Teorema Menelaus dan penerapannya. Teorema Cheva dan Menelaus

TEOREMA CHEVA DAN MENELAUS

teorema Ceva

Sebagian besar titik segitiga yang luar biasa dapat diperoleh dengan menggunakan prosedur berikut. Misalkan ada aturan yang dengannya kita dapat memilih titik A tertentu 1 , pada sisi BC (atau perpanjangannya) segitiga ABC (misalnya, pilih titik tengah sisi ini). Kemudian kita akan membuat titik B yang serupa 1, C 1 di dua sisi segitiga lainnya (dalam contoh kita, ada dua titik tengah lagi dari sisi-sisinya). Jika aturan seleksi berhasil, maka lurus AA 1, BB 1, CC 1 akan berpotongan di suatu titik Z (pemilihan titik tengah sisi-sisinya dalam pengertian ini, tentu saja berhasil, karena median segitiga berpotongan di satu titik).

Saya ingin memiliki beberapa metode umum yang memungkinkan seseorang untuk menentukan dari posisi titik-titik pada sisi-sisi segitiga apakah tripel garis yang bersesuaian berpotongan di satu titik atau tidak.

Kondisi universal yang “menutup” masalah ini ditemukan pada tahun 1678 oleh seorang insinyur ItaliaGiovanni Cheva .

Definisi. Ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik sudut suatu segitiga dengan titik-titik pada sisi-sisi yang berhadapan (atau perpanjangan-perpanjangannya) disebut cevians jika berpotongan di satu titik.

Ada dua kemungkinan lokasi cevians. Dalam satu versi, intinya

persimpangannya bersifat internal, dan ujung cevian terletak pada sisi segitiga. Pada pilihan kedua, titik potongnya berada di luar, ujung salah satu cevian terletak di samping, dan ujung dua cevian lainnya terletak pada perpanjangan sisi-sisinya (lihat gambar).

Teorema 3. (teorema langsung Ceva) Pada segitiga sembarang ABC, titik A diambil masing-masing pada sisi BC, CA, AB atau perpanjangannya 1 , DI DALAM 1 , DENGAN 1 , sedemikian rupa sehingga lurus AA 1 , BB 1 , SS 1 berpotongan di beberapa titik yang sama, kalau begitu

Bukti: Meskipun beberapa bukti asli teorema Ceva diketahui, kita akan mempertimbangkan bukti berdasarkan penerapan ganda teorema Menelaus. Mari kita tuliskan hubungan teorema Menelaus untuk pertama kalinya untuk sebuah segitigaABB 1 dan garis potong CC 1 (kami menunjukkan titik perpotongan ceviansZ):

dan kedua kalinya untuk segitigaB 1 SM dan garis potong A A. 1 :

Mengalikan kedua rasio ini dan melakukan pengurangan yang diperlukan, kita memperoleh rasio yang terkandung dalam pernyataan teorema.

Teorema 4. (Teorema kebalikan Ceva) . Kalau untuk yang dipilih pada sisi-sisi segitiga ABC atau perluasan poinnya A 1 , DI DALAM 1 Dan C 1 Kondisi Cheva terpenuhi:

lalu lurus A A. 1 , BB 1 Dan CC 1 berpotongan di satu titik .

Pembuktian teorema ini dilakukan dengan cara kontradiksi, seperti halnya pembuktian teorema Menelaus.

Mari kita perhatikan contoh penerapan teorema langsung dan invers Ceva.

Contoh 3. Buktikan median suatu segitiga berpotongan di satu titik.

Larutan. Pertimbangkan hubungannya

untuk titik sudut suatu segitiga dan titik tengah sisi-sisinya. Tentunya pada setiap pecahan pembilang dan penyebutnya mempunyai ruas-ruas yang sama, sehingga semua pecahan tersebut sama dengan satu. Oleh karena itu, hubungan Cheva terpenuhi, oleh karena itu, dengan teorema kebalikannya, median berpotongan di satu titik.

Teorema (teorema Ceva) . Biarkan poinnya berbaring miring dan segitiga masing-masing. Biarkan segmennya Dan berpotongan di satu titik. Kemudian

(kita mengelilingi segitiga searah jarum jam).

Bukti. Mari kita nyatakan dengan titik potong segmen Dan . Mari kita hilangkan poinnya Dan tegak lurus terhadap suatu garissebelum memotongnya di titik-titik Dan sesuai (lihat gambar).

Karena segitiga Dan mempunyai sisi yang sama, maka luasnya dihubungkan dengan ketinggian yang ditarik ke sisi ini, yaitu. Dan :

Persamaan terakhir benar, karena segitiga siku-siku Dan serupa pada sudut lancip.

Demikian pula yang kita dapatkan

Dan

Mari kalikan ketiga persamaan ini:

Q.E.D.

Tentang median:

1. Tempatkan satuan massa pada titik sudut segitiga ABC.
2. Pusat massa titik A dan B berada di tengah AB. Pusat massa seluruh sistem harus berada di median sisi AB, karena pusat massa segitiga ABC adalah pusat massa dari pusat massa titik A dan B, serta titik C.
(itu menjadi membingungkan)
3. Demikian pula - CM harus terletak di median sisi AC dan BC
4. Karena CM adalah satu titik, maka ketiga median tersebut harus berpotongan di titik tersebut.

Ngomong-ngomong, berdasarkan persimpangan mereka dibagi dengan perbandingan 2:1. Karena massa pusat massa titik A dan B adalah 2, dan massa titik C adalah 1, maka pusat massa persekutuan menurut teorema proporsi akan membagi median dengan perbandingan 2/1 .

Terima kasih banyak, disajikan dengan cara yang mudah dipahami, saya rasa tidak ada salahnya jika disajikan pembuktiannya dengan menggunakan metode geometri massa, misalnya:
Garis AA1 dan CC1 berpotongan di titik O; AC1: C1B = p dan BA1: A1C = q. Kita perlu membuktikan bahwa garis BB1 melalui titik O jika dan hanya jika CB1:B1A = 1:pq.
Mari kita tempatkan massa 1, p dan pq berturut-turut di titik A, B dan C. Maka titik C1 adalah pusat massa titik A dan B, dan titik A1 adalah pusat massa titik B dan C. Jadi, pusat massa titik A, B, dan C dengan massa tersebut adalah titik potong O dari jalur CC1 dan AA1. Sebaliknya, titik O terletak pada ruas yang menghubungkan titik B dengan pusat massa titik A dan C. Jika B1 adalah pusat massa titik A dan C yang bermassa 1 dan pq, maka AB1: B1C = pq: 1. Perlu diperhatikan bahwa pada ruas AC terdapat satu titik yang membaginya dengan perbandingan AB1:B1C.

2. Teorema Ceva

Ruas garis yang menghubungkan titik sudut suatu segitiga dengan titik pada sisi yang berhadapan disebutceviana . Jadi, jika berbentuk segitigaABC X , Y dan Z - titik-titik yang terletak di sampingSM , C.A. , AB karenanya, maka segmennyaKAPAK , OLEH , CZ adalah Chevian. Istilah ini berasal dari matematikawan Italia Giovanni Ceva, yang pada tahun 1678 menerbitkan teorema yang sangat berguna berikut ini:

Dalil 1.21. Jika tiga cevian AX, BY, CZ (satu dari masing-masing titik sudut) pada segitiga ABC bersifat kompetitif, maka

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Beras. 3.

Ketika kita mengatakan bahwa tiga garis (atau segmen)kompetitif , maka yang kami maksud adalah semuanya melalui satu titik, yang kami nyatakan denganP . Untuk membuktikan teorema Ceva, ingatlah bahwa luas segitiga yang sama tingginya sebanding dengan alas segitiga. Mengacu pada Gambar 3, kita memiliki:

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX−SPBXSAXC−SPXC= SABPSCAP.

Juga,

|CY||YA|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.

Sekarang jika kita mengalikannya, kita mendapatkannya

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .

Kebalikan dari teorema ini juga benar:

Dalil 1.22. Jika tiga cevians AX, BY, CZ memenuhi relasi tersebut

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,

maka mereka kompetitif .

Untuk menunjukkan hal ini, misalkan dua cevian pertama berpotongan di suatu titikP , seperti sebelumnya, dan cevian ketiga melewati titik tersebutP , akanCZ′ . Kemudian, berdasarkan Teorema 1.21,

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ′||Z′B|=1 .

Tapi berdasarkan asumsi

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Karena itu,

|AZ||ZB|= |AZ′||Z′B| ,

dotZ′ bertepatan dengan intinyaZ , dan kami membuktikan bahwa segmen tersebutKAPAK , OLEH DanCZ kompetitif (, hal. 54 dan, hal. 48, 317).

Teorema Menelaus atau teorema segiempat lengkap telah dikenal sejak zaman Yunani Kuno. Ia menerima namanya untuk menghormati penulisnya, seorang ahli matematika dan astronom Yunani kuno. Menelaus dari Aleksandria(sekitar tahun 100 M). Teorema ini sangat indah dan sederhana, namun sayangnya tidak mendapat perhatian yang cukup dalam kursus sekolah modern. Sementara itu, dalam banyak kasus membantu memecahkan masalah geometri yang cukup rumit dengan sangat mudah dan elegan.

Teorema 1 (Teorema Menelaus). Misalkan ∆ABC dipotong oleh sebuah garis yang tidak sejajar dengan sisi AB dan masing-masing memotong kedua sisinya AC dan BC di titik F dan E, dan garis AB di titik D (Gbr. 1),

maka A F FC * CE EB * BD DA = 1

Catatan. Untuk memudahkan mengingat rumus ini, Anda dapat menggunakan aturan berikut: bergerak sepanjang kontur segitiga dari titik sudut ke titik potong dengan garis dan dari titik potong ke titik sudut berikutnya.

Bukti. Dari titik sudut A, B, C segitiga kita tarik masing-masing tiga garis sejajar sampai berpotongan dengan garis potong. Kita mendapatkan tiga pasang segitiga sebangun (tanda kesebangunan pada dua sudut). Persamaan berikut mengikuti persamaan segitiga:

Sekarang mari kalikan persamaan yang dihasilkan ini:

Teorema tersebut telah terbukti.

Untuk merasakan keindahan teorema ini, mari kita coba menyelesaikan masalah geometri yang diajukan di bawah ini dengan dua cara berbeda: menggunakan konstruksi bantu dan dengan bantuan Teorema Menelaus.

Tugas 1.

Pada ABC, garis bagi AD membagi sisi BC dengan perbandingan 2:1. Berapakah perbandingan median CE yang membagi garis bagi tersebut?

Larutan.

Menggunakan konstruksi bantu:

Misalkan S adalah titik potong garis bagi AD dan median CE. Mari kita buat ∆ASB menjadi jajar genjang ASBK. (Gbr. 2)

Jelasnya SE = EK, karena titik potong jajar genjang membagi dua diagonalnya. Sekarang mari kita perhatikan segitiga ∆CBK dan ∆CDS. Sangat mudah untuk melihat bahwa keduanya serupa (tanda kesamaan pada dua sudut: dan sebagai sudut satu sisi dalam dengan garis sejajar AD dan KB dan garis potong CB). Dari persamaan segitiga berikut ini:

Dengan menggunakan kondisi tersebut, kita peroleh:

CB CD = CD + DB CD = CD + 2CD CB = 3CD CD = 3

Sekarang perhatikan bahwa KB = AS, seperti sisi-sisi yang berhadapan pada jajar genjang. Kemudian

SEBAGAI SD = KB SD = CB CD = 3

Menggunakan teorema Menelaus.

Mari kita pertimbangkan ∆ABD dan terapkan teorema Menelaus padanya (garis yang melalui titik C, S, E adalah garis potong):

JADILAH EA * SEBAGAI SD * DC CB = 1

Berdasarkan ketentuan teorema, kita mempunyai BE/EA = 1, karena CE adalah median, dan DC/CB = 1/3, seperti yang telah kita hitung sebelumnya.

1 * SEBAGAI SD * 1 3 = 1

Dari sini kita mendapatkan AS/SD = 3 Sekilas, kedua solusi tersebut cukup kompak dan kurang lebih setara. Namun gagasan tentang konstruksi tambahan untuk anak sekolah seringkali ternyata sangat kompleks dan sama sekali tidak kentara, padahal dengan mengetahui teorema Menelaus, ia hanya perlu menerapkannya dengan benar.

Mari kita pertimbangkan masalah lain di mana teorema Menelaus bekerja dengan sangat elegan.

Tugas 2.

Pada sisi AB dan BC ∆ABC terdapat titik M dan N berturut-turut, sehingga persamaan berikut berlaku:

AM MB = CN NA = 1 2

Berapa perbandingan titik potong S ruas BN dan CM membagi masing-masing ruas tersebut (Gbr. 3)?

Larutan.

Mari kita pertimbangkan ∆ABN. Mari kita terapkan teorema Menelaus pada segitiga ini (garis yang melalui titik M, S, C adalah garis potong)

AM MB * BC SN * CN CA = 1

Dari kondisi masalah yang kita peroleh: AM MB = 1 2

NC CA = NC CN + NA = NC CN + 2NC = NC 3 NC = 1 3

Mari kita gantikan hasil ini dan dapatkan:

1 2 * BS SN * 1 3 = 1

Jadi BS/SN = 6. Jadi, titik S perpotongan ruas BN dan CM membagi ruas BN dengan perbandingan 6:1.

Mari kita pertimbangkan ∆ACM. Mari kita terapkan teorema Menelaus pada segitiga ini (garis yang melalui titik N, S, B adalah garis potong):

AN NC * CS SM * MB BA = 1

Dari kondisi masalah yang kita peroleh: AN NC = 2

MB BA = MB BM + MA = 2MA 2MA + MA = 2MB 3MA = 2 3

Mari kita gantikan hasil ini dan dapatkan:

2 * CS SM * 2 3 = 1

Jadi CS/SM = 3/4

Jadi, titik S perpotongan ruas BN dan CM membagi ruas CM dengan perbandingan 3:4.

Teorema kebalikan dari teorema Menelaus juga benar. Seringkali hal ini ternyata lebih bermanfaat. Ini bekerja sangat baik dalam masalah pembuktian. Seringkali, dengan bantuannya, bahkan masalah Olimpiade diselesaikan dengan indah, mudah dan cepat.

Teorema 2(Kebalikan teorema Menelaus). Misalkan terdapat segitiga ABC dan titik D, E, F berturut-turut termasuk dalam garis BC, AC, AB (perhatikan bahwa titik-titik tersebut dapat terletak pada sisi-sisi segitiga ABC dan pada perpanjangannya) (Gbr. 4).

Maka jika AF FC * CE EB * BD DA = 1

maka titik D, E, F terletak pada garis yang sama.

Bukti. Mari kita buktikan teorema tersebut dengan kontradiksi. Mari kita asumsikan bahwa hubungan dari kondisi teorema terpenuhi, tetapi titik F tidak terletak pada garis DE (Gbr. 5).

Mari kita nyatakan titik potong garis DE dan AB dengan huruf O. Sekarang kita terapkan teorema Menelaus dan dapatkan: AE EC * CD DB * BO OA = 1

Namun sebaliknya persamaan BF FA = BO OA

tidak dapat dieksekusi.

Oleh karena itu, hubungan dari kondisi teorema tidak dapat dipenuhi. Kami mendapat kontradiksi.

Teorema tersebut telah terbukti.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Kelas: 9

Tujuan pelajaran:

menggeneralisasi, memperluas dan mensistematisasikan pengetahuan dan keterampilan siswa; mengajarkan bagaimana menggunakan pengetahuan ketika memecahkan masalah yang kompleks;
mempromosikan pengembangan keterampilan penerapan pengetahuan secara mandiri dalam memecahkan masalah;
mengembangkan pemikiran logis dan ucapan matematis siswa, kemampuan menganalisis, membandingkan dan menggeneralisasi;
menanamkan rasa percaya diri dan kerja keras pada siswa; kemampuan bekerja dalam tim.

Tujuan pelajaran:

Pendidikan: ulangi teorema Menelaus dan Cheva; menerapkannya ketika memecahkan masalah.
Pembangunan: belajar mengajukan hipotesis dan dengan terampil mempertahankan pendapat Anda dengan bukti; uji kemampuan Anda untuk menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan Anda.
Pendidikan: meningkatkan minat pada subjek dan mempersiapkan diri untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks.

Jenis pelajaran: pelajaran generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.

Peralatan: kartu untuk kerja kolektif dalam pelajaran tentang topik ini, kartu individu untuk kerja mandiri, komputer, proyektor multimedia, layar.

Selama kelas

Tahap I. Momen organisasi (1 menit)

Guru mengumumkan topik dan tujuan pelajaran.

Tahap II. Memperbarui pengetahuan dan keterampilan dasar (10 menit)

Guru: Selama pelajaran, kita akan mengingat teorema Menelaus dan Cheva agar berhasil melanjutkan pemecahan masalah. Mari kita lihat layar yang menampilkannya. Teorema manakah yang diberikan pada angka ini? (Teorema Menelaus). Cobalah untuk merumuskan teorema dengan jelas.

Gambar 1

Misalkan titik A 1 terletak pada sisi BC segitiga ABC, titik C 1 pada sisi AB, titik B 1 pada kelanjutan sisi AC di luar titik C. Titik A 1 , B 1 dan C 1 terletak pada satu garis lurus jika dan hanya jika kesetaraan berlaku

Guru: Mari kita simak bersama-sama gambar berikut ini. Nyatakan teorema untuk gambar ini.

Gambar 2

Garis AD memotong dua sisi dan merupakan perpanjangan dari sisi ketiga segitiga IUD.

Menurut teorema Menelaus

Garis lurus MB memotong dua sisi dan perpanjangan sisi ketiga segitiga ADC.

Menurut teorema Menelaus

Guru: Teorema apa yang sesuai dengan gambar tersebut? (Teorema Ceva). Nyatakan teoremanya.

Gambar 3

Misalkan titik A 1 pada segitiga ABC terletak pada sisi BC, titik B 1 pada sisi AC, titik C 1 pada sisi AB. Ruas AA 1, BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik jika dan hanya jika persamaan berlaku

Tahap III. Penyelesaian masalah. (22 menit)

Kelas dibagi menjadi 3 tim, masing-masing menerima kartu dengan dua tugas berbeda. Waktu diberikan untuk memutuskan, kemudian yang berikut ini muncul di layar:<Рисунки 4-9>. Berdasarkan gambar tugas yang telah diselesaikan, perwakilan tim secara bergiliran menjelaskan solusi mereka. Setiap penjelasan dilanjutkan dengan diskusi, menjawab pertanyaan, dan mengecek kebenaran solusi di layar. Semua anggota tim mengambil bagian dalam diskusi. Semakin aktif sebuah tim, semakin tinggi peringkatnya saat menyimpulkan hasil.

Kartu 1.

1. Pada segitiga ABC, titik N diambil pada sisi BC sehingga NC = 3BN; pada kelanjutan sisi AC, titik M diambil sebagai titik A sehingga MA = AC. Garis MN memotong sisi AB di titik F. Tentukan perbandingannya

2. Buktikan median suatu segitiga berpotongan di satu titik.

Solusi 1

Gambar 4

Sesuai dengan kondisi soal, MA = AC, NC = 3BN. Misalkan MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Garis MN memotong dua sisi segitiga ABC dan lanjutan segitiga ketiga.

Menurut teorema Menelaus

Menjawab:

Bukti 2

Gambar 5

Misalkan AM 1, BM 2, CM 3 adalah median segitiga ABC. Untuk membuktikan bahwa segmen-segmen ini berpotongan di satu titik, cukup dengan menunjukkan hal tersebut

Kemudian berdasarkan teorema Ceva (kebalikan), ruas AM 1, BM 2 dan CM 3 berpotongan di satu titik.

Kita punya:

Jadi, median suatu segitiga terbukti berpotongan di satu titik.

Kartu 2.

1. Titik N diambil pada sisi PQ segitiga PQR, dan titik L diambil pada sisi PR, dan NQ = LR. Titik potong ruas QL dan NR membagi QL dengan perbandingan m:n, dihitung dari titik Q. Tentukan

2. Buktikan bahwa garis-bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik.

Solusi 1

Gambar 6

Dengan syarat NQ = LR, Misalkan NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Garis NR memotong dua sisi segitiga PQL dan lanjutan segitiga ketiga.

Menurut teorema Menelaus

Menjawab:

Bukti 2

Gambar 7

Mari kita tunjukkan itu

Kemudian berdasarkan teorema Ceva (kebalikan), AL 1, BL 2, CL 3 berpotongan di satu titik. Berdasarkan sifat garis bagi segitiga

Mengalikan persamaan yang diperoleh suku demi suku, kita peroleh

Untuk garis-bagi suatu segitiga, persamaan Cheva terpenuhi, oleh karena itu, keduanya berpotongan di satu titik.

Kartu 3.

1. Pada segitiga ABC, AD adalah mediannya, titik O adalah titik tengah mediannya. Garis lurus BO memotong sisi AC di titik K. Berapa perbandingan titik K membagi AC dihitung dari titik A?

2. Buktikan bahwa jika sebuah lingkaran terdapat pada sebuah segitiga, maka ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik sudut segitiga tersebut dengan titik-titik singgung sisi-sisi yang berhadapan berpotongan di satu titik.

Solusi 1

Angka 8

Misalkan BD = DC = a, AO = OD = m. Garis lurus BK memotong dua sisi dan merupakan perpanjangan dari ketiga sisi segitiga ADC.

Menurut teorema Menelaus

Menjawab:

Bukti 2

Gambar 9

Misalkan A 1, B 1 dan C 1 adalah titik singgung lingkaran segitiga ABC. Untuk membuktikan bahwa ruas AA 1, BB 1 dan CC 1 berpotongan di satu titik, cukup dibuktikan persamaan Cheva berlaku:

Dengan menggunakan sifat garis singgung lingkaran dari satu titik, kita perkenalkan notasi berikut: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Persamaan Cheva terpenuhi, artinya garis-bagi segitiga berpotongan di satu titik.

Tahap IV. Pemecahan masalah (kerja mandiri) (8 menit)

Guru: Pekerjaan tim telah selesai dan sekarang kita akan memulai pekerjaan mandiri pada kartu individu untuk 2 pilihan.

Bahan pelajaran hasil karya mandiri siswa

Pilihan 1. Pada segitiga ABC yang luasnya 6, pada sisi AB ada titik K yang membagi sisi tersebut dengan perbandingan AK:BK = 2:3, dan pada sisi AC ada titik L yang membagi AC dengan perbandingan AL:LC = 5:3. Titik Q perpotongan garis lurus СК dan BL dihilangkan dari garis lurus AB pada jarak . Tentukan panjang sisi AB. (Jawaban: 4.)

Pilihan 2. Pada sisi AC pada segitiga ABC diambil titik K. AK = 1, KS = 3. Pada sisi AB diambil titik L. AL:LB = 2:3, Q adalah titik potong garis lurus BK dan CL. Hitunglah panjang tinggi segitiga ABC yang dijatuhkan dari titik sudut B. (Jawaban: 1.5.)

Pekerjaan diserahkan kepada guru untuk diperiksa.

tahap V. Ringkasan pelajaran (2 menit)

Kesalahan yang dibuat dianalisis, jawaban dan komentar asli dicatat. Hasil kerja masing-masing tim dirangkum dan diberi nilai.

Tahap VI. Pekerjaan rumah (1 menit)

Pekerjaan rumah terdiri dari soal no.11, 12 hal.289-290, no.10 hal.301.

Kata-kata terakhir dari guru (1 menit).

Hari ini Anda mendengar pidato matematika satu sama lain dari luar dan menilai kemampuan Anda. Di masa depan, kami akan menggunakan diskusi semacam ini untuk pemahaman yang lebih baik mengenai subjek ini. Argumen dalam pembelajaran berteman dengan fakta, dan teori dengan praktik. Terima kasih semua.

Literatur:

Tkachuk V.V. Matematika untuk pelamar. – M.: MTsNMO, 2005.

Mata kuliah geometri berisi teorema-teorema yang tidak dipelajari secara cukup rinci di sekolah, tetapi dapat berguna untuk memecahkan masalah-masalah paling kompleks dalam Unified State Examination dan Unified State Examination. Ini termasuk, misalnya, teorema Menelaus. Secara tradisional dipelajari di kelas dengan pembelajaran matematika mendalam di kelas 8, dan pada program reguler (menurut buku teks Atanasyan), teorema Menelaus dimasukkan dalam buku teks untuk kelas 10-11.
Sementara itu, hasil kajian sumber-sumber internet yang menyebutkan teorema Menelaus menunjukkan bahwa rumusannya biasanya tidak lengkap sehingga tidak akurat, dan semua kasus penggunaannya, serta pembuktian teorema kebalikannya, tidak diberikan. Tujuan artikel ini adalah untuk memahami apa itu teorema Menelaus, bagaimana dan mengapa teorema tersebut digunakan, dan juga untuk berbagi metodologi pengajaran teorema ini dalam pembelajaran tutor individu dengan siswa.
Mari kita perhatikan masalah khas (Tugas No. 26, OGE), yang muncul pada ujian dalam banyak varian, hanya berbeda pada angka-angka dalam kondisinya.

Solusi untuk masalahnya sendiri sederhana - Anda dapat menemukannya di bawah. Dalam artikel ini, kami terutama tertarik pada poin yang sedikit berbeda, yang sering kali diabaikan dan dianggap remeh, sebagai hal yang sudah jelas. Tapi yang jelas itulah yang bisa dibuktikan. Dan hal ini dapat dibuktikan dengan berbagai cara - biasanya dibuktikan secara eksklusif dengan menggunakan persamaan - namun dapat juga dengan menggunakan teorema Menelaus.
Syaratnya adalah karena sudut-sudut alas bawah trapesium berjumlah 90°, maka jika sisi-sisinya dipanjangkan maka akan diperoleh segitiga siku-siku. Selanjutnya, dari titik perpotongan perpanjangan sisi-sisinya, gambarlah sebuah segmen yang melewati bagian tengah alasnya. Mengapa ruas ini melewati ketiga titik tersebut? Biasanya, solusi untuk masalah yang ditemukan di Internet tidak menyebutkan sepatah kata pun tentang hal ini. Bahkan tidak ada referensi tentang teorema trapesium empat titik, apalagi bukti pernyataan ini. Sedangkan dapat dibuktikan dengan teorema Menelaus, yaitu syarat tiga titik berada pada satu garis.

Rumusan teorema Menelaus
Saatnya merumuskan teorema. Perlu dicatat bahwa dalam berbagai buku teks dan manual terdapat rumusan yang sangat berbeda, meskipun esensinya tetap tidak berubah. Dalam buku ajar Atanasyan dkk untuk kelas 10-11 diberikan rumusan teorema Menelaus sebagai berikut, sebut saja “vektor”:

Dalam buku teks “Geometri kelas 10-11” oleh Aleksandrov et al., serta dalam buku teks oleh penulis yang sama “Geometri. Kelas 8” memberikan rumusan teorema Menelaus yang sedikit berbeda, dan sama untuk kelas 10-11 dan kelas 8:
Ada tiga catatan yang perlu dibuat di sini.
Catatan 1. Tidak ada soal dalam ujian yang harus diselesaikan hanya dengan menggunakan vektor yang menggunakan “minus satu”. Oleh karena itu, untuk penggunaan praktis, rumusan yang paling mudah adalah rumusan yang pada dasarnya merupakan akibat wajar dari teorema segmen (ini adalah rumusan kedua, disorot dengan huruf tebal). Kami akan membatasi diri pada hal ini untuk mempelajari lebih lanjut teorema Menelaus, karena tujuan kami adalah mempelajari bagaimana menerapkannya untuk memecahkan masalah.
Catatan 2. Meskipun semua buku teks dengan jelas mengatur kasus ketika ketiga titik A 1, B 1 dan C 1 terletak pada perpanjangan sisi-sisi segitiga (atau pada garis lurus yang memuat sisi-sisi segitiga), pada Beberapa situs bimbingan belajar di Internet hanya kasus yang dirumuskan ketika dua titik terletak pada dua sisi, dan titik ketiga terletak pada kelanjutan sisi ketiga. Hal ini hampir tidak dapat dibenarkan oleh kenyataan bahwa dalam ujian hanya masalah jenis pertama yang ditemui dan masalah tidak dapat ditemui jika semua poin ini terletak pada perluasan tiga sisi.
Catatan 3. Teorema kebalikannya, yaitu. syarat tiga titik terletak pada garis yang sama biasanya tidak diperhatikan sama sekali, bahkan beberapa tutor menyarankan (???) untuk mempelajari teorema langsung saja dan tidak mempertimbangkan teorema invers. Sedangkan pembuktian pernyataan kebalikan cukup instruktif dan memungkinkan untuk membuktikan pernyataan-pernyataan yang serupa dengan yang diberikan pada penyelesaian Soal 1. Pengalaman membuktikan teorema kebalikan tentunya akan memberikan manfaat nyata bagi siswa dalam menyelesaikan masalah.

Gambar dan pola

Untuk mengajarkan siswa melihat teorema Menelaus dalam permasalahan dan menggunakannya saat mengambil keputusan, penting untuk memperhatikan gambar dan pola dalam penulisan teorema untuk kasus tertentu. Dan karena teorema itu sendiri dalam bentuk “murni”, yaitu. tanpa dikelilingi oleh segmen lain, sisi-sisi dari berbagai bangun biasanya tidak ditemukan dalam soal, maka lebih tepat ditunjukkan teorema pada soal tertentu. Dan jika Anda menampilkan gambar sebagai penjelasan, buatlah gambar tersebut multivariat. Dalam hal ini, sorot dalam satu warna (misalnya, merah) garis lurus yang dibentuk oleh tiga titik, dan dengan warna biru - segmen segitiga yang terlibat dalam penulisan teorema Menelaus. Dalam hal ini, elemen-elemen yang tidak berpartisipasi tetap berwarna hitam:

Sepintas, rumusan teorema tersebut mungkin tampak cukup rumit dan tidak selalu dapat dipahami; lagi pula, ini melibatkan tiga pecahan. Memang jika siswa tidak mempunyai pengalaman yang cukup, maka ia dapat dengan mudah melakukan kesalahan dalam menulis, dan akibatnya salah menyelesaikan soal. Dan di sinilah terkadang masalah dimulai. Intinya adalah buku teks biasanya tidak fokus pada bagaimana “menyelesaikannya” ketika menulis teorema. Tidak ada yang dikatakan tentang hukum pencatatan teorema itu sendiri. Itu sebabnya beberapa tutor bahkan menggambar panah berbeda untuk menunjukkan urutan penulisan rumus. Dan mereka meminta siswa untuk secara ketat mengikuti pedoman tersebut. Ini sebagian benar, tetapi memahami esensi teorema jauh lebih penting daripada menuliskannya secara mekanis, menggunakan "aturan bypass" dan panah.
Sebenarnya yang penting hanya memahami logika “bypass” tersebut, dan sangat tepat sehingga tidak mungkin terjadi kesalahan dalam penulisan rumusnya. Dalam kedua kasus a) dan b) kita menulis rumus segitiga AMC.
Pertama, kita tentukan sendiri tiga titik - titik sudut segitiga. Bagi kita ini adalah titik A, M, C. Kemudian kita tentukan titik-titik yang terletak pada garis potong (garis merah), yaitu B, P, K. Kita mulai “gerakannya” dari titik sudut segitiga, misalnya, dari titik C. Dari titik ini kita “pergi" ke titik yang dibentuk oleh perpotongan, misalnya sisi AC dan garis yang berpotongan - bagi kita ini adalah titik K. Kita tuliskan pembilang pecahan pertama - SK . Kemudian dari titik K kita “pergi” ke titik sisa pada garis AC - ke titik A. Kita tulis KA pada penyebut pecahan pertama. Karena titik A juga termasuk dalam garis AM, kita melakukan hal yang sama dengan ruas-ruas pada garis AM. Dan disini lagi kita mulai dari titik sudut, lalu kita “pergi” ke suatu titik pada garis yang berpotongan, setelah itu kita pindah ke titik sudut M. “Setelah menemukan diri kita sendiri” pada garis BC, kita melakukan hal yang sama dengan ruas-ruas di garis ini. Dari M kita “pergi”, tentu saja ke B, setelah itu kita kembali ke C. “Jalan memutar” ini bisa dilakukan searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam. Penting untuk memahami aturan traversal - dari titik ke titik pada garis, dan dari titik pada garis ke titik lainnya. Kira-kira beginilah aturan penulisan perkalian pecahan biasanya dijelaskan. Hasilnya adalah:
Harap dicatat bahwa seluruh "jalan memutar" tercermin dalam rekaman dan, untuk kenyamanan, ditunjukkan dengan panah.
Namun, rekaman yang dihasilkan dapat diperoleh tanpa melakukan “traversal” apa pun. Setelah titik – titik sudut segitiga (A, M, C) dan titik – titik yang terletak pada garis potong (B, P, K) dituliskan juga, tuliskan pula tiga buah huruf yang menunjukkan titik-titik yang terletak pada masing-masing ketiganya. garis. Dalam kasus kami, ini adalah I) B, M, C; II) A, P, M dan III) A, C, K. Setelah ini, sisi kiri kanan rumus dapat ditulis tanpa melihat gambarnya dan dalam urutan apa pun. Kita cukup menulis pecahan sejati dari masing-masing tiga huruf yang mematuhi aturan - secara konvensional, huruf “tengah” adalah titik pada garis yang berpotongan (merah). Biasanya, huruf “luar” adalah titik sudut segitiga (biru). Saat menulis rumus dengan cara ini, Anda hanya perlu memastikan bahwa huruf “biru” (titik sudut segitiga) muncul satu kali pada pembilang dan penyebutnya.
Metode ini khususnya berguna untuk kasus tipe b), serta untuk pengujian mandiri.

teorema Menelaus. Bukti
Ada beberapa cara berbeda untuk membuktikan teorema Menelaus. Kadang-kadang mereka membuktikannya dengan menggunakan persamaan segitiga, yang segmennya sejajar AC diambil dari titik M (seperti pada gambar ini). Yang lain menggambar garis tambahan yang tidak sejajar dengan garis yang berpotongan, dan kemudian, dengan menggunakan garis lurus yang sejajar dengan garis yang berpotongan, mereka seolah-olah “memproyeksikan” semua segmen yang diperlukan ke garis ini dan, menggunakan generalisasi teorema Thales (yaitu, teorema segmen proporsional), turunkan rumusnya. Namun mungkin cara pembuktian yang paling sederhana diperoleh dengan menggambar garis lurus dari titik M sejajar dengan titik potongnya. Mari kita buktikan teorema Menelaus dengan cara ini.
Diketahui: Segitiga ABC. Garis PK memotong sisi-sisi segitiga dan lanjutan sisi MC di titik B.
Buktikan bahwa persamaan tersebut berlaku:
Bukti. Mari kita menggambar sinar MM 1 sejajar dengan BK. Mari kita tuliskan hubungan yang melibatkan segmen-segmen yang termasuk dalam rumus teorema Menelaus. Dalam satu kasus, pertimbangkan garis yang berpotongan di titik A, dan dalam kasus lain, berpotongan di titik C. Mari kalikan ruas kiri dan kanan persamaan ini:

Teorema tersebut telah terbukti.
Teorema ini dibuktikan serupa untuk kasus b).

Dari titik C kita tarik ruas CC 1 sejajar dengan garis lurus BK. Mari kita tuliskan hubungan yang melibatkan segmen-segmen yang termasuk dalam rumus teorema Menelaus. Dalam satu kasus, perhatikan garis-garis yang berpotongan di titik A, dan dalam kasus lain, berpotongan di titik M. Karena teorema Thales tidak menjelaskan apa pun tentang lokasi segmen pada dua garis yang berpotongan, segmen tersebut dapat ditempatkan pada sisi yang berlawanan dari titik M. . Karena itu,

Teorema tersebut telah terbukti.

Sekarang mari kita buktikan teorema kebalikannya.
Diberikan:
Buktikan bahwa titik B, P, K terletak pada garis yang sama.
Bukti. Misalkan garis lurus BP memotong AC di suatu titik K 2 yang tidak berimpit dengan titik K. Karena BP adalah garis lurus yang memuat titik K 2 , maka teorema Menelaus yang terbukti valid untuk itu. Jadi, mari kita tuliskan untuknya
Namun, kami baru membuktikannya
Oleh karena itu, Titik K dan K 2 berimpit karena keduanya membagi sisi AC dengan perbandingan yang sama.
Untuk kasus b) teorema dibuktikan dengan cara yang sama.

Menyelesaikan masalah menggunakan teorema Menelaus

Pertama, mari kita kembali ke Masalah 1 dan menyelesaikannya. Mari kita membacanya lagi. Mari kita membuat gambar:

Diketahui trapesium ABCD. ST - garis tengah trapesium, mis. salah satu jarak yang diberikan. Sudut A dan D berjumlah 90°. Kita perpanjang sisi AB dan CD dan pada perpotongannya kita peroleh titik K. Hubungkan titik K dengan titik N - titik tengah BC. Sekarang kita buktikan bahwa titik P yang merupakan titik tengah alas AD juga termasuk dalam garis KN. Mari kita perhatikan segitiga ABD dan ACD secara berurutan. Dua sisi masing-masing segitiga berpotongan dengan garis KP. Misalkan garis lurus KN memotong alas AD di suatu titik X. Berdasarkan teorema Menelaus:
Karena segitiga AKD siku-siku, maka titik P yang merupakan titik tengah sisi miring AD berjarak sama dari A, D, dan K. Demikian pula titik N berjarak sama dari titik B, C, dan K. Dimana satu basa sama dengan 36 dan basa lainnya sama dengan 2.
Larutan. Perhatikan segitiga BCD. Dilintasi oleh sinar AX, dimana X adalah titik potong sinar tersebut dengan perpanjangan sisi BC. Menurut teorema Menelaus:
Substitusikan (1) ke (2) kita peroleh:

Larutan. Mari kita nyatakan dengan huruf S 1 , S 2 , S 3 dan S 4 masing-masing luas segitiga AOB, AOM, BOK dan segiempat MOKC.

Karena BM adalah median, maka S ABM = S BMC.
Artinya S 1 + S 2 = S 3 + S 4.
Karena kita perlu mencari perbandingan luas S 1 dan S 4, kita membagi kedua ruas persamaan dengan S 4:
Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus (1): Dari segitiga BMC dengan garis potong AK, menurut teorema Menelaus, kita peroleh: Dari segitiga AKC dengan garis potong BM, berdasarkan teorema Menelaus kita peroleh: Semua relasi yang diperlukan dinyatakan melalui k dan sekarang Anda dapat mensubstitusikannya ke dalam ekspresi (2):
Solusi untuk masalah ini menggunakan teorema Menelaus dibahas di halaman.

Catatan guru matematika. Penerapan teorema Menelaus dalam soal ini justru terjadi ketika metode ini memungkinkan Anda menghemat waktu ujian secara signifikan. Tugas ini ditawarkan dalam versi demo ujian masuk Lyceum di Sekolah Tinggi Ilmu Ekonomi untuk kelas 9 (2019).

Putuskan sendiri

1) Tugasnya lebih sederhana. Pada median BD segitiga ABC diberi tanda titik M sehingga BM:MD = m:n. Garis AM memotong sisi BC di titik K.
Tentukan perbandingan BK:KC.
2) Tugasnya lebih sulit. Garis bagi sudut A jajar genjang ABCD memotong sisi BC di titik P, dan diagonal BD di titik T. Diketahui AB: AD = k (0 3) Tugas No.26 OGE. Pada segitiga ABC, garis bagi BE dan median AD tegak lurus dan mempunyai panjang yang sama yaitu 36. Tentukan sisi-sisi segitiga ABC.
Petunjuk guru matematika. Di Internet seseorang dapat menemukan solusi untuk masalah tersebut dengan menggunakan konstruksi tambahan dan kemudian persamaan atau mencari luasnya, dan hanya setelah itu sisi-sisi segitiga. Itu. kedua metode ini memerlukan konstruksi tambahan. Namun, penyelesaian masalah tersebut menggunakan sifat garis bagi dan teorema Menelaus tidak memerlukan konstruksi tambahan apa pun. Ini jauh lebih sederhana dan rasional.

Kelas: 9

Tujuan pelajaran:

menggeneralisasi, memperluas dan mensistematisasikan pengetahuan dan keterampilan siswa; mengajarkan bagaimana menggunakan pengetahuan ketika memecahkan masalah yang kompleks;
mempromosikan pengembangan keterampilan penerapan pengetahuan secara mandiri dalam memecahkan masalah;
mengembangkan pemikiran logis dan ucapan matematis siswa, kemampuan menganalisis, membandingkan dan menggeneralisasi;
menanamkan rasa percaya diri dan kerja keras pada siswa; kemampuan bekerja dalam tim.

Tujuan pelajaran:

Pendidikan: ulangi teorema Menelaus dan Cheva; menerapkannya ketika memecahkan masalah.
Pembangunan: belajar mengajukan hipotesis dan dengan terampil mempertahankan pendapat Anda dengan bukti; uji kemampuan Anda untuk menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan Anda.
Pendidikan: meningkatkan minat pada subjek dan mempersiapkan diri untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks.

Jenis pelajaran: pelajaran generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.

Peralatan: kartu untuk kerja kolektif dalam pelajaran tentang topik ini, kartu individu untuk kerja mandiri, komputer, proyektor multimedia, layar.