និយមន័យស្តង់ដារ៖ "វ៉ិចទ័រគឺជាផ្នែកបន្ទាត់ដែលដឹកនាំ។" ជាធម្មតានេះគឺជាដែនកំណត់នៃចំណេះដឹងរបស់និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សាអំពីវ៉ិចទ័រ។ តើអ្នកណាត្រូវការប្រភេទនៃ "ផ្នែកដឹកនាំ" ខ្លះ?

ប៉ុន្តែ​តាម​ពិត តើ​វ៉ិចទ័រ​ជា​អ្វី ហើយ​ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​វា?
ការព្យាករណ៍​អាកាសធាតុ។ ខ្យល់​បក់​ពី​ទិស​ពាយ័ព្យ ល្បឿន ១៨ ម៉ែត្រ​ក្នុង​មួយ​វិនាទី។ យល់ស្រប ទិសដៅនៃខ្យល់ (កន្លែងដែលវាបក់មកពី) និងម៉ូឌុល (នោះគឺជាតម្លៃដាច់ខាត) នៃល្បឿនរបស់វាក៏សំខាន់ផងដែរ។

បរិមាណដែលមិនមានទិសដៅត្រូវបានគេហៅថា មាត្រដ្ឋាន។ ម៉ាស ការងារ បន្ទុកអគ្គីសនី មិនត្រូវបានដឹកនាំនៅកន្លែងណាទេ។ ពួកវាត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយតម្លៃលេខ - "ប៉ុន្មានគីឡូក្រាម" ឬ "ប៉ុន្មានជូល" ។

បរិមាណរូបវន្តដែលមិនត្រឹមតែមានតម្លៃដាច់ខាតប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានទិសដៅផងដែរ ត្រូវបានគេហៅថាបរិមាណវ៉ិចទ័រ។

ល្បឿន, កម្លាំង, ការបង្កើនល្បឿន - វ៉ិចទ័រ។ សម្រាប់ពួកគេវាមានសារៈសំខាន់ "ប៉ុន្មាន" ហើយវាសំខាន់ "កន្លែងណា" ។ ជាឧទាហរណ៍ ការបង្កើនល្បឿនធ្លាក់ចុះដោយសេរីគឺសំដៅទៅលើផ្ទៃផែនដី ហើយតម្លៃរបស់វាគឺ 9.8 m/s 2 ។ សន្ទុះ កម្លាំងវាលអគ្គិសនី អាំងឌុចស្យុងដែនម៉ាញេទិក ក៏ជាបរិមាណវ៉ិចទ័រផងដែរ។

អ្នកចាំថាបរិមាណរូបវន្តត្រូវបានតាងដោយអក្សរ ឡាតាំង ឬក្រិច។ សញ្ញាព្រួញខាងលើអក្សរបង្ហាញថាបរិមាណជាវ៉ិចទ័រ៖

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយទៀត។
រថយន្តកំពុងផ្លាស់ប្តូរពី A ទៅ B ។ លទ្ធផលចុងក្រោយគឺចលនារបស់វាពីចំណុច A ដល់ចំណុច B ពោលគឺចលនាដោយវ៉ិចទ័រ .

ឥឡូវនេះវាច្បាស់ហើយថាហេតុអ្វីបានជាវ៉ិចទ័រគឺជាផ្នែកដឹកនាំ។ យកចិត្តទុកដាក់ ចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រគឺជាកន្លែងដែលព្រួញ។ ប្រវែងវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាប្រវែងនៃផ្នែកនេះ។ កំណត់៖ ឬ

រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានធ្វើការជាមួយនឹងបរិមាណមាត្រដ្ឋាន យោងទៅតាមក្បួននព្វន្ធ និងពិជគណិតបឋម។ វ៉ិចទ័រគឺជាគំនិតថ្មី។ នេះគឺជាថ្នាក់មួយផ្សេងទៀតនៃវត្ថុគណិតវិទ្យា។ ពួកគេមានច្បាប់ផ្ទាល់ខ្លួន។

ម្តងនេះ យើងមិនដឹងសូម្បីតែលេខ។ ការស្គាល់គ្នាជាមួយពួកគេបានចាប់ផ្តើមនៅថ្នាក់បឋមសិក្សា។ វាបានប្រែក្លាយថាចំនួនអាចត្រូវបានប្រៀបធៀបជាមួយគ្នាទៅវិញទៅមក បូក ដក គុណ និងចែក។ យើងបានដឹងថាមានលេខមួយ និងលេខសូន្យ។
ឥឡូវនេះយើងស្គាល់វ៉ិចទ័រ។

គំនិតនៃ "ធំជាង" និង "តិចជាង" មិនមានសម្រាប់វ៉ិចទ័រទេ - បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ទិសដៅរបស់ពួកគេអាចខុសគ្នា។ អ្នកអាចប្រៀបធៀបប្រវែងវ៉ិចទ័រប៉ុណ្ណោះ។

ប៉ុន្តែគំនិតនៃសមភាពសម្រាប់វ៉ិចទ័រគឺ។
ស្មើគឺជាវ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែងដូចគ្នា និងទិសដៅដូចគ្នា។ នេះមានន័យថាវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានផ្លាស់ទីស្របទៅនឹងខ្លួនវាទៅចំណុចណាមួយនៅក្នុងយន្តហោះ។
នៅលីវត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែង 1 ។ សូន្យ - វ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែងស្មើនឹងសូន្យ ពោលគឺការចាប់ផ្តើមរបស់វាស្របគ្នានឹងចុងបញ្ចប់។

វាងាយស្រួលបំផុតក្នុងការធ្វើការជាមួយវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ - មួយដែលយើងគូរក្រាហ្វនៃមុខងារ។ ចំនុចនីមួយៗនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេត្រូវគ្នានឹងលេខពីរ - កូអរដោនេ x និង y របស់វា abscissa និង ordinate ។
វ៉ិចទ័រក៏ត្រូវបានផ្តល់ដោយកូអរដោនេពីរ៖

នៅទីនេះកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានសរសេរជាតង្កៀប - ក្នុង x និង y ។
ពួកវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរក៖ កូអរដោនេនៃចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រដកកូអរដោនេនៃការចាប់ផ្តើមរបស់វា។

ប្រសិនបើកូអរដោណេវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ប្រវែងរបស់វាត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ

មានវិធីពីរយ៉ាងក្នុងការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ។

១. ក្បួនតម្រៀប។ ដើម្បីបន្ថែមវ៉ិចទ័រ ហើយយើងដាក់ប្រភពដើមនៃទាំងពីរនៅចំណុចដូចគ្នា។ យើងបញ្ចប់ប្រលេឡូក្រាមហើយគូរអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមពីចំណុចដូចគ្នា។ នេះនឹងជាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ និង .

ចងចាំរឿងនិទានអំពី swan មហារីកនិង pike? ពួកគេបានព្យាយាមយ៉ាងខ្លាំង ប៉ុន្តែពួកគេមិនដែលរើរទេះនោះទេ។ បន្ទាប់ពីបានទាំងអស់ ផលបូកវ៉ិចទ័រនៃកម្លាំងដែលបានអនុវត្តដោយពួកវាទៅរទេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។

២. វិធីទីពីរដើម្បីបន្ថែមវ៉ិចទ័រគឺច្បាប់ត្រីកោណ។ ចូរយើងយកវ៉ិចទ័រដូចគ្នា និង . យើងបន្ថែមការចាប់ផ្តើមនៃទីពីរទៅចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រទីមួយ។ ឥឡូវនេះសូមភ្ជាប់ការចាប់ផ្តើមនៃទីមួយនិងចុងបញ្ចប់នៃទីពីរ។ នេះគឺជាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ និង .

តាមក្បួនដូចគ្នាអ្នកអាចបន្ថែមវ៉ិចទ័រជាច្រើន។ យើងភ្ជាប់ពួកវាម្តងមួយៗហើយបន្ទាប់មកភ្ជាប់ការចាប់ផ្តើមនៃទីមួយទៅចុងបញ្ចប់នៃចុងក្រោយ។

ស្រមៃថាអ្នកកំពុងធ្វើដំណើរពីចំណុច A ដល់ចំណុច B ពី B ទៅ C ពី C ទៅ D បន្ទាប់មកទៅ E ហើយបន្ទាប់មកទៅ F ។ លទ្ធផលចុងក្រោយនៃសកម្មភាពទាំងនេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូរពី A ទៅ F ។

នៅពេលបន្ថែមវ៉ិចទ័រហើយយើងទទួលបាន៖

ដកវ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​បាន​ដឹកនាំ​ផ្ទុយ​ទៅ​នឹង​វ៉ិចទ័រ។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនិងស្មើគ្នា។

ឥឡូវនេះវាច្បាស់ថាការដកវ៉ិចទ័រជាអ្វី។ ភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រ និងជាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ និងវ៉ិចទ័រ។

គុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ

ការគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ k នាំឱ្យវ៉ិចទ័រមានប្រវែង k ខុសពីប្រវែង។ វា​ត្រូវ​បាន​ដឹកនាំ​រួម​ជាមួយ​វ៉ិចទ័រ ប្រសិនបើ k ធំជាង​សូន្យ ហើយ​ដឹកនាំ​ផ្ទុយ​គ្នា​ប្រសិនបើ k តិចជាង​សូន្យ។

ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានគុណមិនត្រឹមតែដោយលេខប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏ដោយគ្នាទៅវិញទៅមកផងដែរ។

ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រគឺជាផលិតផលនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រ និងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។

យកចិត្តទុកដាក់ - យើងគុណនឹងវ៉ិចទ័រពីរ ហើយយើងទទួលបានមាត្រដ្ឋាន នោះគឺជាលេខ។ ឧទាហរណ៍ក្នុងរូបវិទ្យា ការងារមេកានិកគឺស្មើនឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រពីរ - កម្លាំង និងការផ្លាស់ទីលំនៅ៖

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រកាត់កែង ផលិតផលចំនុចគឺសូន្យ។
ហើយនេះជារបៀបដែលផលិតផលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ និង៖

ពីរូបមន្តសម្រាប់ផលិតផលមាត្រដ្ឋាន អ្នកអាចរកឃើញមុំរវាងវ៉ិចទ័រ៖

រូបមន្តនេះគឺមានភាពងាយស្រួលជាពិសេសនៅក្នុង stereometric ។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងបញ្ហាទី 14 នៃ Profile USE ក្នុងគណិតវិទ្យា អ្នកត្រូវស្វែងរកមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា ឬរវាងបន្ទាត់មួយ និងយន្តហោះ។ បញ្ហាទី 14 ជារឿយៗត្រូវបានដោះស្រាយលឿនជាងបញ្ហាបុរាណជាច្រើនដង។

នៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាផ្នែកគណិតវិទ្យា មានតែផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានសិក្សា។
វាប្រែថាបន្ថែមលើមាត្រដ្ឋានក៏មានផលិតផលវ៉ិចទ័រផងដែរនៅពេលដែលវ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានទទួលជាលទ្ធផលនៃការគុណវ៉ិចទ័រពីរ។ តើអ្នកណាដែលប្រឡងជាប់ផ្នែករូបវិទ្យា ដឹងថាកម្លាំង Lorentz និងកម្លាំងអំពែរជាអ្វី។ រូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកកម្លាំងទាំងនេះរួមបញ្ចូលផលិតផលវ៉ិចទ័រយ៉ាងពិតប្រាកដ។

វ៉ិចទ័រគឺជាឧបករណ៍គណិតវិទ្យាដ៏មានប្រយោជន៍។ អ្នកនឹងជឿជាក់លើរឿងនេះនៅក្នុងវគ្គសិក្សាដំបូង។

ជាបឋម វាចាំបាច់ក្នុងការផ្តាច់គំនិតនៃវ៉ិចទ័រ។ ដើម្បីណែនាំនិយមន័យនៃវ៉ិចទ័រធរណីមាត្រ ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវអ្វីដែលជាផ្នែក។ យើងណែនាំនិយមន័យដូចខាងក្រោម។

និយមន័យ ១

ចម្រៀកគឺជាផ្នែកមួយនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានព្រំដែនពីរក្នុងទម្រង់ជាចំណុច។

ផ្នែកអាចមាន 2 ទិសដៅ។ ដើម្បីចង្អុលបង្ហាញទិសដៅ យើងនឹងហៅព្រំដែនមួយនៃផ្នែកដែលចាប់ផ្តើមរបស់វា ហើយព្រំដែនផ្សេងទៀត - ចុងបញ្ចប់របស់វា។ ទិសដៅត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញពីការចាប់ផ្តើមរបស់វារហូតដល់ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។

និយមន័យ ២

វ៉ិចទ័រ ឬផ្នែកដឹកនាំ គឺជាផ្នែកដែលវាត្រូវបានគេដឹងថា ព្រំដែននៃផ្នែកណាមួយត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការចាប់ផ្តើម និងមួយណាជាចុងបញ្ចប់របស់វា។

កំណត់សម្គាល់៖ អក្សរពីរ៖ $\overline(AB)$ – (ដែល $A$ ជាការចាប់ផ្តើមរបស់វា និង $B$ ជាចុងបញ្ចប់របស់វា)។

ក្នុងអក្សរតូចមួយ៖ $\overline(a)$ (រូបភាពទី 1)។

ឥឡូវនេះយើងណែនាំដោយផ្ទាល់ គំនិតនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រ។

និយមន័យ ៣

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ $\overline(a)$ គឺជាប្រវែងនៃផ្នែក $a$ ។

កំណត់សម្គាល់៖ $|\overline(a)|$

គោលគំនិតនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានភ្ជាប់ជាឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងគោលគំនិតដូចជាសមភាពនៃវ៉ិចទ័រពីរ។

និយមន័យ ៤

វ៉ិចទ័រពីរនឹងត្រូវបានគេហៅថាស្មើគ្នាប្រសិនបើពួកគេបំពេញលក្ខខណ្ឌពីរ: 1. ពួកវាជា codirectional; 1. ប្រវែងរបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា (រូបភាព 2) ។

ដើម្បីកំណត់វ៉ិចទ័រ បញ្ចូលប្រព័ន្ធកូអរដោនេ និងកំណត់កូអរដោនេសម្រាប់វ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលបានបញ្ចូល។ ដូចដែលយើងដឹង វ៉ិចទ័រណាមួយអាចត្រូវបានពង្រីកជា $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ដែល $m$ និង $n$ ជាចំនួនពិត និង $\overline(i )$ និង $\overline(j)$ គឺជាវ៉ិចទ័រឯកតានៅលើអ័ក្ស $Ox$ និង $Oy$ រៀងគ្នា។

និយមន័យ ៥

មេគុណពង្រីកនៃវ៉ិចទ័រ $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ នឹងត្រូវបានគេហៅថាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលបានណែនាំ។ គណិតវិទ្យា៖

$\overline(c)=(m,n)$

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ?

ដើម្បីទាញយករូបមន្តសម្រាប់គណនាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័របំពានដែលបានផ្តល់កូអរដោនេរបស់វា សូមពិចារណាបញ្ហាខាងក្រោម៖

ឧទាហរណ៍ ១

បានផ្ដល់ឱ្យ៖ វ៉ិចទ័រ $\overline(α)$ ជាមួយកូអរដោនេ $(x,y)$ ។ ស្វែងរក៖ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនេះ។

ចូរយើងណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian $xOy$ នៅលើយន្តហោះ។ ដាក់ឡែក $\overline(OA)=\overline(a)$ ពីប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលបានណែនាំ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតការព្យាករណ៍ $OA_1$ និង $OA_2$ នៃវ៉ិចទ័រដែលបានសាងសង់នៅលើអ័ក្ស $Ox$ និង $Oy$ រៀងគ្នា (រូបភាព 3)។

វ៉ិចទ័រ $\overline(OA)$ ដែល​បង្កើត​ដោយ​យើង​នឹង​ជា​វ៉ិចទ័រ​កាំ​សម្រាប់​ចំណុច $A$ ដូច្នេះ​វា​នឹង​មាន​កូអរដោណេ $(x,y)$ ដែល​មាន​ន័យ​ថា

$=x$, $[OA_2]=y$

ឥឡូវនេះយើងអាចរកឃើញប្រវែងដែលចង់បានយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរយើងទទួលបាន

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

ចម្លើយ៖ $\sqrt(x^2+y^2)$។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ដើម្បីស្វែងរកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដែលកូអរដោនេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ អ្នកត្រូវស្វែងរកឫសនៃការ៉េនៃផលបូកនៃកូអរដោនេទាំងនេះ។

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ

ឧទាហរណ៍ ២

រកចំងាយរវាងចំនុច $X$ និង $Y$ ដែលមានកូអរដោនេដូចខាងក្រោមៈ $(-1,5)$ និង $(7,3)$ រៀងគ្នា។

ចំណុចទាំងពីរអាចទាក់ទងបានយ៉ាងងាយស្រួលជាមួយនឹងគោលគំនិតនៃវ៉ិចទ័រ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាវ៉ិចទ័រ $\overline(XY)$ ។ ដូចដែលយើងដឹងរួចមកហើយ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័របែបនេះអាចត្រូវបានរកឃើញដោយដកកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៃចំណុចចាប់ផ្តើម ($X$) ពីកូអរដោនេនៃចំណុចបញ្ចប់ ($Y$)។ យើងទទួលបាននោះ។

៦.៤. កម្មវិធីមួយចំនួននៃផលិតផលចំនុច

11. ការបញ្ចេញមតិនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេនៃកត្តា។ ទ្រឹស្តីបទ។

12. ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ ប្រវែងនៃផ្នែកមួយ មុំរវាងវ៉ិចទ័រ លក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ។

13. ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាម។

14. ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ លក្ខខណ្ឌនៃការប្រៀបធៀបវ៉ិចទ័រ។ បរិមាណនៃ parallelepiped ។ បរិមាណនៃពីរ៉ាមីត។

15. វិធីសាស្រ្តកំណត់បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ។

16. សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ (ដេរីវេ) ។ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃមេគុណ។

17. សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះជាផ្នែក (សេចក្តីសន្និដ្ឋាន) ។

ការកាត់បន្ថយសមីការទូទៅនៃយន្តហោះទៅជាសមីការនៃយន្តហោះជាផ្នែក។

18. សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងយន្តហោះដែលមានជម្រាល (ទិន្នផល) ។

19. សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះឆ្លងកាត់ពីរចំណុច (សេចក្តីសន្និដ្ឋាន) ។

20. មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះមួយ (សេចក្តីសន្និដ្ឋាន) ។

21. ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះ (ទិន្នផល)។

22. លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ (សេចក្តីសន្និដ្ឋាន)។

23. សមីការនៃយន្តហោះ។ សមីការធម្មតានៃយន្តហោះ (ដេរីវេ) ។ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃមេគុណ។

24. សមីការនៃយន្តហោះនៅក្នុងផ្នែក (សេចក្តីសន្និដ្ឋាន) ។

25. សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច (ទិន្នផល) ។

26. មុំរវាងយន្តហោះ (ទិន្នផល) ។

27. ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ (ទិន្នផល)។

28. លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃយន្តហោះ (សេចក្តីសន្និដ្ឋាន)។

29. សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុង r3 ។ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចថេរពីរ (ដេរីវេ) ។

30. សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ (ដេរីវេ) ។

ការចងក្រងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។

ករណីពិសេសនៃសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។

សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ។

ការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ ទៅប្រភេទផ្សេងទៀតនៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់។

31. មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ (ទិន្នផល) ។

32. ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះ (ទិន្នផល) ។

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ - ទ្រឹស្តី, ឧទាហរណ៍, ដំណោះស្រាយ។

វិធីដំបូងដើម្បីស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។

វិធីសាស្រ្តទីពីរដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាលើការស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ - ទ្រឹស្តី, ឧទាហរណ៍, ដំណោះស្រាយ។

វិធីដំបូងដើម្បីស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ក្នុងលំហ។

វិធីសាស្រ្តទីពីរដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងលំហ។

33. លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃបន្ទាត់ក្នុងលំហ។

34. ការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងលំហនិងបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយយន្តហោះ។

35. សមីការបុរាណនៃរាងពងក្រពើ (ដេរីវេ) និងការស្ថាបនារបស់វា។ សមីការ Canonical នៃពងក្រពើមានទម្រង់ តើចំនួនពិតវិជ្ជមាននៅឯណា លើសពីនេះទៅទៀត របៀបបង្កើតពងក្រពើ?

36. សមីការបុរាណនៃអ៊ីពែបូឡា (ដេរីវេ) និងការស្ថាបនារបស់វា។ រោគសញ្ញា។

37. សមីការ Canonical នៃ parabola (ដេរីវេ) និងសំណង់។

38. មុខងារ។ និយមន័យមូលដ្ឋាន។ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍បឋម។

39. លំដាប់លេខ។ ដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ។

40. បរិមាណតិច និងច្រើនគ្មានកំណត់។ ទ្រឹស្តីបទអំពីការតភ្ជាប់រវាងពួកវា លក្ខណៈសម្បត្តិ។

41. ទ្រឹស្តីបទស្តីពីសកម្មភាពលើអថេរដែលមានដែនកំណត់កំណត់។

42. លេខ e.

មាតិកា

វិធីសាស្រ្តកំណត់

ទ្រព្យសម្បត្តិ

រឿង

ការប៉ាន់ស្មាន

43. និយមន័យនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយ។ ការបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់។

44. ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ ការសន្និដ្ឋានរបស់ពួកគេ។ បរិមាណមិនកំណត់សមមូល។

មាតិកា

ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូង

ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរ

45. ដែនកំណត់ម្ខាង។ ភាពជាប់គាំងនិងភាពមិនដំណើរការនៃមុខងារ។ ដែនកំណត់ម្ខាង

ដែនកំណត់ខាងឆ្វេង និងស្តាំនៃមុខងារមួយ។

ចំណុចដាច់នៃប្រភេទទីមួយ

ចំណុចដាច់នៃប្រភេទទីពីរ

ចំណុចបំបែក

46. ​​​និយមន័យ​នៃ​ដេរីវេ។ អត្ថន័យធរណីមាត្រ, អត្ថន័យមេកានិចនៃដេរីវេ។ សមីការតង់សង់ និងធម្មតាសម្រាប់ខ្សែកោង និងចំណុចមួយ។

47. ទ្រឹស្ដីស្តីអំពីដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញបញ្ច្រាស។

48. ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋមដ៏សាមញ្ញបំផុត។

49. ភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ប៉ារ៉ាមេទ្រិច ប្រយោគ និងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

21. ភាពខុសគ្នានៃមុខងារដែលកំណត់ដោយប្រយោល និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

២១.១. មុខងារបង្កប់ន័យ

២១.២. មុខងារត្រូវបានកំណត់តាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

50. ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាង។ រូបមន្ត Taylor ។

51. ឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ការអនុវត្តឌីផេរ៉ង់ស្យែលទៅនឹងការគណនាប្រហាក់ប្រហែល។

52. ទ្រឹស្តីបទ Rolle, Lagrange, Cauchy ។ ច្បាប់របស់ L'Hopital ។

53. ទ្រឹស្តីបទស្តីពីលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ monotonicity នៃអនុគមន៍មួយ។

54. ការកំណត់អតិបរមា អប្បបរមានៃអនុគមន៍មួយ។ ទ្រឹស្តីបទស្តីពីលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត។

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរចាំបាច់)

55. ភាពប៉ោងនិង concavity នៃខ្សែកោង។ ចំណុចឆ្លង។ ទ្រឹស្តីបទស្តីពីលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃចំនុចបញ្ឆេះ។

ភស្តុតាង

57. ការកំណត់នៃលំដាប់ n-th, លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។

58. ម៉ាទ្រីសនិងសកម្មភាពលើពួកគេ។ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស។

និយមន័យ

និយមន័យដែលពាក់ព័ន្ធ

ទ្រព្យសម្បត្តិ

ការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរ និងចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស

59. ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ទ្រឹស្តីបទស្តីពីអត្ថិភាពនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

60. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ដំណោះស្រាយម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ក្បួនរបស់ Cramer ។ វិធីសាស្រ្ត Gauss ។ ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ។

ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ វិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយ ឧទាហរណ៍។

និយមន័យ គំនិត និយមន័យ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបឋមនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer ។

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស (ដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស)។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ទូទៅ។

ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ទូទៅ។

ការកត់ត្រាដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធពិជគណិតលីនេអ៊ែរដូចគ្នានិងមិនដូចគ្នា ដោយប្រើវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការកាត់បន្ថយទៅជា slough ។

ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាដែលកាត់បន្ថយដល់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។

1. និយមន័យនៃវ៉ិចទ័រមួយ។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ។ Collinearity, ភាពដូចគ្នានៃវ៉ិចទ័រ។

ផ្នែកដឹកនាំត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ។ ប្រវែង ឬម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រ គឺជាប្រវែងនៃផ្នែកដែលដឹកនាំដែលត្រូវគ្នា។

ម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រ កត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ។ វ៉ិចទ័រ កត្រូវបានគេហៅថាឯកវចនៈប្រសិនបើ។ វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា collinear ប្រសិន​បើ​ពួក​គេ​ស្រប​ទៅ​នឹង​បន្ទាត់​ដូច​គ្នា។ វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា coplanar ប្រសិនបើពួកវាស្របទៅនឹងយន្តហោះដូចគ្នា។

2. គុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ។ លក្ខណៈសម្បត្តិប្រតិបត្តិការ។

ការគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខផ្តល់ឱ្យវ៉ិចទ័រផ្ទុយគ្នាដែលវែងជាងពីរដង។ ការគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ គឺធ្វើឡើងដោយគុណកូអរដោនេទាំងអស់ដោយលេខនោះ៖

ផ្អែកលើនិយមន័យ កន្សោមមួយត្រូវបានទទួលសម្រាប់ម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រគុណនឹងលេខ៖

ដូចគ្នានឹងលេខដែរ ប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមវ៉ិចទ័រទៅខ្លួនវាអាចត្រូវបានសរសេរជាគុណនឹងលេខ៖

ហើយការដកវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញតាមរយៈការបូក និងគុណ៖

ដោយផ្អែកលើការពិតដែលថាការគុណនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនោះទេប៉ុន្តែគ្រាន់តែផ្លាស់ប្តូរទិសដៅនិងផ្តល់និយមន័យនៃវ៉ិចទ័រយើងទទួលបាន:

3. ការបូកនៃវ៉ិចទ័រ ការដកវ៉ិចទ័រ។

ក្នុង​ការ​តំណាង​កូអរដោណេ វ៉ិចទ័រ​ផល​បូក​ត្រូវ​បាន​ទទួល​ដោយ​ការ​បូក​សរុប​កូអរដោនេ​នៃ​ពាក្យ៖

ក្បួនផ្សេងៗ (វិធីសាស្រ្ត) ត្រូវបានប្រើដើម្បីសង់វ៉ិចទ័រផលបូកតាមធរណីមាត្រ ប៉ុន្តែពួកវាទាំងអស់ផ្តល់លទ្ធផលដូចគ្នា។ ការ​ប្រើ​ច្បាប់​នេះ​ឬ​ច្បាប់​នោះ​គឺ​ត្រឹមត្រូវ​តាម​រយៈ​ការ​ដោះស្រាយ​បញ្ហា។

ច្បាប់ត្រីកោណ

ច្បាប់​ត្រីកោណ​តាម​ធម្មជាតិ​បំផុត​ពី​ការ​យល់​វ៉ិចទ័រ​ជា​ការ​បកប្រែ។ វាច្បាស់ណាស់ថាលទ្ធផលនៃការអនុវត្តជាបន្តបន្ទាប់នៃការផ្ទេរពីរហើយនៅចំណុចខ្លះនឹងដូចគ្នានឹងការអនុវត្តនៃការផ្ទេរមួយក្នុងពេលតែមួយដែលត្រូវគ្នានឹងច្បាប់នេះ។ ដើម្បីបន្ថែមវ៉ិចទ័រពីរនិងយោងទៅតាមច្បាប់ ត្រីកោណវ៉ិចទ័រទាំងពីរនេះត្រូវបានផ្ទេរស្របទៅនឹងខ្លួនគេ ដូច្នេះការចាប់ផ្តើមនៃមួយក្នុងចំណោមពួកវាស្របគ្នាជាមួយនឹងចុងបញ្ចប់នៃផ្សេងទៀត។ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រផលបូកត្រូវបានផ្តល់ដោយផ្នែកទីបីនៃត្រីកោណដែលបានបង្កើតឡើង ហើយការចាប់ផ្តើមរបស់វាស្របគ្នានឹងការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រទីមួយ ហើយចុងបញ្ចប់ជាមួយនឹងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រទីពីរ។

ច្បាប់នេះមានលក្ខណៈទូទៅដោយផ្ទាល់ និងដោយធម្មជាតិទៅនឹងការបន្ថែមនៃចំនួនវ៉ិចទ័រណាមួយ ប្រែទៅជា បន្ទាត់ខូច:

ច្បាប់ពហុកោណ

ការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រទីពីរស្របគ្នានឹងចុងបញ្ចប់នៃទីមួយ ការចាប់ផ្តើមនៃទីបី - ជាមួយចុងបញ្ចប់នៃទីពីរ ហើយបន្តបន្ទាប់ ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រគឺជាវ៉ិចទ័រមួយ ដោយការចាប់ផ្តើមស្របគ្នានឹងការចាប់ផ្តើមនៃទីមួយ។ ហើយចុងបញ្ចប់ស្របគ្នានឹងចុងបញ្ចប់នៃទីមួយ (នោះគឺវាត្រូវបានពិពណ៌នាថាជាផ្នែកដឹកនាំដែលបិទបន្ទាត់ដែលខូច) ។ ហៅផងដែរថា បន្ទាត់ខូច។

ក្បួនតម្រៀប

ដើម្បីបន្ថែមវ៉ិចទ័រពីរនិងយោងទៅតាមច្បាប់ ប្រលេឡូក្រាមវ៉ិចទ័រទាំងពីរនេះត្រូវបានផ្ទេរស្របទៅនឹងខ្លួនពួកគេ ដូច្នេះប្រភពដើមរបស់វាស្របគ្នា។ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រផលបូកត្រូវបានផ្តល់ដោយអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានបង្កើតឡើងនៅលើពួកវាដែលមកពីប្រភពដើមទូទៅរបស់ពួកគេ។ (វាងាយស្រួលមើលថាអង្កត់ទ្រូងនេះគឺដូចគ្នានឹងជ្រុងទីបីនៃត្រីកោណនៅពេលប្រើក្បួនត្រីកោណ) ។

ច្បាប់ប៉ារ៉ាឡែលគឺងាយស្រួលជាពិសេសនៅពេលដែលមានតម្រូវការក្នុងការពណ៌នាវ៉ិចទ័រផលបូកភ្លាមៗដែលភ្ជាប់ទៅចំណុចដូចគ្នាដែលពាក្យទាំងពីរត្រូវបានភ្ជាប់ - នោះគឺដើម្បីពណ៌នាវ៉ិចទ័រទាំងបីមានប្រភពដើមរួម។

ម៉ូឌុលផលបូកវ៉ិចទ័រ

ម៉ូឌុលនៃផលបូកនៃវ៉ិចទ័រពីរអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើ ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស:

តើកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រនៅឯណា។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានគូរដោយអនុលោមតាមច្បាប់ត្រីកោណ ហើយមុំមួយត្រូវបានគេយកតាមរូប - រវាងជ្រុងនៃត្រីកោណ - ដែលមិនស្របគ្នានឹងនិយមន័យធម្មតានៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រ ដូច្នេះហើយជាមួយនឹងមុំខាងលើ រូបមន្ត បន្ទាប់មកពាក្យចុងក្រោយទទួលបានសញ្ញាដក ដែលត្រូវនឹងទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសនៅក្នុងពាក្យផ្ទាល់របស់វា។

សម្រាប់ផលបូកនៃចំនួនវ៉ិចទ័របំពានរូបមន្តស្រដៀងគ្នាគឺអាចអនុវត្តបាន ដែលក្នុងនោះមានពាក្យជាច្រើនទៀតជាមួយកូស៊ីនុស៖ ពាក្យបែបនេះមានសម្រាប់គូវ៉ិចទ័រនីមួយៗពីសំណុំសរុប។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់វ៉ិចទ័របី រូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖

ដកវ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័រពីរ និងវ៉ិចទ័រខុសគ្នា

ដើម្បីទទួលបានភាពខុសគ្នានៅក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ ដកកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រ៖

ដើម្បីទទួលបានវ៉ិចទ័រខុសគ្នា ការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានភ្ជាប់ ហើយការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រនឹងជាចុងបញ្ចប់ ហើយចុងបញ្ចប់នឹងជាចុងបញ្ចប់។ ប្រសិនបើសរសេរដោយប្រើចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ។

ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័របីដូចបន្ថែមលើនេះ បង្កើតជាត្រីកោណ ហើយកន្សោមសម្រាប់ម៉ូឌុលខុសគ្នាគឺស្រដៀងគ្នា៖

តើកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រនៅឯណា

ភាពខុសគ្នាពីរូបមន្តម៉ូឌុលផលបូកនៅក្នុងសញ្ញានៅពីមុខកូស៊ីនុស ខណៈពេលដែលវាចាំបាច់ដើម្បីត្រួតពិនិត្យដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវមុំមួយណាដែលត្រូវយក (បំរែបំរួលនៃរូបមន្តម៉ូឌុលផលបូកជាមួយនឹងមុំរវាងជ្រុងនៃត្រីកោណ នៅពេលបូកសរុបយោងទៅតាម ច្បាប់ត្រីកោណ មិនខុសគ្នាពីរូបរាងពីរូបមន្តនេះសម្រាប់ម៉ូឌុលខុសគ្នាទេ ប៉ុន្តែអ្នកត្រូវតែមានមានន័យថា មុំផ្សេងគ្នាត្រូវបានយកសម្រាប់នៅទីនេះ៖ ក្នុងករណីផលបូក មុំត្រូវបានយកនៅពេលដែលវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្ទេរទៅចុងបញ្ចប់នៃ វ៉ិចទ័រ នៅពេលដែលគំរូភាពខុសគ្នាត្រូវបានស្វែងរក មុំរវាងវ៉ិចទ័រដែលបានអនុវត្តទៅចំណុចមួយត្រូវបានយក កន្សោមសម្រាប់ម៉ូឌុលផលបូកដោយប្រើមុំដូចគ្នានឹងកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នា ខុសគ្នានៅក្នុងសញ្ញានៅពីមុខសញ្ញា កូស៊ីនុស) ។

"

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ a → នឹងត្រូវបានតាងដោយ a → . ការសម្គាល់នេះគឺស្រដៀងទៅនឹងម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយ ដូច្នេះប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រក៏ត្រូវបានគេហៅថាម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រផងដែរ។

ដើម្បី​ស្វែង​រក​ប្រវែង​វ៉ិចទ័រ​នៅ​លើ​យន្តហោះ​ដោយ​កូអរដោណេ​របស់​វា វា​តម្រូវ​ឱ្យ​ពិចារណា​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ Cartesian រាង​ចតុកោណ​ O x y ។ អនុញ្ញាតឱ្យវាមានវ៉ិចទ័រមួយចំនួន a → ជាមួយកូអរដោនេ a x ; មួយ y ។ យើងណែនាំរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែង (ម៉ូឌុល) នៃវ៉ិចទ័រ a → ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេ a x និង a y ។

កំណត់វ៉ិចទ័រ O A → = a → ពីប្រភពដើម។ ចូរកំណត់ការព្យាករដែលត្រូវគ្នានៃចំណុច A ទៅលើអ័ក្សកូអរដោនេជា A x និង A y ។ ឥឡូវពិចារណាចតុកោណកែង O A x A A y ជាមួយអង្កត់ទ្រូង O A ។

ពីទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ធ្វើតាមសមភាព O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , ពេលណា O A = O A x 2 + O A y 2 ។ ពីនិយមន័យដែលបានស្គាល់រួចមកហើយនៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ចតុកោណយើងទទួលបាន O A x 2 = a x 2 និង O A y 2 = a y 2 ហើយដោយការសាងសង់ប្រវែង O A គឺស្មើនឹងប្រវែងនៃ វ៉ិចទ័រ O A → , ដូច្នេះ O A → = O A x 2 + O A y 2 ។

ដូច្នេះវាប្រែថា រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ a → = a x ; a y មានទម្រង់ដែលត្រូវគ្នា៖ a → = a x 2 + a y 2 ។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ a → ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យជាការពង្រីកនៅក្នុងកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ a → = a x i → + a y j → នោះប្រវែងរបស់វាអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តដូចគ្នា a → = a x 2 + a y 2 ក្នុងករណីនេះមេគុណ a x និង a y គឺ ជាកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រ a → នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍ ១

គណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រ a → = 7 ; e បានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។

ដំណោះស្រាយ

ដើម្បីស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ យើងនឹងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោណេ a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

ចម្លើយ៖ a → = 49 + អ៊ី។

រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ a → = a x ; a y ; a z ដោយសំរបសំរួលរបស់វានៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian Oxyz ក្នុងលំហ ត្រូវបានគេយកមកស្រដៀងនឹងរូបមន្តសម្រាប់ករណីនៅលើយន្តហោះ (សូមមើលរូបខាងក្រោម)

ក្នុងករណីនេះ O A 2 \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (ចាប់តាំងពី OA គឺជាអង្កត់ទ្រូងនៃរាងចតុកោណ parallelepiped) ដូច្នេះ O A \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 ។ ពីនិយមន័យនៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ យើងអាចសរសេរសមភាពដូចខាងក្រោម O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; ហើយប្រវែងនៃ OA គឺស្មើនឹងប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដែលយើងកំពុងស្វែងរក ដូច្នេះ O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 ។

វាធ្វើតាមប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ a → = a x ; a y ; a z ស្មើនឹង a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ។

ឧទាហរណ៍ ២

គណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រ a → = 4 i → − 3 j → + 5 k → , ដែល i → , j → , k → គឺជាវ៉ិចទ័រឯកតានៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។

ដំណោះស្រាយ

ដែលបានផ្តល់ឱ្យការរលាយនៃវ៉ិចទ័រ a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → កូអរដោនេរបស់វាគឺ a → = 4 , - 3 , 5 ។ ដោយប្រើរូបមន្តខាងលើ យើងទទួលបាន a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + ( − 3 ) 2 + 5 2 = 5 2 ។

ចម្លើយ៖ a → = 5 ២ .

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេនៃចំណុចចាប់ផ្តើម និងចំណុចបញ្ចប់របស់វា។

ខាងលើ រូបមន្តត្រូវបានទាញយកដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោនេរបស់វា។ យើងបានពិចារណាករណីនៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហបីវិមាត្រ។ ចូរយើងប្រើពួកវាដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោនេនៃចំណុចចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់របស់វា។

ដូច្នេះចំនុចដែលមានកូអរដោណេដែលបានផ្តល់ឱ្យ A (a x; a y) និង B (b x; b y) ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ A B → មានកូអរដោនេ (b x - a x; b y - a y) ដែលមានន័យថាប្រវែងរបស់វាអាចត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖ A B → = ( ​​b x − a x) 2 + ( b y − a y ) ២

ហើយប្រសិនបើចំនុចដែលមានកូអរដោណេដែលបានផ្តល់ឱ្យ A (a x; a y; a z) និង B (b x; b y; b z) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងចន្លោះបីវិមាត្រ នោះប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ A B → អាចគណនាដោយរូបមន្ត

A B → = (b x − a x) 2 + (b y − a y) 2 + (b z − a z) 2

ឧទាហរណ៍ ៣

រកប្រវែងវ៉ិចទ័រ A B → ប្រសិនបើនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ A 1 , 3 , B - 3 , 1 ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រពីកូអរដោនេនៃចំណុចចាប់ផ្តើម និងចំណុចបញ្ចប់នៅលើយន្តហោះ យើងទទួលបាន A B → = (b x − a x) 2 + ( b y − a y ) 2 : A B → = ( ​​− 3 − 1 ) 2 + (1 − 3) 2 = 20 − 2 3 .

ដំណោះស្រាយទីពីរបង្កប់ន័យការអនុវត្តរូបមន្តទាំងនេះនៅក្នុងវេន: A B → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3); A B → = (− 4) 2 + (1 − 3) 2 = 20 − 2 3 . -

ចម្លើយ៖ A B → = 20 − 2 3 .

ឧទាហរណ៍ 4

កំណត់តម្លៃនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រ A B → ស្មើនឹង 30 ប្រសិនបើ A (0 , 1 , 2); ខ (5 , 2 , λ 2) ។

ដំណោះស្រាយ

ដំបូងយើងសរសេរប្រវែងវ៉ិចទ័រ A B → តាមរូបមន្ត៖ A B → = (b x − a x) 2 + (b y − a y) 2 + (b z − a z) 2 = (5 − 0) 2 + (2 − 1) 2 + (λ 2 − 2) 2 = 26 + (λ 2 − 2) 2

បន្ទាប់មកយើងយកកន្សោមលទ្ធផលទៅ 30 ពីទីនេះយើងរកឃើញ λ ដែលចង់បាន៖

26 + (λ 2 − 2) 2 = 30 26 + (λ 2 − 2) 2 = 30 (λ 2 − 2) 2 = 4 λ 2 − 2 = 2 និង l និង λ 2 − 2 = − 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 ។

ចម្លើយ៖ λ 1 \u003d - 2, λ 2 \u003d 2, λ 3 \u003d 0 ។

ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយប្រើច្បាប់នៃកូស៊ីនុស

Alas កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រមិនតែងតែត្រូវបានដឹងនៅក្នុងកិច្ចការទេ ដូច្នេះសូមពិចារណាវិធីផ្សេងទៀតដើម្បីស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រពីរ A B → , A C → និងមុំរវាងពួកវា (ឬកូស៊ីនុសនៃមុំ) ហើយវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ B C → ឬ C B → ។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកគួរប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសក្នុងត្រីកោណ △ A B C គណនាប្រវែងចំហៀង B C ដែលស្មើនឹងប្រវែងវ៉ិចទ័រដែលចង់បាន។

ចូរយើងពិចារណាករណីបែបនេះក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ 5

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ A B → និង A C → ស្មើនឹង 3 និង 7 រៀងគ្នា ហើយមុំរវាងពួកវាស្មើនឹង π 3 ។ គណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រ B C → .

ដំណោះស្រាយ

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ B C → ក្នុងករណីនេះស្មើនឹងប្រវែងចំហៀង B C នៃត្រីកោណ △ A B C ។ ប្រវែងនៃជ្រុង A B និង A C នៃត្រីកោណត្រូវបានគេដឹងពីលក្ខខណ្ឌ (ពួកវាស្មើនឹងប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដែលត្រូវគ្នា) មុំរវាងពួកវាក៏ត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរ ដូច្នេះយើងអាចប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសបាន៖ B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 A B A C cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 − 2 3 7 cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 ដូចេនះ B C → = 37 ។

ចម្លើយ៖ B C → = 37 .

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោណេ មានរូបមន្តដូចខាងក្រោម a → = a x 2 + a y 2 ឬ a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 យោងទៅតាមកូអរដោណេនៃចំនុចដើម និងចុង នៃវ៉ិចទ័រ A B → = (b x − a x) 2 + ( b y − a y ) 2 ឬ A B → = ( ​​b x − a x ) 2 + ( b y − a y ) 2 + ( b z − a z ) 2 ក្នុងករណីខ្លះទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស គួរតែត្រូវបានប្រើ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

អុកសុី

អំពី ក អូអេ.

កន្លែងណា អូអេ .

ដូច្នេះ .

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ដំណោះស្រាយ។

:

ចម្លើយ៖

អុកហ្សីនៅក្នុងលំហ។

ក អូអេនឹងជាអង្កត់ទ្រូង។

ក្នុងករណីនេះ (ដោយសារតែ អូអេ អូអេ .

ដូច្នេះ ប្រវែងវ៉ិចទ័រ .

ឧទាហរណ៍។

គណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រ

ដំណោះស្រាយ។

ដូច្នេះ,

ចម្លើយ៖

បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ

សមីការទូទៅ

អ័ក្ស + ដោយ + C (> 0) ។

វ៉ិចទ័រ = (A; B)គឺជាវ៉ិចទ័របន្ទាត់ធម្មតា។

ក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រ៖ + C = 0កន្លែងដែលជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចបំពាននៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ (រូបភាព 4.11) ។

ករណីពិសេស៖

1) ដោយ + C = 0- បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស គោ;

2) អ័ក្ស+C=0- បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូ;

3) អ័ក្ស + ដោយ = 0- បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម;

4) y=0- អ័ក្ស គោ;

5) x=0- អ័ក្ស អូ.

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក

កន្លែងណា ក, ខ- ទំហំនៃផ្នែកកាត់ដោយបន្ទាត់ត្រង់នៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ។

សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់(រូបភាព ៤.១១)

តើមុំបង្កើតជាធម្មតាទៅបន្ទាត់ និងអ័ក្សត្រង់ណា គោ; ទំគឺជាចម្ងាយពីប្រភពដើមនៃកូអរដោនេទៅបន្ទាត់។

ការនាំយកសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅជាទម្រង់ធម្មតា៖

នេះគឺជាកត្តាធម្មតានៃបន្ទាត់ផ្ទាល់; សញ្ញាត្រូវបានជ្រើសរើសផ្ទុយទៅនឹងសញ្ញា គប្រសិនបើ និងតាមអំពើចិត្ត ប្រសិនបើ C=0.

ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោនេ។

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនឹងត្រូវបានតាងដោយ . ដោយសារសញ្ញាណនេះ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានសំដៅជាញឹកញាប់ថាជាម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រ។

ចូរចាប់ផ្តើមដោយការស្វែងរកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះដោយកូអរដោនេ។

យើងណែនាំនៅលើយន្តហោះនូវប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian រាងចតុកោណ អុកសុី. សូមឱ្យវ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងវាហើយវាមានកូអរដោនេ។ ចូរយើងទទួលបានរូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រតាមរយៈកូអរដោណេ និង .

កំណត់ឡែកពីប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ (ពីចំណុច អំពី) វ៉ិចទ័រ។ បង្ហាញពីការព្យាករណ៍នៃចំណុច កនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ និងរៀងៗខ្លួន ហើយពិចារណាចតុកោណកែងដែលមានអង្កត់ទ្រូង អូអេ.

ដោយគុណធម៌នៃទ្រឹស្តីបទ Pythagorean សមភាព កន្លែងណា . ពីនិយមន័យនៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ យើងអាចអះអាងបានថា និង , និងដោយការសាងសង់ ប្រវែង អូអេគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ ដូច្នេះ .

ដូច្នេះ រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រនៅក្នុងកូអរដោនេរបស់វានៅលើយន្តហោះមានទម្រង់ .

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានតំណាងថាជា decomposition ក្នុងវ៉ិចទ័រកូអរដោណេ បន្ទាប់មកប្រវែងរបស់វាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្តដូចគ្នា។ ចាប់តាំងពីក្នុងករណីនេះ មេគុណ និងជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកូអរដោនេ Cartesian ។

ដំណោះស្រាយ។

អនុវត្តរូបមន្តភ្លាមៗដើម្បីស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោនេ :

ចម្លើយ៖

ឥឡូវនេះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ ដោយកូអរដោនេរបស់វានៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ អុកហ្សីនៅក្នុងលំហ។

ញែកវ៉ិចទ័រចេញពីប្រភពដើម ហើយបញ្ជាក់ការព្យាករនៃចំណុច កនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេក៏ដូចជា . បន្ទាប់មកយើងអាចសាងសង់នៅលើជ្រុងនិងរាងចតុកោណ parallelepiped ដែលក្នុងនោះ អូអេនឹងជាអង្កត់ទ្រូង។

ក្នុងករណីនេះ (ដោយសារតែ អូអេគឺជាអង្កត់ទ្រូងនៃរាងចតុកោណ parallelepiped) មកពីណា . ការកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមភាព និងប្រវែង អូអេគឺស្មើនឹងប្រវែងដែលចង់បាននៃវ៉ិចទ័រ ដូច្នេះ .

ដូច្នេះ ប្រវែងវ៉ិចទ័រ ក្នុងលំហគឺស្មើនឹងឫសការ៉េនៃផលបូកនៃការ៉េនៃកូអរដោនេរបស់វា។នោះគឺត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត .

ឧទាហរណ៍។

គណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រ តើប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណកែងស្ថិតនៅត្រង់ណា។

ដំណោះស្រាយ។

យើង​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នូវ​ការ​ពង្រីក​នៃ​វ៉ិចទ័រ​មួយ​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​កូអរដោណេ​នៃ​ទម្រង់ ដូច្នេះ, . បន្ទាប់មក យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោណេ យើងមាន .