Sudut serang kecil - [A.S. Goldberg. Kamus energi Inggris-Rusia. 2006] Topik rekayasa tenaga secara umum Sinonim sudut serang rendah EN insiden negatif insiden rendah ...

sudut pemotongan negatif- - Topik industri minyak dan gas EN sudut pemotongan negatif sudut pemotongan negatif penggaruk negatif ... Panduan Penerjemah Teknis

sudut bevel negatif dari permukaan atas sikat- [GOST 21888 82 (IEC 276 68, IEC 560 77)] Topik mesin putar listrik secara umum... Panduan Penerjemah Teknis

sudut sayap Ensiklopedia "Penerbangan"

sudut sayap- Sudut pemasangan sayap. sudut pemasangan sayap sudut φ0 antara tali pusat sayap dan sumbu dasar pesawat (lihat gambar). Tergantung pada konfigurasi aerodinamis pesawat, sudut ini bisa positif atau negatif. Biasanya … Ensiklopedia "Penerbangan"

Sudut sayap- sudut (φ)0 antara tali pusat sayap dan sumbu dasar pesawat. Tergantung pada konfigurasi aerodinamis pesawat, sudut ini bisa positif atau negatif. Biasanya berkisar antara ―2(°) hingga +3(°). Sudut (φ)0… … Ensiklopedia teknologi

SUDUT PENIPUAN- (Sudut tertekan) sudut yang dibentuk oleh garis elevasi (cm) dengan horizon pada saat garis pertama lewat di bawah horizon, yaitu sudut elevasi negatif. Samoilov K.I.Kamus kelautan. M.L.: Rumah Penerbitan Angkatan Laut Negara dari Persatuan NKVMF... ... Kamus Kelautan

SUDUT Sumbu OPTIK- sudut lancip antara opt. gandar pada poros biaksial. kamu.o. HAI. disebut positif jika garis bagi akut adalah Ng dan negatif jika garis bagi akut adalah Np (lihat Kristal biaksial optik). Benar U.o. HAI. ditunjuk... ... Ensiklopedia Geologi

Jarak (sudut)- Istilah ini memiliki arti lain, lihat Castor. θ jarak, garis merah merupakan sumbu kemudi roda. Pada gambar, jaraknya positif (sudut diukur searah jarum jam, bagian depan mobil di sebelah kiri) ... Wikipedia

Jarak (Sudut rotasi)- θ jarak, garis merah merupakan sumbu kemudi roda. Pada gambar, jaraknya positif (sudut diukur searah jarum jam, bagian depan mobil ada di sebelah kiri) Jarak (Bahasa Inggris kastor) adalah sudut kemiringan memanjang sumbu putar roda mobil. Jarak... ...Wikipedia

sudut penggaruk- 3.2.9 sudut rake: Sudut antara permukaan rake dan bidang alas (lihat Gambar 5). 1 sudut penggaruk negatif; 2 sudut rake positif Gambar 5 Sudut rake

Alpha adalah singkatan dari bilangan real. Tanda sama dengan pada ekspresi di atas menunjukkan bahwa jika Anda menambahkan angka atau tak terhingga ke tak terhingga, tidak ada yang berubah, hasilnya akan tetap tak terhingga. Jika kita mengambil himpunan bilangan asli tak terhingga sebagai contoh, maka contoh yang dipertimbangkan dapat direpresentasikan dalam bentuk ini:

Untuk membuktikan dengan jelas bahwa mereka benar, ahli matematika menemukan banyak metode berbeda. Secara pribadi, saya melihat semua metode ini sebagai dukun yang menari dengan rebana. Pada dasarnya, semuanya bermuara pada fakta bahwa beberapa kamar kosong dan ada tamu baru yang pindah, atau beberapa pengunjung dibuang ke koridor untuk memberi ruang bagi tamu (sangat manusiawi). Saya memaparkan pandangan saya tentang keputusan tersebut dalam bentuk cerita fantasi tentang si Pirang. Berdasarkan apa alasan saya? Merelokasi pengunjung dalam jumlah tak terbatas membutuhkan waktu yang tak terbatas. Setelah kita mengosongkan kamar pertama untuk seorang tamu, salah satu pengunjung akan selalu berjalan menyusuri koridor dari kamarnya ke kamar berikutnya hingga akhir zaman. Tentu saja, faktor waktu bisa saja diabaikan begitu saja, namun hal ini akan masuk dalam kategori “tidak ada hukum yang ditulis untuk orang bodoh”. Itu semua tergantung pada apa yang kita lakukan: menyesuaikan kenyataan dengan teori matematika atau sebaliknya.

Apa itu “hotel tanpa akhir”? Hotel tak terhingga adalah hotel yang selalu mempunyai jumlah tempat tidur kosong berapa pun, berapa pun jumlah kamar yang ditempati. Jika semua ruangan di koridor "pengunjung" tak berujung terisi, ada koridor tak berujung lainnya dengan kamar "tamu". Jumlah koridor seperti itu tidak terbatas. Terlebih lagi, “hotel tanpa batas” memiliki jumlah lantai yang tidak terbatas pada jumlah bangunan yang tidak terbatas pada jumlah planet yang tidak terbatas dalam jumlah alam semesta yang tidak terbatas yang diciptakan oleh Dewa yang jumlahnya tidak terbatas. Matematikawan tidak bisa menjauhkan diri dari permasalahan sehari-hari yang dangkal: selalu hanya ada satu Tuhan-Allah-Buddha, hanya ada satu hotel, hanya ada satu koridor. Jadi para ahli matematika mencoba mengatur nomor seri kamar hotel, meyakinkan kita bahwa “mendorong hal-hal yang mustahil” adalah mungkin.

Saya akan menunjukkan kepada Anda logika alasan saya menggunakan contoh himpunan bilangan asli tak terhingga. Pertama, Anda perlu menjawab pertanyaan yang sangat sederhana: ada berapa himpunan bilangan asli - satu atau banyak? Tidak ada jawaban yang benar untuk pertanyaan ini, karena kita sendiri yang menemukan angka; angka tidak ada di Alam. Ya, Alam sangat pandai berhitung, tetapi untuk ini ia menggunakan alat matematika lain yang tidak kita kenal. Saya akan memberi tahu Anda apa yang dipikirkan Alam lain kali. Sejak kita menemukan bilangan, kita sendiri yang akan memutuskan berapa banyak himpunan bilangan asli yang ada. Mari kita pertimbangkan kedua pilihan tersebut, sebagaimana layaknya ilmuwan sejati.

Opsi satu. “Mari kita diberikan” satu set bilangan asli, yang terletak dengan tenang di rak. Kami mengambil set ini dari rak. Itu saja, tidak ada bilangan asli lain yang tersisa di rak dan tidak ada tempat untuk membawanya. Kami tidak dapat menambahkan satu pun ke set ini, karena kami sudah memilikinya. Bagaimana jika Anda benar-benar menginginkannya? Tidak masalah. Kita dapat mengambil satu dari set yang telah kita ambil dan mengembalikannya ke rak. Setelah itu, kita dapat mengambil satu dari rak dan menambahkannya ke sisa yang tersisa. Hasilnya, kita kembali mendapatkan himpunan bilangan asli tak terhingga. Anda dapat menuliskan semua manipulasi kami seperti ini:

Saya menuliskan tindakan dalam notasi aljabar dan notasi teori himpunan, dengan daftar rinci elemen-elemen himpunan. Subskrip menunjukkan bahwa kita mempunyai satu-satunya himpunan bilangan asli. Ternyata himpunan bilangan asli tidak akan berubah hanya jika bilangan tersebut dikurangi satu dan ditambah satuan yang sama.

Opsi dua. Kami memiliki banyak himpunan bilangan asli tak terhingga yang berbeda di rak kami. Saya tekankan - BERBEDA, meskipun faktanya keduanya praktis tidak dapat dibedakan. Mari kita ambil salah satu dari set ini. Kemudian kita ambil satu dari himpunan bilangan asli lain dan menjumlahkannya ke himpunan yang telah kita ambil. Kita bahkan dapat menjumlahkan dua himpunan bilangan asli. Inilah yang kami dapatkan:

Subskrip "satu" dan "dua" menunjukkan bahwa unsur-unsur ini termasuk dalam himpunan yang berbeda. Ya, kalau dijumlahkan satu ke himpunan tak hingga, hasilnya juga himpunan tak hingga, tapi tidak sama dengan himpunan aslinya. Jika Anda menambahkan himpunan tak hingga lainnya ke satu himpunan tak hingga, hasilnya adalah himpunan tak hingga baru yang terdiri dari elemen-elemen dari dua himpunan pertama.

Himpunan bilangan asli digunakan untuk menghitung dengan cara yang sama seperti penggaris untuk mengukur. Sekarang bayangkan Anda menambahkan satu sentimeter pada penggaris. Ini akan menjadi garis yang berbeda, tidak sama dengan garis aslinya.

Anda dapat menerima atau tidak menerima alasan saya - itu urusan Anda sendiri. Namun jika Anda pernah menghadapi masalah matematika, pikirkan apakah Anda mengikuti jalur penalaran salah yang telah dilakukan oleh generasi ahli matematika. Lagi pula, mempelajari matematika, pertama-tama, membentuk stereotip berpikir yang stabil dalam diri kita, dan baru kemudian menambah kemampuan mental kita (atau, sebaliknya, menghilangkan kebebasan berpikir kita).

Minggu, 4 Agustus 2019

Saya sedang menyelesaikan catatan tambahan untuk sebuah artikel tentang dan melihat teks indah ini di Wikipedia:

Kita membaca: "... landasan teori yang kaya dari matematika Babel tidak memiliki karakter holistik dan direduksi menjadi seperangkat teknik yang berbeda, tanpa sistem umum dan basis bukti."

Wow! Seberapa pintar kita dan seberapa baik kita bisa melihat kekurangan orang lain. Apakah sulit bagi kita untuk melihat matematika modern dari sudut pandang yang sama? Sedikit memparafrasekan teks di atas, saya pribadi mendapatkan yang berikut:

Landasan teori matematika modern yang kaya tidak bersifat holistik dan direduksi menjadi sekumpulan bagian yang berbeda, tanpa sistem umum dan basis bukti.

Saya tidak akan mengkonfirmasi kata-kata saya jauh-jauh - ia memiliki bahasa dan konvensi yang berbeda dari bahasa dan konvensi banyak cabang matematika lainnya. Nama yang sama pada cabang matematika yang berbeda dapat mempunyai arti yang berbeda. Saya ingin mencurahkan seluruh rangkaian publikasi untuk kesalahan paling nyata dalam matematika modern. Sampai berjumpa lagi.

Sabtu, 3 Agustus 2019

Bagaimana cara membagi himpunan menjadi himpunan bagian? Untuk melakukan ini, Anda perlu memasukkan satuan pengukuran baru yang ada di beberapa elemen himpunan yang dipilih. Mari kita lihat sebuah contoh.

Semoga kita punya banyak A terdiri dari empat orang. Himpunan ini dibentuk atas dasar “orang”. Mari kita nyatakan unsur-unsur himpunan ini dengan huruf A, subskrip dengan nomor akan menunjukkan nomor seri setiap orang dalam kumpulan ini. Mari kita perkenalkan unit pengukuran baru "gender" dan nyatakan dengan huruf B. Karena karakteristik seksual melekat pada semua orang, kami mengalikan setiap elemen dari himpunan tersebut A berdasarkan jenis kelamin B. Perhatikan bahwa kumpulan “orang” kita kini telah menjadi kumpulan “orang dengan karakteristik gender”. Setelah ini kita bisa membagi ciri-ciri seksual menjadi laki-laki bm dan wanita bw karakteristik seksual. Sekarang kita dapat menerapkan filter matematis: kita memilih salah satu dari karakteristik seksual ini, tidak peduli yang mana - pria atau wanita. Kalau ada orang, maka kita kalikan dengan satu, jika tidak ada tandanya, kita kalikan dengan nol. Dan kemudian kami menggunakan matematika sekolah biasa. Lihat apa yang terjadi.

Setelah perkalian, reduksi, dan penataan ulang, kita mendapatkan dua himpunan bagian: himpunan bagian laki-laki Bm dan sebagian perempuan Bw. Para matematikawan bernalar dengan cara yang kira-kira sama ketika mereka menerapkan teori himpunan dalam praktik. Namun mereka tidak memberi tahu kita rinciannya, namun memberi kita hasil akhirnya - “banyak orang terdiri dari sebagian laki-laki dan sebagian perempuan.” Tentu saja, Anda mungkin mempunyai pertanyaan: seberapa benar penerapan matematika dalam transformasi yang diuraikan di atas? Saya berani meyakinkan Anda bahwa, pada dasarnya, transformasi dilakukan dengan benar; mengetahui dasar matematika aritmatika, aljabar Boolean, dan cabang matematika lainnya sudah cukup. Apa itu? Lain kali saya akan menceritakan hal ini kepada Anda.

Sedangkan untuk superset, Anda dapat menggabungkan dua himpunan menjadi satu superset dengan memilih satuan ukuran yang ada pada elemen kedua himpunan tersebut.

Seperti yang Anda lihat, satuan pengukuran dan matematika biasa menjadikan teori himpunan sebagai peninggalan masa lalu. Tanda bahwa teori himpunan tidak berjalan baik adalah para ahli matematika telah menciptakan bahasa dan notasi mereka sendiri untuk teori himpunan. Matematikawan pernah bertindak seperti dukun. Hanya dukun yang tahu bagaimana menerapkan “pengetahuan” mereka dengan “benar”. Mereka mengajari kita “pengetahuan” ini.

Sebagai kesimpulan, saya ingin menunjukkan kepada Anda bagaimana ahli matematika memanipulasi.

Senin, 7 Januari 2019

Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporianya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia “Achilles dan Kura-kura”. Berikut bunyinya:

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari sejauh ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles berlari seratus langkah, kura-kura merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Mereka semua menganggap aporia Zeno dalam satu atau lain cara. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut hingga hari ini; komunitas ilmiah belum dapat mencapai konsensus tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru dilibatkan dalam studi masalah ini ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara umum untuk masalah ini..."[Wikipedia," Zeno's Aporia ". Semua orang mengerti bahwa mereka sedang dibodohi, tapi tidak ada yang mengerti apa isi penipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari kuantitas ke kuantitas. Transisi ini menyiratkan penerapan, bukan penerapan permanen. Sejauh yang saya pahami, peralatan matematika untuk menggunakan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Menerapkan logika biasa membawa kita ke dalam jebakan. Karena kelembaman berpikir, kita menerapkan satuan waktu yang konstan pada nilai timbal balik. Dari sudut pandang fisik, ini tampak seperti waktu yang melambat hingga berhenti sepenuhnya pada saat Achilles menyusul penyu tersebut. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi berlari lebih cepat dari kura-kura.

Jika kita membalikkan logika kita yang biasa, semuanya akan beres. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen jalur berikutnya sepuluh kali lebih pendek dari segmen sebelumnya. Oleh karena itu, waktu yang dibutuhkan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dibandingkan waktu sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep “tak terhingga” dalam situasi ini, maka benar jika dikatakan “Achilles akan menyusul penyu dengan sangat cepat.”

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke satuan timbal balik. Dalam bahasa Zeno tampilannya seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama selang waktu berikutnya yang sama dengan waktu pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa adanya paradoks logis. Tapi ini bukanlah solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tak tertahankan sangat mirip dengan aporia Zeno “Achilles and the Tortoise”. Kita masih harus mempelajari, memikirkan kembali dan menyelesaikan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah yang sangat besar, namun dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Anak panah yang terbang tidak bergerak, karena ia diam pada setiap saat, dan karena ia diam pada setiap saat, maka ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap momen waktu sebuah panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto sebuah mobil di jalan raya, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan apakah sebuah mobil sedang bergerak, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi Anda tidak dapat menentukan jarak dari keduanya. Untuk menentukan jarak ke sebuah mobil, Anda memerlukan dua buah foto yang diambil dari titik ruang yang berbeda pada satu titik waktu, namun dari foto tersebut Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakannya (tentunya Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungannya, trigonometri akan membantu Anda ). Yang ingin saya tarik perhatian khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan, karena keduanya memberikan peluang penelitian yang berbeda.

Rabu, 4 Juli 2018

Saya sudah memberi tahu Anda apa yang digunakan dukun untuk mencoba memilah "" kenyataan. bagaimana mereka melakukan ini? Bagaimana sebenarnya pembentukan himpunan terjadi?

Mari kita lihat lebih dekat definisi himpunan: "kumpulan elemen-elemen berbeda, yang disusun sebagai satu kesatuan." Sekarang rasakan perbedaan antara dua frasa: “dapat dibayangkan secara keseluruhan” dan “dapat dibayangkan secara keseluruhan”. Frasa pertama adalah hasil akhir, himpunan. Ungkapan kedua adalah persiapan awal untuk pembentukan orang banyak. Pada tahap ini, realitas dibagi menjadi elemen-elemen individual (“keseluruhan”), yang darinya kemudian akan terbentuk banyak (“keseluruhan”). Pada saat yang sama, faktor yang memungkinkan untuk menggabungkan "keseluruhan" menjadi "satu kesatuan" dipantau dengan cermat, jika tidak, dukun tidak akan berhasil. Lagipula, para dukun sudah tahu sebelumnya set seperti apa yang ingin mereka tunjukkan kepada kita.

Saya akan menunjukkan prosesnya dengan sebuah contoh. Kami memilih "padat merah dalam jerawat" - ini adalah "keseluruhan" kami. Pada saat yang sama, kita melihat bahwa benda-benda ini ada yang memiliki busur, dan ada yang tidak memiliki busur. Setelah itu, kita pilih bagian dari “keseluruhan” dan membentuk satu set “dengan busur”. Beginilah cara dukun mendapatkan makanannya dengan mengaitkan teori himpunan mereka dengan kenyataan.

Sekarang mari kita lakukan sedikit trik. Mari kita ambil "padat dengan jerawat dengan busur" dan gabungkan "keseluruhan" ini menurut warna, pilih elemen merah. Kami mendapat banyak "merah". Sekarang pertanyaan terakhir: apakah himpunan yang dihasilkan “dengan busur” dan “merah” merupakan himpunan yang sama atau dua himpunan berbeda? Hanya dukun yang tahu jawabannya. Lebih tepatnya, mereka sendiri tidak tahu apa-apa, tetapi seperti yang mereka katakan, memang begitulah adanya.

Contoh sederhana ini menunjukkan bahwa teori himpunan sama sekali tidak berguna jika dikaitkan dengan kenyataan. Apa rahasianya? Kami membentuk satu set "padatan merah dengan jerawat dan busur". Pembentukannya terjadi dalam empat satuan ukuran yang berbeda: warna (merah), kekuatan (padat), kekasaran (berjerawat), hiasan (dengan busur). Hanya seperangkat satuan pengukuran yang memungkinkan kita mendeskripsikan objek nyata secara memadai dalam bahasa matematika. Seperti inilah tampilannya.

Huruf "a" dengan indeks berbeda menunjukkan satuan pengukuran yang berbeda. Unit pengukuran yang membedakan "keseluruhan" pada tahap awal ditandai dalam tanda kurung. Satuan ukuran yang digunakan untuk membentuk himpunan dikeluarkan dari tanda kurung. Baris terakhir menunjukkan hasil akhir - elemen himpunan. Seperti yang Anda lihat, jika kita menggunakan satuan pengukuran untuk membentuk suatu himpunan, maka hasilnya tidak bergantung pada urutan tindakan kita. Dan ini matematika, dan bukan tarian dukun dengan rebana. Dukun dapat “secara intuitif” mendapatkan hasil yang sama, dengan alasan bahwa hal tersebut “jelas”, karena satuan pengukuran bukanlah bagian dari persenjataan “ilmiah” mereka.

Dengan menggunakan satuan ukuran, sangat mudah untuk membagi satu set atau menggabungkan beberapa set menjadi satu superset. Mari kita lihat lebih dekat aljabar dari proses ini.

Sabtu, 30 Juni 2018

Jika matematikawan tidak dapat mereduksi suatu konsep menjadi konsep lain, maka mereka tidak memahami apapun tentang matematika. Saya menjawab: apa perbedaan unsur-unsur suatu himpunan dengan unsur-unsur himpunan lainnya? Jawabannya sangat sederhana: angka dan satuan pengukuran.

Saat ini, segala sesuatu yang tidak kita ambil termasuk dalam himpunan tertentu (seperti yang diyakini para ahli matematika). Ngomong-ngomong, apakah Anda melihat di cermin di dahi Anda daftar set yang Anda miliki? Dan saya belum pernah melihat daftar seperti itu. Saya akan mengatakan lebih banyak - tidak ada satu pun benda pada kenyataannya yang memiliki tag dengan daftar set milik benda tersebut. Semua set adalah penemuan dukun. Bagaimana mereka melakukannya? Mari kita melihat lebih dalam sejarah dan melihat seperti apa elemen-elemen himpunan sebelum para dukun matematikawan memasukkannya ke dalam himpunan mereka.

Dahulu kala, ketika belum ada yang pernah mendengar tentang matematika, dan hanya pohon dan Saturnus yang memiliki cincin, kawanan besar elemen himpunan liar berkeliaran di bidang fisik (bagaimanapun juga, dukun belum menemukan bidang matematika). Mereka terlihat seperti ini.

Ya, jangan kaget, dari sudut pandang matematika, semua elemen himpunan paling mirip dengan bulu babi - dari satu titik, seperti jarum, satuan pengukuran mencuat ke segala arah. Bagi mereka yang, saya ingatkan Anda bahwa setiap satuan pengukuran dapat direpresentasikan secara geometris sebagai segmen dengan panjang sembarang, dan bilangan sebagai titik. Secara geometris, besaran apa pun dapat direpresentasikan sebagai sekumpulan segmen yang mencuat ke berbagai arah dari satu titik. Titik ini adalah titik nol. Saya tidak akan menggambar karya seni geometris ini (tanpa inspirasi), tetapi Anda dapat dengan mudah membayangkannya.

Satuan ukuran manakah yang membentuk suatu unsur suatu himpunan? Segala macam hal yang menggambarkan suatu elemen tertentu dari sudut pandang yang berbeda. Ini adalah satuan pengukuran kuno yang digunakan nenek moyang kita dan sudah lama dilupakan semua orang. Ini adalah satuan pengukuran modern yang kita gunakan sekarang. Ini juga merupakan satuan pengukuran yang tidak kita ketahui, yang akan dihasilkan oleh keturunan kita dan akan digunakan untuk menggambarkan realitas.

Kami telah memilah geometrinya - model elemen himpunan yang diusulkan memiliki representasi geometris yang jelas. Bagaimana dengan fisika? Satuan pengukuran adalah hubungan langsung antara matematika dan fisika. Jika dukun tidak mengenali satuan pengukuran sebagai elemen teori matematika yang lengkap, inilah masalah mereka. Saya pribadi tidak dapat membayangkan ilmu matematika yang sebenarnya tanpa satuan pengukuran. Itulah sebabnya di awal cerita tentang teori himpunan saya menyebutnya sebagai Zaman Batu.

Tapi mari kita beralih ke hal yang paling menarik - aljabar elemen himpunan. Secara aljabar, setiap elemen suatu himpunan merupakan hasil kali (hasil perkalian) dari besaran yang berbeda-beda. Tampilannya seperti ini.

Saya sengaja tidak menggunakan konvensi teori himpunan, karena kita sedang mempertimbangkan elemen himpunan di habitat aslinya sebelum munculnya teori himpunan. Setiap pasangan huruf dalam tanda kurung menunjukkan besaran tersendiri, terdiri dari suatu bilangan yang ditunjukkan dengan huruf " N" dan satuan ukurannya ditunjukkan dengan huruf " A". Indeks di sebelah huruf menunjukkan bahwa angka dan satuan pengukuran berbeda. Salah satu elemen himpunan dapat terdiri dari besaran yang jumlahnya tak terhingga (berapa banyak imajinasi yang cukup bagi kita dan keturunan kita). Setiap tanda kurung digambarkan secara geometris sebagai segmen yang terpisah. Dalam contoh dengan bulu babi, satu braket adalah satu jarum.

Bagaimana dukun membentuk kumpulan dari berbagai elemen? Faktanya, berdasarkan satuan pengukuran atau angka. Karena tidak memahami apa pun tentang matematika, mereka mengambil bulu babi yang berbeda dan memeriksanya dengan cermat untuk mencari satu jarum yang digunakan untuk membentuk satu set. Jika ada jarum seperti itu, maka elemen ini termasuk dalam himpunan; jika tidak ada jarum seperti itu, maka elemen tersebut bukan dari himpunan ini. Dukun menceritakan kepada kita dongeng tentang proses berpikir dan keseluruhannya.

Seperti yang sudah Anda duga, elemen yang sama dapat dimiliki oleh himpunan yang sangat berbeda. Selanjutnya saya akan menunjukkan kepada Anda bagaimana himpunan, himpunan bagian, dan omong kosong perdukunan lainnya terbentuk. Seperti yang Anda lihat, “tidak mungkin ada dua elemen yang identik dalam satu himpunan”, tetapi jika ada elemen yang identik dalam suatu himpunan, himpunan tersebut disebut “multiset”. Makhluk berakal tidak akan pernah memahami logika absurd seperti itu. Ini adalah level burung beo yang bisa berbicara dan monyet terlatih, yang tidak memiliki kecerdasan dari kata “sepenuhnya”. Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengajarkan kepada kita ide-ide absurd mereka.

Suatu ketika, para insinyur yang membangun jembatan berada di perahu di bawah jembatan saat menguji jembatan tersebut. Jika jembatan itu runtuh, insinyur biasa-biasa saja itu mati di bawah reruntuhan ciptaannya. Jika jembatan itu mampu menahan beban, insinyur berbakat itu membangun jembatan lain.

Tidak peduli bagaimana ahli matematika bersembunyi di balik ungkapan "ingatlah, saya ada di rumah", atau lebih tepatnya, "matematika mempelajari konsep-konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan konsep-konsep tersebut dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika pada ahli matematika itu sendiri.

Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di depan kasir, membagikan gaji. Jadi seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan menaruhnya di meja kami dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami menaruh uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kita mengambil satu lembar uang dari setiap tumpukan dan memberikan “gaji matematis” kepada ahli matematika tersebut. Mari kita jelaskan kepada ahli matematika bahwa dia akan menerima sisa uang hanya jika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.

Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: “Ini bisa diterapkan pada orang lain, tapi tidak pada saya!” Kemudian mereka akan mulai meyakinkan kita bahwa uang kertas pecahan yang sama mempunyai nomor uang kertas yang berbeda, yang berarti tidak dapat dianggap sebagai unsur yang sama. Oke, mari kita hitung gaji dalam koin - tidak ada angka pada koin tersebut. Di sini ahli matematika akan mulai mengingat fisika dengan panik: koin yang berbeda memiliki jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan susunan atom unik untuk setiap koin...

Dan sekarang saya mempunyai pertanyaan yang paling menarik: di manakah garis di luar mana elemen-elemen dari suatu himpunan banyak berubah menjadi elemen-elemen suatu himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains bahkan tidak bisa berbohong di sini.

Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama - artinya kita memiliki multiset. Tapi kalau kita lihat nama-nama stadion yang sama ini, kita mendapat banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama merupakan himpunan dan multiset. Yang mana yang benar? Dan di sini ahli matematika-dukun-tajam mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang himpunan atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.

Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, menghubungkannya dengan kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: apa perbedaan unsur-unsur suatu himpunan dengan unsur-unsur himpunan lainnya? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "yang dapat dibayangkan sebagai bukan satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".

Sebut saja rotasi vektor jari-jari bergerak berlawanan arah jarum jam sebagai positif, dan berlawanan arah jarum jam (searah jarum jam) negatif. Sudut yang digambarkan oleh putaran negatif vektor jari-jari bergerak disebut sudut negatif.

Aturan. Sudut diukur dengan bilangan positif jika positif dan bilangan negatif jika negatif.

Contoh 1. Pada Gambar. Gambar 80 menunjukkan dua sudut dengan sisi awal yang sama OA dan sisi akhir yang sama OD: yang satu sama dengan +270°, yang lain -90°.

Jumlah dua sudut. Pada bidang koordinat Oxy, perhatikan sebuah lingkaran dengan jari-jari satuan yang berpusat di titik asal (Gbr. 81).

Misalkan sudut sembarang a (positif pada gambar) diperoleh sebagai hasil perputaran vektor jari-jari bergerak tertentu dari posisi awalnya OA, bertepatan dengan arah positif sumbu Ox, ke posisi akhirnya.

Sekarang mari kita ambil posisi vektor jari-jari OE sebagai posisi awal dan sisihkan sudut sembarang darinya (positif pada gambar), yang kita peroleh sebagai hasil perputaran vektor jari-jari bergerak tertentu dari posisi awalnya OE ke posisi awal. posisi akhir OS. Sebagai hasil dari tindakan ini, kita akan memperoleh sudut, yang kita sebut jumlah sudut a dan . (Posisi awal vektor radius bergerak OA, posisi akhir vektor radius OS.)

Perbedaan antara dua sudut.

Dengan selisih dua sudut a dan , yang kita nyatakan, kita akan memahami sudut ketiga y, yang jika dijumlahkan dengan sudut tersebut menghasilkan sudut a, yaitu jika selisih dua sudut dapat diartikan sebagai jumlah sudut a dan . Faktanya, secara umum, untuk sudut mana pun, jumlah sudut tersebut diukur dengan jumlah aljabar bilangan real yang mengukur sudut tersebut.

Contoh 2. lalu .

Contoh 3. Sudut , dan sudut . Jumlahnya.

Dalam rumus (95.1) diasumsikan bahwa - bilangan bulat non-negatif. Jika kita berasumsi bahwa itu adalah bilangan bulat apa pun (positif, negatif, atau nol), maka gunakan rumusnya

di mana Anda dapat menulis sudut mana pun, baik positif maupun negatif.

Contoh 4. Sudut sebesar -1370° dapat ditulis sebagai berikut:

Perhatikan bahwa semua sudut yang ditulis menggunakan rumus (96.1), dengan nilai , tetapi a yang sama, memiliki sisi awal (OA) dan sisi akhir (OE) yang sama (Gbr. 79). Oleh karena itu, konstruksi sudut mana pun direduksi menjadi konstruksi sudut non-negatif yang bersesuaian kurang dari 360°. Pada Gambar. 79 sudut tidak berbeda satu sama lain; mereka hanya berbeda dalam proses rotasi vektor jari-jari, yang menyebabkan pembentukannya.

Pada pelajaran terakhir, kita berhasil menguasai (atau mengulanginya, tergantung siapa yang Anda pilih) konsep kunci dari semua trigonometri. Ini lingkaran trigonometri , sudut pada lingkaran , sinus dan kosinus sudut ini , dan juga dikuasai tanda-tanda fungsi trigonometri per empat . Kami menguasainya secara detail. Bisa dibilang, di jari.

Tapi ini belum cukup. Agar berhasil menerapkan semua konsep sederhana ini dalam praktik, kita memerlukan keterampilan lain yang berguna. Yakni, yang benar bekerja dengan sudut dalam trigonometri. Tanpa keterampilan trigonometri ini, tidak mungkin. Bahkan dalam contoh yang paling primitif sekalipun. Mengapa? Ya, karena sudut adalah angka aktif utama dalam semua trigonometri! Bukan, bukan fungsi trigonometri, bukan sinus dan kosinus, bukan tangen dan kotangen yaitu sudut itu sendiri. Tidak ada sudut berarti tidak ada fungsi trigonometri ya...

Bagaimana cara mengerjakan sudut pada lingkaran? Untuk melakukan ini, kita perlu memahami dua hal dengan tegas.

1) Bagaimana Apakah sudut diukur pada lingkaran?

2) Apa apakah mereka dihitung (diukur)?

Jawaban atas pertanyaan pertama adalah topik pelajaran hari ini. Kami akan membahas pertanyaan pertama secara rinci di sini dan saat ini. Saya tidak akan memberikan jawaban untuk pertanyaan kedua di sini. Karena sudah cukup berkembang. Sama seperti pertanyaan kedua itu sendiri yang sangat licin ya.) Saya belum akan menjelaskannya secara detail. Ini adalah topik pelajaran terpisah berikutnya.

Bagaimana kalau kita mulai?

Bagaimana cara mengukur sudut pada lingkaran? Sudut positif dan negatif.

Mereka yang membaca judul paragraf mungkin sudah merinding. Bagaimana?! Sudut negatif? Apakah ini mungkin?

Menjadi negatif angka Kami sudah terbiasa dengan hal itu. Kita dapat menggambarkannya pada sumbu bilangan: di sebelah kanan nol adalah positif, di sebelah kiri nol adalah negatif. Ya, dan kami secara berkala melihat termometer di luar jendela. Terutama di musim dingin, saat cuaca dingin.) Dan uang di telepon berada di posisi minus (yaitu. tugas) terkadang mereka pergi. Ini semua familiar.

Bagaimana dengan sudutnya? Ternyata sudut negatif dalam matematika ada juga! Itu semua tergantung bagaimana mengukur sudut ini... bukan, bukan pada garis bilangan, tapi pada lingkaran bilangan! Artinya, dalam lingkaran. Lingkaran – ini dia, analog dengan garis bilangan dalam trigonometri!

Jadi, Bagaimana cara mengukur sudut pada lingkaran? Tidak ada yang bisa kita lakukan, kita harus menggambar lingkaran ini terlebih dahulu.

Saya akan menggambar gambar yang indah ini:

Ini sangat mirip dengan gambar dari pelajaran terakhir. Ada sumbu, ada lingkaran, ada sudut. Namun ada juga informasi baru.

Saya juga menambahkan angka 0°, 90°, 180°, 270° dan 360° pada sumbunya. Sekarang ini lebih menarik.) Angka apa sajakah ini? Benar! Ini adalah nilai sudut yang diukur dari sisi tetap kita yang jatuh ke sumbu koordinat. Kita ingat bahwa sisi tetap dari sudut selalu terikat erat pada semi-sumbu positif OX. Dan setiap sudut dalam trigonometri diukur secara tepat dari sumbu semi ini. Titik awal dasar untuk sudut ini harus selalu diingat. Dan sumbunya – berpotongan tegak lurus, bukan? Jadi kami menambahkan 90° di setiap kuartal.

Dan masih banyak lagi yang ditambahkan panah merah. Dengan nilai tambah. Warna merah sengaja dibuat agar menarik perhatian. Dan itu terekam dengan baik dalam ingatanku. Karena ini harus diingat dengan baik.) Apa maksud panah ini?

Jadi ternyata kalau kita memutar sudutnya sepanjang panah dengan plus(berlawanan arah jarum jam, sesuai penomoran bagian), lalu sudutnya akan dianggap positif! Sebagai contoh, gambar menunjukkan sudut +45°. Ngomong-ngomong, harap dicatat bahwa sudut aksial 0°, 90°, 180°, 270° dan 360° juga diputar ulang ke arah positif! Ikuti panah merah.

Sekarang mari kita lihat gambar lainnya:

Hampir semuanya sama di sini. Hanya sudut pada sumbu yang diberi nomor terbalik. Searah jarum jam. Dan mereka memiliki tanda minus.) Masih digambar panah biru. Juga dengan minusnya. Panah ini adalah arah sudut negatif pada lingkaran. Dia menunjukkan kepada kita hal itu jika kita menunda sudut kita searah jarum jam, Itu sudutnya akan dianggap negatif. Misalnya, saya menunjukkan sudut -45°.

Ngomong-ngomong, perlu diingat bahwa penomoran kuartal tidak pernah berubah! Tidak masalah apakah kita memindahkan sudutnya ke plus atau minus. Selalu berlawanan arah jarum jam.)

Ingat:

1. Titik tolak sudut adalah dari sumbu semi positif OX. Berdasarkan waktu – “minus”, melawan waktu – “plus”.

2. Penomoran bagian selalu berlawanan arah jarum jam, apapun arah penghitungan sudutnya.

Ngomong-ngomong, memberi label sudut pada sumbu 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, setiap kali menggambar lingkaran, sama sekali tidak wajib. Hal ini dilakukan semata-mata demi memahami maksudnya. Tapi angka-angka ini harus ada di kepalamu ketika memecahkan masalah trigonometri apa pun. Mengapa? Ya, karena pengetahuan dasar ini memberikan jawaban atas begitu banyak pertanyaan lain di seluruh trigonometri! Pertanyaan yang paling penting adalah Pada kuartal manakah sudut yang kita minati berada? Percaya atau tidak, menjawab pertanyaan ini dengan benar akan menyelesaikan sebagian besar soal trigonometri lainnya. Kita akan membahas pelajaran penting ini (membagi sudut menjadi empat bagian) dalam pelajaran yang sama, tetapi nanti.

Nilai sudut yang terletak pada sumbu koordinat (0°, 90°, 180°, 270° dan 360°) harus diingat! Ingatlah dengan tegas, hingga menjadi otomatis. Dan keduanya plus dan minus.

Tapi mulai saat ini kejutan pertama dimulai. Dan bersamaan dengan itu, pertanyaan-pertanyaan rumit ditujukan kepada saya, ya...) Apa jadinya jika ada sudut negatif pada sebuah lingkaran bertepatan dengan yang positif? Ternyata itu titik yang sama pada lingkaran dapat dilambangkan dengan sudut positif dan sudut negatif???

Benar-benar tepat! Ini benar.) Misalnya, sudut positif +270° menempati sebuah lingkaran situasi yang sama , sama dengan sudut negatif -90°. Atau, misalnya, sudut positif sebesar +45° pada sebuah lingkaran situasi yang sama , sama dengan sudut negatif -315°.

Kami melihat gambar berikutnya dan melihat semuanya:

Dengan cara yang sama, sudut positif +150° akan jatuh di tempat yang sama dengan sudut negatif -210°, sudut positif +230° akan jatuh di tempat yang sama dengan sudut negatif -130°. Dan seterusnya…

Dan sekarang apa yang bisa saya lakukan? Bagaimana cara menghitung sudut jika bisa begini dan begitu? Yang mana yang benar?

Menjawab: dalam segala hal benar! Matematika tidak melarang salah satu dari dua arah untuk menghitung sudut. Dan pilihan arah tertentu hanya bergantung pada tugasnya. Jika tugas tidak menyebutkan apa pun dalam teks biasa tentang tanda sudut (misalnya "tentukan yang terbesar negatif sudut" dll.), lalu kami bekerja dengan sudut yang paling nyaman bagi kami.

Tentu saja, misalnya dalam topik keren seperti persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, arah perhitungan sudut bisa berdampak besar pada jawabannya. Dan dalam topik yang relevan kami akan mempertimbangkan kendala ini.

Ingat:

Setiap titik pada lingkaran dapat dinyatakan dengan sudut positif atau negatif. Siapa pun! Apapun yang kita inginkan.

Sekarang mari kita pikirkan hal ini. Kita mengetahui bahwa sudut 45° sama persis dengan sudut -315°? Bagaimana saya mengetahui tentang 315 yang sama ini° ? Tidak bisakah kamu menebaknya? Ya! Melalui putaran penuh.) Dalam 360°. Kami memiliki sudut 45°. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan satu revolusi penuh? Kurangi 45° dari 360° - jadi kita mendapat 315° . Bergerak ke arah negatif dan kita mendapatkan sudut -315°. Masih belum jelas? Kemudian lihat lagi gambar di atas.

Dan ini harus selalu dilakukan ketika mengubah sudut positif menjadi negatif (dan sebaliknya) - menggambar sebuah lingkaran, tandai sekitar sudut tertentu, kita menghitung berapa derajat yang hilang untuk menyelesaikan satu putaran penuh, dan memindahkan perbedaan yang dihasilkan ke arah yang berlawanan. Itu saja.)

Menurut Anda, apa lagi yang menarik dari sudut-sudut yang menempati posisi yang sama pada sebuah lingkaran? Dan fakta bahwa di sudut-sudut tersebut persis sama sinus, cosinus, tangen dan kotangen! Selalu!

Misalnya:

Dosa45° = dosa(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

Tapi ini sangat penting! Untuk apa? Ya, semuanya untuk hal yang sama!) Untuk menyederhanakan ekspresi. Karena menyederhanakan ekspresi adalah prosedur kunci untuk mencapai solusi yang sukses setiap tugas matematika. Dan dalam trigonometri juga.

Jadi, kami menemukan aturan umum untuk menghitung sudut pada lingkaran. Nah, jika kita mulai berbicara tentang putaran penuh, tentang seperempat putaran, maka inilah waktunya untuk memutar dan menggambar sudut-sudut ini. Bagaimana kalau kita menggambar?)

Mari kita mulai dengan positif sudut Mereka akan lebih mudah untuk digambar.

Kami menggambar sudut dalam satu putaran (antara 0° dan 360°).

Mari kita menggambar, misalnya, sudut 60°. Semuanya sederhana di sini, tidak ada kerumitan. Kami menggambar sumbu koordinat dan lingkaran. Anda dapat melakukannya langsung dengan tangan, tanpa kompas atau penggaris. Ayo menggambar secara skematis: Kami tidak menggambar bersamamu. Anda tidak perlu mematuhi standar apa pun, Anda tidak akan dihukum.)

Anda dapat (untuk diri Anda sendiri) menandai nilai sudut pada sumbu dan mengarahkan panah ke arahnya melawan waktu. Lagi pula, kita akan menabung sebagai nilai tambah?) Anda tidak harus melakukan ini, tetapi Anda harus mengingat semuanya.

Dan sekarang kita menggambar sisi sudut kedua (bergerak). Di kuartal berapa? Tentu saja yang pertama! Karena 60 derajat berada di antara 0° dan 90°. Jadi kami bermain imbang di kuarter pertama. Pada suatu sudut sekitar 60 derajat ke sisi tetap. Bagaimana cara menghitung sekitar 60 derajat tanpa busur derajat? Mudah! 60° adalah dua pertiga sudut siku-siku! Kami secara mental membagi iblis pertama dari lingkaran menjadi tiga bagian, mengambil dua pertiga untuk diri kami sendiri. Dan kita menggambar... Berapa sebenarnya kita sampai di sana (jika Anda memasang busur derajat dan mengukur) - 55 derajat atau 64 - tidak masalah! Yang penting itu masih ada di suatu tempat sekitar 60°.

Kami mendapatkan gambarnya:

Itu saja. Dan tidak diperlukan alat apa pun. Ayo kembangkan mata kita! Ini akan berguna dalam soal geometri.) Gambar yang tidak sedap dipandang ini sangat diperlukan ketika Anda perlu mencoret-coret lingkaran dan sudut dengan cepat, tanpa terlalu memikirkan keindahan. Tapi sekaligus mencoret-coret Benar, tanpa kesalahan, dengan semua informasi yang diperlukan. Misalnya sebagai bantuan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri.

Sekarang mari kita menggambar sudut, misalnya 265°. Mari kita cari tahu di mana lokasinya? Jelas sekali bahwa ini bukan pada kuartal pertama atau bahkan pada kuartal kedua: keduanya berakhir pada 90 dan 180 derajat. Anda dapat mengetahui bahwa 265° adalah 180° ditambah 85° lainnya. Artinya, ke semi-sumbu negatif OX (180°) yang perlu Anda tambahkan sekitar 85°. Atau, yang lebih sederhana lagi, tebak bahwa 265° tidak mencapai sumbu semi-negatif OY (di mana 270° berada) sekitar 5° yang disayangkan. Singkatnya, di kuartal ketiga akan ada sudut seperti ini. Sangat dekat dengan semi-sumbu negatif OY, hingga 270 derajat, tetapi masih di sumbu ketiga!

Ayo menggambar:

Sekali lagi, ketelitian mutlak tidak diperlukan di sini. Misalkan pada kenyataannya sudut ini menjadi, katakanlah, 263 derajat. Tapi untuk pertanyaan yang paling penting (kuartal berapa?) kami menjawab dengan benar. Mengapa ini menjadi pertanyaan paling penting? Ya, karena setiap pekerjaan dengan sudut dalam trigonometri (tidak masalah apakah kita menggambar sudut ini atau tidak) dimulai dengan jawaban atas pertanyaan ini! Selalu. Jika Anda mengabaikan pertanyaan ini atau mencoba menjawabnya secara mental, maka kesalahan hampir tidak bisa dihindari, ya... Apakah Anda membutuhkannya?

Ingat:

Pekerjaan apa pun dengan suatu sudut (termasuk menggambar sudut ini pada sebuah lingkaran) selalu dimulai dengan menentukan bagian di mana sudut tersebut berada.

Sekarang, saya harap Anda dapat menggambarkan sudut secara akurat, misalnya 182°, 88°, 280°. DI DALAM benar perempat. Pada yang ketiga, pertama dan keempat, jika itu...)

Kuarter keempat diakhiri dengan sudut 360°. Ini adalah satu revolusi penuh. Jelas bahwa sudut ini menempati posisi yang sama pada lingkaran dengan 0° (yaitu titik asal). Tapi sudutnya tidak berakhir di situ, ya...

Apa yang harus dilakukan dengan sudut yang lebih besar dari 360°?

“Apakah memang ada hal seperti itu?”- Anda bertanya. Itu memang terjadi! Misalnya ada sudut 444°. Dan terkadang, katakanlah, sudut 1000°. Sudutnya bermacam-macam.) Hanya saja secara visual sudut eksotik seperti itu dirasakan sedikit lebih sulit dibandingkan sudut yang biasa kita lihat dalam satu putaran. Tapi kamu juga harus bisa menggambar dan menghitung sudut seperti itu ya.

Untuk menggambar sudut seperti itu pada lingkaran dengan benar, Anda memerlukan hal yang sama - cari tahu Pada kuartal manakah sudut yang kita minati berada? Di sini, kemampuan untuk menentukan seperempat secara akurat jauh lebih penting daripada sudut dari 0° hingga 360°! Prosedur penentuan triwulan sendiri diperumit hanya dengan satu langkah. Anda akan segera melihat apa itu.

Jadi, misalnya, kita perlu mencari tahu di kuadran mana sudut 444° berada. Mari kita mulai berputar. Di mana? Sebuah nilai tambah, tentu saja! Mereka memberi kami sudut pandang positif! +444°. Kami memutar, kami memutar... Kami memutarnya satu putaran - kami mencapai 360°.

Berapa lama waktu yang tersisa hingga 444°?Kami menghitung sisa ekornya:

444°-360° = 84°.

Jadi, 444° adalah satu putaran penuh (360°) ditambah 84° lainnya. Jelas ini adalah kuartal pertama. Jadi, sudut 444° jatuh di kuartal pertama. Separuh pertempuran telah selesai.

Sekarang yang tersisa hanyalah menggambarkan sudut ini. Bagaimana? Sangat sederhana! Kita membuat satu putaran penuh di sepanjang panah merah (plus) dan menambahkan 84° lagi.

Seperti ini:

Di sini saya tidak mengacaukan gambarnya - memberi label pada bagiannya, menggambar sudut pada sumbu. Semua hal bagus ini seharusnya sudah ada di kepala saya sejak lama.)

Namun saya menggunakan “siput” atau spiral untuk menunjukkan dengan tepat bagaimana sudut 444° terbentuk dari sudut 360° dan 84°. Garis merah putus-putus adalah satu putaran penuh. Yang mana 84° (garis padat) juga disekrup. Ngomong-ngomong, harap dicatat bahwa jika putaran penuh ini dibuang, ini tidak akan mempengaruhi posisi sudut kita sama sekali!

Tapi ini penting! Posisi sudut 444° sepenuhnya bertepatan dengan posisi sudut 84°. Tidak ada keajaiban, itulah yang terjadi.)

Apakah mungkin untuk membuang bukan hanya satu revolusi penuh, tetapi dua revolusi atau lebih?

Mengapa tidak? Jika sudutnya besar dan kuat, maka itu tidak hanya mungkin, tapi bahkan perlu! Sudutnya tidak akan berubah! Lebih tepatnya, sudut itu sendiri tentu saja akan berubah besarnya. Tapi posisinya di lingkaran - tidak mungkin!) Itu sebabnya mereka penuh revolusi, tidak peduli berapa banyak salinan yang Anda tambahkan, tidak peduli berapa banyak Anda mengurangi, Anda akan tetap berada pada titik yang sama. Bagus, bukan?

Ingat:

Jika Anda menambahkan (mengurangi) sudut mana pun ke suatu sudut utuh jumlah putaran penuh maka posisi sudut semula pada lingkaran TIDAK akan berubah!

Misalnya:

Sudut 1000° berada pada kuarter manakah?

Tidak masalah! Kami menghitung berapa putaran penuh yang terjadi dalam seribu derajat. Satu revolusi 360°, revolusi lainnya sudah 720°, revolusi ketiga 1080°... Berhenti! Terlalu banyak! Artinya, letaknya pada sudut 1000° dua putaran penuh. Kita membuangnya dari 1000° dan menghitung sisanya:

1000° - 2 360° = 280°

Jadi, letak sudutnya adalah 1000° pada lingkaran sama, seperti pada sudut 280°. Mana yang jauh lebih menyenangkan untuk dikerjakan.) Dan di manakah letak sudut ini? Ini jatuh ke kuartal keempat: 270° (sumbu semi-negatif OY) ditambah sepuluh lainnya.

Ayo menggambar:

Di sini saya tidak lagi menggambar dua putaran penuh dengan spiral putus-putus: ternyata terlalu panjang. Saya baru saja menggambar sisa ekornya dari nol, membuang Semua putaran ekstra. Seolah-olah mereka tidak ada sama sekali.)

Sekali lagi. Dalam arti yang baik, sudut 444° dan 84°, serta 1000° dan 280°, adalah berbeda. Tetapi untuk sinus, kosinus, tangen, dan kotangen, sudut-sudutnya adalah - sama!

Seperti yang Anda lihat, untuk bekerja dengan sudut lebih besar dari 360°, Anda perlu menentukan berapa banyak putaran penuh pada sudut besar tertentu. Ini adalah langkah tambahan yang harus dilakukan terlebih dahulu ketika bekerja dengan sudut seperti itu. Tidak ada yang rumit, bukan?

Menolak putaran penuh, tentu saja, merupakan pengalaman yang menyenangkan.) Namun dalam praktiknya, ketika bekerja dengan sudut yang sangat buruk, kesulitan akan muncul.

Misalnya:

Sudut 31240° berada pada kuarter manakah?

Jadi apa, apakah kita akan menambahkan 360 derajat berkali-kali? Bisa saja, asalkan tidak terlalu gosong. Tapi kita tidak hanya bisa menambahkan.) Kita juga bisa membagi!

Jadi mari kita bagi sudut besar kita menjadi 360 derajat!

Dengan tindakan ini kita akan mengetahui dengan tepat berapa banyak putaran penuh yang tersembunyi di 31240 derajat kita. Anda dapat membaginya menjadi sudut, Anda dapat (berbisik di telinga Anda :)) di kalkulator.)

Kita mendapatkan 31240:360 = 86.777777….

Fakta bahwa angka tersebut ternyata pecahan tidaklah menakutkan. Hanya kita utuh Saya tertarik dengan putarannya! Oleh karena itu, tidak perlu membagi seluruhnya.)

Jadi, di dalam batu bara berbulu kita terdapat sebanyak 86 putaran penuh. Kengerian…

Itu akan dalam derajat86·360° = 30960°

Seperti ini. Ini adalah jumlah derajat yang dapat dilempar tanpa rasa sakit dari sudut tertentu yaitu 31240°. Tetap:

31240° - 30960° = 280°

Semua! Posisi sudut 31240° teridentifikasi sepenuhnya! Tempat yang sama dengan 280°. Itu. kuartal keempat.) Saya rasa kita sudah pernah menggambarkan sudut ini sebelumnya? Kapan sudut 1000° dibuat?) Di sana kami juga mengambil 280 derajat. Kebetulan.)

Jadi, pesan moral dari cerita ini adalah:

Jika kita diberikan sudut besar dan kuat yang menakutkan, maka:

1. Tentukan berapa putaran penuh pada sudut ini. Untuk melakukan ini, bagilah sudut awal dengan 360 dan buang bagian pecahannya.

2. Kita hitung berapa derajat jumlah putaran yang dihasilkan. Untuk melakukan ini, kalikan jumlah putaran dengan 360.

3. Kita kurangi putaran ini dari sudut aslinya dan kerjakan dengan sudut biasa yang berkisar antara 0° hingga 360°.

Bagaimana cara bekerja dengan sudut negatif?

Tidak masalah! Sama persis dengan yang positif, hanya dengan satu perbedaan. Yang mana? Ya! Anda perlu berbelok sisi sebaliknya, dikurangi! Bergerak searah jarum jam.)

Mari kita menggambar, misalnya, sudut -200°. Pertama, semuanya seperti biasa untuk sudut positif - sumbu, lingkaran. Mari kita juga menggambar panah biru dengan tanda minus dan menandatangani sudut pada sumbu secara berbeda. Tentu saja, mereka juga harus dihitung dalam arah negatif. Ini akan menjadi sudut yang sama, melewati 90°, tetapi dihitung dalam arah yang berlawanan, ke minus: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Gambarnya akan terlihat seperti ini:

Saat bekerja dengan sudut negatif, sering kali ada perasaan sedikit kebingungan. Bagaimana?! Ternyata sumbu yang sama adalah, katakanlah, +90° dan -270° pada waktu yang sama? Tidak, ada sesuatu yang mencurigakan di sini...

Ya, semuanya bersih dan transparan! Kita telah mengetahui bahwa setiap titik pada lingkaran dapat disebut sudut positif atau negatif! Tentu saja apa saja. Termasuk pada beberapa sumbu koordinat. Dalam kasus kami, kami membutuhkannya negatif kalkulus sudut. Jadi kita jepret semua sudut ke minus.)

Sekarang menggambar sudut -200° dengan benar tidaklah sulit sama sekali. Ini adalah -180° dan dikurangi 20° lagi. Kita mulai berayun dari nol ke minus: kita terbang melewati kuarter keempat, kita juga melewatkan kuarter ketiga, kita mencapai -180°. Di mana saya harus menghabiskan dua puluh sisanya? Ya, semuanya ada di sana! Per jam.) Sudut total -200° berada di dalamnya Kedua seperempat.

Sekarang tahukah Anda betapa pentingnya mengingat dengan kuat sudut-sudut pada sumbu koordinat?

Sudut-sudut pada sumbu koordinat (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) harus diingat dengan tepat agar dapat menentukan secara akurat seperempat letak sudut tersebut!

Bagaimana jika sudutnya besar, dengan beberapa putaran penuh? Tidak apa-apa! Apa bedanya apakah revolusi penuh ini diubah menjadi positif atau negatif? Sebuah titik pada lingkaran tidak akan berubah posisinya!

Misalnya:

Sudut -2000° berada pada kuarter manakah?

Semua sama! Pertama, kita hitung berapa banyak revolusi penuh yang terjadi di sudut jahat ini. Agar tidak mengacaukan tanda-tandanya, biarkan saja minusnya untuk saat ini dan cukup bagi 2000 dengan 360. Kita akan mendapatkan 5 plus. Kami tidak peduli dengan ekornya untuk saat ini, kami akan menghitungnya nanti saat kami menggambar sudutnya. Kita menghitung lima putaran penuh dalam derajat:

5 360° = 1800°

Wow. Ini adalah jumlah derajat ekstra yang dapat kita buang dengan aman tanpa membahayakan kesehatan kita.

Kami menghitung sisa ekornya:

2000° – 1800° = 200°

Tapi sekarang kita bisa mengingat minusnya.) Ke mana kita akan memutar ekor 200°? Minusnya, tentu saja! Kita diberi sudut negatif.)

2000° = -1800° - 200°

Jadi kita menggambar sudut -200°, hanya tanpa putaran tambahan. Saya baru saja menggambarnya, tapi biarlah, saya akan mencoret-coretnya sekali lagi. Dengan tangan.

Jelas bahwa sudut tertentu -2000°, dan juga -200°, termasuk di dalamnya kuartal kedua.

Jadi, ayo jadi gila... maaf... di kepala kami:

Jika diberikan sudut negatif yang sangat besar, maka bagian pertama pengerjaannya (mencari jumlah putaran penuh dan membuangnya) sama seperti saat mengerjakan sudut positif. Tanda minus tidak berperan apa pun pada tahap penyelesaian ini. Tandanya diperhitungkan hanya di bagian paling akhir, ketika bekerja dengan sudut yang tersisa setelah menghilangkan putaran penuh.

Seperti yang Anda lihat, menggambar sudut negatif pada lingkaran tidak lebih sulit daripada sudut positif.

Semuanya sama, hanya ke arah lain! Setiap saat!

Sekarang sampai pada bagian yang paling menarik! Kami melihat sudut positif, sudut negatif, sudut besar, sudut kecil - jangkauan penuh. Kami juga menemukan bahwa titik mana pun pada lingkaran dapat disebut sudut positif dan negatif, kami membuang putaran penuh... Ada pemikiran? Itu harus ditunda...

Ya! Titik mana pun pada lingkaran yang Anda ambil, titik itu akan bersesuaian jumlah sudut yang tak terhingga! Yang besar dan yang tidak terlalu besar, yang positif dan yang negatif - macam-macam! Dan perbedaan antara sudut-sudut ini adalah utuh jumlah putaran penuh. Selalu! Begitulah cara kerja lingkaran trigonometri ya...) Makanya balik tugasnya adalah mencari sudut menggunakan sinus/kosinus/tangen/kotangen yang diketahui - dapat diselesaikan ambigu. Dan jauh lebih sulit. Berbeda dengan soal langsung - jika diketahui sudutnya, carilah seluruh himpunan fungsi trigonometrinya. Dan dalam topik trigonometri yang lebih serius ( lengkungan, trigonometri persamaan Dan kesenjangan ) kita akan menemukan trik ini sepanjang waktu. Kami mulai terbiasa.)

1. Sudut -345° berada pada kuarter manakah?

2. Sudut 666° berada pada bagian manakah?

3. Sudut 5555° berada pada kuarter manakah?

4. Sudut -3700° berada pada kuarter manakah?

5. Tanda apa fungsinya?karena999°?

6. Tanda apa fungsinya?ctg999°?

Dan apakah itu berhasil? Luar biasa! Ada masalah? Terus Anda.

Jawaban:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Kali ini jawaban diberikan secara berurutan, melanggar tradisi. Sebab hanya ada empat bagian, dan hanya ada dua tanda. Anda tidak akan lari terlalu banyak...)

Pada pelajaran selanjutnya kita akan berbicara tentang radian, tentang bilangan misterius "pi", kita akan belajar cara mengubah radian ke derajat dengan mudah dan sederhana dan sebaliknya. Dan kita akan terkejut saat mengetahui bahwa pengetahuan dan keterampilan sederhana ini saja sudah cukup bagi kita untuk berhasil memecahkan banyak masalah trigonometri yang tidak sepele!

Sudut: ° π rad =

Konversikan ke: radian derajat 0 - 360° 0 - 2π positif negatif Hitung

Ketika garis-garis berpotongan, terdapat empat daerah berbeda yang berhubungan dengan titik perpotongannya.
Daerah baru ini disebut sudut.

Gambar menunjukkan 4 sudut berbeda yang dibentuk oleh perpotongan garis AB dan CD

Sudut biasanya diukur dalam derajat, yang dilambangkan dengan °. Apabila suatu benda membentuk lingkaran penuh yaitu bergerak dari titik D melalui B, C, A, kemudian kembali ke D, maka dikatakan telah berputar 360 derajat (360°). Jadi satu derajat adalah $\frac(1)(360)$ lingkaran.

Sudut lebih besar dari 360 derajat

Kita telah membahas tentang bagaimana jika suatu benda membuat lingkaran penuh mengelilingi suatu titik, maka sudutnya menjadi 360 derajat, namun jika suatu benda membuat lebih dari satu lingkaran, maka sudutnya lebih dari 360 derajat. Hal ini merupakan hal yang lumrah terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Roda berputar banyak lingkaran pada saat mobil melaju, yaitu membentuk sudut lebih dari 360°.

Untuk mengetahui jumlah siklus (lingkaran yang diselesaikan) saat memutar suatu benda, kita menghitung berapa kali kita perlu menambahkan 360 pada dirinya sendiri untuk mendapatkan angka yang sama dengan atau kurang dari sudut tertentu. Dengan cara yang sama, kita mencari bilangan yang kita kalikan dengan 360 untuk mendapatkan bilangan yang lebih kecil tetapi paling dekat dengan sudut tertentu.

Contoh 2
1. Tentukan banyaknya lingkaran yang dibatasi oleh suatu benda yang membentuk sudut
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Larutan
a) 380 = (1 × 360) + 20
Benda tersebut menggambarkan satu lingkaran dan 20°
Karena $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ lingkaran
Objek menggambarkan $1\frac(1)(18)$ lingkaran.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Benda tersebut menggambarkan dua lingkaran dan 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ lingkaran
Objek menggambarkan $2\frac(5)(36)$ sebuah lingkaran
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ lingkaran
Objek menggambarkan $2\frac(7)(9)$ lingkaran

Bila suatu benda berputar searah jarum jam maka membentuk sudut rotasi negatif, dan bila berputar berlawanan arah jarum jam maka membentuk sudut positif. Sampai saat ini, kita hanya mempertimbangkan sudut positif.

Dalam bentuk diagram, sudut negatif dapat digambarkan seperti gambar di bawah ini.

Gambar di bawah menunjukkan tanda sudut yang diukur dari garis lurus bersama, sumbu 0 (sumbu x – sumbu x)

Artinya jika ada sudut negatif, kita bisa mendapatkan sudut positif yang bersesuaian.
Misalnya, dasar garis vertikal adalah 270°. Jika diukur dalam arah negatif, kita mendapatkan -90°. Kita cukup mengurangi 270 dari 360. Jika ada sudut negatif, kita tambahkan 360 untuk mendapatkan sudut positif yang sesuai.
Jika sudutnya -360°, berarti benda telah membuat lebih dari satu lingkaran searah jarum jam.

Contoh 3
1. Temukan sudut positif yang sesuai
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) - 670°

2. Tentukan sudut negatif yang bersesuaian dari 80°, 167°, 330°, dan 1300°.
Larutan
1. Untuk mencari sudut positif yang bersesuaian, kita tambahkan 360 pada nilai sudutnya.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Artinya satu lingkaran searah jarum jam (360)
360 + (-310) = 50°
Sudutnya 360 + 50 = 410°

2. Untuk mendapatkan sudut negatif yang bersesuaian, kita kurangi 360 dari nilai sudutnya.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (satu putaran selesai)
940 - 360 = 580 (putaran kedua selesai)
580 - 360 = 220 (putaran ketiga selesai)
220 - 360 = -140°
Sudutnya -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Jadi 1300° = -1220°

Radian

Radian adalah sudut dari pusat lingkaran yang melingkari busur yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran. Ini adalah satuan pengukuran besaran sudut. Sudut ini kira-kira 57,3°.
Dalam kebanyakan kasus, ini dilambangkan sebagai senang.
Jadi $1 rad \kira-kira 57,3^(\circ)$

Jari-jari = r = OA = OB = AB
Sudut BOA sama dengan satu radian

Karena keliling dinyatakan sebagai $2\pi r$, maka ada $2\pi$ jari-jari dalam lingkaran, dan oleh karena itu di seluruh lingkaran ada $2\pi$ radian.

Radian biasanya dinyatakan dalam $\pi$ untuk menghindari desimal dalam perhitungan. Di sebagian besar buku, singkatannya senang tidak terjadi, namun pembaca harus mengetahui bahwa jika menyangkut sudut, sudut ditentukan dalam $\pi$, dan satuan pengukuran secara otomatis menjadi radian.

$360^(\circ) = 2\pi\rad$
$180^(\circ) = \pi\rad$,
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$,
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$,
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$,
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

Contoh 4
1. Ubah 240°, 45°, 270°, 750° dan 390° menjadi radian menggunakan $\pi$.
Larutan
Kalikan sudutnya dengan $\frac(\pi)(180)$.
$240^(\circ) = 240 \kali \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \kali \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \kali \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \kali \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \kali \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. Ubahlah sudut berikut menjadi derajat.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) $3,12\pi$
c) 2,4 radian
Larutan
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \kali 180 = 225^(\circ)$
b) $3,12\pi = 3,12 \kali 180 = 561,6^(\circ)$
c) 1 rad = 57,3°
$2,4 = \frac(2,4 \kali 57,3)(1) = 137,52$

Sudut negatif dan sudut yang lebih besar dari $2\pi$ radian

Untuk mengubah sudut negatif menjadi sudut positif, kita tambahkan ke $2\pi$.
Untuk mengubah sudut positif menjadi sudut negatif, kita kurangi $2\pi$ darinya.

Contoh 5
1. Ubah $-\frac(3)(4)\pi$ dan $-\frac(5)(7)\pi$ menjadi sudut positif dalam radian.

Larutan
Tambahkan $2\pi$ ke sudut
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$

$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$

Ketika sebuah benda berputar dengan sudut lebih besar dari $2\pi$;, ia menghasilkan lebih dari satu lingkaran.
Untuk menentukan jumlah putaran (lingkaran atau siklus) pada sudut seperti itu, kita mencari suatu bilangan, mengalikannya dengan $2\pi$, hasilnya sama dengan atau kurang, tetapi sedekat mungkin dengan bilangan tersebut.

Contoh 6
1. Tentukan banyaknya lingkaran yang dilalui benda pada sudut tertentu
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$

Larutan
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ menyiratkan satu siklus searah jarum jam, artinya
benda tersebut melakukan 5 putaran searah jarum jam.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ setengah siklus
benda itu melakukan empat setengah siklus berlawanan arah jarum jam

c) $\frac(7)(2)\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$, $1.5\pi$ sama dengan tiga perempat siklus $(\frac(1.5\pi)(2 \pi)= \frac(3)(4))$
benda tersebut telah melalui satu tiga perempat siklus berlawanan arah jarum jam