დავიწყოთ ჩვენი საყვარელი კვადრატით.
მაგალითი 9
კვადრატული რთული რიცხვი
აქ შეგიძლიათ ორი გზით წახვიდეთ, პირველი გზა არის გადაწეროთ ხარისხი, როგორც ფაქტორების ნამრავლი და გავამრავლოთ რიცხვები მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით.
მეორე მეთოდი არის ცნობილი სკოლის ფორმულის გამოყენება შემოკლებული გამრავლებისთვის:
რთული რიცხვისთვის ადვილია გამოვყოთ საკუთარი შემოკლებული გამრავლების ფორმულა:
მსგავსი ფორმულა შეიძლება გამოვიტანოთ სხვაობის კვადრატისთვის, ასევე ჯამისა და სხვაობის კუბისთვის. მაგრამ ეს ფორმულები უფრო აქტუალურია რთული ანალიზის პრობლემებისთვის. რა მოხდება, თუ რთული რიცხვის აწევა გჭირდებათ, ვთქვათ, მე-5, მე-10 ან მე-100 ხარისხზე? გასაგებია, რომ ასეთი ხრიკის შესრულება ალგებრულ ფორმაში თითქმის შეუძლებელია, დაფიქრდით, როგორ გადაჭრით მაგალითს?
აქ კი რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა გამოდგება და ე.წ მოივრის ფორმულა: თუ რთული რიცხვი წარმოდგენილია ტრიგონომეტრიული ფორმით, მაშინ როდესაც ის ამაღლებულია ბუნებრივ ხარისხზე, მოქმედებს შემდეგი ფორმულა:
ეს უბრალოდ აღმაშფოთებელია.
მაგალითი 10
რთული რიცხვის გათვალისწინებით, იპოვეთ.
რა უნდა გაკეთდეს? პირველ რიგში, თქვენ უნდა წარმოადგინოთ ეს რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით. ყურადღებიანი მკითხველი შეამჩნევს, რომ მე-8 მაგალითში ჩვენ უკვე გავაკეთეთ ეს:
შემდეგ, მოივრის ფორმულის მიხედვით:
ღმერთმა ქნას, თქვენ არ გჭირდებათ კალკულატორის დათვლა, მაგრამ უმეტეს შემთხვევაში კუთხე უნდა გამარტივდეს. როგორ გავამარტივოთ? ფიგურალურად რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა განთავისუფლდეთ არასაჭირო მოხვევებისგან. ერთი რევოლუცია არის რადიანი ან 360 გრადუსი. მოდი გავარკვიოთ რამდენი ბრუნი გვაქვს კამათში. მოხერხებულობისთვის, ჩვენ წილადს სწორად ვაკეთებთ:, რის შემდეგაც აშკარად ჩანს, რომ შეგიძლიათ შეამციროთ ერთი რევოლუცია:. იმედია ყველას ესმის, რომ ეს იგივე კუთხეა.
ამრიგად, საბოლოო პასუხი ასე დაიწერება:
განზომილების ამოცანის ცალკე ვარიაციაა წმინდა წარმოსახვითი რიცხვების გაძლიერება.
მაგალითი 12
კომპლექსური რიცხვების გაზრდა ძალამდე
აქაც ყველაფერი მარტივია, მთავარია გავიხსენოთ ცნობილი თანასწორობა.
თუ წარმოსახვითი ერთეული გაიზარდა თანაბარ სიმძლავრემდე, მაშინ ამოხსნის ტექნიკა შემდეგია:
თუ წარმოსახვითი ერთეული კენტ სიმძლავრემდეა აყვანილი, მაშინ ჩვენ „ვაჭერთ“ ერთს „და“, ვიღებთ ლუწი სიმძლავრეს:
თუ არის მინუსი (ან რაიმე რეალური კოეფიციენტი), მაშინ ის ჯერ უნდა გამოიყოს:
ფესვების ამოღება რთული რიცხვებიდან. კვადრატული განტოლება რთული ფესვებით
მოდით შევხედოთ მაგალითს:
ფესვის ამოღება არ შეიძლება? თუ ვსაუბრობთ რეალურ რიცხვებზე, მაშინ ეს ნამდვილად შეუძლებელია. შესაძლებელია რთული რიცხვების ფესვის ამოღება! Უფრო ზუსტად, ორი root:
აღმოჩენილი ფესვები ნამდვილად გამოსავალია განტოლებისთვის? მოდით შევამოწმოთ:
რისი შემოწმებაც სჭირდებოდა.
ხშირად გამოიყენება შემოკლებული აღნიშვნა ორივე ძირი ერთ სტრიქონზე „იგივე სავარცხლის“ ქვეშ: .
ამ ფესვებს ასევე უწოდებენ რთული ფესვების შეერთება.
ვფიქრობ, ყველას ესმის, როგორ ამოიღოთ კვადრატული ფესვები უარყოფითი რიცხვებიდან: ,,, და ა.შ. ყველა შემთხვევაში გამოდის ორირთული ფესვების შეერთება.
დავიწყოთ ჩვენი საყვარელი კვადრატით.
მაგალითი 9
კვადრატული რთული რიცხვი
აქ შეგიძლიათ ორი გზით წახვიდეთ, პირველი გზა არის გადაწეროთ ხარისხი, როგორც ფაქტორების ნამრავლი და გავამრავლოთ რიცხვები მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით.
მეორე მეთოდი არის ცნობილი სკოლის ფორმულის გამოყენება შემოკლებული გამრავლებისთვის:
რთული რიცხვისთვის ადვილია გამოვყოთ საკუთარი შემოკლებული გამრავლების ფორმულა:
მსგავსი ფორმულა შეიძლება გამოვიტანოთ სხვაობის კვადრატისთვის, ასევე ჯამისა და სხვაობის კუბისთვის. მაგრამ ეს ფორმულები უფრო აქტუალურია რთული ანალიზის პრობლემებისთვის. რა მოხდება, თუ რთული რიცხვის აწევა გჭირდებათ, ვთქვათ, მე-5, მე-10 ან მე-100 ხარისხზე? გასაგებია, რომ ასეთი ხრიკის შესრულება ალგებრულ ფორმაში თითქმის შეუძლებელია, დაფიქრდით, როგორ გადაჭრით მაგალითს?
აქ კი რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა გამოდგება და ე.წ მოივრის ფორმულა: თუ რთული რიცხვი წარმოდგენილია ტრიგონომეტრიული ფორმით, მაშინ როდესაც ის ამაღლებულია ბუნებრივ ხარისხზე, მოქმედებს შემდეგი ფორმულა:
ეს უბრალოდ აღმაშფოთებელია.
მაგალითი 10
რთული რიცხვის გათვალისწინებით, იპოვეთ.
რა უნდა გაკეთდეს? პირველ რიგში, თქვენ უნდა წარმოადგინოთ ეს რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით. ყურადღებიანი მკითხველი შეამჩნევს, რომ მე-8 მაგალითში ჩვენ უკვე გავაკეთეთ ეს:
შემდეგ, მოივრის ფორმულის მიხედვით:
ღმერთმა ქნას, თქვენ არ გჭირდებათ კალკულატორის დათვლა, მაგრამ უმეტეს შემთხვევაში კუთხე უნდა გამარტივდეს. როგორ გავამარტივოთ? ფიგურალურად რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა განთავისუფლდეთ არასაჭირო მოხვევებისგან. ერთი რევოლუცია არის რადიანი ან 360 გრადუსი. მოდი გავარკვიოთ რამდენი ბრუნი გვაქვს კამათში. მოხერხებულობისთვის, ჩვენ წილადს სწორად ვაკეთებთ:, რის შემდეგაც აშკარად ჩანს, რომ შეგიძლიათ შეამციროთ ერთი რევოლუცია:. იმედია ყველას ესმის, რომ ეს იგივე კუთხეა.
ამრიგად, საბოლოო პასუხი ასე დაიწერება:
განზომილების ამოცანის ცალკე ვარიაციაა წმინდა წარმოსახვითი რიცხვების გაძლიერება.
მაგალითი 12
კომპლექსური რიცხვების გაზრდა ძალამდე
აქაც ყველაფერი მარტივია, მთავარია გავიხსენოთ ცნობილი თანასწორობა.
თუ წარმოსახვითი ერთეული გაიზარდა თანაბარ სიმძლავრემდე, მაშინ ამოხსნის ტექნიკა შემდეგია:
თუ წარმოსახვითი ერთეული კენტ სიმძლავრემდეა აყვანილი, მაშინ ჩვენ „ვაჭერთ“ ერთს „და“, ვიღებთ ლუწი სიმძლავრეს:
თუ არის მინუსი (ან რაიმე რეალური კოეფიციენტი), მაშინ ის ჯერ უნდა გამოიყოს:
ფესვების ამოღება რთული რიცხვებიდან. კვადრატული განტოლება რთული ფესვებით
მოდით შევხედოთ მაგალითს:
ფესვის ამოღება არ შეიძლება? თუ ვსაუბრობთ რეალურ რიცხვებზე, მაშინ ეს ნამდვილად შეუძლებელია. შესაძლებელია რთული რიცხვების ფესვის ამოღება! Უფრო ზუსტად, ორი root:
აღმოჩენილი ფესვები ნამდვილად გამოსავალია განტოლებისთვის? მოდით შევამოწმოთ:
რისი შემოწმებაც სჭირდებოდა.
ხშირად გამოიყენება შემოკლებული აღნიშვნა ორივე ძირი ერთ სტრიქონზე „იგივე სავარცხლის“ ქვეშ: .
ამ ფესვებს ასევე უწოდებენ რთული ფესვების შეერთება.
ვფიქრობ, ყველას ესმის, როგორ ამოიღოთ კვადრატული ფესვები უარყოფითი რიცხვებიდან: ,,, და ა.შ. ყველა შემთხვევაში გამოდის ორირთული ფესვების შეერთება.
მაგალითი 13
ამოხსენით კვადრატული განტოლება
მოდით გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი:
დისკრიმინანტი უარყოფითია და განტოლებას არ აქვს ამონახსნი რეალურ რიცხვებში. მაგრამ ფესვის ამოღება შესაძლებელია რთული რიცხვებით!
ცნობილი სასკოლო ფორმულების გამოყენებით ვიღებთ ორ ფესვს: – რთული ფესვების შეერთება
ამრიგად, განტოლებას აქვს ორი კონიუგირებული რთული ფესვი:
ახლა თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ ნებისმიერი კვადრატული განტოლება!
და ზოგადად, ნებისმიერ განტოლებას "n-ე" ხარისხის მრავალწევრთან აქვს თანაბარი ფესვები, რომელთაგან ზოგიერთი შეიძლება იყოს რთული.
მარტივი მაგალითი საკუთარი გადასაჭრელად:
მაგალითი 14
იპოვეთ განტოლების ფესვები და აკრიფეთ კვადრატული ორობითი.
ფაქტორიზაცია ისევ სტანდარტული სასკოლო ფორმულით ხორციელდება.
კალკულატორის გამოყენებით
გამოხატვის შესაფასებლად, თქვენ უნდა შეიყვანოთ სტრიქონი შესაფასებლად. რიცხვების შეყვანისას, გამყოფი მთელ რიცხვსა და წილადს შორის არის წერტილი. შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილები. კომპლექსურ რიცხვებზე მოქმედებებია გამრავლება (*), გაყოფა (/), შეკრება (+), გამოკლება (-), გაძლიერება (^) და სხვა. რთული რიცხვების დასაწერად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ექსპონენციალური და ალგებრული ფორმები. შეიყვანეთ წარმოსახვითი ერთეული მეშესაძლებელია გამრავლების ნიშნის გარეშე სხვა შემთხვევებში, გამრავლების ნიშანია საჭირო, მაგალითად, ფრჩხილებს შორის ან რიცხვსა და მუდმივობას შორის. ასევე შესაძლებელია მუდმივების გამოყენება: რიცხვი π შეიყვანება როგორც pi, მაჩვენებლის სახით ე, ინდიკატორში ნებისმიერი გამონათქვამი უნდა იყოს გარშემორტყმული ფრჩხილებით.
გაანგარიშების მაგალითი: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi), რომელიც შეესაბამება გამოთქმას \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]
კალკულატორს შეუძლია გამოიყენოს მუდმივები, მათემატიკური ფუნქციები, დამატებითი ოპერაციები და უფრო რთული გამონათქვამები, შეგიძლიათ გაეცნოთ ამ მახასიათებლებს ამ საიტზე კალკულატორების გამოყენების ზოგადი წესების გვერდზე.
საიტი მშენებლობის პროცესშია, ზოგიერთი გვერდი შეიძლება არ იყოს ხელმისაწვდომი.
სიახლეები
07.07.2016
დამატებულია კალკულატორი არაწრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისთვის: .
30.06.2016
საიტს აქვს საპასუხო დიზაინი, გვერდები ადეკვატურად არის ნაჩვენები როგორც დიდ მონიტორებზე, ასევე მობილურ მოწყობილობებზე.
სპონსორი
RGRONline.ru – ელექტროტექნიკის სამუშაოების მყისიერი გადაწყვეტა ონლაინ.
