Kursus video "Dapatkan nilai A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu dalam matematika dengan 60-65 poin. Selesaikan semua tugas 1-13 Profil Ujian Negara Bersatu dalam matematika. Juga cocok untuk lulus Ujian Negara Terpadu Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan poin 90-100, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan Ujian Negara Terpadu untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan Bagian 1 Ujian Negara Bersatu dalam matematika (12 soal pertama) dan Soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa dengan nilai 100 poin maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa poin tersebut.

Semua teori yang diperlukan. Solusi cepat, jebakan dan rahasia Ujian Negara Bersatu. Seluruh tugas saat ini bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Ujian Negara Bersatu 2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas Ujian Negara Bersatu. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma yang sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas Unified State Examination. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Pemahaman bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunannya. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks Bagian 2 Ujian Negara Bersatu.

Kali ini saya mengusulkan untuk mengadakan sesuatu seperti “maraton berbasis bukti” untuk memecahkan masalah yang ditawarkan kepada siswa kelas sembilan dalam Ujian Akademik Negara matematika. Mereka dikaitkan dengan bukti fakta geometris yang sederhana namun sangat berguna. Artikel tersebut sengaja tidak memberikan solusi rinci atas permasalahan tersebut, hanya beberapa sketsa dan tips. Cobalah untuk mengatasi jarak maraton ini sendiri, tanpa kesalahan dan dalam satu pendekatan.

Tugas 1. Buktikan bahwa garis bagi sudut-sudut yang berdekatan tegak lurus.

Sudut α ditunjuk oleh satu busur, β oleh dua

Bukti: dari gambar tersebut jelas bahwa α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (sudut lurus), oleh karena itu, α + β = 90 0 . Q.E.D.

Tugas 2. Dua segmen AC Dan BD berpotongan di suatu titik HAI, yang merupakan bagian tengah dari masing-masingnya. Buktikan persamaan segitiga ACD Dan TAKSI.

ABCD, tentu saja, akan menjadi jajar genjang, tetapi hal ini tidak diberikan dalam kondisi

Bukti: segitiga sisi sama besar pada dua sisi dan sudut di antara keduanya ( B.O. = OD.- dengan syarat, A.O. = O.C.— dengan syarat, ∠ DOKTER = ∠AOB- vertikal), yaitu ∠ ACD = ∠TAKSI, dan karena keduanya terletak melintang pada garis lurus AB, CD dan garis potong AC, Itu AB paralel DC. Kami juga membuktikan paralelisme garis SM Dan IKLAN. Jadi, ABCD adalah jajaran genjang menurut definisi. SM = IKLAN, AB = CD(dalam jajar genjang, sisi-sisi yang berhadapan sama besar), AC- umum untuk segitiga ACD Dan TAKSI, jadi ketiga sisinya sama besar. Q.E.D.

Tugas 3. Buktikan bahwa median yang ditarik ke alas segitiga sama kaki adalah garis bagi sudut yang berhadapan dengan alasnya dan juga tegak lurus alasnya.

Sudut yang dibentuk oleh median dan alas disebut "bawah", median dan sisi - "atas"

Bukti: segitiga-segitiga sisi pada gambar adalah sama besar pada tiga sisinya, yang berarti, pertama, sudut-sudut “atas” adalah sama besar (mereka membuktikan bahwa garis-bagi), kedua, sudut-sudut “bawah”, totalnya sama dengan sudut-sudut yang berdekatan sehingga menghasilkan 180 0, dan karenanya masing-masing sama dengan 90 0 (terbukti tegak lurus). Q.E.D.

Tugas 4. Buktikan bahwa median yang ditarik ke sisi lateral segitiga sama kaki adalah sama besar.

Segitiga yang dibentuk oleh median, alas, dan bagian bawah dari sisi lateral segitiga asal disebut “bawah”

Bukti: sudut-sudut pada alas segitiga sama kaki adalah sama besar, oleh karena itu segitiga-segitiga “bawah” sama besar pada kedua sisinya dan sudut di antara keduanya, yang menyiratkan persamaan median yang ditarik. Q.E.D.

Tugas 5. Buktikan bahwa garis bagi yang ditarik dari titik sudut alas segitiga sama kaki adalah sama besar.

Semua sudut yang ditandai pada gambar tentu saja sama besar, meskipun ditunjukkan oleh busur yang berbeda

Bukti: Segitiga “bawah” adalah sama kaki, yang berarti bahwa dari persamaan sudut-sudut pada alasnya, segitiga-segitiga “sisi” tersebut memiliki sisi-sisi yang sama (sama dengan garis-bagi yang dibuktikan di atas) dan dua sudut (yang pertama sama besarnya dengan syarat, yang kedua vertikal), oleh karena itu bagian-bagian yang tersisa dari garis-bagi juga sama satu sama lain, yang berarti seluruh garis-bagi itu sendiri juga sama. Q.E.D.

Tugas 6. Buktikan bahwa panjang ruas yang menghubungkan titik tengah dua sisi suatu segitiga sama dengan setengah sisi ketiganya.

Kami akan menyebut sisi yang bersih sebagai “alas”, yang dicoret – “sisi”

Bukti: sisi-sisi segitiga kecil dan besar pada gambar mempunyai hubungan 1:2, selain itu mempunyai satu sudut yang sama, artinya keduanya sebangun pada atribut kedua dengan koefisien kemiripan 1:2, maka alasnya adalah terkait sebagai 1: 2. Itu yang perlu dibuktikan.

Tugas 7. Buktikan bahwa diagonal jajar genjang membaginya menjadi dua segitiga sama besar.

Jajargenjang dengan diagonal, mungkin tidak ada lagi yang bisa ditambahkan

Bukti: Sisi-sisi yang berhadapan pada jajar genjang adalah sama besar, diagonalnya adalah sisi persekutuan dari segitiga-segitiga tersebut, sehingga ketiga sisinya sama besar. Q.E.D.

Tugas 8. Buktikan bahwa median segitiga siku-siku yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengah sisi miringnya.

Dengan kata lain, median diambil dari titik sudut siku-siku

Bukti: jika kita menggambarkan sebuah lingkaran di sekitar suatu segitiga siku-siku tertentu, maka sudut siku-siku dari segitiga yang terdapat pada lingkaran tersebut akan dibatasi oleh setengah lingkaran, sehingga sisi miringnya adalah diameter lingkaran tersebut, dan separuh sisi miring dan mediannya diberikan. bagi kita dalam soal itu adalah jari-jari, jadi semuanya sama. Q.E.D.

Tugas 9. Buktikan bahwa ruas garis singgung yang ditarik lingkaran dari satu titik adalah sama besar.

Konstruksi tambahan: sambungkan titik C ke titik O (secara mental)

Bukti: sudut B Dan A garis lurus (jari-jari lingkaran yang ditarik ke titik ayunan tegak lurus garis singgung), artinya segitiga siku-siku AOC Dan Dewan Komisaris sama sisi miringnya (sisi yang kita bayangkan adalah sisi yang sama bagi mereka O.C.) dan kaki (jari-jari lingkaran O.B. = O.A.), yang berarti AC = C.B.. Q.E.D.

Masalah 10. Buktikan bahwa diameter yang melalui titik tengah tali busur lingkaran tegak lurus terhadap tali busur tersebut.

Garis yang menghubungkan dua titik pada gambar adalah median segitiga yang akan kita bahas

Bukti: pada segitiga sama kaki yang dibentuk oleh titik potong tali busur dengan lingkaran dan pusat lingkaran tersebut, median yang digambarkan adalah tingginya, artinya diameter yang memuat tinggi tersebut tegak lurus terhadap tali busur. Q.E.D.

Masalah 11. Buktikan bahwa jika dua lingkaran mempunyai tali busur yang sama, maka garis yang melalui pusat lingkaran tersebut tegak lurus terhadap tali busur tersebut.

Hubungkan secara mental semua titik yang ditandai pada gambar, sebut saja titik potong horizontal dan vertikal H

Bukti: segitiga HAI 1 A.O. 2 dan HAI 1 B.O. 2 sama besar pada ketiga sisinya, maka ∠ HAI 2 A = ∠HAI 2 B, lalu segitiga HAO 2 dan HBO 2 sama besar pada kedua sisi dan sudut di antara keduanya, yang berarti ∠ AHO 2 = ∠BHO 2, dan total dua sudut yang sama besar dapat menghasilkan 180 0 hanya jika masing-masing sudut sama dengan 90 0. Q.E.D.

Masalah 12. Buktikan bahwa jika sebuah lingkaran dapat dimasukkan ke dalam segi empat, maka jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan adalah sama.

Segiempat berbatas. Sebut saja ABCD. Misalkan M, E, X dan L adalah titik singgung

Bukti: Kita menggunakan teorema ruas singgung (Soal 9). VC = VR, SR = CH, DX = D.L. Dan PADA = AK. Mari kita simpulkan sisi-sisinya AB Dan CD: AB + CD= (SAYA.+ MB) + (DX+ XC) = AL+ MENJADI+ D.L.+ M.E.= (AL+ LD) + (MENJADI+ E.C.) = IKLAN+ SM Q.E.D.

Masalah 13. Buktikan bahwa jika sebuah lingkaran dapat dibatasi pada suatu segi empat, maka jumlah sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

Lingkaran

Bukti: Menurut teorema sudut tertulis, jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat ini adalah 180 0, karena keduanya bertumpu pada satu lingkaran penuh yang besar derajatnya adalah 360 0. Q.E.D.

Masalah 14. Buktikan bahwa jika sebuah lingkaran dapat dibatasi di sekitar trapesium, maka trapesium tersebut sama kaki.

Bukti: jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat yang terdapat dalam lingkaran adalah sama dengan α + β = 180 0 (lihat soal 13), jumlah sudut pada sisi lateral trapesium juga sama dengan α + γ = 180 0 (sudut-sudut ini satu sisi dengan alas sejajar dan sisi potong), dari membandingkan rumus-rumus ini kita menemukan bahwa β = γ , artinya, sudut-sudut pada alas trapesium tersebut adalah sama besar, dan trapesium tersebut benar-benar sama kaki. Q.E.D.

Masalah 15. Kuadrat ABCD poin KE Dan E- titik tengah sisinya AB Dan IKLAN masing-masing. Buktikan itu KD tegak lurus M.E..

Teorema 1 . Besar sudut tertulis sama dengan setengah besar sudut pusat yang diapit oleh busur yang sama.

Bukti . Mari kita perhatikan sudut tertulisnya terlebih dahulu ABC, samping SM yaitu diameter lingkaran dan sudut pusatnya AOC(Gbr. 5).

Sejak segmen A.O. Dan B.O. adalah jari-jari lingkaran, lalu segitiga AOB– sama kaki, dan sudut HAI sama dengan sudut OAB. Karena sudutnya AOC adalah sudut luar segitiga AOB, maka persamaannya benar

Jadi, jika salah satu sisi sudut yang tertulis melalui pusat lingkaran, Teorema 1 terbukti.

Sekarang perhatikan kasus ketika pusat lingkaran terletak di dalam sudut tertulis (Gbr. 6).

dan Teorema 1 terbukti dalam kasus ini.

Masih mempertimbangkan kasus ketika pusat lingkaran terletak di luar sudut tertulis (Gbr. 7).

Dalam hal ini persamaannya benar

yang melengkapi pembuktian Teorema 1.

Teorema 2 . Besar sudut yang dibentuk oleh tali busur yang berpotongan sama dengan setengah jumlah besar busur yang terletak di antara sisi-sisinya.

Bukti . Perhatikan Gambar 8.

Kami tertarik pada sudutnya AED E akord AB Dan CD. Karena sudutnya AED– sudut luar segitiga TEMPAT TIDUR, dan sudutnya CDB Dan ABD

Q.E.D.

Teorema 3 . Besar kecilnya sudut yang dibentuk oleh garis potong yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan setengah selisih besar busur yang terletak di antara sisi-sisi sudut tersebut.

Bukti . Perhatikan Gambar 9.

Kami tertarik pada sudutnya TEMPAT TIDUR, dibentuk dengan berpotongan di suatu titik E garis potong AB Dan CD. Karena sudutnya ADC– sudut luar segitiga ADE, dan sudutnya ADC , DCB Dan COLEK adalah sudut-sudut yang tertulis, maka persamaannya benar

Q.E.D.

Teorema 4 . Besar sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan tali busur yang melalui titik singgung sama dengan setengah besar busur yang terletak di antara sisi-sisinya.

Bukti . Perhatikan Gambar 10.

Kami tertarik pada sudutnya BAC dibentuk oleh garis singgung AB dan akord AC. Karena IKLAN adalah diameter yang melewati titik kontak, dan sudut ACD adalah sudut tertulis berdasarkan diameter, lalu sudutnya COLEK Dan DCA- lurus. Oleh karena itu persamaannya benar

Q.E.D.

Teorema 5 . Besar kecilnya sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan garis potong sama dengan setengah selisih besar busur yang terletak di antara sisi-sisi sudut tersebut.

Bukti . Perhatikan Gambar 11.

Kami tertarik pada sudutnya TEMPAT TIDUR dibentuk oleh garis singgung AB dan garis potong CD. Perhatikan bahwa sudutnya BDC– sudut luar segitiga DBE, dan sudutnya BDC Dan BCD adalah sudut tertulis. Apalagi sudutnya DBE Dan DCB, berdasarkan Teorema 4, adalah sama. Oleh karena itu persamaannya benar

instruksi

Jika segitiga ABC dan DEF mempunyai sisi AB sama dengan sisi DE, dan sudut-sudut yang berdekatan dengan sisi AB sama dengan sudut-sudut yang berdekatan dengan sisi DE, maka segitiga-segitiga tersebut dianggap kongruen.

Jika segitiga ABC mempunyai sisi AB, BC, dan CD sama dengan sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga DEF, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

catatan

Jika ingin membuktikan persamaan dua segitiga siku-siku, dapat dilakukan dengan menggunakan tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku berikut ini:

Salah satu kaki dan sisi miring;
- di dua sisi yang diketahui;
- sepanjang salah satu kaki dan sudut lancip yang berdekatan dengannya;
- sepanjang sisi miring dan salah satu sudut lancip.

Segitiga adalah lancip (jika semua sudutnya kurang dari 90 derajat), tumpul (jika salah satu sudutnya lebih dari 90 derajat), sama sisi, dan sama kaki (jika kedua sisinya sama panjang).

Saran yang bermanfaat

Selain segitiga-segitiga yang sama besar, segitiga-segitiga yang sebangun juga sebangun. Segitiga sebangun adalah segitiga yang sudut-sudutnya sama besar, dan sisi-sisi suatu segitiga sebanding dengan sisi-sisi segitiga lainnya. Perlu diperhatikan bahwa jika dua segitiga sebangun satu sama lain, hal ini tidak menjamin kesetaraannya. Saat membagi sisi-sisi segitiga yang sebangun satu sama lain, apa yang disebut koefisien kesamaan dihitung. Koefisien ini juga dapat diperoleh dengan membagi luas segitiga-segitiga sebangun.

Sumber:

• buktikan persamaan luas segitiga

Dua segitiga dikatakan sama jika semua elemen salah satu segitiga sama dengan elemen yang lain. Namun tidak perlu mengetahui semua ukuran segitiga untuk menarik kesimpulan tentang persamaannya. Cukup memiliki kumpulan parameter tertentu untuk angka tertentu.

instruksi

Jika diketahui dua sisi suatu segitiga sama besar dan sudut antara kedua sisi tersebut sama besar, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen. Untuk membuktikannya, sejajarkan titik sudut yang sama besar pada dua bangun datar. Lanjutkan melapisi. Dari titik persekutuan kedua segitiga, arahkan salah satu sisi sudut segitiga yang tumpang tindih di sepanjang sisi yang bersesuaian pada gambar bawah. Dengan syarat, kedua sisi ini sama besar. Artinya ujung-ujung ruasnya akan berhimpitan. Akibatnya, sepasang titik sudut lain pada segitiga-segitiga tersebut berhimpitan. Arah sisi-sisi kedua sudut asal mulanya akan berimpit karena persamaan sudut-sudut tersebut. Dan karena sisi-sisinya sama besar, titik sudut terakhir akan tumpang tindih. Sebuah garis lurus dapat ditarik antara dua titik. Oleh karena itu, sisi ketiga kedua segitiga tersebut akan berhimpitan. Anda telah menerima dua angka yang benar-benar cocok dan tanda persamaan segitiga pertama yang terbukti.

Jika salah satu sisi dan dua sudut yang berdekatan pada suatu segitiga sama dengan sudut-sudut yang bersesuaian pada segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen. Untuk membuktikan kebenaran pernyataan ini, letakkan dua gambar di atas, sejajarkan titik sudut yang sama besar dengan sisi yang sama. Karena persamaan sudut, arah sisi kedua dan ketiga akan berimpit dan tempat perpotongannya akan ditentukan dengan jelas, yaitu, titik sudut ketiga dari segitiga pertama tentu akan berimpit dengan titik yang sama pada segitiga tersebut. Kedua. Kriteria kedua persamaan segitiga telah terbukti.