- កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានគណនា;
- តាមរយៈការបន្ថែមពិជគណិត ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 ត្រូវបានរកឃើញ;
- គំរូដំណោះស្រាយត្រូវបានបង្កើតក្នុង Excel;
ការណែនាំ។ ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស វាចាំបាច់ក្នុងការបញ្ជាក់វិមាត្រនៃម៉ាទ្រីស។ បន្ទាប់មក នៅក្នុងប្រអប់ថ្មី បំពេញម៉ាទ្រីស A និងវ៉ិចទ័រលទ្ធផល B ។
សូមមើលផងដែរ ដំណោះស្រាយនៃសមីការម៉ាទ្រីស។ក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយ
- កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានគណនា។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់គឺសូន្យ នោះចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយ។ ប្រព័ន្ធនេះមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។
- នៅពេលដែលកត្តាកំណត់ខុសពីសូន្យ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 ត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈការបន្ថែមពិជគណិត។
- វ៉ិចទ័រការសម្រេចចិត្ត X =(x 1 , x 2 , ... , x n ) ត្រូវបានទទួលដោយការគុណម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយវ៉ិចទ័រលទ្ធផល B ។
ការបន្ថែមពិជគណិត។
| A 1.1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2.1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2.2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2.3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3.1 = (−1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = −21 / −21 = 1
x 2 = 0 / −21 = 0
x 3 = −21 / −21 = 1
ការប្រឡង៖
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
ប្រធានបទ 2. ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។
គំនិតជាមូលដ្ឋាន។
និយមន័យ ១. ប្រព័ន្ធ មសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់គឺជាប្រព័ន្ធនៃទម្រង់៖
កន្លែងណានិងជាលេខ។
និយមន័យ ២. ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (I) គឺជាសំណុំនៃមិនស្គាល់ ដែលនៅក្នុងសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធនេះប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ។
និយមន័យ ៣. ប្រព័ន្ធ (I) ត្រូវបានគេហៅថា រួមប្រសិនបើវាមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ និង មិនឆបគ្នា។ប្រសិនបើវាមិនមានដំណោះស្រាយ។ ប្រព័ន្ធរួមគ្នាត្រូវបានគេហៅថា ជាក់លាក់ប្រសិនបើវាមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ និង មិនប្រាកដប្រជាបើមិនដូច្នេះទេ
និយមន័យ ៤. ប្រភេទសមីការ
បានហៅ សូន្យនិងសមីការនៃទម្រង់
បានហៅ មិនឆបគ្នា។. ជាក់ស្តែង ប្រព័ន្ធសមីការដែលមានសមីការមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ។
និយមន័យ ៥. ប្រព័ន្ធទាំងពីរនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា សមមូលប្រសិនបើរាល់ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធមួយគឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធមួយទៀត ហើយផ្ទុយទៅវិញរាល់ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទីពីរគឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទីមួយ។
សញ្ញាណម៉ាទ្រីសសម្រាប់ប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ។
ពិចារណាប្រព័ន្ធ (I) (សូមមើល§1) ។
បញ្ជាក់៖
ម៉ាទ្រីសមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់
ម៉ាទ្រីស - ជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ
ម៉ាទ្រីស - ជួរឈរនៃមិនស្គាល់
.
និយមន័យ ១.ម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ(I) ហើយម៉ាទ្រីសគឺជាម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ (I)។
តាមនិយមន័យនៃសមភាពម៉ាទ្រីស ប្រព័ន្ធ (I) ត្រូវគ្នាទៅនឹងសមភាពម៉ាទ្រីស៖
.
ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពនេះដោយនិយមន័យនៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស ( សូមមើលនិយមន័យ 3 § 5 ជំពូក 1) អាចត្រូវបានធ្វើជាកត្តា:
, i.e.
សមភាព (2) បានហៅ ការសម្គាល់ម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ (I).
ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer ។
អនុញ្ញាតឱ្យចូលទៅក្នុងប្រព័ន្ធ (I) (សូមមើល§1) m=n, i.e. ចំនួនសមីការគឺស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់ ហើយម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺ nondegenerate, i.e. . បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធ (I) ពី§1 មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់
កន្លែងណា ∆ = ដេត កហៅថាមេ ការកំណត់ប្រព័ន្ធ(I), ∆ ខ្ញុំទទួលបានពីកត្តាកំណត់ Δ ដោយជំនួស ខ្ញុំ-th column ទៅជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃនៃប្រព័ន្ធ (I) ។
ឧទាហរណ៍៖ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer៖
.
ដោយរូបមន្ត (3)
.
យើងគណនាកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ៖
,
,
.
ដើម្បីទទួលបានកត្តាកំណត់ យើងបានជំនួសជួរឈរទីមួយនៅក្នុងកត្តាកំណត់ដោយជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ ការជំនួសជួរឈរទី 2 នៅក្នុងការកំណត់ដោយជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃយើងទទួលបាន ; ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ការជំនួសជួរឈរទី 3 នៅក្នុងការកំណត់ដោយជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ យើងទទួលបាន។ ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖
ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។
អនុញ្ញាតឱ្យចូលទៅក្នុងប្រព័ន្ធ (I) (សូមមើល§1) m=nហើយម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺមិនខូចទ្រង់ទ្រាយទេ។ យើងសរសេរប្រព័ន្ធ (I) ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ( សូមមើល§២):
ដោយសារតែ ម៉ាទ្រីស កគឺមិនខូចទ្រង់ទ្រាយ បន្ទាប់មកវាមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ( សូមមើលទ្រឹស្តីបទ 1 §6 នៃជំពូកទី 1) គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ (2) ទៅម៉ាទ្រីសបន្ទាប់មក
តាមនិយមន័យនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ពីសមភាព (3) យើងមាន
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស
.
បញ្ជាក់
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ (§ 3) យើងបានគណនាកត្តាកំណត់ ដូច្នេះម៉ាទ្រីស កមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ បន្ទាប់មកជាធរមាន (4) , i.e.
. (5)
ស្វែងរកម៉ាទ្រីស ( សូមមើល§6 ជំពូក 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
វិធីសាស្រ្ត Gauss ។
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ:
. (ខ្ញុំ)
វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ (I) ឬដើម្បីធ្វើឱ្យប្រាកដថាប្រព័ន្ធមិនជាប់លាប់។
និយមន័យ ១.ចូរយើងហៅការផ្លាស់ប្តូរបឋមនៃប្រព័ន្ធ(I) សកម្មភាពណាមួយនៃសកម្មភាពទាំងបី៖
1) ការលុបសមីការសូន្យ;
2) ការបន្ថែមទៅផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ ផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមីការផ្សេងទៀត គុណនឹងលេខ l;
3) ការផ្លាស់ប្តូរពាក្យនៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធដើម្បីឱ្យមិនស្គាល់ដែលមានលេខដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងអស់កាន់កាប់កន្លែងដូចគ្នាពោលគឺឧ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទី 1 យើងបានផ្លាស់ប្តូរពាក្យទី 2 និងទី 3 នោះត្រូវធ្វើដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ។
វិធីសាស្ត្រ Gauss មាននៅក្នុងការពិតដែលថាប្រព័ន្ធ (I) ដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរបឋមត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធសមមូលដំណោះស្រាយដែលត្រូវបានរកឃើញដោយផ្ទាល់ឬភាពមិនអាចដោះស្រាយបានរបស់វាត្រូវបានបង្កើតឡើង។
ដូចដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុង§2 ប្រព័ន្ធ (I) ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេសដោយម៉ាទ្រីសពង្រីករបស់វា ហើយការបំប្លែងបឋមនៃប្រព័ន្ធ (I) ទាក់ទងទៅនឹងការបំប្លែងបឋមនៃម៉ាទ្រីសបន្ថែម៖
.
ការផ្លាស់ប្តូរ 1) ត្រូវគ្នាទៅនឹងការលុបជួរដេកសូន្យក្នុងម៉ាទ្រីស ការបំប្លែង 2) គឺស្មើនឹងការបន្ថែមទៅជួរដេកដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីស ជួរដេកផ្សេងទៀតរបស់វាគុណនឹងលេខ l ការបំលែង 3) គឺស្មើនឹងការរៀបចំជួរឈរឡើងវិញនៅក្នុងម៉ាទ្រីស។
វាងាយមើលឃើញថា ផ្ទុយទៅវិញ ការបំប្លែងបឋមនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសត្រូវគ្នាទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរបឋមនៃប្រព័ន្ធ (I)។ នៅក្នុងទិដ្ឋភាពនៃអ្វីដែលបាននិយាយជំនួសឱ្យប្រតិបត្តិការជាមួយប្រព័ន្ធ (I) យើងនឹងធ្វើការជាមួយម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធនេះ។
នៅក្នុងម៉ាទ្រីស ជួរឈរទី 1 មានមេគុណនៅ x ១, ជួរទី 2 - ពីមេគុណនៅ x ២ល។ នៅក្នុងករណីនៃការរៀបចំឡើងវិញនៃជួរឈរវាគួរតែត្រូវបានយកទៅក្នុងគណនីដែលលក្ខខណ្ឌនេះត្រូវបានរំលោភបំពាន។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងប្តូរជួរឈរទី 1 និងទី 2 នោះឥឡូវនេះនៅក្នុងជួរទី 1 នឹងមានមេគុណនៅ x ២ហើយនៅក្នុងជួរទី 2 - មេគុណនៅ x ១.
យើងនឹងដោះស្រាយប្រព័ន្ធ (I) ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។
1. កាត់ជួរសូន្យទាំងអស់នៅក្នុងម៉ាទ្រីស ប្រសិនបើមាន (ឧ. កាត់សមីការសូន្យទាំងអស់នៅក្នុងប្រព័ន្ធ (I)។
2. ពិនិត្យមើលថាតើមានជួរដេកក្នុងចំណោមជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសដែលធាតុទាំងអស់លើកលែងតែចុងក្រោយគឺស្មើសូន្យ (សូមហៅជួរដេកបែបនេះមិនជាប់គ្នា)។ ជាក់ស្តែង បន្ទាត់បែបនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៅក្នុងប្រព័ន្ធ (I) ដូច្នេះហើយ ប្រព័ន្ធ (I) មិនមានដំណោះស្រាយទេ ហើយនេះជាកន្លែងដែលដំណើរការបញ្ចប់។
3. សូមឱ្យម៉ាទ្រីសមិនមានជួរដេកមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា (ប្រព័ន្ធ (I) មិនមានសមីការមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា)។ ប្រសិនបើ ក a 11 = 0បន្ទាប់មកយើងរកឃើញនៅក្នុងជួរទី 1 ធាតុមួយចំនួន (លើកលែងតែធាតុចុងក្រោយ) ដែលខុសពីសូន្យ ហើយរៀបចំជួរឈរឡើងវិញ ដើម្បីកុំឱ្យមានសូន្យនៅក្នុងជួរទី 1 នៅក្នុងកន្លែងទី 1 ។ ឥឡូវនេះយើងសន្មត់ថា (ឧទាហរណ៍យើងប្តូរពាក្យដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ (I)) ។
4. គុណជួរទី 1 ដោយ ហើយបន្ថែមលទ្ធផលទៅជួរទី 2 បន្ទាប់មកគុណជួរទី 1 ដោយ ហើយបន្ថែមលទ្ធផលទៅជួរទី 3 ។ល។ ជាក់ស្តែង ដំណើរការនេះគឺស្មើនឹងការលុបបំបាត់អ្នកដែលមិនស្គាល់ x ១ពីសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ (I) លើកលែងតែលេខ 1 ។ នៅក្នុងម៉ាទ្រីសថ្មី យើងទទួលបានសូន្យនៅក្នុងជួរឈរទី 1 ក្រោមធាតុ ក ១១:
.
5. កាត់ជួរសូន្យទាំងអស់ក្នុងម៉ាទ្រីស ប្រសិនបើមាន សូមពិនិត្យមើលថាតើមានជួរមិនជាប់គ្នាទេ (ប្រសិនបើមានមួយ នោះប្រព័ន្ធមិនជាប់លាប់ ហើយវានឹងបញ្ចប់ដំណោះស្រាយ)។ តោះពិនិត្យមើលថាតើ a 22 / =0ប្រសិនបើបាទ/ចាស នោះយើងរកឃើញធាតុមួយនៅក្នុងជួរទី 2 ដែលខុសពីសូន្យ ហើយរៀបចំជួរឈរឡើងវិញដូច្នេះ។ បន្ទាប់យើងគុណធាតុនៃជួរទី 2 ដោយ 
ហើយបន្ថែមជាមួយធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទី 3 បន្ទាប់មក - ធាតុនៃជួរទី 2 នៅលើ ហើយបន្ថែមជាមួយធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទី 4 ។ល។ រហូតដល់យើងទទួលបានសូន្យនៅក្រោម មួយ 22 /
.
សកម្មភាពដែលបានអនុវត្តគឺស្មើនឹងការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ x ២ពីសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ (I) លើកលែងតែទី 1 និងទី 2 ។ ដោយសារចំនួនជួរដេកមានកំណត់ ដូច្នេះបន្ទាប់ពីចំនួនជំហានកំណត់ យើងនឹងទទួលបានថាប្រព័ន្ធមិនស្របគ្នា ឬយើងនឹងមកដល់ម៉ាទ្រីសជំហាន ( សូមមើលនិយមន័យ 2 §7 ជំពូក 1) :
,
ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធសមីការដែលត្រូវនឹងម៉ាទ្រីស។ ប្រព័ន្ធនេះស្មើនឹងប្រព័ន្ធ (I)
.
ពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងបង្ហាញ ; យើងជំនួសសមីការមុន ស្វែងរក។ល។ រហូតដល់យើងទទួលបាន .
ចំណាំ ១.ដូច្នេះនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធ (I) ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងមកដល់ករណីមួយក្នុងចំណោមករណីខាងក្រោម។
1. ប្រព័ន្ធ (I) មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។
2. ប្រព័ន្ធ (I) មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ប្រសិនបើចំនួនជួរដេកក្នុងម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់ () ។
3. ប្រព័ន្ធ (I) មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ប្រសិនបើចំនួនជួរដេកក្នុងម៉ាទ្រីសមានតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់ ()។
ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមមាន។
ទ្រឹស្តីបទ។ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ឬមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ឬមានសំណុំនៃដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។
ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ឬបញ្ជាក់ភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នារបស់វា៖
ខ) 
;
ក) ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យឡើងវិញក្នុងទម្រង់៖
.
យើងបានប្តូរសមីការទី 1 និងទី 2 នៃប្រព័ន្ធដើមដើម្បីធ្វើឱ្យការគណនាសាមញ្ញ (ជំនួសឱ្យប្រភាគ យើងនឹងដំណើរការតែជាមួយចំនួនគត់ដោយប្រើការបំប្លែងបែបនេះ)។
យើងបង្កើតម៉ាទ្រីសពង្រីក៖
.
មិនមានបន្ទាត់ null; គ្មានបន្ទាត់មិនឆបគ្នា; យើងដកលេខមិនស្គាល់ទី 1 ចេញពីសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ លើកលែងតែលេខ 1 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគុណធាតុនៃជួរទី 1 នៃម៉ាទ្រីសដោយ "-2" ហើយបន្ថែមពួកវាទៅធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទី 2 ដែលស្មើនឹងគុណនឹងសមីការទី 1 ដោយ "-2" ហើយបន្ថែមវាទៅ សមីការទី 2 ។ បន្ទាប់មកយើងគុណធាតុនៃជួរទី 1 ដោយ "-3" ហើយបន្ថែមពួកវាទៅធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីបីពោលគឺឧ។ គុណសមីការទី 2 នៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយ "-3" ហើយបន្ថែមវាទៅសមីការទី 3 ។ ទទួលបាន
.
ម៉ាទ្រីសត្រូវនឹងប្រព័ន្ធសមីការមួយ)។ - (សូមមើលនិយមន័យ 3 § 7 នៃជំពូកទី 1) ។
ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ m ជាមួយ n មិនស្គាល់ហៅថាប្រព័ន្ធនៃទម្រង់
កន្លែងណា អាយនិង b i (ខ្ញុំ=1,…,ម; ខ=1,…,ន) គឺជាលេខដែលគេស្គាល់មួយចំនួន និង x 1 ,…,x n- មិនស្គាល់។ នៅក្នុងសញ្ញាណនៃមេគុណ អាយសន្ទស្សន៍ទីមួយ ខ្ញុំបង្ហាញពីចំនួនសមីការ និងទីពីរ jគឺជាចំនួនមិនស្គាល់ដែលមេគុណនេះឈរ។
មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់នឹងត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស 
ដែលយើងនឹងហៅ ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ.
លេខនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃសមីការ b 1,…,b mបានហៅ សមាជិកឥតគិតថ្លៃ។
សរុប នលេខ c 1 ,… ,c នបានហៅ ការសម្រេចចិត្តនៃប្រព័ន្ធនេះ ប្រសិនបើសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធក្លាយជាសមភាពបន្ទាប់ពីជំនួសលេខទៅក្នុងវា។ c 1 ,… ,c នជំនួសឱ្យការមិនស្គាល់ដែលត្រូវគ្នា។ x 1 ,…,x n.
ភារកិច្ចរបស់យើងគឺស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។ ក្នុងករណីនេះស្ថានភាពបីអាចកើតឡើង:
ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយត្រូវបានគេហៅថា រួម. បើមិនដូច្នោះទេ i.e. ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេនោះវាត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។.
ពិចារណាវិធីដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។
វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីកសម្រាប់ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ
Matrices ធ្វើឱ្យវាអាចសរសេរយ៉ាងខ្លីនូវប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការ 3 ដែលមិនស្គាល់ចំនួនបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ:
ពិចារណាម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ 
និងជួរម៉ាទ្រីសនៃសមាជិកមិនស្គាល់ និងឥតគិតថ្លៃ 
តោះស្វែងរកផលិតផល
ទាំងនោះ។ ជាលទ្ធផលនៃផលិតផល យើងទទួលបានផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធនេះ។ បន្ទាប់មកដោយប្រើនិយមន័យនៃសមភាពម៉ាទ្រីស ប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានសរសេរជា
ឬខ្លីជាងនេះ។ ក∙X=B.
នៅទីនេះម៉ាទ្រីស កនិង ខត្រូវបានគេស្គាល់ និងម៉ាទ្រីស Xមិនស្គាល់។ នាងត្រូវតែស្វែងរកព្រោះ។ ធាតុរបស់វាគឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនេះ។ សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការម៉ាទ្រីស.
សូមឱ្យម៉ាទ្រីសកំណត់ខុសពីសូន្យ | ក| ≠ 0. បន្ទាប់មកសមីការម៉ាទ្រីសត្រូវបានដោះស្រាយដូចខាងក្រោម។ គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនៅខាងឆ្វេងដោយម៉ាទ្រីស ក-១, បញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស ក:. ដរាបណា A -1 A = Eនិង អ៊ី∙X=Xបន្ទាប់មកយើងទទួលបានដំណោះស្រាយនៃសមីការម៉ាទ្រីសក្នុងទម្រង់ X = A -1 B .
សូមចំណាំថា ដោយសារម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសអាចត្រូវបានរកឃើញសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសការ៉េ វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសអាចដោះស្រាយបានតែប្រព័ន្ធទាំងនោះដែល ចំនួនសមីការគឺដូចគ្នានឹងចំនួនមិនស្គាល់. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការសម្គាល់ម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធក៏អាចធ្វើទៅបានដែរ ក្នុងករណីដែលចំនួនសមីការមិនស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីស កមិនមែនជាការ៉េទេ ដូច្នេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់ X = A -1 B.
ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។
ច្បាប់របស់ CRAMER
ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរចំនួន 3 ដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី៖
កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីដែលត្រូវគ្នានឹងម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ i.e. ផ្សំឡើងដោយមេគុណនៅមិនស្គាល់
បានហៅ ការកំណត់ប្រព័ន្ធ.
យើងបង្កើតកត្តាកំណត់ចំនួនបីបន្ថែមទៀតដូចខាងក្រោម៖ យើងជំនួសជួរឈរ 1, 2 និង 3 ជាបន្តបន្ទាប់នៅក្នុងការកំណត់ D ជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។
បន្ទាប់មកយើងអាចបញ្ជាក់លទ្ធផលដូចខាងក្រោម។
ទ្រឹស្តីបទ (ក្បួនរបស់ Cramer) ។ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធគឺ Δ ≠ 0 នោះប្រព័ន្ធដែលកំពុងពិចារណាមានដំណោះស្រាយមួយ និងតែមួយគត់ ហើយ
ភស្តុតាង. ដូច្នេះ សូមពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួន 3 ដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី។ គុណសមីការទី 1 នៃប្រព័ន្ធដោយការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត ក ១១ធាតុ ក ១១, សមីការទី 2 - លើ ក២១និងទី 3 - នៅលើ ក ៣១:
តោះបន្ថែមសមីការទាំងនេះ៖
ពិចារណាលើតង្កៀបនីមួយៗ និងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការនេះ។ ដោយទ្រឹស្តីបទលើការពង្រីកនៃកត្តាកំណត់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុនៃជួរឈរទី 1
ដូចគ្នានេះដែរវាអាចត្រូវបានបង្ហាញថានិង។
ទីបំផុតវាងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញ 
ដូច្នេះយើងទទួលបានសមភាព៖ ។
ដូច្នេះ, ។
សមភាព និងបានមកពីពាក្យស្រដៀងគ្នា ដែលការអះអាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះកើតឡើង។
ដូច្នេះហើយ យើងកត់សំគាល់ថា ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធគឺ Δ ≠ 0 នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ និងច្រាសមកវិញ។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធស្មើនឹងសូន្យ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ឬគ្មានដំណោះស្រាយ ពោលគឺឧ។ មិនឆបគ្នា។
ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
វិធីសាស្ត្រហ្គាស
វិធីសាស្រ្តដែលបានពិចារណាពីមុនអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយតែប្រព័ន្ធទាំងនោះដែលចំនួនសមីការត្រូវគ្នានឹងចំនួនមិនស្គាល់ ហើយកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធត្រូវតែខុសពីសូន្យ។ វិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺមានលក្ខណៈជាសកលជាង ហើយស័ក្តិសមសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនសមីការណាមួយ។ វាមាននៅក្នុងការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់ពីសមីការនៃប្រព័ន្ធ។
សូមពិចារណាម្តងទៀតនូវប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី៖
.
យើងទុកសមីការទីមួយមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយចាប់ពីសមីការទី 2 និងទី 3 យើងដកពាក្យដែលមាន x ១. ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបែងចែកសមីការទីពីរដោយ ក 21 ហើយគុណនឹង - ក 11 ហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមជាមួយសមីការទី 1 ។ ដូចគ្នានេះដែរ យើងបែងចែកសមីការទីបីទៅជា ក៣១ និងគុណនឹង - ក 11 ហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមវាទៅទីមួយ។ ជាលទ្ធផលប្រព័ន្ធដើមនឹងមានទម្រង់៖
ឥឡូវនេះ ពីសមីការចុងក្រោយ យើងលុបបំបាត់ពាក្យដែលមាន x2. ដើម្បីធ្វើដូចនេះចែកសមីការទីបីដោយ គុណនឹង ហើយបន្ថែមវាទៅទីពីរ។ បន្ទាប់មកយើងនឹងមានប្រព័ន្ធសមីការ៖
ដូច្នេះពីសមីការចុងក្រោយវាងាយស្រួលរក x ៣បន្ទាប់មកពីសមីការទី 2 x2ហើយទីបំផុតចាប់ពីថ្ងៃទី ១ - x ១.
នៅពេលប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian សមីការអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរប្រសិនបើចាំបាច់។
ជារឿយៗ ជំនួសឱ្យការសរសេរប្រព័ន្ធសមីការថ្មី ពួកគេកំណត់ខ្លួនឯងក្នុងការសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖
ហើយបន្ទាប់មកនាំវាទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ ឬអង្កត់ទ្រូង ដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។
ទៅ ការផ្លាស់ប្តូរបឋមម៉ាទ្រីសរួមមានការផ្លាស់ប្តូរដូចខាងក្រោមៈ
- ការផ្លាស់ប្តូរជួរឬជួរឈរ;
- គុណលេខមួយដោយលេខមិនសូន្យ;
- បន្ថែមទៅបន្ទាត់មួយ បន្ទាត់ផ្សេងទៀត។
ឧទាហរណ៍:ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ។
ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់។
ពិចារណា ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ(យឺត) ទាក់ទងនឹង នមិនស្គាល់ x 1 , x 2 , ... , x ន :
ប្រព័ន្ធនេះក្នុងទម្រង់ "បត់" អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
ស ន i=1 ក អ៊ី x j = ខ ខ្ញុំ , i=1,2, ..., ន.
ដោយអនុលោមតាមច្បាប់នៃគុណម៉ាទ្រីស ប្រព័ន្ធដែលបានពិចារណានៃសមីការលីនេអ៊ែរអាចត្រូវបានសរសេរនៅក្នុង ទម្រង់ម៉ាទ្រីស ax=bកន្លែងណា
,
,.
ម៉ាទ្រីស កជួរឈរដែលជាមេគុណសម្រាប់ការមិនស្គាល់ដែលត្រូវគ្នា ហើយជួរដេកជាមេគុណសម្រាប់ការមិនស្គាល់ក្នុងសមីការដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានហៅថា ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ. ម៉ាទ្រីសជួរឈរ ខធាតុដែលជាផ្នែកខាងស្ដាំនៃសមីការរបស់ប្រព័ន្ធត្រូវបានហៅថាម៉ាទ្រីសនៃផ្នែកខាងស្ដាំឬសាមញ្ញ ផ្នែកខាងស្តាំនៃប្រព័ន្ធ. ម៉ាទ្រីសជួរឈរ x ធាតុដែលមិនស្គាល់ មិនស្គាល់ ហៅថា ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ.
ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ សរសេរជា ax=b, គឺជា សមីការម៉ាទ្រីស.
ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ មិន degenerateបន្ទាប់មកវាមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមួយ ហើយបន្ទាប់មកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ ax=bត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត៖
x=A -1 ខ.
ឧទាហរណ៍ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ 
វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីស។
ការសម្រេចចិត្តរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់ម៉ាទ្រីសមេគុណនៃប្រព័ន្ធ
គណនាកត្តាកំណត់ដោយពង្រីកលើជួរទីមួយ៖
ដរាបណា Δ ≠ 0 បន្ទាប់មក ក -1 មាន។
ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។
ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ 
អាស្រ័យហេតុនេះ x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
ការប្រឡង៖ 
7. ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ស្តីពីភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។
ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមើលទៅដូចជា:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m ។
នៅទីនេះ a i j និង b i (i = ; j = ) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយ x j មិនស្គាល់ចំនួនពិត។ ដោយប្រើគំនិតនៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស យើងអាចសរសេរប្រព័ន្ធឡើងវិញ (5.1) ក្នុងទម្រង់៖
ដែល A = (a i j) គឺជាម៉ាទ្រីសដែលមានមេគុណនៃប្រព័ន្ធមិនស្គាល់ (5.1) ដែលត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ, X = (x 1 , x 2 , ... , x n ) T , B = ( b 1 , b 2 ,... , b m) T - វ៉ិចទ័រជួរឈរដែលផ្សំឡើងរៀងគ្នានៃ x j ដែលមិនស្គាល់ និងពាក្យទំនេរ b i ។
ការប្រមូលដែលបានបញ្ជាទិញ នចំនួនពិត (c 1, c 2, ..., c n) ត្រូវបានគេហៅថា ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ(5.1) ប្រសិនបើលទ្ធផលនៃការជំនួសលេខទាំងនេះជំនួសឱ្យអថេរដែលត្រូវគ្នា x 1 , x 2 ,... , x n សមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណនព្វន្ធ។ ម៉្យាងទៀតប្រសិនបើមានវ៉ិចទ័រ C = (c 1 , c 2 , ... , c n) T នោះ AC B ។
ប្រព័ន្ធ (5.1) ត្រូវបានគេហៅថា រួមគ្នា,ឬ អាចដោះស្រាយបាន។ប្រសិនបើវាមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា មិនត្រូវគ្នា,ឬ មិនរលាយប្រសិនបើវាមិនមានដំណោះស្រាយ។
,
បង្កើតឡើងដោយការផ្តល់ជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃទៅម៉ាទ្រីស A នៅខាងស្តាំត្រូវបានគេហៅថា ប្រព័ន្ធម៉ាទ្រីសពង្រីក។
សំណួរនៃភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធ (5.1) ត្រូវបានដោះស្រាយដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។
ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli . ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺត្រូវគ្នាប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A និង A ស្របគ្នា ពោលគឺឧ។ r(A) = r(A) = r.
សម្រាប់សំណុំ M នៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ (5.1) មានលទ្ធភាពបី៖
1) M = (ក្នុងករណីនេះប្រព័ន្ធមិនជាប់លាប់);
2) M មានធាតុមួយពោលគឺឧ។ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ (ក្នុងករណីនេះប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា ជាក់លាក់);
3) M មានធាតុច្រើនជាងមួយ (បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា មិនប្រាកដប្រជា) ក្នុងករណីទីបី ប្រព័ន្ធ (5.1) មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។
ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ប្រសិនបើ r(A) = n ។ ក្នុងករណីនេះចំនួនសមីការមិនតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់ (mn); ប្រសិនបើ m>n នោះសមីការ m-n គឺជាផលវិបាកនៃនៅសល់។ ប្រសិនបើ 0 ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធបំពាននៃសមីការលីនេអ៊ែរ ត្រូវតែអាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធដែលចំនួនសមីការស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់ ដែលហៅថា ប្រព័ន្ធប្រភេទ Cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n ។ ប្រព័ន្ធ (5.3) ត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីមួយក្នុងចំណោមវិធីដូចខាងក្រោម: 1) ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ឬដោយវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់មិនស្គាល់។ 2) យោងតាមរូបមន្តរបស់ Cramer; 3) ដោយវិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីស។ ឧទាហរណ៍ 2.12. ស៊ើបអង្កេតប្រព័ន្ធសមីការ ហើយដោះស្រាយវាប្រសិនបើវាត្រូវគ្នា៖ 5x 1 − x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x1 + x2 + 4x3 − 2x4 = 1, x 1 − 3x 2 − 6x 3 + 5x 4 = 0 ។ ការសម្រេចចិត្ត។យើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖
ចូរយើងគណនាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ។ វាច្បាស់ណាស់ថាជាឧទាហរណ៍អនីតិជនលំដាប់ទីពីរនៅជ្រុងខាងលើខាងឆ្វេង = 7 0; អនីតិជនលំដាប់ទីបីដែលមានវាស្មើនឹងសូន្យ៖ ដូច្នេះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺ 2, i.e. r(A) = 2. ដើម្បីគណនាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក A សូមពិចារណាអនីតិជនដែលជាប់ព្រំដែន ដូច្នេះ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកគឺ r(A) = 3. ចាប់តាំងពី r(A) r(A) ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ (ជួនកាលវិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេហៅផងដែរថាវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស ឬវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស) តម្រូវឱ្យមានការស្គាល់ជាមុនជាមួយនឹងគោលគំនិតដូចជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសនៃការសរសេរ SLAE ។ វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសច្រាសត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធទាំងនោះនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធគឺមិនសូន្យ។ តាមធម្មជាតិ នេះបង្កប់ន័យថាម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធគឺការ៉េ (គោលគំនិតនៃកត្តាកំណត់មានសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសការ៉េប៉ុណ្ណោះ)។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជាបីចំណុច៖ SLAE ណាមួយអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសជា $A\cdot X=B$ ដែល $A$ គឺជាម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ $B$ គឺជាម៉ាទ្រីសនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ $X$ គឺជាម៉ាទ្រីសមិនស្គាល់។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ មាន។ គុណភាគីទាំងពីរនៃសមភាព $A\cdot X=B$ ដោយម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ នៅខាងឆ្វេង៖ $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ ដោយសារ $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ គឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ) នោះសមភាពដែលបានសរសេរខាងលើក្លាយជា៖ $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ ចាប់តាំងពី $E\cdot X=X$ បន្ទាប់មក៖ $$X=A^(-1)\cdot B.$$ ឧទាហរណ៍ #1 ដោះស្រាយ SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ ដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ $$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array)(c)29\\ -11\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array)(c)x_1\\ x_2\end(array)\right)។ $$ ចូរយើងស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ i.e. គណនា $A^(-1)$ ។ ឧទាហរណ៍ # 2 $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc)8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$ ឥឡូវនេះ ចូរជំនួសម៉ាទ្រីសទាំងបី ($X$, $A^(-1)$, $B$) ទៅក្នុងសមីការ $X=A^(-1)\cdot B$។ បន្ទាប់មកយើងអនុវត្តការគុណម៉ាទ្រីស $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c)29\\ -11\end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array)(c)8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array)(c)309\\ -206\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right)។ $$ ដូច្នេះយើងទទួលបាន $\left(\begin(array)(c)x_1\\ x_2\end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) -3\\ 2\end(array)\ ត្រូវ)$។ ពីសមភាពនេះ យើងមាន៖ $x_1=-3$, $x_2=2$ ។ ចម្លើយ៖ $x_1=-3$, $x_2=2$ ។ ឧទាហរណ៍ #2 ដោះស្រាយ SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ ដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ $A$ ម៉ាទ្រីសនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ $B$ និងម៉ាទ្រីសមិនស្គាល់ $X$ ។ $$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array)(c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)។ $$ ឥឡូវនេះវាដល់ពេលហើយដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ i.e. ស្វែងរក $A^(-1)$ ។ ក្នុងឧទាហរណ៍លេខ 3 នៅលើទំព័រដែលឧទ្ទិសដល់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ត្រូវបានរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសរួចហើយ។ តោះប្រើលទ្ធផលដែលបានបញ្ចប់ ហើយសរសេរ $A^(-1)$: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(អារេ)\right)។ $$ ឥឡូវនេះយើងជំនួសម៉ាទ្រីសទាំងបី ($X$, $A^(-1)$, $B$) ទៅក្នុងសមភាព $X=A^(-1)\cdot B$ បន្ទាប់ពីនោះយើងអនុវត្តការគុណម៉ាទ្រីសនៅខាងស្តាំ ផ្នែកនៃសមភាពនេះ។ $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \\right)\cdot \\left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(array)(c)6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1) +2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array)(c)0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array)(c)0\\-4\\9\end(array)\right) $$ ដូច្នេះយើងទទួលបាន $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c)0\\-4\\9 \end(array)\right)$។ ពីសមភាពនេះ យើងមាន៖ $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$ ។
.
