggambar diagonal AC. Kami mendapatkan dua segitiga: ABC dan ADC.
Karena ABCD adalah jajar genjang, maka pernyataan berikut ini benar:
IKLAN || BC \Panah Kanan \sudut 1 = \sudut 2 seperti berbaring melintang.
AB || CD\Panah Kanan\sudut3 =\sudut 4 seperti berbaring melintang.
Oleh karena itu, \segitiga ABC = \segitiga ADC (sesuai dengan kriteria kedua: dan AC adalah persekutuan).
Jadi, \segitiga ABC = \segitiga ADC, maka AB = CD dan AD = BC.
Terbukti!
2. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
Bukti
Menurut buktinya properti 1 Kami tahu itu \sudut 1 = \sudut 2, \sudut 3 = \sudut 4. Jadi jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah: \sudut 1 + \sudut 3 = \sudut 2 + \sudut 4. Mengingat \segitiga ABC = \segitiga ADC kita peroleh \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Terbukti!
3. Diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya.
Bukti
Mari menggambar diagonal lainnya.
Oleh properti 1 kita tahu bahwa sisi-sisi yang berhadapan adalah sama: AB = CD. Sekali lagi, perhatikan sudut-sudut yang terletak melintang sama besar.
Jadi, jelas bahwa \segitiga AOB = \segitiga COD menurut kriteria kedua persamaan segitiga (dua sudut dan sisi di antara keduanya). Artinya, BO = OD (berlawanan dengan sudut \sudut 2 dan \sudut 1) dan AO = OC (berlawanan dengan sudut \sudut 3 dan \sudut 4).
Terbukti!
Tanda-tanda jajaran genjang
Jika hanya ada satu fitur dalam soal Anda, maka gambar tersebut adalah jajar genjang dan Anda dapat menggunakan semua properti dari gambar tersebut.
Untuk menghafal lebih baik, perhatikan bahwa tanda jajaran genjang akan menjawab pertanyaan berikut - "bagaimana cara mengetahuinya?". Yaitu, cara mengetahui suatu bangun datar adalah jajar genjang.
1. Jajargenjang adalah segi empat yang kedua sisinya sama panjang dan sejajar.
AB = CD ; AB || CD \Panah Kanan ABCD adalah jajar genjang.
Bukti
Mari kita lihat lebih dekat. Mengapa IKLAN || SM?
\segitiga ABC = \segitiga ADC oleh properti 1: AB = CD, AC - persekutuan dan \sudut 1 = \sudut 2 terletak melintang sejajar AB dan CD serta garis potong AC.
Tetapi jika \segitiga ABC = \segitiga ADC , maka \sudut 3 = \sudut 4 (masing-masing terletak berhadapan dengan AB dan CD). Dan karena itu IKLAN || BC (\sudut 3 dan \sudut 4 - yang terletak melintang juga sama besar).
Tanda pertama benar.
2. Jajargenjang adalah segiempat yang sisi-sisinya berhadapan sama panjang.
AB = CD, AD = BC \Panah kanan ABCD adalah jajar genjang.
Bukti
Mari kita perhatikan tanda ini. Mari kita menggambar diagonal AC lagi.
Oleh properti 1\segitiga ABC = \segitiga ACD .
Oleh karena itu: \sudut 1 = \sudut 2 \Panah Kanan IKLAN || SM Dan \sudut 3 = \sudut 4 \Panah Kanan AB || CD, yaitu ABCD adalah jajar genjang.
Tanda kedua benar.
3. Jajargenjang adalah segi empat yang sudut-sudutnya berhadapan sama besar.
\sudut A = \sudut C , \sudut B = \sudut D \Panah Kanan ABCD- jajaran genjang.
Bukti
2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ)(karena ABCD adalah segi empat, dan \sudut A = \sudut C , \sudut B = \sudut D dengan syarat).
Ternyata \alpha + \beta = 180^(\circ) . Namun \alpha dan \beta merupakan internal satu sisi pada garis potong AB.
Dan fakta bahwa \alpha + \beta = 180^(\circ) juga berarti bahwa AD || SM
Selain itu, \alpha dan \beta bersifat internal satu sisi pada garis potong AD . Dan itu artinya AB || CD.
Tanda ketiga benar.
4. Jajargenjang adalah segiempat yang diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik potongnya.
AO = OC ; BO = OD\Jajar Genjang Panah Kanan.
Bukti
B O = OD; AO = OC , \sudut 1 = \sudut 2 vertikal \Panah Kanan \segitiga AOB = \segitiga COD, \Panah Kanan \sudut 3 = \sudut 4, dan \Panah Kanan AB || CD.
Demikian pula BO = OD; AO = OC, \sudut 5 = \sudut 6 \Panah Kanan \segitiga AOD = \segitiga Dewan Komisaris \Panah Kanan \sudut 7 = \sudut 8, dan \Panah Kanan IKLAN || SM
Tanda keempat benar.
Lembaga pendidikan anggaran kota
Sekolah menengah Savinskaya
Riset
Jajar genjang dan sifat-sifat barunya
Diselesaikan oleh: siswa kelas 8B
Sekolah Menengah MBOU Savinskaya
Kuznetsova Svetlana, 14 tahun
Kepala: guru matematika
Tulchevskaya N.A.
hal.Savino
Wilayah Ivanovo, Rusia
2016
SAYA. Pendahuluan __________________________________________________________________halaman 3
II. Dari sejarah jajaran genjang ______________________ halaman 4
III Sifat-sifat tambahan jajar genjang ________________halaman 4
IV. Bukti properti ________________________ halaman 5
V. Memecahkan masalah menggunakan properti tambahan __________halaman 8
VI. Penerapan sifat-sifat jajar genjang dalam kehidupan ______ halaman 11
VII. Kesimpulan __________________________________________________halaman 12
VIII. Sastra __________________________________________________halaman 13
Perkenalan
"Di antara pikiran yang setara
pada kesetaraan kondisi lainnya
dia yang mengetahui geometri lebih unggul"
(Blaise Pascal).
Saat mempelajari topik “Jajar Genjang” pada pelajaran geometri, kami melihat dua sifat jajar genjang dan tiga ciri, namun ketika kami mulai menyelesaikan soal, ternyata itu belum cukup.
Saya punya pertanyaan: apakah jajar genjang memiliki sifat lain, dan bagaimana sifat tersebut membantu dalam memecahkan masalah?
Dan saya memutuskan untuk mempelajari properti tambahan dari jajaran genjang dan menunjukkan bagaimana properti tersebut dapat diterapkan untuk memecahkan masalah.
Subyek studi : genjang
Objek studi
: sifat-sifat jajar genjang
Tujuan pekerjaan:
rumusan dan pembuktian sifat-sifat tambahan jajar genjang yang tidak dipelajari di sekolah;
penerapan properti ini untuk memecahkan masalah.
Tugas:
Mempelajari sejarah kemunculan jajar genjang dan sejarah perkembangan sifat-sifatnya;
Temukan literatur tambahan tentang masalah yang diteliti;
Pelajari sifat-sifat tambahan jajar genjang dan buktikan;
Tunjukkan penerapan properti ini untuk memecahkan masalah;
Perhatikan penerapan sifat-sifat jajar genjang dalam kehidupan.
Metode penelitian:
Bekerja dengan literatur pendidikan dan sains populer, sumber daya Internet;
Kajian materi teori;
Identifikasi berbagai masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan properti tambahan dari jajaran genjang;
Observasi, perbandingan, analisis, analogi.
Durasi studi : 3 bulan: Januari-Maret 2016
Dari sejarah jajaran genjang
Dalam buku teks geometri kita membaca definisi jajar genjang berikut: Jajar genjang adalah segi empat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar berpasangan.
Kata "jajar genjang" diterjemahkan sebagai "garis sejajar" (dari kata Yunani Parallelos - paralel dan gramme - garis), istilah ini diperkenalkan oleh Euclid. Dalam bukunya Elements, Euclid membuktikan sifat-sifat jajar genjang berikut: sisi dan sudut jajar genjang yang berhadapan adalah sama besar, dan diagonalnya membagi dua jajar genjang. Euclid tidak menyebutkan titik potong jajar genjang. Baru menjelang akhir Abad Pertengahan teori jajar genjang yang lengkap dikembangkan. Dan baru pada abad ke-17 teorema tentang jajar genjang muncul di buku teks, yang dibuktikan dengan menggunakan teorema Euclid tentang sifat-sifat jajar genjang.
AKU AKU AKU Properti tambahan dari jajaran genjang
Dalam buku teks geometri, hanya diberikan 2 sifat jajar genjang:
Sudut dan sisi yang berhadapan sama besar
Diagonal-diagonal jajar genjang berpotongan dan dibagi dua oleh titik potongnya.
Di berbagai sumber geometri Anda dapat menemukan properti tambahan berikut:
Jumlah sudut-sudut yang berdekatan pada suatu jajar genjang adalah 180 0
Garis bagi sudut jajar genjang memotong segitiga sama kaki;
Garis bagi sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang terletak pada garis-garis sejajar;
Garis bagi sudut-sudut yang berdekatan pada jajar genjang berpotongan tegak lurus;
Jika garis bagi semua sudut jajar genjang berpotongan, maka akan membentuk persegi panjang;
Jarak sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang ke diagonal yang sama adalah sama.
Jika Anda menghubungkan simpul-simpul yang berhadapan dalam jajar genjang dengan titik tengah sisi-sisi yang berhadapan, Anda akan mendapatkan jajar genjang yang lain.
Jumlah kuadrat diagonal-diagonal jajar genjang sama dengan dua kali jumlah kuadrat sisi-sisi yang berdekatan.
Jika Anda menggambar ketinggian dari dua sudut berlawanan dalam jajar genjang, Anda akan mendapatkan persegi panjang.
IV Bukti sifat-sifat jajar genjang
Jumlah sudut-sudut yang berdekatan pada suatu jajar genjang adalah 180 0
Diberikan:
ABCD – jajaran genjang
Membuktikan:
SEBUAH+ B= 
Bukti:
A dan B – sudut satu sisi dalam dengan garis sejajar BC 
AD dan garis potong AB yang artinya SEBUAH+ B=
2
Diberikan: ABCD - genjang,
Garis bagi AK 
A.
Membuktikan: 
AVK – sama kaki
Bukti:
1) 1=3 (berbaring melintang di SM IKLAN dan garis potong AK ),
2) 2=3 karena AK adalah garis bagi,
berarti 1= 2.
3) ABC - sama kaki karena 2 sudut suatu segitiga sama besar
3
Diberikan: ABCD adalah jajar genjang,
AK – garis bagi A,
CP - garis bagi C.
Membuktikan: AK ║ SR
Bukti:
1) 1=2 karena AK adalah garis bagi
2) 4=5 karena CP – garis bagi
3) 3=1 (sudut letak melintang di
BC ║ AD dan AK-sekant),
4) A =C (menurut sifat jajar genjang), artinya 2=3=4=5.
4) Dari ayat 3 dan 4 diperoleh 1 = 4, dan sudut-sudut tersebut bersesuaian dengan garis lurus AK dan CP serta garis potong BC,
ini berarti AK ║ CP (berdasarkan paralelisme garis)
. Garis bagi sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang terletak pada garis-garis sejajar
Garis bagi sudut-sudut yang berdekatan pada jajar genjang berpotongan tegak lurus
Diberikan: ABCD - jajaran genjang,
AK-bagi-bagi A,
Garis bagi DP D
Membuktikan: DP 
AK.
Bukti:
1) 1=2, karena AK - garis bagi
Misalkan 1=2=x, maka A=2x,
2) 3=4, karena D Р – garis bagi
Misalkan 3=4=y, maka D=2y
3) A + D =180 0, karena jumlah sudut-sudut yang berdekatan pada suatu jajar genjang adalah 180
2) Pertimbangkan Sebuah OD
1+3=90 0 , lalu <5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)
5. Garis bagi semua sudut jajar genjang bila berpotongan membentuk persegi panjang
Diberikan: ABCD - jajaran genjang, AK-bagi-bagi A,
DP-bagi-bagi D,
CM garis bagi C,
BF - garis bagi B .
Membuktikan: KRNS - persegi panjang
Bukti:
Berdasarkan properti sebelumnya 8=7=6=5=90 0 ,
berarti KRNS berbentuk persegi panjang.
Jarak sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang ke diagonal yang sama adalah sama.
Diberikan: Jajar genjang ABCD, AC-diagonal.
VC AC, D.P. AC
Membuktikan: SM=DP
Bukti: 1) DCP = KAB, sebagai persilangan dalam dengan AB ║ CD dan garis potong AC.
2) AKB= CDP (sepanjang sisi dan dua sudut yang berdekatan AB=CD CD P=AB K).
Dan pada segitiga sama kaki, sisi-sisi yang bersesuaian sama besar, artinya DP=BK.
Jika Anda menghubungkan titik-titik yang berlawanan dalam jajar genjang dengan titik tengah sisi-sisi yang berhadapan, Anda mendapatkan jajar genjang yang lain.
Diberikan: Jajargenjang ABCD.
Membuktikan: VKDR adalah jajaran genjang.
Bukti:
1) BP=KD (AD=BC, titik K dan P
bagilah sisi-sisi ini menjadi dua)
2) BP ║ KD (berbaring di AD SM)
Jika sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segi empat sama panjang dan sejajar, maka segi empat tersebut adalah jajar genjang.
Jika Anda menggambar ketinggian dari dua sudut berlawanan dalam jajar genjang, Anda akan mendapatkan persegi panjang.
Jumlah kuadrat diagonal-diagonal jajar genjang sama dengan dua kali jumlah kuadrat sisi-sisi yang berdekatan.
Diberikan: ABCD adalah jajar genjang. BD dan AC adalah diagonal.
Membuktikan: AC 2 +ВD 2 =2(AB 2 + IKLAN 2 )
Bukti: 1)BERTANYA:
AC
²=
+
2)B RD : BD 2 = B R 2 + RD 2 (menurut teorema Pythagoras)
3) AC ²+ BD ²=SK²+A K²+B Р²+РD ²
4) SC = BP = N(tinggi )
5) AC 2 +BD 2 = H 2 + A KE 2 + H 2 +PD 2
6)
Membiarkan
D
K=A
P=x, Kemudian C
KED
:
H
2
=
CD
2
- X 2
menurut teorema Pythagoras )
7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,
AC²+BD ²=2СD 2 -2x 2 + A KE 2 +PD 2
8) SEBUAH KE=IKLAN+ X, RD=IKLAN- X,
AC²+BD ² =2CD 2 -2x 2 +(IKLAN +x) 2 +(IKLAN -X) 2 ,
AC²+
DI DALAMD²=2
DENGAND²-2
X² + IKLAN
2
+2AD
X+
X 2
+ IKLAN
2
-2AD
X+
X 2
,
AC²+
DI DALAMD²=2CD
2
+2AD
2
=2(CD
2
+ IKLAN
2
).
V . Memecahkan masalah menggunakan properti ini
Titik potong garis bagi dua sudut jajar genjang yang berdekatan pada salah satu sisinya termasuk dalam sisi yang berlawanan. Sisi terpendek dari jajar genjang adalah 5 . Temukan sisi besarnya.
Diberikan: ABCD adalah jajar genjang,
AK – garis bagi A,
D K – garis bagi D , AB=5
Menemukan: Matahari
keputusan Larutan
Karena AK - garis bagi Dan ABC sama kaki.
Karena D K – garis bagi D, kalau begitu DCK - sama kaki
DC =CK= 5
Maka BC=VC+SC=5+5 = 10
Jawaban: 10
2. Hitunglah keliling jajar genjang jika garis bagi salah satu sudutnya membagi sisi jajar genjang menjadi segmen-segmen berukuran 7 cm dan 14 cm.
1 kasus
Diberikan: A,
VK=14cm, KS=7cm
Menemukan: P jajaran genjang
Larutan
VS=VK+KS=14+7=21 (cm)
Karena AK – garis bagi Dan ABC sama kaki.
AB=BK= 14cm
Maka P=2 (14+21) =70 (cm)
Diberikan: ABCD adalah jajar genjang,
D K – garis bagi D
VK=14cm, KS=7cm
Menemukan: P jajaran genjang
Larutan
VS=VK+KS=14+7=21 (cm)
Karena D K – garis bagi D, kalau begitu DCK - sama kaki
DC =CK= 7
Maka P= 2 (21+7) = 56 (cm)
Menjawab: 70cm atau 56cm
3. Sisi-sisi suatu jajar genjang adalah 10 cm dan 3 cm. Garis bagi dua sudut yang berdekatan dengan sisi yang lebih besar membagi sisi yang berhadapan menjadi tiga ruas. Temukan segmen ini.
1 kasus: garis bagi berpotongan di luar jajaran genjang
Diberikan: ABCD – jajaran genjang, AK – garis bagi A,
D K – garis bagi D , AB=3cm, BC=10cm
Menemukan: VM, MN, NC
Larutan
Karena AM - garis bagi Dan kemudian AVM adalah sama kaki.
Karena DN – garis bagi D, kalau begitu DCN - sama kaki
DC=CN=3
Maka MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 cm
Kasus 2: garis bagi berpotongan di dalam jajar genjang
Karena AN - garis bagi Dan ABN adalah sama kaki.
AB=BN = 3 D
Dan jeruji geser harus dipindahkan ke jarak yang diperlukan di ambang pintu
Mekanisme jajaran genjang- mekanisme empat batang, yang tautannya membentuk jajaran genjang. Ini digunakan untuk mengimplementasikan gerakan translasi dengan mekanisme berengsel.
Jajar genjang dengan tautan tetap- satu mata rantai tidak bergerak, mata rantai yang berlawanan membuat gerakan goyang, tetap sejajar dengan mata rantai yang tidak bergerak. Dua jajar genjang yang dihubungkan satu demi satu memberikan dua derajat kebebasan pada sambungan ujung, membiarkannya sejajar dengan sambungan stasioner.
Contoh: wiper kaca depan bus, forklift, tripod, gantungan, suspensi mobil.
Jajar genjang dengan sambungan tetap- Properti jajaran genjang digunakan untuk mempertahankan rasio jarak yang konstan antara tiga titik. Contoh: menggambar pantograf - alat untuk menskalakan gambar.
Belah ketupat- semua mata rantai mempunyai panjang yang sama, pendekatan (kontraksi) sepasang engsel yang berlawanan menyebabkan terpisahnya dua engsel lainnya. Semua tautan berfungsi dalam kompresi.
Contohnya adalah dongkrak mobil berbentuk berlian, pantograf trem.
Menggunting atau Mekanisme berbentuk X, juga dikenal sebagai Gunting Nuremberg- versi belah ketupat - dua tautan dihubungkan di tengah dengan engsel. Kelebihan mekanismenya adalah kekompakan dan kesederhanaan, kekurangannya adalah adanya dua pasang geser. Dua (atau lebih) mekanisme tersebut dihubungkan secara seri membentuk berlian di tengahnya. Digunakan di lift dan mainan anak-anak.
VII Kesimpulan
Siapa yang belajar matematika sejak kecil?
dia mengembangkan perhatian, melatih otaknya,
kemauan sendiri, menumbuhkan ketekunan
dan ketekunan dalam mencapai tujuan
A. Markushevich
Selama bekerja, saya membuktikan sifat tambahan dari jajaran genjang.
Saya yakin bahwa dengan menggunakan properti ini, Anda dapat menyelesaikan masalah dengan lebih cepat.
Saya menunjukkan bagaimana properti ini diterapkan dengan menggunakan contoh pemecahan masalah tertentu.
Saya belajar banyak tentang jajaran genjang, yang tidak ada dalam buku teks geometri kami
Saya yakin bahwa pengetahuan geometri sangat penting dalam kehidupan melalui contoh penerapan sifat-sifat jajar genjang.
Tujuan pekerjaan penelitian saya telah selesai.
Pentingnya pengetahuan matematika dibuktikan dengan adanya hadiah yang diberikan kepada orang yang menerbitkan buku tentang seseorang yang menjalani seluruh hidupnya tanpa bantuan matematika. Belum ada satu orang pun yang menerima penghargaan ini.
VIII literatur
Pogorelov A.V. Geometri 7-9: buku teks untuk pendidikan umum. institusi - M.: Pendidikan, 2014
L.S.Atanasyan dan lain-lain. Menambahkan. Bab untuk buku teks kelas 8: buku teks. manual untuk siswa sekolah dan kelas lanjutan. mempelajari matematika. – M.: Vita-tekan, 2003
Sumber daya internet
materi Wikipedia
