Apa itu turunan?
Pengertian dan Arti Turunan Suatu Fungsi

Banyak yang akan terkejut dengan lokasi yang tidak terduga dari artikel ini dalam kursus penulis saya tentang turunan fungsi dari satu variabel dan penerapannya. Lagi pula, seperti di sekolah: buku teks standar, pertama-tama, memberikan definisi turunan, makna geometris dan mekanisnya. Selanjutnya siswa mencari turunan fungsi menurut definisinya, dan baru kemudian disempurnakan teknik diferensiasinya tabel turunan.

Namun menurut saya, pendekatan berikut ini lebih pragmatis: pertama-tama, disarankan untuk MEMAHAMI DENGAN BAIK batas fungsi, dan khususnya sangat kecil. Faktanya adalah itu pengertian turunan didasarkan pada konsep limit, yang kurang dipertimbangkan dalam kursus sekolah. Itulah sebabnya sebagian besar konsumen muda yang memiliki pengetahuan granit kurang memahami esensi turunannya. Jadi, jika Anda tidak berpengalaman dalam kalkulus diferensial, atau otak bijak telah berhasil melepaskan diri dari beban ini selama bertahun-tahun, silakan mulai dengan batas fungsi. Sekaligus menguasai/mengingat keputusan mereka.

Arti praktis yang sama menunjukkan bahwa hal ini menguntungkan terlebih dahulu belajar mencari turunan, termasuk turunan dari fungsi kompleks. Teori tetaplah teori, tapi seperti kata pepatah, Anda selalu ingin membedakannya. Dalam hal ini, lebih baik mempelajari pelajaran dasar yang tercantum, dan mungkin menjadi ahli diferensiasi tanpa menyadari inti dari tindakan mereka.

Saya sarankan memulai materi di halaman ini setelah membaca artikel. Masalah paling sederhana dengan turunan, di mana, khususnya, masalah garis singgung grafik suatu fungsi dipertimbangkan. Tapi itu bisa ditunda. Faktanya adalah banyak penerapan turunan yang tidak memerlukan pemahaman, dan tidak mengherankan jika pelajaran teori muncul cukup terlambat - ketika saya perlu menjelaskannya. menemukan interval kenaikan/penurunan dan ekstrem fungsi. Apalagi dia sudah cukup lama menggeluti subjek tersebut" Fungsi dan Grafik”, sampai saya memutuskan untuk memasangnya lebih awal.

Oleh karena itu teko sayang, jangan buru-buru menyerap sari turunannya, seperti hewan lapar, karena rasa kenyangnya akan terasa hambar dan tidak lengkap.

Konsep kenaikan, penurunan, maksimum, minimum suatu fungsi

Banyak tutorial yang mengarah pada konsep turunan dengan bantuan beberapa masalah praktis, dan saya juga memberikan contoh yang menarik. Bayangkan kita harus bepergian ke kota yang bisa dijangkau dengan berbagai cara. Kami segera membuang jalur berliku yang melengkung, dan kami hanya akan mempertimbangkan garis lurus. Namun, petunjuk arah garis lurus juga berbeda: Anda dapat mencapai kota melalui jalan raya datar. Atau di jalan raya berbukit - naik turun, naik turun. Jalan lainnya hanya menanjak, dan jalan lainnya selalu menurun. Penikmat sensasi akan memilih rute melalui ngarai dengan tebing terjal dan tanjakan terjal.

Namun apa pun preferensi Anda, sebaiknya Anda mengetahui wilayah tersebut, atau setidaknya memiliki peta topografinya. Bagaimana jika tidak ada informasi seperti itu? Lagi pula, Anda dapat memilih, misalnya, jalur datar, tetapi sebagai hasilnya, Anda akan menemukan lereng ski dengan orang Finlandia yang lucu. Bukan fakta bahwa navigator dan bahkan citra satelit akan memberikan data yang dapat diandalkan. Oleh karena itu, alangkah baiknya jika relief jalan tersebut diformalkan melalui matematika.

Perhatikan beberapa jalan (tampak samping):

Untuk berjaga-jaga, saya mengingatkan Anda tentang fakta dasar: perjalanan itu terjadi dari kiri ke kanan. Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa fungsinya kontinu di area yang sedang dipertimbangkan.

Apa sajakah fitur bagan ini?

Secara berkala fungsi meningkat, yaitu, masing-masing nilai berikutnya lagi yang sebelumnya. Secara kasar, jadwalnya berjalan turun hingga(kami mendaki bukit). Dan pada interval fungsinya menurun- setiap nilai berikutnya lebih sedikit yang sebelumnya, dan jadwal kami berjalan Perintahkan ke bawah(menuruni lereng).

Mari kita perhatikan juga poin-poin khusus. Pada titik yang kita capai maksimum, itu adalah ada bagian jalur yang nilainya akan menjadi yang terbesar (tertinggi). Pada titik yang sama, minimum, Dan ada demikianlah lingkungannya, yang nilainya paling kecil (terendah).

Terminologi dan definisi yang lebih ketat akan dibahas dalam pelajaran ini. tentang ekstrem dari fungsi tersebut, tapi untuk saat ini mari kita pelajari satu fitur penting lagi: pada interval fungsinya meningkat, tetapi meningkat pada kecepatan yang berbeda. Dan hal pertama yang menarik perhatian Anda adalah grafiknya melonjak pada intervalnya jauh lebih keren daripada pada interval. Mungkinkah mengukur kecuraman jalan menggunakan alat matematika?

Tingkat perubahan fungsi

Idenya adalah ini: ambillah nilai (baca "deltax"), yang akan kami panggil peningkatan argumen, dan mari kita mulai "mencobanya" ke berbagai titik jalur kita:

1) Mari kita lihat titik paling kiri: melewati jarak , kita mendaki lereng hingga ketinggian (garis hijau). Nilainya disebut peningkatan fungsi, dan dalam hal ini kenaikan ini positif (perbedaan nilai sepanjang sumbu lebih besar dari nol). Mari kita buat perbandingannya, yang akan menjadi ukuran kecuraman jalan kita. Tentu saja, ini adalah bilangan yang sangat spesifik, dan karena kedua kenaikannya positif, maka .

Perhatian! Sebutannya adalah SATU simbol, yaitu, Anda tidak dapat "melepaskan" "delta" dari "x" dan mempertimbangkan huruf-huruf ini secara terpisah. Tentu saja, komentar tersebut juga berlaku untuk simbol kenaikan fungsi.

Mari kita telusuri sifat pecahan yang dihasilkan dengan lebih bermakna. Misalkan awalnya kita berada di ketinggian 20 meter (di titik hitam sebelah kiri). Setelah menempuh jarak meter (garis merah kiri), kita akan berada di ketinggian 60 meter. Maka kenaikan fungsinya adalah meter (garis hijau) dan: . Dengan demikian, pada setiap meter bagian jalan ini tinggi badan bertambah rata-rata sejauh 4 meter…apakah kamu lupa perlengkapan pendakianmu? =) Dengan kata lain, rasio yang dibangun mencirikan TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA (dalam hal ini, pertumbuhan) dari fungsi tersebut.

Catatan : Nilai numerik dari contoh yang dimaksud hanya kira-kira sesuai dengan proporsi gambar.

2) Sekarang mari kita menempuh jarak yang sama dari titik hitam paling kanan. Di sini kenaikannya lebih landai, sehingga kenaikannya (garis merah tua) relatif kecil, dan rasionya dibandingkan dengan kasus sebelumnya akan cukup kecil. Secara relatif, meter dan tingkat pertumbuhan fungsi adalah . Artinya, di sini ada untuk setiap meter jalan rata-rata setengah meter ke atas.

3) Sedikit petualangan di lereng gunung. Mari kita lihat titik hitam atas yang terletak pada sumbu y. Anggaplah ini adalah tanda 50 meter. Sekali lagi kami mengatasi jarak tersebut, akibatnya kami mendapati diri kami lebih rendah - pada ketinggian 30 meter. Sejak gerakan itu dilakukan Perintahkan ke bawah(dalam arah sumbu yang "berlawanan"), lalu yang terakhir kenaikan fungsi (tinggi) akan negatif: meter (garis coklat pada gambar). Dan dalam hal ini yang sedang kita bicarakan tingkat peluruhan fitur: , yaitu, untuk setiap meter lintasan pada bagian ini, ketinggiannya berkurang rata-rata sebesar 2 meter. Jaga pakaian pada poin kelima.

Sekarang mari kita ajukan pertanyaan: berapa nilai "standar pengukuran" yang terbaik untuk digunakan? Jelas 10 meter itu sangat kasar. Selusin benjolan yang bagus dapat dengan mudah masuk ke dalamnya. Mengapa ada gundukan, mungkin ada jurang yang dalam di bawah, dan setelah beberapa meter - sisi lainnya dengan tanjakan yang lebih curam. Jadi, dengan jarak sepuluh meter, kita tidak akan mendapatkan karakteristik yang dapat dipahami dari bagian jalan yang melalui rasio tersebut.

Dari pembahasan di atas, diambil kesimpulan sebagai berikut: semakin kecil nilainya, semakin akurat kita menggambarkan relief jalan tersebut. Selain itu, fakta-fakta berikut ini benar adanya:

– Untuk apa pun poin pengangkatan Anda dapat memilih nilai (walaupun sangat kecil) yang sesuai dengan batas kenaikan tertentu. Artinya pertambahan tinggi yang bersesuaian dijamin positif, dan pertidaksamaan akan menunjukkan pertumbuhan fungsi dengan tepat di setiap titik pada interval ini.

- Juga, untuk apa pun titik kemiringan, ada nilai yang sesuai sepenuhnya pada kemiringan ini. Oleh karena itu, pertambahan tinggi yang bersesuaian pastinya negatif, dan pertidaksamaan akan menunjukkan penurunan fungsi di setiap titik pada interval tertentu.

– Yang menarik adalah kasus ketika laju perubahan fungsi adalah nol: . Pertama, pertambahan ketinggian nol () merupakan tanda lintasan genap. Dan kedua, ada situasi aneh lainnya, contohnya dapat Anda lihat pada gambar. Bayangkan nasib telah membawa kita ke puncak bukit dengan elang-elang yang terbang tinggi atau dasar jurang dengan katak-katak yang bersuara serak. Jika kita mengambil langkah kecil ke segala arah, maka perubahan ketinggian dapat diabaikan, dan kita dapat mengatakan bahwa laju perubahan fungsi sebenarnya adalah nol. Pola yang sama juga terlihat pada titik-titik.

Dengan demikian, kita telah mendekati peluang luar biasa untuk secara akurat mengkarakterisasi laju perubahan suatu fungsi. Bagaimanapun, analisis matematis memungkinkan kita mengarahkan kenaikan argumen ke nol: yaitu, membuatnya kecil sekali.

Akibatnya, muncul pertanyaan logis lainnya: apakah mungkin menemukan jalan dan jadwalnya fungsi lain, yang akan memberitahu kami tentang semua dataran, menanjak, menurun, puncak, dataran rendah, serta laju kenaikan/penurunan pada setiap titik jalurnya?

Apa itu turunan? Definisi turunan.
Arti geometri turunan dan diferensial

Harap membaca dengan cermat dan tidak terlalu cepat - materinya sederhana dan dapat diakses oleh semua orang! Tidak apa-apa jika di beberapa tempat ada sesuatu yang tidak begitu jelas, Anda selalu dapat kembali ke artikel nanti. Saya akan mengatakan lebih banyak, akan berguna untuk mempelajari teori beberapa kali untuk memahami semua poin secara kualitatif (nasihat ini sangat relevan untuk siswa “teknis” yang matematika tingkat tinggi memainkan peran penting dalam proses pendidikan).

Tentu saja, dalam definisi turunan di suatu titik, kita akan menggantinya dengan:

Apa yang telah kita capai? Dan kami sampai pada kesimpulan bahwa untuk suatu fungsi sesuai dengan undang-undang selaras fungsi lainnya, yang disebut fungsi turunan(atau sederhananya turunan).

Derivatifnya mencirikan tingkat perubahan fungsi. Bagaimana? Pemikiran itu berjalan seperti benang merah sejak awal artikel. Pertimbangkan beberapa hal domain fungsi. Biarkan fungsi tersebut terdiferensiasi pada suatu titik tertentu. Kemudian:

1) Jika , maka fungsinya bertambah di titik . Dan jelas ada selang(walaupun sangat kecil) berisi titik di mana fungsi tersebut tumbuh, dan grafiknya bergerak “dari bawah ke atas”.

2) Jika , maka fungsinya berkurang di titik . Dan ada interval yang berisi titik di mana fungsinya menurun (grafiknya “dari atas ke bawah”).

3) Jika , maka sangat dekat di dekat titik tersebut, fungsi tersebut menjaga kecepatannya tetap konstan. Hal ini terjadi, seperti disebutkan, untuk fungsi-konstanta dan pada titik-titik kritis fungsi, secara khusus pada titik minimum dan maksimum.

Beberapa semantik. Apa arti kata kerja "membedakan" dalam arti luas? Membedakan berarti menonjolkan suatu ciri. Saat membedakan suatu fungsi , kita “memilih” laju perubahannya dalam bentuk turunan fungsi tersebut . Ngomong-ngomong, apa yang dimaksud dengan kata "turunan"? Fungsi telah terjadi dari fungsinya.

Istilah-istilah tersebut sangat berhasil menafsirkan makna mekanis dari turunannya :
Mari kita perhatikan hukum perubahan koordinat benda, yang bergantung pada waktu, dan fungsi kecepatan gerak benda tertentu. Fungsi tersebut mencirikan laju perubahan koordinat benda, oleh karena itu merupakan turunan pertama fungsi tersebut terhadap waktu: . Jika konsep “gerakan tubuh” tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep "kecepatan".

Percepatan suatu benda adalah laju perubahan kecepatan, oleh karena itu: . Jika konsep asli “gerakan benda” dan “kecepatan gerak benda” tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep percepatan suatu benda.

(\large\bf Turunan fungsi)

Pertimbangkan fungsinya kamu=f(x), diberikan pada interval (a,b). Membiarkan X- setiap interval titik tetap (a,b), A Δx- angka arbitrer, sedemikian rupa sehingga nilainya x+Δx juga termasuk dalam interval (a,b). Nomor ini Δx disebut kenaikan argumen.

Definisi. Peningkatan fungsi kamu=f(x) pada intinya X, sesuai dengan kenaikan argumen Δx, ayo hubungi nomornya

Δy = f(x+Δx) - f(x).

kami percaya itu Δx ≠ 0. Pertimbangkan pada titik tetap tertentu X rasio kenaikan fungsi pada titik tersebut dengan kenaikan argumen yang sesuai Δx

Relasi ini disebut relasi perbedaan. Sejak nilainya X kami anggap tetap, relasi perbedaan adalah fungsi dari argumen Δx. Fungsi ini didefinisikan untuk semua nilai argumen Δx, termasuk dalam lingkungan yang cukup kecil pada titik tersebut ∆x=0, kecuali intinya ∆x=0. Oleh karena itu, kita berhak mempertimbangkan pertanyaan tentang adanya limit fungsi tertentu untuk ∆x → 0.

Definisi. Fungsi turunan kamu=f(x) pada suatu titik tetap tertentu X disebut batas ∆x → 0 hubungan diferensial, yaitu

Asalkan batasan ini ada.

Penamaan. kamu (x) atau f′(x).

Arti geometris dari turunan: Turunan fungsi f(x) pada saat ini X sama dengan garis singgung sudut antara sumbu Sapi dan garis singgung grafik fungsi ini pada titik yang bersesuaian:

f′(x 0) = \tgα.

Arti mekanis dari turunan: Turunan lintasan terhadap waktu sama dengan kecepatan gerak lurus suatu titik:

Persamaan garis singgung garis kamu=f(x) pada intinya M0 (x0,y0) mengambil formulir

y-y 0 = f (x 0) (x-x 0).

Garis normal kurva di suatu titik adalah garis tegak lurus garis singgung di titik yang sama. Jika f′(x 0)≠ 0, maka persamaan normal garis tersebut kamu=f(x) pada intinya M0 (x0,y0) ditulis seperti ini:

Konsep diferensiasi suatu fungsi

Biarkan fungsinya kamu=f(x) ditentukan pada interval tertentu (a,b), X- beberapa nilai tetap dari argumen dari interval ini, Δx- setiap kenaikan argumen sedemikian rupa sehingga nilai argumennya x+Δx ∈ (a, b).

Definisi. Fungsi kamu=f(x) disebut terdiferensiasi pada suatu titik tertentu X jika bertambah Δy fungsi ini pada intinya X, sesuai dengan kenaikan argumen Δx, dapat direpresentasikan sebagai

Δy = A Δx +αΔx,

Di mana A adalah suatu bilangan yang tidak bergantung pada Δx, A α - fungsi argumen Δx, yang sangat kecil di ∆x → 0.

Karena hasil kali dua fungsi yang sangat kecil αΔx adalah tingkat yang sangat kecil dibandingkan Δx(properti 3 dari fungsi yang sangat kecil), kita dapat menulis:

∆y = SEBUAH ∆x +o(∆x).

Dalil. Agar fungsinya kamu=f(x) dapat terdiferensiasi pada suatu titik tertentu X, perlu dan cukup bahwa ia memiliki turunan berhingga pada titik ini. Di mana SEBUAH=f′(x), itu adalah

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Operasi mencari turunan biasa disebut diferensiasi.

Dalil. Jika fungsinya kamu=f(x) X, maka kontinu pada titik tersebut.

Komentar. Dari kelangsungan fungsinya kamu=f(x) pada saat ini X, secara umum, tidak berarti bahwa fungsinya dapat terdiferensiasi f(x) pada saat ini. Misalnya saja fungsinya kamu=|x|- terus menerus pada suatu titik x=0, tetapi tidak memiliki turunan.

Konsep diferensial fungsi

Definisi. diferensial fungsi kamu=f(x) disebut produk turunan fungsi ini dan kenaikan variabel bebas X:

dy = y′ ∆x, df(x) = f′(x) ∆x.

Untuk fungsi kamu=x kita mendapatkan dy=dx=x'Δx = 1 Δx= Δx, itu adalah dx=Δx- diferensial suatu variabel bebas sama dengan kenaikan variabel tersebut.

Dengan demikian, kita bisa menulis

dy = y′dx, df(x) = f′(x)dx

Diferensial mati dan kenaikan Δy fungsi kamu=f(x) pada saat ini X, keduanya sesuai dengan kenaikan argumen yang sama Δx secara umum tidak sama satu sama lain.

Arti geometris dari diferensial: Diferensial suatu fungsi sama dengan pertambahan ordinat garis singgung grafik fungsi tertentu ketika argumennya bertambah Δx.

Aturan diferensiasi

Dalil. Jika masing-masing fungsinya kamu(x) Dan v(x) terdiferensiasi pada suatu titik tertentu X, lalu jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dari fungsi-fungsi tersebut (hasil bagi dengan syarat v(x)≠ 0) juga dapat terdiferensiasi pada saat ini, dan rumus berikut berlaku:

Pertimbangkan fungsi yang kompleks y=f(φ(x))≡ F(x), Di mana kamu=f(kamu), kamu=φ(x). Pada kasus ini kamu ditelepon argumen perantara, X - variabel bebas.

Dalil. Jika kamu=f(kamu) Dan kamu=φ(x) adalah fungsi terdiferensiasi dari argumennya, maka turunan dari fungsi kompleks tersebut kamu=f(φ(x)) ada dan sama dengan produk dari fungsi ini terhadap argumen perantara dan turunan dari argumen perantara terhadap variabel bebas, yaitu.

Komentar. Untuk fungsi kompleks yang merupakan superposisi dari tiga fungsi kamu=F(f(φ(x))), aturan diferensiasi memiliki bentuk

y′ x = y′ kamu u′ v v′ x,

dimana fungsinya v=φ(x), kamu=f(v) Dan kamu=F(kamu) adalah fungsi argumen mereka yang dapat dibedakan.

Dalil. Biarkan fungsinya kamu=f(x) meningkat (atau menurun) dan kontinu di beberapa lingkungan titik tersebut x0. Misalkan fungsi ini terdiferensialkan pada titik yang ditunjukkan x0 dan turunannya pada saat ini f′(x 0) ≠ 0. Kemudian di beberapa lingkungan dari titik yang sesuai kamu0=f(x0) kebalikannya untuk kamu=f(x) fungsi x=f -1 (kamu), dan fungsi invers yang ditunjukkan dapat terdiferensiasi pada titik yang bersesuaian kamu0=f(x0) dan untuk turunannya pada saat ini kamu rumusnya valid

Tabel turunan

Invarian bentuk diferensial pertama

Pertimbangkan diferensial dari fungsi kompleks. Jika kamu=f(x), x=φ(t) adalah fungsi terdiferensiasi dari argumennya, maka turunan dari fungsi tersebut kamu=f(φ(t)) dinyatakan dengan rumus

kamu′ t = kamu′ x x′ t.

A-priori dy=kamu tidak bisa, lalu kita dapatkan

dy = y′ t dt = y′ x x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Jadi, kami sudah membuktikannya

Sifat invarian berupa diferensial pertama suatu fungsi: seperti dalam kasus ketika argumen X adalah variabel independen, dan dalam kasus ketika argumen X itu sendiri merupakan fungsi terdiferensiasi dari variabel baru, diferensial mati fungsi kamu=f(x) sama dengan turunan fungsi ini, dikalikan dengan diferensial argumen dx.

Penerapan diferensial dalam perhitungan perkiraan

Kami telah menunjukkan bahwa perbedaannya mati fungsi kamu=f(x), secara umum, tidak sama dengan kenaikan Δy fungsi ini. Namun demikian, hingga fungsi yang sangat kecil dengan tingkat kekecilan yang lebih tinggi dari Δx, perkiraan persamaan

∆y ≈ dy.

Rasio ini disebut kesalahan relatif dari persamaan persamaan ini. Karena ∆y-dy=o(∆x), maka kesalahan relatif dari persamaan ini menjadi sangat kecil |Δх|.

Mengingat bahwa Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f′(x)Δx, kita mendapatkan f(x+δx)-f(x) ≈ f′(x)Δx atau

f(x+δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Perkiraan persamaan ini memungkinkan adanya kesalahan Hai(Δx) ganti fungsi f(x) di lingkungan kecil suatu titik X(yaitu untuk nilai kecil Δx) fungsi linier dari argumen Δx berdiri di sisi kanan.

Turunan dari orde yang lebih tinggi

Definisi. Turunan kedua (atau turunan orde kedua) dari fungsi tersebut kamu=f(x) disebut turunan dari turunan pertamanya.

Notasi turunan kedua suatu fungsi kamu=f(x):

Arti mekanis dari turunan kedua. Jika fungsinya kamu=f(x) menjelaskan hukum gerak suatu titik material pada garis lurus, maka turunan keduanya f″(x) sama dengan percepatan titik bergerak terhadap waktu X.

Turunan ketiga dan keempat didefinisikan dengan cara yang sama.

Definisi. N-turunan ke-(atau turunan N urutan ke-) fungsi kamu=f(x) disebut turunannya n-1 turunan ke-th:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Sebutan: kamu″′, kamu IV, kamu V dll.

Arti geometris dari turunan

DEFINISI SINGKAT KURVA Bersinggungan dengan kurva kamu=ƒ(x) pada intinya M disebut posisi batas garis potong yang melalui titik tersebut M dan titik yang berdekatan dengannya M 1 kurva, asalkan intinya M 1 mendekati tanpa batas sepanjang kurva ke suatu titik M. MAKNA GEOMETRIS DARI TURUNAN Turunan fungsi kamu=ƒ(x) pada intinya X 0 secara numerik sama dengan garis singgung sudut kemiringan terhadap sumbu Oh garis singgung yang ditarik ke kurva kamu=ƒ(x) pada intinya M (x 0; ƒ (x 0)).

DOTIC DIRANCANG MENJADI MELENGKUNG Dotichnaya bagi yang bengkok kamu=ƒ(x) ke titik M disebut posisi batas sichno yang ditarik melalui suatu titik M dan menilai suatu hal dengannya M 1 bengkok, ingat, apa gunanya M 1 kurva semakin mendekati titik tersebut M. ZMIST GEOMETRIS BAIK Fungsi lainnya kamu=ƒ(x) ke titik x 0 menaikkan garis singgung kuta nahil terhadap sumbu secara numerik Oh dotichny, dilakukan sampai ke kurva kamu=ƒ(x) ke titik M (x 0; ƒ (x 0)).

Arti praktis dari turunan

Mari kita pertimbangkan apa arti praktis dari nilai yang kita temukan sebagai turunan dari suatu fungsi.

Pertama, turunan- ini adalah konsep dasar kalkulus diferensial, yang mencirikan laju perubahan suatu fungsi pada suatu titik tertentu.

Apa itu "tingkat perubahan"? Bayangkan sebuah fungsi f(x) = 5. Terlepas dari nilai argumen (x), nilainya tidak berubah sama sekali. Artinya, tingkat perubahan adalah nol.

Sekarang pertimbangkan fungsinya f(x) = x. Turunan dari x sama dengan satu. Memang mudah untuk melihat bahwa untuk setiap perubahan argumen (x) sebesar satu, nilai fungsinya juga bertambah satu.

Berdasarkan informasi yang diterima, sekarang mari kita lihat tabel turunan fungsi sederhana. Berdasarkan hal tersebut, makna fisis mencari turunan suatu fungsi segera menjadi jelas. Pemahaman seperti itu seharusnya memudahkan pemecahan masalah-masalah praktis.

Oleh karena itu, jika turunan menunjukkan laju perubahan fungsi, maka turunan ganda menunjukkan percepatan.

2080.1947

Tanggal: 20/11/2014

Apa itu turunan?

Tabel turunan.

Turunan merupakan salah satu konsep utama matematika tingkat tinggi. Dalam pelajaran ini, kami akan memperkenalkan konsep ini. Mari berkenalan, tanpa rumusan dan pembuktian matematis yang ketat.

Pengenalan ini akan memungkinkan Anda untuk:

Memahami esensi tugas sederhana dengan turunan;

Berhasil menyelesaikan tugas-tugas yang sangat sederhana ini;

Bersiaplah untuk pelajaran turunan yang lebih serius.

Pertama, kejutan yang menyenangkan.

Definisi ketat dari turunan didasarkan pada teori limit, dan masalahnya agak rumit. Ini menjengkelkan. Namun penerapan praktis turunannya, pada umumnya, tidak memerlukan pengetahuan yang begitu luas dan mendalam!

Untuk berhasil menyelesaikan sebagian besar tugas di sekolah dan universitas, pengetahuan saja sudah cukup beberapa istilah saja- untuk memahami tugas, dan hanya beberapa aturan- untuk mengatasinya. Dan itu saja. Ini membuatku senang.

Bisakah kita saling mengenal?)

Syarat dan sebutan.

Ada banyak operasi matematika dalam matematika dasar. Penjumlahan, pengurangan, perkalian, eksponensial, logaritma, dll. Jika satu operasi lagi ditambahkan ke operasi ini, matematika dasar menjadi lebih tinggi. Operasi baru ini disebut diferensiasi. Definisi dan makna operasi ini akan dibahas dalam pelajaran tersendiri.

Di sini penting untuk dipahami bahwa diferensiasi hanyalah operasi matematika pada suatu fungsi. Kami mengambil fungsi apa pun dan, menurut aturan tertentu, mengubahnya. Hasilnya adalah fungsi baru. Fungsi baru ini disebut: turunan.

Diferensiasi- tindakan pada suatu fungsi.

Turunan adalah hasil dari tindakan ini.

Sama seperti, misalnya, jumlah adalah hasil penambahannya. Atau pribadi adalah hasil pembagiannya.

Mengetahui istilah-istilahnya, setidaknya Anda dapat memahami tugasnya.) Susunan kata-katanya adalah sebagai berikut: temukan turunan suatu fungsi; ambil turunannya; membedakan fungsinya; menghitung turunan dan seterusnya. Ini semua sama. Tentu saja, ada soal yang lebih kompleks, di mana mencari turunannya (diferensiasi) hanyalah salah satu langkah dalam menyelesaikan soal tersebut.

Turunan dilambangkan dengan tanda hubung di kanan atas di atas fungsi. Seperti ini: kamu" atau f"(x) atau S"(t) dan seterusnya.

membaca pukulan y, pukulan ef dari x, pukulan es dari te, baiklah, kamu paham...)

Bilangan prima juga dapat menyatakan turunan suatu fungsi tertentu, misalnya: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" dll. Seringkali turunan dilambangkan dengan menggunakan diferensial, tetapi kita tidak akan membahas notasi seperti itu dalam pelajaran ini.

Misalkan kita telah belajar memahami tugas. Tidak ada lagi yang tersisa - untuk mempelajari cara menyelesaikannya.) Izinkan saya mengingatkan Anda lagi: mencari turunannya adalah transformasi suatu fungsi menurut aturan tertentu. Anehnya, aturan-aturan ini sangat sedikit.

Untuk mencari turunan suatu fungsi, Anda hanya perlu mengetahui tiga hal. Tiga pilar yang menjadi sandaran semua diferensiasi. Berikut ketiga paus tersebut:

1. Tabel turunan (rumus diferensiasi).

3. Turunan dari fungsi kompleks.

Mari kita mulai secara berurutan. Dalam pelajaran ini, kita akan membahas tabel turunan.

Tabel turunan.

Dunia memiliki fungsi yang jumlahnya tak terbatas. Di antara rangkaian ini terdapat fungsi-fungsi yang paling penting untuk penerapan praktis. Fungsi-fungsi ini sesuai dengan semua hukum alam. Dari fungsi-fungsi ini, seperti dari batu bata, Anda dapat membuat fungsi lainnya. Kelas fungsi ini disebut fungsi dasar. Fungsi-fungsi inilah yang dipelajari di sekolah - linier, kuadrat, hiperbola, dll.

Diferensiasi fungsi "dari awal", mis. berdasarkan definisi turunan dan teori limit merupakan hal yang cukup memakan waktu. Dan ahli matematika juga manusia, ya, ya!) Jadi mereka menyederhanakan hidup mereka (dan kita). Mereka menghitung turunan fungsi dasar sebelum kita. Hasilnya adalah tabel turunan, dimana semuanya sudah siap.)

Ini dia, pelat ini untuk fungsi paling populer. Kiri - fungsi dasar, kanan - turunannya.

	Fungsi kamu	Turunan dari fungsi y kamu"
1	C (konstan)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n adalah bilangan apa saja)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	dosa x	(sinx)" = cosx
	karena x	(karena x)" = - dosa x
	terima kasih
	ctg x
5	busur x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	A X
	e X
5	catatan A X
	dalam x ( sebuah = e)

Saya sarankan untuk memperhatikan kelompok fungsi ketiga dalam tabel turunan ini. Turunan fungsi pangkat adalah salah satu rumus yang paling umum, bahkan paling umum! Apakah petunjuknya jelas?) Ya, tabel turunan sebaiknya dihafal. Ngomong-ngomong, ini tidak sesulit kelihatannya. Cobalah untuk memecahkan lebih banyak contoh, tabel itu sendiri akan diingat!)

Menemukan nilai tabel turunannya, seperti yang Anda pahami, bukanlah tugas yang paling sulit. Oleh karena itu, sangat sering ada chip tambahan dalam tugas seperti itu. Entah dalam rumusan tugas, atau dalam fungsi aslinya, yang sepertinya tidak ada di tabel...

Mari kita lihat beberapa contoh:

1. Tentukan turunan dari fungsi y = x 3

Tidak ada fungsi seperti itu di tabel. Namun ada turunan umum dari fungsi pangkat (golongan ketiga). Dalam kasus kami, n=3. Jadi kita mengganti tripelnya dengan n dan dengan hati-hati menuliskan hasilnya:

(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

Hanya itu saja.

Menjawab: kamu" = 3x 2

2. Tentukan nilai turunan fungsi y = sinx di titik x = 0.

Tugas ini berarti Anda harus mencari turunan sinus terlebih dahulu, lalu mensubstitusikan nilainya x = 0 untuk turunan yang sama ini. Itu dalam urutan itu! Kalau tidak, kebetulan mereka segera mensubstitusikan nol ke dalam fungsi aslinya ... Kita diminta untuk mencari bukan nilai dari fungsi aslinya, tetapi nilainya turunannya. Turunannya, izinkan saya mengingatkan Anda, sudah merupakan fungsi baru.

Di piring kita menemukan sinus dan turunan yang sesuai:

y" = (sinx)" = cosx

Substitusikan nol ke dalam turunannya:

kamu"(0) = cos 0 = 1

Ini akan menjadi jawabannya.

3. Bedakan fungsinya:

Apa yang menginspirasi?) Fungsi seperti itu bahkan tidak ada dalam tabel turunan.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk membedakan suatu fungsi berarti mencari turunan dari fungsi tersebut. Jika Anda lupa trigonometri dasar, mencari turunan fungsi kita cukup merepotkan. Tabel tidak membantu...

Namun jika kita lihat fungsi kita adalah cosinus sudut ganda, maka semuanya segera menjadi lebih baik!

Ya ya! Ingatlah bahwa transformasi fungsi aslinya sebelum diferensiasi cukup bisa diterima! Dan hal itu membuat hidup jauh lebih mudah. Menurut rumus kosinus sudut ganda:

Itu. fungsi rumit kami tidak lain adalah y = pengemudi. Dan ini adalah fungsi tabel. Kami segera mendapatkan:

Menjawab: kamu" = - dosa x.

Contoh untuk lulusan dan mahasiswa tingkat lanjut:

4. Temukan turunan suatu fungsi:

Tentu saja, tidak ada fungsi seperti itu di tabel turunan. Tetapi jika Anda ingat matematika dasar, tindakan dengan kekuatan... Maka sangat mungkin untuk menyederhanakan fungsi ini. Seperti ini:

Dan x pangkat sepersepuluh sudah merupakan fungsi tabel! Kelompok ketiga, n=1/10. Langsung sesuai rumus dan tulis:

Itu saja. Ini akan menjadi jawabannya.

Saya berharap dengan paus diferensiasi pertama - tabel turunan - semuanya menjadi jelas. Masih berurusan dengan dua paus yang tersisa. Pada pelajaran berikutnya, kita akan mempelajari aturan diferensiasi.

Biarkan fungsi tersebut didefinisikan pada suatu titik dan beberapa lingkungannya. Mari kita beri argumen kenaikan sedemikian rupa sehingga titik tersebut berada dalam domain fungsi. Fungsinya kemudian akan bertambah.

DEFINISI. Turunan suatu fungsi pada suatu titik disebut limit rasio kenaikan fungsi pada titik ini dengan kenaikan argumen , di (jika batas ini ada dan berhingga), mis.

Tentukan: ,,,.

Turunan suatu fungsi di suatu titik di sebelah kanan (kiri) ditelepon

(jika batas ini ada dan terbatas).

Dilambangkan: , - turunan di titik sebelah kanan,

, adalah turunan di titik sebelah kiri.

Jelaslah, teorema berikut ini benar.

DALIL. Suatu fungsi mempunyai turunan di suatu titik jika dan hanya jika turunan kanan dan kiri fungsi tersebut ada dan sama besar di titik tersebut. Dan

Teorema berikut menetapkan hubungan antara keberadaan turunan suatu fungsi di suatu titik dan kontinuitas fungsi di titik tersebut.

TEOREMA (kondisi yang diperlukan bagi adanya turunan suatu fungsi di suatu titik). Jika suatu fungsi mempunyai turunan di suatu titik, maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut.

BUKTI

Biarkan itu ada. Kemudian

,

dimana sangat kecil di.

Komentar

fungsi turunan dan menunjukkan

diferensiasi fungsi .

MAKNA GEOMETRI DAN FISIK

1) Arti fisis dari turunan. Jika fungsi dan argumennya adalah besaran fisis, maka turunannya adalah laju perubahan variabel terhadap variabel di titik tersebut. Misalnya, jika jarak yang ditempuh suatu titik waktu, maka turunannya adalah kecepatan pada suatu titik waktu. Jika adalah banyaknya listrik yang mengalir melalui penampang penghantar pada suatu waktu, maka adalah laju perubahan jumlah listrik pada suatu waktu, yaitu. kekuatan saat ini pada suatu waktu.

2) Arti geometris dari turunan.

Biarlah suatu kurva, jadilah titik pada kurva tersebut.

Setiap garis yang memotong paling sedikit dua titik disebut garis potong .

Bersinggungan dengan kurva di suatu titik disebut posisi batas garis potong, jika titiknya cenderung bergerak sepanjang kurva.

Jelas dari definisi tersebut bahwa jika suatu titik bersinggungan dengan suatu kurva, maka kurva tersebut unik.

Pertimbangkan sebuah kurva (yaitu grafik suatu fungsi). Misalkan suatu titik mempunyai garis singgung nonvertikal. Persamaannya : (persamaan garis lurus yang melalui suatu titik dan mempunyai kemiringan).

Menurut definisi kemiringan

dimana adalah sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu.

Misalkan adalah sudut kemiringan garis potong terhadap sumbu, dimana. Karena itu garis singgung, maka

Karena itu,

Jadi, kami mendapatkannya adalah kemiringan garis singgung grafik fungsi di titik tersebut(arti geometri turunan suatu fungsi di suatu titik). Oleh karena itu, persamaan garis singgung kurva di suatu titik dapat ditulis sebagai

Komentar . Garis lurus yang melalui suatu titik yang tegak lurus garis singgung yang ditarik kurva di titik tersebut disebut normal terhadap kurva di titik tersebut . Karena kemiringan garis tegak lurus dihubungkan oleh relasi , maka persamaan garis normal kurva di titik tersebut akan berbentuk seperti

, Jika .

Jika , maka garis singgung kurva di titik tersebut akan berbentuk

dan biasa saja.

PERSAMAAN SINGKAT DAN NORMAL

Persamaan tangen

Biarkan fungsinya diberikan oleh persamaan kamu=F(X), Anda perlu menulis persamaan garis singgung pada intinya X 0. Dari definisi turunan:

kamu/(X)=limΔ X→0Δ kamuΔ X

Δ kamu=F(X+Δ X)−F(X).

Persamaannya garis singgung ke grafik fungsi: kamu=kx+B (k,B=konstanta). Dari arti geometris turunannya: F/(X 0)=tgα= k Karena X 0 dan F(X 0)∈ garis lurus, maka persamaannya garis singgung ditulis sebagai: kamu−F(X 0)=F/(X 0)(X−X 0) , atau

kamu=F/(X 0)· X+F(X 0)−F/(X 0)· X 0.

Persamaan Biasa

Normal tegak lurus terhadap garis singgung(Lihat gambar). Berdasarkan ini:

tgβ= tg(2π−α)= ctg=1 tg=1 F/(X 0)

Karena kemiringan garis normalnya adalah sudut β1, maka diperoleh:

tgβ1= tg(π−β)=− tg=−1 F/(X).

Dot ( X 0,F(X 0))∈ normal, persamaannya akan berbentuk:

kamu−F(X 0)=−1F/(X 0)(X−X 0).

BUKTI

Biarkan itu ada. Kemudian

,

dimana sangat kecil di.

Namun ini berarti kontinu pada suatu titik (lihat definisi geometri kontinuitas). ∎

Komentar . Kontinuitas suatu fungsi di suatu titik bukanlah syarat yang cukup bagi adanya turunan fungsi tersebut di suatu titik. Misalnya suatu fungsi kontinu tetapi tidak mempunyai turunan di suatu titik. Benar-benar,

dan karena itu tidak ada.

Jelasnya, korespondensi adalah fungsi yang didefinisikan pada suatu himpunan. Mereka memanggilnya fungsi turunan dan menunjukkan

Operasi mencari turunan suatu fungsi untuk suatu fungsi disebut diferensiasi fungsi .

Turunan dari jumlah dan selisih

Misalkan fungsi f(x) dan g(x) yang turunannya diketahui kita diberikan. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat mencari turunan dari jumlah dan selisih fungsi berikut:

(f + g)' = f' + g'

(f − g)' = f ' − g '

Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Misalnya, (f + g + h) ' = f ' + g ' + h '.

Sebenarnya, tidak ada konsep "pengurangan" dalam aljabar. Ada konsep "elemen negatif". Oleh karena itu, selisih f − g dapat ditulis ulang sebagai jumlah f + (−1) g, dan hanya tersisa satu rumus - turunan dari jumlah tersebut.