Untuk menyelesaikan persamaan diferensial perlu diketahui nilai variabel terikat dan turunannya untuk nilai tertentu dari variabel bebas. Jika kondisi tambahan ditentukan untuk satu nilai yang tidak diketahui, mis. variabel bebas, maka permasalahan seperti ini disebut permasalahan Cauchy. Jika kondisi awal ditentukan untuk dua atau lebih nilai variabel bebas, maka permasalahannya disebut masalah nilai batas. Saat menyelesaikan berbagai jenis persamaan diferensial, fungsi yang nilainya perlu ditentukan dihitung dalam bentuk tabel.

Klasifikasi metode numerik untuk menyelesaikan perbedaan. Lv. Jenis.

Masalah Cauchy – satu langkah: Metode Euler, metode Runge-Kutta; – multi-langkah: Metode utama, metode Adams. Masalah batas – suatu metode untuk mereduksi masalah batas menjadi masalah Cauchy; – metode beda hingga.

Saat memecahkan masalah Cauchy, perbedaan harus ditentukan. kamu. orde n atau sistem dif. kamu. orde pertama dari n persamaan dan n syarat tambahan untuk penyelesaiannya. Kondisi tambahan harus ditentukan untuk nilai yang sama dari variabel independen. Saat memecahkan masalah batas, persamaan harus ditentukan. orde ke-n atau sistem n persamaan dan n kondisi tambahan untuk dua atau lebih nilai variabel bebas. Saat menyelesaikan masalah Cauchy, fungsi yang diperlukan ditentukan secara diskrit dalam bentuk tabel dengan langkah tertentu . Saat menentukan setiap nilai berikutnya, Anda dapat menggunakan informasi tentang satu poin sebelumnya. Dalam hal ini, metodenya disebut satu langkah, atau Anda dapat menggunakan informasi tentang beberapa poin sebelumnya - metode multi-langkah.

Persamaan diferensial biasa. Masalah Cauchy. Metode satu langkah. metode Euler.

Diketahui: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y( x 0)=kamu 0 . Diketahui: f(x,y), x 0 , y 0 . Tentukan solusi diskritnya: x i , y i , i=0,1,…,n. Metode Euler didasarkan pada perluasan fungsi deret Taylor di sekitar titik x 0 . Lingkungan tersebut digambarkan pada langkah h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). Metode Euler hanya memperhitungkan dua suku deret Taylor. Mari kita perkenalkan beberapa notasi. Rumus Euler akan berbentuk: y i+1 =y i +y i , y i =hy(x i)=hf(x i ,y i), y i+1 =y i +hf(x i ,y i) (2), saya= 0,1,2…, x saya+1 =x saya +h

Rumus (2) merupakan rumus metode Euler sederhana.

Interpretasi geometris dari rumus Euler

Untuk mendapatkan solusi numerik, digunakan garis singgung yang melalui persamaan tersebut. garis singgung: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1,

y 1 =y(x 0)+f(x 0 ,y 0)  (x-x 0), karena

x-x 0 =h, maka y 1 =y 0 +hf(x 0 ,y 0), f(x 0 ,y 0)=tg £.

Metode Euler yang dimodifikasi

Diberikan: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Diketahui: f(x,y), x 0 , y 0 . Tentukan: ketergantungan y pada x dalam bentuk fungsi diskrit tabel: x i, y i, i=0.1,…,n.

Interpretasi geometris

1) menghitung garis singgung sudut kemiringan pada titik awal

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Hitung nilai  y n+1 pada

akhir langkah menurut rumus Euler

 y n+1 =y n +f(x n ,y n) 3) Hitung garis singgung sudut kemiringan

bersinggungan di n+1 titik: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Hitung mean aritmetika sudut-sudutnya

kemiringan: tg £=½. 5) Dengan menggunakan tangen sudut kemiringan, kita menghitung ulang nilai fungsi di titik n+1: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h – rumus metode Euler yang dimodifikasi. Dapat ditunjukkan bahwa f-la yang dihasilkan sesuai dengan pemuaian f-i dalam deret Taylor, termasuk suku-sukunya (hingga h 2). Metode Eilnra yang dimodifikasi, tidak seperti metode sederhana, merupakan metode akurasi orde kedua, karena kesalahannya sebanding dengan h 2.

Kami hanya mempertimbangkan solusi untuk masalah Cauchy. Suatu sistem persamaan diferensial atau satu persamaan harus diubah ke dalam bentuk

Di mana ,
–N vektor -dimensi; kamu– fungsi vektor tidak diketahui; X– argumen independen,
. Khususnya, jika N= 1, maka sistem tersebut berubah menjadi satu persamaan diferensial. Kondisi awal ditetapkan sebagai berikut:
, Di mana
.

Jika
di sekitar suatu titik
kontinu dan memiliki turunan parsial kontinu terhadap kamu, maka teorema eksistensi dan keunikan menjamin hanya ada satu fungsi vektor kontinu
, didefinisikan dalam beberapa lingkungan suatu titik , memenuhi persamaan (7) dan kondisi
.

Mari kita perhatikan fakta bahwa lingkungan sekitar adalah titik , dimana solusinya ditentukan, bisa sangat kecil. Ketika mendekati batas lingkungan ini, solusinya dapat mencapai tak terhingga, berosilasi dengan frekuensi yang meningkat tak terhingga, secara umum, berperilaku sangat buruk sehingga tidak dapat dilanjutkan melampaui batas lingkungan tersebut. Oleh karena itu, solusi seperti itu tidak dapat dilacak dengan metode numerik pada segmen yang lebih besar, jika ditentukan dalam rumusan masalah.

Memecahkan masalah Cauchy di [ A; B] adalah sebuah fungsi. Dalam metode numerik, fungsinya diganti dengan tabel (Tabel 1).

Tabel 1

Di Sini
,
. Jarak antara node tabel yang berdekatan biasanya dianggap konstan:
,
.

Ada tabel dengan langkah-langkah variabel. Langkah tabel ditentukan oleh persyaratan masalah teknik dan Tidak terhubung dengan keakuratan dalam menemukan solusi.

Jika kamu adalah vektor, maka tabel nilai solusinya akan berbentuk tabel. 2.

Meja 2

Dalam sistem MATHCAD, matriks digunakan sebagai pengganti tabel, dan matriks tersebut dialihkan posisinya terhadap tabel yang ditentukan.

Selesaikan masalah Cauchy dengan akurat ε artinya mendapatkan nilai pada tabel yang ditentukan (angka atau vektor),
, seperti yang
, Di mana
- solusi tepat. Ada kemungkinan bahwa penyelesaian segmen yang ditentukan dalam masalah tidak berlanjut. Maka Anda perlu menjawab bahwa masalahnya tidak dapat diselesaikan di seluruh segmen, dan Anda perlu mendapatkan solusi pada segmen yang ada, dengan menjadikan segmen ini sebesar mungkin.

Perlu diingat bahwa solusi yang tepat
kita tidak tahu (jika tidak, mengapa menggunakan metode numerik?). Nilai
harus dibenarkan atas dasar lain. Biasanya, tidak mungkin memperoleh jaminan 100% bahwa penilaian telah dilaksanakan. Oleh karena itu, algoritma digunakan untuk memperkirakan nilainya
, yang terbukti efektif dalam sebagian besar tugas teknik.

Prinsip umum penyelesaian masalah Cauchy adalah sebagai berikut. Segmen garis [ A; B] dibagi menjadi beberapa segmen berdasarkan node integrasi. Jumlah node k tidak harus sesuai dengan jumlah node M tabel akhir nilai keputusan (Tabel 1, 2). Biasanya, k > M. Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa jarak antar node adalah konstan,
;H disebut langkah integrasi. Kemudian, menurut algoritma tertentu, mengetahui nilainya pada Saya < S, hitung nilainya . Semakin kecil langkahnya H, semakin rendah nilainya akan berbeda dengan nilai solusi eksaknya
. Melangkah H dalam partisi ini sudah ditentukan bukan oleh persyaratan masalah teknik, tetapi oleh keakuratan yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah Cauchy. Selain itu, harus dipilih agar meja berada pada satu langkah. 1, 2 cocok dengan jumlah langkah bilangan bulat H. Dalam hal ini nilai-nilainya kamu, diperoleh sebagai hasil perhitungan dengan langkah-langkah H di poin
, digunakan sebagaimana mestinya dalam tabel. 1 atau 2.

Algoritma paling sederhana untuk menyelesaikan masalah Cauchy untuk persamaan (7) adalah metode Euler. Rumus perhitungannya adalah:

(8)

Mari kita lihat bagaimana keakuratan solusi yang ditemukan dinilai. Mari kita berpura-pura seperti itu
adalah solusi tepat untuk masalah Cauchy, dan juga itu
, meskipun hal ini hampir selalu tidak terjadi. Lalu dimana konstantanya C tergantung pada fungsi
di sekitar suatu titik
. Jadi, pada satu langkah integrasi (menemukan solusi) kita mendapatkan kesalahan urutan . Karena langkah-langkah harus diambil
, maka wajar untuk mengharapkan kesalahan total pada poin terakhir
semuanya akan baik-baik saja
, yaitu memesan H. Oleh karena itu metode Euler disebut metode orde pertama, yaitu. kesalahan memiliki urutan pangkat pertama dari langkah tersebut H. Faktanya, pada satu langkah integrasi, perkiraan berikut dapat dibenarkan. Membiarkan
– solusi tepat masalah Cauchy dengan kondisi awal
. Sudah jelas itu
tidak sesuai dengan solusi eksak yang diperlukan
masalah Cauchy asli persamaan (7). Namun, dalam jumlah kecil H dan fungsi "baik".
kedua solusi pasti ini akan sedikit berbeda. Rumus sisa Taylor memastikan hal itu
, ini memberikan kesalahan langkah integrasi. Kesalahan terakhir tidak hanya terdiri dari kesalahan pada setiap langkah integrasi, tetapi juga penyimpangan dari solusi eksak yang diinginkan
dari solusi eksak
,
, dan penyimpangan ini bisa menjadi sangat besar. Namun, perkiraan akhir kesalahan dalam metode Euler untuk fungsi “baik”.
masih terlihat seperti itu
,
.

Saat menerapkan metode Euler, perhitungannya dilakukan sebagai berikut. Menurut akurasi yang ditentukan ε menentukan perkiraan langkahnya
. Menentukan jumlah langkah
dan sekali lagi kira-kira pilih langkahnya
. Kemudian kita sesuaikan lagi ke bawah sehingga pada setiap langkah meja. 1 atau 2 cocok dengan sejumlah langkah integrasi bilangan bulat. Kami mendapat satu langkah H. Menurut rumus (8), mengetahui Dan , kami menemukan. Berdasarkan nilai yang ditemukan Dan
kita temukan seterusnya.

Hasil yang dihasilkan mungkin tidak, dan umumnya tidak akan, mempunyai keakuratan yang diinginkan. Oleh karena itu, kami mengurangi langkahnya hingga setengahnya dan menerapkan kembali metode Euler. Kami membandingkan hasil penerapan metode pertama dan kedua identik poin . Jika semua selisih kurang dari ketelitian yang ditentukan, maka hasil perhitungan terakhir dapat dianggap sebagai jawaban dari soal tersebut. Jika tidak, maka kita kurangi lagi langkahnya setengahnya dan terapkan kembali metode Euler. Sekarang kita membandingkan hasil penerapan metode terakhir dan kedua dari belakang, dll.

Metode Euler relatif jarang digunakan karena untuk mencapai akurasi tertentu ε sejumlah besar langkah diperlukan, secara berurutan
. Namun jika
mempunyai diskontinuitas atau turunan diskontinu, maka metode orde tinggi akan menghasilkan error yang sama dengan metode Euler. Artinya, jumlah perhitungan yang sama akan diperlukan seperti pada metode Euler.

Dari metode tingkat tinggi, metode Runge – Kutta tingkat keempat paling sering digunakan. Di dalamnya, perhitungan dilakukan sesuai rumus

Metode ini, dengan adanya turunan keempat kontinu dari fungsi tersebut
memberikan kesalahan pada satu langkah pesanan , yaitu dalam notasi yang diperkenalkan di atas,
. Secara umum, pada interval integrasi, asalkan solusi eksak ditentukan pada interval ini, kesalahan integrasi akan berada pada urutan .

Pemilihan langkah integrasi terjadi dengan cara yang sama seperti yang dijelaskan dalam metode Euler, kecuali bahwa nilai perkiraan awal langkah tersebut dipilih dari relasi
, yaitu
.

Sebagian besar program yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan pemilihan langkah otomatis. Intinya adalah ini. Biarkan nilainya sudah dihitung . Nilainya dihitung
secara bertahap H, dipilih selama penghitungan . Kemudian dua langkah integrasi dilakukan dengan langkah , yaitu node tambahan ditambahkan
di tengah-tengah antara node Dan
. Dua nilai dihitung
Dan
dalam node
Dan
. Nilainya dihitung
, Di mana P– urutan metode. Jika δ kurang dari akurasi yang ditentukan oleh pengguna, maka diasumsikan
. Jika tidak, maka pilih langkah baru H sama dan ulangi pemeriksaan akurasi. Jika pada pemeriksaan pertama δ jauh lebih kecil dari ketelitian yang ditentukan, maka dilakukan upaya untuk meningkatkan langkahnya. Untuk tujuan ini dihitung
di simpul
secara bertahap H dari simpul
dan dihitung
dalam langkah 2 H dari simpul . Nilainya dihitung
. Jika kurang dari akurasi yang ditentukan, maka langkah 2 H dianggap dapat diterima. Dalam hal ini, langkah baru ditetapkan
,
,
. Jika lebih akurat, maka langkahnya dibiarkan sama.

Perlu diingat bahwa program dengan pemilihan langkah integrasi otomatis mencapai akurasi yang ditentukan hanya ketika melakukan satu langkah. Hal ini terjadi karena keakuratan pendekatan solusi yang melewati titik tersebut
, yaitu perkiraan solusinya
. Program seperti itu tidak memperhitungkan seberapa besar solusinya
berbeda dengan solusi yang diinginkan
. Oleh karena itu, tidak ada jaminan bahwa akurasi yang ditentukan akan tercapai di seluruh interval integrasi.

Metode Euler dan Runge–Kutta yang dijelaskan termasuk dalam kelompok metode satu langkah. Artinya untuk menghitung
pada intinya
cukup mengetahui artinya di simpul . Wajar jika diharapkan bahwa jika lebih banyak informasi tentang suatu keputusan digunakan, beberapa nilai keputusan sebelumnya akan diperhitungkan
,
dll, maka nilai baru
akan mungkin untuk menemukannya dengan lebih akurat. Strategi ini digunakan dalam metode multi-langkah. Untuk mendeskripsikannya, kami memperkenalkan notasi
.

Perwakilan dari metode multi-langkah adalah metode Adams – Bashforth:

metode k Pesanan -th memberikan kesalahan pesanan lokal
atau global – ketertiban .

Metode-metode ini termasuk dalam kelompok metode ekstrapolasi, yaitu. makna baru diungkapkan dengan jelas melalui makna sebelumnya. Jenis lainnya adalah metode interpolasi. Di dalamnya, di setiap langkah, Anda harus menyelesaikan persamaan nonlinier untuk mendapatkan nilai baru . Mari kita ambil metode Adams – Moulton sebagai contoh:

Untuk menggunakan cara ini, Anda perlu mengetahui beberapa nilai di awal penghitungan
(jumlahnya tergantung pada urutan metode). Nilai-nilai tersebut harus diperoleh dengan metode lain, misalnya metode Runge–Kutta dengan langkah kecil (untuk meningkatkan akurasi). Metode interpolasi dalam banyak kasus ternyata lebih stabil dan memungkinkan pengambilan langkah yang lebih besar daripada metode ekstrapolasi.

Agar tidak menyelesaikan persamaan nonlinier pada setiap langkah dalam metode interpolasi, digunakan metode koreksi prediktor Adams. Intinya adalah metode ekstrapolasi pertama kali diterapkan pada langkah dan nilai yang dihasilkan
disubstitusikan ke sisi kanan metode interpolasi. Misalnya pada metode orde kedua

Solusi numerik persamaan diferensial

Banyak permasalahan dalam sains dan teknologi yang berujung pada penyelesaian persamaan diferensial biasa (ODE). ODE adalah persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan dari fungsi yang diinginkan. Secara umum ODE dapat ditulis sebagai berikut:

Dimana x adalah variabel bebas, merupakan turunan ke-i dari fungsi yang diinginkan. n adalah orde persamaan. Solusi umum ODE orde ke-n berisi n konstanta sembarang, yaitu solusi umumnya berbentuk .

Untuk memilih satu solusi, perlu menetapkan n kondisi tambahan. Bergantung pada metode penentuan kondisi tambahan, ada dua jenis permasalahan yang berbeda: permasalahan Cauchy dan permasalahan nilai batas. Jika kondisi tambahan diberikan pada satu titik, maka permasalahan seperti ini disebut permasalahan Cauchy. Kondisi tambahan pada permasalahan Cauchy disebut kondisi awal. Jika kondisi tambahan ditentukan pada lebih dari satu titik, mis. untuk nilai variabel bebas yang berbeda, maka masalah seperti itu disebut masalah nilai batas. Kondisi tambahan itu sendiri disebut kondisi batas atau batasan.

Jelas bahwa ketika n=1 kita hanya dapat membicarakan masalah Cauchy.

Contoh penyelesaian masalah Cauchy:

Contoh soal nilai batas:

Masalah seperti itu dapat diselesaikan secara analitis hanya untuk beberapa jenis persamaan khusus.

Metode numerik untuk menyelesaikan masalah Cauchy untuk ODE orde pertama

Rumusan masalah. Temukan solusi untuk ODE orde pertama

Pada segmen yang disediakan

Saat menemukan solusi perkiraan, kita asumsikan bahwa perhitungan dilakukan dengan langkah perhitungan, node perhitungan adalah titik interval [ X 0 , X N ].

Tujuannya adalah untuk membangun sebuah tabel

X Saya				X N
kamu Saya				kamu N

itu. Nilai perkiraan y dicari di node grid.

Mengintegrasikan persamaan pada interval, kita peroleh

Cara yang benar-benar alami (tetapi bukan satu-satunya) untuk mendapatkan solusi numerik adalah dengan mengganti integral di dalamnya dengan rumus kuadratur integrasi numerik. Jika kita menggunakan rumus paling sederhana untuk persegi panjang kiri orde pertama

,

lalu kita dapatkan rumus Euler eksplisit:

Prosedur pembayaran:

Mengetahui, kita menemukan, lalu seterusnya.

Interpretasi geometris dari metode Euler:

Memanfaatkan apa yang ada pada intinya X 0 solusinya diketahui kamu(X 0)= kamu 0 dan nilai turunannya, kita dapat menuliskan persamaan garis singgung grafik fungsi yang diinginkan di titik :. Dengan langkah yang cukup kecil H ordinat garis singgung ini, yang diperoleh dengan mensubstitusikan ke ruas kanan nilainya, seharusnya sedikit berbeda dari ordinatnya kamu(X 1) solusi kamu(X) Masalah Cauchy. Oleh karena itu, titik potong garis singgung dengan garis X = X 1 kira-kira dapat dianggap sebagai titik awal yang baru. Melalui titik ini kita kembali menggambar garis lurus, yang kira-kira mencerminkan perilaku garis singgung pada titik tersebut. Mengganti di sini (yaitu perpotongan dengan garis X = X 2), kami memperoleh nilai perkiraan kamu(X) pada titik X 2: dll. Akibatnya untuk Saya-poin kita memperoleh rumus Euler.

Metode Euler eksplisit memiliki akurasi atau perkiraan orde pertama.

Jika Anda menggunakan rumus persegi panjang yang tepat: , lalu kita sampai pada metodenya

Metode ini disebut metode Euler implisit, karena menghitung nilai yang tidak diketahui dari nilai yang diketahui memerlukan penyelesaian persamaan yang umumnya nonlinier.

Metode Euler implisit memiliki akurasi atau perkiraan orde pertama.

Dalam metode ini perhitungannya terdiri dari dua tahap:

Skema ini disebut juga dengan metode prediktor-korektor (predictive-corrector). Pada tahap pertama, nilai perkiraan diprediksi dengan akurasi rendah (h), dan pada tahap kedua prediksi tersebut dikoreksi sehingga nilai yang dihasilkan memiliki akurasi orde kedua.

Metode Runge–Kutta: gagasan untuk membangun metode Runge–Kutta yang eksplisit P Urutan ke-adalah untuk mendapatkan perkiraan nilai kamu(X Saya+1) menurut rumus formulir

…………………………………………….

Di Sini A N , B nj , P N, – beberapa angka tetap (parameter).

Saat membuat metode Runge–Kutta, parameter fungsinya ( A N , B nj , P N) dipilih sedemikian rupa untuk mendapatkan urutan perkiraan yang diinginkan.

Skema Runge – Kutta dengan akurasi tingkat keempat:

Contoh. Selesaikan masalah Cauchy:

Pertimbangkan tiga metode: metode Euler eksplisit, metode Euler yang dimodifikasi, metode Runge–Kutta.

Solusi tepat:

Rumus perhitungan menggunakan metode Euler eksplisit untuk contoh ini:

Rumus perhitungan metode Euler yang dimodifikasi:

Rumus perhitungan metode Runge–Kutta:

y1 – Metode Euler, y2 – metode Euler yang dimodifikasi, y3 – Metode Runge Kutta.

Terlihat bahwa yang paling akurat adalah metode Runge–Kutta.

Metode numerik untuk menyelesaikan sistem ODE orde pertama

Metode yang dipertimbangkan juga dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial orde pertama.

Mari kita tunjukkan ini untuk kasus sistem dua persamaan orde pertama:

Metode Euler eksplisit:

Metode Euler yang dimodifikasi:

Skema Runge – Kutta dengan akurasi tingkat keempat:

Masalah Cauchy untuk persamaan orde tinggi juga direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan ODE. Misalnya, pertimbangkan Masalah Cauchy untuk persamaan orde kedua

Mari kita perkenalkan fungsi kedua yang tidak diketahui. Kemudian masalah Cauchy digantikan dengan masalah berikut:

Itu. dari segi permasalahan sebelumnya : .

Contoh. Temukan solusi untuk masalah Cauchy:

Di segmen tersebut.

Solusi tepat:

Benar-benar:

Mari kita selesaikan masalah tersebut menggunakan metode Euler eksplisit, dimodifikasi dengan metode Euler dan Runge-Kutta dengan langkah h=0,2.

Mari kita perkenalkan fungsinya.

Kemudian kita memperoleh masalah Cauchy berikut untuk sistem dua ODE orde pertama:

Metode Euler eksplisit:

Metode Euler yang dimodifikasi:

Metode Runge–Kutta:

Sirkuit Euler:

Metode Euler yang dimodifikasi:

Skema Runge - Kutta:

Maks(teori yy)=4*10 -5

Metode beda hingga untuk menyelesaikan masalah nilai batas untuk ODE

Rumusan masalah: mencari solusi persamaan diferensial linier

memenuhi syarat batas :. (2)

Dalil. Membiarkan . Lalu ada solusi unik untuk masalah tersebut.

Masalah ini, misalnya, berkurang menjadi masalah menentukan defleksi balok yang berengsel pada ujung-ujungnya.

Tahapan utama metode beda hingga:

1) area perubahan argumen yang terus-menerus () digantikan oleh himpunan titik-titik diskrit yang disebut node: .

2) Fungsi yang diinginkan dari argumen kontinu x kira-kira digantikan oleh fungsi argumen diskrit pada grid tertentu, yaitu. . Fungsi tersebut disebut fungsi grid.

3) Persamaan diferensial asli diganti dengan persamaan selisih terhadap fungsi grid. Penggantian ini disebut pendekatan perbedaan.

Jadi, penyelesaian persamaan diferensial dilakukan dengan mencari nilai fungsi grid pada node grid, yang diperoleh dari penyelesaian persamaan aljabar.

Perkiraan turunan.

Untuk memperkirakan (mengganti) turunan pertama, Anda dapat menggunakan rumus:

- turunan selisih benar,

- turunan selisih kiri,

Turunan selisih sentral.

artinya, ada banyak kemungkinan cara untuk memperkirakan turunannya.

Semua definisi ini mengikuti konsep turunan sebagai limit: .

Berdasarkan perkiraan selisih turunan pertama, kita dapat membuat perkiraan selisih turunan kedua:

Demikian pula, kita dapat memperoleh perkiraan turunan tingkat tinggi.

Definisi. Kesalahan perkiraan turunan ke-n adalah selisihnya: .

Untuk menentukan orde aproksimasi digunakan ekspansi deret Taylor.

Mari kita perhatikan perkiraan selisih kanan dari turunan pertama:

Itu. turunan selisih tepat yang dimilikinya pertama oleh h urutan perkiraan.

Hal yang sama berlaku untuk turunan selisih kiri.

Turunan perbedaan sentral yang dimilikinya perkiraan orde kedua.

Perkiraan turunan kedua menurut rumus (3) juga mempunyai perkiraan orde kedua.

Untuk memperkirakan suatu persamaan diferensial, semua turunannya harus diganti dengan perkiraannya. Mari kita perhatikan masalah (1), (2) dan gantikan turunannya pada (1):

Hasilnya kita mendapatkan:

(4)

Urutan perkiraan masalah awal adalah 2, karena turunan kedua dan pertama diganti dengan orde 2, dan sisanya - tepatnya.

Jadi, alih-alih persamaan diferensial (1), (2), sistem persamaan linier diperoleh untuk penentuan pada node grid.

Diagram dapat direpresentasikan sebagai:

yaitu, kita mendapatkan sistem persamaan linear dengan matriks:

Matriks ini berbentuk tridiagonal, yaitu semua elemen yang tidak terletak pada diagonal utama dan dua diagonal yang berdekatan sama dengan nol.

Dengan menyelesaikan sistem persamaan yang dihasilkan, kita memperoleh solusi dari masalah awal.

Perkenalan

Saat memecahkan masalah ilmiah dan teknik, sering kali diperlukan deskripsi matematis suatu sistem dinamis. Ini paling baik dilakukan dalam bentuk persamaan diferensial ( DU) atau sistem persamaan diferensial. Paling sering, masalah ini muncul ketika memecahkan masalah yang berkaitan dengan pemodelan kinetika reaksi kimia dan berbagai fenomena perpindahan (panas, massa, momentum) - perpindahan panas, pencampuran, pengeringan, adsorpsi, ketika menggambarkan pergerakan makro dan mikropartikel.

Dalam beberapa kasus, persamaan diferensial dapat diubah menjadi bentuk yang turunan tertingginya dinyatakan secara eksplisit. Bentuk penulisan ini disebut persamaan yang diselesaikan terhadap turunan tertinggi (dalam hal ini, turunan tertinggi tidak ada di ruas kanan persamaan):

Solusi persamaan diferensial biasa adalah fungsi y(x) yang, untuk x apa pun, memenuhi persamaan ini dalam interval tertentu yang berhingga atau tak terhingga. Proses penyelesaian persamaan diferensial disebut mengintegrasikan persamaan diferensial.

Secara historis, cara pertama dan termudah untuk menyelesaikan masalah Cauchy secara numerik untuk ODE orde pertama adalah metode Euler. Hal ini didasarkan pada perkiraan turunan dengan rasio kenaikan terbatas dari variabel terikat (y) dan bebas (x) antara simpul-simpul jaringan seragam:

di mana y i+1 adalah nilai fungsi yang diinginkan di titik x i+1.

Keakuratan metode Euler dapat ditingkatkan jika rumus integrasi yang lebih akurat digunakan untuk memperkirakan integral - rumus trapesium.

Rumus ini ternyata implisit terhadap y i+1 (nilai ini ada di sisi kiri dan kanan ekspresi), yaitu persamaan terhadap y i+1, yang dapat diselesaikan, misalnya secara numerik, menggunakan beberapa metode iteratif (dalam bentuk seperti itu, dapat dianggap sebagai rumus iteratif dari metode iterasi sederhana).

Komposisi tugas kursus: Tugas kursus terdiri dari tiga bagian. Bagian pertama berisi penjelasan singkat tentang metode. Pada bagian kedua, rumusan dan pemecahan masalah. Bagian ketiga adalah implementasi perangkat lunak dalam bahasa komputer

Tujuan dari kursus ini: untuk mempelajari dua metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial - metode Euler-Cauchy dan metode Euler yang ditingkatkan.

1. Bagian teoritis

Diferensiasi numerik

Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan. Bergantung pada jumlah variabel independen, persamaan diferensial dibagi menjadi dua kategori.

Persamaan diferensial biasa (ODE)

Persamaan diferensial parsial.

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan dari fungsi yang diinginkan. Mereka dapat ditulis sebagai

variabel bebas

Orde tertinggi yang termasuk dalam persamaan (1) disebut orde persamaan diferensial.

ODE (linier) yang paling sederhana adalah persamaan (1) urutan yang diselesaikan terhadap turunannya

Penyelesaian persamaan diferensial (1) adalah fungsi apa pun yang, setelah disubstitusikan ke dalam persamaan, mengubahnya menjadi identitas.

Masalah utama yang terkait dengan ODE linier dikenal sebagai masalah Kasha:

Temukan solusi persamaan (2) dalam bentuk fungsi yang memenuhi kondisi awal (3)

Secara geometris, ini berarti perlu dicari kurva integral yang melalui titik ) jika persamaan (2) terpenuhi.

Numerik dari sudut pandang masalah Kasha berarti: diperlukan untuk membuat tabel nilai fungsi yang memenuhi persamaan (2) dan kondisi awal (3) pada suatu segmen dengan langkah tertentu. Biasanya diasumsikan bahwa kondisi awal ditentukan di ujung kiri segmen.

Metode numerik yang paling sederhana untuk menyelesaikan persamaan diferensial adalah metode Euler. Hal ini didasarkan pada gagasan membangun solusi persamaan diferensial secara grafis, tetapi metode ini juga menyediakan cara untuk menemukan fungsi yang diinginkan dalam bentuk numerik atau dalam tabel.

Misalkan diberikan persamaan (2) dengan kondisi awal, yaitu masalah Kasha yang diajukan. Mari kita selesaikan dulu permasalahan berikut ini. Temukan dengan cara yang paling sederhana perkiraan nilai solusi pada titik tertentu yang merupakan langkah yang cukup kecil. Persamaan (2) beserta kondisi awal (3) menentukan arah garis singgung kurva integral yang diinginkan pada titik dengan koordinat

Persamaan tangen memiliki bentuk

Bergerak sepanjang garis singgung ini, kita memperoleh nilai perkiraan solusi pada titik:

Memiliki solusi perkiraan pada suatu titik, Anda dapat mengulangi prosedur yang dijelaskan sebelumnya: buatlah garis lurus yang melalui titik ini dengan koefisien sudut, dan dari situ temukan nilai perkiraan solusi pada titik tersebut.

. Perhatikan bahwa garis ini tidak bersinggungan dengan kurva integral nyata, karena titik tersebut tidak tersedia bagi kita, tetapi jika cukup kecil, nilai perkiraan yang dihasilkan akan mendekati nilai eksak solusi.

Melanjutkan ide ini, mari kita membangun sistem titik-titik yang berjarak sama

Memperoleh tabel nilai fungsi yang dibutuhkan

Metode Euler terdiri dari penerapan rumus secara siklis

Gambar 1. Interpretasi grafis dari metode Euler

Metode integrasi numerik persamaan diferensial, di mana solusi diperoleh dari satu node ke node lainnya, disebut langkah demi langkah. Metode Euler adalah representasi metode langkah demi langkah yang paling sederhana. Ciri dari setiap metode langkah demi langkah adalah bahwa mulai dari langkah kedua, nilai awal dalam rumus (5) itu sendiri merupakan perkiraan, yaitu kesalahan pada setiap langkah berikutnya meningkat secara sistematis. Metode yang paling banyak digunakan untuk menilai keakuratan metode langkah demi langkah untuk perkiraan solusi numerik ODE adalah metode melewati segmen tertentu dua kali dengan satu langkah dan dengan satu langkah.

1.1 Peningkatan metode Euler

Ide pokok metode ini: nilai selanjutnya yang dihitung dengan rumus (5) akan lebih akurat jika nilai turunannya, yaitu koefisien sudut garis lurus yang menggantikan kurva integral pada ruas tersebut, dihitung tidak di sepanjang tepi kiri (yaitu, pada titik), tetapi di tengah segmen. Tetapi karena nilai turunan antar titik tidak dihitung, kita beralih ke bagian ganda yang pusatnya adalah titik tersebut, dan persamaan garis lurus berbentuk:

Dan rumus (5) berbentuk

Rumus (7) hanya berlaku untuk , oleh karena itu tidak dapat diperoleh nilai darinya, oleh karena itu dicari dengan menggunakan metode Euler, dan untuk memperoleh hasil yang lebih akurat dilakukan sebagai berikut: dari awal menggunakan rumus (5) mereka menemukan nilainya

(8)

Pada titik lalu ditemukan menurut rumus (7) dengan langkah-langkah

(9)

Setelah ditemukan perhitungan selanjutnya pada dihasilkan oleh rumus (7)

laboratorium 1

Metode solusi numerik

persamaan diferensial biasa (4 jam)

Saat memecahkan banyak masalah fisika dan geometri, seseorang harus mencari fungsi yang tidak diketahui berdasarkan hubungan tertentu antara fungsi yang tidak diketahui tersebut, turunannya, dan variabel bebasnya. Rasio ini disebut persamaan diferensial , dan menemukan fungsi yang memenuhi persamaan diferensial disebut menyelesaikan persamaan diferensial.

Persamaan diferensial biasa disebut kesetaraan

, (1)

di mana

merupakan variabel bebas yang berubah pada suatu segmen tertentu, dan - fungsi tidak diketahui kamu ( X ) dan dia yang pertama N turunan. ditelepon urutan persamaan .

Tugasnya adalah menemukan fungsi y yang memenuhi persamaan (1). Selain itu, tanpa menetapkan hal ini secara terpisah, kami akan berasumsi bahwa solusi yang diinginkan memiliki tingkat kelancaran tertentu yang diperlukan untuk konstruksi dan penerapan “legal” dari metode tertentu.

Ada dua jenis persamaan diferensial biasa

Persamaan tanpa kondisi awal

Persamaan dengan kondisi awal.

Persamaan tanpa kondisi awal adalah persamaan berbentuk (1).

Persamaan dengan kondisi awal adalah persamaan bentuk (1), yang memerlukan fungsi tersebut untuk dicari

, yang bagi sebagian orang memenuhi ketentuan berikut: ,

itu. pada intinya

fungsi dan turunan pertamanya mengambil nilai yang telah ditentukan.

Masalah Cauchy

Saat mempelajari metode penyelesaian persamaan diferensial dengan menggunakan metode perkiraan tugas utama penting Masalah Cauchy.

Mari kita pertimbangkan metode paling populer untuk memecahkan masalah Cauchy - metode Runge-Kutta. Metode ini memungkinkan Anda membuat rumus untuk menghitung solusi perkiraan dengan hampir semua tingkat akurasi.

Mari kita turunkan rumus metode Runge-Kutta dengan akurasi orde kedua. Untuk melakukan ini, kami merepresentasikan solusi sebagai bagian dari deret Taylor, membuang suku-suku yang ordenya lebih tinggi dari suku kedua. Kemudian perkiraan nilai fungsi yang diinginkan pada titik tersebut X 1 dapat ditulis sebagai:

(2)

Turunan kedua kamu "( X 0 ) dapat dinyatakan melalui turunan fungsinya F ( X , kamu ) , namun, dalam metode Runge-Kutta, selisihnya digunakan sebagai pengganti turunan

memilih nilai parameter yang sesuai

Maka (2) dapat ditulis ulang menjadi:

kamu 1 = kamu 0 + H [ β F ( X 0 , kamu 0 ) + α F ( X 0 + γh , kamu 0 + δh )], (3)

Di mana α , β , γ Dan δ – beberapa parameter.

Mengingat ruas kanan (3) sebagai fungsi argumen H , mari kita pecahkan menjadi beberapa derajat H :

kamu 1 = kamu 0 +( α + β ) H F ( X 0 , kamu 0 ) + ah 2 [ γ fx ( X 0 , kamu 0 ) + δ f y ( X 0 , kamu 0 )],

dan pilih parameternya α , β , γ Dan δ sehingga pemuaian ini mendekati (2). Oleh karena itu

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 F ( X 0 , kamu 0 ).

Dengan menggunakan persamaan ini kami menyatakannya β , γ Dan δ melalui parameter α , kita mendapatkan

kamu 1 = kamu 0 + H [(1 - α ) F ( X 0 , kamu 0 ) + α F ( X 0 +, kamu 0 + F ( X 0 , kamu 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

Sekarang, jika alih-alih ( X 0 , kamu 0 ) dalam (4) pengganti ( X 1 , kamu 1 ), kita mendapatkan rumus untuk menghitung kamu 2 – perkiraan nilai fungsi yang diinginkan pada titik tersebut X 2 .

Dalam kasus umum, metode Runge-Kutta diterapkan pada partisi segmen yang berubah-ubah [ X 0 , X ] pada N bagian, yaitu dengan nada variabel

x 0 , x 1 , …, xn ; h saya = x saya+1 – x saya , x n = X. (5)

Pilihan α dipilih sama dengan 1 atau 0,5. Mari kita tuliskan rumus perhitungan metode Runge-Kutta orde kedua dengan variabel langkahnya α =1:

y i+1 =y i +h i f(x i + , kamu, + f(x saya , kamu saya)), (6.1)

Saya = 0, 1,…, N -1.

Dan α =0,5:

kamu saya+1 =kamu saya + , (6.2)

Saya = 0, 1,…, N -1.

Rumus metode Runge-Kutta yang paling banyak digunakan adalah rumus akurasi orde keempat:

kamu saya+1 =kamu saya + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4),

k 1 =f(x saya , y saya), k 2 = f(x saya + , kamu, + k 1), (7)

k 3 = f(x saya + , kamu, + k 2), k 4 = f(xi +h, y i +hk 3).

Untuk metode Runge-Kutta, aturan Runge berlaku untuk memperkirakan kesalahan. Membiarkan kamu ( X ; H ) – perkiraan nilai solusi pada titik tersebut X , diperoleh dengan rumus (6.1), (6.2) atau (7) dengan langkah H , A P – urutan keakuratan rumus yang sesuai. Lalu kesalahannya R ( H ) nilai-nilai kamu ( X ; H ) dapat diperkirakan dengan menggunakan nilai perkiraan kamu ( X ; 2 H ) solusi pada suatu titik X , diperoleh secara bertahap 2 H :

(8)

Di mana P =2 untuk rumus (6.1) dan (6.2) dan P =4 untuk (7).