Ini adalah bagian matematika yang cukup menarik yang pasti ditemui oleh semua lulusan dan siswa. Namun, tidak semua orang menyukai matan. Beberapa bahkan tidak dapat memahami hal-hal mendasar seperti studi fungsi yang tampaknya standar. Artikel ini dimaksudkan untuk memperbaiki kekeliruan tersebut. Ingin mempelajari lebih lanjut tentang analisis fungsi? Ingin tahu apa itu titik ekstrem dan bagaimana cara menemukannya? Maka artikel ini untuk Anda.
Mempelajari grafik suatu fungsi
Pertama, perlu dipahami mengapa Anda perlu menganalisis grafik. Ada fungsi sederhana yang tidak sulit untuk digambar. Contoh mencolok dari fungsi tersebut adalah parabola. Menggambar grafik tidak akan sulit. Yang diperlukan hanyalah, dengan menggunakan transformasi sederhana, mencari bilangan yang fungsinya bernilai 0. Dan pada prinsipnya, hanya ini yang perlu Anda ketahui untuk menggambar grafik parabola.
Namun bagaimana jika fungsi yang kita perlukan untuk membuat grafik jauh lebih kompleks? Karena sifat-sifat fungsi kompleks tidak begitu jelas, analisis menyeluruh perlu dilakukan. Hanya setelah ini fungsinya dapat digambarkan secara grafis. Bagaimana cara melakukannya? Anda dapat menemukan jawaban atas pertanyaan ini di artikel ini.
Rencana Analisis Fungsi
Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah melakukan studi fungsi secara dangkal, di mana kita menemukan domain definisinya. Jadi, mari kita mulai secara berurutan. Domain definisi adalah himpunan nilai yang digunakan untuk mendefinisikan suatu fungsi. Sederhananya, ini adalah bilangan yang dapat digunakan dalam suatu fungsi selain x. Untuk menentukan cakupannya, Anda hanya perlu melihat catatannya. Misalnya, jelas bahwa fungsi y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 mempunyai domain definisi yaitu himpunan bilangan real. Nah, dengan fungsi seperti (x 2 - 2x)/x semuanya sedikit berbeda. Karena bilangan penyebutnya tidak boleh sama dengan 0, maka daerah definisi fungsi ini adalah semua bilangan real selain nol.
Selanjutnya, Anda perlu menemukan apa yang disebut nol dari fungsi tersebut. Ini adalah nilai argumen di mana seluruh fungsi mengambil nilai nol. Untuk melakukan ini, perlu menyamakan fungsinya dengan nol, mempertimbangkannya secara detail dan melakukan beberapa transformasi. Mari kita ambil fungsi yang sudah familiar y(x) = (x 2 - 2x)/x. Dari pelajaran di sekolah kita mengetahui bahwa pecahan sama dengan 0 jika pembilangnya sama dengan nol. Oleh karena itu, kita membuang penyebutnya dan mulai mengerjakan pembilangnya, menyamakannya dengan nol. Kita peroleh x 2 - 2x = 0 dan keluarkan x dari tanda kurung. Oleh karena itu x (x - 2) = 0. Hasilnya, kita menemukan bahwa fungsi kita sama dengan nol jika x sama dengan 0 atau 2.
Saat memeriksa grafik suatu fungsi, banyak orang menemui masalah berupa titik ekstrem. Dan itu aneh. Bagaimanapun, hal ekstrem adalah topik yang cukup sederhana. Tidak percaya padaku? Buktikan sendiri dengan membaca bagian artikel ini, yang akan membahas tentang poin minimum dan maksimum.
Pertama, ada baiknya memahami apa itu ekstrem. Ekstrem adalah nilai limit yang dicapai suatu fungsi pada suatu grafik. Ternyata ada dua nilai ekstrem - maksimum dan minimum. Untuk lebih jelasnya, Anda dapat melihat gambar di atas. Di daerah yang diteliti, titik -1 adalah maksimum dari fungsi y (x) = x 5 - 5x, dan oleh karena itu, titik 1 adalah minimum.
Juga, jangan bingung konsepnya. Titik ekstrem suatu fungsi adalah argumen di mana suatu fungsi memperoleh nilai ekstrem. Pada gilirannya, ekstrem adalah nilai minimum dan maksimum suatu fungsi. Misalnya, perhatikan kembali gambar di atas. -1 dan 1 adalah titik ekstrem dari fungsi tersebut, dan 4 dan -4 adalah titik ekstremnya sendiri.
Menemukan titik ekstrem
Tapi bagaimana cara mencari titik ekstrem suatu fungsi? Semuanya cukup sederhana. Hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari turunan persamaan tersebut. Katakanlah kita mendapat tugas: “Temukan titik ekstrem dari fungsi y (x), x adalah argumennya. Untuk lebih jelasnya, mari kita ambil fungsi y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. Mari kita bedakan dan dapatkan persamaan berikut: 3x 2 + 4x + 1. Hasilnya, kita memiliki persamaan kuadrat standar. Yang perlu dilakukan selanjutnya hanyalah menyamakannya dengan nol dan mencari akar-akarnya = 16 - 12 = 4), persamaan ini ditentukan oleh dua akar. Kita mencarinya dan mendapatkan dua nilai: 1/3 dan -1. Ini akan menjadi titik ekstrem dari fungsi tersebut adalah siapa? Titik mana yang maksimum dan mana yang minimum? Untuk melakukan ini, Anda perlu mengambil titik tetangga dan mencari nilainya, ambil angka -2, yang terletak di sebelah kiri sepanjang garis koordinat dari -. 1. Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan kita y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Hasilnya, kita mendapatkan bilangan positif. Artinya pada interval dari 1/3 ke -1 fungsinya bertambah. Artinya, pada interval dari minus tak terhingga hingga 1/3 dan dari -1 hingga plus tak terhingga, fungsinya menurun. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa angka 1/3 adalah titik minimum fungsi pada interval yang diteliti, dan -1 adalah titik maksimum.
Perlu juga dicatat bahwa Ujian Negara Bersatu tidak hanya memerlukan pencarian titik ekstrem, tetapi juga melakukan beberapa jenis operasi dengannya (menambah, mengalikan, dll.). Oleh karena itu, perhatian khusus perlu diberikan pada kondisi permasalahan. Memang, karena kurangnya perhatian, Anda bisa kehilangan poin.
Dari artikel ini pembaca akan belajar tentang apa itu nilai fungsional ekstrem, serta ciri-ciri penggunaannya dalam kegiatan praktis. Mempelajari konsep seperti itu sangat penting untuk memahami dasar-dasar matematika tingkat tinggi. Topik ini sangat penting untuk mempelajari kursus lebih dalam.
Dalam kontak dengan
Apa itu ekstrem?
Dalam kursus sekolah, banyak definisi tentang konsep “ekstrim” yang diberikan. Artikel ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman terdalam dan jelas tentang istilah tersebut bagi mereka yang tidak mengetahui masalah tersebut. Jadi, istilah tersebut dipahami sejauh mana interval fungsional memperoleh nilai minimum atau maksimum pada suatu himpunan tertentu.
Ekstrem adalah nilai minimum suatu fungsi dan nilai maksimum pada saat yang bersamaan. Ada titik minimum dan titik maksimum, yaitu nilai ekstrim argumen pada grafik. Ilmu-ilmu utama yang menggunakan konsep ini adalah:
- statistik;
- kontrol mesin;
- ekonometrika.
Titik ekstrem berperan penting dalam menentukan barisan suatu fungsi tertentu. Sistem koordinat pada grafik paling baik menunjukkan perubahan posisi ekstrim tergantung pada perubahan fungsi.
Ekstrem dari fungsi turunan
Ada juga fenomena “turunan”. Penting untuk menentukan titik ekstrem. Penting untuk tidak mengacaukan titik minimum dan maksimum dengan nilai tertinggi dan terendah. Ini adalah konsep yang berbeda, meskipun mungkin tampak serupa.
Nilai fungsi merupakan faktor utama dalam menentukan cara mencari titik maksimum. Turunannya tidak terbentuk dari nilai-nilai, tetapi semata-mata dari posisi ekstrimnya dalam suatu tatanan tertentu.
Turunannya sendiri ditentukan berdasarkan titik ekstrem tersebut, dan bukan berdasarkan nilai terbesar atau terkecil. Di sekolah-sekolah Rusia, garis antara kedua konsep ini tidak ditarik dengan jelas, sehingga mempengaruhi pemahaman topik ini secara umum.
Sekarang mari kita pertimbangkan konsep seperti “ekstrim akut”. Saat ini, terdapat nilai minimum akut dan nilai maksimum akut. Definisi tersebut diberikan sesuai dengan klasifikasi titik kritis suatu fungsi Rusia. Konsep titik ekstrem menjadi dasar untuk mencari titik kritis pada suatu grafik.
Untuk mendefinisikan konsep seperti itu, mereka menggunakan teorema Fermat. Ini adalah hal terpenting dalam studi tentang titik-titik ekstrem dan memberikan gambaran yang jelas tentang keberadaannya dalam satu atau lain bentuk. Untuk memastikan ekstremitas, penting untuk menciptakan kondisi tertentu untuk penurunan atau kenaikan grafik.
Untuk menjawab pertanyaan “bagaimana mencari titik maksimal” secara akurat, Anda harus mengikuti pedoman berikut:
- Menemukan domain definisi yang tepat pada grafik.
- Mencari turunan suatu fungsi dan titik ekstremnya.
- Selesaikan pertidaksamaan standar untuk domain tempat argumen ditemukan.
- Mampu membuktikan fungsi manakah suatu titik pada suatu grafik terdefinisi dan kontinu.
Perhatian! Pencarian titik kritis suatu fungsi hanya mungkin dilakukan jika terdapat turunan setidaknya orde kedua, yang dijamin dengan adanya titik ekstrem dalam proporsi yang tinggi.
Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem suatu fungsi
Agar ada titik ekstrem, penting adanya titik minimum dan maksimum. Jika aturan ini hanya dipatuhi sebagian, maka kondisi keberadaan ekstrem dilanggar.
Setiap fungsi dalam posisi apa pun harus dibedakan untuk mengidentifikasi makna barunya. Penting untuk dipahami bahwa kasus suatu titik menuju nol bukanlah prinsip utama untuk mencari titik terdiferensiasi.
Ekstremum lancip, serta fungsi minimum, merupakan aspek yang sangat penting dalam menyelesaikan masalah matematika menggunakan nilai ekstrem. Untuk lebih memahami komponen ini, penting untuk merujuk pada nilai tabel untuk menentukan fungsionalitas.
| Penelitian Makna Penuh | Merencanakan Grafik Nilai |
| 1. Penentuan titik kenaikan dan penurunan nilai. 2. Mencari titik diskontinuitas, titik ekstrim dan perpotongan dengan sumbu koordinat. 3. Proses penentuan perubahan posisi pada suatu grafik. 4. Penentuan indikator dan arah konveksitas dan konveksitas, dengan memperhatikan adanya asimtot. 5. Pembuatan tabel ringkasan penelitian ditinjau dari penentuan koordinatnya. 6. Menemukan interval kenaikan dan penurunan titik ekstrim dan tajam. 7. Penentuan kecembungan dan kecekungan suatu kurva. 8. Merencanakan grafik dengan mempertimbangkan penelitian memungkinkan Anda menemukan nilai minimum atau maksimum. |
Elemen utama ketika perlu bekerja dengan titik ekstrem adalah konstruksi grafiknya yang akurat. Guru sekolah seringkali tidak memberikan perhatian yang maksimal terhadap aspek penting tersebut, sehingga merupakan pelanggaran berat terhadap proses pendidikan. Pembuatan grafik hanya terjadi berdasarkan hasil pembelajaran data fungsional, identifikasi ekstrem lancip, serta titik-titik pada grafik. Ekstrem tajam dari fungsi turunan ditampilkan pada plot nilai eksak, menggunakan prosedur standar untuk menentukan asimtot. Titik maksimum dan minimum suatu fungsi disertai dengan konstruksi grafik yang lebih kompleks. Hal ini disebabkan oleh kebutuhan yang lebih mendalam untuk mengatasi masalah ekstrem akut. Turunan dari fungsi kompleks dan sederhana juga perlu dicari, karena ini adalah salah satu konsep terpenting dalam masalah ekstrem. |
Fungsi ekstrem
Untuk menemukan nilai di atas, Anda harus mematuhi aturan berikut:
- menentukan kondisi yang diperlukan untuk hubungan ekstrim;
- memperhitungkan kondisi kecukupan titik-titik ekstrim pada grafik;
- melakukan perhitungan ekstrem akut.
Konsep seperti minimum lemah dan minimum kuat juga digunakan. Ini harus diperhitungkan saat menentukan titik ekstrem dan perhitungan akuratnya. Pada saat yang sama, fungsionalitas akut adalah pencarian dan penciptaan semua kondisi yang diperlukan untuk bekerja dengan grafik suatu fungsi.
Perkenalan
Dalam banyak bidang ilmu pengetahuan dan kegiatan praktis, sering kali kita harus menghadapi masalah dalam menemukan ekstrem suatu fungsi. Faktanya adalah banyak masalah teknis, ekonomi, dll. proses dimodelkan oleh suatu fungsi atau beberapa fungsi yang bergantung pada variabel – faktor yang mempengaruhi keadaan fenomena yang dimodelkan. Penting untuk menemukan ekstrem dari fungsi-fungsi tersebut untuk menentukan keadaan optimal (rasional) dan pengendalian proses. Jadi dalam ilmu ekonomi, masalah meminimalkan biaya atau memaksimalkan keuntungan sering kali terpecahkan - masalah mikroekonomi perusahaan. Dalam karya ini, kami tidak mempertimbangkan masalah pemodelan, tetapi hanya mempertimbangkan algoritma untuk mencari fungsi ekstrem dalam versi paling sederhana, ketika tidak ada batasan yang dikenakan pada variabel (optimasi tanpa syarat), dan ekstrem hanya dicari untuk satu fungsi tujuan.
EKSTREMA FUNGSI
Perhatikan grafik fungsi kontinu kamu=f(x) ditunjukkan pada gambar. Nilai fungsi pada suatu titik X 1 akan lebih besar dari nilai fungsi di semua titik tetangga baik di kiri maupun di kanan X 1 . Dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi tersebut berada pada titik X maksimal 1. Pada intinya X Fungsi 3 jelas juga sudah maksimal. Jika kita mempertimbangkan intinya X 2, maka nilai fungsi di dalamnya lebih kecil dari semua nilai tetangganya. Dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi tersebut berada pada titik X minimal 2. Demikian pula untuk intinya X 4 .
Fungsi kamu=f(x) pada intinya X 0 punya maksimum, jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar dari nilainya di semua titik pada suatu interval yang memuat titik tersebut X 0, yaitu jika ada lingkungan suatu titik X 0, yang diperuntukkan bagi semua orang X≠X 0 , milik lingkungan ini, kesenjangan tetap ada f(x)<f(x 0 ) .
Fungsi kamu=f(x) Memiliki minimum pada intinya X 0 , jika ada lingkungan suatu titik X 0 , itu untuk semua orang X≠X 0 milik lingkungan ini, ketimpangan tetap ada f(x)>f(x 0.
Titik-titik di mana fungsi mencapai maksimum dan minimum disebut titik ekstrem, dan nilai fungsi pada titik-titik tersebut disebut ekstrem fungsi.
Mari kita perhatikan fakta bahwa suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu segmen dapat mencapai maksimum dan minimumnya hanya pada titik-titik yang terdapat dalam segmen yang ditinjau.
Perhatikan bahwa jika suatu fungsi mempunyai nilai maksimum pada suatu titik, hal ini tidak berarti bahwa pada titik tersebut fungsi tersebut mempunyai nilai terbesar di seluruh domain definisi. Pada gambar di atas, fungsi pada titik X 1 mempunyai nilai maksimum, meskipun ada titik yang nilai fungsinya lebih besar dari pada titik tersebut X 1 . Secara khusus, F(X 1) < F(X 4) yaitu minimum fungsi lebih besar dari maksimum. Dari definisi maksimum hanya dapat disimpulkan bahwa ini adalah nilai fungsi terbesar pada titik-titik yang cukup dekat dengan titik maksimum.
Teorema 1. (Kondisi yang diperlukan untuk keberadaan suatu ekstrem.) Jika fungsi terdiferensiasi kamu=f(x) ada pada intinya x=x 0 ekstrem, maka turunannya pada titik ini menjadi nol.
Bukti. Biarlah, untuk lebih jelasnya, pada intinya X 0 fungsi memiliki maksimum. Kemudian, untuk kenaikan yang cukup kecil Δ X kita punya f(x 0 + Δ X)
Meneruskan pertidaksamaan ini hingga batasnya di Δ X→ 0 dan memperhitungkan turunannya F "(X 0) ada, dan oleh karena itu limit di sebelah kiri tidak bergantung pada bagaimana Δ X→ 0, kita mendapatkan: di Δ X → 0 – 0 F"(X 0) ≥ 0 a pada Δ X → 0 + 0 F"(X 0) ≤ 0. Sejak F"(X 0) mendefinisikan suatu bilangan, maka kedua pertidaksamaan ini kompatibel hanya jika F"(X 0) = 0.
Teorema yang terbukti menyatakan bahwa titik maksimum dan minimum hanya dapat berada di antara nilai argumen yang turunannya menjadi nol.
Kami mempertimbangkan kasus ketika suatu fungsi memiliki turunan di semua titik pada segmen tertentu. Bagaimana situasi jika turunannya tidak ada? Mari kita lihat contohnya.
kamu=|X|.
Fungsi tersebut tidak mempunyai turunan pada titik tersebut X=0 (pada titik ini grafik fungsi tidak memiliki garis singgung tertentu), tetapi pada titik ini fungsi tersebut memiliki minimum, karena kamu(0)=0, dan untuk semua X≠ 0kamu > 0.
tidak memiliki turunan di X=0, karena ia menuju tak terhingga di X=0. Namun saat ini fungsinya sudah maksimal. tidak memiliki turunan di X=0, sejak kapan X→0. Pada titik ini fungsi tersebut tidak memiliki nilai maksimum dan minimum. Benar-benar, f(x)=0 dan pada X<0f(x)<0, а при X>0f(x)>0.Jadi, dari contoh-contoh yang diberikan dan teorema yang dirumuskan, jelas bahwa suatu fungsi dapat mempunyai ekstrem hanya dalam dua kasus: 1) pada titik-titik di mana turunannya ada dan sama dengan nol; 2) pada titik dimana turunannya tidak ada.
Namun, jika suatu saat nanti X 0 kita tahu itu f "(x 0 ) =0, maka seseorang tidak dapat menyimpulkan bahwa pada intinya X 0 fungsinya memiliki ekstrem.
Misalnya.
.Tapi titik X=0 bukan merupakan titik ekstrem, karena di sebelah kiri titik ini nilai fungsi terletak di bawah sumbu Sapi, dan di kanan atas.
Nilai argumen dari domain suatu fungsi yang turunannya dari fungsi tersebut hilang atau tidak ada disebut poin kritis.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa titik ekstrem suatu fungsi termasuk titik kritis, namun tidak semua titik kritis merupakan titik ekstrem. Oleh karena itu, untuk mencari titik ekstrem suatu fungsi, Anda perlu mencari semua titik kritis fungsi tersebut, lalu memeriksa masing-masing titik tersebut secara terpisah untuk mengetahui nilai maksimum dan minimumnya. Teorema berikut memenuhi tujuan ini.
Teorema 2. (Kondisi yang cukup untuk keberadaan suatu ekstrem.) Biarkan fungsi tersebut kontinu pada interval tertentu yang mengandung titik kritis X 0, dan terdiferensiasi di semua titik pada interval ini (kecuali, mungkin, titik itu sendiri X 0). Jika ketika bergerak dari kiri ke kanan melalui titik ini, turunannya berubah tanda dari plus ke minus, maka di titik tersebut X = X 0 fungsi memiliki maksimum. Jika, saat melewati X 0 dari kiri ke kanan, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, maka fungsinya mempunyai minimum pada titik ini.
Jadi, jika
f "(x)>0 jam X<X 0 dan f "(x)< 0 jam x>x 0, lalu X 0 – titik maksimum;
pada X<X 0 dan f "(x)> 0 jam x>x 0, lalu X 0 – titik minimum.Bukti. Mari kita asumsikan dulu ketika melewatinya X 0 turunannya berubah tanda dari plus ke minus, yaitu di depan semua orang X, dekat dengan intinya X 0 f "(x)> 0 untuk X< x 0 , f "(x)< 0 untuk x>x 0 . Mari kita terapkan teorema Lagrange pada perbedaannya f(x) - f(x 0 ) = f"(c)(x- x 0), dimana C berada diantara X Dan X 0 .
Membiarkan X< x 0 . Kemudian C< x 0 dan f "(c)> 0. Itu sebabnya f "(c)(x- x 0)< 0 dan karena itu
f(x) - f(x 0 )< 0, yaitu f(x)< f(x 0 ).
Membiarkan x > x 0 . Kemudian c>x 0 dan f "(c)< 0. Cara f "(c)(x- x 0)< 0. Itu sebabnya f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .
Jadi, untuk semua nilai X cukup dekat dengan X 0 f(x)< f(x 0 ) . Dan ini berarti pada intinya X 0 fungsi memiliki maksimum.
Bagian kedua dari teorema minimum dibuktikan dengan cara yang sama.
Mari kita ilustrasikan arti teorema ini pada gambar. Membiarkan f "(x 1 ) =0 dan untuk apa pun X, cukup dekat dengan X 1, ketidaksetaraan terpenuhi
f "(x)< 0 jam X< x 1 , f "(x)> 0 jam x>x 1 .
Lalu ke kiri titik X 1 fungsi bertambah dan berkurang di sebelah kanan, oleh karena itu, kapan X = X 1 fungsi berubah dari naik ke turun, yaitu maksimal.
Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan poin-poinnya X 2 dan X 3 .
Semua hal di atas dapat digambarkan secara skematis pada gambar:
Aturan mempelajari fungsi y=f(x) untuk ekstrem
Temukan domain suatu fungsi f(x).
Temukan turunan pertama suatu fungsi f "(x).
Tentukan titik kritis untuk ini:
carilah akar-akar persamaan yang sebenarnya f "(x)=0;
temukan semua nilai X yang turunannya f "(x) tidak ada.
Tentukan tanda turunan di kiri dan kanan titik kritis. Karena tanda turunannya tetap konstan di antara dua titik kritis, maka cukup menentukan tanda turunan di satu titik di kiri dan satu titik di kanan titik kritis tersebut.
Hitung nilai fungsi pada titik ekstrem.
Tentukan nilai terbesar dari fungsi y=(7x^2-56x+56)e^x pada ruas [-3; 2].
Tunjukkan solusiLarutan
Mari kita cari turunan dari fungsi aslinya menggunakan rumus turunan perkalian kamu"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\kiri(e^x\kanan)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Mari kita hitung angka nol dari turunannya: y"=0;
7x(x-6)e^x=0,
x_1=0, x_2=6.
Mari kita susun tanda-tanda turunannya dan tentukan interval monotonisitas fungsi asal pada segmen tertentu.
Dari gambar terlihat jelas bahwa pada ruas [-3; 0] fungsi aslinya bertambah, dan pada ruasnya berkurang. Dengan demikian, nilai terbesar pada segmen [-3; 2] dicapai pada x=0 dan sama dengan kamu(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.
Menjawab
Kondisi
Tentukan nilai terbesar fungsi y=12x-12tg x-18 pada ruas tersebut \kiri.
Tunjukkan solusiLarutan
kamu"= (12x)"-12(tg x)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0. Artinya fungsi asal tidak bertambah pada interval yang ditinjau dan mengambil nilai terbesar di ujung kiri interval, yaitu pada x=0. Nilai terbesarnya adalah kamu(0)= 12\cdot 0-12 tg (0)-18= -18.
Menjawab
Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.
Kondisi
Tentukan titik minimum dari fungsi y=(x+8)^2e^(x+52).
Tunjukkan solusiLarutan
Kita akan mencari titik minimum suatu fungsi menggunakan turunannya. Mari kita cari turunan suatu fungsi menggunakan rumus turunan hasil kali, turunan dari x^\alpha dan e^x:
kamu"(x)= \kiri((x+8)^2\kanan)"e^(x+52)+(x+8)^2\kiri(e^(x+52)\kanan)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52).
Mari kita susun tanda-tanda turunannya dan tentukan interval monotonisitas fungsi aslinya. e^(x+52)>0 untuk x apa pun. kamu"=0 pada x=-8, x=-10.
.png)
Gambar tersebut menunjukkan bahwa fungsi y=(x+8)^2e^(x+52) memiliki satu titik minimum x=-8.
Menjawab
Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.
Kondisi
Temukan titik maksimum dari fungsi tersebut y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.
Tunjukkan solusiLarutan
ODZ: x \geqslant 0. Cari turunan dari fungsi aslinya:
y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.
Mari kita hitung angka nol dari turunannya:
8-\sqrt x=0;
\sqrt x=8;
x=64.
Mari kita susun tanda-tanda turunannya dan tentukan interval monotonisitas fungsi aslinya.
.png)
Gambar tersebut menunjukkan bahwa titik x=64 adalah satu-satunya titik maksimum dari fungsi yang diberikan.
Menjawab
Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.
Kondisi
Tentukan nilai terkecil dari fungsi y=5x^2-12x+2\ln x+37 pada ruas tersebut \kiri[\frac35; \frac75\kanan].
Tunjukkan solusiLarutan
ODZ: x>0.
Mari kita cari turunan dari fungsi aslinya:
kamu"(x)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x).
Mari kita definisikan angka nol dari turunannya: y"(x)=0;
\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,
5x^2-6x+1=0,
x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),
x_1=\frac15\notin\kiri[\frac35; \frac75\kanan],
x_2=1\di\kiri[\frac35; \frac75\kanan].
Mari kita susun tanda-tanda turunannya dan tentukan interval monotonisitas fungsi asal pada interval yang ditinjau.
.png)
Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa pada ruas tersebut \kiri[\frac35; 1\kanan] fungsi aslinya berkurang, dan pada segmen tersebut \kiri meningkat. Jadi, nilai terkecil pada segmen tersebut \kiri[\frac35; \frac75\kanan] dicapai pada x=1 dan sama dengan kamu(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.
Menjawab
Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.
Kondisi
Carilah nilai terbesar dari fungsi y=(x+4)^2(x+1)+19 pada ruas [-5; -3].
Tunjukkan solusiLarutan
Mari kita cari turunan dari fungsi aslinya menggunakan rumus turunan hasil kali.
Kita juga dapat mengatakan bahwa pada titik-titik ini arah pergerakan fungsi berubah: jika fungsi berhenti turun dan mulai tumbuh, ini adalah titik minimum, sebaliknya, ini adalah titik maksimum.
Minima dan maksimum secara kolektif disebut ekstrem dari fungsi tersebut.
Dengan kata lain, kelima titik yang disorot pada grafik di atas adalah titik ekstrem.
Berkat ini, menemukan titik-titik ini tidak menjadi masalah, meskipun Anda tidak memiliki grafik fungsinya.
Perhatian! Saat mereka menulis ekstrem atau maxima/minimum berarti nilai fungsi yaitu \(kamu\). Saat mereka menulis titik ekstrim atau titik maksimum/minimum berarti Xs di mana maksimum/minimum tercapai. Misalnya, pada gambar di atas, \(-5\) adalah titik minimum (atau titik ekstrem), dan \(1\) adalah titik minimum (atau ekstrem).
Bagaimana cara mencari titik ekstrem suatu fungsi dari grafik turunan (tugas USE 7)?
Mari kita cari bersama-sama jumlah titik ekstrem suatu fungsi menggunakan grafik turunan dengan menggunakan contoh:
Kita telah diberikan grafik, artinya kita mencari di titik mana pada grafik tersebut turunannya sama dengan nol. Jelasnya, ini adalah titik \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) dan \(3\). Banyaknya titik ekstrem fungsi tersebut adalah \(5\).
Perhatian! Jika jadwal diberikan turunan fungsi, tetapi Anda perlu menemukannya titik ekstrim dari fungsi tersebut, kami tidak menghitung maksimum dan minimum turunannya! Kita menghitung titik-titik di mana turunan fungsi tersebut hilang (yaitu, memotong sumbu \(x\)).
Bagaimana cara mencari titik maksimum atau minimum suatu fungsi dari grafik turunan (tugas Ujian Negara Terpadu 7)?
Untuk menjawab pertanyaan ini, Anda perlu mengingat dua aturan penting lainnya:
- Turunannya positif jika fungsinya meningkat.
- Turunannya negatif dimana fungsinya menurun.
Dengan menggunakan aturan ini, carilah titik minimum dan maksimum fungsi pada grafik turunan.
Jelas bahwa titik minimum dan maksimum harus dicari di antara titik-titik ekstrem, yaitu. di antaranya \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) dan \(3\).
Untuk mempermudah penyelesaian soal, pertama-tama kita tempatkan tanda plus dan minus pada gambar yang menunjukkan tanda turunannya. Kemudian panah - menunjukkan fungsi naik dan turun.
Mari kita mulai dengan \(-13\): hingga \(-13\) turunannya positif, yakni fungsinya bertambah, maka turunannya negatif yaitu. fungsinya mogok. Jika dibayangkan, menjadi jelas bahwa \(-13\) adalah titik maksimum.
\(-11\): turunannya mula-mula positif lalu negatif, artinya fungsinya naik lalu turun. Sekali lagi, coba gambarkan ini secara mental dan akan menjadi jelas bagi Anda bahwa \(-11\) adalah minimumnya.
\(- 9\): fungsinya bertambah dan kemudian berkurang - maksimum.
\(-7\): minimum.
\(3\): maksimum.
Semua hal di atas dapat diringkas dengan kesimpulan berikut:
- Fungsi tersebut mempunyai maksimum yang turunannya nol dan berubah tanda dari plus ke minus.
- Fungsi tersebut memiliki nilai minimum yang turunannya nol dan berubah tanda dari minus menjadi plus.
Bagaimana cara mencari titik maksimum dan minimum jika diketahui rumus fungsinya (12 tugas UN Unified State)?
Untuk menjawab pertanyaan ini, Anda perlu melakukan hal yang sama seperti pada paragraf sebelumnya: temukan di mana turunannya positif, di mana negatif, dan di mana nol. Agar lebih jelas, saya akan menulis algoritma dengan contoh solusi:
- Temukan turunan dari fungsi \(f"(x)\).
- Temukan akar-akar persamaan \(f"(x)=0\).
- Gambarlah sebuah sumbu \(x\) dan tandai di atasnya titik-titik yang diperoleh pada langkah 2, gambarlah dengan busur interval di mana sumbu tersebut dibagi. Label di atas sumbu \(f"(x)\), dan di bawah sumbu \(f(x)\).
- Tentukan tanda turunan pada setiap interval (menggunakan metode interval).
- Tempatkan tanda turunannya pada setiap interval (di atas sumbu), dan gunakan panah untuk menunjukkan kenaikan (↗) atau penurunan (↘) fungsi (di bawah sumbu).
- Tentukan bagaimana tanda turunannya berubah ketika melewati titik-titik yang diperoleh pada langkah 2:
- jika \(f’(x)\) berubah tanda dari “\(+\)” menjadi “\(-\)”, maka \(x_1\) adalah titik maksimum;
- jika \(f’(x)\) berubah tanda dari “\(-\)” menjadi “\(+\)”, maka \(x_3\) adalah titik minimum;
- jika \(f’(x)\) tidak berubah tanda, maka \(x_2\) mungkin merupakan titik belok.
Semua! Poin maksimum dan minimum telah ditemukan.
Saat menggambarkan titik-titik pada sumbu yang turunannya sama dengan nol, skala dapat diabaikan. Perilaku fungsinya dapat ditunjukkan seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Dengan cara ini akan lebih jelas mana yang maksimum dan mana yang minimum.
Contoh(MENGGUNAKAN). Tentukan titik maksimum dari fungsi \(y=3x^5-20x^3-54\).
Larutan:
1. Carilah turunan dari fungsi tersebut: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. Mari kita samakan dengan nol dan selesaikan persamaannya:
\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)
3. – 6. Mari kita gambarkan titik-titik pada garis bilangan dan tentukan bagaimana tanda turunannya berubah dan bagaimana fungsinya bergerak:
Sekarang jelas bahwa titik maksimumnya adalah \(-2\).
Menjawab. \(-2\).
