Hari ini akan menjadi pelajaran yang sangat mudah. Kami hanya akan mempertimbangkan satu objek - garis bagi sudut - dan membuktikan properti terpentingnya, yang akan sangat berguna bagi kami di masa depan.
Jangan santai saja: terkadang siswa yang ingin mendapat nilai tinggi pada Ujian Negara Terpadu atau UN Unified State yang sama bahkan tidak dapat merumuskan secara akurat definisi garis bagi pada pelajaran pertama.
Dan alih-alih melakukan tugas yang sangat menarik, kita malah membuang waktu untuk hal-hal sederhana seperti itu. Jadi baca, tonton, dan adopsi. :)
Pertama-tama, pertanyaan yang agak aneh: apa itu sudut? Benar sekali: sudut hanyalah dua sinar yang memancar dari titik yang sama. Misalnya:
Contoh sudut : lancip, tumpul dan siku-siku Seperti yang Anda lihat dari gambar, sudut bisa lancip, tumpul, lurus - tidak masalah sekarang. Seringkali, untuk kenyamanan, titik tambahan ditandai pada setiap sinar dan dikatakan bahwa di depan kita ada sudut $AOB$ (ditulis sebagai $\angle AOB$).
Captain Obviousness sepertinya mengisyaratkan bahwa selain sinar $OA$ dan $OB$, selalu ada kemungkinan untuk menggambar lebih banyak sinar dari titik $O$. Tapi di antara mereka akan ada satu yang istimewa - dia disebut garis-bagi.
Definisi. Garis bagi suatu sudut adalah sinar yang keluar dari titik sudut tersebut dan membagi dua sudut tersebut.
Untuk sudut di atas, garis bagi akan terlihat seperti ini:
Contoh garis bagi sudut lancip, tumpul dan siku-siku
Karena dalam gambar nyata tidak selalu jelas bahwa sinar tertentu (dalam kasus kita adalah sinar $OM$) membagi sudut asli menjadi dua sama besar, dalam geometri biasanya menandai sudut sama besar dengan jumlah busur yang sama ( dalam gambar kita ini adalah 1 busur untuk sudut lancip, dua untuk tumpul, tiga untuk lurus).
Oke, kita sudah memilah definisinya. Sekarang Anda perlu memahami properti apa yang dimiliki garis bagi.
Sifat utama garis bagi sudut
Faktanya, garis bagi memiliki banyak sifat. Dan kita pasti akan membahasnya di pelajaran berikutnya. Namun ada satu trik yang perlu Anda pahami saat ini:
Dalil. Garis bagi suatu sudut adalah kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sisi-sisi suatu sudut tertentu.
Diterjemahkan dari matematika ke dalam bahasa Rusia, ini berarti dua fakta sekaligus:
- Setiap titik yang terletak pada garis bagi suatu sudut tertentu berada pada jarak yang sama dari sisi-sisi sudut tersebut.
- Begitu pula sebaliknya: jika suatu titik terletak pada jarak yang sama dari sisi-sisi suatu sudut tertentu, maka titik tersebut dijamin terletak pada garis-bagi sudut tersebut.
Sebelum membuktikan pernyataan-pernyataan ini, mari kita perjelas satu hal: apa sebenarnya yang disebut jarak dari suatu titik ke sisi suatu sudut? Di sini penentuan jarak dari suatu titik ke garis akan membantu kita:
Definisi. Jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik ke garis tersebut.
Misalnya, perhatikan garis $l$ dan titik $A$ yang tidak terletak pada garis ini. Mari kita menggambar garis tegak lurus terhadap $AH$, di mana $H\in l$. Maka panjang garis tegak lurus tersebut adalah jarak dari titik $A$ ke garis lurus $l$.
Representasi grafis dari jarak dari suatu titik ke garis Karena sudut hanyalah dua sinar, dan setiap sinar merupakan bagian dari garis lurus, maka mudah untuk menentukan jarak dari suatu titik ke sisi-sisi suatu sudut. Ini hanyalah dua garis tegak lurus:
Tentukan jarak titik ke sisi-sisi sudut Itu saja! Sekarang kita tahu apa itu jarak dan apa itu garis bagi. Oleh karena itu, kita dapat membuktikan sifat utamanya.
Seperti yang dijanjikan, kami akan membagi buktinya menjadi dua bagian:
1. Jarak titik pada garis bagi ke sisi-sisi sudut adalah sama
Pertimbangkan sudut sembarang dengan titik sudut $O$ dan garis bagi $OM$:
Mari kita buktikan bahwa titik $M$ ini berada pada jarak yang sama dari sisi sudut.
Bukti. Mari kita menggambar garis tegak lurus dari titik $M$ ke sisi-sisi sudut. Sebut saja $M((H)_(1))$ dan $M((H)_(2))$:
Gambarlah garis tegak lurus pada sisi-sisi sudut
Kami memperoleh dua segitiga siku-siku: $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$. Mereka memiliki sisi miring yang sama $OM$ dan sudut yang sama besar:
- $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ dengan syarat (karena $OM$ adalah garis bagi);
- $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ berdasarkan konstruksi;
- $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, karena jumlah Sudut lancip segitiga siku-siku selalu 90 derajat.
Oleh karena itu, segitiga-segitiga tersebut memiliki sisi yang sama dan dua sudut yang berdekatan (lihat tanda-tanda persamaan segitiga). Oleh karena itu, khususnya, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, yaitu jarak titik $O$ ke sisi-sisi sudut memang sama. Q.E.D. :)
2. Jika jaraknya sama, maka titik tersebut terletak pada garis bagi
Kini situasinya terbalik. Diketahui sebuah sudut $O$ dan sebuah titik $M$ yang berjarak sama dari sisi-sisi sudut ini:
Mari kita buktikan bahwa sinar $OM$ merupakan garis bagi, mis. $\sudut MO((H)_(1))=\sudut MO((H)_(2))$.
Bukti. Pertama, mari kita gambarkan sinar $OM$ ini, jika tidak, tidak akan ada yang perlu dibuktikan:
Melakukan sinar $OM$ di dalam sudut
Sekali lagi kita mendapatkan dua segitiga siku-siku: $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$. Jelas mereka setara karena:
- Sisi miring $OM$ - umum;
- Kaki $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ dengan syarat (bagaimanapun juga, titik $M$ berjarak sama dari sisi-sisi sudut);
- Kaki-kaki yang tersisa juga sama, karena dengan teorema Pythagoras $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.
Oleh karena itu, segitiga $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$ pada tiga sisi. Secara khusus, sudut-sudutnya sama besar: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Dan ini berarti $OM$ adalah garis bagi.
Untuk menyimpulkan pembuktiannya, kami menandai sudut-sudut sama besar yang dihasilkan dengan busur merah:
Garis bagi membagi sudut $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ menjadi dua sudut yang sama besar
Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Kita telah membuktikan bahwa garis bagi suatu sudut adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sisi-sisi sudut tersebut. :)
Sekarang setelah kita sedikit banyak memutuskan terminologinya, sekarang saatnya untuk beralih ke level berikutnya. Pada pelajaran berikutnya kita akan melihat sifat-sifat garis bagi yang lebih kompleks dan mempelajari cara menerapkannya untuk menyelesaikan masalah nyata.
Garis bagi suatu segitiga – ruas garis bagi suatu sudut suatu segitiga, terletak di antara titik sudut segitiga dan sisi yang berhadapan dengannya.
Sifat-sifat garis bagi
1. Garis bagi suatu segitiga membagi dua sudutnya.
2. Garis bagi suatu sudut suatu segitiga membagi sisi yang berhadapan dengan perbandingan yang sama dengan perbandingan dua sisi yang berdekatan ()
3. Titik-titik bagi suatu sudut suatu segitiga berjarak sama terhadap sisi-sisi sudut tersebut.
4. Garis bagi sudut dalam suatu segitiga berpotongan di satu titik - pusat lingkaran pada segitiga ini.
Beberapa rumus yang berhubungan dengan garis bagi suatu segitiga
(bukti rumus – )
, Di mana
- panjang garis bagi yang ditarik ke samping,
- sisi-sisi segitiga yang masing-masing berhadapan dengan titik sudut,
- panjang segmen tempat garis bagi membagi sisinya,
Saya mengundang Anda untuk menonton video tutorial, yang mendemonstrasikan penerapan semua properti garis bagi di atas.
Tugas yang tercakup dalam video:
1. Pada segitiga ABC dengan sisi AB = 2 cm, BC = 3 cm, AC = 3 cm, dibuat garis bagi VM. Tentukan panjang ruas AM dan MC
2. Garis bagi sudut dalam di titik sudut A dan garis bagi sudut luar di titik sudut C segitiga ABC berpotongan di titik M. Tentukan sudut BMC jika sudut B 40 derajat, sudut C 80 derajat
3. Tentukan jari-jari lingkaran pada segitiga dengan memperhatikan sisi-sisi sel persegi sama dengan 1 
Anda mungkin juga tertarik dengan video tutorial singkat di mana salah satu properti garis bagi diterapkan
Tahukah anda apa yang dimaksud dengan titik tengah suatu ruas? Tentu saja. Bagaimana dengan pusat lingkarannya? Sama.
Berapakah titik tengah suatu sudut?
Anda dapat mengatakan bahwa ini tidak terjadi. Tetapi mengapa suatu ruas dapat dibagi dua, tetapi suatu sudut tidak dapat? Itu sangat mungkin - hanya saja bukan sebuah titik, tapi…. garis.
Apakah Anda ingat lelucon: garis bagi adalah tikus yang berlari mengitari sudut dan membagi sudut menjadi dua. Jadi, definisi sebenarnya dari garis bagi sangat mirip dengan lelucon ini:
Garis bagi suatu segitiga- ini adalah garis bagi suatu sudut suatu segitiga yang menghubungkan titik sudut tersebut dengan suatu titik di sisi yang berhadapan.
Dahulu kala, para astronom dan matematikawan kuno menemukan banyak sifat menarik dari garis bagi. Pengetahuan ini telah sangat menyederhanakan kehidupan masyarakat.
Pengetahuan pertama yang akan membantu dalam hal ini adalah...
Ngomong-ngomong, apakah Anda ingat semua istilah ini? Apakah Anda ingat perbedaannya satu sama lain? TIDAK? Tidak menakutkan. Mari kita cari tahu sekarang.
- Alas segitiga sama kaki- ini adalah sisi yang tidak ada bandingannya. Lihat gambarnya, menurutmu sisi mana? Itu benar - ini bagian sampingnya.
- Median adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga dan membagi sisi yang berhadapan (itu lagi) menjadi dua. Perhatikan bahwa kita tidak mengatakan, "Median segitiga sama kaki." Apa kamu tahu kenapa? Karena median yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga membagi dua sisi yang berhadapan pada segitiga APAPUN.
- Tinggi adalah garis yang ditarik dari atas dan tegak lurus dengan alas. Anda memperhatikan? Kita sekali lagi berbicara tentang segitiga apa pun, bukan hanya segitiga sama kaki. Tinggi segitiga APAPUN selalu tegak lurus alasnya.
Jadi, sudahkah Anda menemukan jawabannya? Hampir.
Untuk memahami lebih baik dan mengingat selamanya apa itu garis bagi, median, dan tinggi, Anda memerlukannya bandingkan satu sama lain dan memahami persamaan dan perbedaannya satu sama lain.
Pada saat yang sama, untuk mengingat lebih baik, lebih baik menggambarkan segala sesuatu dalam “bahasa manusia”.
Maka Anda akan dengan mudah mengoperasikan bahasa matematika, tetapi pada awalnya Anda tidak memahami bahasa ini dan Anda perlu memahami semuanya dalam bahasamu sendiri.
Jadi, apa kemiripannya?
Garis bagi, median, dan ketinggian - semuanya “keluar” dari titik sudut segitiga dan bertumpu pada sisi yang berlawanan dan “melakukan sesuatu” baik dengan sudut keluarnya, atau dengan sisi yang berlawanan.
Menurutku itu sederhana, bukan?
Bagaimana mereka berbeda?
- Garis bagi membagi sudut munculnya menjadi dua.
- Median membagi sisi yang berlawanan menjadi dua.
- Tingginya selalu tegak lurus dengan sisi yang berlawanan.
Itu dia. Sangat mudah untuk memahaminya. Dan begitu Anda memahaminya, Anda dapat mengingatnya.
Sekarang pertanyaan selanjutnya.
Mengapa, dalam kasus segitiga sama kaki, garis bagi merupakan median dan ketinggian?
Anda cukup melihat gambarnya dan memastikan bahwa mediannya terbagi menjadi dua segitiga yang benar-benar sama besar.
Itu saja! Namun matematikawan tidak suka memercayai mata mereka. Mereka perlu membuktikan segalanya.
Kata yang menakutkan?
Tidak ada yang seperti itu - sederhana saja! Lihat: keduanya memiliki sisi yang sama dan, umumnya mereka memiliki sisi yang sama dan. (- garis bagi!) Dan ternyata dua segitiga mempunyai dua sisi yang sama besar dan sebuah sudut di antara keduanya.
Kita ingat tanda pertama persamaan segitiga (jika Anda tidak ingat, lihat topiknya) dan menyimpulkan bahwa, dan oleh karena itu = dan.
Ini sudah bagus, artinya ternyata median.
Tapi apa itu?
Mari kita lihat gambarnya - . Dan kami mendapatkannya. Begitu juga! Akhirnya, hore! Dan.
Apakah menurut Anda bukti ini agak berat? Lihatlah gambarnya - dua segitiga identik berbicara sendiri.
Bagaimanapun, ingatlah dengan tegas:
Sekarang lebih sulit: kita akan menghitungnya sudut antara garis-bagi pada segitiga apa pun! Jangan takut, ini tidak terlalu rumit. Lihatlah gambar:
Mari kita hitung. Apakah kamu ingat itu jumlah sudut suatu segitiga adalah?
Mari kita terapkan fakta menakjubkan ini.
Di satu sisi, dari:
Itu adalah.
Sekarang mari kita lihat:
Tapi garis bagi, garis bagi!
Mari kita ingat tentang:
Sekarang melalui surat-surat itu
Bukankah ini mengejutkan?
Ternyata itu sudut antara garis bagi dua sudut hanya bergantung pada sudut ketiga!
Ya, kita melihat dua garis bagi. Bagaimana jika mereka bertiga??!! Akankah semuanya berpotongan pada satu titik?
Atau akankah menjadi seperti ini?
Bagaimana menurut Anda? Jadi para ahli matematika berpikir dan berpikir dan membuktikan:
Bukankah itu bagus?
Apakah Anda ingin tahu mengapa ini terjadi?
Pindah ke level berikutnya - Anda siap untuk menaklukkan tingkat pengetahuan baru tentang garis bagi!
BISEKTRIS. LEVEL RATA-RATA
Apakah Anda ingat apa itu garis bagi?
Garis bagi adalah garis yang membagi dua suatu sudut.
Apakah Anda menemukan garis bagi dalam soal tersebut? Cobalah untuk menerapkan satu (atau terkadang beberapa) sifat luar biasa berikut ini.
1. Garis bagi pada segitiga sama kaki.
Apakah Anda tidak takut dengan kata "teorema"? Jika Anda takut, maka sia-sia saja. Matematikawan terbiasa menyebut teorema sebagai pernyataan apa pun yang dapat disimpulkan dari pernyataan lain yang lebih sederhana.
Jadi, perhatian, teorema!
Mari kita buktikan teorema ini, mari kita pahami mengapa ini terjadi? Lihatlah sama kaki.
Mari kita lihat dengan cermat. Dan kemudian kita akan melihatnya
- - umum.
Dan ini artinya (segera ingat tanda pertama persamaan segitiga!) itu.
Terus? Apakah Anda ingin mengatakan itu? Dan faktanya kita belum melihat ketiga sisi dan sudut-sudut yang tersisa dari segitiga-segitiga ini.
Sekarang mari kita lihat. Sekali, maka tentu saja, dan bahkan sebagai tambahan, .
Jadi ternyata begitu
- membagi sisinya menjadi dua, yaitu mediannya
- , artinya keduanya mirip (lihat kembali gambarnya).
Jadi ternyata itu adalah garis bagi dan tingginya juga!
Hore! Kami membuktikan teorema tersebut. Tapi coba tebak, bukan itu saja. Juga setia teorema kebalikan:
Bukti? Apakah Anda benar-benar tertarik? Baca teori tingkat selanjutnya!
Dan jika Anda tidak tertarik, maka ingat dengan tegas:
Mengapa mengingatnya dengan tegas? Bagaimana hal ini dapat membantu? Tapi bayangkan Anda mempunyai tugas:
Diberikan: .
Menemukan: .
Anda segera menyadari, garis bagi dan, lihatlah, dia membagi sisinya menjadi dua! (dengan syarat…). Jika Anda ingat betul bahwa ini terjadi hanya pada segitiga sama kaki, lalu kamu tarik kesimpulan yang artinya kamu tuliskan jawabannya: . Hebat, bukan? Tentu saja, tidak semua tugas mudah, tetapi pengetahuan pasti akan membantu!
Dan sekarang properti berikutnya. Siap?
2. Garis bagi suatu sudut adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sisi-sisi sudut.
Takut? Ini bukan masalah besar. Matematikawan yang malas menyembunyikan empat dalam dua baris. Jadi, apa maksudnya, “Bisektor - tempat kedudukan poin"? Artinya, mereka segera dieksekusi duapernyataan:
- Jika suatu titik terletak pada garis bagi, maka jarak titik tersebut ke sisi-sisi sudutnya adalah sama.
- Jika pada suatu titik jarak kedua sisi sudutnya sama, maka titik tersebut adalah Perlu terletak pada garis bagi.
Apakah Anda melihat perbedaan antara pernyataan 1 dan 2? Jika tidak terlalu banyak, ingatlah Hatter dari “Alice in Wonderland”: “Jadi apa lagi yang akan Anda katakan, seolah-olah “Saya melihat apa yang saya makan” dan “Saya makan apa yang saya lihat” adalah hal yang sama!”
Jadi kita perlu membuktikan pernyataan 1 dan 2, lalu pernyataan: “garis bagi adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sisi-sisi suatu sudut” terbukti!
Mengapa 1 benar?
Mari kita ambil titik mana pun pada garis bagi dan beri nama .
Mari kita jatuhkan garis tegak lurus dari titik ini ke sisi-sisi sudut.
Dan sekarang...bersiaplah untuk mengingat tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku! Jika Anda lupa, lihat bagiannya.
Jadi...dua segitiga siku-siku: dan. Mereka memiliki:
- sisi miring umum.
- (karena ini adalah garis bagi!)
Artinya - berdasarkan sudut dan sisi miring. Oleh karena itu, kaki-kaki yang bersesuaian pada segitiga-segitiga ini adalah sama! Itu adalah.
Kita buktikan bahwa suatu titik mempunyai jarak yang sama (atau sama) dari sisi-sisi sudut. Poin 1 ditangani. Sekarang mari kita beralih ke poin 2.
Mengapa 2 benar?
Dan mari kita hubungkan titik-titiknya dan.
Artinya terletak pada garis bagi!
Itu saja!
Bagaimana semua ini dapat diterapkan ketika memecahkan masalah? Misalnya, dalam soal sering kali terdapat kalimat berikut: “Sebuah lingkaran menyentuh sisi-sisi suatu sudut…”. Nah, Anda perlu menemukan sesuatu.
Kemudian Anda segera menyadarinya
Dan Anda bisa menggunakan kesetaraan.
3. Tiga garis bagi dalam suatu segitiga berpotongan di satu titik
Dari sifat garis bagi yang merupakan kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sisi-sisi suatu sudut, berikut pernyataannya:
Bagaimana tepatnya hasilnya? Tapi lihat: dua garis bagi pasti akan berpotongan, bukan?
Dan garis bagi ketiga bisa seperti ini:
Namun kenyataannya, semuanya jauh lebih baik!
Mari kita lihat titik potong dua garis bagi. Sebut saja.
Apa yang kami gunakan di sini dua kali? Ya paragraf 1, Tentu saja! Jika suatu titik terletak pada garis bagi, maka jaraknya sama terhadap sisi-sisi sudut.
Dan itulah yang terjadi.
Namun perhatikan baik-baik kedua persamaan ini! Bagaimanapun, dari mereka dapat disimpulkan bahwa dan, oleh karena itu, .
Dan sekarang hal itu akan mulai berlaku poin 2: jika jarak kedua sisi suatu sudut sama besar, maka titik tersebut terletak pada garis bagi...sudut berapa? Lihat lagi gambarnya:
dan adalah jarak ke sisi-sisi sudut, dan keduanya sama besar, artinya titik terletak pada garis bagi sudut. Garis bagi ketiga melewati titik yang sama! Ketiga garis bagi berpotongan pada satu titik! Dan sebagai hadiah tambahan -
jari-jari tertulis lingkaran.
(Yang pasti, lihat topik lain).
Nah, sekarang Anda tidak akan pernah lupa:
Titik potong garis bagi suatu segitiga adalah pusat lingkaran yang terdapat di dalamnya.
Mari kita lanjut ke sifat berikutnya... Wah, garis bagi itu punya banyak sifat ya? Dan ini bagus, karena semakin banyak properti, semakin banyak alat untuk memecahkan masalah garis bagi.
4. Garis bagi dan paralelisme, garis bagi sudut yang berdekatan
Fakta bahwa garis bagi membagi sudut menjadi dua dalam beberapa kasus menyebabkan hasil yang sama sekali tidak terduga. Misalnya,
Kasus 1
Hebat, bukan? Mari kita pahami mengapa demikian.
Di satu sisi, kita menggambar garis bagi!
Namun di sisi lain, ada sudut yang terletak bersilangan (ingat temanya).
Dan sekarang ternyata; buang bagian tengahnya: ! - sama kaki!
Kasus 2
Bayangkan sebuah segitiga (atau lihat gambarnya)
Mari kita lanjutkan sisinya melampaui intinya. Sekarang kita memiliki dua sudut:
- - sudut dalam
- - pojok luarnya di luar ya?
Jadi, sekarang seseorang ingin menggambar bukan hanya satu, tetapi dua garis bagi sekaligus: untuk dan untuk. Apa yang akan terjadi?
Apakah ini akan berhasil? persegi panjang!
Anehnya, hal ini justru terjadi.
Mari kita cari tahu.
Menurut Anda berapa jumlahnya?
Tentu saja - lagi pula, mereka semua bersama-sama membentuk sudut sedemikian rupa sehingga menjadi garis lurus.
Sekarang ingat bahwa dan adalah garis bagi dan lihat bahwa di dalam sudut tersebut terdapat tepat setengah dari jumlah keempat sudut: dan - - tepatnya. Anda juga dapat menuliskannya sebagai persamaan:
Jadi, luar biasa tapi benar:
Sudut antara garis-bagi sudut dalam dan sudut luar suatu segitiga adalah sama besar.
Kasus 3
Apakah Anda melihat bahwa semuanya sama di sini, baik di sudut dalam maupun luar?
Atau mari kita pikirkan kembali mengapa hal ini terjadi?
Sekali lagi, untuk sudut yang berdekatan,
(sesuai dengan basis paralel).
Dan lagi-lagi mereka berbaikan tepat setengahnya dari jumlah tersebut
Kesimpulan: Jika soal mengandung garis bagi bersebelahan sudut atau garis bagi relevan sudut jajar genjang atau trapesium, lalu pada soal ini tentu melibatkan segitiga siku-siku, atau mungkin bahkan persegi panjang utuh.
5. Garis bagi dan sisi berhadapan
Ternyata garis bagi suatu sudut suatu segitiga membagi sisi yang berhadapan tidak hanya dengan cara tertentu, tetapi dengan cara yang khusus dan sangat menarik:
Itu adalah:
Fakta yang menakjubkan, bukan?
Sekarang kita akan membuktikan fakta ini, tapi bersiaplah: ini akan menjadi sedikit lebih sulit dari sebelumnya.
Sekali lagi - keluar ke "ruang" - formasi tambahan!
Ayo lurus.
Untuk apa? Kita akan lihat sekarang.
Mari kita lanjutkan garis bagi hingga berpotongan dengan garis.
Apakah ini gambar yang familier? Ya, ya, ya, sama persis seperti pada poin 4, kasus 1 - ternyata (- garis bagi)
Berbaring melintang
Jadi itu juga.
Sekarang mari kita lihat segitiga dan.
Apa yang bisa Anda katakan tentang mereka?
Mereka serupa. Ya, sudut-sudutnya sama dengan sudut vertikal. Jadi, di dua sudut.
Sekarang kami berhak menulis hubungan pihak-pihak terkait.
Dan sekarang secara singkat:
Oh! Mengingatkanku pada sesuatu, bukan? Bukankah ini yang ingin kami buktikan? Ya, ya, persis seperti itu!
Anda lihat betapa hebatnya “jalan luar angkasa” itu - pembangunan garis lurus tambahan - tanpanya tidak akan terjadi apa-apa! Jadi, kami telah membuktikannya
Sekarang Anda dapat menggunakannya dengan aman! Mari kita lihat satu lagi sifat garis bagi sudut segitiga - jangan khawatir, sekarang bagian tersulit sudah selesai - ini akan lebih mudah.
Kami mengerti
Teorema 1:
Teorema 2:
Teorema 3:
Teorema 4:
Teorema 5:
Teorema 6:
Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.
Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!
Sekarang hal yang paling penting.
Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.
Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...
Untuk apa?
Untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.
Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...
Orang yang mengenyam pendidikan baik memperoleh penghasilan lebih banyak dibandingkan mereka yang tidak mengenyam pendidikan. Ini adalah statistik.
Tapi ini bukanlah hal yang utama.
Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...
Tapi pikirkan sendiri...
Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?
DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.
Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.
Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.
Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.
Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.
Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!
Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.
Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.
Bagaimana? Ada dua pilihan:
- Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
- Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 899 RUR
Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.
Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.
Kesimpulannya...
Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.
“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.
Temukan masalah dan selesaikan!
Pada pembelajaran kali ini kita akan mengingat kembali konsep garis bagi sudut, merumuskan dan membuktikan teorema langsung dan invers tentang sifat-sifat garis bagi sudut, dan menggeneralisasikannya. Mari kita selesaikan soal di mana, selain fakta tentang garis bagi, kita menerapkan fakta geometri lainnya.
Topik: Lingkaran
Pelajaran: Sifat-sifat garis bagi sudut. Tugas
Segitiga adalah figur sentral dari semua geometri, dan secara bercanda dikatakan bahwa segitiga tidak ada habisnya, seperti atom. Sifatnya banyak, menarik, menghibur. Kami melihat beberapa properti ini.
Segitiga apa pun, pertama-tama, adalah tiga sudut dan tiga ruas (lihat Gambar 1).
Beras. 1
Perhatikan sebuah sudut dengan titik sudut A dan sisi B dan C - sudut .
Di sudut mana pun, termasuk sudut segitiga, Anda dapat menggambar garis bagi - yaitu garis lurus yang membagi sudut menjadi dua (lihat Gambar 2).
Beras. 2
Mari kita perhatikan sifat-sifat suatu titik yang terletak pada garis bagi suatu sudut (lihat Gambar 3).
Perhatikan titik M yang terletak pada garis bagi sudut.
Ingatlah bahwa jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang garis tegak lurus yang ditarik dari titik tersebut ke garis tersebut.
Beras. 3
Tentunya jika kita mengambil suatu titik yang tidak terletak pada garis bagi, maka jarak titik tersebut ke sisi-sisi sudutnya akan berbeda. Jarak titik M ke sisi-sisi sudutnya adalah sama.
Dalil
Setiap titik garis bagi suatu sudut tak berkembang mempunyai jarak yang sama terhadap sisi-sisi sudut, yaitu jarak titik M ke AC dan ke BC dari sisi-sisi sudut tersebut adalah sama.
Diberikan sudut, garis bagi adalah AL, titik M terletak pada garis bagi (lihat Gambar 4).
Buktikan itu.
Beras. 4
Bukti:
Perhatikan segitiga dan . Ini adalah segitiga siku-siku, dan sama besar, karena mempunyai sisi miring yang sama AM, dan sudut-sudutnya sama besar, karena AL adalah garis bagi sudut. Jadi, segitiga siku-siku mempunyai sisi miring dan sudut lancip yang sama besar, maka , itulah yang perlu dibuktikan. Jadi, suatu titik pada garis bagi suatu sudut mempunyai jarak yang sama terhadap sisi-sisi sudut tersebut.
Teorema kebalikannya benar.
Dalil
Jika suatu titik berjarak sama dari sisi-sisi sudut tak berkembang, maka titik tersebut terletak pada garis-baginya.
Diberikan suatu sudut yang belum berkembang, titik M, sehingga jaraknya ke sisi-sisi sudutnya adalah sama.
Buktikan bahwa titik M terletak pada garis bagi sudut (lihat Gambar 5).
Beras. 5
Bukti:
Jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang garis tegak lurus tersebut. Dari titik M kita tarik garis tegak lurus MK ke sisi AB dan MR ke sisi AC.
Perhatikan segitiga dan . Ini adalah segitiga siku-siku, dan sama besar, karena mempunyai sisi miring AM yang sama, kaki MK dan MR sama syaratnya. Jadi, segitiga siku-siku sama sisi miring dan kakinya. Dari persamaan segitiga-segitiga berikut persamaan unsur-unsur yang bersesuaian; sudut-sudut yang sama besar terletak berhadapan dengan sisi-sisi yang sama besar, jadi, 
Oleh karena itu, titik M terletak pada garis bagi sudut tertentu.
Terkadang teorema langsung dan teorema kebalikan digabungkan sebagai berikut:
Dalil
Suatu titik mempunyai jarak yang sama terhadap sisi-sisi suatu sudut jika dan hanya jika titik tersebut terletak pada garis-bagi sudut tersebut.
Jarak yang sama dari titik-titik garis bagi dari sisi-sisi suatu sudut banyak digunakan dalam berbagai soal.
Soal No.674 dari buku teks Atanasyan, geometri, kelas 7-9:
Dari titik M garis bagi sudut yang belum berkembang, garis tegak lurus MA dan MB ditarik ke sisi sudut ini (lihat Gambar 6). Buktikan itu.
Diberikan: sudut, garis bagi OM, garis tegak lurus MA dan MB terhadap sisi-sisi sudut.
Beras. 6
Buktikan bahwa:
Bukti:
Menurut teorema garis lurus, titik M berjarak sama dari sisi-sisi sudut, karena dengan syarat terletak pada garis-baginya. .
Perhatikan segitiga siku-siku dan (lihat Gambar 7). Mereka mempunyai sisi miring OM yang sama, kaki MA dan MB sama, seperti yang telah kita buktikan sebelumnya. Jadi, dua persegi panjang
Beras. 7
segitiga sama kaki dan sisi miringnya. Dari persamaan segitiga mengikuti persamaan elemen-elemen yang bersesuaian, maka persamaan sudut 
dan kesetaraan kaki lainnya.
Dari persamaan kaki OA dan OB maka segitiga tersebut sama kaki dan AB adalah alasnya. Garis lurus OM adalah garis bagi suatu segitiga. Berdasarkan sifat segitiga sama kaki, garis bagi ini juga merupakan ketinggian, artinya garis OM dan AB berpotongan tegak lurus, hal ini perlu dibuktikan.
Jadi, kita memeriksa teorema langsung dan teorema kebalikan tentang sifat suatu titik yang terletak pada garis bagi suatu sudut, menggeneralisasikannya dan menyelesaikan masalah menggunakan berbagai fakta geometri, termasuk teorema ini.
Bibliografi
- Alexandrov A.D. dan lain-lain Geometri, kelas 8. - M.: Pendidikan, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, kelas 8. - M.: Pendidikan, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, kelas 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Olehmath.net().
- Oldskola1.narod.ru().
Pekerjaan rumah
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. dan lain-lain Geometri, 7-9, No.676-678, Art. 180.
Dalam pelajaran ini kita akan melihat secara rinci sifat-sifat titik yang terletak pada garis bagi suatu sudut dan titik-titik yang terletak pada garis bagi yang tegak lurus suatu ruas.
Topik: Lingkaran
Pelajaran: Sifat-sifat garis bagi suatu sudut dan garis bagi tegak lurus suatu ruas
Mari kita perhatikan sifat-sifat suatu titik yang terletak pada garis bagi suatu sudut (lihat Gambar 1).
Beras. 1
Diberikan sudut, garis bagi adalah AL, titik M terletak pada garis bagi.
Dalil:
Jika titik M terletak pada garis bagi suatu sudut, maka jaraknya sama terhadap sisi-sisi sudut tersebut, yaitu jarak titik M ke AC dan ke BC dari sisi-sisi sudut tersebut adalah sama.
Bukti:
Perhatikan segitiga dan . Ini adalah segitiga siku-siku dan sama besar karena... mempunyai sisi miring yang sama AM, dan sudut-sudutnya sama besar, karena AL adalah garis bagi sudut tersebut. Jadi, segitiga siku-siku mempunyai sisi miring dan sudut lancip yang sama besar, maka , itulah yang perlu dibuktikan. Jadi, suatu titik pada garis bagi suatu sudut mempunyai jarak yang sama terhadap sisi-sisi sudut tersebut.
Teorema kebalikannya benar.
Jika suatu titik berjarak sama dari sisi-sisi sudut tak berkembang, maka titik tersebut terletak pada garis-baginya.
Beras. 2
Diberikan sudut yang belum berkembang, titik M, sehingga jaraknya ke sisi-sisi sudutnya sama (lihat Gambar 2).
Buktikan bahwa titik M terletak pada garis bagi sudut.
Bukti:
Jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang garis tegak lurus tersebut. Dari titik M kita tarik garis tegak lurus MK ke sisi AB dan MR ke sisi AC.
Perhatikan segitiga dan . Ini adalah segitiga siku-siku dan sama besar karena... mempunyai sisi miring yang sama AM, kaki MK dan MR sama syaratnya. Jadi, segitiga siku-siku sama sisi miring dan kakinya. Dari persamaan segitiga-segitiga berikut persamaan unsur-unsur yang bersesuaian; sudut-sudut yang sama besar terletak berhadapan dengan sisi-sisi yang sama besar, jadi, 
Oleh karena itu, titik M terletak pada garis bagi sudut tertentu.
Teorema langsung dan teorema kebalikannya dapat digabungkan.
Dalil
Garis bagi suatu sudut tak berkembang adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari sisi-sisi suatu sudut tertentu.
Dalil
Garis bagi AA 1, BB 1, СС 1 dari segitiga berpotongan di satu titik O (lihat Gambar 3).
Beras. 3
Bukti:
Mari kita perhatikan dulu dua garis bagi BB 1 dan CC 1. Mereka berpotongan, titik potong O ada. Untuk membuktikannya, mari kita asumsikan kebalikannya - meskipun garis bagi ini tidak berpotongan, dalam hal ini keduanya sejajar. Maka garis lurus BC adalah garis potong dan jumlah sudut-sudutnya 
, hal ini bertentangan dengan fakta bahwa pada seluruh segitiga jumlah sudutnya adalah .
Jadi, titik O pada perpotongan dua garis bagi ada. Mari kita pertimbangkan propertinya:
Titik O terletak pada garis bagi sudut, artinya berjarak sama terhadap sisi BA dan BC. Jika OK tegak lurus BC, OL tegak lurus BA, maka panjang tegak lurus tersebut sama dengan - . Selain itu, titik O terletak pada garis bagi sudut dan berjarak sama dari sisinya CB dan CA, garis tegak lurus OM dan OK adalah sama.
Kami memperoleh persamaan berikut:
, yaitu ketiga garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik O ke sisi-sisi segitiga adalah sama besar.
Kami tertarik pada persamaan garis tegak lurus OL dan OM. Persamaan ini menyatakan bahwa titik O berjarak sama terhadap sisi-sisi sudut, sehingga terletak pada garis bagi AA 1.
Jadi, kita telah membuktikan bahwa ketiga garis bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik.
Mari kita lanjutkan dengan membahas ruas, garis bagi yang tegak lurus, dan sifat-sifat titik yang terletak pada garis bagi yang tegak lurus.
Diberikan ruas AB, p adalah garis bagi yang tegak lurus. Artinya garis lurus p melalui titik tengah ruas AB dan tegak lurus terhadapnya.
Dalil
Beras. 4
Setiap titik yang terletak pada garis-bagi yang tegak lurus mempunyai jarak yang sama dari ujung-ujung ruas tersebut (lihat Gambar 4).
Buktikan itu
Bukti:
Perhatikan segitiga dan . Mereka berbentuk persegi panjang dan sama besar, karena. memiliki kaki yang sama OM, dan kaki AO dan OB sama syaratnya, jadi, kita memiliki dua segitiga siku-siku, yang kedua kakinya sama besar. Oleh karena itu, sisi miring segitiga juga sama, yaitu hal yang perlu dibuktikan.
Perhatikan bahwa segmen AB adalah tali busur yang umum untuk banyak lingkaran.
Misalnya lingkaran pertama yang berpusat di titik M dan berjari-jari MA dan MB; lingkaran kedua berpusat di titik N, jari-jari NA dan NB.
Jadi, kita telah membuktikan bahwa jika suatu titik terletak pada garis bagi yang tegak lurus suatu ruas, maka titik tersebut berjarak sama dari ujung ruas tersebut (lihat Gambar 5).
Beras. 5
Teorema kebalikannya benar.
Dalil
Jika suatu titik M berjarak sama dari ujung suatu ruas, maka titik tersebut terletak pada garis bagi yang tegak lurus ruas tersebut.
Diberikan sebuah ruas AB, garis bagi yang tegak lurus p, sebuah titik M yang berjarak sama dari ujung-ujung ruas tersebut (lihat Gambar 6).
Buktikan bahwa titik M terletak pada garis bagi tegak lurus segmen tersebut.
Beras. 6
Bukti:
Pertimbangkan sebuah segitiga. Bentuknya sama kaki, sesuai kondisinya. Perhatikan median suatu segitiga: titik O adalah titik tengah alas AB, OM adalah mediannya. Berdasarkan sifat segitiga sama kaki, median yang ditarik ke alasnya adalah tinggi dan garis bagi. Oleh karena itu. Namun garis p juga tegak lurus AB. Kita mengetahui bahwa di titik O dapat ditarik satu garis tegak lurus terhadap ruas AB, yang berarti garis OM dan p berhimpitan, maka titik M termasuk dalam garis lurus p, yang perlu kita buktikan.
Teorema langsung dan teorema kebalikannya dapat digeneralisasikan.
Dalil
Garis bagi yang tegak lurus suatu segmen adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari ujung-ujungnya.
Segitiga, seperti yang Anda ketahui, terdiri dari tiga segmen, yang berarti dapat ditarik tiga garis bagi yang tegak lurus. Ternyata keduanya berpotongan di satu titik.
Garis-bagi yang tegak lurus suatu segitiga berpotongan di satu titik.
Sebuah segitiga diberikan. Tegak lurus terhadap sisi-sisinya: P 1 ke sisi BC, P 2 ke sisi AC, P 3 ke sisi AB (lihat Gambar 7).
Buktikan bahwa garis tegak lurus P 1, P 2 dan P 3 berpotongan di titik O.
