Sebagaimana diketahui, benda yang geraknya tidak dibatasi sama sekali disebut bebas, karena dapat bergerak ke segala arah. Oleh karena itu, setiap benda tegar bebas mempunyai enam derajat kebebasan bergerak. Ia memiliki kemampuan untuk menghasilkan gerakan berikut: tiga gerakan translasi, sesuai dengan tiga sistem koordinat utama, dan tiga gerakan rotasi di sekitar tiga sumbu koordinat tersebut.

Memaksakan koneksi (memperbaiki) mengurangi jumlah derajat kebebasan. Jadi, jika suatu benda diam pada suatu titik, ia tidak dapat bergerak sepanjang sumbu koordinat; geraknya hanya dibatasi oleh rotasi pada sumbu tersebut, yaitu. tubuh mempunyai tiga derajat kebebasan. Dalam hal dua titik diam, benda hanya mempunyai satu derajat kebebasan; ia hanya dapat berputar mengelilingi suatu garis (sumbu) yang melalui kedua titik tersebut. Dan terakhir, dengan tiga titik tetap yang tidak terletak pada satu garis, maka jumlah derajat kebebasannya adalah nol, dan tidak ada gerakan benda yang dapat terjadi. Pada manusia, alat gerak pasif terdiri dari bagian-bagian tubuhnya yang disebut mata rantai. Semuanya terhubung satu sama lain, sehingga mereka kehilangan kemampuan untuk melakukan tiga jenis gerakan sepanjang sumbu koordinat. Mereka hanya memiliki kemampuan untuk memutar sumbu tersebut. Jadi, jumlah derajat kebebasan maksimum yang dapat dimiliki oleh suatu link tubuh terhadap link lain yang berdekatan dengannya adalah tiga.

Ini mengacu pada sendi tubuh manusia yang paling mobile, yang memiliki bentuk bulat.

Sambungan bagian tubuh yang berurutan atau bercabang (link) membentuk rantai kinematik.

Pada manusia terdapat:

• - rantai kinematik terbuka memiliki ujung yang dapat digerakkan bebas, dipasang hanya pada salah satu ujungnya (misalnya, lengan dalam kaitannya dengan badan);
• - rantai kinematik tertutup, dipasang di kedua ujungnya (misalnya, tulang belakang - tulang rusuk - tulang dada - tulang rusuk - tulang belakang).

Perlu dicatat bahwa ini menyangkut potensi rentang gerak pada persendian. Kenyataannya, pada orang yang hidup, indikator-indikator ini selalu lebih rendah, yang telah dibuktikan oleh berbagai karya peneliti dalam negeri - P. F. Lesgaft, M. F. Ivanitsky, M. G. Prives, N. G. Ozolin, dll. seseorang, hal ini dipengaruhi oleh sejumlah faktor yang berkaitan dengan usia, jenis kelamin, karakteristik individu, keadaan fungsional sistem saraf, derajat peregangan otot, suhu lingkungan, waktu dan, terakhir, apa yang penting bagi atlet, the tingkat pelatihan. Dengan demikian, pada semua sendi tulang (terputus-putus dan kontinu), derajat mobilitas pada orang muda lebih besar dibandingkan pada orang tua; Rata-rata, perempuan mempunyai lebih banyak dibandingkan laki-laki. Besar kecilnya mobilitas dipengaruhi oleh derajat regangan otot-otot yang berada pada sisi yang berlawanan dengan gerakan, serta kekuatan otot-otot yang menghasilkan gerakan tersebut. Semakin elastis otot pertama dan semakin kuat otot kedua, semakin besar jangkauan gerakan pada sambungan tulang tertentu, dan sebaliknya. Diketahui bahwa di ruangan yang dingin pergerakannya lebih kecil dibandingkan di ruangan yang hangat; Penggunaan latihan yang berbeda mempunyai efek berbeda pada mobilitas sendi. Jadi, latihan sistematis dengan latihan “fleksibilitas” meningkatkan rentang gerak sendi, sedangkan latihan “kekuatan”, sebaliknya, menguranginya, menyebabkan “pengkakuan” sendi. Namun, penurunan rentang gerak persendian saat menggunakan latihan kekuatan tidak sepenuhnya bisa dihindari. Hal ini dapat dicegah dengan kombinasi latihan kekuatan dan latihan peregangan yang tepat untuk kelompok otot yang sama.

Dalam rantai kinematik terbuka tubuh manusia, mobilitas dihitung dalam puluhan derajat kebebasan. Misalnya mobilitas pergelangan tangan relatif terhadap tulang belikat dan mobilitas tarsus relatif terhadap panggul mempunyai tujuh derajat kebebasan, dan ujung jari tangan relatif terhadap dada mempunyai 16 derajat kebebasan. Jika kita jumlahkan semua derajat kebebasan anggota badan dan kepala relatif terhadap tubuh, maka hal ini dinyatakan dengan angka 105, yang terdiri dari posisi-posisi berikut:

• - kepala - 3 derajat kebebasan;
• - lengan - 14 derajat kebebasan;
• - kaki - 12 derajat kebebasan;
• - tangan dan kaki - 76 derajat kebebasan.

Sebagai perbandingan, kami menunjukkan bahwa sebagian besar mesin hanya memiliki satu derajat kebebasan bergerak.

Pada sambungan bola dan soket, rotasi pada tiga sumbu yang saling tegak lurus dimungkinkan. Jumlah total sumbu yang memungkinkan terjadinya rotasi pada sambungan ini sangatlah besar. Oleh karena itu, mengenai sambungan bola, kita dapat mengatakan bahwa sambungan yang diartikulasikan di dalamnya, dari kemungkinan enam derajat kebebasan bergerak, mempunyai tiga derajat kebebasan dan tiga derajat penggandengan.

Sendi dengan dua derajat kebebasan bergerak dan empat derajat kopling memiliki mobilitas yang lebih rendah. Ini termasuk sambungan berbentuk bulat telur atau elips dan pelana, mis. biaksial. Mereka memungkinkan pergerakan di sekitar dua sumbu ini.

Hubungan tubuh pada persendian yang mempunyai satu sumbu rotasi, yaitu mempunyai satu derajat kebebasan mobilitas dan sekaligus lima derajat konektivitas. mempunyai dua titik tetap.

Mayoritas persendian pada tubuh manusia mempunyai dua atau tiga derajat kebebasan. Dengan beberapa derajat kebebasan bergerak (dua atau lebih), jumlah lintasan yang tidak terbatas dapat dilakukan. Sambungan tulang tengkorak mempunyai enam derajat sambungan dan tidak dapat bergerak. Sambungan tulang dengan bantuan tulang rawan dan ligamen (sinkondrosis dan sindesmosis) dalam beberapa kasus dapat memiliki mobilitas yang signifikan, yang bergantung pada elastisitas dan ukuran formasi tulang rawan atau jaringan ikat yang terletak di antara tulang-tulang tersebut.

Sistem dengan dua derajat kebebasan adalah kasus khusus dari sistem dengan beberapa derajat kebebasan. Tetapi sistem ini adalah yang paling sederhana, memungkinkan seseorang memperoleh rumus perhitungan dalam bentuk akhir untuk menentukan frekuensi getaran, amplitudo, dan defleksi dinamis.

y Lendutan balok akibat gaya inersia:

hal 2 =1 (1)

Tanda (-) pada persamaan (1) disebabkan oleh gaya dan satuan inersia. gerakannya berlawanan arah.

Kami percaya bahwa getaran massa terjadi menurut hukum harmonik:

(2)

Mari kita cari percepatan gerak massa:

(3)

Mengganti ekspresi (2) dan (3) ke dalam persamaan (1) kita memperoleh:

(5)

Kami menganggap amplitudo osilasi A 1 dan A 2 tidak diketahui, dan kami mengubah persamaannya:

(6)

Penyelesaian sistem persamaan homogen A 1 = A 2 =0 tidak cocok untuk kita; untuk mendapatkan solusi bukan nol, kita menyamakan determinan sistem (6) dengan nol:

(7)

Mari kita ubah persamaan (8), dengan mempertimbangkan frekuensi melingkar osilasi alami  tidak diketahui:

Persamaan (9) disebut persamaan biharmonik osilasi bebas sistem dengan dua derajat kebebasan.

Mengganti variabel  2 =Z, kita dapatkan

dari sini kita tentukan Z 1 dan Z 2.

Hasilnya, kesimpulan berikut dapat diambil:

1. Getaran bebas sistem dengan dua derajat kebebasan terjadi dengan dua frekuensi  1 dan  2. Frekuensi yang lebih rendah 1 disebut nada dasar atau nada dasar, frekuensi yang lebih tinggi 2 disebut frekuensi kedua atau nada atas.

Getaran bebas sistem dengan n derajat kebebasan adalah n-nada, terdiri dari n getaran bebas.

2. Pergerakan massa m 1 dan m 2 dinyatakan dengan rumus berikut:

yaitu jika osilasi terjadi dengan frekuensi  1, maka pada suatu waktu gerakan massa mempunyai tanda yang sama.

Jika osilasi hanya terjadi dengan frekuensi  2, maka pergerakan massa pada suatu waktu mempunyai tanda yang berlawanan.

Dengan osilasi simultan massa dengan frekuensi  1 dan  2, sistem terutama berosilasi pada frekuensi  1 dan nada tambahan dengan frekuensi  2 cocok dengan osilasi ini.

Jika suatu sistem dengan dua derajat kebebasan dikenai gaya penggerak dengan frekuensi , maka:

  0,7  1 .

Kuliah 9

Osilasi sistem dengan jumlah derajat kebebasan tak terhingga.

Teori getaran mekanis memiliki penerapan yang banyak dan sangat beragam di hampir semua bidang teknologi. Terlepas dari tujuan dan solusi desain berbagai sistem mekanis, getarannya tunduk pada hukum fisika yang sama, yang studinya merupakan pokok bahasan teori getaran sistem elastis. Teori osilasi linier telah dikembangkan sepenuhnya. Teori osilasi sistem dengan beberapa derajat kebebasan diberikan kembali pada abad ke-18 oleh Lagrange dalam karya klasiknya “Analytical Mechanics”.

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) - profesor matematika di Turin sejak usia 19 tahun. Sejak 1759 - anggota, dan sejak 1766 - presiden Akademi Ilmu Pengetahuan Berlin; dari tahun 1787 dia tinggal di Paris. Pada tahun 1776 ia terpilih sebagai anggota asing kehormatan Akademi Ilmu Pengetahuan St.

Pada akhir abad ke-19, Rayleigh meletakkan dasar bagi teori linier osilasi sistem dengan derajat kebebasan tak terhingga (yaitu, dengan distribusi massa kontinu ke seluruh volume sistem yang dapat dideformasi). Pada abad ke-20, teori linier bisa dikatakan telah selesai (metode Bubnov-Galerkin, yang juga memungkinkan penentuan frekuensi osilasi yang lebih tinggi dengan menggunakan pendekatan yang berurutan).

John William Strett (Lord Rayleigh) (1842 - 1919) - Fisikawan Inggris, penulis sejumlah karya tentang teori osilasi.

Ivan Grigorievich Bubnov (1872 - 1919) - salah satu pendiri mekanika struktur kapal. Profesor di Institut Politeknik St. Petersburg, sejak 1910 - di Akademi Maritim.

Boris Grigorievich Galerkin (1871-1945) - profesor di Institut Politeknik Leningrad.

Rumus Rayleigh paling populer dalam teori getaran dan stabilitas sistem elastis. Ide yang mendasari penurunan rumus Rayleigh adalah sebagai berikut. Dengan osilasi bebas monoharmonik (satu nada) dari sistem elastis dengan frekuensi , pergerakan titik-titiknya terjadi dalam waktu sesuai dengan hukum harmonik:

dimana  1 (x,y,z),  2 (x,y,z),  3 (x,y,z) merupakan fungsi koordinat spasial suatu titik yang menentukan bentuk osilasi yang bersangkutan (amplitudo).

Jika fungsi-fungsi ini diketahui, maka frekuensi getaran bebas dapat dicari dengan syarat jumlah energi kinetik dan energi potensial benda adalah konstan. Kondisi ini menghasilkan persamaan yang hanya memuat satu besaran yang tidak diketahui.

Namun fungsi-fungsi tersebut belum diketahui sebelumnya. Gagasan utama metode Rayleigh adalah untuk menentukan fungsi-fungsi ini, mencocokkan pilihannya dengan kondisi batas dan bentuk getaran yang diharapkan.

Mari kita perhatikan lebih rinci implementasi gagasan ini untuk getaran lentur bidang suatu batang; bentuk getaran dijelaskan oleh fungsi =(x). Osilasi bebas digambarkan dengan ketergantungan

energi potensial batang bengkok

(2)

energi kinetik

(3)

Di mana aku- panjang batang, m=m(x) intensitas massa batang yang terdistribusi;

Kelengkungan sumbu lengkung batang; - kecepatan getaran transversal.

Diberikan (1)

.

(4)

(5)

Seiring waktu, masing-masing besaran ini terus berubah, tetapi menurut hukum kekekalan energi, jumlahnya tetap konstan, yaitu.

atau dengan mengganti ekspresi (4), (5) di sini

(7)

Hal ini mengarah pada rumus Rayleigh:

(8)

Jika beban terpusat bermassa M i dihubungkan pada sebuah batang bermassa terdistribusi m, maka rumus Rayleigh berbentuk:

(9)

Keseluruhan proses penurunan menunjukkan bahwa, dalam kerangka asumsi yang diterima (validitas teori teknis pembengkokan batang, tidak adanya hambatan inelastis), rumus ini akurat jika (x) adalah bentuk getaran yang sebenarnya. . Namun, fungsinya(x) tidak diketahui sebelumnya. Arti praktis dari rumus Rayleigh adalah dapat digunakan untuk mencari frekuensi natural, jika diketahui bentuk getarannya(x). Pada saat yang sama, elemen kedekatan yang kurang lebih serius dimasukkan ke dalam keputusan tersebut. Oleh karena itu, rumus Rayleigh terkadang disebut rumus perkiraan.

m=cosnt Mari kita ambil fungsi berikut sebagai bentuk getaran:(x)=ax 2, yang memenuhi kondisi batas kinematik dari soal tersebut.

Kami mendefinisikan:

Menurut rumus (8)

Hasil ini berbeda secara signifikan dari hasil sebenarnya

Yang lebih akurat adalah rumus Grammel, yang belum sepopuler rumus Rayleigh (mungkin karena relatif “muda” - rumus ini diusulkan pada tahun 1939).

Mari kita kembali membahas masalah yang sama tentang getaran lentur bebas sebuah batang.

Misalkan (x) adalah bentuk tertentu dari osilasi bebas batang. Kemudian intensitas gaya inersia maksimum ditentukan oleh persamaan m 2 , dimana, seperti sebelumnya, m=m(x) adalah intensitas massa batang yang terdistribusi;  2 adalah kuadrat frekuensi alami. Gaya-gaya ini mencapai nilai yang ditentukan pada saat defleksi maksimum, yaitu. ditentukan oleh fungsi(x).

Mari kita tuliskan ekspresi energi lentur potensial tertinggi dalam bentuk momen lentur yang disebabkan oleh gaya inersia maksimum:

. (10)

Di Sini - momen lentur akibat beban m 2 . Mari kita nyatakan momen lentur yang disebabkan oleh beban bersyarat m, yaitu.  2 kali lebih kecil dari gaya inersia.

, (11)

dan ekspresi (10) dapat ditulis sebagai:

. (12)

Energi kinetik tertinggi, sama seperti di atas

. (13)

Menyamakan ekspresi (12) dan (13) kita sampai pada rumus Grammel:

(14)

Untuk menghitung menggunakan rumus ini, Anda harus terlebih dahulu menentukan fungsi yang sesuai (x). Setelah ini, beban bersyarat m=m(x)(x) ditentukan dan ekspresi lentur yang disebabkan oleh beban bersyarat m ditulis. Dengan menggunakan rumus (14), frekuensi osilasi alami sistem ditentukan.

Contoh: (pertimbangkan yang sebelumnya)

kamu

m(x)·(x)=maks 2

Mari kita perhatikan osilasi kecil suatu sistem dengan dua derajat kebebasan, yang dipengaruhi oleh gaya medan potensial dan gaya yang berubah secara berkala terhadap waktu. Pergerakan sistem yang dihasilkan disebut osilasi paksa.

Biarkan gaya-gaya umum yang mengganggu berubah menurut hukum harmonik terhadap waktu, mempunyai periode dan fase awal yang sama. Maka persamaan gerak sistem yang ditinjau akan berbentuk:

Persamaan gerak dalam kasus yang dibahas adalah sistem persamaan diferensial linier orde dua dengan koefisien konstan dan ruas kanan.

Pergi ke koordinat utama

Untuk memudahkan mempelajari persamaan gerak, mari kita beralih ke koordinat utama sistem. Hubungan antar koordinat ditentukan oleh rumus paragraf sebelumnya dalam bentuk:

Mari kita nyatakan dengan gaya-gaya umum yang sesuai dengan koordinat normal. Karena gaya-gaya umum mewakili koefisien untuk variasi yang sesuai dari koordinat umum dalam ekspresi kerja dasar gaya-gaya yang bekerja pada sistem, maka

Karena itu:

Dengan demikian, persamaan gerak pada koordinat utama berbentuk:

Persamaan osilasi paksa suatu sistem dengan dua derajat kebebasan pada koordinat normal tidak bergantung satu sama lain dan dapat diintegrasikan secara terpisah.

Frekuensi kritis dari kekuatan pengganggu

Persamaan atau menentukan sifat osilasi dari perubahan koordinat normal, dipelajari secara rinci ketika mempertimbangkan osilasi paksa suatu titik sepanjang garis lurus, karena persamaan diferensial gerak dalam kedua kasus adalah sama. Khususnya, jika frekuensi gaya pengganggu sama dengan frekuensi salah satu osilasi alami sistem, atau maka penyelesaiannya akan memasukkan waktu t sebagai faktornya. Akibatnya, salah satu koordinat umum normal untuk t yang cukup besar akan menjadi besar, atau kita mempunyai fenomena resonansi.

Osilasi dengan beberapa derajat kebebasan.

Informasi singkat dari teori.

Sistem dengan n kekuatankebebasan dalam dinamika, merupakan kebiasaan untuk menyebut sistem seperti itu, untuk sepenuhnya memperbaiki keadaan geometris yang setiap saat perlu diatur P parameter, misalnya posisi (defleksi) P poin. Posisi titik lainnya ditentukan dengan teknik statis konvensional.

Contoh sistem dengan P derajat kebebasan dapat berupa balok atau rangka datar jika massa masing-masing bagian atau elemennya secara kondisional (untuk memudahkan perhitungan dinamis) dianggap terkonsentrasi di P poin, atau jika ia membawa n massa besar (mesin, motor), dibandingkan dengan berat elemennya sendiri yang dapat diabaikan. Jika massa individu yang terkonsentrasi (“titik”) dapat, ketika berosilasi, bergerak ke dua arah, maka jumlah derajat kebebasan sistem akan sama dengan jumlah ikatan yang harus diterapkan pada sistem untuk menghilangkan perpindahan. dari semua massa.

Jika suatu sistem dengan n derajat kebebasan dikeluarkan dari kesetimbangan, maka sistem tersebut akan berkomitmen getaran bebas, dan setiap "titik" (massa) akan melakukan osilasi poliharmonik kompleks seperti:

Konstanta A Saya dan B Saya bergantung pada kondisi awal gerak (penyimpangan massa dari tingkat statis dan kecepatan pada momen waktu T=0). Hanya dalam beberapa kasus khusus eksitasi osilasi, gerak poliharmonik untuk massa individu dapat berubah menjadi harmonik, yaitu. seperti dalam sistem dengan satu derajat kebebasan:

Banyaknya frekuensi natural suatu sistem sama dengan jumlah derajat kebebasannya.

Untuk menghitung frekuensi alami, perlu menyelesaikan apa yang disebut determinan frekuensi, yang ditulis dalam bentuk ini:

Kondisi ini dalam bentuk yang diperluas memberikan persamaan P derajat untuk menentukan P nilai ω 2, yang disebut persamaan frekuensi.

Melalui δ 11, δ 12, δ 22, dst. kemungkinan gerakan ditunjukkan. Jadi, δ 12 adalah perpindahan ke arah pertama titik letak massa pertama dari satuan gaya yang diterapkan pada arah kedua ke titik lokasi massa kedua, dan seterusnya.

Dengan dua derajat kebebasan, persamaan frekuensinya berbentuk:

Dimana untuk dua frekuensi kita mempunyai:

Dalam kasus ketika massa individu M Saya juga dapat melakukan gerakan rotasi atau gerakan rotasi saja yang dikombinasikan dengan gerakan linier Saya-koordinat tersebut adalah sudut rotasi, dan penentu frekuensi adalah massa

M Saya harus digantikan dengan momen inersia massa J Saya; karenanya, kemungkinan pergerakan ke arah tersebut Saya koordinat -th ( δ Saya 2 , δ Saya 2 dll.) akan menjadi gerakan sudut.

Jika ada massa yang berosilasi ke beberapa arah - Saya-mu dan k-th (misalnya vertikal dan horizontal), maka massa tersebut berpartisipasi dalam determinan beberapa kali di bawah angka M Saya mereka k dan itu sesuai dengan beberapa kemungkinan pergerakan ( δ ii, δ kk, δ ik, dll.).

Perhatikan bahwa setiap frekuensi alami memiliki bentuk osilasi khusus (sifat sumbu lengkung, garis defleksi, perpindahan, dll.), yang dalam kasus-kasus khusus dapat berubah menjadi bentuk osilasi yang valid, jika hanya bebas osilasi tereksitasi dengan benar (pemilihan impuls yang tepat, titik penerapannya, dll.). Dalam hal ini sistem akan berosilasi menurut hukum gerak sistem dengan satu derajat kebebasan.

Dalam kasus umum, sebagai berikut dari ekspresi (9.1), sistem melakukan osilasi poliharmonik, tetapi jelas bahwa setiap garis elastis kompleks, yang mencerminkan pengaruh semua frekuensi alami, dapat didekomposisi menjadi komponen-komponen individual dari bentuk, masing-masing yang sesuai dengan frekuensinya sendiri Proses penguraian mode getaran sebenarnya menjadi komponen-komponen (yang diperlukan ketika memecahkan masalah kompleks dinamika struktural) disebut dekomposisi menjadi mode getaran alami.

Jika dalam setiap massa, lebih tepatnya - dalam arah setiap derajat kebebasan, gaya pengganggu diterapkan, yang berubah-ubah terhadap waktu sesuai dengan hukum harmonik

atau, yang tidak berbeda untuk tujuan lebih lanjut, dan amplitudo gaya untuk setiap massa berbeda, dan frekuensi serta fasenya sama, maka dengan aksi gaya pengganggu yang berkepanjangan, sistem akan melakukan osilasi paksa dalam keadaan tunak dengan frekuensi dari kekuatan pendorong. Amplitudo gerakan ke segala arah Saya-gelar itu dalam hal ini adalah:

dimana determinan D ditulis menurut (9.2) dengan ω diganti dengan θ dan, oleh karena itu, D≠0; D Saya ditentukan oleh ekspresi:

itu. Saya Kolom ke-th determinan D diganti dengan kolom yang terdiri dari suku-suku yang berbentuk: Untuk kasus dua derajat kebebasan: (9.6)

Dan demikian pula

Saat menghitung getaran paksa balok dengan penampang konstan yang membawa massa terkonsentrasi (Gbr. 9.1).

Namun akan lebih mudah untuk menggunakan rumus berikut untuk amplitudo defleksi, sudut rotasi, momen lentur dan gaya geser pada setiap bagian balok:

(9.7)

Di mana kamu 0 , φ 0 , M 0 , Q 0 – amplitudo defleksi, rotasi, momen dan gaya geser pada penampang awal (parameter awal); saya Dan Ji- massa dan momen inersianya (massa terkonsentrasi); tanda ∑ berlaku untuk semua gaya dan massa terkonsentrasi yang terletak dari bagian awal hingga subjek.

Rumus yang ditunjukkan (9.7) juga dapat digunakan saat menghitung frekuensi alami, sehingga perlu memperhitungkan gaya pengganggu ∑ RSaya dan momen ∑ MSaya sama dengan nol, ganti frekuensi osilasi paksa θ dengan frekuensi osilasi alami ω dan, dengan asumsi adanya osilasi (osilasi bebas), tuliskan ekspresi (9.7) dalam kaitannya dengan bagian di mana massa terkonsentrasi berada dan amplitudo sudah diketahui ( bagian referensi, sumbu simetri, dll.). Kami memperoleh sistem persamaan linear homogen. Menyamakan determinan sistem ini dengan nol, kita akan dapat menghitung frekuensi natural.

Ternyata disarankan untuk menggunakan ekspresi (9.4) dan (9.5) untuk menentukan amplitudo ( kamu 0 , φ 0 , dll.) di X=0, dan kemudian menggunakan (9.7) hitung semua elemen defleksi lainnya.

Yang lebih kompleks adalah masalah penghitungan pergerakan suatu sistem dengan beberapa derajat kebebasan di bawah aksi beban sewenang-wenang yang berubah seiring waktu dan diterapkan pada berbagai massa.

Saat memecahkan masalah seperti itu, Anda harus melakukan hal berikut:

a) menentukan frekuensi alami dan modus getaran alami;

b) mengelompokkan kembali beban tertentu di antara massa atau, seperti yang mereka katakan, menguraikannya menurut mode getaran alami. Jumlah kelompok beban sama dengan jumlah frekuensi alami sistem;

c) setelah melakukan dua operasi bantu di atas, buatlah perhitungan untuk setiap kelompok beban dengan menggunakan rumus yang diketahui dari teori osilasi suatu sistem dengan satu derajat kebebasan, dan frekuensi osilasi alami dalam rumus ini diambil menjadi satu. yang sesuai dengan grup beban ini;

d) solusi parsial dari setiap kategori beban dijumlahkan, yang menentukan solusi akhir dari masalah tersebut.

Penentuan frekuensi alami dilakukan menurut (9.2). Adapun untuk mengidentifikasi bentuk-bentuk getaran alam, di sini perlu berpedoman pada sifat dasar segala bentuk getaran alam, yaitu mewakili garis pengaruh pembelokan gaya-gaya (yang jumlahnya sama dengan jumlah gaya). derajat kebebasan) sebanding dengan hasil kali massa dan ordinat defleksi titik-titik keterikatan massa. Untuk massa yang sama, bentuk getaran alami adalah garis defleksi dari gaya-gaya yang sebanding dengan ordinat defleksi; diagram beban mirip dengan diagram defleksi.

Frekuensi terendah merupakan bentuk getaran yang paling sederhana. Untuk balok, paling sering bentuk ini berhubungan erat dengan sumbu lengkung sistem di bawah pengaruh beratnya sendiri. Jika struktur ini ternyata kurang kaku ke segala arah, misalnya pada horizontal, maka untuk mengidentifikasi sifat sumbu lengkung yang diinginkan, seseorang harus menerapkan bobotnya sendiri ke arah ini secara kondisional.

MEKANIKA TEORITIS

UDC 531.8:621.8

D.M.Kobylyansky, V.F.Gorbunov, V.A

KOMPATIBILITAS ROTASI DAN GETARAN BADAN DENGAN SATU DERAJAT KEBEBASAN

Mari kita perhatikan benda datar T, yang dikenakan tiga batasan ideal, yang hanya mencegah pergerakan benda ke segala arah, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1a. Sambungannya adalah titik A, B, C yang terletak pada titik sudut segitiga sama sisi. Setelah memilih sistem koordinat sehingga pusatnya berimpit dengan pusat segitiga dan sejajar dengannya (Gbr. 1a), kita memiliki koordinat koneksi: A(0;R), B(^l/3 /2 ; -R/2), C^-Ld/e /2; -I/2), dimana I adalah jarak pusat segitiga ke titik sudutnya, yaitu jari-jari lingkaran yang melalui titik A, B, C. Pada posisi ini, benda mempunyai satu derajat kebebasan hanya jika garis normal batasnya di titik A, B, C berpotongan di satu titik, yang merupakan pusat kecepatan sesaat. Jika tidak, jumlah derajat kebebasan suatu benda adalah nol dan tidak hanya dapat bergerak translasi, tetapi juga melakukan gerak rotasi. Ketika suatu benda mempunyai satu derajat kebebasan, ia dapat mulai berputar dengan pusat rotasi sesaat pada titik perpotongan garis normal di atas. Misalkan titik ini adalah titik asal koordinat, titik O. Jika pusat rotasi sesaat tidak berubah posisinya, maka satu-satunya kemungkinan bentuk benda T adalah lingkaran berjari-jari R yang berpusat di titik O.

Permasalahan yang timbul: apakah ada bentuk benda lain yang memungkinkannya berputar relatif terhadap suatu pusat yang bergerak sehingga

apakah benda tersebut terus menerus melewati tiga titik A, B, C tanpa memutus hubungan tersebut? Dalam literatur yang kita kenal, masalah seperti itu belum dipertimbangkan dan, tampaknya, baru pertama kali dipecahkan.

Untuk menyelesaikan masalah ini, pertama-tama kita perhatikan pergerakan segitiga ABC sebagai benda tegar, relatif terhadap sistem koordinat X1O1Y1 yang berhubungan dengan benda T (Gbr. 1b). Kemudian, jika pergerakan segitiga terjadi sedemikian rupa sehingga titik sudutnya tetap berada pada batas benda selama rotasi penuh segitiga sebesar 360°, maka benda tersebut juga akan melakukan gerakan yang diperlukan secara terbalik terhadap benda tetap. segitiga ABC dan sistem koordinat terkait XOU.

Kita mendefinisikan pergerakan segitiga ABC sebagai rotasi relatif terhadap pusat O dan pergerakan pusat O sepanjang sumbu ОіХі sebesar /(g), sepanjang sumbu ОіУі sebesar g(t). Maka persamaan parametrik lintasan titik A akan berbentuk: x = ryaSh +/(r); kamu=г-єо,?֑ +g(t), ϑє (1)

Karena pada g=0 titik O harus berimpit dengan titik O1, maka kondisi /(0)= g(0)=0 harus dipenuhi. Disyaratkan ketika diputar membentuk sudut r = 2n/3, titik A berimpit dengan titik B1, titik B berimpit dengan titik C, dan titik C

Dengan poin A1. Saat berbelok melalui sudut r = 4n/3, titik A harus menuju titik C1, titik B ke titik A1, dan titik C ke titik B1. Menggabungkan persyaratan pergerakan titik sudut segitiga ini menghasilkan kondisi nilai fungsi pergerakan pusat rotasi /(0)=/(2 p/3)=/(4 p/3)= 0; g0)=g(2l/3)=g(4l/3)=0 . (2) Kondisi (2) dipenuhi oleh berbagai kelas fungsi, khususnya fungsi yang berbentuk sin(3mt/2), dimana m adalah bilangan bulat, dan kombinasi liniernya dengan koefisien variabel umum dalam bentuk:

H (g) = ^ bt (g) 8Іп(3т֑ / 2)

Apalagi sebagai

Gambar.1. Skema perhitungan: a) - posisi benda diam dan hubungannya dalam sistem XOU; b) - posisi sistem tetap X1O1U1 yang berhubungan dengan benda, dan sistem bergerak XOU yang berhubungan dengan segitiga ABC

Mekanika teoretis

Gambar.2. Bentuk benda dan lintasan gerak pusat rotasinya

Beras. 3. Posisi benda ketika berputar membentuk suatu sudut dan sesuai lintasan gerak pusat putarannya

fungsi perpindahan, fungsi yang mendefinisikan kurva tertutup, seperti sikloid, trokoid, lemniskat, dengan parameter yang sesuai dengan kondisi (2) dapat diambil. Dalam hal ini, semua fungsi yang mungkin harus periodik dengan periode 2n/3.

Jadi, sistem persamaan parametrik (1) dengan kondisi nilai fungsi /(^, g(t) (2) atau dalam bentuknya (3) memberikan persamaan yang diinginkan untuk batas benda T. Gambar 2 menunjukkan contoh kemungkinan bentuk benda yang memenuhi kondisi tugas. Di tengah setiap gambar, lintasan pusat rotasi O1 ditampilkan, dan sambungan titik A, B, C diperbesar untuk visualisasi yang lebih baik menunjukkan bahwa bahkan jenis fungsi sederhana dari kelas yang ditentukan oleh ekspresi (3) dengan koefisien konstan memberikan kita serangkaian kurva yang cukup luas yang menggambarkan batas-batas benda yang mengalami rotasi dan

osilasi serentak dengan hanya satu derajat kebebasan. Kurva batas a), c) pada Gambar 2 sesuai dengan pergerakan pusat rotasi hanya sepanjang sumbu horizontal

Menurut hukum harmonik, dan seperti dapat dilihat, ia memiliki dua sumbu simetri dan dapat berbentuk cembung murni, lonjong (Gbr. 2a), atau menggabungkan konveksitas dengan cekung (Gbr. 2b). Dengan hukum harmonik vertikal dan horizontal dengan amplitudo pergerakan pusat rotasi yang sama, kurva batas kehilangan simetrinya (Gbr. 2 c, d). Pengaruh signifikan frekuensi getaran harmonik terhadap bentuk kurva batas suatu benda ditunjukkan pada Gambar 2 d, f. Tanpa melakukan analisis lengkap mengenai pengaruh amplitudo dan frekuensi terhadap bentuk dan sifat geometri batas kurva dalam karya ini, saya ingin mencatat bahwa contoh yang disajikan pada Gambar 2 sudah menunjukkan kemampuan untuk memecahkan masalah teknis dalam memilih bentuk yang diinginkan

benda untuk menggabungkan gerak rotasinya dengan osilasi pada bidang rotasi.

Sekarang dengan memperhatikan pergerakan benda relatif terhadap sistem koordinat tetap XOU yang dihubungkan dengan segitiga ABC, yaitu berpindah dari sistem koordinat X1O1U1 ke sistem koordinat XOU, kita memperoleh persamaan parametrik kurva batas benda berikut di a sudut rotasi tertentu p x = cosp-

Polisi(4)

atau dengan memperhatikan persamaan (1), persamaan (4) berbentuk x = cosp-

- [ R cos(t) + g (t) - g (p)] sin p, y = sin p +

Karena hal.

Persamaan (5) memungkinkan untuk menggambarkan lintasan suatu titik pada benda menurut polaritasnya

t-g.i m*4<. п-і

t-ÍLÍtWM. d-0

Beras. 4. Varian bentuk benda dengan jumlah sambungan yang berbeda-beda, menjamin kesesuaian putaran dan getaran benda

koordinat akhir R,t. Khususnya, pada R=0, t=0 kita mempunyai titik yang bertepatan dengan titik asal koordinat Ob, yaitu pusat rotasi, yang lintasannya dalam skema yang dipertimbangkan dijelaskan oleh persamaan berikut dari (5) :

*0 = -f (ph) cos ph + g (ph) sin ph, y0 = - f (ph) sin ph- g (ph) cos r.

Gambar 3 menunjukkan contoh posisi benda (Gambar 2b) ketika diputar membentuk sudut φ, dan di tengah setiap gambar ditampilkan lintasan pusat rotasi.

Oi, sesuai dengan rotasi benda melalui sudut ini. Secara teknis membuat animasi tidaklah sulit

gerakan tubuh yang ditunjukkan pada Gambar 3 alih-alih model fisik, namun kerangka artikel jurnal hanya memungkinkan hal ini dalam versi elektronik. Contoh yang ditampilkan masih

Generalisasi dari masalah yang dipertimbangkan adalah sistem n koneksi ideal berupa titik-titik yang terletak di titik-titik sudut segitiga beraturan, hanya mencegah gerak translasi benda. Oleh karena itu, seperti halnya segitiga, benda dapat mulai berputar relatif terhadap pusat rotasi, yang merupakan titik perpotongan garis normal terhadap batas benda pada titik-titik sambungan. Dalam hal ini persamaan lintasan suatu titik benda A yang terletak pada sumbu OU dan terletak pada jarak H dari pusat rotasi akan berbentuk sama seperti (1). Kondisi nilai fungsi perpindahan pusat rotasi (2) dalam hal ini akan diambil

Kobylyansky Gorbunov

Dmitry Mikhailovich Valery Fedorovich

Mahasiswa pascasarjana departemen. stasioner dan - dok. teknologi. sains, prof. departemen ratus

kendaraan pengangkut, kendaraan stasioner dan kendaraan pengangkut

f(2kp/p)=g(2kp/p)=0. (7)

Kondisi (7) sesuai dengan fungsi periodik dengan periode 2n/n, misalnya 8m(n-m4/2), serta kombinasi liniernya dalam bentuk (3) dan fungsi lain yang menggambarkan kurva tertutup. Penalaran serupa dengan yang disebutkan di atas mengarah pada persamaan yang sama (4-6), yang memungkinkan untuk menghitung bentuk benda, posisinya selama rotasi dan lintasan pusat rotasi dengan osilasi benda yang konsisten dengan rotasi. . Contoh perhitungan tersebut adalah Gambar 4, dimana garis putus-putus menunjukkan posisi awal benda, garis padat menunjukkan posisi benda ketika berputar dengan sudut l/3, dan di tengah setiap gambar adalah lintasan lengkap pusat rotasi selama rotasi penuh benda. Dan meskipun dalam contoh ini hanya pergerakan horizontal dari pusat rotasi O, sebagai pusat n-gon, yang dipertimbangkan, hasil yang diperoleh menunjukkan berbagai kemungkinan bentuk benda dengan satu derajat kebebasan, menggabungkan gerak rotasi dengan osilasi dengan adanya empat, lima dan enam sambungan.

Metode yang dihasilkan untuk menghitung kesesuaian gerak rotasi dan osilasi benda dengan satu derajat kebebasan juga dapat digunakan tanpa tambahan apa pun untuk benda spasial yang pergerakan sepanjang koordinat ketiga dan rotasi pada bidang koordinat lain dilarang.

Gogolin Vyacheslav Anatolyevich

Dr. teknologi. sains, prof. departemen matematikawan terapan dan