ფრაქციები

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

ფრაქციები დიდად არ აწუხებს საშუალო სკოლაში. Აქამდე. სანამ არ წააწყდებით ძალებს რაციონალური მაჩვენებლებით და ლოგარითმებით. და იქ... თქვენ დააჭირეთ და დააჭირეთ კალკულატორს და ის აჩვენებს ზოგიერთი რიცხვის სრულ ჩვენებას. თავი ისე უნდა იფიქრო, როგორც მესამე კლასში.

მოდით საბოლოოდ გამოვთვალოთ წილადები! აბა, რამდენად შეიძლება მათში დაბნეულობა!? უფრო მეტიც, ეს ყველაფერი მარტივი და ლოგიკურია. Ისე, რა არის წილადების ტიპები?

წილადების სახეები. ტრანსფორმაციები.

არსებობს სამი სახის წილადი.

1. საერთო წილადები , Მაგალითად:

ხანდახან ჰორიზონტალური ხაზის ნაცვლად სვამენ ხაზს: 1/2, 3/4, 19/5, კარგად და ა.შ. აქ ხშირად გამოვიყენებთ ამ მართლწერას. ზედა ნომერს ეძახიან მრიცხველი, ქვედა - მნიშვნელი.თუ გამუდმებით ურევთ ამ სახელებს (ეს ხდება...), უთხარით საკუთარ თავს ფრაზა: " ზზზზგახსოვდეს! ზზზზმნიშვნელი - შეხედე ზზზზუჰ!" შეხედე, ყველაფერი დაიმახსოვრდება.)

ტირე, ჰორიზონტალური ან დახრილი, ნიშნავს დაყოფაზედა რიცხვი (მრიცხველი) ქვევით (მნიშვნელი). Სულ ეს არის! ტირის ნაცვლად სავსებით შესაძლებელია გაყოფის ნიშნის დადება - ორი წერტილი.

როდესაც შესაძლებელია სრული გაყოფა, ეს უნდა გაკეთდეს. ასე რომ, წილადის "32/8" ნაცვლად გაცილებით სასიამოვნოა რიცხვის "4" ჩაწერა. იმათ. 32 უბრალოდ იყოფა 8-ზე.

32/8 = 32: 8 = 4

წილად „4/1“-ზეც კი არ მაქვს საუბარი. რომელიც ასევე არის მხოლოდ "4". და თუ ის მთლიანად არ იყოფა, ვტოვებთ წილადად. ზოგჯერ საპირისპირო ოპერაციის გაკეთება გიწევთ. მთელი რიცხვის წილადად გადაქცევა. მაგრამ უფრო ამის შესახებ მოგვიანებით.

2. ათწილადები , Მაგალითად:

სწორედ ამ ფორმით მოგიწევთ ჩაწეროთ პასუხები დავალებებზე „B“.

3. შერეული რიცხვები , Მაგალითად:

საშუალო სკოლაში შერეული რიცხვები პრაქტიკულად არ გამოიყენება. მათთან მუშაობისთვის ისინი უნდა გადაკეთდეს ჩვეულებრივ წილადებად. მაგრამ თქვენ აუცილებლად უნდა შეძლოთ ამის გაკეთება! თორემ პრობლემაში წააწყდებით ასეთ რიცხვს და გაიყინებით... არსაიდან. მაგრამ ჩვენ გვახსოვს ეს პროცედურა! ცოტა დაბლა.

ყველაზე მრავალმხრივი საერთო წილადები. დავიწყოთ მათთან. სხვათა შორის, თუ წილადი შეიცავს ყველა სახის ლოგარითმს, სინუსს და სხვა ასოებს, ეს არაფერს ცვლის. იმ გაგებით, რომ ყველაფერი წილადი გამონათქვამებით მოქმედებები არაფრით განსხვავდება ჩვეულებრივი წილადების მოქმედებებისგან!

წილადის მთავარი თვისება.

მაშ, წავიდეთ! დასაწყისისთვის მე გაგაოცებთ. წილადების გარდაქმნების მთელი მრავალფეროვნება მოცემულია ერთი თვისებით! ასე ჰქვია წილადის მთავარი თვისება. გახსოვდეთ: თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება (იყოფა) ერთ რიცხვზე, წილადი არ იცვლება.ესენი:

გასაგებია, რომ შეგიძლია გააგრძელო წერა, სანამ სახეზე არ გალურჯდები. ნუ მისცემთ უფლებას სინუსებმა და ლოგარითმებმა შეგაწუხოთ, ჩვენ მათთან შემდგომში გავეცნობით. მთავარია გვესმოდეს, რომ ყველა ეს განსხვავებული გამოთქმა არის იგივე წილადი . 2/3.

გვჭირდება ეს, ყველა ეს ტრანსფორმაცია? Და როგორ! ახლა თქვენ თვითონ ნახავთ. დასაწყისისთვის, მოდით გამოვიყენოთ წილადის ძირითადი თვისება წილადების შემცირება. ელემენტარულ რამედ მოეჩვენება. გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვზე და ეს არის! შეცდომის დაშვება შეუძლებელია! მაგრამ... ადამიანი შემოქმედებითი არსებაა. შეცდომის დაშვება ყველგან შეიძლება! მით უმეტეს, თუ თქვენ უნდა შეამციროთ არა წილადი, როგორიცაა 5/10, არამედ წილადური გამოხატულება ყველა სახის ასოებით.

როგორ სწორად და სწრაფად შევამციროთ წილადები დამატებითი სამუშაოს გარეშე, შეგიძლიათ წაიკითხოთ 555-ე სპეციალურ ნაწილში.

ნორმალურ სტუდენტს არ აწუხებს მრიცხველის და მნიშვნელის გაყოფა იმავე რიცხვზე (ან გამოსახულებაზე)! ის უბრალოდ კვეთს ყველაფერს, რაც ერთნაირია ზემოთ და ქვემოთ! სწორედ აქ იმალება ტიპიური შეცდომა, შეცდომა, თუ გნებავთ.

მაგალითად, თქვენ უნდა გაამარტივოთ გამოთქმა:

აქ საფიქრალი არაფერია, გადახაზეთ ასო "a" ზემოდან და "2" ქვემოთ! ჩვენ ვიღებთ:

ყველაფერი სწორია. მაგრამ მართლა გაიყო ყველა მრიცხველი და ყველა მნიშვნელი არის "a". თუ თქვენ მიჩვეული ხართ მხოლოდ გადაკვეთას, მაშინ ჩქარობთ შეგიძლიათ გადაკვეთოთ "ა" გამოხატვაში

და ისევ მიიღეთ

რაც კატეგორიულად არ შეესაბამება სიმართლეს. რადგან აქ ყველამრიცხველი "ა"-ზე უკვე არის არ არის გაზიარებული! ამ ფრაქციის შემცირება შეუძლებელია. სხვათა შორის, ასეთი შემცირება მასწავლებლისთვის სერიოზული გამოწვევაა. ეს არ ეპატიება! Გახსოვს? შემცირებისას საჭიროა გაყოფა ყველა მრიცხველი და ყველა მნიშვნელი!

წილადების შემცირება ცხოვრებას ბევრად აადვილებს. სადღაც მიიღებთ წილადს, მაგალითად 375/1000. როგორ გავაგრძელო ახლა მასთან მუშაობა? კალკულატორის გარეშე? გამრავლება, თქვი, დამატება, კვადრატი!? და თუ ძალიან არ ხარ ზარმაცი და ფრთხილად ჩამოაწიე ხუთით და კიდევ ხუთით და კიდევ... შემცირებისას მოკლედ. ავიღოთ 3/8! ბევრად უფრო ლამაზი, არა?

წილადის მთავარი თვისება საშუალებას გაძლევთ გადაიყვანოთ ჩვეულებრივი წილადები ათწილადებად და პირიქით კალკულატორის გარეშე! ეს მნიშვნელოვანია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის, არა?

როგორ გადავიტანოთ წილადები ერთი ტიპიდან მეორეზე.

ათობითი წილადებით ყველაფერი მარტივია. როგორც ისმის, ისე წერია! ვთქვათ 0.25. ეს არის ნულოვანი წერტილი ოცდახუთი მეასედი. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ: 25/100. ვამცირებთ (მრიცხველს და მნიშვნელს ვყოფთ 25-ზე), ვიღებთ ჩვეულებრივ წილადს: 1/4. ყველა. ეს ხდება და არაფერი მცირდება. მოსწონს 0.3. ეს არის სამი მეათედი, ე.ი. 3/10.

რა მოხდება, თუ მთელი რიცხვები არ არის ნული? Ყველაფერი კარგადაა. ჩვენ ვწერთ მთელ წილადს ყოველგვარი მძიმეების გარეშემრიცხველში, ხოლო მნიშვნელში – რაც ისმის. მაგალითად: 3.17. ეს არის სამი ქულა ჩვიდმეტი მეასედი. მრიცხველში ვწერთ 317-ს, ხოლო მნიშვნელში 100-ს ვიღებთ 317/100. არაფერი მცირდება, ეს ნიშნავს ყველაფერს. ეს არის პასუხი. ელემენტარული უოტსონი! ყოველივე ნათქვამიდან, სასარგებლო დასკვნა: ნებისმიერი ათობითი წილადი შეიძლება გარდაიქმნას საერთო წილადად .

მაგრამ ზოგიერთს არ შეუძლია საპირისპირო გადაქცევა ჩვეულებრივიდან ათწილადში კალკულატორის გარეშე. და ეს აუცილებელია! როგორ ჩაწერთ პასუხს ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე!? ყურადღებით წაიკითხეთ და დაეუფლეთ ამ პროცესს.

რა ახასიათებს ათობითი წილადს? მისი მნიშვნელი არის ყოველთვისღირს 10, ან 100, ან 1000, ან 10000 და ასე შემდეგ. თუ თქვენს საერთო წილადს აქვს ასეთი მნიშვნელი, პრობლემა არ არის. მაგალითად, 4/10 = 0.4. ან 7/100 = 0.07. ან 12/10 = 1.2. რა მოხდება, თუ "B" განყოფილებაში მოცემული დავალების პასუხი 1/2 აღმოჩნდა? რას დავწერთ პასუხად? ათწილადები აუცილებელია...

გავიხსენოთ წილადის მთავარი თვისება ! მათემატიკა ხელსაყრელი საშუალებას გაძლევთ გაამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვზე. სხვათა შორის, არაფერი! ნულის გარდა, რა თქმა უნდა. მოდით, გამოვიყენოთ ეს ქონება ჩვენს სასარგებლოდ! რაზე შეიძლება გამრავლდეს მნიშვნელი, ე.ი. 2 რომ გახდეს 10, ან 100, ან 1000 (რათქმაუნდა პატარა უკეთესია...)? 5ზე აშკარად. თავისუფლად გაამრავლეთ მნიშვნელი (ეს არის ჩვენაუცილებელია) 5-ზე. მაგრამ მაშინ მრიცხველიც უნდა გავამრავლოთ 5-ზე. ეს უკვე მათემატიკამოითხოვს! ჩვენ ვიღებთ 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5. Სულ ეს არის.

თუმცა, ყველა სახის მნიშვნელი გვხვდება. შეგხვდებათ, მაგალითად, წილადი 3/16. სცადეთ და გაარკვიეთ რაზე გაამრავლოთ 16, რომ მიიღოთ 100, ან 1000... არ მუშაობს? შემდეგ შეგიძლიათ უბრალოდ გაყოთ 3 16-ზე. კალკულატორის არარსებობის შემთხვევაში მოგიწევთ გაყოფა კუთხით, ფურცელზე, როგორც დაწყებით სკოლაში ასწავლიდნენ. ჩვენ ვიღებთ 0.1875.

და ასევე არის ძალიან ცუდი მნიშვნელები. მაგალითად, არ არსებობს წილადი 1/3 კარგ ათწილადად გადაქცევის საშუალება. როგორც კალკულატორზე, ასევე ფურცელზე ვიღებთ 0.3333333... ეს ნიშნავს, რომ 1/3 არის ზუსტი ათობითი წილადი. არ თარგმნის. იგივეა, რაც 1/7, 5/6 და ასე შემდეგ. ბევრი მათგანია, უთარგმნელი. ეს კიდევ ერთ სასარგებლო დასკვნამდე მიგვიყვანს. ყველა წილადი არ შეიძლება გადაიზარდოს ათწილადში !

სხვათა შორის, ეს არის სასარგებლო ინფორმაცია თვითშემოწმებისთვის. განყოფილებაში "B" თქვენ უნდა ჩაწეროთ ათწილადი წილადი თქვენს პასუხში. და თქვენ მიიღეთ, მაგალითად, 4/3. ეს წილადი არ გარდაიქმნება ათწილადად. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ დაუშვით შეცდომა სადღაც გზაზე! დაბრუნდით და შეამოწმეთ გამოსავალი.

ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ ჩვეულებრივი და ათობითი წილადები. რჩება მხოლოდ შერეულ რიცხვებთან გამკლავება. მათთან მუშაობისთვის, ისინი უნდა გადაკეთდეს ჩვეულებრივ წილადებად. Როგორ გავაკეთო ეს? შეგიძლიათ მეექვსეკლასელი დაიჭიროთ და ჰკითხოთ. მაგრამ მეექვსე კლასელი ყოველთვის ხელთ არ იქნება... თქვენ თვითონ მოგიწევთ ამის გაკეთება. ეს არ არის რთული. თქვენ უნდა გაამრავლოთ წილადი ნაწილის მნიშვნელი მთელ ნაწილზე და დაამატოთ წილადი ნაწილის მრიცხველი. ეს იქნება საერთო წილადის მრიცხველი. რაც შეეხება მნიშვნელს? მნიშვნელი იგივე დარჩება. რთულად ჟღერს, მაგრამ სინამდვილეში ყველაფერი მარტივია. მოდით შევხედოთ მაგალითს.

დავუშვათ, რომ შეშინებული ხართ პრობლემაში ნომრის დანახვით:

მშვიდად, პანიკის გარეშე, ვფიქრობთ. მთელი ნაწილი არის 1. ერთეული. წილადი ნაწილია 3/7. მაშასადამე, წილადი ნაწილის მნიშვნელი არის 7. ეს მნიშვნელი იქნება ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელი. ჩვენ ვითვლით მრიცხველს. ვამრავლებთ 7-ს 1-ზე (მთლიანი ნაწილი) და ვამატებთ 3-ს (წილადი ნაწილის მრიცხველი). მივიღებთ 10. ეს იქნება საერთო წილადის მრიცხველი. Სულ ეს არის. ეს კიდევ უფრო მარტივი ჩანს მათემატიკური აღნიშვნით:

გასაგებია? მაშინ დაიცავით თქვენი წარმატება! გადაიყვანეთ ჩვეულებრივ წილადებად. თქვენ უნდა მიიღოთ 10/7, 7/2, 23/10 და 21/4.

საპირისპირო ოპერაცია - არასწორი წილადის შერეულ რიცხვად გადაქცევა - იშვიათად არის საჭირო საშუალო სკოლაში. თუ ასეა... და თუ არ ხართ საშუალო სკოლაში, შეგიძლიათ გადახედოთ სპეციალურ განყოფილებას 555. სხვათა შორის, იქაც გაიგებთ არასწორ წილადებს.

ისე, ეს პრაქტიკულად ყველაფერია. გაიხსენე წილადების ტიპები და გაიგე Როგორ მათი გადატანა ერთი ტიპიდან მეორეზე. კითხვა რჩება: Რისთვის გააკეთე? სად და როდის გამოვიყენოთ ეს ღრმა ცოდნა?

Მე ვპასუხობ. ნებისმიერი მაგალითი თავად გვთავაზობს აუცილებელ მოქმედებებს. თუ მაგალითში ჩვეულებრივი წილადები, ათწილადები და თუნდაც შერეული რიცხვები ერთმანეთშია შერეული, ყველაფერს ჩვეულებრივ წილადებად ვაქცევთ. ეს ყოველთვის შეიძლება გაკეთდეს. ისე, თუ ის ამბობს რაღაც 0.8 + 0.3, მაშინ ჩვენ ვითვლით მას ისე, ყოველგვარი თარგმანის გარეშე. რატომ გვჭირდება დამატებითი სამუშაო? ჩვენ ვირჩევთ გამოსავალს, რომელიც მოსახერხებელია ჩვენ !

თუ დავალება არის ყველა ათობითი წილადი, მაგრამ ჰმ... რაღაც ბოროტები, გადადით ჩვეულებრივებთან და სცადეთ! შეხედე, ყველაფერი გამოვა. მაგალითად, თქვენ მოგიწევთ რიცხვის კვადრატში 0.125. ეს არც ისე ადვილია, თუ კალკულატორის გამოყენებას არ მიეჩვიე! თქვენ არა მხოლოდ უნდა გაამრავლოთ რიცხვები სვეტში, თქვენ ასევე უნდა იფიქროთ იმაზე, თუ სად ჩასვათ მძიმით! ეს ნამდვილად არ იმუშავებს თქვენს თავში! რა მოხდება, თუ გადავალთ ჩვეულებრივ წილადზე?

0,125 = 125/1000. ვამცირებთ 5-ით (ეს არის დამწყებთათვის). ვიღებთ 25/200. კიდევ ერთხელ 5-ით. ვიღებთ 5/40-ს. ოჰ, მაინც იკლებს! 5-ზე დაბრუნება! ჩვენ ვიღებთ 1/8. ჩვენ შეგვიძლია ადვილად კვადრატში (ჩვენს გონებაში!) და მივიღოთ 1/64. ყველა!

მოდით შევაჯამოთ ეს გაკვეთილი.

1. არსებობს სამი სახის წილადი. საერთო, ათობითი და შერეული რიცხვები.

2. ათწილადები და შერეული რიცხვები ყოველთვისშეიძლება გადაკეთდეს ჩვეულებრივ წილადებად. საპირისპირო გადაცემა ყოველთვის არახელმისაწვდომი.

3. წილადების ტიპის არჩევანი დავალებაზეა დამოკიდებული. თუ ერთ ამოცანაში არის სხვადასხვა ტიპის წილადები, ყველაზე საიმედოა ჩვეულებრივ წილადებზე გადასვლა.

ახლა შეგიძლიათ ივარჯიშოთ. პირველი, გადააქციეთ ეს ათობითი წილადები ჩვეულებრივ წილადებად:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

თქვენ უნდა მიიღოთ ასეთი პასუხები (არეულად!):

მოდით ეს დავასრულოთ. ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვაახლეთ მეხსიერება წილადების შესახებ საკვანძო პუნქტებზე. თუმცა ხდება ისე, რომ გასაახლებელი არაფერია განსაკუთრებული...) თუ ვინმეს სრულიად დაავიწყდა, ან ჯერ არ დაეუფლა... მაშინ შეგიძლიათ გადახვიდეთ სპეციალურ 555-ე განყოფილებაში. ყველა საფუძვლები დეტალურად არის აღწერილი იქ. ბევრი მოულოდნელად ყველაფერი გაიგოსიწყებენ. და ისინი წყვეტენ წილადებს ფრენის დროს).

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

საერთო წილადი

კვარტლები

1. მოწესრიგებულობა. ადა ბარსებობს წესი, რომელიც საშუალებას აძლევს ადამიანს ცალსახად ამოიცნოს მათ შორის სამი ურთიერთობებიდან მხოლოდ ერთი: ”< », « >"ან " = ". ამ წესს ე.წ შეკვეთის წესიდა ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ორი არაუარყოფითი რიცხვი და დაკავშირებულია იგივე მიმართებით, როგორც ორი მთელი რიცხვი და ; ორი არადადებითი რიცხვი ადა ბდაკავშირებულია იგივე მიმართებით, როგორც ორი არაუარყოფითი რიცხვი და ; თუ მოულოდნელად აარაუარყოფითი, მაგრამ ბ- მაშინ უარყოფითი ა > ბ. style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   წილადების დამატება

2. დამატების ოპერაცია.ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის ადა ბარსებობს ე.წ შეჯამების წესი გ. უფრო მეტიც, თავად რიცხვი გდაურეკა თანხანომრები ადა ბდა აღინიშნება , და ასეთი რიცხვის პოვნის პროცესი ეწოდება შეჯამება. შეჯამების წესს აქვს შემდეგი ფორმა: .
3. გამრავლების ოპერაცია.ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის ადა ბარსებობს ე.წ გამრავლების წესი, რომელიც მათ რაღაც რაციონალურ რიცხვს ანიჭებს გ. უფრო მეტიც, თავად რიცხვი გდაურეკა მუშაობანომრები ადა ბდა აღინიშნება , და ასეთი რიცხვის პოვნის პროცესსაც უწოდებენ გამრავლება. გამრავლების წესი ასე გამოიყურება: .
4. წესრიგის მიმართების გარდამავალობა.რაციონალური რიცხვების ნებისმიერი სამმაგი ა , ბდა გთუ ანაკლები ბდა ბნაკლები გ, ეს ანაკლები გ, და თუ აუდრის ბდა ბუდრის გ, ეს აუდრის გ. 6435">შეკრების ურთიერთშენაცვლება. რაციონალური ტერმინების ადგილების შეცვლა ჯამს არ ცვლის.
5. დამატების ასოციაციურობა.სამი რაციონალური რიცხვის მიმატების თანმიმდევრობა არ მოქმედებს შედეგზე.
6. ნულის არსებობა.არის რაციონალური რიცხვი 0, რომელიც ინახავს ყველა სხვა რაციონალურ რიცხვს, როდესაც მიმატებს.
7. საპირისპირო რიცხვების არსებობა.ნებისმიერ რაციონალურ რიცხვს აქვს საპირისპირო რაციონალური რიცხვი, რომელიც თუ დაემატება იძლევა 0-ს.
8. გამრავლების კომუტატიულობა.რაციონალური ფაქტორების ადგილების შეცვლა პროდუქტს არ ცვლის.
9. გამრავლების ასოციაციურობა.სამი რაციონალური რიცხვის გამრავლების თანმიმდევრობა არ მოქმედებს შედეგზე.
10. ერთეულის ხელმისაწვდომობა.არის რაციონალური რიცხვი 1, რომელიც ინარჩუნებს ყველა სხვა რაციონალურ რიცხვს გამრავლებისას.
11. საპასუხო ნომრების არსებობა.ნებისმიერ რაციონალურ რიცხვს აქვს შებრუნებული რაციონალური რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას იძლევა 1-ს.
12. გამრავლების განაწილება შეკრების მიმართ.გამრავლების ოპერაცია კოორდინირებულია შეკრების ოპერაციასთან განაწილების კანონის მეშვეობით:
13. შეკვეთის მიმართების კავშირი მიმატების ოპერაციასთან.იგივე რაციონალური რიცხვი შეიძლება დაემატოს რაციონალური უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს. მაქსიმალური სიგანე: 98%; სიმაღლე: ავტო; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. არქიმედეს აქსიომა.რაც არ უნდა იყოს რაციონალური რიცხვი ა, შეგიძლიათ აიღოთ იმდენი ერთეული, რომ მათი ჯამი აღემატებოდეს ა. style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

დამატებითი თვისებები

რაციონალური რიცხვების თანდაყოლილი ყველა სხვა თვისება არ გამოირჩევა, როგორც ძირითადი, რადგან, ზოგადად რომ ვთქვათ, ისინი აღარ არის დაფუძნებული უშუალოდ მთელი რიცხვების თვისებებზე, მაგრამ შეიძლება დადასტურდეს მოცემული ძირითადი თვისებების საფუძველზე ან უშუალოდ ზოგიერთი მათემატიკური ობიექტის განმარტებით. . უამრავი ასეთი დამატებითი თვისებაა. აზრი აქვს აქ მხოლოდ რამდენიმე მათგანის ჩამოთვლას.

Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

ნაკრების თვლადობა

რაციონალური რიცხვების ნუმერაცია

რაციონალური რიცხვების რაოდენობის შესაფასებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ მათი ნაკრების კარდინალურობა. ადვილი დასამტკიცებელია, რომ რაციონალური რიცხვების სიმრავლე თვლადია. ამისათვის საკმარისია მივცეთ ალგორითმი, რომელიც ჩამოთვლის რაციონალურ რიცხვებს, ანუ ადგენს ბიექციას რაციონალურ და ნატურალურ რიცხვებს შორის.

ამ ალგორითმებიდან უმარტივესი ასე გამოიყურება. შედგენილია ჩვეულებრივი წილადების გაუთავებელი ცხრილი, თითოეულზე მე-მეე ხაზი თითოეულში ჯმე-6 სვეტი, რომლის ფრაქცია მდებარეობს. დაზუსტებისთვის, ვარაუდობენ, რომ ამ ცხრილის სტრიქონები და სვეტები დანომრილია ერთიდან. ცხრილის უჯრედები აღინიშნება, სადაც მე- ცხრილის რიგის ნომერი, რომელშიც მდებარეობს უჯრედი და ჯ- სვეტის ნომერი.

შედეგად მიღებული ცხრილი იკვეთება "გველის" გამოყენებით შემდეგი ფორმალური ალგორითმის მიხედვით.

ეს წესები იძებნება ზემოდან ქვემოდან და შემდეგი პოზიცია შეირჩევა პირველი მატჩის მიხედვით.

ასეთი გადაკვეთის პროცესში ყოველი ახალი რაციონალური რიცხვი ასოცირდება სხვა ნატურალურ რიცხვთან. ანუ წილადი 1/1 ენიჭება 1 რიცხვს, წილადი 2/1 2-ს და ა.შ. უნდა აღინიშნოს, რომ მხოლოდ შეუქცევადი წილადებია დანომრილი. შეუქცევადობის ფორმალური ნიშანი არის ის, რომ წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფი ერთის ტოლია.

ამ ალგორითმის მიხედვით, ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვთვალოთ ყველა დადებითი რაციონალური რიცხვი. ეს ნიშნავს, რომ დადებითი რაციონალური რიცხვების სიმრავლე თვლადია. დადებითი და უარყოფითი რაციონალური რიცხვების სიმრავლეს შორის ბიექციის დადგენა მარტივია, უბრალოდ თითოეულ რაციონალურ რიცხვს მისი საპირისპირო მინიჭებით. რომ. უარყოფითი რაციონალური რიცხვების სიმრავლეც თვლადია. მათი გაერთიანება ასევე დასათვლელია თვლადი სიმრავლეების თვისებით. რაციონალური რიცხვების სიმრავლე ასევე დასათვლელია, როგორც თვლადი სიმრავლის კავშირი სასრულთან.

რაციონალური რიცხვების სიმრავლის თვლადობის შესახებ განცხადებამ შეიძლება გამოიწვიოს გარკვეული დაბნეულობა, რადგან ერთი შეხედვით ჩანს, რომ ის ბევრად უფრო ვრცელია, ვიდრე ნატურალური რიცხვების სიმრავლე. სინამდვილეში, ეს ასე არ არის და საკმარისია ნატურალური რიცხვები ყველა რაციონალურის დასათვლელად.

რაციონალური რიცხვების ნაკლებობა

ასეთი სამკუთხედის ჰიპოტენუზა ვერ გამოისახება რაიმე რაციონალური რიცხვით

ფორმის რაციონალური რიცხვები 1 / ნდიდად ნთვითნებურად მცირე რაოდენობით შეიძლება გაიზომოს. ეს ფაქტი ქმნის მცდარ შთაბეჭდილებას, რომ რაციონალური რიცხვები შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი გეომეტრიული მანძილის გასაზომად. ადვილია იმის ჩვენება, რომ ეს სიმართლეს არ შეესაბამება.

პითაგორას თეორემიდან ვიცით, რომ მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა გამოიხატება, როგორც მისი ფეხების კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი. რომ. ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სიგრძე ერთეული ფეხით უდრის , ანუ რიცხვს, რომლის კვადრატი არის 2.

თუ ვივარაუდებთ, რომ რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი რაიმე რაციონალური რიცხვით, მაშინ არის ასეთი მთელი რიცხვი მდა ასეთი ბუნებრივი რიცხვი ნ, რომ , და წილადი შეუქცევადია, ანუ რიცხვები მდა ნ- ორმხრივად მარტივი.

თუ, მაშინ , ე.ი. მ 2 = 2ნ 2. ამიტომ, ნომერი მ 2 არის ლუწი, მაგრამ ორი კენტი რიცხვის ნამრავლი კენტია, რაც იმას ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი მასევე ასე რომ, არსებობს ბუნებრივი რიცხვი კ, ისეთი, რომ ნომერი მშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით მ = 2კ. ნომრის მოედანი მᲐმ თვალსაზრისით მ 2 = 4კ 2, მაგრამ მეორეს მხრივ მ 2 = 2ნ 2 ნიშნავს 4 კ 2 = 2ნ 2, ან ნ 2 = 2კ 2. როგორც ადრე იყო ნაჩვენები ნომრისთვის მ, ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი ნ- თუნდაც მ. მაგრამ მაშინ ისინი შედარებით უბრალოები არ არიან, რადგან ორივე ორადაა დანაწევრებული. შედეგად მიღებული წინააღმდეგობა ადასტურებს, რომ ეს არ არის რაციონალური რიცხვი.

ყველა მეცნიერების - მათემატიკის დედოფლის შესწავლისას რაღაც მომენტში ყველას ხვდება წილადები. მიუხედავად იმისა, რომ ეს კონცეფცია (როგორც თავად წილადების ტიპები ან მათთან მათემატიკური ოპერაციები) საერთოდ არ არის რთული, თქვენ მას ფრთხილად უნდა მოეპყროთ, რადგან სკოლის გარეთ რეალურ ცხოვრებაში ეს ძალიან სასარგებლო იქნება. მაშ ასე, განვაახლოთ ჩვენი ცოდნა წილადების შესახებ: რისთვის არიან ისინი, რისთვის არიან, რა ტიპები არიან და როგორ შეასრულონ მათთან სხვადასხვა არითმეტიკული მოქმედებები.

მისი უდიდებულესობა ფრაქცია: რა არის ეს

მათემატიკაში წილადები არის რიცხვები, რომელთაგან თითოეული შედგება ერთეულის ერთი ან მეტი ნაწილისგან. ასეთ წილადებს ჩვეულებრივ ან მარტივსაც უწოდებენ. როგორც წესი, ისინი იწერება ორი რიცხვის სახით, რომლებიც გამოყოფილია ჰორიზონტალური ან დახრილი ხაზით, მას უწოდებენ "ფრაქციულ" ხაზს. მაგალითად: ½, ¾.
ამ რიცხვებიდან ზედა ან პირველი არის მრიცხველი (გვიჩვენებს, რამდენი ნაწილია აღებული რიცხვიდან), ხოლო ქვედა, ან მეორე არის მნიშვნელი (აჩვენებს რამდენ ნაწილად იყოფა ერთეული).
წილადის ზოლი რეალურად ფუნქციონირებს როგორც გაყოფის ნიშანი. მაგალითად, 7: 9 = 7/9
ტრადიციულად, საერთო წილადები ერთზე ნაკლებია. მაშინ როცა ათწილადები შეიძლება იყოს მასზე დიდი.

რისთვის არის წილადები? დიახ, ყველაფრისთვის, რადგან რეალურ სამყაროში ყველა რიცხვი არ არის მთელი რიცხვი. მაგალითად, კაფეტერიაში ორმა მოსწავლემ ერთად იყიდა ერთი გემრიელი შოკოლადის ფილა. როდესაც ისინი დესერტის გაზიარებას აპირებდნენ, შეხვდნენ მეგობარს და გადაწყვიტეს მასაც მოეპყრო. თუმცა, ახლა აუცილებელია შოკოლადის ფილა სწორად გაყოფა, იმის გათვალისწინებით, რომ იგი შედგება 12 კვადრატისგან.
თავიდან გოგოებს სურდათ ყველაფერი თანაბრად გაეყოთ, შემდეგ კი თითოეულს ოთხი ცალი მიეღო. მაგრამ, დაფიქრების შემდეგ, მათ გადაწყვიტეს შოკოლადის არა 1/3, არამედ 1/4 მოეპყრათ მეგობარს. და რადგან სკოლის მოსწავლეებმა კარგად ვერ სწავლობდნენ წილადებს, მათ არ გაითვალისწინეს, რომ ასეთ სიტუაციაში 9 ცალი აღმოჩნდებოდნენ, რომელთა ორად გაყოფა ძალიან რთულია. ეს საკმაოდ მარტივი მაგალითი გვიჩვენებს, თუ რამდენად მნიშვნელოვანია რიცხვის ნაწილის სწორად პოვნა. მაგრამ ცხოვრებაში კიდევ ბევრია ასეთი შემთხვევა.

წილადების ტიპები: ჩვეულებრივი და ათობითი

ყველა მათემატიკური წილადი იყოფა ორ დიდ კატეგორიად: ჩვეულებრივ და ათობითი. პირველი მათგანის მახასიათებლები აღწერილი იყო წინა აბზაცში, ასე რომ, ახლა ღირს ყურადღება მიაქციოთ მეორეს.
ათწილადი არის რიცხვის წილადის პოზიციური აღნიშვნა, რომელიც იწერება წერილობით გამოყოფილი მძიმით, ტირისა და დახრის გარეშე. მაგალითად: 0.75, 0.5.
სინამდვილეში, ათობითი წილადი ჩვეულებრივი წილადის იდენტურია, თუმცა მისი მნიშვნელი ყოველთვის არის ერთი, რასაც მოჰყვება ნულები - აქედან მოდის მისი სახელი.
მძიმის წინ რიცხვი არის მთელი რიცხვი, ხოლო მის შემდეგ ყველაფერი არის წილადი. ნებისმიერი მარტივი წილადი შეიძლება გადაკეთდეს ათწილადად. ამრიგად, წინა მაგალითში მითითებული ათობითი წილადები შეიძლება ჩაიწეროს ჩვეულებრივად: ¾ და ½.
აღსანიშნავია, რომ ათწილადი და ჩვეულებრივი წილადები შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი. თუ მათ წინ უძღვის „-“ ნიშანი, ეს წილადი უარყოფითია, თუ „+“ დადებითი წილადია.

ჩვეულებრივი წილადების ქვეტიპები

არსებობს ამ ტიპის მარტივი წილადები.

სწორი. მათი მრიცხველის მნიშვნელობა ყოველთვის ნაკლებია მნიშვნელზე. მაგალითად: 7/8. ის სწორი წილადია, რადგან მრიცხველი 7 ნაკლებია მნიშვნელზე 8. არასწორი. ასეთ წილადებში ან მრიცხველი და მნიშვნელი ერთმანეთის ტოლია (8/8), ან ქვედა რიცხვის მნიშვნელობა ზედაზე (9/8) ნაკლებია. შერეული. ეს არის სწორი წილადის სახელი, რომელიც ჩაწერილია მთელ რიცხვთან ერთად: 8 ½. იგულისხმება, როგორც ამ რიცხვისა და წილადის ჯამი. სხვათა შორის, საკმაოდ ადვილია მის ადგილას არასათანადო ფრაქციის გამოჩენა. ამისათვის 8 უნდა დაიწეროს როგორც 16/2+1/2=17/2.კომპოზიტი. როგორც სახელი გულისხმობს, ისინი შედგება რამდენიმე წილადი ხაზისგან: ½ / ¾ შემცირებადი / შეუმცირებელი. ეს შეიძლება შეიცავდეს როგორც სათანადო, ასევე არასწორ წილადებს. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, შეიძლება თუ არა მრიცხველის და მნიშვნელის დაყოფა იმავე რიცხვზე. მაგალითად, 6/9 არის შემცირებადი წილადი, რადგან მისი ორივე კომპონენტი შეიძლება გაიყოს 3-ზე და შედეგი იყოს 2/3. მაგრამ 7/9 შეუქცევადია, რადგან 7 და 9 არის მარტივი რიცხვები, რომლებსაც არ აქვთ საერთო გამყოფი და არ შეიძლება შემცირდეს.

ათობითი წილადის ქვეტიპები

მარტივი წილადისგან განსხვავებით, ათობითი წილადი იყოფა მხოლოდ 2 ტიპად.

სასრული - მიიღო ეს სახელი იმის გამო, რომ ათობითი წერტილის შემდეგ მას აქვს ციფრების შეზღუდული (სასრული) რაოდენობა: 19.25. უსასრულო წილადი არის რიცხვი, რომელსაც უსასრულო რიცხვი აქვს ათობითი წერტილის შემდეგ. მაგალითად, 10-ის 3-ზე გაყოფისას შედეგი იქნება უსასრულო წილადი 3.333...

წილადების დამატება

წილადებით სხვადასხვა არითმეტიკული მანიპულაციების განხორციელება ცოტა უფრო რთულია, ვიდრე ჩვეულებრივი რიცხვებით. თუმცა, თუ თქვენ გესმით ძირითადი წესები, მათთან ნებისმიერი მაგალითის ამოხსნა რთული არ იქნება.
ასე რომ, წილადების დასამატებლად, უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ ორივე ტერმინს ერთი და იგივე მნიშვნელი აქვს. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ უმცირესი რიცხვი, რომელიც ნაშთის გარეშე შეიძლება დაიყოს ჯამების მნიშვნელებად.
მაგალითად: 2/3+3/4. მათთვის უმცირესი საერთო ჯერადი იქნება 12, ამიტომ აუცილებელია, რომ ეს რიცხვი იყოს თითოეულ მნიშვნელში. ამისთვის ვამრავლებთ პირველი წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს 4-ზე, გამოდის 8/12, იგივეს ვაკეთებთ მეორე წევრთან ერთად, მაგრამ ვამრავლებთ მხოლოდ 3-ზე - 9/12. ახლა თქვენ შეგიძლიათ მარტივად ამოხსნათ მაგალითი: 8/12+9/12= 17/12. მიღებული წილადი არასწორი მნიშვნელობაა, რადგან მრიცხველი აღემატება მნიშვნელს. ის შეიძლება და უნდა გარდაიქმნას სწორ შერეულში 17:12 = 1 და 5/12 გაყოფით.
როდესაც შერეული წილადები ემატება, მოქმედებები სრულდება ჯერ მთელი რიცხვებით, შემდეგ კი წილადებით.
თუ მაგალითი შეიცავს ათობითი წილადს და რეგულარულ წილადს, აუცილებელია ორივე მარტივი გავხადოთ, შემდეგ მივიყვანოთ ერთსა და იმავე მნიშვნელთან და დავამატოთ. მაგალითად 3.1+1/2. რიცხვი 3.1 შეიძლება დაიწეროს 3-ისა და 1/10-ის შერეული წილადის სახით ან არასწორი წილადის სახით - 31/10. ტერმინების საერთო მნიშვნელი იქნება 10, ასე რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ 1/2-ის მრიცხველი და მნიშვნელი 5-ზე მონაცვლეობით, მიიღებთ 5/10-ს. მაშინ მარტივად შეგიძლია გამოთვალო ყველაფერი: 31/10+5/10=35/10. მიღებული შედეგი არის არასათანადო შემცირებადი წილადი, ჩვენ მას ნორმალურ ფორმაში ვაყენებთ, ვამცირებთ 5-ით: 7/2 = 3 და 1/2, ან ათობითი - 3.5.
2 ათობითი წილადის დამატებისას მნიშვნელოვანია, რომ ათწილადის წერტილის შემდეგ იყოს იგივე რიცხვი. თუ ეს ასე არ არის, თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ ნულების საჭირო რაოდენობა, რადგან ათობითი წილადში ეს შეიძლება გაკეთდეს უმტკივნეულოდ. მაგალითად, 3.5+3.005. ამ პრობლემის გადასაჭრელად პირველ რიცხვს უნდა დაუმატოთ 2 ნული და შემდეგ სათითაოდ დაამატოთ: 3.500+3.005=3.505.

ფრაქციების გამოკლება

წილადების გამოკლებისას იგივე უნდა მოიქცეთ, როგორც შეკრებისას: შეამცირეთ საერთო მნიშვნელამდე, გამოაკლოთ ერთი მრიცხველი მეორეს და, საჭიროების შემთხვევაში, გადაიყვანოთ შედეგი შერეულ წილადად.
მაგალითად: 16/20-5/10. საერთო მნიშვნელი იქნება 20. თქვენ უნდა მიიყვანოთ მეორე წილადი ამ მნიშვნელთან მისი ორივე ნაწილის 2-ზე გამრავლებით, მიიღებთ 10/20-ს. ახლა შეგიძლიათ ამოხსნათ მაგალითი: 16/20-10/20= 6/20. თუმცა, ეს შედეგი ეხება შესამცირებელ წილადებს, ამიტომ ღირს ორივე მხარის გაყოფა 2-ზე და შედეგი არის 3/10.

ფრაქციების გამრავლება

წილადების გაყოფა და გამრავლება გაცილებით მარტივი მოქმედებებია, ვიდრე შეკრება და გამოკლება. ფაქტია, რომ ამ ამოცანების შესრულებისას არ არის საჭირო საერთო მნიშვნელის ძიება.
წილადების გასამრავლებლად, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ ორივე მრიცხველი სათითაოდ, შემდეგ კი ორივე მნიშვნელი. შეამცირეთ მიღებული შედეგი, თუ წილადი შემცირების რაოდენობაა.

მაგალითად: 4/9x5/8. ალტერნატიული გამრავლების შემდეგ შედეგი არის 4x5/9x8=20/72. ეს წილადი შეიძლება შემცირდეს 4-ით, ამიტომ მაგალითში საბოლოო პასუხი არის 5/18.

როგორ გავყოთ ფრაქციები

წილადების გაყოფა ასევე მარტივი ოპერაციაა, ფაქტობრივად, მაინც მოდის მათი გამრავლება. ერთი წილადის მეორეზე გასაყოფად საჭიროა მეორეს შებრუნება და პირველზე გამრავლება.

მაგალითად, წილადების გაყოფა 5/19 და 5/7. მაგალითის ამოსახსნელად უნდა შეცვალოთ მეორე წილადის მნიშვნელი და მრიცხველი და გაამრავლოთ: 5/19x7/5=35/95. შედეგი შეიძლება შემცირდეს 5-ით - გამოდის 7/19.
თუ საჭიროა წილადის გაყოფა მარტივ რიცხვზე, ტექნიკა ოდნავ განსხვავებულია. თავდაპირველად, თქვენ უნდა დაწეროთ ეს რიცხვი არასწორ წილადად, შემდეგ კი გაყოთ იგივე სქემის მიხედვით. მაგალითად, 2/13:5 უნდა დაიწეროს როგორც 2/13: 5/1. ახლა თქვენ უნდა გადააბრუნოთ 5/1 და გავამრავლოთ მიღებული წილადები: 2/13x1/5= 2/65.
ზოგჯერ უნდა გაყოთ შერეული წილადები. თქვენ უნდა მოექცეთ მათ ისე, როგორც მთელ რიცხვებს: გადააქციეთ ისინი არასწორ წილადებად, შეცვალეთ გამყოფი და გაამრავლეთ ყველაფერი. მაგალითად, 8 ½: 3. გადააქციე ყველაფერი არასწორ წილადებად: 17/2: 3/1. ამას მოჰყვება 3/1-ის გადაბრუნება და გამრავლება: 17/2x1/3= 17/6. ახლა თქვენ უნდა გადაიყვანოთ არასწორი წილადი სწორში - 2 მთლიანი და 5/6.
ასე რომ, იმის გაგებით, თუ რა არის წილადები და როგორ შეგიძლიათ შეასრულოთ მათთან სხვადასხვა არითმეტიკული მოქმედებები, უნდა შეეცადოთ არ დაივიწყოთ ეს. ყოველივე ამის შემდეგ, ადამიანები ყოველთვის უფრო მიდრეკილნი არიან რაღაცის ნაწილებად დაყოფისკენ, ვიდრე დამატებას, ასე რომ თქვენ უნდა შეძლოთ ამის სწორად გაკეთება.

უკვე დაწყებით სკოლაში მოსწავლეები ექვემდებარებიან წილადებს. და მერე ჩნდებიან ყველა თემაში. თქვენ არ შეგიძლიათ დაივიწყოთ მოქმედებები ამ ნომრებით. ამიტომ, თქვენ უნდა იცოდეთ ყველა ინფორმაცია ჩვეულებრივი და ათობითი წილადების შესახებ. ეს ცნებები არ არის რთული, მთავარია ყველაფერი წესრიგში გავიგოთ.

რატომ არის საჭირო წილადები?

ჩვენს ირგვლივ სამყარო შედგება მთელი ობიექტებისგან. ამიტომ აქციების საჭიროება არ არის. მაგრამ ყოველდღიური ცხოვრება მუდმივად უბიძგებს ადამიანებს იმუშაონ საგნებისა და ნივთების ნაწილებთან.

მაგალითად, შოკოლადი შედგება რამდენიმე ცალისაგან. განვიხილოთ სიტუაცია, როდესაც მისი ფილა თორმეტი მართკუთხედით არის ჩამოყალიბებული. თუ ორად გაყოფთ, მიიღებთ 6 ნაწილად. ის ადვილად შეიძლება დაიყოს სამად. მაგრამ ხუთ ადამიანს შოკოლადის ნაჭრების მთელი რაოდენობის მიცემა არ იქნება შესაძლებელი.

სხვათა შორის, ეს ნაჭრები უკვე წილადებია. და მათი შემდგომი დაყოფა იწვევს უფრო რთული რიცხვების გამოჩენას.

რა არის "ფრაქცია"?

ეს არის რიცხვი, რომელიც შედგება ერთეულის ნაწილებისგან. გარეგნულად, ის ჰგავს ორ რიცხვს, რომლებიც გამოყოფილია ჰორიზონტალურად ან ხაზებით. ამ მახასიათებელს წილადი ეწოდება. ზედა (მარცხნივ) დაწერილ რიცხვს მრიცხველი ეწოდება. რაც არის ბოლოში (მარჯვნივ) არის მნიშვნელი.

არსებითად, ხაზი გამოდის გაყოფის ნიშანი. ანუ მრიცხველს შეიძლება ეწოდოს დივიდენდი, ხოლო მნიშვნელს - გამყოფი.

რა წილადები არსებობს?

მათემატიკაში არსებობს მხოლოდ ორი ტიპი: ჩვეულებრივი და ათობითი წილადები. სკოლის მოსწავლეები პირველებს ეცნობიან დაწყებით სკოლაში და მათ უბრალოდ „ფრაქციებს“ უწოდებენ. ამ უკანასკნელს მე-5 კლასში ისწავლიან. სწორედ მაშინ ჩნდება ეს სახელები.

საერთო ფრაქციები არის ყველა ის, რაც იწერება როგორც ორი რიცხვი, რომელიც განცალკევებულია ხაზით. მაგალითად, 4/7. ათობითი არის რიცხვი, რომელშიც ფრაქციულ ნაწილს აქვს პოზიტიური აღნიშვნა და მთელი რიცხვიდან გამოყოფილია მძიმით. მაგალითად, 4.7. სტუდენტებმა უნდა გააცნობიერონ, რომ მოცემული ორი მაგალითი სრულიად განსხვავებული რიცხვია.

ყოველი მარტივი ფრაქცია შეიძლება დაიწეროს როგორც ათობითი. ეს განცხადება თითქმის ყოველთვის მართალია საპირისპიროდ. არსებობს წესები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ ათობითი ფრაქცია, როგორც საერთო ფრაქცია.

რა ქვეტიპები აქვთ ამ ტიპის ფრაქციებს?

უმჯობესია დაიწყოთ ქრონოლოგიური თანმიმდევრობით, რადგან ისინი შესწავლილია. საერთო ფრაქციები პირველ რიგში მოდის. მათ შორის შეიძლება გამოიყოს 5 ქვესახეობა.

სწორი. მისი მრიცხველი ყოველთვის ნაკლებია მის მნიშვნელზე.

არასწორი. მისი მრიცხველი მეტია ან ტოლია მის მნიშვნელზე.

შემცირებადი / შეუმცირებელი. ეს შეიძლება აღმოჩნდეს სწორი ან არასწორი. კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ისაა, აქვთ თუ არა მრიცხველსა და მნიშვნელს საერთო ფაქტორები. თუ არსებობს, მაშინ აუცილებელია წილადის ორივე ნაწილის მათზე გაყოფა, ანუ შემცირება.

შერეული. მთელი რიცხვი ენიჭება მის ჩვეულებრივ რეგულარულ (არარეგულარულ) წილად ნაწილს. უფრო მეტიც, ის ყოველთვის მარცხნივ არის.

კომპოზიტური. იგი წარმოიქმნება ერთმანეთის მიერ გაყოფილი ორი წილადისგან. ანუ ის შეიცავს ერთდროულად სამ წილად ხაზს.

ათწილადურ წილადებს მხოლოდ ორი ქვეტიპი აქვთ:

სასრული, ანუ ის, რომლის წილადი ნაწილი შეზღუდულია (აქვს დასასრული);

უსასრულო - რიცხვი, რომლის ციფრებიც ათწილადის შემდეგ არ მთავრდება (ისინი შეიძლება დაუსრულებლად დაიწეროს).

როგორ გადავიყვანოთ ათობითი წილადი საერთო წილადად?

თუ ეს არის სასრული რიცხვი, მაშინ ასოციაცია გამოიყენება წესის საფუძველზე - როგორც მესმის, ისე ვწერ. ანუ, თქვენ უნდა წაიკითხოთ სწორად და ჩაწეროთ, მაგრამ მძიმის გარეშე, მაგრამ წილადი ზოლით.

როგორც მინიშნება საჭირო მნიშვნელის შესახებ, უნდა გახსოვდეთ, რომ ის ყოველთვის არის ერთი და რამდენიმე ნული. ამ უკანასკნელთაგან იმდენი უნდა დაწეროთ, რამდენი ციფრია მოცემული რიცხვის წილადში.

როგორ გადავიყვანოთ ათობითი წილადები ჩვეულებრივ წილადებად, თუ მათი მთელი ნაწილი აკლია, ანუ ნულის ტოლია? მაგალითად, 0.9 ან 0.05. მითითებული წესის გამოყენების შემდეგ აღმოჩნდება, რომ თქვენ უნდა დაწეროთ ნულოვანი რიცხვები. მაგრამ ეს არ არის მითითებული. რჩება მხოლოდ წილადი ნაწილების ჩაწერა. პირველ რიცხვს ექნება მნიშვნელი 10, მეორეს მნიშვნელი 100. ანუ მოცემულ მაგალითებს პასუხად ექნება შემდეგი რიცხვები: 9/10, 5/100. უფრო მეტიც, გამოდის, რომ ეს უკანასკნელი შეიძლება შემცირდეს 5-ით. ამიტომ, მისთვის შედეგი უნდა დაიწეროს როგორც 1/20.

როგორ შეგიძლიათ გადაიყვანოთ ათობითი წილადი ჩვეულებრივ წილადად, თუ მისი მთელი ნაწილი განსხვავდება ნულიდან? მაგალითად, 5.23 ან 13.00108. ორივე მაგალითში იკითხება მთელი ნაწილი და იწერება მისი მნიშვნელობა. პირველ შემთხვევაში ეს არის 5, მეორეში არის 13. შემდეგ თქვენ უნდა გადახვიდეთ წილადის ნაწილზე. იგივე ოპერაცია უნდა ჩატარდეს მათთანაც. პირველი რიცხვი ჩნდება 23/100, მეორე - 108/100000. მეორე მნიშვნელობა კვლავ უნდა შემცირდეს. პასუხი იძლევა შემდეგ შერეულ წილადებს: 5 23/100 და 13 27/25000.

როგორ გადავიყვანოთ უსასრულო ათობითი წილადი ჩვეულებრივ წილადად?

თუ ეს არაპერიოდულია, მაშინ ასეთი ოპერაცია შეუძლებელი იქნება. ეს ფაქტი განპირობებულია იმით, რომ ყოველი ათობითი წილადი ყოველთვის გარდაიქმნება სასრულ ან პერიოდულ წილადად.

ერთადერთი, რისი გაკეთებაც შეგიძლიათ ასეთ წილადთან, არის მისი დამრგვალება. მაგრამ მაშინ ათწილადი იქნება დაახლოებით იმ უსასრულობის ტოლი. ის უკვე შეიძლება გადაიქცეს ჩვეულებრივად. მაგრამ საპირისპირო პროცესი: ათწილადში გადაყვანა არასოდეს მისცემს საწყის მნიშვნელობას. ანუ უსასრულო არაპერიოდული წილადები არ გარდაიქმნება ჩვეულებრივ წილადებად. ეს უნდა ახსოვდეს.

როგორ დავწეროთ უსასრულო პერიოდული წილადი ჩვეულებრივ წილადად?

ამ რიცხვებში ყოველთვის არის ერთი ან მეტი ციფრი, რომელიც მეორდება ათობითი წერტილის შემდეგ. მათ პერიოდს უწოდებენ. მაგალითად, 0.3 (3). აქ "3" არის პერიოდში. ისინი კლასიფიცირდება როგორც რაციონალური, რადგან ისინი შეიძლება გარდაიქმნას ჩვეულებრივ წილადებად.

მათ, ვინც შეხვდა პერიოდულ წილადებს, იცის, რომ ისინი შეიძლება იყოს სუფთა ან შერეული. პირველ შემთხვევაში, წერტილი დაუყოვნებლივ იწყება მძიმიდან. მეორეში, წილადი ნაწილი იწყება რამდენიმე რიცხვით, შემდეგ კი გამეორება.

წესი, რომლითაც თქვენ უნდა დაწეროთ უსასრულო ათწილადი, როგორც საერთო წილადი, განსხვავებული იქნება მითითებული ორი ტიპის რიცხვისთვის. საკმაოდ მარტივია სუფთა პერიოდული წილადების ჩვეულებრივ წილადებად დაწერა. როგორც სასრულის შემთხვევაში, ისინი უნდა გარდაიქმნას: ჩაწერეთ წერტილი მრიცხველში და მნიშვნელი იქნება რიცხვი 9, განმეორდება იმდენჯერ, რამდენჯერაც შეიცავს რიცხვების რაოდენობას.

მაგალითად, 0, (5). რიცხვს არ აქვს მთელი ნაწილი, ამიტომ დაუყოვნებლივ უნდა დაიწყოთ წილადი ნაწილით. მრიცხველად ჩაწერეთ 5 და მნიშვნელად 9. ანუ პასუხი იქნება წილადი 5/9.

წესი, თუ როგორ უნდა დავწეროთ ჩვეულებრივი ათობითი პერიოდული წილადი, რომელიც შერეულია.

შეხედეთ პერიოდის ხანგრძლივობას. აი რამდენი 9-იანი ექნება მნიშვნელს.

ჩაწერეთ მნიშვნელი: ჯერ ცხრა, შემდეგ ნული.

მრიცხველის დასადგენად, თქვენ უნდა ჩაწეროთ ორი რიცხვის განსხვავება. ათწილადის შემდეგ ყველა რიცხვი მინიფიცირებული იქნება წერტილთან ერთად. გამოიქვითება - ის პერიოდის გარეშეა.

მაგალითად, 0.5(8) - ჩაწერეთ პერიოდული ათობითი წილადი, როგორც საერთო წილადი. პერიოდის წინ წილადი ნაწილი შეიცავს ერთ ციფრს. ასე რომ, იქნება ერთი ნული. ასევე არის მხოლოდ ერთი რიცხვი პერიოდში - 8. ანუ არის მხოლოდ ერთი ცხრა. ანუ მნიშვნელში უნდა ჩაწეროთ 90.

მრიცხველის დასადგენად 58-ს უნდა გამოაკლოთ 5. გამოდის 53. მაგალითად, პასუხი უნდა დაწეროთ როგორც 53/90.

როგორ გარდაიქმნება წილადები ათწილადად?

უმარტივესი ვარიანტია რიცხვი, რომლის მნიშვნელი არის რიცხვი 10, 100 და ა.შ. შემდეგ მნიშვნელი უბრალოდ უგულებელყოფილია და მძიმით იდება წილადი და მთელი რიცხვები.

არის სიტუაციები, როცა მნიშვნელი ადვილად იქცევა 10, 100 და ა.შ. მაგალითად, რიცხვები 5, 20, 25. საკმარისია მათი გამრავლება შესაბამისად 2, 5 და 4-ზე. თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ არა მხოლოდ მნიშვნელი, არამედ მრიცხველიც იმავე რიცხვზე.

ყველა სხვა შემთხვევისთვის სასარგებლოა მარტივი წესი: გაყავით მრიცხველი მნიშვნელზე. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ მიიღოთ ორი შესაძლო პასუხი: სასრული ან პერიოდული ათობითი წილადი.

მოქმედებები ჩვეულებრივი წილადებით

შეკრება და გამოკლება

მოსწავლეები მათ სხვებზე ადრე ეცნობიან. უფრო მეტიც, ჯერ წილადებს აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი, შემდეგ კი განსხვავებული. ზოგადი წესები შეიძლება შემცირდეს ამ გეგმაზე.

იპოვეთ მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადი.

დაწერეთ დამატებითი ფაქტორები ყველა ჩვეულებრივი წილადისთვის.

გაამრავლეთ მრიცხველები და მნიშვნელები მათთვის მითითებულ ფაქტორებზე.

დაამატეთ (გამოაკლეთ) წილადების მრიცხველები და დატოვეთ საერთო მნიშვნელი უცვლელი.

თუ მინუენდის მრიცხველი ქვეტრაენდზე ნაკლებია, მაშინ უნდა გავარკვიოთ, გვაქვს თუ არა შერეული რიცხვი თუ სწორი წილადი.

პირველ შემთხვევაში, თქვენ უნდა ისესხოთ ერთი მთლიანი ნაწილიდან. დაამატეთ მნიშვნელი წილადის მრიცხველს. და შემდეგ გააკეთე გამოკლება.

მეორეში აუცილებელია გამოვიყენოთ უფრო დიდი რიცხვის მცირე რიცხვს გამოკლების წესი. ანუ, სუბტრაჰენდის მოდულს გამოაკელით მინუენდის მოდული და საპასუხოდ დაადეთ ნიშანი „-“.

ყურადღებით დააკვირდით შეკრების (გამოკლების) შედეგს. თუ თქვენ მიიღებთ არასწორ წილადს, მაშინ უნდა აირჩიოთ მთელი ნაწილი. ანუ მრიცხველი გავყოთ მნიშვნელზე.

გამრავლება და გაყოფა

მათი შესასრულებლად წილადებს საერთო მნიშვნელამდე დაყვანა არ სჭირდება. ეს აადვილებს მოქმედებების შესრულებას. მაგრამ ისინი მაინც მოითხოვენ წესების დაცვას.

წილადების გამრავლებისას თქვენ უნდა დააკვირდეთ რიცხვებს მრიცხველებსა და მნიშვნელებში. თუ რომელიმე მრიცხველს და მნიშვნელს აქვს საერთო ფაქტორი, მაშინ მათი შემცირება შესაძლებელია.

გაამრავლეთ მრიცხველები.

გაამრავლეთ მნიშვნელები.

თუ შედეგი არის შემცირებადი ფრაქცია, მაშინ ის კვლავ უნდა გამარტივდეს.

გაყოფისას ჯერ გაყოფა უნდა შეცვალოთ გამრავლებით, ხოლო გამყოფი (მეორე წილადი) საპასუხო წილადით (გაცვალეთ მრიცხველი და მნიშვნელი).

შემდეგ გააგრძელეთ გამრავლება (დაწყებული 1 წერტილიდან).

იმ ამოცანებში, სადაც საჭიროა გამრავლება (გაყოფა) მთელ რიცხვზე, ეს უკანასკნელი უნდა ჩაიწეროს არასწორ წილადად. ანუ მნიშვნელით 1. შემდეგ იმოქმედეთ ისე, როგორც ზემოთ იყო აღწერილი.



ოპერაციები ათწილადებით

შეკრება და გამოკლება

რა თქმა უნდა, თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ გადაიყვანოთ ათწილადი წილადად. და იმოქმედეთ უკვე აღწერილი გეგმის მიხედვით. მაგრამ ზოგჯერ უფრო მოსახერხებელია მოქმედება ამ თარგმანის გარეშე. მაშინ მათი შეკრებისა და გამოკლების წესები ზუსტად იგივე იქნება.

გაათანაბრეს რიცხვების რიცხვი რიცხვის წილადში, ანუ ათობითი წერტილის შემდეგ. დაამატეთ მას დაკარგული ნულების რაოდენობა.

დაწერეთ წილადები ისე, რომ მძიმით იყოს მძიმის ქვემოთ.

ნატურალური რიცხვების მსგავსად დამატება (გამოკლება).

ამოიღეთ მძიმე.

გამრავლება და გაყოფა

მნიშვნელოვანია, რომ არ დაგჭირდეთ აქ ნულების დამატება. წილადები უნდა დარჩეს ისე, როგორც ეს მოცემულია მაგალითში. და შემდეგ წადი გეგმის მიხედვით.

გასამრავლებლად, თქვენ უნდა დაწეროთ წილადები ერთმანეთის ქვემოთ, მძიმეების უგულებელყოფით.

ნატურალური რიცხვების მსგავსად გამრავლება.

პასუხში ჩადეთ მძიმით, პასუხის მარჯვენა ბოლოდან დათვალეთ იმდენი ციფრი, რამდენიც არის ორივე ფაქტორის წილადებში.

გასაყოფად ჯერ უნდა გარდაქმნათ გამყოფი: გახადეთ იგი ნატურალურ რიცხვად. ანუ გავამრავლოთ ის 10-ზე, 100-ზე და ა.შ. იმის მიხედვით, თუ რამდენი ციფრია გამყოფის წილადში.

გაამრავლეთ დივიდენდი იმავე რიცხვზე.

ათობითი წილადის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე.

დადეთ მძიმით თქვენს პასუხში იმ მომენტში, როდესაც სრულდება მთელი ნაწილის გაყოფა.



რა მოხდება, თუ ერთი მაგალითი შეიცავს ორივე ტიპის წილადს?

დიახ, მათემატიკაში ხშირად არის მაგალითები, რომლებშიც საჭიროა მოქმედებების შესრულება ჩვეულებრივ და ათობითი წილადებზე. ასეთ ამოცანებში ორი შესაძლო გამოსავალია. თქვენ უნდა ობიექტურად აწონოთ რიცხვები და აირჩიოთ ოპტიმალური.

პირველი გზა: წარმოადგინეთ ჩვეულებრივი ათწილადები

შესაფერისია, თუ გაყოფა ან თარგმნა იწვევს სასრულ წილადებს. თუ მინიმუმ ერთი რიცხვი იძლევა პერიოდულ ნაწილს, მაშინ ეს ტექნიკა აკრძალულია. ამიტომ, მაშინაც კი, თუ არ მოგწონთ ჩვეულებრივ წილადებთან მუშაობა, მოგიწევთ მათი დათვლა.

მეორე გზა: ჩაწერეთ ათობითი წილადები, როგორც ჩვეულებრივი

ეს ტექნიკა მოსახერხებელი აღმოჩნდება, თუ ათობითი წერტილის შემდეგ ნაწილი შეიცავს 1-2 ციფრს. თუ მათგან მეტია, შეიძლება დასრულდეს ძალიან დიდი საერთო წილადი და ათწილადი აღნიშვნით დავალება უფრო სწრაფად და ადვილი გამოთვლას გახდის. ამიტომ, თქვენ ყოველთვის ფხიზელი უნდა შეაფასოთ დავალება და აირჩიოთ გადაჭრის უმარტივესი მეთოდი.

ათობითი წილადი განსხვავდება ჩვეულებრივი წილადისგან იმით, რომ მისი მნიშვნელი არის ადგილის მნიშვნელობა.

Მაგალითად:

ათწილადი წილადები გამოყოფილია ჩვეულებრივი წილადებიდან ცალკეულ ფორმაში, რამაც განაპირობა ამ წილადების შედარების, შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის საკუთარი წესები. პრინციპში, თქვენ შეგიძლიათ იმუშაოთ ათობითი წილადებთან ჩვეულებრივი წილადების წესების გამოყენებით. ათობითი წილადების გადაყვანის საკუთარი წესები ამარტივებს გამოთვლებს, ხოლო ჩვეულებრივი წილადების ათწილადებად გადაქცევის წესები და პირიქით, ამ ტიპის წილადებს შორის დამაკავშირებელია.

ათობითი წილადების დაწერა და წაკითხვა საშუალებას გაძლევთ ჩაწეროთ ისინი, შეადაროთ და შეასრულოთ მოქმედებები მათზე ნატურალური რიცხვებით მოქმედებების წესების მსგავსი წესების მიხედვით.

ათობითი წილადების სისტემა და მათზე მოქმედებები პირველად მე-15 საუკუნეში გამოიკვეთა. სამარყანდელი მათემატიკოსი და ასტრონომი ჯემშიდ იბნ-მასუდალ-კაში წიგნში "დათვლის ხელოვნების გასაღები".

ათობითი წილადის მთელი ნაწილი წილადი ნაწილისგან გამოყოფილია მძიმით, ზოგიერთ ქვეყანაში (აშშ) სვამენ წერტილს. თუ ათობითი წილადს არ აქვს მთელი რიცხვი, მაშინ რიცხვი 0 მოთავსებულია ათობითი წერტილის წინ.

თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ ნებისმიერი რაოდენობის ნულები ათწილადის წილადის ნაწილს მარჯვნივ; ეს არ ცვლის წილადის მნიშვნელობას. ათწილადის წილადი ნაწილი იკითხება ბოლო მნიშვნელოვან ციფრზე.

Მაგალითად:
0.3 - სამი მეათედი
0.75 - სამოცდათხუთმეტი ასეული
0.000005 - ხუთი მილიონი.

ათწილადის მთელი ნაწილის წაკითხვა იგივეა, რაც ნატურალური რიცხვების წაკითხვა.

Მაგალითად:
27,5 - ოცდაშვიდი...;
1.57 - ერთი...

ათობითი წილადის მთელი ნაწილის შემდეგ წარმოითქმის სიტყვა "მთელი".

Მაგალითად:
10.7 - ათი ქულა შვიდი

0.67 - ნულოვანი წერტილი სამოცდაშვიდი მეასედი.

ათწილადი ადგილები არის წილადი ნაწილის ციფრები. წილადი ნაწილი არ იკითხება ციფრებით (ნატურალური რიცხვებისგან განსხვავებით), არამედ მთლიანობაში, ამიტომ ათობითი წილადის წილადი განისაზღვრება ბოლო მნიშვნელოვანი ციფრით მარჯვნივ. ათწილადის წილადი ნაწილის ადგილის სისტემა გარკვეულწილად განსხვავდება ნატურალური რიცხვებისგან.

• 1 ციფრი დაკავების შემდეგ - მეათედი ციფრი
• მე-2 ათობითი ადგილი - მეასედი ადგილი
• მე-3 ათობითი ადგილი - მეათასედი ადგილი
• მე-4 ათობითი ადგილი - ათიათასიანი ადგილი
• მე-5 ათობითი ადგილი - ასეული მეათასედი ადგილი
• მე-6 ათობითი ადგილი - მემილიონე ადგილი
• მე-7 ათობითი ადგილი არის ათი მილიონიანი ადგილი
• მე-8 ათობითი ადგილი არის ასმილიონიანი ადგილი

პირველი სამი ციფრი ყველაზე ხშირად გამოიყენება გამოთვლებში. ათწილადების წილადი ნაწილის დიდი ციფრული ტევადობა გამოიყენება მხოლოდ ცოდნის კონკრეტულ დარგებში, სადაც გამოითვლება უსასრულო სიდიდეები.

ათწილადის გადაქცევა შერეულ წილადადშედგება შემდეგისაგან: რიცხვი ათწილადამდე იწერება შერეული წილადის მთელი რიცხვი; ათწილადის შემდეგ რიცხვი არის მისი წილადი ნაწილის მრიცხველი, ხოლო წილადი ნაწილის მნიშვნელში ჩაწერეთ ერთეული იმდენი ნულით, რამდენი ციფრია ათწილადის შემდეგ.