Pertimbangkan matriks persegi panjang. Jika dalam matriks ini kita memilih secara sembarang k garis dan k kolom, maka elemen-elemen pada perpotongan baris dan kolom terpilih membentuk matriks persegi orde ke-k. Penentu matriks ini disebut minor orde ke-k matriks A. Jelas sekali, matriks A mempunyai minor dengan orde berapa pun dari 1 hingga bilangan terkecil m dan n. Di antara semua minor tak nol pada matriks A, paling sedikit ada satu minor yang ordenya paling besar. Orde minor bukan nol terbesar dari suatu matriks disebut pangkat matriks. Jika rank matriks A adalah R, ini berarti matriks A mempunyai orde minor bukan nol R, tetapi setiap minor dengan orde lebih besar dari R, sama dengan nol. Pangkat matriks A dilambangkan dengan r(A). Jelas sekali, hubungannya tetap ada

Menghitung rank suatu matriks menggunakan minor

Pangkat suatu matriks ditentukan dengan metode border minor atau dengan metode transformasi elementer. Saat menghitung pangkat matriks menggunakan metode pertama, Anda harus berpindah dari minor orde rendah ke minor orde tinggi. Jika minor D orde ke-k matriks A, selain nol, sudah ditemukan, maka hanya minor orde (k+1) yang berbatasan dengan minor D yang perlu dihitung, yaitu. memuatnya sebagai anak di bawah umur. Jika semuanya sama dengan nol, maka rank matriksnya sama dengan k.

Contoh 1.Mencari pangkat matriks dengan menggunakan metode border minor

.

Larutan.Kami mulai dengan anak di bawah umur urutan pertama, yaitu. dari unsur-unsur matriks A. Mari kita pilih, misalnya, suatu minor (elemen) M 1 = 1, yang terletak pada baris pertama dan kolom pertama. Berbatasan dengan bantuan baris kedua dan kolom ketiga, kita memperoleh minor M 2 = berbeda dari nol. Kita sekarang beralih ke anak di bawah umur urutan ke-3 yang berbatasan dengan M2. Hanya ada dua (Anda dapat menambahkan kolom kedua atau keempat). Mari kita hitung: = 0. Jadi, semua anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga ternyata sama dengan nol. Pangkat matriks A adalah dua.

Menghitung pangkat suatu matriks menggunakan transformasi dasar

DasarTransformasi matriks berikut disebut:

1) permutasi dua baris (atau kolom),

2) mengalikan baris (atau kolom) dengan angka bukan nol,

3) menambahkan ke satu baris (atau kolom) baris (atau kolom) lainnya, dikalikan dengan angka tertentu.

Kedua matriks tersebut disebut setara, jika salah satunya diperoleh dari yang lain menggunakan himpunan transformasi dasar yang terbatas.

Matriks-matriks ekuivalen secara umum tidaklah sama, namun rangking matriks-matriks tersebut sama. Jika matriks A dan B ekuivalen, maka ditulis sebagai berikut: A~B.

ResmiMatriks adalah matriks yang pada awal diagonal utamanya terdapat beberapa matriks yang berurutan (yang banyaknya boleh nol), dan semua elemen lainnya sama dengan nol, misalnya,

.

Dengan menggunakan transformasi dasar baris dan kolom, matriks apa pun dapat direduksi menjadi matriks kanonik. Pangkat suatu matriks kanonik sama dengan jumlah matriks pada diagonal utamanya.

Contoh 2Temukan pangkat suatu matriks

dan membawanya ke bentuk kanonik.

Larutan. Dari baris kedua, kurangi baris pertama dan atur ulang baris berikut:

.

Sekarang dari baris kedua dan ketiga kita kurangi baris pertama, dikalikan masing-masing dengan 2 dan 5:

;

kurangi baris pertama dari baris ketiga; kita mendapatkan matriks

yang ekuivalen dengan matriks A, karena diperoleh dari matriks tersebut dengan menggunakan himpunan transformasi elementer berhingga. Tentu saja rank matriks B adalah 2, sehingga r(A)=2. Matriks B dapat dengan mudah direduksi menjadi kanonik. Dengan mengurangkan kolom pertama, dikalikan dengan angka-angka yang sesuai, dari semua kolom berikutnya, kita mengubah semua elemen baris pertama, kecuali yang pertama, menjadi nol, dan elemen baris yang tersisa tidak berubah. Kemudian, dengan mengurangkan kolom kedua, dikalikan dengan angka-angka yang sesuai, dari semua kolom berikutnya, kita mengubah semua elemen baris kedua menjadi nol, kecuali baris kedua, dan memperoleh matriks kanonik:

.

Sebelumnya untuk matriks persegi urutan ke-10 konsep minor diperkenalkan
elemen . Ingatlah bahwa ini adalah nama yang diberikan untuk determinan keteraturan
, diperoleh dari determinan
dengan mencoret baris ke-dan kolom ke-.

Sekarang mari kita perkenalkan konsep umum minor. Mari kita pertimbangkan beberapa belum tentu persegi matriks . Ayo pilih beberapa nomor baris
Dan nomor kolom
.

Definisi. Pesanan kecil matriks (sesuai dengan baris dan kolom yang dipilih) disebut determinan urutan , dibentuk oleh elemen-elemen yang terletak di perpotongan baris dan kolom yang dipilih, mis. nomor

.

Setiap matriks mempunyai banyak minor dengan orde tertentu , berapa banyak cara Anda dapat memilih nomor baris
dan kolom
.

Definisi. Dalam matriks ukuran
pesanan kecil ditelepon dasar, jika bukan nol dan semua anak di bawah umur berada dalam urutan
sama dengan nol atau orde kecil
pada matriks sama sekali tidak.

Jelas bahwa suatu matriks dapat memiliki beberapa basis minor yang berbeda, tetapi semua basis minor memiliki orde yang sama. Memang kalau semua anak di bawah umur tertib
sama dengan nol, maka semua minor pada orde tersebut sama dengan nol
, dan, akibatnya, semua tatanan yang lebih tinggi.

Definisi. Peringkat matriks Urutan basis minor disebut, atau, dengan kata lain, urutan terbesar yang memiliki minor selain nol. Jika semua elemen suatu matriks sama dengan nol, maka pangkat matriks tersebut, menurut definisi, dianggap nol.

Peringkat matriks kami akan menunjukkannya dengan simbol
. Dari definisi rank maka untuk matriks ukuran
rasionya benar.

Dua cara untuk menghitung pangkat suatu matriks

A) Berbatasan dengan metode minor

Biarkan anak di bawah umur ditemukan dalam matriks
-urutan ke-, berbeda dari nol. Mari kita pertimbangkan hanya anak di bawah umur itu
Urutan -th, yang berisi (tepi) minor
: jika semuanya sama dengan nol, maka rank matriksnya adalah . Kalau tidak, di antara anak di bawah umur yang berbatasan ada anak di bawah umur bukan nol
-urutan, dan seluruh prosedur diulangi.

Contoh 9 . Temukan pangkat suatu matriks dengan metode berbatasan dengan anak di bawah umur.

Mari kita pilih minor orde kedua
. Hanya ada satu anak di bawah umur tingkat ketiga, yang berbatasan dengan anak di bawah umur yang dipilih
. Mari kita hitung.

Jadi itu kecil
dasar, dan pangkat matriks sama dengan ordonya, yaitu.

Jelas bahwa mengulangi minor dengan cara ini untuk mencari basis adalah tugas yang terkait dengan perhitungan besar, jika dimensi matriks tidak terlalu kecil. Namun, ada cara yang lebih sederhana untuk mencari pangkat suatu matriks - menggunakan transformasi dasar.

B) Metode transformasi dasar

Definisi. Transformasi matriks dasar Transformasi berikut disebut:

mengalikan string dengan angka selain nol;

menambahkan baris lain ke satu baris;

penataan ulang garis;

transformasi kolom yang sama.

Transformasi 1 dan 2 dilakukan elemen demi elemen.

Dengan menggabungkan transformasi tipe pertama dan kedua, kita dapat menambahkan kombinasi linier dari string yang tersisa ke string mana pun.

Dalil. Transformasi dasar tidak mengubah pangkat matriks.

(Tidak ada bukti)

Gagasan tentang metode praktis untuk menghitung pangkat suatu matriks

adalah dengan bantuan transformasi dasar matriks ini menyebabkan penampilan

, (5)

di mana elemen "diagonal".
berbeda dari nol, dan elemen-elemen yang terletak di bawah elemen “diagonal” sama dengan nol. Mari kita sepakat untuk memanggil matriks jenis segitiga ini (jika tidak disebut diagonal, trapesium, atau tangga). Setelah reduksi matriks ke bentuk segitiga kita bisa langsung menuliskannya
.

Memang,
(karena transformasi dasar tidak mengubah pangkat). Tapi matriksnya ada pesanan kecil yang bukan nol :

,

dan pesanan kecil apa pun
berisi string nol dan karenanya sama dengan nol.

Sekarang mari kita rumuskan praktiknya aturan perhitungan peringkat matriks menggunakan transformasi dasar: untuk mencari pangkat matriks itu harus dibawa ke bentuk segitiga menggunakan transformasi dasar . Kemudian pangkat matriksnya akan sama dengan jumlah baris bukan nol pada matriks yang dihasilkan .

Contoh 10. Temukan pangkat suatu matriks dengan metode transformasi elementer

Larutan.

Mari kita tukar baris pertama dan kedua (karena elemen pertama dari baris kedua adalah −1 dan akan lebih mudah untuk melakukan transformasi dengannya). Hasilnya, kita memperoleh matriks yang ekuivalen dengan matriks ini.

Mari kita tunjukkan -baris matriks itu – . Kita perlu mereduksi matriks asli menjadi bentuk segitiga. Kami akan menganggap garis pertama sebagai garis terdepan; garis ini akan berpartisipasi dalam semua transformasi, tetapi garis itu sendiri tetap tidak berubah.

Pada tahap pertama, kita akan melakukan transformasi yang memungkinkan kita mendapatkan angka nol di kolom pertama, kecuali elemen pertama. Caranya, kurangi baris pertama dari baris kedua, kalikan dengan 2
, tambahkan baris pertama ke baris ketiga
, dan dari yang ketiga kita kurangi yang pertama, dikalikan 3
Kita memperoleh matriks yang pangkatnya sama dengan pangkat matriks tersebut. Mari kita nyatakan dengan huruf yang sama :

.

Karena kita perlu mereduksi matriks menjadi bentuk (5), kita kurangi baris kedua dari baris keempat. Dalam hal ini kita memiliki:

.

Diperoleh matriks berbentuk segitiga, dan kita dapat menyimpulkan bahwa
, yaitu jumlah garis bukan nol. Secara singkat pemecahan masalah tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

Dalam setiap matriks, dua peringkat dapat dikaitkan: peringkat baris (peringkat sistem baris) dan peringkat kolom (peringkat sistem kolom).

Dalil

Pangkat baris suatu matriks sama dengan pangkat kolomnya.

Peringkat matriks

Definisi

Peringkat matriks$A$ adalah peringkat sistem baris atau kolomnya.

Dilambangkan dengan $\namaoperator(berdering) A$

Dalam prakteknya, untuk mencari pangkat suatu matriks digunakan pernyataan sebagai berikut: pangkat suatu matriks sama dengan banyaknya baris bukan nol setelah matriks direduksi menjadi bentuk eselon.

Transformasi dasar pada baris (kolom) suatu matriks tidak mengubah peringkatnya.

Pangkat matriks langkah sama dengan jumlah barisnya yang bukan nol.

Contoh

Latihan. Carilah pangkat matriks $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\kanan) $

Larutan. Dengan menggunakan transformasi dasar pada baris-barisnya, kita mereduksi matriks $A$ menjadi bentuk eselon. Untuk melakukan ini, pertama-tama kurangi dua baris kedua dari baris ketiga:

$$ A \sim \kiri(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\kanan) $$

Dari baris kedua kita kurangi baris keempat, dikalikan 4; dari sepertiga - dua perempat:

$$ A \sim \kiri(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\kanan) $$

Kami menambahkan lima yang pertama ke baris kedua, dan tiga yang ketiga ke baris ketiga:

$$ A \sim \kiri(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\kanan) $$

Tukar baris pertama dan kedua:

$$ A \sim \kiri(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\kanan) $$

$$ A \sim \kiri(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\end(array)\kanan) \Panah Kanan \namaoperator(berdering) A=2 $$

Menjawab.$ \nama operator(berdering) A=2 $

Metode membatasi anak di bawah umur

Metode lain untuk mencari pangkat suatu matriks didasarkan pada teorema ini - metode tepi kecil. Inti dari metode ini adalah mencari anak di bawah umur, mulai dari tingkat yang lebih rendah dan berlanjut ke tingkat yang lebih tinggi. Jika minor orde $n$th tidak sama dengan nol, dan semua minor orde $n+1$th sama dengan nol, maka rank matriks tersebut akan sama dengan $n$ .

Contoh

Latihan. Carilah pangkat matriks $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(array)\right) $ menggunakan metode tepi minor.

Larutan. Minor berorde minimal adalah minor berorde satu yang sama dengan elemen-elemen matriks $A$. Misalnya, minor $ M_(1)=1 \neq 0 $ . terletak pada baris pertama dan kolom pertama. Kita membatasinya dengan bantuan baris kedua dan kolom kedua, kita mendapatkan minor $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; Mari kita perhatikan minor lain dari orde kedua, untuk ini kita membatasi minor $M_1$ dengan bantuan baris kedua dan kolom ketiga, maka kita memiliki minor $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , maka pangkat matriksnya adalah ​tidak kurang dari dua. Selanjutnya, kita pertimbangkan minor orde ketiga yang berbatasan dengan minor $ M_(2)^(2) $ . Ada dua minor seperti itu: kombinasi baris ketiga dengan kolom kedua atau dengan kolom keempat. Mari kita hitung anak di bawah umur ini.

Peringkat matriks

Definisi 1

Suatu sistem baris/kolom suatu matriks dikatakan bebas linier jika tidak ada satupun baris tersebut (tidak satu pun dari kolom tersebut) yang dinyatakan linier dalam baris/kolom yang lain.

Pangkat suatu sistem baris/kolom suatu matriks $A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ adalah jumlah baris/kolom bebas linier terbesar.

Pangkat sistem kolom selalu sama dengan pangkat sistem baris. Rangking inilah yang disebut dengan rangking matriks yang bersangkutan.

Pangkat suatu matriks adalah orde minor maksimum suatu matriks tertentu yang determinannya bukan nol.

Notasi berikut digunakan untuk menunjukkan peringkat suatu matriks: $rangA$, $rgA$, $rankA$.

Pangkat suatu matriks mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1. Untuk matriks nol, pangkat matriksnya adalah nol, selebihnya pangkatnya adalah suatu bilangan positif.
2. Pangkat suatu matriks persegi panjang berorde $m\kali n$ tidak lebih besar dari jumlah baris atau kolom matriks tersebut, yaitu. $0\le peringkat\le \min (m,n)$.
3. Untuk matriks persegi tak tunggal yang mempunyai orde tertentu, pangkat matriks tersebut sama dengan orde matriks tersebut.
4. Penentu matriks persegi berorde tertentu, yang mempunyai pangkat lebih kecil dari orde matriks, sama dengan nol.

Ada dua cara untuk mencari rank suatu matriks:

• perbatasan menggunakan determiner dan minor (metode tepi);
• melalui transformasi dasar.

Algoritma metode tepi meliputi yang berikut:

1. Dalam kasus ketika semua minor orde pertama sama dengan nol, pangkat matriks yang dipertimbangkan sama dengan nol.
2. Dalam hal paling sedikit salah satu minor orde pertama tidak sama dengan nol, dan semua minor orde kedua sama dengan nol, pangkat matriksnya sama dengan 1.
3. Dalam hal paling sedikit salah satu dari minor orde kedua tidak sama dengan nol, minor orde ketiga diperiksa. Hasilnya, minor berorde $k$ ditemukan dan diperiksa apakah minor berorde $k+1$ sama dengan nol. Jika semua minor berorde $k+1$ sama dengan nol, maka rank matriks tersebut sama dengan $k$.

Cara menentukan pangkat suatu matriks: contoh

Contoh 1

Larutan:

Perhatikan bahwa pangkat matriks asli tidak boleh lebih dari 3.

Di antara minor orde pertama terdapat minor yang tidak sama dengan nol, misalnya $M_(1) =\left|-2\right|=-2$. Mari kita pertimbangkan anak di bawah umur urutan kedua.

$M_(2) =\left|\begin(array)(cc) (-2) & (1) \\ (1) & (0) \end(array)\right|=-2\cdot 0-1 \cdot 1=0-1=-1\ne 0$

$M_(3) =\kiri|\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2 ) & (3) \end(array)\kanan|=-2\cdot 0\cdot 3+1\cdot 3\cdot 1+1\cdot 2\cdot 4-1\cdot 0\cdot 4-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 3\cdot (-2)=3+8-0-3+12=20\ne 0$

Jadi, rank matriks yang dimaksud adalah 3.

Contoh 2

Tentukan pangkat matriks $A=\left(\begin(array)(ccccc) (1) & (2) & (3) & (0) & (1) \\ (0) & (1) & ( 2) & (3) & (4) \\ (2) & (3) & (1) & (4) & (5) \\ (0) & (0) & (0) & (0) & ( 0) \end(array)\kanan)$.

Larutan:

Perhatikan bahwa pangkat matriks asli tidak boleh lebih dari 4 (4 baris, 5 kolom).

Di antara minor orde pertama terdapat minor bukan nol, misalnya $M_(1) =\left|1\right|=1$. Mari kita pertimbangkan anak di bawah umur urutan kedua.

$M_(2) =\left|\begin(array)(cc) (1) & (2) \\ (0) & (1) \end(array)\right|=1\cdot 1-0\cdot 2=1-0=1\ne 0$

Mari kita lakukan pembatas pada minor orde kedua dan dapatkan minor orde ketiga.

$M_(3) =\kiri|\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (1) & (2) \\ (2) & (3) & (1) \end(array)\right|=1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot 2+0\cdot 3\cdot 3-2\cdot 1\cdot 3-0\cdot 1\ cdot 2-2\cdot 3\cdot 1=1+8+0-6-0-6=-3\ne 0$

Mari kita lakukan tepi minor orde ketiga dan dapatkan minor orde keempat.

$M_(4) =\kiri|\begin(array)(cccc) (1) & (2) & (3) & (0) \\ (0) & (1) & (2) & (3) \ \ (2) & (3) & (1) & (4) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \end(array)\right|=0$ (berisi string nol)

$M_(5) =\kiri|\begin(array)(cccc) (1) & (2) & (3) & (1) \\ (0) & (1) & (2) & (4) \ \ (2) & (3) & (1) & (5) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \end(array)\right|=0$ (berisi string nol)

Semua minor orde keempat matriks tersebut sama dengan nol, sehingga rank matriks yang dimaksud adalah 3.

Mencari pangkat suatu matriks melalui transformasi dasar direduksi menjadi mereduksi matriks menjadi bentuk diagonal (bertingkat). Pangkat matriks yang diperoleh dari transformasi sama dengan jumlah elemen diagonal yang bukan nol.

Contoh 3

Tentukan pangkat matriks $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2 ) & (3) \end(array)\kanan)$.

Larutan:

Mari kita tukar baris pertama dan kedua matriks A:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2) & ( 3) \end(array)\kanan)\sim \kiri(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (2) & (3) \end(array)\kanan)$

Kalikan baris pertama matriks B dengan angka 2 dan tambahkan ke baris kedua:

$\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (2) & (3) \end(array)\kanan)\sim \kiri(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (1) & (2) & (3) \end(array)\kanan)$

Kalikan baris pertama matriks C dengan angka -1 dan tambahkan ke baris ketiga:

$\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (1) & (2) & (3) \ akhir(array)\kanan)\sim \kiri(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (2) & (0) \end(array)\kanan)$

Kalikan baris kedua matriks D dengan angka -2 dan tambahkan ke baris ketiga:

$\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (2) & (0) \ akhir(array)\kanan)\sim \kiri(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (-20) \end(array)\kanan)$

$\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (-20) \end(array)\right)$ - matriks eselon

Banyaknya elemen diagonal bukan nol adalah 3, maka $rang=3$.

Definisi. Peringkat matriks adalah jumlah maksimum baris bebas linier yang dianggap sebagai vektor.

Teorema 1 tentang pangkat matriks. Peringkat matriks disebut orde maksimum minor bukan nol suatu matriks.

Konsep minor sudah kita bahas pada pelajaran determinan, dan sekarang kita akan menggeneralisasikannya. Mari kita ambil sejumlah baris dan sejumlah kolom tertentu dalam matriks, dan “berapa” ini harus lebih kecil dari jumlah baris dan kolom matriks, dan untuk baris dan kolom “berapa banyak” ini seharusnya menjadi nomor yang sama. Kemudian pada perpotongan berapa baris dan berapa kolom akan terdapat matriks yang ordenya lebih rendah dari matriks asli kita. Penentunya adalah matriks dan akan menjadi minor orde ke-k jika “beberapa” (banyaknya baris dan kolom) tersebut dilambangkan dengan k.

Definisi. Minor ( R+1)urutan ke-1, di mana anak di bawah umur yang dipilih berada R Urutan -th disebut berbatasan dengan anak di bawah umur tertentu.

Dua metode yang paling umum digunakan adalah mencari rank matriks. Ini cara membatasi anak di bawah umur Dan metode transformasi dasar(Metode Gauss).

Saat menggunakan metode border minor, teorema berikut digunakan.

Teorema 2 tentang pangkat matriks. Jika minor dapat disusun dari unsur-unsur matriks R orde ke-th, tidak sama dengan nol, maka rank matriksnya sama dengan R.

Saat menggunakan metode transformasi dasar, properti berikut digunakan:

Jika melalui transformasi elementer diperoleh matriks trapesium yang ekuivalen dengan matriks aslinya, maka peringkat matriks ini adalah banyaknya garis di dalamnya selain garis yang seluruhnya terdiri dari angka nol.

Mencari rank suatu matriks menggunakan metode border minor

Anak di bawah umur terlampir adalah anak di bawah umur dari tingkat yang lebih tinggi relatif terhadap anak di bawah umur tertentu jika anak di bawah umur dari tingkat yang lebih tinggi ini berisi anak di bawah umur yang diberikan.

Misalnya, diberi matriks

Mari kita ambil contoh di bawah umur

Anak di bawah umur yang berbatasan adalah:

Algoritma untuk mencari rank suatu matriks Berikutnya.

1. Temukan anak di bawah umur orde kedua yang tidak sama dengan nol. Jika semua minor orde kedua sama dengan nol, maka rank matriks tersebut akan sama dengan satu ( R =1 ).

2. Jika paling sedikit ada satu minor orde kedua yang tidak sama dengan nol, maka kita buat minor pembatas orde ketiga. Jika semua anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, maka pangkat matriks tersebut sama dengan dua ( R =2 ).

3. Jika paling sedikit salah satu anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga tidak sama dengan nol, maka kita buatlah anak di bawah umur yang berbatasan tersebut. Jika semua minor yang berbatasan dengan orde keempat sama dengan nol, maka pangkat matriks tersebut sama dengan tiga ( R =2 ).

4. Lanjutkan cara ini selama ukuran matriks memungkinkan.

Contoh 1. Temukan pangkat suatu matriks

.

Larutan. Kecil dari urutan kedua .

Mari kita batasi itu. Akan ada empat anak di bawah umur yang berbatasan:

,

,

Jadi, semua anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, oleh karena itu, pangkat matriks ini sama dengan dua ( R =2 ).

Contoh 2. Temukan pangkat suatu matriks

Larutan. Pangkat matriks ini sama dengan 1, karena semua minor orde kedua dari matriks ini sama dengan nol (dalam hal ini, seperti dalam kasus minor yang berbatasan pada dua contoh berikut, siswa yang terhormat diundang untuk memverifikasi untuk sendiri, mungkin menggunakan aturan untuk menghitung determinan), dan di antara minor orde pertama , yaitu, di antara elemen-elemen matriks, ada yang bukan nol.

Contoh 3. Temukan pangkat suatu matriks

Larutan. Minor orde kedua matriks ini adalah, dan semua minor orde ketiga matriks ini sama dengan nol. Oleh karena itu, pangkat matriks ini adalah dua.

Contoh 4. Temukan pangkat suatu matriks

Larutan. Pangkat matriks ini adalah 3, karena satu-satunya minor orde ketiga dari matriks ini adalah 3.

Mencari rank suatu matriks menggunakan metode transformasi elementer (metode Gauss)

Pada contoh 1 sudah jelas bahwa tugas menentukan rank suatu matriks dengan metode border minor memerlukan perhitungan determinan dalam jumlah besar. Namun, ada cara untuk mengurangi jumlah komputasi seminimal mungkin. Metode ini didasarkan pada penggunaan transformasi matriks dasar dan disebut juga metode Gauss.

Operasi berikut dipahami sebagai transformasi matriks dasar:

1) mengalikan setiap baris atau kolom suatu matriks dengan bilangan selain nol;

2) menambahkan elemen-elemen pada setiap baris atau kolom matriks dengan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris atau kolom lain, dikalikan dengan angka yang sama;

3) menukar dua baris atau kolom matriks;

4) menghapus baris “null”, yaitu baris yang semua elemennya sama dengan nol;

5) menghapus semua garis proporsional kecuali satu.

Dalil. Selama transformasi dasar, pangkat matriks tidak berubah. Dengan kata lain, jika kita menggunakan transformasi elementer dari matriks A pergi ke matriks B, Itu .