ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკებიდა ასევე სია ტრიგონომეტრიული განტოლებებისა და სისტემების ძირითადი ტიპები. გარდა ამისა, ჩვენ მივუთითებთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ზოგადი ამონახსნები და მათი განსაკუთრებული შემთხვევები.

ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ მოამზადოთ ერთ-ერთი ტიპის დავალება. B5 და C1.

მომზადება მათემატიკაში გამოცდისთვის

Ექსპერიმენტი

გაკვეთილი 10 ტრიგონომეტრიული განტოლებები და მათი სისტემები.

თეორია

გაკვეთილის შეჯამება

ჩვენ უკვე არაერთხელ გამოვიყენეთ ტერმინი „ტრიგონომეტრიული ფუნქცია“. ამ თემის პირველ გაკვეთილზე ჩვენ განვსაზღვრეთ ისინი მართკუთხა სამკუთხედის და ერთეული ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დაზუსტების ასეთი მეთოდების გამოყენებით უკვე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მათთვის არგუმენტის (ან კუთხის) ერთი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის ზუსტად ერთ მნიშვნელობას, ე.ი. ჩვენ გვაქვს უფლება ზუსტად ვუწოდოთ ფუნქციები სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი.

ამ გაკვეთილზე დროა სცადოთ აბსტრაცია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლის ადრე განხილული მეთოდებისგან. დღეს ჩვენ გადავალთ ფუნქციებთან მუშაობის ჩვეულ ალგებრულ მიდგომაზე, განვიხილავთ მათ თვისებებს და დავხატავთ გრაფიკებს.

რაც შეეხება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებებს, განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს:

განსაზღვრების დომენი და მნიშვნელობების დიაპაზონი, ვინაიდან სინუსისთვის და კოსინუსისთვის არის შეზღუდვები მნიშვნელობების დიაპაზონზე, ხოლო ტანგენტსა და კოტანგენტს აქვს შეზღუდვები განსაზღვრების დიაპაზონზე;

ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქციის პერიოდულობა, ვინაიდან ჩვენ უკვე აღვნიშნეთ უმცირესი არა-ნულოვანი არგუმენტის არსებობა, რომლის დამატება არ ცვლის ფუნქციის მნიშვნელობას. ასეთ არგუმენტს ეწოდება ფუნქციის პერიოდი და აღინიშნება ასოთი. სინუსისთვის/კოსინუსისთვის და ტანგენსისთვის/კოტანგენსისთვის ეს პერიოდები განსხვავებულია.

განვიხილოთ ფუნქცია:

1) განმარტების დომენი;

2) ღირებულებების დიაპაზონი ;

3) ფუნქცია კენტია ;

მოდით დავხატოთ ფუნქცია. ამ შემთხვევაში, მოსახერხებელია კონსტრუქციის დაწყება არეალის გამოსახულებიდან, რომელიც ზღუდავს გრაფიკს ზემოდან 1 რიცხვით და ქვემოდან რიცხვით, რომელიც დაკავშირებულია ფუნქციის დიაპაზონთან. გარდა ამისა, შედგენისთვის სასარგებლოა დაიმახსოვროთ ცხრილის რამდენიმე ძირითადი კუთხის სინუსების მნიშვნელობები, მაგალითად, რომ ეს საშუალებას მოგცემთ ააგოთ გრაფიკის პირველი სრული „ტალღა“ და შემდეგ გადახაზოთ იგი მარჯვნივ. და წავიდა, ისარგებლა იმით, რომ სურათი განმეორდება წერტილის ოფსეტურით, ე.ი. ზე .

ახლა მოდით შევხედოთ ფუნქციას:

ამ ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

1) განმარტების დომენი;

2) ღირებულებების დიაპაზონი ;

3) ფუნქცია ლუწია ეს გულისხმობს ფუნქციის გრაფიკის სიმეტრიას y ღერძის მიმართ;

4) ფუნქცია არ არის ერთფეროვანი დეფინიციის მთელ სფეროში;

მოდით დავხატოთ ფუნქცია. ისევე როგორც სინუსის აგებისას, მოსახერხებელია დავიწყოთ იმ არეალის გამოსახულებით, რომელიც ზღუდავს გრაფიკს ზემოდან 1 რიცხვით და ქვემოდან რიცხვით, რომელიც დაკავშირებულია ფუნქციის დიაპაზონთან. ჩვენ ასევე გამოვსახავთ გრაფიკზე რამდენიმე წერტილის კოორდინატებს, რისთვისაც აუცილებელია რამდენიმე ძირითადი ცხრილის კუთხის კოსინუსების მნიშვნელობების დამახსოვრება, მაგალითად, ამ წერტილების გამოყენებით ჩვენ შეგვიძლია ავაშენოთ პირველი სრული „ტალღა“. გრაფიკი და შემდეგ გადახაზეთ იგი მარჯვნივ და მარცხნივ, ისარგებლეთ იმით, რომ სურათი მეორდება წერტილის ცვლასთან ერთად, ე.ი. ზე .

გადავიდეთ ფუნქციაზე:

ამ ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

1) განმარტების დომენი გარდა , სადაც . წინა გაკვეთილებში უკვე აღვნიშნეთ, რომ არ არსებობს. ეს განცხადება შეიძლება განზოგადდეს ტანგენტის პერიოდის გათვალისწინებით;

2) მნიშვნელობების დიაპაზონი, ე.ი. ტანგენტების მნიშვნელობები შეზღუდული არ არის;

3) ფუნქცია კენტია ;

4) ფუნქცია მონოტონურად იზრდება მის ეგრეთ წოდებულ ტანგენტურ ტოტებში, რასაც ახლა ვნახავთ ნახატზე;

5) ფუნქცია პერიოდულია წერტილით

მოდით დავხატოთ ფუნქცია. ამ შემთხვევაში მოსახერხებელია კონსტრუქციის დაწყება გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტების გამოსახულებიდან იმ წერტილებში, რომლებიც არ შედის განსაზღვრების დომენში, ე.ი. და ა.შ. შემდეგი, ჩვენ გამოვსახავთ ტანგენტის ტოტებს ასიმპტოტების მიერ წარმოქმნილი თითოეული ზოლის შიგნით, დაჭერით მათ მარცხენა ასიმპტოტზე და მარჯვნივ. ამავე დროს, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ თითოეული ტოტი მონოტონურად იზრდება. ჩვენ ყველა ტოტს ერთნაირად გამოვხატავთ, რადგან ფუნქციას აქვს პერიოდი ტოლი . ეს ჩანს იქიდან, რომ თითოეული ტოტი მიიღება მეზობელი x-ღერძის გასწვრივ გადაადგილებით.

და ჩვენ ვასრულებთ ფუნქციის გადახედვით:

ამ ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

1) განმარტების დომენი გარდა , სადაც . ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილის მიხედვით, ჩვენ უკვე ვიცით, რომ ის არ არსებობს. ეს განცხადება შეიძლება განზოგადდეს კოტანგენტის პერიოდის გათვალისწინებით;

2) მნიშვნელობების დიაპაზონი, ე.ი. კოტანგენტების მნიშვნელობები შეზღუდული არ არის;

3) ფუნქცია კენტია ;

4) ფუნქცია მონოტონურად მცირდება მის ტოტებში, რომლებიც მსგავსია ტანგენტის ტოტებთან;

5) ფუნქცია პერიოდულია წერტილით

მოდით დავხატოთ ფუნქცია. ამ შემთხვევაში, რაც შეეხება ტანგენტს, მოსახერხებელია კონსტრუქციის დაწყება გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტების გამოსახულებიდან იმ წერტილებში, რომლებიც არ შედის განსაზღვრების არეალში, ე.ი. და ა.შ. შემდეგი, ჩვენ გამოვსახავთ კოტანგენტის ტოტებს ასიმპტოტების მიერ წარმოქმნილი თითოეული ზოლის შიგნით, დაჭერით მათ მარცხენა ასიმპტოტზე და მარჯვნივ. ამ შემთხვევაში ვითვალისწინებთ, რომ თითოეული ტოტი მონოტონურად მცირდება. ყველა ტოტი, ტანგენტის მსგავსად, ერთნაირად არის გამოსახული, რადგან ფუნქციას აქვს პერიოდი ტოლი .

ცალკე უნდა აღინიშნოს, რომ რთული არგუმენტის მქონე ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შეიძლება ჰქონდეს არასტანდარტული პერიოდი. ეს არის ფორმის ფუნქციები:

მათ აქვთ იგივე პერიოდი. და რაც შეეხება ფუნქციებს:

მათ აქვთ იგივე პერიოდი.

როგორც ხედავთ, ახალი პერიოდის გამოსათვლელად, სტანდარტული პერიოდი უბრალოდ იყოფა არგუმენტის ფაქტორზე. ეს არ არის დამოკიდებული ფუნქციის სხვა მოდიფიკაციებზე.

თქვენ შეგიძლიათ უფრო დეტალურად გაიგოთ და გაიგოთ, საიდან მოდის ეს ფორმულები ფუნქციების გრაფიკების აგებისა და კონვერტაციის შესახებ გაკვეთილზე.

მივედით თემის „ტრიგონომეტრია“ ერთ-ერთ ყველაზე მნიშვნელოვან ნაწილამდე, რომელსაც მივუძღვნით ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნას. ასეთი განტოლებების ამოხსნის უნარი მნიშვნელოვანია, მაგალითად, ფიზიკაში რხევითი პროცესების აღწერისას. წარმოვიდგინოთ, რომ თქვენ გაიარეთ რამდენიმე წრე კარტზე სპორტულ მანქანაში, ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა დაგვეხმარება იმის დადგენაში, რამდენი ხანია უკვე მონაწილეობთ რბოლაში, ტრასაზე მანქანის პოზიციიდან გამომდინარე.

მოდით დავწეროთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლება:

ასეთი განტოლების ამონახსნი არის არგუმენტები, რომელთა სინუსი ტოლია. მაგრამ ჩვენ უკვე ვიცით, რომ სინუსის პერიოდულობის გამო ასეთი არგუმენტების უსასრულო რაოდენობა არსებობს. ამრიგად, ამ განტოლების ამონახსნი იქნება და ა.შ. იგივე ეხება ნებისმიერი სხვა მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნას, მათი უსასრულო რაოდენობა იქნება.

ტრიგონომეტრიული განტოლებები იყოფა რამდენიმე ძირითად ტიპად. ცალკე, უნდა ვისაუბროთ უმარტივესზე, რადგან. ყველა დანარჩენი მათზეა დაყვანილი. არსებობს ოთხი ასეთი განტოლება (ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების რაოდენობის მიხედვით). მათთვის ცნობილია საერთო გადაწყვეტილებები, ისინი უნდა ახსოვდეს.

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები და მათი ზოგადი ამონახსნებიგამოიყურებოდეს ასე:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ სინუსის და კოსინუსების მნიშვნელობებმა უნდა გაითვალისწინოს ჩვენთვის ცნობილი შეზღუდვები. თუ, მაგალითად, , მაშინ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები და ეს ფორმულა არ უნდა იქნას გამოყენებული.

გარდა ამისა, ეს ძირეული ფორმულები შეიცავს პარამეტრს თვითნებური მთელი რიცხვის სახით. სასკოლო სასწავლო გეგმაში ეს ერთადერთი შემთხვევაა, როცა პარამეტრის გარეშე განტოლების ამონახსნები პარამეტრს შეიცავს. ეს თვითნებური მთელი რიცხვი გვიჩვენებს, რომ შესაძლებელია ნებისმიერი მითითებული განტოლების უსასრულო რაოდენობის ფესვების ამოწერა, უბრალოდ ყველა მთელი რიცხვის რიგრიგობით ჩანაცვლებით.

ამ ფორმულების დეტალურ მიღებას შეგიძლიათ გაეცნოთ მე-10 კლასის ალგებრის პროგრამის „ტრიგონომეტრიული განტოლებები“ თავის გამეორებით.

ცალკე, აუცილებელია ყურადღება მიაქციოთ უმარტივესი განტოლებების ცალკეული შემთხვევების ამოხსნას სინუსთან და კოსინუსთან. ეს განტოლებები ასე გამოიყურება:

ზოგადი გადაწყვეტილებების პოვნის ფორმულები არ უნდა იქნას გამოყენებული მათზე. ასეთი განტოლებები ყველაზე მოსახერხებლად წყდება ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით, რაც იძლევა უფრო მარტივ შედეგს, ვიდრე ზოგადი ამოხსნის ფორმულები.

მაგალითად, განტოლების ამონახსნი არის . შეეცადეთ თავად მიიღოთ ეს პასუხი და ამოხსნათ დანარჩენი მითითებული განტოლებები.

მითითებული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ყველაზე გავრცელებული ტიპის გარდა, არსებობს კიდევ რამდენიმე სტანდარტული. ჩვენ ჩამოვთვლით მათ, იმის გათვალისწინებით, რაც უკვე აღვნიშნეთ:

1) პროტოზოა, Მაგალითად, ;

2) უმარტივესი განტოლებების კონკრეტული შემთხვევები, Მაგალითად, ;

3) რთული არგუმენტის განტოლებები, Მაგალითად, ;

4) განტოლებები შემცირდა უმარტივეს ფორმამდე საერთო ფაქტორის ამოღებით, Მაგალითად, ;

5) განტოლებები შემცირდა მათ უმარტივეს ფორმამდე ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გარდაქმნით, Მაგალითად, ;

6) ჩანაცვლებით უმარტივესამდე შემცირებული განტოლებები, Მაგალითად, ;

7) ჰომოგენური განტოლებები, Მაგალითად, ;

8) განტოლებები, რომლებიც ამოხსნილია ფუნქციების თვისებების გამოყენებით, Მაგალითად, . არ შეგაშინოთ ის ფაქტი, რომ ამ განტოლებას ორი ცვლადი აქვს, ის ერთდროულად ამოხსნილია;

ასევე განტოლებები, რომლებიც ამოხსნილია სხვადასხვა მეთოდით.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის გარდა, აუცილებელია მათი სისტემების ამოხსნის უნარი.

სისტემების ყველაზე გავრცელებული ტიპებია:

1) რომელშიც ერთ-ერთი განტოლება არის ძალაუფლების კანონი, Მაგალითად, ;

2) მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებების სისტემები, Მაგალითად, .

დღევანდელ გაკვეთილზე განვიხილეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკები. და ასევე გაეცნო უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ზოგად ფორმულებს, მიუთითა ასეთი განტოლებების ძირითადი ტიპები და მათი სისტემები.

გაკვეთილის პრაქტიკულ ნაწილში გავაანალიზებთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს და მათ სისტემებს.

ყუთი 1.უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების განსაკუთრებული შემთხვევების ამოხსნა.

როგორც გაკვეთილის ძირითად ნაწილში ვთქვით, ტრიგონომეტრიული განტოლებების სპეციალური შემთხვევები ფორმის სინუსებითა და კოსინუსებით:

აქვს უფრო მარტივი გადაწყვეტილებები, ვიდრე ზოგადი ამოხსნის ფორმულები იძლევა.

ამისათვის გამოიყენება ტრიგონომეტრიული წრე. მოდით გავაანალიზოთ მათი ამოხსნის მეთოდი განტოლების მაგალითის გამოყენებით.

დახაზეთ წერტილი ტრიგონომეტრიულ წრეზე, სადაც კოსინუსის მნიშვნელობა არის ნული, რომელიც ასევე არის კოორდინატი x ღერძის გასწვრივ. როგორც ხედავთ, ორი ასეთი პუნქტია. ჩვენი ამოცანაა მივუთითოთ რა არის კუთხე, რომელიც შეესაბამება ამ წერტილებს წრეზე.

თვლას ვიწყებთ აბსცისის ღერძის (კოსინუსის ღერძი) დადებითი მიმართულებიდან და კუთხის გადადებისას მივდივართ ნაჩვენებ პირველ წერტილამდე, ე.ი. ერთი გამოსავალი იქნება ეს კუთხის მნიშვნელობა. მაგრამ ჩვენ მაინც კმაყოფილი ვართ იმ კუთხით, რომელიც შეესაბამება მეორე პუნქტს. როგორ შევიდეს მასში?

რიცხვითი არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებები და გრაფიკები.

განმარტება 1: y=sin x ფორმულით მოცემულ ციფრულ ფუნქციას სინუსი ეწოდება.

ეს მრუდი ე.წ სინუსოიდი.

ფუნქციის თვისებები y=sin x

2. ფუნქციის დიაპაზონი: E(y)=[-1; 1]

3. პარიტეტის ფუნქცია:

y=sin x – კენტი,.

4. პერიოდულობა: sin(x+2πn)=sin x, სადაც n არის მთელი რიცხვი.

ეს ფუნქცია იღებს იგივე მნიშვნელობებს გარკვეული ინტერვალის შემდეგ. ფუნქციის ეს თვისება ეწოდება პერიოდულობა.ინტერვალი არის ფუნქციის პერიოდი.

y=sin x ფუნქციისთვის წერტილი არის 2π.

ფუნქცია y=sin x პერიოდულია, პერიოდით T=2πn, n არის მთელი რიცხვი.

უმცირესი დადებითი პერიოდი T=2π.

მათემატიკურად, ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც: sin(x+2πn)=sin x, სადაც n არის მთელი რიცხვი.

განმარტება 2: y=cosx ფორმულით მოცემულ ციფრულ ფუნქციას კოსინუსი ეწოდება.

ფუნქციის თვისებები y=cos x

1. ფუნქციის ფარგლები: D(y)=R

2. ფუნქციის ფარგლები: E(y)=[-1;1]

3. პარიტეტის ფუნქცია:

y=cos x არის ლუწი.

4. პერიოდულობა: cos(x+2πn)=cos x, სადაც n არის მთელი რიცხვი.

ფუნქცია y=cos x პერიოდულია, პერიოდით Т=2π.

განმარტება 3: y=tg x ფორმულით მოცემულ ციფრულ ფუნქციას ტანგენსი ეწოდება.

ფუნქციის თვისებები y=tg x

1. ფუნქციის დომენი: D(y) - ყველა რეალური რიცხვი π/2+πk გარდა, k არის მთელი რიცხვი. რადგან ამ წერტილებში ტანგენსი არ არის განსაზღვრული.

2. ფუნქციის ფარგლები: E(y)=R.

3. პარიტეტის ფუნქცია:

y=tg x არის უცნაური.

4. პერიოდულობა: tg(x+πk)=tg x, სადაც k არის მთელი რიცხვი.

ფუნქცია y=tg x პერიოდულია π პერიოდით.

განმარტება 4: y=ctg x ფორმულით მოცემულ ციფრულ ფუნქციას კოტანგენსი ეწოდება.

ფუნქციის თვისებები y=ctg x

1. ფუნქციის დომენი: D(y) - ყველა რეალური რიცხვი, გარდა πk-ისა, k არის მთელი რიცხვი. რადგან ამ წერტილებში კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები არის ელემენტარული ფუნქციები, რომელთა არგუმენტი არის კუთხე. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები აღწერს გვერდებსა და მახვილ კუთხეებს შორის ურთიერთობას მართკუთხა სამკუთხედი. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენების სფეროები უკიდურესად მრავალფეროვანია. მაგალითად, ნებისმიერი პერიოდული პროცესი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამი (). ეს ფუნქციები ხშირად ჩნდება ფუნქციური განტოლებების ამოხსნისას.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მოიცავს შემდეგ 6 ფუნქციას: სინუსი , კოსინუსი , ტანგენსი , კოტანგენსი , სეკანტიდა კოსეკანტი. თითოეული ამ ფუნქციისთვის არსებობს შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია .

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გეომეტრიული განმარტება მოხერხებულად არის დანერგილი გამოყენებით ერთეული წრე . ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს წრეს რადიუსით \(r = 1\). წრეზე მონიშნულია წერტილი \(M\left((x,y) \right)\). რადიუსის ვექტორს \(OM\) და \(Ox\) ღერძის დადებით მიმართულებას შორის კუთხე უდრის \(\alpha\).

სინუსიკუთხე \(\alpha\) არის \(M\left((x,y) \მარჯვნივ)\) წერტილის ორდინატების \(y\) თანაფარდობა \(r\) რადიუსთან:
\(\sin \alpha = y/r\).
ვინაიდან \(r = 1\), მაშინ სინუსი უდრის \(M\left((x,y) \right)\ წერტილის ორდინატს.

კოსინუსიკუთხე \(\alpha\) არის \(M\left((x,y) \right)\) წერტილის აბსცისის \(x\) თანაფარდობა \(r\) რადიუსთან:
\(\cos \alpha = x/r\)


ტანგენსიკუთხე \(\ალფა\) არის \(M\left((x,y) \მარჯვნივ)\) წერტილის ორდინატის \(y\) თანაფარდობა მის აბსცისასთან \(x\):
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)


კოტანგენსი კუთხე \(\alpha\) არის \(M\left((x,y) \right)\) წერტილის აბსცისის \(x\) თანაფარდობა მის ორდინატთან \(y\):
\(\cot \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)


სეკანტიკუთხე \(\ალფა\) არის \(r\) რადიუსის შეფარდება \(x\) წერტილის აბსცისასთან \(M\left((x,y) \right)\):
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)


კოზეკანტიკუთხე \(\ალფა\) არის \(r\) რადიუსის შეფარდება \(y\) წერტილის ორდინატთან \(M\left((x,y) \right)\):
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)


საპროექციო ერთეულის წრეში \(x\), \(y\) წერტილები \(M\left((x,y) \right)\) და რადიუსი \(r\) ქმნიან მართკუთხა სამკუთხედს, რომელშიც \( x,y \) არის ფეხები და \(r\) არის ჰიპოტენუზა. ამრიგად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ზემოაღნიშნული განმარტებები, რომლებიც გამოიყენება მართკუთხა სამკუთხედზე, ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად:
სინუსიკუთხე \(\ალფა\) არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
კოსინუსიკუთხე \(\ალფა\) არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
ტანგენსიკუთხეს \(\alpha\) ეწოდება მეზობელთან საპირისპირო კუთხით.
კოტანგენსი კუთხე \(\ალფა\) ეწოდება მოპირდაპირე ფეხის მიმდებარე ფეხს.
სეკანტიკუთხე \(\ალფა\) არის ჰიპოტენუზის თანაფარდობა მიმდებარე ფეხთან.
კოზეკანტიკუთხე \(\ალფა\) არის ჰიპოტენუზის თანაფარდობა მოპირდაპირე ფეხთან.


სინუსური ფუნქციის გრაფიკი
\(y = \sin x\), დომენი: \(x \in \mathbb(R)\), დომენი: \(-1 \le \sin x \le 1\)




კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკი
\(y = \cos x\), დომენი: \(x \in \mathbb(R)\), დომენი: \(-1 \le \cos x \le 1\)

მოცემულია თანაფარდობები მთავარ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის - სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. ტრიგონომეტრიული ფორმულები. და რადგან ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის საკმაოდ ბევრი კავშირია, ეს ასევე ხსნის ტრიგონომეტრიული ფორმულების სიმრავლეს. ზოგიერთი ფორმულა აკავშირებს ერთი და იგივე კუთხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, სხვები - მრავალჯერადი კუთხის ფუნქციებს, სხვები - საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ხარისხი, მეოთხე - გამოვხატოთ ყველა ფუნქცია ნახევარი კუთხის ტანგენტის საშუალებით და ა.შ.

ამ სტატიაში ჩვენ თანმიმდევრობით ჩამოვთვლით ყველა ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფორმულას, რომლებიც საკმარისია ტრიგონომეტრიის ამოცანების დიდი უმრავლესობის გადასაჭრელად. დამახსოვრებისა და გამოყენების სიმარტივის მიზნით, ჩვენ დავაჯგუფებთ მათ დანიშნულების მიხედვით და შევიყვანთ ცხრილებში.

გვერდის ნავიგაცია.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობებიდააყენეთ კავშირი ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის. ისინი გამომდინარეობს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის განმარტებიდან, ასევე ერთეული წრის კონცეფციიდან. ისინი საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია მეორის მეშვეობით.

ამ ტრიგონომეტრიის ფორმულების დეტალური აღწერა, მათი წარმოშობისა და გამოყენების მაგალითები იხილეთ სტატიაში.

ჩამოსხმის ფორმულები

ჩამოსხმის ფორმულებიმოჰყვება სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის თვისებებს, ანუ ისინი ასახავს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობის თვისებას, სიმეტრიის თვისებას და ასევე მოცემული კუთხით გადანაცვლების თვისებას. ეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ თვითნებური კუთხით სამუშაოდან ნულიდან 90 გრადუსამდე.

ამ ფორმულების დასაბუთება, მათი დამახსოვრების მნემონური წესი და მათი გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ შეისწავლოთ სტატიაში.

დამატების ფორმულები

ტრიგონომეტრიული დამატების ფორმულებიაჩვენე, როგორ გამოიხატება ორი კუთხის ჯამის ან სხვაობის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ამ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. ეს ფორმულები ემსახურება შემდეგი ტრიგონომეტრიული ფორმულების წარმოშობის საფუძველს.

ფორმულები ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე

ფორმულები ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე (მათ ასევე უწოდებენ მრავალი კუთხის ფორმულებს) გვიჩვენებს, თუ როგორ ფუნქციონირებს ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხეები () გამოიხატება ერთი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. მათი წარმოშობა ემყარება დამატების ფორმულებს.

უფრო დეტალური ინფორმაცია გროვდება სტატიის ფორმულებში ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე .

ნახევარი კუთხის ფორმულები

ნახევარი კუთხის ფორმულებიაჩვენე, როგორ გამოიხატება ნახევარკუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მთელი რიცხვის კუთხის კოსინუსების მიხედვით. ეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები გამომდინარეობს ორმაგი კუთხის ფორმულებიდან.

მათი დასკვნა და განაცხადის მაგალითები შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში.

შემცირების ფორმულები

ტრიგონომეტრიული ფორმულები ხარისხების შემცირებისთვისშექმნილია იმისთვის, რომ ხელი შეუწყოს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ბუნებრივი ძალებიდან პირველი ხარისხის სინუსებსა და კოსინუსებზე გადასვლას, მაგრამ მრავალ კუთხით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ისინი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძალა პირველზე.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

მთავარი მიზანი ჯამისა და განსხვავების ფორმულები ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვისმოიცავს ფუნქციების პროდუქტზე გადასვლას, რაც ძალიან სასარგებლოა ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივებისას. ეს ფორმულები ასევე ფართოდ გამოიყენება ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას, რადგან ისინი იძლევა სინუსებისა და კოსინუსების ჯამისა და სხვაობის ფაქტორინგის საშუალებას.

სინუსების, კოსინუსების და კოსინუსების ნამრავლის ფორმულები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლიდან ჯამზე ან განსხვავებაზე გადასვლა ხორციელდება სინუსების, კოსინუსების და სინუსების ნამრავლის ფორმულების მეშვეობით.

ბაშმაკოვი მ.ი.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 1993. - 351გვ.: ილ. - ISBN 5-09-004617-4.

Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.

საავტორო უფლება ჭკვიანი სტუდენტების მიერ

Ყველა უფლება დაცულია.
დაცულია საავტორო უფლებების კანონით. www.site-ის არც ერთი ნაწილი, შიდა მასალებისა და გარე დიზაინის ჩათვლით, არ შეიძლება იყოს რაიმე ფორმით რეპროდუცირება ან გამოყენება საავტორო უფლებების მფლობელის წინასწარი წერილობითი ნებართვის გარეშე.

ჩვენ ვიხსენებთ ძირითად ინფორმაციას ტრიგონომეტრიიდან, რომელიც აუცილებელია შემდეგი.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები თავდაპირველად განიხილება, როგორც კუთხის ფუნქციები, რადგან თითოეული მათგანის რიცხვითი მნიშვნელობა (თუ მხოლოდ მას აქვს აზრი) განისაზღვრება კუთხის მითითებით. წრიულ რკალებსა და ცენტრალურ კუთხეებს შორის ერთი-ერთზე შესაბამისობა შესაძლებელს ხდის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განხილვას რკალის ფუნქციებად. მაგალითად, ფუნქციის არგუმენტი sin φჩვენ გვაქვს სურვილისამებრ კუთხის ან რკალის სახით ინტერპრეტაციის შესაძლებლობა. ამრიგად, თავდაპირველად ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტი მოქმედებს როგორც გეომეტრიული ობიექტი - კუთხე ან რკალი. თუმცა, როგორც თავად მათემატიკაში, ასევე მის გამოყენებაში, საჭიროა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განხილვა, როგორც რიცხვითი არგუმენტის ფუნქციები. სასკოლო მათემატიკაშიც კი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტი ყოველთვის არ განიხილება როგორც კუთხე. მაგალითად, ჰარმონიული რხევითი მოძრაობა მოცემულია განტოლებით: s = სინატი.აქ t არგუმენტი არის დრო და არა კუთხე (კოეფიციენტი a არის რხევის სიხშირის დამახასიათებელი რიცხვი).

კუთხეების (ან რკალების) გაზომვის პროცესი თითოეულ კუთხეს (რკალს) ანიჭებს გარკვეულ რიცხვს, როგორც საზომს. კუთხის (რკალის) გაზომვის შედეგად შეგიძლიათ მიიღოთ ნებისმიერირეალური რიცხვი, ვინაიდან ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ ნებისმიერი ზომის მიმართული კუთხეები (რკალი). კუთხეების (რკალების) საზომი კონკრეტული ერთეულის არჩევით შესაძლებელია ნებისმიერ კუთხეს (რკალს) მივანიჭოთ მისი საზომი რიცხვი და, პირიქით, ნებისმიერ რიცხვს დაუკავშიროთ მოცემული რიცხვით გაზომილი კუთხე (რკალი). ეს საშუალებას გაძლევთ ინტერპრეტაცია გააკეთოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტის რიცხვად. განვიხილოთ ზოგიერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, მაგალითად, სინუსი. მოდით x იყოს ნებისმიერი რეალური რიცხვი, ეს რიცხვი შეესაბამება კარგად განსაზღვრულ კუთხეს (რკალი), რომელიც იზომება x რიცხვით, ხოლო მიღებული კუთხე (რკალი) შეესაბამება კარგად განსაზღვრულ სინუს მნიშვნელობას, sin x. საბოლოო ჯამში, მიიღება რიცხვებს შორის შესაბამისობა: თითოეული რეალური რიცხვისთვის x შეესაბამება კარგად განსაზღვრული რეალური რიცხვი y \u003d sin x. ამიტომ, sin x შეიძლება განიმარტოს როგორც ფუნქცია რიცხვითი არგუმენტი. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების, როგორც რიცხვითი არგუმენტის ფუნქციების განხილვისას, ჩვენ შევთანხმდით, რომ მივიღოთ რკალებისა და კუთხეების საზომი ერთეული. რადიანი.ამ კონვენციის ძალით, სიმბოლოები sin x, cos x, tgx და ctg x უნდა იქნას განმარტებული, როგორც კუთხის (რკალი) სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი, რომლის რადიანის ზომა გამოიხატება x რიცხვით. Მაგალითად, ცოდვა 2არის რკალის სინუსი, რომელიც იზომება ორ რადიანში *.

* (გაითვალისწინეთ, რომ ზოგიერთ სახელმძღვანელოში რადიანის ზომას უკიდურესად სამწუხაროდ უწოდებენ აბსტრაქტულ, განსხვავებით ხარისხის საზომისაგან. გაზომვის ორივე მეთოდს შორის არანაირი ფუნდამენტური განსხვავება, არჩეულია მხოლოდ სხვადასხვა საზომი ერთეული. სამწუხაროდ, და მაინც ეს კითხვა ხანდახან ბადებს ფსევდომეცნიერულ, მავნე „მეთოდურ“ უსაქმურ ლაპარაკს.)

რკალებისა და კუთხეების საზომი ერთეულის შერჩევა არ აქვსფუნდამენტური მნიშვნელობის. რადიანის არჩევა არ არის ნაკარნახევიაუცილებლობა. რადიანი აღმოჩნდება მხოლოდ ყველაზე მოსახერხებელი ერთეული, რადგან რადიანის გაზომვისას ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან დაკავშირებული მათემატიკური ანალიზის ფორმულები უმარტივეს ფორმას იღებს * .

* (ეს გამარტივება აიხსნება იმით, რომ რადიანულ ზომაში ავიღოთ, მაგალითად, გრადუსი, როგორც კუთხეების საზომი ერთეული. მოდით t და x იყოს მოცემული კუთხის ხარისხი და რადიანის ზომები, მაშინ გვაქვს:

არგუმენტისა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის შესაბამისობის კანონი დადგენილია არა არგუმენტზე შესასრულებელი მათემატიკური მოქმედებების (ფორმულის) პირდაპირი მითითებით, არამედ გეომეტრიულად * . თუმცა, იმისთვის, რომ ვისაუბროთ ფუნქციაზე, აუცილებელია არსებობდეს შესაბამისი კანონი, რომლის ძალითაც არგუმენტის ყოველი დასაშვები მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის გარკვეულ მნიშვნელობას. მაგრამ არა მნიშვნელოვანიროგორ დგინდება ეს კანონი.

* (ელემენტარული მათემატიკის საშუალებით შეუძლებელია არგუმენტზე ალგებრული მოქმედებების გამოყენებით ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების გამომხატველი ფორმულების აგება. უმაღლესი მათემატიკიდან ცნობილი ფორმულები, რომლებიც გამოხატავს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებს პირდაპირ არგუმენტის მნიშვნელობით,

ფუნქციები sin x და cos x აზრი აქვს x-ის ნებისმიერ რეალურ მნიშვნელობას და, შესაბამისად, მათი განმარტების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე.

ფუნქცია tg x განისაზღვრება x-ის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის, გარდაπ / 2 + kπ ფორმის რიცხვები.

ფუნქცია ctg x განისაზღვრება x-ის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის, გარდა kπ ფორმის რიცხვები.

Ისე, ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტი, ჩვენი შეხედულებისამებრ, შეიძლება განიმარტოს, როგორც კუთხე, ან რკალი, ან, ბოლოს და ბოლოს, როგორც რიცხვი.არგუმენტს რკალს (ან კუთხეს) ვუწოდებთ, შეგიძლიათ იგულისხმოთ არა თავად რკალი (ან კუთხე), არამედ რიცხვი, რომელიც ზომავს მას. გეომეტრიული ტერმინოლოგიის დაცვით, ჩვენ თავს უფლებას მივცემთ, მაგალითად, ასეთი ფრაზის ნაცვლად: "ციფრის π / 2 სინუსი" ვთქვათ: "რკალის სინუსი π / 2".

გეომეტრიული ტერმინოლოგია მოსახერხებელია, რადგან გვახსენებს შესაბამის გეომეტრიულ გამოსახულებებს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისებაა მათი პერიოდულობა. sin x და cos x ფუნქციებს აქვთ პერიოდი 2π. ეს ნიშნავს, რომ x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ტოლობები ხდება:

sin x \u003d sin (x + 2π) \u003d sin (x + 4π) \u003d ... \u003d sin (x + 2kπ);

cos x \u003d cos (x + 2π) \u003d cos (x + 4π) \u003d ... \u003d cos (x + 2kπ),

სად კ- ნებისმიერი მთელი რიცხვი.

მკაცრად რომ ვთქვათ, აქვს sin x და cos x ფუნქციები უსასრულო ნაკრებიპერიოდები:

±2π, ±4π, ±6π, ...±2kπ,

რიცხვს 2n, რომელიც არის ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდი, ჩვეულებრივ უწოდებენ უბრალოდ პერიოდს.

პერიოდულობის თვისებას აქვს შემდეგი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია: ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობა ცოდვა xდა cos xარ იცვლება, თუ წრეების მთელი რიცხვი დაემატება (ან გამოკლდება) რკალს x. თუ ფუნქცია ცოდვა xან cos xაქვს გარკვეული თვისება, როდესაც არგუმენტის მნიშვნელობა x = a, მაშინ მას აქვს იგივე თვისება ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის a + 2 კπ.

tg x და ctg x ფუნქციები ასევე პერიოდულია, მათი პერიოდი (უმცირესი დადებითი) არის რიცხვი π.

პერიოდული ფუნქციის თვისებების შესწავლისას საკმარისია მისი განხილვა პერიოდის სიდიდის ტოლი გარკვეული ინტერვალით.

მოდით ჩამოვთვალოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი თვისებები.

1°. sin x ფუნქცია სეგმენტზე (მე და მე უარყოფითი კვარტლები) იზრდება. სინუსის მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებზე, ანუ x = π / 2-ზე და x = - π / 2-ზე, უდრის 1 და -1, შესაბამისად.

2°. რაც არ უნდა იყოს რეალური რიცხვი k, აბსოლუტური მნიშვნელობა არ არის 1-ზე მეტი, სეგმენტზე - π / 2 ≤x≤ π / 2 არის ერთი რკალი x = x 1, რომლის სინუსი ტოლია k. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სეგმენტზე სინუსს აქვს, x \u003d x 1 არგუმენტის ერთი მნიშვნელობით, თვითნებური მოცემული მნიშვნელობა, რომელიც არ აღემატება 1-ს აბსოლუტურ მნიშვნელობაში.

სინამდვილეში, სინუსის მოცემული მნიშვნელობის მიხედვით, შესაძლებელია ტრიგონომეტრიული წრის I და I უარყოფით მეოთხედებში შესაბამისი რკალის აგება (ტრიგონომეტრიული წრის რადიუსი ყოველთვის ჩაითვლება 1-ის ტოლი). საკმარისია k მნიშვნელობის სეგმენტი დავაყენოთ ვერტიკალურ დიამეტრზე (მაღლა k>0 და ქვევით k

თვისებები 1° და 2° ჩვეულებრივ გაერთიანებულია შემდეგი პირობითი განცხადების სახით.

სეგმენტზე - π / 2 ≤x≤ π / 2, სინუსი იზრდება -1-დან 1-მდე.

მსგავსი გეომეტრიული მსჯელობის გამოყენებით, ან შემცირების ფორმულის sin (π - x) \u003d sin x გამოყენებით, ადვილია იმის დადგენა, რომ სეგმენტზე π / 2 ≤x≤ 3π / 2 (ანუ II და III კვარტალში) სინუსი. მცირდება 1-დან -1-მდე. სეგმენტები - π / 2 ≤x≤ π / 2 და π / 2 ≤x≤ 3π / 2 ერთად ქმნიან სრულ წრეს, ანუ ფარავს სინუსის სრულ პერიოდს. სინუსის შემდგომი შესწავლა ზედმეტი ხდება და შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ნებისმიერ სეგმენტზე [- π / 2 + 2kπ, π / 2 + 2kπ] სინუსი იზრდება -1-დან 1-მდე და ნებისმიერ სეგმენტზე [π / 2 + 2kπ, 3π / 2 +2kπ] სინუსი მცირდება 1-დან -1-მდე. სინუს გრაფიკი ნაჩვენებია ნახაზზე 11.

ანალოგიურად ტარდება კოსინუსის შესწავლა. კოსინუსის ძირითადი თვისებებია:

cos x ფუნქცია სეგმენტზე (ანუ I და II კვარტლებში) მცირდება 1-დან -1-მდე. სეგმენტზე [π, 2π] (ანუ III და IV მეოთხედებში) კოსინუსი იზრდება -1-დან 1-მდე.პერიოდულობის გამო კოსინუსი მცირდება 1-დან -1-მდე სეგმენტებზე და იზრდება -1-დან 1-მდე სეგმენტებზე [(2k-1)π, 2kπ] (სურ. 12).

განვიხილოთ ფუნქცია y = tg x ინტერვალში (- π / 2 , π / 2).

სასაზღვრო მნიშვნელობები ± π / 2 უნდა გამოირიცხოს, რადგან tg (± π / 2) არ არსებობს.

1°. ინტერვალში (- π / 2 , π / 2) ფუნქცია tg xიზრდება.

2°. როგორიც არ უნდა იყოს რეალური რიცხვი k, ინტერვალში - - π / 2

რკალის x 1-ის არსებობა და უნიკალურობა ადვილია გადამოწმებული ნახაზი 13-ში წარმოდგენილი გეომეტრიული კონსტრუქციიდან.

ამრიგად, ინტერვალში (- π / 2, π / 2) ტანგენსი იზრდება და არგუმენტის ერთი მნიშვნელობით, აქვს თვითნებური მოცემული რეალური მნიშვნელობა. თვისებები 1° და 2° მოკლედ ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად:

ინტერვალში (- π / 2, π / 2) ტანგენსი იზრდება -∞-დან ∞-მდე.

როგორიც არ უნდა იყოს მოცემული (თვითნებურად დიდი) დადებითი რიცხვი N, ტანგენტის მნიშვნელობები N-ზე მეტია x-ზე ნაკლები π/2 მნიშვნელობებისთვის და საკმარისად ახლოს π/2-თან. სიმბოლურად ეს განცხადება ასე იწერება:

x მნიშვნელობებისთვის - π / 2-ზე მეტი და საკმარისად ახლოს - π / 2 y მნიშვნელობებისთვის tg x

* (ხშირად ისინი წერენ tan π / 2 = ∞ და ამბობენ, რომ π / 2 ტანგენტის მნიშვნელობა არის ∞. ამ განცხადებას ელემენტარული მათემატიკის კურსში მხოლოდ სასაცილო ანტიმეცნიერული იდეები შეიძლება მოჰყვეს. სიმბოლო ∞ არ არის რიცხვი და არ შეიძლება იყოს ფუნქციის მნიშვნელობა. ზუსტი მნიშვნელობა, რომელშიც უნდა იყოს გამოყენებული სიმბოლოები ±∞, განმარტებულია ტექსტში.)

ტანგენტის შემდგომი შესწავლა არასაჭიროა, რადგან ინტერვალის მნიშვნელობა (- π / 2, π / 2) უდრის π, ანუ ტანგენტის სრულ პერიოდს. ამიტომ, ნებისმიერ ინტერვალში (- π / 2 + π, π / 2 + π) ტანგენსი იზრდება -∞-დან ∞-მდე, ხოლო x = (2k+1)π / 2 წერტილებში აზრი აქვს. ტანგენტის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახაზზე 14.

ფუნქცია ctg x ინტერვალში (0, π), ისევე როგორც თითოეულ ინტერვალში (kπ, (k+1)π) მცირდება ∞-დან -∞-მდე, ხოლო x = kπ წერტილებში კოტანგენსი უაზროა. კოტანგენტური გრაფიკი ნაჩვენებია ნახაზზე 15.