Salah satu bilangan paling misterius yang diketahui umat manusia tentu saja adalah bilangan Π (baca pi). Dalam aljabar, bilangan ini mencerminkan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Sebelumnya besaran ini disebut bilangan Ludolph. Bagaimana dan dari mana bilangan Pi berasal belum diketahui secara pasti, namun para ahli matematika membagi seluruh sejarah bilangan Π menjadi 3 tahap: zaman kuno, klasik, dan era komputer digital.

Bilangan P bersifat irasional, yaitu tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan sederhana yang pembilang dan penyebutnya adalah bilangan bulat. Oleh karena itu, bilangan tersebut tidak ada habisnya dan bersifat periodik. Irasionalitas P pertama kali dibuktikan oleh I. Lambert pada tahun 1761.

Selain sifat ini, bilangan P juga tidak dapat menjadi akar dari polinomial mana pun, dan oleh karena itu sifat bilangan, ketika dibuktikan pada tahun 1882, mengakhiri perselisihan yang hampir sakral di kalangan ahli matematika “tentang pengkuadratan lingkaran”, yang berlangsung lama. selama 2.500 tahun.

Diketahui bahwa orang Inggris Jones adalah orang pertama yang memperkenalkan penunjukan nomor ini pada tahun 1706. Setelah karya Euler muncul, penggunaan notasi ini menjadi diterima secara umum.

Untuk memahami secara detail apa itu bilangan Pi, harus dikatakan bahwa penggunaannya begitu luas sehingga sulit untuk menyebutkan bidang ilmu pengetahuan yang dapat hidup tanpanya. Salah satu makna paling sederhana dan familiar dari kurikulum sekolah adalah sebutan periode geometris. Perbandingan panjang lingkaran dengan panjang diameternya adalah konstan dan sama dengan 3,14 Nilai ini diketahui oleh ahli matematika paling kuno di India, Yunani, Babilonia, dan Mesir. Versi paling awal dari perhitungan rasio ini dimulai pada tahun 1900 SM. e. Ilmuwan Tiongkok Liu Hui menghitung nilai P yang mendekati nilai modern; selain itu, ia menemukan metode cepat untuk penghitungan tersebut. Nilainya tetap diterima secara umum selama hampir 900 tahun.

Masa klasik perkembangan matematika ditandai dengan fakta bahwa untuk mengetahui secara pasti berapa bilangan Pi, para ilmuwan mulai menggunakan metode analisis matematis. Pada tahun 1400-an, matematikawan India Madhava menggunakan teori deret untuk menghitung dan menentukan periode P hingga 11 tempat desimal. Orang Eropa pertama, setelah Archimedes, yang mempelajari bilangan P dan memberikan kontribusi signifikan terhadap pembenarannya, adalah orang Belanda Ludolf van Zeilen, yang telah menentukan 15 tempat desimal, dan dalam surat wasiatnya ia menulis kata-kata yang sangat menghibur: “...siapapun yang tertarik, biarkan dia melanjutkan.” Untuk menghormati ilmuwan inilah angka P menerima nama pertama dan satu-satunya dalam sejarah.

Era perhitungan komputer membawa detail baru pada pemahaman tentang hakikat bilangan P. Nah, untuk mengetahui apa itu bilangan Pi, pada tahun 1949 pertama kali digunakan komputer ENIAC yang salah satu pengembangnya adalah masa depan. “bapak” teori komputer modern, J. Pengukuran pertama dilakukan selama lebih dari 70 jam dan menghasilkan 2037 digit setelah koma desimal pada periode bilangan P. Tanda sejuta digit dicapai pada tahun 1973. Selain itu, selama periode ini, rumus lain dibuat yang mencerminkan bilangan P. Jadi, saudara-saudara Chudnovsky dapat menemukan rumus yang memungkinkan penghitungan 1.011.196.691 digit periode tersebut.

Secara umum, perlu dicatat bahwa untuk menjawab pertanyaan: “Apa itu Pi?”, banyak penelitian mulai menyerupai kompetisi. Saat ini, superkomputer sudah mengerjakan pertanyaan tentang berapa bilangan sebenarnya Pi. fakta menarik terkait penelitian ini meresap hampir sepanjang sejarah matematika.

Saat ini, misalnya, kejuaraan dunia dalam menghafal angka P sedang diadakan dan rekor dunia sedang dicatat, yang terakhir adalah milik Liu Chao dari Tiongkok, yang menyebutkan 67.890 karakter hanya dalam waktu sehari. Bahkan ada hari libur nomor P di dunia yang diperingati sebagai “Hari Pi”.

Pada tahun 2011, 10 triliun digit angka periode telah ditetapkan.

Teks karya diposting tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap karya ini tersedia di tab "File Kerja" dalam format PDF

PERKENALAN

1. Relevansi pekerjaan.

Dalam variasi angka yang tak terbatas, seperti di antara bintang-bintang di Alam Semesta, angka-angka individual dan seluruh “rasi bintang” dengan keindahan luar biasa menonjol, angka-angka dengan sifat luar biasa dan harmoni unik yang hanya melekat pada angka-angka tersebut. Anda hanya perlu bisa melihat angka-angka tersebut dan memperhatikan propertinya. Perhatikan lebih dekat rangkaian angka alami - dan Anda akan menemukan di dalamnya banyak hal yang mengejutkan dan aneh, lucu dan serius, tak terduga dan membuat penasaran. Orang yang melihat melihat. Lagi pula, orang-orang bahkan tidak akan menyadarinya pada malam musim panas yang berbintang... cahayanya. Bintang kutub, jika tidak mengarahkan pandangannya ke ketinggian tak berawan.

Pindah dari kelas ke kelas, saya berkenalan dengan natural, pecahan, desimal, negatif, rasional. Tahun ini saya belajar irasional. Di antara bilangan irasional terdapat bilangan khusus, yang perhitungan pastinya telah dilakukan oleh para ilmuwan selama berabad-abad. Saya menemukannya di kelas 6 SD saat mempelajari topik “Keliling dan Luas Lingkaran”. Ditekankan bahwa kami cukup sering bertemu dengannya di kelas-kelas SMA. Tugas praktis dalam menemukan nilai numerik π sangat menarik. Bilangan π merupakan salah satu bilangan yang paling menarik ditemui dalam pembelajaran matematika. Hal ini ditemukan dalam berbagai disiplin ilmu sekolah. Banyak fakta menarik terkait dengan bilangan π sehingga menggugah minat untuk diteliti.

Setelah mendengar banyak hal menarik tentang nomor ini, saya sendiri memutuskan dengan mempelajari literatur tambahan dan mencari di Internet untuk mengetahui informasi sebanyak mungkin tentangnya dan menjawab pertanyaan bermasalah:

Sudah berapa lama orang mengetahui tentang angka pi?

Mengapa perlu mempelajarinya?

Fakta menarik apa saja yang terkait dengannya?

Benarkah nilai pi kurang lebih 3,14

Oleh karena itu, saya mengatur diri saya sendiri target: menelusuri sejarah bilangan π dan pentingnya bilangan π pada tahap perkembangan matematika saat ini.

Tugas:

Pelajari literatur untuk memperoleh informasi tentang sejarah bilangan π;

Tetapkan beberapa fakta dari “biografi modern” nomor π;

Perhitungan praktis perkiraan nilai perbandingan keliling dan diameter.

Objek studi:

Objek Studi: Nomor PI.

Subyek studi: Fakta menarik terkait nomor PI.

2. Bagian utama. Angka pi yang luar biasa.

Tidak ada bilangan lain yang misterius seperti Pi, dengan rangkaian bilangannya yang terkenal dan tidak ada habisnya. Di banyak bidang matematika dan fisika, para ilmuwan menggunakan bilangan ini dan hukumnya.

Dari semua bilangan yang digunakan dalam matematika, sains, teknik, dan kehidupan sehari-hari, hanya sedikit bilangan yang mendapat perhatian sebanyak pi. Sebuah buku mengatakan, “Pi memikat pikiran para jenius sains dan matematikawan amatir di seluruh dunia” (“Fraktal untuk Kelas”).

Hal ini dapat ditemukan dalam teori probabilitas, dalam memecahkan masalah dengan bilangan kompleks dan bidang matematika lain yang tidak terduga dan jauh dari geometri. Matematikawan Inggris Augustus de Morgan pernah menyebut pi sebagai “...angka misterius 3,14159... yang merangkak menembus pintu, menembus jendela, dan menembus atap.” Angka misterius ini, terkait dengan salah satu dari tiga masalah klasik Zaman Kuno - membangun sebuah persegi yang luasnya sama dengan luas lingkaran tertentu - memerlukan jejak sejarah yang dramatis dan fakta-fakta menghibur yang membuat penasaran.

Beberapa bahkan menganggapnya sebagai salah satu dari lima angka terpenting dalam matematika. Namun seperti yang dicatat dalam buku Fractals for the Classroom, sama pentingnya dengan pi, “sulit untuk menemukan luas dalam perhitungan ilmiah yang memerlukan lebih dari dua puluh angka desimal pi”.

3. Konsep pi

Bilangan π adalah konstanta matematika yang menyatakan perbandingan keliling lingkaran dengan panjang diameternya. Angka π (diucapkan "pi") adalah konstanta matematika yang menyatakan perbandingan keliling lingkaran dengan panjang diameternya. Dilambangkan dengan huruf "pi" dari alfabet Yunani.

Dalam istilah numerik, π dimulai dari 3,141592 dan memiliki durasi matematis tak terhingga.

4. Sejarah bilangan “pi”

Menurut para ahli, angka ini ditemukan oleh para penyihir Babilonia. Itu digunakan dalam pembangunan Menara Babel yang terkenal. Namun, penghitungan nilai Pi yang kurang akurat menyebabkan runtuhnya keseluruhan proyek. Ada kemungkinan bahwa konstanta matematika inilah yang mendasari pembangunan Kuil Raja Sulaiman yang legendaris.

Sejarah pi, yang menyatakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya, dimulai di Mesir Kuno. Luas lingkaran dengan diameter D Matematikawan Mesir mendefinisikannya sebagai (hh/9) 2 (entri ini diberikan di sini dalam simbol modern). Dari ungkapan di atas kita dapat menyimpulkan bahwa pada saat itu bilangan p dianggap sama dengan pecahan (16/9) 2 , atau 256/81 , yaitu. π = 3,160...

Dalam kitab suci Jainisme (salah satu agama tertua yang ada di India dan muncul pada abad ke-6 SM) terdapat indikasi bahwa bilangan p pada waktu itu dianggap sama, sehingga menghasilkan pecahan. 3,162... Yunani kuno Eudoxus, Hippocrates dan yang lainnya mereduksi pengukuran lingkaran menjadi konstruksi sebuah segmen, dan pengukuran lingkaran menjadi konstruksi persegi yang sama. Perlu dicatat bahwa selama berabad-abad, ahli matematika dari berbagai negara dan masyarakat telah mencoba menyatakan rasio keliling terhadap diameter sebagai bilangan rasional.

Archimedes pada abad ke-3 SM. dalam karya pendeknya “Measuring a Circle” ia mendukung tiga proposisi:

Setiap lingkaran sama besarnya dengan segitiga siku-siku, yang kaki-kakinya masing-masing sama dengan panjang lingkaran dan jari-jarinya;

Luas lingkaran berhubungan dengan persegi yang dibangun berdasarkan diameternya, seperti 11 hingga 14;

Perbandingan setiap lingkaran dengan diameternya lebih kecil 3 1/7 dan banyak lagi 3 10/71 .

Menurut perhitungan yang tepat Archimedes perbandingan keliling dengan diameter diapit di antara angka-angka tersebut 3*10/71 Dan 3*1/7 , yang berarti itu π = 3,1419... Arti sebenarnya dari hubungan ini 3,1415922653... Pada abad ke-5 SM. matematikawan Tiongkok Zu Chongzhi nilai yang lebih akurat untuk nomor ini ditemukan: 3,1415927...

Pada paruh pertama abad ke-15. observatorium Ulugbek, di dekat Samarkand, astronom dan ahli matematika al-Kashi menghitung pi hingga 16 tempat desimal. Al-Kashi membuat perhitungan unik yang diperlukan untuk menyusun tabel sinus secara bertahap 1" . Tabel-tabel ini memainkan peran penting dalam astronomi.

Satu setengah abad kemudian di Eropa F.Viet menemukan pi dengan hanya 9 tempat desimal yang benar dengan menggandakan jumlah sisi poligon sebanyak 16 kali. Tapi diwaktu yang sama F.Viet adalah orang pertama yang menyadari bahwa pi dapat ditemukan menggunakan batas deret tertentu. Penemuan ini sungguh luar biasa

nilai, karena memungkinkan kami menghitung pi dengan akurasi apa pun. Hanya 250 tahun setelahnya al-Kashi hasilnya terlampaui.

Ulang tahun nomor “”.

Hari libur tidak resmi “Hari PI” dirayakan pada tanggal 14 Maret, yang dalam format Amerika (hari/tanggal) ditulis sebagai 14/3, yang sesuai dengan perkiraan nilai PI.

Ada versi alternatif liburan - 22 Juli. Ini disebut Hari Perkiraan Pi. Faktanya adalah menyatakan tanggal ini sebagai pecahan (22/7) juga menghasilkan angka Pi. Diyakini bahwa hari libur ditemukan pada tahun 1987 oleh fisikawan San Francisco Larry Shaw, yang memperhatikan bahwa tanggal dan waktu bertepatan dengan digit pertama angka π.

Fakta menarik terkait angka “”

Ilmuwan Universitas Tokyo yang dipimpin Profesor Yasumasa Kanada berhasil memecahkan rekor dunia dalam menghitung angka Pi hingga 12,411 triliun digit. Untuk melakukan hal ini, sekelompok programmer dan ahli matematika memerlukan program khusus, superkomputer, dan 400 jam waktu komputer. (Buku Rekor Guinness).

Raja Jerman Frederick II begitu terpesona dengan angka ini sehingga dia mendedikasikannya... seluruh istana Castel del Monte, yang proporsinya dapat dihitung PI. Sekarang istana ajaib itu berada di bawah perlindungan UNESCO.

Cara mengingat digit pertama angka “”.

Tiga digit pertama angka  = 3,14... tidak sulit untuk diingat. Dan untuk mengingat lebih banyak tanda, ada ucapan dan puisi lucu. Misalnya, ini:

Anda hanya perlu mencoba

Dan ingatlah semuanya apa adanya:

Sembilan puluh dua dan enam.

S.Bobrov. "bicorn ajaib"

Siapa pun yang mempelajari syair ini akan selalu dapat menyebutkan 8 tanda bilangan :

Pada frasa berikut, tanda bilangan  dapat ditentukan berdasarkan jumlah huruf pada setiap kata:

“Apa yang saya ketahui tentang lingkaran?” (3.1416);

“Jadi saya tahu nomor yang disebut Pi. - Bagus sekali!"

(3,1415927);

“Pelajari dan ketahui angka dibalik angka tersebut, bagaimana cara memperhatikan keberuntungan.”

(3,14159265359)

5. Notasi pi

Orang pertama yang memperkenalkan simbol modern pi untuk perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya adalah seorang matematikawan Inggris W.Johnson pada tahun 1706. Sebagai simbol ia mengambil huruf pertama dari kata Yunani "keliling", yang artinya diterjemahkan "lingkaran". Masuk W.Johnson sebutan tersebut menjadi umum digunakan setelah penerbitan karyanya L.Euler, yang menggunakan karakter yang dimasukkan untuk pertama kalinya 1736 G.

Pada akhir abad ke-18. A.M.Lagendre berdasarkan karya IG Lambert membuktikan bahwa pi tidak rasional. Kemudian ahli matematika Jerman F.Lindeman berdasarkan penelitian S.Ermita, ditemukan bukti kuat bahwa bilangan ini tidak hanya irasional, tetapi juga transendental, yaitu. tidak bisa menjadi akar persamaan aljabar. Pencarian ekspresi yang tepat untuk pi dilanjutkan setelah pekerjaan selesai F.Vieta. Pada awal abad ke-17. Matematikawan Belanda dari Cologne Ludolf van Zeijlen(1540-1610) (beberapa sejarawan menyebutnya L.van Keulen) menemukan 32 tanda yang benar. Sejak itu (tahun terbit 1615), nilai bilangan p dengan 32 tempat desimal disebut bilangan Ludolph.

6. Cara mengingat angka "Pi" akurat hingga sebelas digit

Angka "Pi" adalah perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya, dinyatakan sebagai pecahan desimal tak hingga. Dalam kehidupan sehari-hari, kita cukup mengetahui tiga tanda (3.14). Namun, beberapa perhitungan memerlukan akurasi yang lebih tinggi.

Nenek moyang kita tidak memiliki komputer, kalkulator atau buku referensi, tetapi sejak zaman Peter I mereka terlibat dalam perhitungan geometris di bidang astronomi, teknik mesin, dan pembuatan kapal. Selanjutnya, teknik elektro ditambahkan di sini - ada konsep "frekuensi melingkar arus bolak-balik". Untuk mengingat angka “Pi”, sebuah bait diciptakan (sayangnya, kita tidak mengetahui penulis atau tempat penerbitan pertamanya; tetapi pada akhir tahun 40-an abad kedua puluh, anak-anak sekolah Moskow mempelajari buku teks geometri Kiselev, di mana ia berada diberikan).

Bait ini ditulis menurut aturan ortografi Rusia kuno, yang menurutnya setelahnya konsonan harus ditempatkan di akhir kata "lembut" atau "padat" tanda. Ini dia, bait sejarah yang indah ini:

Yang, bercanda, akan segera berharap

"Pi" tahu nomornya - dia sudah tahu.

Masuk akal bagi siapa pun yang berencana melakukan perhitungan yang tepat di masa depan untuk mengingat hal ini. Jadi berapa angka "Pi" yang akurat hingga sebelas digit? Hitung jumlah huruf dalam setiap kata dan tuliskan angka-angka tersebut secara berurutan (pisahkan angka pertama dengan koma).

Akurasi ini sudah cukup memadai untuk perhitungan teknik. Selain cara kuno, ada juga cara menghafal modern yang dikemukakan oleh seorang pembaca yang mengidentifikasi dirinya sebagai Georgiy:

Agar kita tidak melakukan kesalahan,

Anda perlu membacanya dengan benar:

Tiga, empat belas, lima belas,

Sembilan puluh dua dan enam.

Anda hanya perlu mencoba

Dan ingatlah semuanya apa adanya:

Tiga, empat belas, lima belas,

Sembilan puluh dua dan enam.

Tiga, empat belas, lima belas,

Sembilan, dua, enam, lima, tiga, lima.

Untuk melakukan sains,

Setiap orang harus mengetahui hal ini.

Anda bisa mencobanya

Dan ulangi lebih sering:

"Tiga, empat belas, lima belas,

Sembilan, dua puluh enam dan lima."

Nah, matematikawan dengan bantuan komputer modern dapat menghitung hampir semua jumlah digit Pi.

7. Catatan memori Pi

Umat ​​​​manusia telah lama mencoba mengingat tanda-tanda pi. Tapi bagaimana cara memasukkan ketidakterbatasan ke dalam memori? Pertanyaan favorit para mnemonis profesional. Banyak teori dan teknik unik untuk menguasai sejumlah besar informasi telah dikembangkan. Banyak dari mereka telah diuji pada pi.

Rekor dunia yang dibuat pada abad terakhir di Jerman adalah 40.000 karakter. Rekor Rusia untuk nilai pi ditetapkan pada 1 Desember 2003 di Chelyabinsk oleh Alexander Belyaev. Dalam satu setengah jam dengan istirahat sejenak, Alexander menulis 2.500 digit pi di papan tulis.

Sebelumnya, pencatatan 2.000 karakter dianggap sebagai rekor di Rusia, yang dicapai pada tahun 1999 di Yekaterinburg. Menurut Alexander Belyaev, kepala pusat pengembangan memori figuratif, siapa pun di antara kita dapat melakukan eksperimen serupa dengan ingatan kita. Yang penting hanya mengetahui teknik menghafal khusus dan berlatih secara berkala.

Kesimpulan.

Angka pi muncul dalam rumus yang digunakan di banyak bidang. Fisika, teknik elektro, elektronik, teori probabilitas, konstruksi, dan navigasi hanyalah beberapa di antaranya. Dan sepertinya tanda-tanda bilangan pi tidak ada habisnya, begitu pula kemungkinan penerapan praktis dari bilangan pi yang berguna dan sulit dipahami ini juga tidak ada habisnya.

Dalam matematika modern, angka pi bukan hanya rasio keliling terhadap diameter; ia termasuk dalam sejumlah besar rumus berbeda.

Hal ini dan saling ketergantungan lainnya memungkinkan ahli matematika untuk lebih memahami sifat pi.

Nilai pasti angka π di dunia modern tidak hanya untuk nilai ilmiahnya sendiri, tetapi juga digunakan untuk perhitungan yang sangat tepat (misalnya orbit satelit, pembangunan jembatan raksasa), serta penilaian kecepatan dan kekuatan komputer modern.

Saat ini, angka π dikaitkan dengan serangkaian rumus, fakta matematika, dan fisika yang sulit dilihat. Jumlah mereka terus bertambah pesat. Semua ini menunjukkan meningkatnya minat terhadap konstanta matematika yang paling penting, yang studinya telah berlangsung selama lebih dari dua puluh dua abad.

Pekerjaan yang saya lakukan menarik. Saya ingin belajar tentang sejarah pi, aplikasi praktisnya, dan saya rasa saya telah mencapai tujuan saya. Menyimpulkan hasil pekerjaan saya, saya sampai pada kesimpulan bahwa topik ini relevan. Banyak fakta menarik terkait dengan bilangan π sehingga menggugah minat untuk diteliti. Dalam pekerjaan saya, saya menjadi lebih mengenal angka - salah satu nilai abadi yang telah digunakan umat manusia selama berabad-abad. Saya mempelajari beberapa aspek dari kekayaan sejarahnya. Saya menemukan mengapa dunia kuno tidak mengetahui rasio keliling dan diameter yang benar. Saya melihat dengan jelas cara memperoleh nomor tersebut. Berdasarkan eksperimen, saya menghitung perkiraan nilai suatu bilangan dengan berbagai cara. Mengolah dan menganalisis hasil percobaan.

Setiap anak sekolah saat ini harus mengetahui apa arti suatu angka dan kira-kira sama dengan. Lagipula, perkenalan pertama setiap orang dengan suatu bilangan, penggunaannya dalam menghitung keliling lingkaran, luas lingkaran, terjadi di kelas 6 SD. Namun sayangnya, pengetahuan ini tetap formal bagi banyak orang dan setelah satu atau dua tahun, hanya sedikit orang yang mengingat tidak hanya bahwa perbandingan panjang lingkaran dengan diameternya adalah sama untuk semua lingkaran, tetapi mereka bahkan mengalami kesulitan mengingat nilai numeriknya. dari bilangan tersebut, sama dengan 3,14.

Saya mencoba membuka tabir kekayaan sejarah nomor yang telah digunakan umat manusia selama berabad-abad. Saya membuat presentasi untuk pekerjaan saya sendiri.

Sejarah angka sangat menarik dan misterius. Saya ingin terus meneliti angka-angka menakjubkan lainnya dalam matematika. Ini akan menjadi subjek studi penelitian saya berikutnya.

Bibliografi.

1. Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah kelas IV-VI. - M.: Pencerahan, 1982.

2. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Di balik halaman buku teks matematika - M.: Prosveshchenie, 1989.

3. Zhukov A.V. Angka "pi" yang ada di mana-mana. - M.: Redaksi URSS, 2004.

4. Kympan F. Sejarah bilangan “pi”. - M.: Nauka, 1971.

5. Svechnikov A.A. sebuah perjalanan menuju sejarah matematika - M.: Pedagogika - Press, 1995.

6. Ensiklopedia untuk anak-anak. T.11.Matematika - M.: Avanta+, 1998.

Sumber daya internet:

- http:// gagak.academy.ru/materials_/pi/history.htm

Http://hab/kp.ru//daily/24123/344634/

Sejarah bilangan Pi dimulai di Mesir Kuno dan sejalan dengan perkembangan semua matematika. Ini adalah pertama kalinya kami menemukan jumlah ini di dalam tembok sekolah.

Angka Pi mungkin yang paling misterius dari sekian banyak angka lainnya. Puisi dipersembahkan untuknya, seniman menggambarkannya, dan bahkan sebuah film dibuat tentang dia. Dalam artikel kami, kami akan melihat sejarah perkembangan dan perhitungan, serta bidang penerapan konstanta Pi dalam kehidupan kita.

Pi adalah konstanta matematika yang sama dengan perbandingan keliling lingkaran dengan panjang diameternya. Awalnya disebut bilangan Ludolph, dan diusulkan untuk dilambangkan dengan huruf Pi oleh ahli matematika Inggris Jones pada tahun 1706. Setelah karya Leonhard Euler pada tahun 1737, sebutan ini diterima secara umum.

Pi adalah bilangan irasional, artinya nilainya tidak dapat dinyatakan secara akurat sebagai pecahan m/n, dengan m dan n adalah bilangan bulat. Hal ini pertama kali dibuktikan oleh Johann Lambert pada tahun 1761.

Sejarah perkembangan bilangan Pi dimulai sekitar 4000 tahun yang lalu. Bahkan ahli matematika Mesir dan Babilonia kuno mengetahui bahwa rasio keliling terhadap diameter adalah sama untuk semua lingkaran dan nilainya sedikit lebih dari tiga.

Archimedes mengusulkan metode matematika untuk menghitung Pi, di mana ia menuliskan poligon beraturan dalam sebuah lingkaran dan menggambarkannya di sekitarnya. Menurut perhitungannya, Pi kira-kira sama dengan 22/7 ≈ 3.142857142857143.

Pada abad ke-2, Zhang Heng mengusulkan dua nilai untuk Pi: ≈ 3,1724 dan ≈ 3,1622.

Matematikawan India Aryabhata dan Bhaskara menemukan nilai perkiraan 3,1416.

Perkiraan Pi yang paling akurat selama 900 tahun adalah perhitungan yang dilakukan ahli matematika Tiongkok Zu Chongzhi pada tahun 480-an. Dia menyimpulkan bahwa Pi ≈ 355/113 dan menunjukkan bahwa 3.1415926< Пи < 3,1415927.

Sebelum milenium ke-2, tidak lebih dari 10 digit Pi yang dihitung. Hanya dengan berkembangnya analisis matematis, dan khususnya dengan ditemukannya deret, kemajuan besar berikutnya dalam penghitungan konstanta tercapai.

Pada tahun 1400-an, Madhava mampu menghitung Pi=3.14159265359. Rekornya dipecahkan oleh matematikawan Persia Al-Kashi pada tahun 1424. Dalam karyanya “Treatise on the Circle,” ia mengutip 17 digit Pi, 16 di antaranya ternyata benar.

Matematikawan Belanda Ludolf van Zeijlen mencapai 20 angka dalam perhitungannya, mengabdikan 10 tahun hidupnya untuk hal ini. Setelah kematiannya, 15 digit Pi lainnya ditemukan di catatannya. Ia mewariskan agar angka-angka tersebut diukir di batu nisannya.

Dengan kemajuan komputer, angka Pi saat ini memiliki beberapa triliun digit dan ini bukanlah batasnya. Namun, seperti yang ditunjukkan oleh Fractals for the Classroom, sama pentingnya dengan Pi, “sulit untuk menemukan luas dalam perhitungan ilmiah yang memerlukan lebih dari dua puluh tempat desimal.”

Dalam kehidupan kita, angka Pi digunakan di banyak bidang ilmu pengetahuan. Fisika, elektronik, teori probabilitas, kimia, konstruksi, navigasi, farmakologi - ini hanyalah beberapa di antaranya yang mustahil dibayangkan tanpa angka misterius ini.

Berdasarkan bahan dari situs Kalkulator888.ru - Nomor Pi - artinya, sejarah, siapa yang menciptakannya.

Selama berabad-abad dan bahkan, anehnya, ribuan tahun, orang telah memahami pentingnya dan nilai bagi ilmu pengetahuan tentang konstanta matematika yang sama dengan rasio keliling lingkaran dengan diameternya. angka Pi masih belum diketahui, namun ahli matematika terbaik sepanjang sejarah kita telah terlibat dengannya. Kebanyakan dari mereka ingin menyatakannya sebagai bilangan rasional.

1. Para peneliti dan penggemar sejati angka Pi telah mengorganisir sebuah klub, untuk bergabung di mana Anda perlu hafal sejumlah besar tanda-tandanya.

2. Sejak tahun 1988, “Hari Pi” diperingati yang jatuh pada tanggal 14 Maret. Mereka menyiapkan salad, kue, kue kering, dan kue kering dengan gambarnya.

3. Nomor Pi sudah disetel ke musik, dan kedengarannya cukup bagus. Sebuah monumen bahkan didirikan untuknya di Seattle, Amerika, di depan Museum Seni kota.

Saat itu, mereka mencoba menghitung bilangan Pi menggunakan geometri. Fakta bahwa angka ini konstan untuk berbagai kalangan diketahui oleh para ahli geometri di Mesir Kuno, Babilonia, India, dan Yunani Kuno, yang menyatakan dalam karya mereka bahwa jumlahnya hanya lebih dari tiga.

Dalam salah satu kitab suci Jainisme (agama India kuno yang muncul pada abad ke-6 SM) disebutkan bahwa kemudian bilangan Pi dianggap sama dengan akar kuadrat dari sepuluh, yang pada akhirnya menghasilkan 3,162... .

Matematikawan Yunani kuno mengukur lingkaran dengan membuat sebuah segmen, tetapi untuk mengukur sebuah lingkaran, mereka harus membuat sebuah persegi yang sama besarnya, yaitu sebuah bangun datar yang luasnya sama.

Ketika pecahan desimal belum diketahui, Archimedes yang agung menemukan nilai Pi dengan akurasi 99,9%. Dia menemukan metode yang menjadi dasar bagi banyak perhitungan selanjutnya, dengan menuliskan poligon beraturan dalam sebuah lingkaran dan menggambarkannya di sekitarnya. Hasilnya, Archimedes menghitung nilai Pi sebagai rasio 22/7 ≈ 3.142857142857143.

Di Tiongkok, ahli matematika dan astronom istana, Zu Chongzhi pada abad ke-5 SM. e. menetapkan nilai Pi yang lebih tepat, menghitungnya hingga tujuh tempat desimal dan menentukan nilainya antara angka 3, 1415926 dan 3,1415927. Para ilmuwan membutuhkan waktu lebih dari 900 tahun untuk melanjutkan seri digital ini.

Abad Pertengahan

Ilmuwan India terkenal Madhava, yang hidup pada pergantian abad ke-14 - ke-15 dan menjadi pendiri sekolah astronomi dan matematika Kerala, untuk pertama kalinya dalam sejarah mulai mengerjakan perluasan fungsi trigonometri menjadi deret. Benar, hanya dua karyanya yang bertahan, dan hanya referensi dan kutipan dari murid-muridnya yang diketahui orang lain. Risalah ilmiah “Mahajyanayana” yang dikaitkan dengan Madhava menyebutkan bahwa bilangan Pi adalah 3.14159265359. Dan dalam risalah “Sadratnamala” diberikan angka dengan desimal yang lebih tepat lagi: 3.14159265358979324. Pada angka-angka yang diberikan, digit terakhir tidak sesuai dengan nilai yang benar.

Pada abad ke-15, ahli matematika dan astronom Samarkand Al-Kashi menghitung angka Pi dengan enam belas tempat desimal. Hasilnya dianggap paling akurat untuk 250 tahun ke depan.

W. Johnson, seorang ahli matematika dari Inggris, adalah salah satu orang pertama yang menyatakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya dengan huruf π. Pi adalah huruf pertama dari kata Yunani "περιφέρεια" - lingkaran. Namun sebutan ini diterima secara umum hanya setelah digunakan pada tahun 1736 oleh ilmuwan yang lebih terkenal L. Euler.

Kesimpulan

Ilmuwan modern terus mengerjakan perhitungan lebih lanjut tentang nilai Pi. Superkomputer sudah digunakan untuk ini. Pada tahun 2011, seorang ilmuwan dari Shigeru Kondo, bekerja sama dengan seorang mahasiswa Amerika Alexander Yi, dengan tepat menghitung urutan 10 triliun digit. Namun masih belum jelas siapa yang menemukan bilangan Pi, siapa yang pertama kali memikirkan masalah ini dan melakukan perhitungan pertama terhadap bilangan yang benar-benar mistis ini.

Perkenalan

Artikel tersebut berisi rumus matematika, jadi untuk membacanya, buka situsnya untuk menampilkannya dengan benar. Angka \(\pi\) memiliki sejarah yang kaya. Konstanta ini menunjukkan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya.

Dalam sains, bilangan \(\pi \) digunakan dalam perhitungan apa pun yang melibatkan lingkaran. Mulai dari volume sekaleng soda, hingga orbit satelit. Dan bukan hanya lingkaran. Memang benar, dalam studi tentang garis lengkung, bilangan \(\pi \) membantu memahami sistem periodik dan osilasi. Misalnya gelombang elektromagnetik bahkan musik.

Pada tahun 1706, dalam buku A New Introduction to Mathematics karya ilmuwan Inggris William Jones (1675-1749), huruf alfabet Yunani \(\pi\) pertama kali digunakan untuk mewakili angka 3.141592.... Sebutan ini berasal dari huruf awal kata Yunani περιϕερεια - lingkaran, pinggiran dan περιµετρoς - keliling. Sebutan tersebut diterima secara umum setelah karya Leonhard Euler pada tahun 1737.

Periode geometris

Keteguhan rasio panjang suatu lingkaran terhadap diameternya telah diketahui sejak lama. Penduduk Mesopotamia menggunakan perkiraan kasar mengenai angka \(\pi\). Sebagai berikut dari soal-soal kuno, mereka menggunakan nilai \(\pi ≈ 3\) dalam perhitungannya.

Nilai yang lebih tepat untuk \(\pi\) digunakan oleh orang Mesir kuno. Di London dan New York, disimpan dua lembar papirus Mesir kuno, yang disebut “papirus Rinda”. Papirus ini disusun oleh juru tulis Armes sekitar tahun 2000-1700. SM Armes menulis dalam papirusnya bahwa luas lingkaran yang berjari-jari \(r\) sama dengan luas persegi yang sisinya sama dengan \(\frac(8)(9) \) dari diameter lingkaran \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), yaitu \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Oleh karena itu \(\pi = 3.16\).

Matematikawan Yunani kuno Archimedes (287-212 SM) adalah orang pertama yang mengajukan masalah pengukuran lingkaran atas dasar ilmiah. Ia menerima skor \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Metodenya cukup sederhana, tetapi jika tidak ada tabel fungsi trigonometri yang sudah jadi, diperlukan ekstraksi akar. Selain itu, perkiraannya menyatu ke \(\pi \) dengan sangat lambat: dengan setiap iterasi, kesalahannya hanya berkurang empat kali lipat.

Periode analitis

Meskipun demikian, hingga pertengahan abad ke-17, semua upaya ilmuwan Eropa untuk menghitung bilangan \(\pi\) hanya sekedar menambah sisi poligon. Misalnya, ahli matematika Belanda Ludolf van Zeijlen (1540-1610) menghitung perkiraan nilai bilangan \(\pi\) yang akurat hingga 20 digit desimal.

Butuh waktu 10 tahun untuk menghitungnya. Dengan menggandakan jumlah sisi poligon bertulisan dan berbatas menggunakan metode Archimedes, ia mendapatkan \(60 \cdot 2^(29) \) - sebuah segitiga untuk menghitung \(\pi \) dengan 20 tempat desimal.

Setelah kematiannya, 15 digit angka \(\pi\) lainnya ditemukan dalam manuskripnya. Ludolf mewariskan agar tanda-tanda yang ditemukannya diukir di batu nisannya. Untuk menghormatinya, bilangan \(\pi\) kadang-kadang disebut "bilangan Ludolf" atau "Konstanta Ludolf".

Salah satu orang pertama yang memperkenalkan metode yang berbeda dari Archimedes adalah François Viète (1540-1603). Ia sampai pada kesimpulan bahwa sebuah lingkaran yang diameternya sama dengan satu memiliki luas:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1 )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

Sebaliknya, luasnya adalah \(\frac(\pi)(4)\). Dengan mensubstitusi dan menyederhanakan persamaan tersebut, kita dapat memperoleh rumus hasil kali tak hingga berikut untuk menghitung nilai perkiraan \(\frac(\pi)(2)\):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Rumus yang dihasilkan adalah ekspresi analitis eksak pertama untuk bilangan \(\pi\). Selain rumus ini, Viet, dengan menggunakan metode Archimedes, memberikan, menggunakan poligon tertulis dan terbatas, dimulai dengan 6-gon dan diakhiri dengan poligon dengan sisi \(2^(16) \cdot 6 \) , sebuah perkiraan dari bilangan \(\pi \) dengan 9 dengan tanda sebelah kanan.

Matematikawan Inggris William Brounker (1620-1684), dengan menggunakan pecahan lanjutan, memperoleh hasil perhitungan \(\frac(\pi)(4)\ sebagai berikut):

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2 ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

Cara menghitung perkiraan bilangan \(\frac(4)(\pi)\) memerlukan perhitungan yang cukup banyak untuk mendapatkan perkiraan yang kecil sekalipun.

Nilai yang diperoleh sebagai hasil substitusi lebih besar atau lebih kecil dari angka \(\pi\), dan setiap kali mendekati nilai sebenarnya, tetapi untuk mendapatkan nilai 3,141592 perlu dilakukan upaya yang cukup besar perhitungan.

Matematikawan Inggris lainnya John Machin (1686-1751) pada tahun 1706, untuk menghitung bilangan \(\pi\) dengan 100 tempat desimal, menggunakan rumus yang diturunkan oleh Leibniz pada tahun 1673 dan menerapkannya sebagai berikut:

\[\frac(\pi)(4) = 4 busur\frac(1)(5) - busur\frac(1)(239) \]

Deret tersebut konvergen dengan cepat dan dengan bantuannya Anda dapat menghitung bilangan \(\pi \) dengan sangat akurat. Jenis rumus ini telah digunakan untuk membuat beberapa rekor selama era komputer.

Pada abad ke-17 dengan dimulainya periode matematika nilai variabel, tahap baru dalam perhitungan \(\pi\) dimulai. Matematikawan Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) pada tahun 1673 menemukan penguraian bilangan \(\pi\), secara umum dapat dituliskan sebagai deret tak hingga berikut:

\[ \pi = 1 — 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) — \frac(1)(7) + \frac(1)(9) — \frac(1) (11) + \cdots) \]

Deret tersebut diperoleh dengan mensubstitusi x = 1 ke dalam \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) — \cdots\)

Leonhard Euler mengembangkan ide Leibniz dalam karyanya tentang penggunaan deret arctan x dalam menghitung bilangan \(\pi\). Risalah "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (Tentang berbagai metode menyatakan kuadrat lingkaran dengan angka perkiraan), yang ditulis pada tahun 1738, membahas metode untuk meningkatkan perhitungan menggunakan rumus Leibniz.

Euler menulis bahwa deret tangen busur akan lebih cepat konvergen jika argumennya cenderung nol. Untuk \(x = 1\), konvergensi deret tersebut sangat lambat: untuk menghitung dengan akurasi 100 digit, perlu menambahkan \(10^(50)\) suku-suku deret tersebut. Anda dapat mempercepat penghitungan dengan mengurangi nilai argumen. Jika kita mengambil \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), maka kita mendapatkan deretnya

\[ \frac(\pi)(6) = senictg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 — \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) — \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Menurut Euler, jika kita mengambil 210 suku dari deret tersebut, kita akan mendapatkan 100 digit bilangan yang benar. Deret yang dihasilkan merepotkan karena perlu mengetahui nilai bilangan irasional \(\sqrt(3)\) yang cukup akurat. Euler juga menggunakan dalam perhitungannya perluasan garis singgung busur menjadi jumlah garis singgung busur dari argumen yang lebih kecil:

\[di mana x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Tidak semua rumus menghitung \(\pi\) yang digunakan Euler dalam buku catatannya diterbitkan. Dalam makalah dan buku catatan yang diterbitkan, ia mempertimbangkan 3 deret berbeda untuk menghitung tangen busur, dan juga membuat banyak pernyataan mengenai jumlah suku yang dapat dijumlahkan yang diperlukan untuk memperoleh nilai perkiraan \(\pi\) dengan akurasi tertentu.

Pada tahun-tahun berikutnya, penyempurnaan terhadap nilai angka \(\pi\) terjadi semakin cepat. Misalnya, pada tahun 1794, Georg Vega (1754-1802) telah mengidentifikasi 140 tanda, dan hanya 136 di antaranya yang benar.

Periode komputasi

Abad ke-20 ditandai dengan tahapan yang benar-benar baru dalam penghitungan bilangan \(\pi\). Matematikawan India Srinivasa Ramanujan (1887-1920) menemukan banyak rumus baru untuk \(\pi\). Pada tahun 1910, ia memperoleh rumus untuk menghitung \(\pi\) melalui ekspansi arctangen dalam deret Taylor:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

Pada k=100, keakuratan 600 digit angka \(\pi\) tercapai.

Munculnya komputer memungkinkan peningkatan signifikan dalam akurasi nilai yang diperoleh dalam waktu yang lebih singkat. Pada tahun 1949, hanya dalam waktu 70 jam, dengan menggunakan ENIAC, sekelompok ilmuwan yang dipimpin oleh John von Neumann (1903-1957) memperoleh 2037 tempat desimal untuk bilangan \(\pi\). Pada tahun 1987, David dan Gregory Chudnovsky memperoleh rumus yang dengannya mereka dapat memecahkan beberapa rekor dalam menghitung \(\pi\):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Setiap anggota deret memberikan 14 digit. Pada tahun 1989, diperoleh 1.011.196.691 tempat desimal. Rumus ini sangat cocok untuk menghitung \(\pi \) pada komputer pribadi. Saat ini, saudara-saudaranya adalah profesor di Institut Politeknik Universitas New York.

Perkembangan penting terkini adalah penemuan formula pada tahun 1997 oleh Simon Plouffe. Ini memungkinkan Anda mengekstrak digit heksadesimal apa pun dari angka \(\pi\) tanpa menghitung digit sebelumnya. Rumus tersebut dinamakan “Rumus Bailey-Borwain-Plouffe” untuk menghormati penulis artikel tempat rumus tersebut pertama kali diterbitkan. Ini terlihat seperti ini:

\[\pi = \jumlah\batas_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) — \frac(2)(8k+4 ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

Pada tahun 2006, Simon, dengan menggunakan PSLQ, menghasilkan beberapa rumus bagus untuk menghitung \(\pi\). Misalnya,

\[ \frac(\pi)(24) = \jumlah\batas_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \jumlah\batas_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) — 1) — \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

di mana \(q = e^(\pi)\). Pada tahun 2009, ilmuwan Jepang, dengan menggunakan superkomputer T2K Tsukuba System, memperoleh angka \(\pi\) dengan 2.576.980.377.524 tempat desimal. Perhitungannya memakan waktu 73 jam 36 menit. Komputer ini dilengkapi dengan 640 prosesor AMD Opteron quad-core, yang memberikan kinerja 95 triliun operasi per detik.

Prestasi berikutnya dalam menghitung \(\pi\) menjadi milik programmer Perancis Fabrice Bellard, yang pada akhir tahun 2009, di komputer pribadinya yang menjalankan Fedora 10, memecahkan rekor dengan menghitung 2.699.999.990.000 tempat desimal dari angka \(\pi\ ). Selama 14 tahun terakhir, ini adalah rekor dunia pertama yang dibuat tanpa menggunakan superkomputer. Untuk performa tinggi, Fabrice menggunakan formula Chudnovsky bersaudara. Total penghitungan memakan waktu 131 hari (103 hari penghitungan dan 13 hari verifikasi hasil). Prestasi Bellar menunjukkan bahwa perhitungan seperti itu tidak memerlukan superkomputer.

Hanya enam bulan kemudian, rekor Francois dipecahkan oleh insinyur Alexander Yi dan Penyanyi Kondo. Untuk memecahkan rekor 5 triliun tempat desimal \(\pi\), komputer pribadi juga digunakan, namun dengan karakteristik yang lebih mengesankan: dua prosesor Intel Xeon X5680 pada 3,33 GHz, RAM 96 GB, memori disk 38 TB, dan sistem operasi Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Untuk perhitungannya, Alexander dan Singer menggunakan rumus Chudnovsky bersaudara. Proses penghitungan memakan waktu 90 hari dan ruang disk 22 TB. Pada tahun 2011, mereka mencetak rekor lain dengan menghitung 10 triliun tempat desimal untuk angka \(\pi\). Penghitungan dilakukan di komputer yang sama dengan tempat rekor sebelumnya dibuat dan memakan waktu total 371 hari. Pada akhir tahun 2013, Alexander dan Singerou meningkatkan rekor tersebut menjadi 12,1 triliun digit angka \(\pi\), yang hanya membutuhkan waktu 94 hari untuk menghitungnya. Peningkatan kinerja ini dicapai dengan mengoptimalkan kinerja perangkat lunak, meningkatkan jumlah inti prosesor, dan meningkatkan toleransi kesalahan perangkat lunak secara signifikan.

Rekor saat ini adalah milik Alexander Yee dan Penyanyi Kondo, yaitu 12,1 triliun tempat desimal \(\pi\).

Jadi, kita melihat metode penghitungan angka \(\pi\) yang digunakan pada zaman kuno, metode analisis, dan juga melihat metode dan catatan modern untuk menghitung angka \(\pi\) di komputer.

Daftar sumber

1. Zhukov A.V. Nomor Pi - M yang ada di mana-mana.: Penerbitan LKI, 2007 - 216 hal.
2. F.Rudio. Tentang mengkuadratkan lingkaran, dengan penerapan sejarah persoalan yang disusun oleh F. Rudio. / Rudio F. – M.: ONTI NKTP Uni Soviet, 1936. – 235c.
3. Arndt, J.Pi Dilepaskan / J.Arndt, C.Haenel. – Springer, 2001. – 270p.
4. Shukhman, E.V. Perkiraan perhitungan Pi menggunakan deret untuk arctan x dalam karya Leonhard Euler / E.V. Syukhman. — Sejarah Ilmu Pengetahuan dan Teknologi, 2008 – No.4. – Hal.2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 – Jil.9 – 222-236p.
6. Shumikhin, S. Nomor Pi. Sejarah 4000 tahun / S. Shumikhin, A. Shumikhina. - M.: Eksmo, 2011. - 192 hal.
7. Borwein, JM Ramanujan dan angka Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Di dunia sains. 1988 – Nomor 4. – hal.58-66.
8. Alex Yee. Dunia angka. Mode akses: numberworld.org

Menyukai?

Memberi tahu