មនុស្សជាច្រើនដែលប្រឈមមុខនឹងគំនិតនៃ "ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ" មានការភ័យខ្លាច ដោយគិតថានេះគឺជាអ្វីដែលលើសលប់ និងស្មុគស្មាញខ្លាំង។ ប៉ុន្តែ​វា​មិន​មែន​ជា​សោកនាដកម្ម​ទាំងអស់​នោះ​ទេ។ ថ្ងៃនេះយើងនឹងពិចារណាអំពីគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ រៀនពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។

វិទ្យាសាស្ត្រ

តើផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាដូចជា "ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ" សិក្សាអ្វីខ្លះ? នាងកត់សំគាល់លំនាំនិងទំហំ។ ជាលើកដំបូងដែលអ្នកវិទ្យាសាស្ត្របានចាប់អារម្មណ៍លើបញ្ហានេះត្រឡប់មកវិញនៅក្នុងសតវត្សទីដប់ប្រាំបី នៅពេលដែលពួកគេបានសិក្សាអំពីល្បែងស៊ីសង។ គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ វាគឺជាការពិតណាមួយដែលត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយបទពិសោធន៍ឬការសង្កេត។ ប៉ុន្តែតើបទពិសោធន៍គឺជាអ្វី? គោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយទៀតនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ វាមានន័យថាសមាសភាពនៃកាលៈទេសៈនេះមិនត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយចៃដន្យទេប៉ុន្តែសម្រាប់គោលបំណងជាក់លាក់មួយ។ ចំពោះការសង្កេត នៅទីនេះអ្នកស្រាវជ្រាវខ្លួនគាត់ផ្ទាល់មិនបានចូលរួមក្នុងការពិសោធន៍នោះទេ ប៉ុន្តែគ្រាន់តែធ្វើជាសាក្សីចំពោះព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ គាត់មិនមានឥទ្ធិពលលើអ្វីដែលកំពុងកើតឡើងតាមមធ្យោបាយណាមួយឡើយ។

ការអភិវឌ្ឍន៍

យើងបានរៀនថា គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាព្រឹត្តិការណ៍មួយ ប៉ុន្តែមិនបានគិតពីការចាត់ថ្នាក់ទេ។ ពួកគេទាំងអស់ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងប្រភេទដូចខាងក្រោម:

• អាចទុកចិត្តបាន។
• មិនអាចទៅរួច។
• ចៃដន្យ។

មិនថាព្រឹត្តិការណ៍ប្រភេទណាដែលត្រូវបានសង្កេតឃើញ ឬបង្កើតនៅក្នុងវគ្គនៃបទពិសោធន៍នោះទេ ពួកវាសុទ្ធតែជាកម្មវត្ថុនៃចំណាត់ថ្នាក់នេះ។ យើងផ្តល់ជូនដើម្បីស្គាល់ប្រភេទនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា។

ព្រឹត្តិការណ៍គួរឱ្យទុកចិត្ត

នេះ​ជា​កាលៈទេសៈ​មួយ​ដែល​សំណុំ​វិធានការ​ចាំបាច់​ត្រូវ​បាន​អនុវត្ត។ ដើម្បីយល់ច្បាស់អំពីខ្លឹមសារ វាជាការប្រសើរក្នុងការផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយចំនួន។ រូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា សេដ្ឋកិច្ច និង​គណិតវិទ្យា​កម្រិត​ខ្ពស់​គឺ​ជា​កម្មវត្ថុ​នៃ​ច្បាប់​នេះ។ ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេរួមបញ្ចូលនូវគោលគំនិតដ៏សំខាន់ដូចជាព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

• យើងធ្វើការ និងទទួលបានប្រាក់ឈ្នួលក្នុងទម្រង់ជាប្រាក់ឈ្នួល។
• យើងប្រឡងជាប់បានល្អ ប្រលងជាប់ សម្រាប់ការនេះ យើងទទួលបានរង្វាន់ក្នុងទម្រង់នៃការចូលរៀននៅស្ថាប័នអប់រំ។
• យើង​បាន​វិនិយោគ​លុយ​ក្នុង​ធនាគារ បើ​ចាំបាច់ យើង​នឹង​យក​វា​មក​វិញ។

ព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះអាចទុកចិត្តបាន។ ប្រសិនបើយើងបានបំពេញលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ទាំងអស់នោះ យើងប្រាកដជាទទួលបានលទ្ធផលរំពឹងទុក។

ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច

ឥឡូវនេះយើងពិចារណាធាតុនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ យើងស្នើឱ្យបន្តទៅការពន្យល់អំពីប្រភេទនៃព្រឹត្តិការណ៍បន្ទាប់ ពោលគឺមិនអាចទៅរួច។ ដើម្បីចាប់ផ្តើមយើងនឹងកំណត់ច្បាប់សំខាន់បំផុត - ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចគឺសូន្យ។

វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការងាកចេញពីទម្រង់បែបបទនេះនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។ ដើម្បីបញ្ជាក់ ខាងក្រោមនេះជាឧទាហរណ៍នៃព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះ៖

• ទឹកបានកកនៅសីតុណ្ហភាពបូកដប់ (នេះមិនអាចទៅរួចទេ) ។
• កង្វះអគ្គីសនីមិនប៉ះពាល់ដល់ការផលិតតាមមធ្យោបាយណាមួយទេ (មិនអាចទៅរួចដូចក្នុងឧទាហរណ៍មុន) ។

ឧទាហរណ៍ច្រើនទៀតមិនគួរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទេព្រោះអ្វីដែលបានពិពណ៌នាខាងលើឆ្លុះបញ្ចាំងយ៉ាងច្បាស់ពីខ្លឹមសារនៃប្រភេទនេះ។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចនឹងមិនកើតឡើងក្នុងអំឡុងពេលបទពិសោធន៍ក្នុងកាលៈទេសៈណាក៏ដោយ។

ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ

នៅពេលសិក្សាធាតុនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ការយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសគួរតែត្រូវបានបង់ទៅប្រភេទនៃព្រឹត្តិការណ៍ពិសេសនេះ។ នោះហើយជាអ្វីដែលវិទ្យាសាស្ត្រកំពុងសិក្សា។ ជាលទ្ធផលនៃបទពិសោធន៍ អ្វីមួយអាចឬមិនកើតឡើង។ លើសពីនេះ ការធ្វើតេស្តនេះអាចត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតចំនួនដងមិនកំណត់។ ឧទាហរណ៍លេចធ្លោគឺ៖

• ការបោះកាក់គឺជាបទពិសោធន៍ ឬជាការសាកល្បង ក្បាលគឺជាព្រឹត្តិការណ៍មួយ។
• ការទាញបាល់ចេញពីកាបូបដោយងងឹតងងុលគឺជាការសាកល្បងមួយ បាល់ពណ៌ក្រហមត្រូវបានចាប់ គឺជាព្រឹត្តិការណ៍មួយ ហើយដូច្នេះនៅលើ។

វាអាចមានចំនួនមិនកំណត់នៃឧទាហរណ៍បែបនេះ ប៉ុន្តែជាទូទៅ ខ្លឹមសារគួរតែច្បាស់លាស់។ ដើម្បីសង្ខេប និងរៀបចំជាប្រព័ន្ធនូវចំណេះដឹងដែលទទួលបានអំពីព្រឹត្តិការណ៍ តារាងមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេសិក្សាតែប្រភេទចុងក្រោយនៃអ្វីដែលបានបង្ហាញ។

ចំណងជើង	និយមន័យ
គួរឱ្យទុកចិត្ត	ព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងជាមួយនឹងការធានា 100% ស្ថិតក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់។	ការ​ចូល​រៀន​នៅ​ស្ថាប័ន​អប់រំ​ដែល​មាន​ការ​ប្រឡង​ជាប់​ល្អ។
មិនអាចទៅរួច	ព្រឹត្តិការណ៍ដែលនឹងមិនកើតឡើងក្នុងកាលៈទេសៈណាក៏ដោយ។	វាកំពុងធ្លាក់ព្រិលនៅសីតុណ្ហភាពខ្យល់បូកសាមសិបអង្សាសេ។
ចៃដន្យ	ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចឬមិនកើតឡើងក្នុងអំឡុងពេលពិសោធន៍/ការធ្វើតេស្ត។	បុក ឬខកខានពេលបោះបាល់បោះទៅក្នុងប្រហោង។

ច្បាប់

ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាវិទ្យាសាស្ត្រដែលសិក្សាពីលទ្ធភាពនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង។ ដូចអ្នកផ្សេងទៀតដែរ វាមានច្បាប់មួយចំនួន។ មានច្បាប់ខាងក្រោមនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ៖

• ការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់នៃអថេរចៃដន្យ។
• ច្បាប់នៃចំនួនធំ។

នៅពេលគណនាលទ្ធភាពនៃស្មុគ្រស្មាញ ភាពស្មុគស្មាញនៃព្រឹត្តិការណ៍សាមញ្ញអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីសម្រេចបានលទ្ធផលក្នុងវិធីងាយស្រួល និងលឿនជាងមុន។ ចំណាំថាច្បាប់ត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងងាយស្រួលដោយមានជំនួយពីទ្រឹស្តីបទមួយចំនួន។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងច្បាប់ទីមួយ។

ការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់នៃអថេរចៃដន្យ

ចំណាំថាមានប្រភេទជាច្រើននៃការបញ្ចូលគ្នា:

• លំដាប់នៃអថេរចៃដន្យគឺបញ្ចូលគ្នានៅក្នុងប្រូបាប៊ីលីតេ។
• ស្ទើរតែមិនអាចទៅរួចទេ។
• ការបញ្ចូលគ្នា RMS ។
• ការបង្រួបបង្រួមការចែកចាយ។

ដូច្នេះ ក្នុងពេលហោះហើរ វាពិតជាលំបាកណាស់ក្នុងការឈានទៅដល់បាតរបស់វា។ នេះគឺជានិយមន័យមួយចំនួនដើម្បីជួយអ្នកឱ្យយល់ពីប្រធានបទនេះ។ តោះចាប់ផ្តើមជាមួយរូបរាងដំបូង។ លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា បញ្ចូលគ្នានៅក្នុងប្រូបាប៊ីលីតេប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖ n ទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ លេខដែលលំដាប់មាននិន្នាការធំជាងសូន្យ និងជិតមួយ។

តោះបន្តទៅវគ្គបន្ទាប់, ស្ទើរតែប្រាកដ. លំដាប់​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​នឹង​បង្រួបបង្រួម ស្ទើរតែប្រាកដទៅអថេរចៃដន្យជាមួយ n ទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយ P ទំនោរទៅរកតម្លៃជិតនឹងឯកភាព។

ប្រភេទបន្ទាប់គឺ ការបញ្ចូលគ្នា RMS. នៅពេលប្រើ SC-convergence ការសិក្សានៃដំណើរការចៃដន្យវ៉ិចទ័រត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការសិក្សានៃដំណើរការចៃដន្យសំរបសំរួលរបស់ពួកគេ។

ប្រភេទចុងក្រោយនៅសល់ ចូរយើងវិភាគវាដោយសង្ខេប ដើម្បីបន្តដោះស្រាយបញ្ហាដោយផ្ទាល់។ ការបញ្ចូលគ្នានៃការចែកចាយមានឈ្មោះផ្សេងទៀត - "ខ្សោយ" យើងនឹងពន្យល់ពីមូលហេតុខាងក្រោម។ ការបង្រួមខ្សោយគឺជាការបង្រួបបង្រួមនៃអនុគមន៍ចែកចាយនៅគ្រប់ចំណុចនៃការបន្តនៃអនុគមន៍ចែកចាយកំណត់។

យើងពិតជានឹងបំពេញតាមការសន្យា៖ ការបញ្ចូលគ្នាខ្សោយខុសពីការរៀបរាប់ខាងលើ ដែលអថេរចៃដន្យមិនត្រូវបានកំណត់លើចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេនោះទេ។ នេះអាចទៅរួចព្រោះលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបង្កើតឡើងទាំងស្រុងដោយប្រើមុខងារចែកចាយ។

ច្បាប់នៃលេខធំ

ជំនួយការដ៏ល្អក្នុងការបញ្ជាក់ច្បាប់នេះនឹងក្លាយជាទ្រឹស្តីបទនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដូចជា៖

• វិសមភាពរបស់ Chebyshev ។
• ទ្រឹស្តីបទ Chebyshev ។
• ទ្រឹស្តីបទទូទៅរបស់ Chebyshev ។
• ទ្រឹស្តីបទ Markov ។

ប្រសិនបើយើងពិចារណាទ្រឹស្ដីទាំងអស់នេះ នោះសំណួរនេះអាចអូសបានរាប់សិបសន្លឹក។ ភារកិច្ចចម្បងរបស់យើងគឺអនុវត្តទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេក្នុងការអនុវត្ត។ យើងសូមអញ្ជើញអ្នកឱ្យធ្វើវាឥឡូវនេះ។ ប៉ុន្តែមុននឹងនោះ ចូរយើងពិចារណា axioms នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ពួកវានឹងក្លាយជាជំនួយការសំខាន់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

អក្សរសាស្ត្រ

យើង​បាន​ជួប​អ្នក​ដំបូង​រួច​ហើយ​នៅ​ពេល​ដែល​យើង​និយាយ​អំពី​ព្រឹត្តិការណ៍​មិន​អាច​ទៅ​រួច។ ចូរយើងចងចាំ៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចគឺសូន្យ។ យើងបានផ្តល់ឧទាហរណ៍ដ៏រស់រវើក និងមិនអាចបំភ្លេចបាន៖ ព្រិលធ្លាក់នៅសីតុណ្ហភាពសាមសិបអង្សាសេ។

ទីពីរមានដូចខាងក្រោម៖ ព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយកើតឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេស្មើនឹងមួយ។ ឥឡូវសូមបង្ហាញពីរបៀបសរសេរវាដោយប្រើភាសាគណិតវិទ្យា៖ P(B)=1។

ទីបី៖ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យអាចឬមិនកើតឡើង ប៉ុន្តែលទ្ធភាពតែងតែមានចាប់ពីសូន្យទៅមួយ។ តម្លៃកាន់តែខិតទៅជិតមួយ ឱកាសកាន់តែច្រើន។ ប្រសិនបើតម្លៃជិតដល់សូន្យ ប្រូបាប៊ីលីតេគឺទាបណាស់។ ចូរសរសេរវាជាភាសាគណិតវិទ្យា៖ ០<Р(С)<1.

សូមពិចារណា axiom ទីបួនចុងក្រោយ ដែលស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។ យើងសរសេរជាភាសាគណិតវិទ្យា៖ P (A + B) \u003d P (A) + P (B) ។

axioms នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាច្បាប់សាមញ្ញបំផុតដែលងាយស្រួលចងចាំ។ ចូរ​យើង​ព្យាយាម​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​មួយ​ចំនួន​ដោយ​ផ្អែក​លើ​ចំណេះដឹង​ដែល​បាន​ទទួល​រួច​ហើយ។

សន្លឹកឆ្នោត

ដើម្បីចាប់ផ្តើមសូមពិចារណាឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត - ឆ្នោត។ ស្រមៃថាអ្នកបានទិញឆ្នោតមួយសន្លឹកដើម្បីសំណាងល្អ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកនឹងឈ្នះយ៉ាងហោចណាស់ម្ភៃរូប្លិ៍? សរុបមក សំបុត្រមួយពាន់សន្លឹកចូលរួមក្នុងចរាចរ ដែលមួយក្នុងចំណោមនោះមានរង្វាន់ប្រាំរយរូប្លិ ដប់នៃមួយរយរូប្លិ ហាសិបម្ភៃរូប្លិ និងមួយរយប្រាំ។ បញ្ហានៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេគឺផ្អែកលើការស្វែងរកលទ្ធភាពនៃសំណាង។ តោះមកមើលដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាខាងលើទាំងអស់គ្នា។

ប្រសិនបើយើងសម្គាល់ដោយអក្សរ A ឈ្នះប្រាំរយរូប្លិ នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបាន A នឹងមាន 0.001 ។ តើយើងទទួលបានវាដោយរបៀបណា? អ្នកគ្រាន់តែត្រូវបែងចែកចំនួនសំបុត្រ "រីករាយ" ដោយចំនួនសរុបរបស់ពួកគេ (ក្នុងករណីនេះ: 1/1000) ។

B គឺជាការឈ្នះមួយរយរូប្លិ ប្រូបាប៊ីលីតេនឹងស្មើនឹង 0.01។ ឥឡូវ​យើង​បាន​ធ្វើ​តាម​គោលការណ៍​ដូច​គ្នា​នឹង​សកម្មភាព​មុន (១០/១០០០)

គ - ការឈ្នះគឺស្មើនឹងម្ភៃរូប្លិ៍។ យើងរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេវាស្មើនឹង 0.05 ។

សំបុត្រដែលនៅសេសសល់គឺមិនមានការចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងទេ ដោយសារមូលនិធិរង្វាន់របស់ពួកគេតិចជាងតម្លៃដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ ចូរយើងអនុវត្ត axiom ទីបួន៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការឈ្នះយ៉ាងហោចណាស់ម្ភៃរូប្លែគឺ P(A) + P (B) + P(C) ។ អក្សរ P បង្ហាញពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះ យើងបានរកឃើញពួកវារួចហើយនៅក្នុងជំហានមុន។ វានៅសល់តែបន្ថែមទិន្នន័យចាំបាច់ប៉ុណ្ណោះ នៅក្នុងចម្លើយយើងទទួលបាន 0.061។ លេខនេះនឹងជាចម្លើយចំពោះសំណួរនៃកិច្ចការ។

បន្ទះកាត

បញ្ហាក្នុងទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេក៏កាន់តែស្មុគ្រស្មាញផងដែរ ឧទាហរណ៍ យកកិច្ចការខាងក្រោម។ មុនពេលអ្នកគឺជាសន្លឹកបៀនៃសាមសិបប្រាំមួយ។ ភារកិច្ចរបស់អ្នកគឺត្រូវគូរសន្លឹកបៀពីរសន្លឹកជាប់គ្នាដោយមិនបាច់លាយគ្នា សន្លឹកបៀទីមួយ និងទីពីរត្រូវតែជាសន្លឹកអាត់ ឈុតមិនសំខាន់ទេ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើម យើងរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេដែលសន្លឹកបៀទីមួយនឹងជាសន្លឹកអាត់ សម្រាប់ការនេះ យើងចែកបួនដោយសាមសិបប្រាំមួយ។ ពួកគេបានដាក់វាមួយឡែក។ យើងដកសន្លឹកបៀទីពីរចេញ វានឹងក្លាយជាសន្លឹកអាត់ដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃបីសាមសិបប្រាំ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទី 2 អាស្រ័យលើកាតមួយណាដែលយើងគូរមុនគេ យើងចាប់អារម្មណ៍ថាតើវាជាសន្លឹកអាត់ឬអត់។ វាធ្វើតាមព្រឹត្តិការណ៍ B អាស្រ័យលើព្រឹត្តិការណ៍ A ។

ជំហានបន្ទាប់គឺត្រូវស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការអនុវត្តក្នុងពេលដំណាលគ្នា ពោលគឺយើងគុណ A និង B។ ផលិតផលរបស់ពួកគេត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម៖ យើងគុណប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយដោយប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយទៀតដែលយើងគណនាដោយសន្មតថាដំបូង ព្រឹត្តិការណ៍​បាន​កើត​ឡើង នោះ​គឺ​យើង​បាន​គូរ​សន្លឹក​អាត់​ជាមួយ​នឹង​កាត​ទីមួយ។

ដើម្បីធ្វើឱ្យអ្វីគ្រប់យ៉ាងច្បាស់លាស់ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដល់ធាតុដូចជាព្រឹត្តិការណ៍។ វាត្រូវបានគណនាដោយសន្មតថាព្រឹត្តិការណ៍ A បានកើតឡើង។ គណនាដូចខាងក្រោមៈ P(B/A) ។

ចូរបន្តដំណោះស្រាយនៃបញ្ហារបស់យើង៖ P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) ឬ P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B) ។ ប្រូបាប៊ីលីតេគឺ (4/36) * ((3/35)/(4/36) គណនាដោយបង្គត់ទៅរាប់រយ។ យើងមាន: 0.11 * (0.09/0.11)=0.11 * 0, 82 = 0.09 ប្រូបាប៊ីលីតេដែលយើង នឹងគូរសន្លឹកអាត់ពីរក្នុងមួយជួរគឺប្រាំបួនរយ។ តម្លៃគឺតូចណាស់ វាដូចខាងក្រោមថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះគឺតូចខ្លាំងណាស់។

លេខដែលភ្លេច

យើងស្នើឱ្យវិភាគជម្រើសមួយចំនួនទៀតសម្រាប់កិច្ចការដែលត្រូវបានសិក្សាដោយទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ អ្នកបានឃើញឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយពួកគេមួយចំនួនរួចហើយនៅក្នុងអត្ថបទនេះ ចូរយើងព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោម៖ ក្មេងប្រុសភ្លេចលេខចុងក្រោយនៃលេខទូរស័ព្ទមិត្តភ័ក្តិរបស់គាត់ ប៉ុន្តែដោយសារការហៅទូរសព្ទមានសារៈសំខាន់ខ្លាំង ទើបគាត់ចាប់ផ្តើមចុចគ្រប់បែបយ៉ាង។ យើងត្រូវគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលគាត់នឹងហៅមិនលើសពីបីដង។ ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាគឺសាមញ្ញបំផុត ប្រសិនបើច្បាប់ ច្បាប់ និង axioms នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានគេស្គាល់។

មុន​នឹង​មើល​ដំណោះស្រាយ​ត្រូវ​ព្យាយាម​ដោះស្រាយ​ដោយ​ខ្លួនឯង។ យើង​ដឹង​ថា​ខ្ទង់​ចុង​ក្រោយ​អាច​មាន​ពី​សូន្យ​ទៅ​ប្រាំបួន​ ពោល​គឺ​មាន​ដប់​តម្លៃ​សរុប។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានត្រឹមត្រូវគឺ 1/10 ។

បន្ទាប់មកទៀត យើងត្រូវពិចារណាជម្រើសសម្រាប់ប្រភពដើមនៃព្រឹត្តិការណ៍ ឧបមាថាក្មេងប្រុសទាយត្រូវ ហើយបានពិន្ទុត្រឹមត្រូវភ្លាមៗ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះគឺ 1/10 ។ ជម្រើសទីពីរ៖ ការហៅទូរសព្ទដំបូងគឺខកខាន ហើយទីពីរគឺត្រូវនឹងគោលដៅ។ យើងគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះ៖ គុណ 9/10 ដោយ 1/9 ជាលទ្ធផលយើងក៏ទទួលបាន 1/10 ផងដែរ។ ជម្រើសទីបី៖ ការហៅទូរស័ព្ទលើកទីមួយ និងទីពីរបានប្រែទៅជាខុស មានតែក្មេងប្រុសទីបីប៉ុណ្ណោះដែលបានទទួលកន្លែងដែលគាត់ចង់បាន។ យើងគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះ៖ យើងគុណ 9/10 ដោយ 8/9 ហើយដោយ 1/8 យើងទទួលបាន 1/10 ជាលទ្ធផល។ យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាយើងមិនចាប់អារម្មណ៍នឹងជម្រើសផ្សេងទៀតទេដូច្នេះវានៅតែមានសម្រាប់យើងបន្ថែមលទ្ធផលដែលជាលទ្ធផលយើងមាន 3/10 ។ ចម្លើយ៖ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្មេងប្រុសហៅមិនលើសពីបីដងគឺ 0.3 ។

កាតដែលមានលេខ

មានសន្លឹកបៀប្រាំបួននៅពីមុខអ្នក សន្លឹកនីមួយៗមានលេខពីមួយទៅប្រាំបួន លេខមិនដដែលៗទេ។ ពួកគេត្រូវបានដាក់ក្នុងប្រអប់មួយហើយលាយបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងហ្មត់ចត់។ អ្នកត្រូវគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនោះ។

• លេខគូនឹងឡើង;
• ពីរខ្ទង់។

មុននឹងបន្តទៅដំណោះស្រាយ ចូរកំណត់ថា m គឺជាចំនួនករណីជោគជ័យ ហើយ n គឺជាចំនួនសរុបនៃជម្រើស។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលលេខស្មើ។ វានឹងមិនពិបាកក្នុងការគណនាថាមានលេខគូបួនទេ នេះនឹងជា m របស់យើង មានជម្រើសចំនួន 9 សរុប នោះគឺ m = 9 ។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេគឺ 0.44 ឬ 4/9 ។

យើងពិចារណាករណីទីពីរ៖ ចំនួនជម្រើសគឺប្រាំបួន ហើយមិនអាចមានលទ្ធផលជោគជ័យទាល់តែសោះ ពោលគឺ m ស្មើសូន្យ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលកាតដែលបានគូរនឹងមានលេខពីរខ្ទង់ក៏ជាសូន្យផងដែរ។

សាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេសរដ្ឋ Nizhny Novgorod

ពួកគេ។ A.E. Alekseeva

អត្ថបទលើទ្រឹស្តីវិន័យនៃប្រូបាប៊ីលីតេ

បញ្ចប់ដោយ៖ Ruchina N.A gr 10MENz

បានពិនិត្យ៖ Gladkov V.V.

Nizhny Novgorod, 2011

ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ………………………………………

ប្រធានបទនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ…………………………

គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ……………

ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍……………………………………………………

ទ្រឹស្តីបទកំណត់………………………………………

ដំណើរការចៃដន្យ………………………………………

ឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រ………………………………………

សៀវភៅប្រើប្រាស់……………………………………………………

ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ

ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ -វិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យាដែលអនុញ្ញាតដោយប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយចំនួន ដើម្បីស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យផ្សេងទៀតដែលទាក់ទងតាមវិធីខ្លះទៅដំបូង។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ថាព្រឹត្តិការណ៍មួយកើតឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ , ស្មើនឹងឧទាហរណ៍ 0.75 មិនទាន់តំណាងឱ្យតម្លៃចុងក្រោយដោយខ្លួនវានៅឡើយ ដោយសារយើងកំពុងព្យាយាមស្វែងរកចំណេះដឹងដែលអាចទុកចិត្តបាន។ តម្លៃនៃការយល់ដឹងចុងក្រោយ គឺជាលទ្ធផលនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងអះអាងថា ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ។ ប៉ុន្តែជិតស្និទ្ធនឹងការរួបរួមឬ (ដែលដូចគ្នា) ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនកើតឡើង ប៉ុន្តែតូច​ណាស់។ អនុលោមតាមគោលការណ៍នៃ "ការធ្វេសប្រហែសនូវប្រូបាប៊ីលីតេតិចតួចគ្រប់គ្រាន់" ព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការអនុវត្តជាក់ស្តែង។ ការសន្និដ្ឋានអំពីផលប្រយោជន៍វិទ្យាសាស្ត្រ និងជាក់ស្តែងនៃប្រភេទនេះ ជាធម្មតាផ្អែកលើការសន្មត់ថាការកើតឡើង ឬមិនកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែអាស្រ័យលើចំនួនដ៏ច្រើននៃកត្តាចៃដន្យ ដែលទាក់ទងតិចតួច . ដូច្នេះហើយ យើងក៏អាចនិយាយបានថា ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាវិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យាដែលពន្យល់ពីគំរូដែលកើតឡើងនៅពេលដែលកត្តាចៃដន្យមួយចំនួនធំមានអន្តរកម្ម។

ប្រធានបទនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ

ប្រធានបទនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីទំនាក់ទំនងទៀងទាត់រវាងលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ សនិងព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែការកើតឡើង ឬការមិនកើតឡើង ដែលស្ថិតក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងយ៉ាងជាក់លាក់ វិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិជាធម្មតាប្រើគ្រោងការណ៍មួយក្នុងចំណោមគ្រោងការណ៍ពីរខាងក្រោម៖

ក) រាល់ពេលដែលលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ សព្រឹត្តិការណ៍មួយកើតឡើង ប៉ុន្តែជាឧទាហរណ៍ ច្បាប់ទាំងអស់នៃមេកានិចបុរាណមានទម្រង់នេះ ដែលចែងថានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងកម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពលើរាងកាយ ឬប្រព័ន្ធនៃសាកសព ចលនានឹងកើតឡើងតាមរបៀបដែលបានកំណត់។

ខ) ក្រោមលក្ខខណ្ឌ សព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែមានប្រូបាប៊ីលីតេជាក់លាក់ ទំ(A/S), ស្មើនឹង រ.ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ច្បាប់នៃវិទ្យុសកម្មវិទ្យុសកម្មចែងថា សម្រាប់សារធាតុវិទ្យុសកម្មនីមួយៗមានប្រូបាប៊ីលីតេជាក់លាក់មួយដែលពីបរិមាណនៃសារធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យចំនួនជាក់លាក់មួយនឹងរលាយក្នុងរយៈពេលជាក់លាក់មួយ។ នអាតូម។

ចូរហៅប្រេកង់ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនៅក្នុងស៊េរីនេះ។ នការធ្វើតេស្ត (ឧ។ នការអនុវត្តឡើងវិញនូវលក្ខខណ្ឌ ស) ទំនាក់ទំនង h = m/nលេខ មការធ្វើតេស្តដែលក្នុងនោះ ប៉ុន្តែបានមកដល់ចំនួនសរុបរបស់ពួកគេ។ ន.វត្តមាននៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ សប្រូបាប៊ីលីតេជាក់លាក់ស្មើនឹង Rបង្ហាញដោយខ្លួនវាផ្ទាល់នៅក្នុងការពិតដែលថានៅក្នុងស្ទើរតែគ្រប់ស៊េរីនៃការធ្វើតេស្តដ៏វែងគ្រប់គ្រាន់ ភាពញឹកញាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែប្រហែលស្មើនឹង រ.

ភាពទៀងទាត់នៃស្ថិតិ ពោលគឺភាពទៀងទាត់ដែលត្រូវបានពិពណ៌នាដោយគ្រោងការណ៍នៃប្រភេទ (ខ) ត្រូវបានគេរកឃើញដំបូងនៅលើឧទាហរណ៍នៃហ្គេមល្បែងដូចជាគ្រាប់ឡុកឡាក់។ ភាពទៀងទាត់នៃស្ថិតិនៃកំណើត និងការស្លាប់ក៏ត្រូវបានគេស្គាល់ជាយូរមកហើយ (ឧទាហរណ៍ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃទារកទើបនឹងកើតជាក្មេងប្រុសគឺ 0.515)។ ចុងសតវត្សទី 19 និងពាក់កណ្តាលទី 1 នៃសតវត្សទី 20 ។ សម្គាល់ដោយការរកឃើញនៃភាពទៀងទាត់នៃស្ថិតិមួយចំនួនធំនៅក្នុងរូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា ជីវវិទ្យា។ល។

លទ្ធភាពនៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេក្នុងការសិក្សាអំពីភាពទៀងទាត់នៃស្ថិតិទាក់ទងនឹងវិស័យវិទ្យាសាស្ត្រដែលនៅឆ្ងាយគឺផ្អែកលើការពិតដែលថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍តែងតែបំពេញទំនាក់ទំនងសាមញ្ញមួយចំនួន។ ការសិក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅលើមូលដ្ឋាននៃទំនាក់ទំនងសាមញ្ញទាំងនេះគឺជាប្រធានបទនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។

គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ

គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ជាវិន័យគណិតវិទ្យា ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងសាមញ្ញបំផុតនៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃអ្វីដែលហៅថា ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេបឋម។ រាល់ការធ្វើតេស្ត Tពិចារណាក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេបឋម គឺវាបញ្ចប់ដោយព្រឹត្តិការណ៍មួយ និងតែមួយគត់ អ៊ី 1 , អ៊ី 2 , ... , អ៊ី S (មួយឬផ្សេងទៀតអាស្រ័យលើករណី) ។ ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាលទ្ធផលសាកល្បង។ ជាមួយនឹងលទ្ធផលនីមួយៗ អ៊ី kចងលេខវិជ្ជមាន រ ទៅ - លទ្ធភាពនៃលទ្ធផលនេះ។ លេខ ទំ kត្រូវតែបន្ថែមរហូតដល់មួយ។ បន្ទាប់មកព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានពិចារណា។ ប៉ុន្តែមាននៅក្នុងការពិតដែលថា "មកឬ អ៊ី ខ្ញុំ , ឬ អ៊ី j ,..., ឬ អ៊ី k"។ លទ្ធផល អ៊ី ខ្ញុំ , អ៊ី j , ... , អ៊ី kត្រូវបានគេហៅថាអំណោយផល ប៉ុន្តែហើយតាមនិយមន័យសន្មត់ថាប្រូបាប៊ីលីតេ រ(ប៉ុន្តែ) ការអភិវឌ្ឍន៍ ប៉ុន្តែស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលអំណោយផល៖

ទំ(ក) =ទំ ខ្ញុំ +ទំ ស +… +ទំ k . (1)

ករណីពិសេស ទំ 1 =ទំ 2 =...ទំ s= ១/សនាំទៅរករូបមន្ត

រ(ប៉ុន្តែ) =r/s ។(2)

រូបមន្ត (2) បង្ហាញពីអ្វីដែលហៅថានិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ យោងទៅតាមប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃចំនួន rលទ្ធផលអំណោយផល ប៉ុន្តែទៅលេខ សលទ្ធផលទាំងអស់ "អាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា" ។ និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេកាត់បន្ថយសញ្ញាណនៃ "ប្រូបាប៊ីលីតេ" ទៅនឹងសញ្ញាណនៃ "ភាពស្មើគ្នា" ដែលនៅតែមានដោយគ្មាននិយមន័យច្បាស់លាស់។

ឧទាហរណ៍។ នៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់ លទ្ធផលដែលអាចកើតមាន 36 នីមួយៗអាចត្រូវបានដាក់ស្លាក ( ខ្ញុំ,j), កន្លែងណា ខ្ញុំ- ចំនួនពិន្ទុធ្លាក់ចុះនៅលើការស្លាប់ដំបូង, j-នៅលើទីពីរ។ លទ្ធផល​ត្រូវ​បាន​សន្មត​ថា​មាន​ប្រហែល​ស្មើ​គ្នា។ ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ -"ផលបូកនៃពិន្ទុគឺ 4", លទ្ធផលបីពេញចិត្ត (1; 3), (2; 2), (3; 1) ។ អាស្រ័យហេតុនេះ រ(ក) = 3/36= 1/12.

ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យនៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ ព្រឹត្តិការណ៍ថ្មីពីរអាចត្រូវបានកំណត់: សហជីពរបស់ពួកគេ (ផលបូក) និងការរួមបញ្ចូលគ្នា (ផលិតផល) ។

ព្រឹត្តិការណ៍ អេត្រូវបានគេហៅថាសហជីពនៃព្រឹត្តិការណ៍ ក 1 , ក 2 ,..., ក r ,-, ប្រសិនបើវាមើលទៅដូចជា: "មកឬ ក 1 , ឬ ប៉ុន្តែ 2 ,..., ឬ ក r ».

ព្រឹត្តិការណ៍ C ត្រូវបានគេហៅថាចៃដន្យនៃព្រឹត្តិការណ៍ ក 1 , ប៉ុន្តែ។ 2 ,..., ក r , ប្រសិនបើវាមើលទៅដូចជា: "មកហើយ ក 1 , និង ក 2 ,..., និង ក r » . ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានបង្ហាញដោយសញ្ញា  និងការបញ្ចូលគ្នា - ដោយសញ្ញា  ។ ដូច្នេះពួកគេសរសេរ៖

ខ = ក 1  ក 2  …  ក r , គ = ក 1  ក 2  …  ក r .

ការអភិវឌ្ឍន៍ ប៉ុន្តែនិង អេត្រូវបានគេហៅថាមិនឆបគ្នា ប្រសិនបើការអនុវត្តដំណាលគ្នារបស់ពួកគេមិនអាចទៅរួច នោះមានន័យថា ប្រសិនបើមិនមានការអនុគ្រោះតែមួយ និង ប៉ុន្តែនិង អេ.

ទ្រឹស្តីបទសំខាន់ពីរនៃទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងប្រតិបត្តិការដែលបានណែនាំនៃការបញ្ចូលគ្នា និងព្រឹត្តិការណ៍រួមបញ្ចូលគ្នា - ទ្រឹស្តីបទនៃការបូក និងគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។

ទ្រឹស្តីបទបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ៖ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ ក 1 ,ក 2 ,...,ក rតើពួកគេទាំងពីរមិនស៊ីគ្នាទេ នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃសហជីពរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ។

ដូច្នេះនៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើជាមួយនឹងការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរដែលជាព្រឹត្តិការណ៍ អេ -"ផលបូកនៃពិន្ទុមិនលើសពី 4" មានការរួបរួមនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាចំនួនបី ក 2 ,ក 3 ,ក 4 , មាននៅក្នុងការពិតដែលថាផលបូកនៃពិន្ទុគឺស្មើនឹង 2, 3, 4 រៀងគ្នា។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះគឺ 1/36; ២/៣៦; ៣/៣៦។ ដោយទ្រឹស្តីបទបន្ថែម ប្រូបាប៊ីលីតេ រ(អេ) គឺស្មើនឹង

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

ការអភិវឌ្ឍន៍ ក 1 ,ក 2 ,...,ក r ត្រូវបានគេហៅថាឯករាជ្យ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃពួកវានីមួយៗ ផ្តល់ថាការណាមួយផ្សេងទៀតបានកើតឡើង គឺស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ "គ្មានលក្ខខណ្ឌ" របស់វា។

ទ្រឹស្តីបទគុណប្រូបាប៊ីលីតេ៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពចៃដន្យនៃព្រឹត្តិការណ៍ ក 1 ,ក 2 ,...,ក r គឺស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ក 1 , គុណនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ក 2 បានយកនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនោះ។ ប៉ុន្តែ 1 បានកើតឡើង,..., គុណនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ក r បានផ្តល់ថា ក 1 ,ក 2 ,...,ក r-1 បានមកដល់ហើយ។ សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ ទ្រឹស្តីបទគុណនាំទៅរករូបមន្ត៖

ទំ(ក 1 ក 2 …ក r) =ទំ(ក 1 )ទំ(ក 2 )· ... · P(ក r), (3)

នោះគឺប្រូបាប៊ីលីតេនៃការរួមបញ្ចូលគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ។ រូបមន្ត (3) នៅតែមានសុពលភាព ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួននៅក្នុងផ្នែកទាំងពីររបស់វាត្រូវបានជំនួសដោយធាតុផ្ទុយ។

ឧទាហរណ៍។ បាញ់ចំនួន 4 គ្រាប់ទៅកាន់គោលដៅជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបុក 0.2 លើការបាញ់តែមួយ។ ការវាយលុកគោលដៅសម្រាប់ការបាញ់ប្រហារផ្សេងៗគ្នាត្រូវបានសន្មតថាជាព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅយ៉ាងពិតប្រាកដបីដង?

លទ្ធផលតេស្តនីមួយៗអាចត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយលំដាប់នៃអក្សរបួន [ឧទាហរណ៍ (y, n, n, y) មានន័យថាការបាញ់លើកទី 1 និងទី 4 ត្រូវបានវាយលុក (ជោគជ័យ) ហើយការវាយទីពីរនិងទីបីមិនមែនជា (បរាជ័យ)] ។ សរុបនឹងមាន 2 2 2 2 = 16 លទ្ធផល។ ដោយអនុលោមតាមការសន្មត់នៃឯករាជ្យភាពនៃលទ្ធផលនៃការបាញ់នីមួយៗ រូបមន្ត (3) និងកំណត់ចំណាំចំពោះវាគួរតែត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលទាំងនេះ។ ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផល (y, n. n, n) គួរតែត្រូវបានកំណត់ស្មើនឹង 0.2 0.8 0.8 0.8 = 0.1024; នៅទីនេះ 0.8 \u003d 1-0.2 - ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការខកខានដោយការបាញ់តែមួយ។ ព្រឹត្តិការណ៍ "គោលដៅត្រូវបានវាយប្រហារបីដង" ត្រូវបានពេញចិត្តដោយលទ្ធផល (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y) ។ (n, y, y, y) ប្រូបាប៊ីលីតេនៃនីមួយៗគឺដូចគ្នា៖

0.2 0.2 0.2 0.8 =...... = 0.8 0.2 0.2 0.2 = 0.0064;

ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានគឺស្មើនឹង

4 0.0064 = 0.0256 ។

ការបង្កើតហេតុផលទូទៅនៃឧទាហរណ៍ដែលបានវិភាគ យើងអាចទាញយករូបមន្តមូលដ្ឋានមួយនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ៖ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ ក 1 , ក 2 ,..., ក នគឺឯករាជ្យ ហើយនីមួយៗមានប្រូបាប៊ីលីតេ Rបន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេពិតប្រាកដ មដែលស្មើនឹង

ទំ ន (ម)= គ ន ម ទំ ម (1- ទំ) n-m ; (4)

នៅទីនេះ គ ន មបង្ហាញពីចំនួនបន្សំនៃ នធាតុដោយ មធំ នការគណនាដោយរូបមន្ត (4) ក្លាយជាការលំបាក។

ក្នុងចំណោមរូបមន្តមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេបឋមក៏ត្រូវបានគេហៅថាផងដែរ។ រូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុប៖ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ ក 1 , ក 2 ,..., ក rមិនឆបគ្នាជាគូ ហើយសហជីពរបស់ពួកគេគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយ បន្ទាប់មកសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ។ អេប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វាគឺស្មើនឹងផលបូករបស់វា។

ទ្រឹស្តីបទគុណប្រូបាប៊ីលីតេមានប្រយោជន៍ជាពិសេសនៅពេលពិចារណាលើការធ្វើតេស្តសមាសធាតុ។ ពួកគេនិយាយថាការធ្វើតេស្ត ធបង្កើតឡើងដោយការសាកល្បង ធ 1 , ធ 2 , ... , ធ n-1 , ធ ន, ប្រសិនបើ លទ្ធផលតេស្តនីមួយៗ ធមានការរួមបញ្ចូលគ្នានៃលទ្ធផលមួយចំនួន ក ខ្ញុំ , ខ j , ... , X k , យ លីត្រការធ្វើតេស្តពាក់ព័ន្ធ ធ 1 , ធ 2 , ... , ធ n-1 , ធ ន. ពីហេតុផលមួយ ឬហេតុផលផ្សេងទៀត ប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានគេស្គាល់ជាញឹកញាប់

ទំ(ក ខ្ញុំ), ទំ(ខ j / ក ខ្ញុំ), …,ទំ(យ លីត្រ / ក ខ្ញុំ ខ j …X k). (5)

ប្រូបាប៊ីលីតេ (5) អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេ រ(អ៊ី) សម្រាប់លទ្ធផលទាំងអស់។ អ៊ីការធ្វើតេស្តសមាសធាតុ ហើយក្នុងពេលតែមួយ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់ដែលទាក់ទងនឹងការធ្វើតេស្តនេះ។ តាមទស្សនៈជាក់ស្តែង ការធ្វើតេស្តផ្សំពីរប្រភេទហាក់ដូចជាមានសារៈសំខាន់បំផុត៖

ក) សមាសធាតុនៃការធ្វើតេស្តគឺឯករាជ្យ ពោលគឺប្រូបាប៊ីលីតេ (5) ស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេគ្មានលក្ខខណ្ឌ ទំ(ក ខ្ញុំ), ទំ(ខ j), ... , ភី(យ លីត្រ);

ខ) ប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តណាមួយត្រូវបានប៉ះពាល់ដោយលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តមុនភ្លាមៗ ពោលគឺប្រូបាប៊ីលីតេ (5) គឺស្មើគ្នារៀងៗខ្លួន៖ ទំ(ក ខ្ញុំ), ទំ(ខ j / ក ខ្ញុំ), ... , ភី(យ ខ្ញុំ / X k). ក្នុងករណីនេះមនុស្សម្នាក់និយាយអំពីការធ្វើតេស្តដែលបានតភ្ជាប់នៅក្នុងខ្សែសង្វាក់ Markov ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់ដែលទាក់ទងនឹងការធ្វើតេស្តសមាសធាតុត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងនៅទីនេះដោយប្រូបាប៊ីលីតេដំបូង រ(ប៉ុន្តែ ខ្ញុំ) និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការផ្លាស់ប្តូរ ទំ(ខ j / ក ខ្ញុំ), ... , ភី(យ លីត្រ / X k).

រូបមន្តមូលដ្ឋាននៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ

រូបមន្តទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។

1. រូបមន្តមូលដ្ឋាននៃ combinatorics

ក) ការផ្លាស់ប្តូរ។

b) ទីតាំង

គ) បន្សំ .

2. និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។

តើចំនួនលទ្ធផលអំណោយផលសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍នៅឯណា គឺជាចំនួននៃលទ្ធផលបឋមដែលអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា។

3. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍

ទ្រឹស្តីបទបន្ថែមសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នា៖

ទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នា៖

4. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការផលិតព្រឹត្តិការណ៍

ទ្រឹស្តីបទនៃការគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ៖

ទ្រឹស្តីបទនៃការគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យ៖

,

ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យថាព្រឹត្តិការណ៍បានកើតឡើង,

ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យថាព្រឹត្តិការណ៍បានកើតឡើង។

Combinatorics គឺជាសាខានៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាសំណួរអំពីចំនួនបន្សំផ្សេងៗគ្នា ដែលស្ថិតនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ អាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃ combinatorics មានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ ពីព្រោះ វាគឺជាពួកគេដែលធ្វើឱ្យវាអាចគណនាចំនួនដែលអាចធ្វើទៅបានជាមូលដ្ឋាននៃសេណារីយ៉ូផ្សេងៗគ្នាសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍព្រឹត្តិការណ៍។

រូបមន្តផ្សំជាមូលដ្ឋាន

សូមឱ្យមានក្រុម k ហើយក្រុម i-th មានធាតុ ni ។ តោះជ្រើសរើសធាតុមួយពីក្រុមនីមួយៗ។ បន្ទាប់មកចំនួនសរុប N នៃវិធីដែលជម្រើសបែបនេះអាចត្រូវបានកំណត់ដោយទំនាក់ទំនង N=n1*n2*n3*...*nk ។

ឧទាហរណ៍ទី 1 ចូរយើងពន្យល់ពីច្បាប់នេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានធាតុពីរ ក្រុមទីមួយមានធាតុ n1 និងក្រុមទីពីរមានធាតុ n2 ។ តើគូនៃធាតុផ្សេងគ្នាប៉ុន្មានអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីក្រុមទាំងពីរនេះ ដូច្នេះគូមានធាតុមួយពីក្រុមនីមួយៗ? ឧបមាថាយើងបានយកធាតុទីមួយពីក្រុមទីមួយហើយដោយមិនផ្លាស់ប្តូរវាឆ្លងកាត់គូដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ដោយផ្លាស់ប្តូរតែធាតុពីក្រុមទីពីរប៉ុណ្ណោះ។ មាន n2 គូបែបនេះសម្រាប់ធាតុនេះ។ បន្ទាប់មកយើងយកធាតុទីពីរពីក្រុមទីមួយហើយក៏បង្កើតគូដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់សម្រាប់វា។ វាក៏នឹងមាន n2 គូបែបនេះផងដែរ។ ដោយសារមានតែធាតុ n1 នៅក្នុងក្រុមទីមួយ វានឹងមានជម្រើសដែលអាចធ្វើបាន n1 * n2 ។

ឧទាហរណ៍ 2. តើលេខគូបីខ្ទង់អាចបង្កើតបានប៉ុន្មានពីខ្ទង់ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ប្រសិនបើលេខអាចធ្វើម្តងទៀតបាន?

ដំណោះស្រាយ៖ n1=6 (ចាប់តាំងពីអ្នកអាចយកខ្ទង់ណាមួយពី 1, 2, 3, 4, 5, 6 ជាខ្ទង់ទីមួយ), n2=7 (ពីព្រោះអ្នកអាចយកខ្ទង់ណាមួយពី 0 ជាខ្ទង់ទីពីរ , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (ចាប់តាំងពីអ្នកអាចយកខ្ទង់ណាមួយពី 0, 2, 4, 6 ជាខ្ទង់ទីបី)។

ដូច្នេះ N=n1*n2*n3=6*7*4=168។

ក្នុងករណីនៅពេលដែលក្រុមទាំងអស់មានចំនួនដូចគ្នានៃធាតុ, i.e. n1=n2=...nk=n យើង​អាច​សន្មត់​ថា​ជម្រើស​នីមួយៗ​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ពី​ក្រុម​ដូច​គ្នា ហើយ​ធាតុ​បន្ទាប់​ពី​ជម្រើស​ត្រូវ​បាន​ត្រឡប់​ទៅ​ក្រុម​ម្ដង​ទៀត។ បន្ទាប់មកចំនួននៃវិធីសាស្រ្តជ្រើសរើសទាំងអស់គឺស្មើនឹង nk វិធីសាស្ត្រជ្រើសរើសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា sampling ជាមួយការត្រឡប់មកវិញ។

ឧទាហរណ៍។ តើលេខបួនខ្ទង់អាចបង្កើតបានពីលេខ 1, 5, 6, 7, 8?

ដំណោះស្រាយ។ មានលទ្ធភាពប្រាំសម្រាប់ខ្ទង់នីមួយៗនៃលេខបួនខ្ទង់ ដូច្នេះ N=5*5*5*5=54=625។

ពិចារណាសំណុំដែលមានធាតុ n ។ ឈុតនេះនឹងត្រូវបានគេហៅថាប្រជាជនទូទៅ។

និយមន័យ 1. ការរៀបចំនៃធាតុ n ដោយ m គឺជាសំណុំលំដាប់ណាមួយនៃធាតុ m ផ្សេងគ្នាដែលត្រូវបានជ្រើសរើសពីចំនួនប្រជាជននៃធាតុ n ។

ឧទាហរណ៍។ ការរៀបចំផ្សេងគ្នានៃធាតុបី (1, 2, 3) ពីរដោយពីរនឹងត្រូវបានកំណត់ (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , ២). កន្លែងដាក់អាចខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកទាំងនៅក្នុងធាតុនិងតាមលំដាប់របស់វា។

ចំនួននៃការដាក់ត្រូវបានតាងដោយ A, m ពី n ហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ចំណាំ៖ n!=1*2*3*...*n (អាន៖ "en factorial") ក្រៅពីនេះ វាត្រូវបានសន្មត់ថា 0!=1។

ឧទាហរណ៍ 5. តើមានលេខពីរខ្ទង់ប៉ុន្មានដែលខ្ទង់ដប់ និងលេខខ្ទង់ខុសគ្នា និងសេស?

ដំណោះស្រាយ៖ ដោយសារតែ មានលេខសេសចំនួនប្រាំគឺ 1, 3, 5, 7, 9 បន្ទាប់មកបញ្ហានេះត្រូវបានកាត់បន្ថយក្នុងការជ្រើសរើស និងដាក់លេខពីរក្នុងចំណោមប្រាំខ្ទង់ផ្សេងគ្នានៅក្នុងមុខតំណែងពីរផ្សេងគ្នាពោលគឺឧ។ លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងមានៈ

និយមន័យ 2. ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃធាតុ n ដោយ m គឺជាសំណុំមិនកំណត់នៃធាតុ m ផ្សេងគ្នាដែលត្រូវបានជ្រើសរើសពីចំនួនប្រជាជនទូទៅនៃធាតុ n ។

ឧទាហរណ៍ 6. សម្រាប់សំណុំ (1, 2, 3) បន្សំគឺ (1, 2), (1, 3), (2, 3) ។

ចំនួនបន្សំត្រូវបានតាងដោយ Cnm ហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

និយមន័យ 3. ការផ្លាស់ប្តូរនៃធាតុ n គឺជាសំណុំលំដាប់ណាមួយនៃធាតុទាំងនេះ។

ឧទាហរណ៍ ៧ ក. ការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចកើតមានទាំងអស់នៃសំណុំដែលមានធាតុបី (1, 2, 3) គឺ: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2) ។

ចំនួននៃការបំប្លែងផ្សេងៗនៃធាតុ n ត្រូវបានតាងដោយ Pn ហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត Pn=n !។

ឧទាហរណ៍ 8. តើសៀវភៅប្រាំពីរក្បាលដោយអ្នកនិពន្ធផ្សេងគ្នាអាចត្រូវបានរៀបចំនៅលើធ្នើក្នុងមួយជួរដោយវិធីប៉ុន្មាន?

ដំណោះ​ស្រាយ៖ បញ្ហា​នេះ​គឺ​អំពី​ចំនួន​នៃ​ការ​កែប្រែ​សៀវភៅ​ប្រាំពីរ​ផ្សេង​គ្នា។ មានវិធី P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 របៀបរៀបចំសៀវភៅ។

ការពិភាក្សា។ យើងឃើញថាចំនួនបន្សំដែលអាចធ្វើបានអាចត្រូវបានគណនាដោយយោងទៅតាមច្បាប់ផ្សេងៗគ្នា (ការផ្លាស់ប្តូរ បន្សំ ការដាក់) ហើយលទ្ធផលនឹងខុសគ្នា ពីព្រោះ គោលការណ៍នៃការរាប់ និងរូបមន្តខ្លួនឯងគឺខុសគ្នា។ ក្រឡេកមើលនិយមន័យឱ្យបានដិតដល់ អ្នកអាចមើលឃើញថាលទ្ធផលអាស្រ័យលើកត្តាជាច្រើនក្នុងពេលតែមួយ។

ទីមួយ ពីចំនួនធាតុដែលយើងអាចបញ្ចូលគ្នានូវសំណុំរបស់វា (ចំនួនប្រជាជនទូទៅនៃធាតុ)។

ទីពីរ លទ្ធផលគឺអាស្រ័យលើទំហំសំណុំនៃធាតុដែលយើងត្រូវការ។

ជាចុងក្រោយ វាជាការសំខាន់ដែលត្រូវដឹងថាតើលំដាប់នៃធាតុនៅក្នុងសំណុំមានសារៈសំខាន់សម្រាប់យើងដែរឬទេ។ ចូរយើងពន្យល់ពីកត្តាចុងក្រោយជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍។ មានមនុស្ស 20 នាក់នៅឯកិច្ចប្រជុំមាតាបិតា។ តើ​មាន​ជម្រើស​ខុស​គ្នា​ប៉ុន្មាន​សម្រាប់​សមាសភាព​គណៈកម្មាធិការ​មេ​ដែល​មាន​ប្រសិន​បើ​វា​គួរ​តែ​រួម​បញ្ចូល​មនុស្ស 5 នាក់?

ដំណោះស្រាយ៖ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងមិនចាប់អារម្មណ៍លើលំដាប់នៃឈ្មោះក្នុងបញ្ជីគណៈកម្មាធិការទេ។ ប្រសិនបើជាលទ្ធផលមនុស្សដូចគ្នាលេចឡើងនៅក្នុងសមាសភាពរបស់វានោះក្នុងន័យនៃអត្ថន័យសម្រាប់យើងនេះគឺជាជម្រើសដូចគ្នា។ ដូច្នេះយើងអាចប្រើរូបមន្តដើម្បីរាប់ចំនួនបន្សំនៃធាតុ 20 ដោយ 5 ។

អ្វីៗនឹងមានភាពខុសប្លែកគ្នាប្រសិនបើសមាជិកនីមួយៗនៃគណៈកម្មាធិការដំបូងទទួលខុសត្រូវចំពោះផ្នែកជាក់លាក់នៃការងារ។ បន្ទាប់មកជាមួយនឹងបញ្ជីប្រាក់ខែដូចគ្នារបស់គណៈកម្មាធិការ 5 អាចធ្វើទៅបាននៅខាងក្នុងវា! ជម្រើសផ្លាស់ប្តូរដែលសំខាន់។ ចំនួននៃជម្រើសផ្សេងគ្នា (ទាំងនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃសមាសភាពនិងតំបន់នៃការទទួលខុសត្រូវ) ត្រូវបានកំណត់ក្នុងករណីនេះដោយចំនួននៃការដាក់នៃ 20 ធាតុដោយ 5 ។

និយមន័យធរណីមាត្រនៃប្រូបាប៊ីលីតេ

សូម​ឲ្យ​ការ​ធ្វើ​តេស្ត​ដោយ​ចៃដន្យ​ត្រូវ​បាន​គិត​ថា​ជា​ការ​បោះ​ចំណុច​មួយ​ដោយ​ចៃដន្យ​ទៅ​ក្នុង​តំបន់​ធរណីមាត្រ G (នៅ​លើ​បន្ទាត់ យន្តហោះ ឬ​លំហ)។ លទ្ធផលបឋមគឺជាចំណុចនីមួយៗ G ព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយគឺជាសំណុំរងនៃតំបន់នេះ លំហនៃលទ្ធផលបឋម G. យើងអាចសន្មត់ថាចំណុចទាំងអស់ G គឺ "ស្មើគ្នា" ហើយបន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃចំណុចដែលធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសំណុំរងជាក់លាក់មួយគឺសមាមាត្រទៅនឹងរបស់វា។ រង្វាស់ (ប្រវែង តំបន់ បរិមាណ) និងឯករាជ្យនៃទីតាំង និងរូបរាងរបស់វា។

ប្រូបាប៊ីលីតេធរណីមាត្រនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ត្រូវបានកំណត់ដោយទំនាក់ទំនង៖ ដែល m(G), m(A) គឺជារង្វាស់ធរណីមាត្រ (ប្រវែង តំបន់ ឬបរិមាណ) នៃលំហទាំងមូលនៃលទ្ធផលបឋម និងព្រឹត្តិការណ៍ A។

ឧទាហរណ៍។ រង្វង់នៃកាំ r () ត្រូវបានបោះចោលដោយចៃដន្យទៅលើយន្តហោះដែលបែងចែកដោយបន្ទះប៉ារ៉ាឡែលនៃទទឹង 2d ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់អ័ក្សដែលស្មើនឹង 2D ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលរង្វង់កាត់ច្រូតខ្លះ។

ដំណោះស្រាយ។ ជាលទ្ធផលបឋមនៃការធ្វើតេស្តនេះ យើងនឹងពិចារណាពីចម្ងាយ x ពីចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ទៅបន្ទាត់កណ្តាលនៃបន្ទះដែលនៅជិតរង្វង់បំផុត។ បន្ទាប់មកចន្លោះទាំងមូលនៃលទ្ធផលបឋមគឺជាផ្នែកមួយ។ ចំនុចប្រសព្វនៃរង្វង់ដែលមានឆ្នូតនឹងកើតឡើង ប្រសិនបើចំណុចកណ្តាលរបស់វាធ្លាក់ចូលទៅក្នុងបន្ទះ ពោលគឺ ឬស្ថិតនៅចម្ងាយតិចជាងកាំពីគែមនៃបន្ទះ ពោលគឺឧ។

សម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន យើងទទួលបាន៖ .

ការចាត់ថ្នាក់នៃព្រឹត្តិការណ៍ទៅជាអាចធ្វើទៅបាន ប្រហែលជា និងចៃដន្យ។ គំនិតនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមសាមញ្ញ និងស្មុគស្មាញ។ ប្រតិបត្តិការលើព្រឹត្តិការណ៍។ និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ ធាតុនៃ combinatorics នៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ប្រូបាប៊ីលីតេធរណីមាត្រ។ Axioms នៃទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។

1. ចំណាត់ថ្នាក់នៃព្រឹត្តិការណ៍

គោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាគំនិតនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានគេយល់ថាមានន័យថាការពិតណាមួយដែលអាចកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃបទពិសោធន៍ ឬការធ្វើតេស្តមួយ។ នៅក្រោមបទពិសោធន៍ ឬការធ្វើតេស្ត ត្រូវបានយល់អំពីការអនុវត្តនៃលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍នៃព្រឹត្តិការណ៍៖

- វាយគោលដៅនៅពេលបាញ់ពីកាំភ្លើង (បទពិសោធន៍ - ផលិតផលនៃការបាញ់មួយព្រឹត្តិការណ៍ - វាយគោលដៅ);

- ការបាត់បង់អាវធំពីរក្នុងអំឡុងពេលបោះកាក់បីដង (បទពិសោធន៍ - ការបោះកាក់បីដង ព្រឹត្តិការណ៍មួយ - ការបាត់បង់អាវធំពីរ);

- រូបរាងនៃកំហុសរង្វាស់នៅក្នុងដែនកំណត់ដែលបានបញ្ជាក់នៅពេលវាស់ចម្ងាយទៅគោលដៅ (ការពិសោធន៍ - ការវាស់ចម្ងាយ; ព្រឹត្តិការណ៍ - កំហុសរង្វាស់) ។

គំរូបែបនេះរាប់មិនអស់អាចត្រូវបានលើកឡើង។ ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយអក្សរធំនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង។ល។

បែងចែករវាងព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នា និងមិនរួមគ្នា។ ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថារួមគ្នាប្រសិនបើការកើតឡើងនៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេមិនរាប់បញ្ចូលការកើតឡើងនៃផ្សេងទៀត។ បើមិនដូច្នេះទេ ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថាមិនឆបគ្នា។ ឧទាហរណ៍ គ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរត្រូវបានបោះចោល។ ព្រឹត្តិការណ៍ - ការបាត់បង់បីពិន្ទុលើគ្រាប់ឡុកឡាក់ទីមួយ ព្រឹត្តិការណ៍ - ការបាត់បង់បីពិន្ទុនៅលើការស្លាប់ទីពីរ និង - ព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យហាងទទួលបានស្បែកជើងដែលមានរចនាប័ទ្ម និងទំហំដូចគ្នា ប៉ុន្តែមានពណ៌ផ្សេងគ្នា។ ព្រឹត្តិការណ៍មួយ - ប្រអប់ដែលយកដោយចៃដន្យនឹងមានស្បែកជើងខ្មៅ ព្រឹត្តិការណ៍មួយ - ប្រអប់មួយនឹងនៅជាមួយស្បែកជើងពណ៌ត្នោត និង - ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា។

ព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានគេហៅថាជាក់លាក់ប្រសិនបើវានឹងចាំបាច់កើតឡើងក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃការពិសោធន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានគេនិយាយថាមិនអាចទៅរួច ប្រសិនបើវាមិនអាចទៅរួចក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃបទពិសោធន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ជាឧទាហរណ៍ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលផ្នែកស្ដង់ដារមួយត្រូវបានយកចេញពីបណ្តុំនៃផ្នែកស្ដង់ដារគឺជាក់លាក់ ប៉ុន្តែផ្នែកដែលមិនស្តង់ដារគឺមិនអាចទៅរួចទេ។

ព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានគេហៅថាអាចធ្វើទៅបាន ឬចៃដន្យ ប្រសិនបើជាលទ្ធផលនៃបទពិសោធន៍ វាអាចឬមិនកើតឡើង។ ឧទាហរណ៏នៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយគឺការកំណត់អត្តសញ្ញាណនៃពិការភាពផលិតផលកំឡុងពេលត្រួតពិនិត្យផលិតផលសម្រេចមួយបាច់ ភាពខុសគ្នារវាងទំហំនៃផលិតផលដែលបានដំណើរការ និងផលិតផលដែលបានផ្តល់ឱ្យ ការបរាជ័យនៃតំណភ្ជាប់មួយនៃប្រព័ន្ធគ្រប់គ្រងស្វ័យប្រវត្តិ។

ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេនិយាយថាទំនងជាស្មើគ្នា ប្រសិនបើនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃការធ្វើតេស្ត គ្មានព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយទំនងជាមានគោលបំណងច្រើនជាងព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀត។ ជាឧទាហរណ៍ ឧបមាថាហាងមួយត្រូវបានផ្គត់ផ្គង់ដោយអំពូលភ្លើង (និងក្នុងបរិមាណស្មើគ្នា) ដោយក្រុមហ៊ុនផលិតជាច្រើន។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមាននៅក្នុងការទិញអំពូលពីរោងចក្រណាមួយនេះគឺប្រហែលដូចគ្នា។

គំនិតសំខាន់មួយគឺក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍។ ព្រឹត្តិការណ៍ជាច្រើននៅក្នុងការពិសោធន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាក្រុមពេញលេញ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកវាចាំបាច់លេចឡើងជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍។ ជាឧទាហរណ៍ មានបាល់ដប់នៅក្នុងកោដ្ឋ ដែលក្នុងនោះប្រាំមួយមានពណ៌ក្រហម និងបួនមានពណ៌ស ដែលប្រាំគ្រាប់ត្រូវបានរាប់ជាលេខ។ - រូបរាងនៃបាល់ពណ៌ក្រហមដែលមានគំនូរមួយ - រូបរាងនៃបាល់ពណ៌ស - រូបរាងនៃបាល់ដែលមានលេខ។ ព្រឹត្តិការណ៍បង្កើតជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នា។

ចូរយើងណែនាំអំពីគំនិតនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ ឬបន្ថែម។ ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាំបាច់ត្រូវតែកើតឡើង ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួនមិនបានកើតឡើង។ ព្រឹត្តិការណ៍​ផ្ទុយ​គ្នា​គឺ​មិន​ត្រូវ​គ្នា​និង​មាន​តែ​មួយ​គត់​ដែល​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​។ ពួកគេបង្កើតជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើវត្ថុដែលផលិតឡើងមានធាតុល្អ និងខូច នោះនៅពេលដែលវត្ថុមួយត្រូវបានដកចេញ វាអាចប្រែទៅជាល្អ - ព្រឹត្តិការណ៍ ឬមានកំហុស - ព្រឹត្តិការណ៍មួយ។

2. ប្រតិបត្តិការលើព្រឹត្តិការណ៍

នៅពេលបង្កើតឧបករណ៍ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់សិក្សាព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គំនិតនៃផលបូក និងផលនៃព្រឹត្តិការណ៍មានសារៈសំខាន់ណាស់។

ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីគំរូនៃបាតុភូតចៃដន្យ៖ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ អថេរចៃដន្យ លក្ខណៈសម្បត្តិ និងប្រតិបត្តិការលើពួកវា។

អស់រយៈពេលជាយូរមកហើយ ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ មិនមាននិយមន័យច្បាស់លាស់ទេ។ វាត្រូវបានបង្កើតឡើងតែនៅក្នុងឆ្នាំ 1929 ប៉ុណ្ណោះ។ ការលេចឡើងនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេជាវិទ្យាសាស្ត្រត្រូវបានសន្មតថាជាយុគសម័យកណ្តាលនិងការប៉ុនប៉ងដំបូងក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យានៃការលេងល្បែង (បោះ, គ្រាប់ឡុកឡាក់, រ៉ូឡែត) ។ គណិតវិទូជនជាតិបារាំងនៃសតវត្សទី 17 Blaise Pascal និង Pierre de Fermat បានរកឃើញគំរូប្រូបាប៊ីលីតេដំបូងដែលកើតឡើងនៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ខណៈពេលកំពុងសិក្សាការទស្សន៍ទាយពីការឈ្នះក្នុងល្បែង។

ទ្រឹស្ដីនៃប្រូបាប៊ីលីតេបានកើតឡើងជាវិទ្យាសាស្ត្រមួយពីជំនឿដែលថាភាពទៀងទាត់មួយចំនួនស្ថិតនៅក្រោមព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដ៏ធំ។ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេសិក្សាពីគំរូទាំងនេះ។

ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ ទាក់ទងនឹងការសិក្សាអំពីព្រឹត្តិការណ៍ ដែលការកើតឡើងដែលមិនស្គាល់ជាក់លាក់។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកវិនិច្ឆ័យកម្រិតនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួនបើប្រៀបធៀបទៅនឹងអ្នកដទៃ។

ឧទាហរណ៍៖ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកំណត់ដោយមិនច្បាស់លាស់ពីលទ្ធផលនៃកាក់ដែលបោះក្បាល ឬកន្ទុយ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងការបោះម្តងហើយម្តងទៀត ប្រហែលចំនួនក្បាល និងកន្ទុយដូចគ្នាធ្លាក់ចេញ ដែលមានន័យថាប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្បាល ឬកន្ទុយនឹងធ្លាក់ចុះ "គឺស្មើគ្នា។ ទៅ 50% ។

សាកល្បងក្នុងករណីនេះ ការអនុវត្តលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់មួយត្រូវបានគេហៅថា ក្នុងករណីនេះ ការបោះកាក់។ ការប្រកួតប្រជែងអាចលេងបានចំនួនដងគ្មានដែនកំណត់។ ក្នុងករណីនេះភាពស្មុគស្មាញនៃលក្ខខណ្ឌរួមមានកត្តាចៃដន្យ។

លទ្ធផលតេស្តគឺ ព្រឹត្តិការណ៍. ព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង៖

1. អាចទុកចិត្តបាន (តែងតែកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត)។
2. មិនអាចទៅរួច (មិនដែលកើតឡើង)។
3. ចៃដន្យ (អាចឬមិនកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត) ។

ឧទាហរណ៍នៅពេលបោះកាក់ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច - កាក់នឹងបញ្ចប់នៅលើគែម ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ - ការបាត់បង់ "ក្បាល" ឬ "កន្ទុយ" ។ លទ្ធផលតេស្តជាក់លាក់ត្រូវបានគេហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍បឋម. ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តមានតែព្រឹត្តិការណ៍បឋមប៉ុណ្ណោះដែលកើតឡើង។ សរុបនៃលទ្ធផលតេស្តដែលអាចធ្វើបាន ខុសគ្នា និងជាក់លាក់ត្រូវបានគេហៅថា កន្លែងព្រឹត្តិការណ៍បឋម.

គំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តី

ប្រូបាប៊ីលីតេ- កម្រិតនៃលទ្ធភាពនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍។ នៅពេលដែលហេតុផលសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមានពិតប្រាកដលើសពីហេតុផលផ្ទុយ នោះព្រឹត្តិការណ៍នេះត្រូវបានគេហៅថាប្រហែលជា បើមិនដូច្នោះទេ - មិនទំនង ឬមិនទំនង។

តម្លៃចៃដន្យ- នេះគឺជាតម្លៃដែលលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តអាចយកតម្លៃមួយ ឬតម្លៃផ្សេងទៀត ហើយគេមិនដឹងជាមុនថាមួយណា។ ឧទាហរណ៍៖ ចំនួនស្ថានីយ៍ពន្លត់អគ្គីភ័យក្នុងមួយថ្ងៃ ចំនួននៃការបាញ់ប្រហារចំនួន ១០ ដង។ល។

អថេរចៃដន្យអាចបែងចែកជាពីរប្រភេទ។

1. អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកបរិមាណបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ដែលជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត អាចយកតម្លៃជាក់លាក់ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេជាក់លាក់ បង្កើតជាសំណុំដែលអាចរាប់បាន (សំណុំដែលធាតុអាចរាប់បាន)។ ឈុតនេះអាចមានកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។ ជាឧទាហរណ៍ ចំនួននៃការបាញ់មុនពេលវាយដំបូងលើគោលដៅគឺជាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក ពីព្រោះ តម្លៃនេះអាចទទួលយកបានដោយគ្មានកំណត់ ទោះបីជាអាចរាប់បានក៏ដោយ ចំនួននៃតម្លៃ។
2. អថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់គឺជាបរិមាណដែលអាចយកតម្លៃណាមួយពីចន្លោះពេលកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។ ជាក់ស្តែង ចំនួននៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យបន្តគឺគ្មានកំណត់។

ចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ- គំនិតណែនាំដោយ A.N. Kolmogorov ក្នុងទស្សវត្សរ៍ឆ្នាំ 1930 ដើម្បីធ្វើជាផ្លូវការនូវគោលគំនិតនៃប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលបណ្តាលឱ្យមានការវិវឌ្ឍន៍យ៉ាងឆាប់រហ័សនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ជាវិន័យគណិតវិទ្យាយ៉ាងម៉ត់ចត់។

ចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេគឺបីដង (ពេលខ្លះត្រូវបានស៊ុមក្នុងតង្កៀបមុំ៖ , កន្លែងណា

នេះ​ជា​សំណុំ​តាម​អំពើ​ចិត្ត, ធាតុ​ដែល​គេ​ហៅ​ថា ព្រឹត្តិការណ៍​បឋម, លទ្ធផល ឬ​ចំណុច;
- sigma-ពិជគណិតនៃសំណុំរងហៅថា (ចៃដន្យ) ព្រឹត្តិការណ៍;
- វិធានការ probabilistic ឬ probability, i.e. sigma-additive កំណត់វិធានការកំណត់ដូចនោះ។

ទ្រឹស្តីបទ De Moivre-Laplace- មួយនៃទ្រឹស្តីបទកំណត់នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលបង្កើតឡើងដោយ Laplace ក្នុងឆ្នាំ 1812 ។ នាងបញ្ជាក់ថាចំនួនជោគជ័យក្នុងការធ្វើពិសោធន៍ចៃដន្យដដែលៗជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលអាចកើតមានពីរគឺត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតា។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។

ប្រសិនបើសម្រាប់ការសាកល្បងឯករាជ្យនីមួយៗ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយចំនួនគឺស្មើនឹង () ហើយជាចំនួននៃការសាកល្បងដែលវាកើតឡើងពិតប្រាកដ នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃសុពលភាពនៃវិសមភាពគឺជិត (សម្រាប់ធំ) ទៅ។ តម្លៃនៃអាំងតេក្រាល Laplace ។

មុខងារចែកចាយនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ- មុខងារកំណត់លក្ខណៈនៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ ឬវ៉ិចទ័រចៃដន្យ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ X នឹងយកតម្លៃតិចជាង ឬស្មើ x ដែល x ជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ វាកំណត់ទាំងស្រុងនូវអថេរចៃដន្យមួយ។

តម្លៃរំពឹងទុក- តម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យ (នេះគឺជាការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យ ពិចារណាក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ)។ នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អង់គ្លេសវាត្រូវបានតំណាងដោយ, នៅក្នុងភាសារុស្សី - ។ នៅក្នុងស្ថិតិ សញ្ញាណត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។

អនុញ្ញាតឱ្យចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ និងអថេរចៃដន្យដែលបានកំណត់នៅលើវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ នោះគឺតាមនិយមន័យ មុខងារដែលអាចវាស់វែងបាន។ បន្ទាប់មកប្រសិនបើមានអាំងតេក្រាល Lebesgue នៃលំហ នោះវាត្រូវបានគេហៅថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ឬតម្លៃមធ្យម ហើយត្រូវបានតំណាងដោយ .

ភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ- រង្វាស់នៃការរីករាលដាលនៃអថេរចៃដន្យដែលបានផ្តល់ឱ្យ ពោលគឺគម្លាតរបស់វាពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ កំណត់ក្នុងអក្សរសិល្ប៍រុស្ស៊ីនិងបរទេស។ នៅក្នុងស្ថិតិ ការកំណត់ ឬត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។ ឫសការ៉េនៃវ៉ារ្យង់ត្រូវបានគេហៅថា គម្លាតស្តង់ដារ គម្លាតស្តង់ដារ ឬការរីករាលដាលស្តង់ដារ។

ទុកជាអថេរចៃដន្យដែលកំណត់លើចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេមួយចំនួន។ បន្ទាប់មក

ដែលជាកន្លែងដែលនិមិត្តសញ្ញាតំណាងឱ្យការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។

នៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យពីរត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យប្រសិនបើការកើតឡើងនៃមួយក្នុងចំណោមពួកវាមិនផ្លាស់ប្តូរប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃផ្សេងទៀត។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អថេរចៃដន្យពីរត្រូវបានហៅ ពឹងផ្អែកប្រសិនបើតម្លៃនៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេប៉ះពាល់ដល់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃផ្សេងទៀត។

ទម្រង់សាមញ្ញបំផុតនៃច្បាប់នៃចំនួនដ៏ច្រើនគឺទ្រឹស្តីបទ Bernoulli ដែលចែងថាប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺដូចគ្នានៅក្នុងការសាកល្បងទាំងអស់ នោះនៅពេលដែលចំនួននៃការសាកល្បងកើនឡើង ភាពញឹកញាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍មានទំនោរទៅរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ និង ឈប់ចៃដន្យ។

ច្បាប់នៃចំនួនច្រើននៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ចែងថា មធ្យមនព្វន្ធនៃគំរូកំណត់ពីការចែកចាយថេរគឺជិតនឹងការរំពឹងទុកតាមទ្រឹស្តីនៃការចែកចាយនោះ។ អាស្រ័យលើប្រភេទនៃការបង្រួបបង្រួម ច្បាប់ខ្សោយនៃចំនួនច្រើនត្រូវបានសម្គាល់ នៅពេលដែលការបញ្ចូលគ្នានៅក្នុងប្រូបាប៊ីលីតេកើតឡើង និងច្បាប់ដ៏រឹងមាំនៃចំនួនធំ នៅពេលដែលការបញ្ចូលគ្នាស្ទើរតែប្រាកដជាកើតឡើង។

អត្ថន័យទូទៅនៃច្បាប់នៃចំនួនធំគឺថា សកម្មភាពរួមគ្នានៃកត្តាចៃដន្យមួយចំនួនធំដូចគ្នាបេះបិទ និងឯករាជ្យនាំទៅរកលទ្ធផលដែលនៅក្នុងដែនកំណត់មិនអាស្រ័យលើឱកាស។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណប្រូបាប៊ីលីតេដោយផ្អែកលើការវិភាគនៃគំរូកំណត់គឺផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនេះ។ ឧទាហរណ៍ដ៏ល្អមួយគឺការព្យាករណ៍លទ្ធផលបោះឆ្នោតដោយផ្អែកលើការស្ទង់មតិគំរូនៃអ្នកបោះឆ្នោត។

ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល- ថ្នាក់នៃទ្រឹស្តីបទនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេដែលបញ្ជាក់ថា ផលបូកនៃចំនួនដ៏ច្រើនគ្រប់គ្រាន់នៃអថេរចៃដន្យអាស្រ័យខ្សោយដែលមានមាត្រដ្ឋានប្រហាក់ប្រហែលគ្នា (គ្មានពាក្យណាមួយគ្របដណ្ដប់ មិនធ្វើឱ្យមានការរួមចំណែកយ៉ាងច្បាស់លាស់ចំពោះផលបូក) មានការចែកចាយជិតដល់ ធម្មតា។

ដោយសារអថេរចៃដន្យជាច្រើននៅក្នុងកម្មវិធីត្រូវបានបង្កើតឡើងក្រោមឥទិ្ធពលនៃកត្តាចៃដន្យដែលពឹងផ្អែកខ្សោយមួយចំនួន ការចែកចាយរបស់ពួកគេត្រូវបានចាត់ទុកថាជារឿងធម្មតា។ ក្នុងករណីនេះលក្ខខណ្ឌត្រូវតែត្រូវបានសង្កេតឃើញថាគ្មានកត្តាណាមួយលេចធ្លោនោះទេ។ ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលនៅក្នុងករណីទាំងនេះបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃការអនុវត្តការចែកចាយធម្មតា។

"ចៃដន្យមិនមែនចៃដន្យ"... ស្តាប់ទៅដូចជាទស្សនវិទូបាននិយាយ ប៉ុន្តែតាមពិត ការសិក្សាអំពីគ្រោះថ្នាក់គឺជាជោគវាសនានៃវិទ្យាសាស្ត្រដ៏អស្ចារ្យនៃគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ឱកាសគឺជាទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។ រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍នៃភារកិច្ច ក៏ដូចជានិយមន័យសំខាន់ៗនៃវិទ្យាសាស្ត្រនេះនឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងអត្ថបទ។

តើទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេគឺជាអ្វី?

ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាមួយ ដែលសិក្សាពីព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ។

ដើម្បី​ឱ្យ​វា​កាន់​តែ​ច្បាស់ យើង​សូម​លើក​ឧទាហរណ៍​មួយ​តូច​មួយ៖ ប្រសិន​បើ​អ្នក​បោះ​កាក់​ឡើង វា​អាច​ធ្លាក់​ក្បាល ឬ​កន្ទុយ។ ដរាបណាកាក់ស្ថិតនៅលើអាកាស លទ្ធភាពទាំងពីរនេះអាចទៅរួច។ នោះ​គឺ ប្រូបាប៊ីលីតេ​នៃ​លទ្ធផល​ដែល​អាច​កើត​មាន​ទាក់ទង​គ្នា ១:១។ ប្រសិនបើសន្លឹកបៀមួយសន្លឹកត្រូវបានដកចេញពី 36 សន្លឹក នោះប្រូបាប៊ីលីតេនឹងត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញជា 1:36។ វាហាក់ដូចជាគ្មានអ្វីដែលត្រូវស្វែងយល់ និងទស្សន៍ទាយទេ ជាពិសេសដោយមានជំនួយពីរូបមន្តគណិតវិទ្យា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើអ្នកធ្វើសកម្មភាពជាក់លាក់មួយម្តងទៀតច្រើនដង នោះអ្នកអាចកំណត់អត្តសញ្ញាណគំរូជាក់លាក់មួយ ហើយផ្អែកលើមូលដ្ឋានរបស់វា ទស្សន៍ទាយលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត។

ដើម្បីសង្ខេបទាំងអស់ខាងលើ ទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេក្នុងន័យបុរាណសិក្សាពីលទ្ធភាពនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមានក្នុងន័យជាលេខ។

ពីទំព័រប្រវត្តិសាស្ត្រ

ទ្រឹស្ដីនៃប្រូបាប៊ីលីតេ រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការដំបូងបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងយុគសម័យកណ្តាលដ៏ឆ្ងាយ នៅពេលដែលការព្យាយាមទស្សន៍ទាយលទ្ធផលនៃល្បែងបៀរដំបូងបានកើតឡើង។

ដំបូងឡើយ ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ មិនមានជាប់ទាក់ទងនឹងគណិតវិទ្យាទេ។ វាត្រូវបានរាប់ជាសុចរិតដោយអង្គហេតុជាក់ស្តែង ឬលក្ខណៈសម្បត្តិនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចផលិតឡើងវិញនៅក្នុងការអនុវត្ត។ ស្នាដៃដំបូងនៅក្នុងតំបន់នេះជាវិន័យគណិតវិទ្យាបានបង្ហាញខ្លួននៅសតវត្សទី 17 ។ ស្ថាបនិកគឺលោក Blaise Pascal និង Pierre Fermat ។ អស់រយៈពេលជាយូរ ពួកគេបានសិក្សាការលេងល្បែងស៊ីសង ហើយបានឃើញគំរូមួយចំនួន ដែលពួកគេបានសម្រេចចិត្តប្រាប់សាធារណជនអំពី។

បច្ចេកទេសដូចគ្នានេះត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ Christian Huygens ទោះបីជាគាត់មិនស៊ាំនឹងលទ្ធផលនៃការស្រាវជ្រាវរបស់ Pascal និង Fermat ក៏ដោយ។ គោលគំនិតនៃ "ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ" រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍ ដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាជាលើកដំបូងក្នុងប្រវត្តិសាស្រ្តនៃវិន័យត្រូវបានណែនាំដោយគាត់។

មិនមានសារៈសំខាន់តិចតួចទេគឺស្នាដៃរបស់ Jacob Bernoulli ទ្រឹស្តីបទរបស់ Laplace និង Poisson ។ ពួកគេបានធ្វើឱ្យទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេកាន់តែដូចជាវិន័យគណិតវិទ្យា។ ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការមូលដ្ឋានបានទទួលទម្រង់បច្ចុប្បន្នដោយអរគុណចំពោះ axioms របស់ Kolmogorov ។ ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេបានក្លាយជាផ្នែកមួយនៃផ្នែកគណិតវិទ្យា។

គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ការអភិវឌ្ឍន៍

គំនិតសំខាន់នៃវិន័យនេះគឺ "ព្រឹត្តិការណ៍" ។ ព្រឹត្តិការណ៍មានបីប្រភេទ៖

• អាចទុកចិត្តបាន។អ្វីដែលនឹងកើតឡើង (កាក់នឹងធ្លាក់ចុះ) ។
• មិនអាចទៅរួច។ព្រឹត្តិការណ៍ដែលនឹងមិនកើតឡើងនៅក្នុងសេណារីយ៉ូណាមួយ (កាក់នឹងនៅតែព្យួរនៅលើអាកាស)។
• ចៃដន្យ។ដែលនឹងកើតឡើងឬមិនកើតឡើង។ ពួកគេអាចត្រូវបានជះឥទ្ធិពលដោយកត្តាផ្សេងៗដែលពិបាកទស្សន៍ទាយណាស់។ ប្រសិនបើយើងនិយាយអំពីកាក់នោះ កត្តាចៃដន្យដែលអាចប៉ះពាល់ដល់លទ្ធផល៖ លក្ខណៈរូបវន្តនៃកាក់ រូបរាងរបស់វា ទីតាំងដំបូង កម្លាំងបោះ ជាដើម។

ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់នៅក្នុងឧទាហរណ៍ត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំឡាតាំង លើកលែងតែអក្សរ R ដែលមានតួនាទីខុសគ្នា។ ឧទាហរណ៍:

• ក = "សិស្ស​បាន​មក​បង្រៀន"។
• Ā = "សិស្សមិនបានមកបង្រៀន" ។

នៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង ព្រឹត្តិការណ៍ជាធម្មតាត្រូវបានកត់ត្រាជាពាក្យ។

លក្ខណៈសំខាន់បំផុតមួយនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺលទ្ធភាពស្មើគ្នារបស់ពួកគេ។ នោះគឺប្រសិនបើអ្នកបោះកាក់មួយ ការប្រែប្រួលទាំងអស់នៃការដួលរលំដំបូងគឺអាចធ្វើទៅបានរហូតដល់វាធ្លាក់។ ប៉ុន្តែ​ព្រឹត្តិការណ៍​ក៏​មិន​អាច​ដូចគ្នា​ដែរ។ វាកើតឡើងនៅពេលដែលនរណាម្នាក់មានឥទ្ធិពលលើលទ្ធផលដោយចេតនា។ ឧទាហរណ៍ "សម្គាល់" ការលេងបៀរឬគ្រាប់ឡុកឡាក់ដែលកណ្តាលទំនាញត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។

ព្រឹត្តិការណ៍ក៏ត្រូវគ្នា និងមិនត្រូវគ្នាផងដែរ។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលត្រូវគ្នាមិនរាប់បញ្ចូលការកើតឡើងនៃគ្នាទៅវិញទៅមកទេ។ ឧទាហរណ៍:

• A = "សិស្ស​មក​បង្រៀន"។
• B = "សិស្ស​មក​បង្រៀន"។

ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះគឺឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមកហើយរូបរាងរបស់មួយក្នុងចំណោមពួកវាមិនប៉ះពាល់ដល់រូបរាងរបស់អ្នកដទៃទេ។ ព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នា ត្រូវបានកំណត់ដោយការពិតដែលថាការកើតឡើងនៃមួយរារាំងការកើតឡើងនៃមួយផ្សេងទៀត។ ប្រសិនបើយើងនិយាយអំពីកាក់ដូចគ្នានោះការបាត់បង់ "កន្ទុយ" ធ្វើឱ្យវាមិនអាចទៅរួចទេសម្រាប់រូបរាងនៃ "ក្បាល" នៅក្នុងការពិសោធន៍ដូចគ្នា។

សកម្មភាពលើព្រឹត្តិការណ៍

ព្រឹត្តិការណ៍អាចត្រូវបានគុណ និងបន្ថែម រៀងគ្នា ការតភ្ជាប់ឡូជីខល "AND" និង "OR" ត្រូវបានណែនាំនៅក្នុងវិន័យ។

ចំនួនទឹកប្រាក់ត្រូវបានកំណត់ដោយការពិតដែលថាព្រឹត្តិការណ៍ A ឬ B ឬទាំងពីរអាចកើតឡើងក្នុងពេលតែមួយ។ ក្នុងករណីដែលពួកគេមិនត្រូវគ្នា ជម្រើសចុងក្រោយគឺមិនអាចទៅរួចទេ ទាំង A ឬ B នឹងបោះបង់។

គុណនៃព្រឹត្តិការណ៍មាននៅក្នុងរូបរាងនៃ A និង B ក្នុងពេលតែមួយ។

ឥឡូវ​នេះ អ្នក​អាច​ផ្តល់​ឧទាហរណ៍​មួយ​ចំនួន​ដើម្បី​ចងចាំ​បាន​កាន់​តែ​ច្បាស់​អំពី​មូលដ្ឋាន ទ្រឹស្តី​ប្រូបាប៊ីលីតេ និង​រូបមន្ត។ ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោម។

លំហាត់ 1៖ ក្រុមហ៊ុនកំពុងដេញថ្លៃកិច្ចសន្យាសម្រាប់ការងារបីប្រភេទ។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមាន៖

• A = "ក្រុមហ៊ុននឹងទទួលបានកិច្ចសន្យាដំបូង។"
• A 1 = "ក្រុមហ៊ុននឹងមិនទទួលបានកិច្ចសន្យាដំបូងឡើយ។"
• B = "ក្រុមហ៊ុននឹងទទួលបានកិច្ចសន្យាទីពីរ។"
• B 1 = "ក្រុមហ៊ុននឹងមិនទទួលបានកិច្ចសន្យាទីពីរ"
• C = "ក្រុមហ៊ុននឹងទទួលបានកិច្ចសន្យាទីបី។"
• C 1 = "ក្រុមហ៊ុននឹងមិនទទួលបានកិច្ចសន្យាទីបីទេ។"

តោះព្យាយាមបង្ហាញពីស្ថានភាពខាងក្រោមដោយប្រើសកម្មភាពលើព្រឹត្តិការណ៍៖

• K = "ក្រុមហ៊ុននឹងទទួលកិច្ចសន្យាទាំងអស់។"

ក្នុងទម្រង់គណិតវិទ្យា សមីការនឹងមើលទៅដូចនេះ៖ K = ABC ។

• M = "ក្រុមហ៊ុននឹងមិនទទួលបានកិច្ចសន្យាតែមួយទេ។"

M \u003d A 1 B 1 C 1 ។

យើងធ្វើឱ្យស្មុគស្មាញដល់កិច្ចការ៖ H = "ក្រុមហ៊ុននឹងទទួលបានកិច្ចសន្យាមួយ" ។ ដោយសារគេមិនដឹងថាកិច្ចសន្យាមួយណាដែលក្រុមហ៊ុននឹងទទួលបាន (ទីមួយ ទីពីរ ឬទីបី) ចាំបាច់ត្រូវកត់ត្រានូវព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមានទាំងស្រុង៖

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C ។

ហើយ 1 BC 1 គឺជាស៊េរីនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលក្រុមហ៊ុនមិនទទួលបានកិច្ចសន្យាទី 1 និងទី 3 ប៉ុន្តែទទួលបានទីពីរ។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមានផ្សេងទៀតក៏ត្រូវបានកត់ត្រាដោយវិធីសាស្ត្រដែលត្រូវគ្នាផងដែរ។ និមិត្តសញ្ញា υ នៅក្នុងវិន័យតំណាងឱ្យក្រុមនៃ "OR" ។ ប្រសិនបើយើងបកប្រែឧទាហរណ៍ខាងលើទៅជាភាសាមនុស្ស នោះក្រុមហ៊ុននឹងទទួលបានទាំងកិច្ចសន្យាទីបី ឬទីពីរ ឬទីមួយ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អ្នកអាចសរសេរលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀតនៅក្នុងវិន័យ "ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ"។ រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានបង្ហាញខាងលើនឹងជួយអ្នកធ្វើវាដោយខ្លួនឯង។

តាមពិតប្រូបាប៊ីលីតេ

ប្រហែលជានៅក្នុងវិញ្ញាសាគណិតវិទ្យានេះ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយគឺជាគំនិតកណ្តាល។ មាននិយមន័យ ៣ នៃប្រូបាប៊ីលីតេ៖

• បុរាណ;
• ស្ថិតិ;
• ធរណីមាត្រ។

នីមួយៗមានកន្លែងរបស់ខ្លួនក្នុងការសិក្សាអំពីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍ (ថ្នាក់ទី៩) ភាគច្រើនប្រើនិយមន័យបុរាណ ដែលស្តាប់ទៅដូចនេះ៖

• ប្រូបាប៊ីលីតេនៃស្ថានភាព A គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផលដែលអនុគ្រោះដល់ការកើតឡើងរបស់វាទៅនឹងចំនួននៃលទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់។

រូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖ P (A) \u003d m / n ។

ហើយតាមពិតព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប្រសិនបើផ្ទុយនឹង A កើតឡើង វាអាចត្រូវបានសរសេរជា Ā ឬ A 1 ។

m គឺជាចំនួនករណីអំណោយផលដែលអាចកើតមាន។

n - ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់ដែលអាចកើតឡើង។

ឧទាហរណ៍ A \u003d "ទាញចេញកាតឈុតបេះដូង។" មានសន្លឹកបៀចំនួន 36 សន្លឹកនៅក្នុងបន្ទះស្ដង់ដារ ដែល 9 សន្លឹកគឺជាបេះដូង។ ដូច្នោះហើយ រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហានឹងមើលទៅដូចតទៅ៖

P(A)=9/36=0.25។

ជាលទ្ធផល ប្រូបាប៊ីលីតេដែលសន្លឹកបៀដែលស័ក្តិសមនឹងបេះដូងនឹងត្រូវបានទាញចេញពីនាវានឹងមាន 0.25 ។

ទៅគណិតវិទ្យាខ្ពស់។

ឥឡូវនេះវាត្រូវបានគេស្គាល់តិចតួចថាទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេគឺជាអ្វី រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយកិច្ចការដែលកើតឡើងនៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ទ្រឹស្ដីនៃប្រូបាប៊ីលីតេក៏ត្រូវបានរកឃើញផងដែរនៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ដែលត្រូវបានបង្រៀននៅក្នុងសាកលវិទ្យាល័យ។ ភាគច្រើនពួកគេដំណើរការជាមួយនិយមន័យធរណីមាត្រ និងស្ថិតិនៃទ្រឹស្តី និងរូបមន្តស្មុគស្មាញ។

ទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេគឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ណាស់។ រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍ (គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង) គឺល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីចាប់ផ្តើមរៀនពីតូចមួយ - ពីនិយមន័យស្ថិតិ (ឬប្រេកង់) នៃប្រូបាប៊ីលីតេ។

វិធីសាស្រ្តស្ថិតិមិនផ្ទុយនឹងវិធីសាស្រ្តបុរាណទេប៉ុន្តែពង្រីកវាបន្តិច។ ប្រសិនបើក្នុងករណីដំបូង ចាំបាច់ត្រូវកំណត់ជាមួយនឹងកម្រិតនៃប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍នឹងកើតឡើង នោះក្នុងវិធីនេះ ចាំបាច់ត្រូវបង្ហាញថាតើវានឹងកើតឡើងញឹកញាប់ប៉ុណ្ណា។ នៅទីនេះគំនិតថ្មីនៃ "ប្រេកង់ទាក់ទង" ត្រូវបានណែនាំ ដែលអាចត្រូវបានកំណត់ដោយ W n (A) ។ រូបមន្តមិនខុសពីបុរាណទេ៖

ប្រសិនបើរូបមន្តបុរាណត្រូវបានគណនាសម្រាប់ការព្យាករណ៍នោះ ស្ថិតិត្រូវបានគណនាដោយយោងតាមលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយកកិច្ចការតូចមួយ។

នាយកដ្ឋានត្រួតពិនិត្យបច្ចេកទេសត្រួតពិនិត្យផលិតផលសម្រាប់គុណភាព។ ក្នុងចំណោមផលិតផល 100 ផលិតផល 3 ត្រូវបានរកឃើញថាមានគុណភាពអន់។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេប្រេកង់នៃផលិតផលដែលមានគុណភាព?

A = "រូបរាងនៃផលិតផលដែលមានគុណភាព។"

W n (A)=97/100=0.97

ដូច្នេះភាពញឹកញាប់នៃផលិតផលដែលមានគុណភាពគឺ 0.97 ។ តើអ្នកទទួលបាន 97 ពីណា? ក្នុងចំណោមផលិតផលទាំង 100 ដែលត្រូវបានត្រួតពិនិត្យ មាន 3 គ្រឿងមានគុណភាពអន់។ យើងដក 3 ចេញពី 100 យើងទទួលបាន 97 នេះគឺជាបរិមាណនៃផលិតផលដែលមានគុណភាព។

បន្តិចអំពី combinatorics

វិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានគេហៅថា combinatorics ។ គោលការណ៍ជាមូលដ្ឋានរបស់វាគឺថា ប្រសិនបើជម្រើសជាក់លាក់ A អាចត្រូវបានធ្វើឡើងក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា និងជម្រើស B ក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា នោះជម្រើសនៃ A និង B អាចត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការគុណ។

ឧទាហរណ៍៖ មានផ្លូវចំនួន ៥ ពីទីក្រុង A ទៅទីក្រុង B ។ មាន ៤ ផ្លូវពីទីក្រុង B ទៅទីក្រុង C ។ តើ​មាន​ផ្លូវ​ប៉ុន្មាន​ដើម្បី​ចេញ​ពី​ក្រុង A ទៅ​ក្រុង C?

វាសាមញ្ញ៖ 5x4 = 20 នោះគឺមានវិធីម្ភៃផ្សេងគ្នាដើម្បីទទួលបានពីចំណុច A ដល់ចំណុច C ។

ចូរយើងធ្វើឱ្យកិច្ចការកាន់តែពិបាក។ តើមានវិធីប៉ុន្មានដើម្បីលេងបៀក្នុង solitaire? នៅក្នុងសន្លឹកបៀចំនួន 36 សន្លឹក នេះគឺជាចំណុចចាប់ផ្តើម។ ដើម្បីស្វែងយល់ពីចំនួនវិធី អ្នកត្រូវ "ដក" កាតមួយពីចំណុចចាប់ផ្តើម ហើយគុណ។

នោះគឺ 36x35x34x33x32…x2x1= លទ្ធផលមិនសមនៅលើអេក្រង់ម៉ាស៊ីនគិតលេខទេ ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងសាមញ្ញថា 36!។ សញ្ញា "!" នៅជាប់នឹងលេខបង្ហាញថាលេខស៊េរីទាំងមូលត្រូវបានគុណក្នុងចំណោមពួកគេ។

នៅក្នុង combinatorics មានគោលគំនិតដូចជាការផ្លាស់ប្តូរ ការដាក់ និងការរួមបញ្ចូលគ្នា។ ពួកគេម្នាក់ៗមានរូបមន្តផ្ទាល់ខ្លួន។

សំណុំ​នៃ​ធាតុ​សំណុំ​តាម​លំដាប់​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា ប្លង់។ ទីតាំងអាចមានលក្ខណៈដដែលៗ មានន័យថាធាតុមួយអាចត្រូវបានប្រើច្រើនដង។ ហើយដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនៅពេលដែលធាតុមិនត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត។ n គឺជាធាតុទាំងអស់ m គឺជាធាតុដែលចូលរួមក្នុងការដាក់។ រូបមន្តសម្រាប់ការដាក់ដោយគ្មានពាក្យដដែលៗនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

A n m =n!/(n-m)!

ការតភ្ជាប់នៃធាតុ n ដែលខុសគ្នាតែនៅក្នុងលំដាប់នៃការដាក់ត្រូវបានគេហៅថា permutations ។ ក្នុង​គណិតវិទ្យា​មើល​ទៅ​ដូច​ជា៖ P n = n !

ការរួមផ្សំនៃធាតុ n ដោយ m គឺជាសមាសធាតុដែលមានសារៈសំខាន់ដែលវាជាធាតុ និងចំនួនសរុបរបស់វា។ រូបមន្តនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

A n m =n!/m!(n-m)!

រូបមន្ត Bernoulli

នៅក្នុងទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ ក៏ដូចជានៅគ្រប់វិញ្ញាសាទាំងអស់ មានស្នាដៃរបស់អ្នកស្រាវជ្រាវឆ្នើមក្នុងវិស័យរបស់ពួកគេ ដែលបានយកវាទៅកម្រិតថ្មីមួយ។ ការងារមួយក្នុងចំណោមការងារទាំងនេះគឺរូបមន្ត Bernoulli ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយដែលកើតឡើងក្រោមលក្ខខណ្ឌឯករាជ្យ។ នេះបង្ហាញថារូបរាងរបស់ A នៅក្នុងការពិសោធន៍មិនអាស្រ័យលើរូបរាង ឬការមិនកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ដូចគ្នានៅក្នុងការធ្វើតេស្តមុន ឬជាបន្តបន្ទាប់នោះទេ។

សមីការ Bernoulli៖

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m ។

ប្រូបាប៊ីលីតេ (p) នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ (A) គឺមិនផ្លាស់ប្តូរសម្រាប់ការសាកល្បងនីមួយៗ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលស្ថានភាពនឹងកើតឡើងពិតប្រាកដ m ដងក្នុង n ចំនួននៃការពិសោធន៍នឹងត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្តដែលត្រូវបានបង្ហាញខាងលើ។ ដូច្នោះហើយសំណួរកើតឡើងអំពីរបៀបស្វែងរកលេខ q ។

ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ A កើតឡើង p ចំនួនដង នោះវាប្រហែលជាមិនកើតឡើងទេ។ ឯកតាគឺជាលេខដែលប្រើដើម្បីកំណត់លទ្ធផលទាំងអស់នៃស្ថានភាពនៅក្នុងវិន័យមួយ។ ដូច្នេះ q គឺជាលេខដែលបង្ហាញពីលទ្ធភាពនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនកើតឡើង។

ឥឡូវនេះអ្នកដឹងពីរូបមន្ត Bernoulli (ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ)។ ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា (កម្រិតទីមួយ) នឹងត្រូវបានពិចារណាខាងក្រោម។

កិច្ចការទី 2៖អ្នកទស្សនាហាងនឹងធ្វើការទិញជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.2 ។ ភ្ញៀវ 6 នាក់បានចូលហាងដោយឯករាជ្យ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកទស្សនានឹងធ្វើការទិញ?

ដំណោះស្រាយ៖ ដោយសារវាមិនត្រូវបានគេដឹងថាតើមានអ្នកទស្សនាប៉ុន្មាននាក់គួរធ្វើការទិញមួយ ឬទាំងប្រាំមួយនោះ វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ដោយប្រើរូបមន្ត Bernoulli ។

A = "អ្នកទស្សនានឹងធ្វើការទិញ។"

ក្នុងករណីនេះ: p = 0.2 (ដូចបានបង្ហាញក្នុងកិច្ចការ) ។ ដូច្នោះហើយ q = 1-0.2 = 0.8 ។

n = 6 (ព្រោះមានអតិថិជន 6 នាក់នៅក្នុងហាង) ។ លេខ m នឹងផ្លាស់ប្តូរពី 0 (គ្មានអតិថិជននឹងធ្វើការទិញ) ទៅ 6 (អ្នកទស្សនាហាងទាំងអស់នឹងទិញអ្វីមួយ)។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានដំណោះស្រាយ៖

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621 ។

គ្មានអ្នកទិញណាម្នាក់នឹងធ្វើការទិញជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.2621 ទេ។

តើរូបមន្ត Bernoulli (ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ) ត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងដូចម្តេច? ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា (កម្រិតទីពីរ) ខាងក្រោម។

បន្ទាប់ពីឧទាហរណ៍ខាងលើសំណួរកើតឡើងអំពីកន្លែងដែល C និង p បានទៅ។ ទាក់ទងទៅនឹង p លេខមួយទៅអំណាចនៃ 0 នឹងស្មើនឹងមួយ។ ចំពោះ C វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

C n m = n! /m!(n-m)!

ចាប់តាំងពីក្នុងឧទាហរណ៍ទីមួយ m = 0 រៀងគ្នា C = 1 ដែលជាគោលការណ៍មិនប៉ះពាល់ដល់លទ្ធផលទេ។ ដោយប្រើរូបមន្តថ្មី ចូរយើងព្យាយាមរកមើលថាតើអ្វីជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទិញទំនិញដោយអ្នកទស្សនាពីរនាក់។

P 6 (2) = C 6 2×p 2×q 4 = (6×5×4×3×2×1)/(2×1×4×3×2×1)×(0.2)2×( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246 ។

ទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេមិនស្មុគស្មាញទេ។ រូបមន្ត Bernoulli ឧទាហរណ៍ដែលត្រូវបានបង្ហាញខាងលើគឺជាភស្តុតាងផ្ទាល់នៃរឿងនេះ។

រូបមន្ត Poisson

សមីការ Poisson ត្រូវបានប្រើដើម្បីគណនាស្ថានភាពចៃដន្យដែលមិនទំនង។

រូបមន្តមូលដ្ឋាន៖

P n (m) = λ m / m! × អ៊ី (-λ) ។

ក្នុងករណីនេះ λ = n x ទំ។ នេះគឺជារូបមន្ត Poisson សាមញ្ញ (ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ) ។ ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហានឹងត្រូវបានពិចារណាខាងក្រោម។

កិច្ចការទី 3 A: រោងចក្រផលិតបាន 100,000 ផ្នែក។ រូបរាងនៃផ្នែកដែលមានបញ្ហា = 0.0001 ។ តើ​ប្រូបាប៊ីលីតេ​ដែល​នឹង​មាន​ផ្នែក​ខូច​ចំនួន 5 ក្នុង​មួយ​បាច់​មាន​អ្វី​ខ្លះ?

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ អាពាហ៍ពិពាហ៍គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនទំនង ដូច្នេះហើយរូបមន្ត Poisson (ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ) ត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការគណនា។ ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហានៃប្រភេទនេះគឺមិនខុសពីការងារផ្សេងទៀតនៃវិន័យនោះទេ យើងជំនួសទិន្នន័យចាំបាច់ទៅក្នុងរូបមន្តខាងលើ៖

A = "ផ្នែកដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យនឹងមានបញ្ហា។"

p = 0.0001 (យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌការងារ) ។

n = 100000 (ចំនួនផ្នែក) ។

m = 5 (ផ្នែកខូច) ។ យើងជំនួសទិន្នន័យក្នុងរូបមន្ត ហើយទទួលបាន៖

R 100000 (5) = 10 5/5 ! X អ៊ី −10 = 0.0375 ។

ដូចគ្នានឹងរូបមន្ត Bernoulli (ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ) ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដែលប្រើដែលត្រូវបានសរសេរខាងលើ សមីការ Poisson មាន e មិនស្គាល់។ នៅក្នុងខ្លឹមសារ វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមានតារាងពិសេសដែលមានតម្លៃស្ទើរតែទាំងអស់នៃអ៊ី។

ទ្រឹស្តីបទ De Moivre-Laplace

ប្រសិនបើនៅក្នុងគ្រោងការណ៍ Bernoulli ចំនួននៃការសាកល្បងមានទំហំធំគ្រប់គ្រាន់ ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A នៅក្នុងគ្រោងការណ៍ទាំងអស់គឺដូចគ្នា នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ចំនួនជាក់លាក់នៃដងក្នុងការសាកល្បងជាបន្តបន្ទាប់អាចជា រកឃើញដោយរូបមន្ត Laplace៖

Р n (m) = 1/√npq x ϕ(X m) ។

Xm = m-np/√npq ។

ដើម្បីចងចាំរូបមន្ត Laplace (ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ) ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការដើម្បីជួយខាងក្រោម។

ដំបូងយើងរកឃើញ X m យើងជំនួសទិន្នន័យ (ពួកវាទាំងអស់ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញខាងលើ) ទៅក្នុងរូបមន្តហើយទទួលបាន 0.025 ។ ដោយប្រើតារាងយើងរកឃើញលេខ ϕ (0.025) ដែលតម្លៃគឺ 0.3988 ។ ឥឡូវអ្នកអាចជំនួសទិន្នន័យទាំងអស់ក្នុងរូបមន្ត៖

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 \u003d 3/40 x 0.3988 \u003d 0.03 ។

ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេដែលខិត្តប័ណ្ណនឹងបុកយ៉ាងពិតប្រាកដ 267 ដងគឺ 0.03 ។

រូបមន្ត Bayes

រូបមន្ត Bayes (ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ) ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយកិច្ចការដោយជំនួយដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោម គឺជាសមីការដែលពិពណ៌នាអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ ដោយផ្អែកលើកាលៈទេសៈដែលអាចត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងវា។ រូបមន្តចម្បងមានដូចខាងក្រោម៖

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B) ។

A និង B គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់។

P(A|B) - ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ នោះគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ A អាចកើតឡើងបាន ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ B គឺពិត។

Р (В|А) - ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ В.

ដូច្នេះផ្នែកចុងក្រោយនៃវគ្គសិក្សាខ្លី "ទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេ" គឺជារូបមន្ត Bayes ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាដែលមានដូចខាងក្រោម។

កិច្ចការទី 5៖ ទូរសព្ទ​មក​ពី​ក្រុមហ៊ុន​ចំនួន​បី​ត្រូវ​បាន​នាំ​ចូល​ក្នុង​ឃ្លាំង។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះផ្នែកនៃទូរស័ព្ទដែលត្រូវបានផលិតនៅរោងចក្រដំបូងគឺ 25% នៅទីពីរ - 60% នៅទីបី - 15% ។ វាត្រូវបានគេដឹងផងដែរថាភាគរយជាមធ្យមនៃផលិតផលខូចនៅរោងចក្រដំបូងគឺ 2% នៅទីពីរ - 4% និងនៅទីបី - 1% ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលទូរស័ព្ទដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យនឹងមានបញ្ហា។

A = "បានយកទូរស័ព្ទដោយចៃដន្យ។"

B 1 - ទូរស័ព្ទដែលរោងចក្រដំបូងផលិត។ ដូច្នោះហើយការណែនាំ B 2 និង B 3 នឹងលេចឡើង (សម្រាប់រោងចក្រទីពីរនិងទីបី) ។

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0.25; P (B 2) \u003d 0.6; P (B 3) \u003d 0.15 - ដូច្នេះយើងបានរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេនៃជម្រើសនីមួយៗ។

ឥឡូវអ្នកត្រូវស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលចង់បាន នោះគឺប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលដែលមានបញ្ហានៅក្នុងក្រុមហ៊ុន៖

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0.02;

P (A / B 2) \u003d 0.04;

P (A / B 3) \u003d 0.01 ។

ឥឡូវនេះយើងជំនួសទិន្នន័យទៅក្នុងរូបមន្ត Bayes ហើយទទួលបាន៖

P (A) \u003d 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 \u003d 0.0305 ។

អត្ថបទនេះបង្ហាញពីទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា ប៉ុន្តែនេះគ្រាន់តែជាគន្លឹះនៃផ្ទាំងទឹកកកនៃវិន័យដ៏ធំធេងប៉ុណ្ណោះ។ ហើយបន្ទាប់ពីអ្វីៗទាំងអស់ត្រូវបានសរសេរវានឹងសមហេតុផលក្នុងការសួរសំណួរថាតើទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេគឺចាំបាច់ក្នុងជីវិត។ វាពិបាកសម្រាប់អ្នកសាមញ្ញក្នុងការឆ្លើយ វាជាការប្រសើរក្នុងការសួរអ្នកដែលបានឈ្នះ jackpot ច្រើនជាងម្តងជាមួយនឹងជំនួយរបស់នាង។

ការណែនាំ

មានរឿងជាច្រើនដែលមិនអាចយល់បានចំពោះយើង មិនមែនដោយសារតែគំនិតរបស់យើងខ្សោយនោះទេ។
ប៉ុន្តែដោយសារតែរឿងទាំងនេះមិនចូលទៅក្នុងរង្វង់នៃគំនិតរបស់យើង។
Kozma Prutkov

គោលបំណងសំខាន់នៃការសិក្សាគណិតវិទ្យានៅក្នុងគ្រឹះស្ថានអប់រំឯកទេសមធ្យមសិក្សា គឺផ្តល់ឱ្យសិស្សនូវសំណុំនៃចំណេះដឹង និងជំនាញគណិតវិទ្យាដែលចាំបាច់សម្រាប់សិក្សាមុខវិជ្ជាកម្មវិធីផ្សេងទៀតដែលប្រើគណិតវិទ្យាដល់កម្រិតមួយ ឬមួយផ្សេងទៀត សម្រាប់សមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តការគណនាជាក់ស្តែង សម្រាប់ការបង្កើត និងការអភិវឌ្ឍន៍។ នៃការគិតឡូជីខល។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ គោលគំនិតជាមូលដ្ឋានទាំងអស់នៃផ្នែកគណិតវិទ្យា "មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប និងស្ថិតិគណិតវិទ្យា" ដែលផ្តល់ដោយកម្មវិធី និងស្តង់ដារអប់រំរដ្ឋនៃការអប់រំវិជ្ជាជីវៈមធ្យមសិក្សា (ក្រសួងអប់រំនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី។ អិម, ២០០២) ) ត្រូវបានណែនាំយ៉ាងខ្ជាប់ខ្ជួន ទ្រឹស្តីបទសំខាន់ៗត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលភាគច្រើនមិនត្រូវបានបញ្ជាក់។ ភារកិច្ច និងវិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗសម្រាប់ដំណោះស្រាយ និងបច្ចេកវិទ្យារបស់ពួកគេសម្រាប់ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តទាំងនេះក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងត្រូវបានពិចារណា។ បទបង្ហាញត្រូវបានអមដោយមតិយោបល់លម្អិត និងឧទាហរណ៍ជាច្រើន។

ការណែនាំអំពីវិធីសាស្រ្តអាចត្រូវបានប្រើសម្រាប់អ្នកស្គាល់គ្នាដំបូងជាមួយសម្ភារៈដែលកំពុងសិក្សា នៅពេលកត់ត្រាការបង្រៀន ការរៀបចំសម្រាប់លំហាត់ជាក់ស្តែង សម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹង ជំនាញ និងសមត្ថភាពដែលទទួលបាន។ លើសពីនេះ សៀវភៅណែនាំនឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់និស្សិតថ្នាក់បរិញ្ញាបត្រ ជាឧបករណ៍យោងដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្តារឡើងវិញយ៉ាងឆាប់រហ័សក្នុងការចងចាំនូវអ្វីដែលបានសិក្សាពីមុន។

នៅចុងបញ្ចប់នៃការងារនេះ ឧទាហរណ៍ និងភារកិច្ចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលសិស្សអាចអនុវត្តក្នុងរបៀបគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង។

ការណែនាំអំពីវិធីសាស្រ្តគឺត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់សិស្សនៃការឆ្លើយឆ្លង និងទម្រង់នៃការអប់រំពេញម៉ោង។

គំនិតជាមូលដ្ឋាន

ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេសិក្សាពីភាពទៀងទាត់នៃគោលបំណងនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដ៏ធំ។ វាគឺជាមូលដ្ឋានទ្រឹស្តីសម្រាប់ស្ថិតិគណិតវិទ្យា ដោះស្រាយជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍនៃវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការប្រមូល ការពិពណ៌នា និងដំណើរការលទ្ធផលនៃការសង្កេត។ តាមរយៈការសង្កេត (ការធ្វើតេស្ត, ការពិសោធន៍), i.e. បទពិសោធន៍ក្នុងន័យទូលំទូលាយនៃពាក្យ មានចំណេះដឹងអំពីបាតុភូតនៃពិភពពិត។

នៅក្នុងសកម្មភាពជាក់ស្តែងរបស់យើង យើងតែងតែជួបប្រទះនូវបាតុភូត ដែលលទ្ធផលមិនអាចទាយទុកជាមុនបាន លទ្ធផលគឺអាស្រ័យលើឱកាស។

បាតុភូតចៃដន្យអាចត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយសមាមាត្រនៃចំនួននៃការកើតឡើងរបស់វាទៅនឹងចំនួននៃការសាកល្បង ដែលនៅក្នុងនីមួយៗ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចគ្នានៃការសាកល្បងទាំងអស់ វាអាចកើតឡើង ឬមិនកើតឡើង។

ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាផ្នែកមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលបាតុភូតចៃដន្យ (ព្រឹត្តិការណ៍) ត្រូវបានសិក្សា ហើយភាពទៀងទាត់ត្រូវបានបង្ហាញនៅពេលដែលពួកគេធ្វើម្តងទៀតយ៉ាងច្រើន។

ស្ថិតិគណិតវិទ្យាគឺជាផ្នែកមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលមានប្រធានបទសិក្សាអំពីវិធីសាស្រ្តក្នុងការប្រមូល រៀបចំប្រព័ន្ធ ដំណើរការ និងប្រើប្រាស់ទិន្នន័យស្ថិតិដើម្បីទទួលបានការសន្និដ្ឋានតាមបែបវិទ្យាសាស្ត្រ និងការសម្រេចចិត្ត។

ទន្ទឹមនឹងនេះទិន្នន័យស្ថិតិត្រូវបានគេយល់ថាជាសំណុំនៃលេខដែលតំណាងឱ្យលក្ខណៈបរិមាណនៃលក្ខណៈពិសេសនៃវត្ថុដែលបានសិក្សាដែលមានចំណាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង។ ទិន្នន័យស្ថិតិត្រូវបានទទួលជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ និងការសង្កេតដែលបានរចនាឡើងជាពិសេស។

ទិន្នន័យស្ថិតិនៅក្នុងខ្លឹមសាររបស់វាពឹងផ្អែកលើកត្តាចៃដន្យជាច្រើន ដូច្នេះស្ថិតិគណិតវិទ្យាមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលជាមូលដ្ឋានទ្រឹស្តីរបស់វា។

I. ប្រូបាប៊ីលីតេ។ ទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែម និងប្រូបាប៊ីលីតេគុណ

១.១. គំនិតជាមូលដ្ឋាននៃ combinatorics

នៅក្នុងផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាដែលហៅថា combinatorics បញ្ហាមួយចំនួនត្រូវបានដោះស្រាយទាក់ទងនឹងការពិចារណានៃសំណុំ និងការចងក្រងនៃបន្សំផ្សេងៗនៃធាតុនៃសំណុំទាំងនេះ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងយកលេខ 10 ផ្សេងគ្នា 0, 1, 2, 3,:, 9 ហើយធ្វើបន្សំនៃពួកវា យើងនឹងទទួលបានលេខផ្សេងគ្នា ឧទាហរណ៍ 143, 431, 5671, 1207, 43 ។ល។

យើងឃើញថាបន្សំទាំងនេះខ្លះខុសគ្នាតែតាមលំដាប់លេខប៉ុណ្ណោះ (ឧទាហរណ៍ ១៤៣ និង ៤៣១) ខ្លះទៀតនៅក្នុងលេខដែលរួមបញ្ចូលក្នុងពួកគេ (ឧទាហរណ៍ ៥៦៧១ និង ១២០៧) ហើយខ្លះទៀតក៏ខុសគ្នាក្នុងចំនួនខ្ទង់ ( ឧទាហរណ៍ ១៤៣ និង ៤៣)។

ដូច្នេះបន្សំដែលទទួលបានបំពេញលក្ខខណ្ឌផ្សេងៗ។

ដោយផ្អែកលើច្បាប់នៃការចងក្រង ការផ្សំបីប្រភេទអាចត្រូវបានសម្គាល់៖ ការផ្លាស់ប្តូរ, ទីតាំង, បន្សំ.

ចូរយើងស្គាល់គំនិតដំបូង រោងចក្រ.

ផលិតផលនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ពី 1 ដល់ n រួមបញ្ចូលត្រូវបានគេហៅថា n-factorial និងសរសេរ។

គណនា៖ ក); ខ) ; ក្នុង) ។

ដំណោះស្រាយ។ ក) ។

ខ) ក៏ដូចជា បន្ទាប់មកអ្នកអាចយកវាចេញពីតង្កៀប

បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

ក្នុង) .

ការផ្លាស់ប្តូរ។

ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃធាតុ n ដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែនៅក្នុងលំដាប់នៃធាតុត្រូវបានគេហៅថា permutation ។

ការផ្លាស់ប្តូរត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ទំ ន ដែល n ជាចំនួនធាតុនៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរនីមួយៗ។ ( រ- អក្សរទីមួយនៃពាក្យបារាំង ការផ្លាស់ប្តូរ- ការផ្លាស់ប្តូរ) ។

ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត

ឬជាមួយរោងចក្រ៖

ចូរយើងចាំថា 0!=1 និង 1!=1 ។

ឧទាហរណ៍ 2. តើសៀវភៅប្រាំមួយក្បាលផ្សេងគ្នាអាចត្រូវបានរៀបចំនៅលើធ្នើមួយតាមរបៀបប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ។ ចំនួននៃវិធីដែលចង់បានគឺស្មើនឹងចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរនៃធាតុ 6, i.e.

កន្លែងស្នាក់នៅ។

ទីតាំងពី មធាតុនៅក្នុង ននៅក្នុងគ្នា សមាសធាតុបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយធាតុខ្លួនឯង (យ៉ាងហោចណាស់មួយ) ឬតាមលំដាប់ពីទីតាំង។

ទីតាំងត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា កន្លែងណា មគឺជាចំនួននៃធាតុដែលមានទាំងអស់ នគឺជាចំនួនធាតុនៅក្នុងបន្សំនីមួយៗ។ ( ប៉ុន្តែ-អក្សរទីមួយនៃពាក្យបារាំង ការរៀបចំដែលមានន័យថា "ការដាក់, ការរៀបចំ") ។

ទន្ទឹមនឹងនេះដែរវាត្រូវបានសន្មត់ថា nm

ចំនួននៃការដាក់អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត

,

ទាំងនោះ។ ចំនួននៃទីតាំងដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ពី មធាតុដោយ នគឺស្មើនឹងផលិតផល នចំនួនគត់ជាប់គ្នា ដែលធំជាង ម.

យើងសរសេររូបមន្តនេះជាទម្រង់ហ្វាក់តូរីស៖

ឧទាហរណ៍ 3. តើមានជម្រើសប៉ុន្មានសម្រាប់ការចែកចាយប័ណ្ណចំនួនបីទៅកន្លែងសម្ភពនៃទម្រង់ផ្សេងៗដែលអាចត្រូវបានធ្វើឡើងសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យប្រាំនាក់?

ដំណោះស្រាយ។ ចំនួនជម្រើសដែលចង់បានគឺស្មើនឹងចំនួននៃការដាក់ 5 ធាតុដោយ 3 ធាតុ ពោលគឺឧ។

.

បន្សំ។

បន្សំគឺជាបន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃ មធាតុដោយ នដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយធាតុយ៉ាងហោចណាស់មួយ (នៅទីនេះ មនិង n-លេខធម្មជាតិ និង nm).

ចំនួនបន្សំពី មធាតុដោយ នត្រូវបានតំណាង ( ពី- អក្សរទីមួយនៃពាក្យបារាំង ការរួមបញ្ចូលគ្នា- ការរួមបញ្ចូលគ្នា) ។

ជាទូទៅចំនួននៃ មធាតុដោយ នស្មើនឹងចំនួនទីតាំងពី មធាតុដោយ នបែងចែកដោយចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរពី នធាតុ៖

ដោយប្រើរូបមន្តហ្វាក់តូរីសសម្រាប់លេខដាក់ និងប្តូរលេខ យើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ទី 4. ក្នុងក្រុមដែលមានមនុស្ស 25 នាក់ អ្នកត្រូវបែងចែកបួននាក់ដើម្បីធ្វើការនៅក្នុងតំបន់ជាក់លាក់មួយ។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី?

ដំណោះស្រាយ។ ចាប់តាំងពីលំដាប់នៃមនុស្សបួននាក់ដែលបានជ្រើសរើសមិនមានបញ្ហាអ្វីទេនេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធី។

យើងរកឃើញដោយរូបមន្តដំបូង

.

លើសពីនេះទៀតនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា រូបមន្តខាងក្រោមត្រូវបានប្រើដែលបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងនៃបន្សំ៖

(តាមនិយមន័យ និងសន្មត់)។

.

១.២. ការដោះស្រាយបញ្ហារួមបញ្ចូលគ្នា

កិច្ចការ 1. 16 មុខវិជ្ជាត្រូវបានសិក្សានៅមហាវិទ្យាល័យ។ នៅថ្ងៃច័ន្ទអ្នកត្រូវដាក់ 3 មុខវិជ្ជានៅក្នុងកាលវិភាគ។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី?

ដំណោះស្រាយ។ មានវិធីជាច្រើនដើម្បីកំណត់ពេលធាតុបីក្នុងចំនោម 16 ព្រោះថាមានការដាក់ធាតុ 16 នៃ 3 នីមួយៗ។

កិច្ចការទី 2. ក្នុងចំណោមវត្ថុ 15 វត្ថុ 10 ត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើស។ តើនេះអាចធ្វើបានប៉ុន្មានវិធី?

កិច្ចការទី 3. ក្រុមចំនួនបួនបានចូលរួមក្នុងការប្រកួត។ តើមានជម្រើសប៉ុន្មានសម្រាប់ការបែងចែកកៅអីរវាងពួកគេ?

.

បញ្ហា 4. តើការល្បាតរបស់ទាហានបីនាក់ និងមន្ត្រីម្នាក់អាចបង្កើតបានដោយរបៀបណា ប្រសិនបើទាហាន 80 នាក់ និងមន្ត្រី 3 នាក់?

ដំណោះស្រាយ។ ទាហានល្បាតអាចត្រូវបានជ្រើសរើស

មធ្យោបាយ និងផ្លូវរបស់មន្ត្រី។ ដោយសារ​តែ​មន្ត្រី​ណា​ម្នាក់​អាច​ទៅ​ជា​មួយ​ក្រុម​ទាហាន​បាន នោះ​មាន​តែ​វិធី​ប៉ុណ្ណោះ។

កិច្ចការ 5. ស្វែងរកថាតើវាត្រូវបានគេស្គាល់ថា .

ចាប់តាំងពីយើងទទួលបាន

,

,

តាមនិយមន័យនៃការរួមបញ្ចូលគ្នា វាធ្វើតាមនោះ . នោះ។ .

១.៣. គំនិតនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ។ ប្រភេទព្រឹត្តិការណ៍។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍

រាល់សកម្មភាព បាតុភូត ការសង្កេតជាមួយនឹងលទ្ធផលផ្សេងៗគ្នា ដែលសម្រេចបានក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ នឹងត្រូវហៅថា សាកល្បង។

លទ្ធផលនៃសកម្មភាពឬការសង្កេតនេះត្រូវបានគេហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ .

ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចកើតឡើងឬមិនកើតឡើងនោះវាត្រូវបានហៅ ចៃដន្យ . ក្នុងករណីដែលព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវតែកើតឡើងពិតប្រាកដនោះត្រូវបានគេហៅថា អាចទុកចិត្តបាន។ ហើយក្នុងករណីដែលវាមិនអាចទៅរួចនោះ - មិនអាចទៅរួច.

ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។ ប្រសិនបើមានតែមួយក្នុងចំណោមពួកគេអាចលេចឡើងរាល់ពេល។

ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថា រួម ប្រសិនបើនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ ការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះមិនរាប់បញ្ចូលការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀតនៅក្នុងការធ្វើតេស្តដូចគ្នានោះទេ។

ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថា ទល់មុខ ប្រសិនបើស្ថិតក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃការធ្វើតេស្ត ពួកគេដែលជាលទ្ធផលតែមួយគត់របស់វា គឺមិនឆបគ្នា។

ព្រឹត្តិការណ៍ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង៖ A, B, C, D, : .

ប្រព័ន្ធពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ A 1 , A 2 , A 3 , : , A n គឺជាសំណុំនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា ការកើតឡើងនៃយ៉ាងហោចណាស់មួយដែលជាកាតព្វកិច្ចសម្រាប់ការធ្វើតេស្តដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធពេញលេញមានព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាពីរ នោះព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាផ្ទុយ ហើយត្រូវបានតំណាងដោយ A និង .

ឧទាហរណ៍។ មានគ្រាប់បាល់ចំនួន 30 នៅក្នុងប្រអប់មួយ។ កំណត់ថាតើព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយខាងក្រោមមិនអាចទៅរួច ជាក់លាក់ ផ្ទុយគ្នា៖

បានទទួលបាល់ដែលមានលេខ (ប៊ុត);

គូរបាល់ដែលមានលេខគូ (AT);

គូរបាល់ដែលមានលេខសេស (ពី);

ទទួលបានបាល់ដោយគ្មានលេខ (D).

តើពួកគេមួយណាបង្កើតក្រុមពេញលេញ?

ដំណោះស្រាយ . ប៉ុន្តែ- ព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់; ឃ- ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច;

នៅក្នុង និង ពី- ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ។

ក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺ ប៉ុន្តែនិង ឃ, វីនិង ពី.

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានចាត់ទុកថាជារង្វាស់នៃលទ្ធភាពគោលបំណងនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយ។

១.៤. និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ

លេខដែលជាការបង្ហាញនៃរង្វាស់នៃលទ្ធភាពគោលបំណងនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានគេហៅថា ប្រូបាប៊ីលីតេ ព្រឹត្តិការណ៍នេះ និងត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា P(A)

និយមន័យ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែគឺជាសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផល m ដែលអនុគ្រោះដល់ការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប៉ុន្តែទៅកាន់លេខ នលទ្ធផលទាំងអស់ (មិនឆបគ្នា តែមួយគត់ និងអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា) i.e. .

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ វាចាំបាច់ក្នុងការពិចារណាលើលទ្ធផលផ្សេងៗនៃការធ្វើតេស្ត ដើម្បីគណនាលទ្ធផលដែលមិនឆបគ្នាដែលអាចកើតមាន។ nជ្រើសរើសចំនួនលទ្ធផលដែលយើងចាប់អារម្មណ៍ m និងគណនាសមាមាត្រ មទៅ ន.

លក្ខណសម្បត្តិខាងក្រោមបានមកពីនិយមន័យនេះ៖

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការសាកល្បងណាមួយគឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមានដែលមិនលើសពីមួយ។

ជាការពិតចំនួន m នៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលចង់បានស្ថិតនៅក្នុង . បែងចែកផ្នែកទាំងពីរទៅជា ន, យើង​ទទួល​បាន

2. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយគឺស្មើនឹងមួយ ពីព្រោះ .

3. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចគឺសូន្យព្រោះ .

បញ្ហា 1. មានអ្នកឈ្នះ 200 នាក់ក្នុងចំណោមសំបុត្រ 1000 នៅក្នុងឆ្នោត។ សំបុត្រមួយត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលសំបុត្រនេះឈ្នះ?

ដំណោះស្រាយ។ ចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលផ្សេងគ្នាគឺ ន=1000។ ចំនួននៃលទ្ធផលដែលពេញចិត្តនឹងការឈ្នះគឺ m=200។ យោងតាមរូបមន្តយើងទទួលបាន

.

កិច្ចការទី 2. ក្នុងមួយបាច់នៃ 18 ផ្នែកមាន 4 ផ្នែក។ 5 បំណែកត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាផ្នែកពីរក្នុងចំនោមផ្នែកទាំង 5 នេះគឺមានកំហុស។

ដំណោះស្រាយ។ ចំនួននៃលទ្ធផលឯករាជ្យដែលអាចធ្វើបានស្មើគ្នា នគឺស្មើនឹងចំនួនបន្សំពី 18 ដល់ 5 i.e.

ចូរយើងគណនាចំនួន m ដែលពេញចិត្តព្រឹត្តិការណ៍ A. ក្នុងចំណោមផ្នែកដែលជ្រើសរើសដោយចៃដន្យទាំង 5 គួរតែមាន 3 ដែលមានគុណភាពខ្ពស់ និង 2 ផ្នែកដែលមានបញ្ហា។ ចំនួននៃវិធីដើម្បីជ្រើសរើសផ្នែកដែលមានបញ្ហាពីរពី 4 ផ្នែកដែលមានបញ្ហាគឺស្មើនឹងចំនួននៃបន្សំពី 4 ទៅ 2៖

ចំនួននៃវិធីដើម្បីជ្រើសរើសផ្នែកគុណភាពបីពី 14 ផ្នែកគុណភាពដែលមានគឺស្មើនឹង

.

ក្រុមនៃផ្នែកគុណភាពណាមួយអាចត្រូវបានផ្សំជាមួយក្រុមណាមួយនៃផ្នែកដែលមានបញ្ហា ដូច្នេះចំនួនសរុបនៃបន្សំ មគឺ

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាននៃព្រឹត្តិការណ៍ A គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផល m ដែលអនុគ្រោះព្រឹត្តិការណ៍នេះទៅនឹងចំនួន n នៃលទ្ធផលឯករាជ្យដែលអាចធ្វើបានស្មើគ្នា៖

.

ផលបូកនៃចំនួនកំណត់នៃព្រឹត្តិការណ៍គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមាននៅក្នុងការកើតឡើងនៃយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេ។

ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរត្រូវបានបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា A + B និងផលបូក ននិមិត្តសញ្ញាព្រឹត្តិការណ៍ A 1 + A 2 + : +A n ។

ទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ។

កូរ៉ូឡារី 1. ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ А 1 , А 2 , : , А n បង្កើតជាប្រព័ន្ធពេញលេញ នោះផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះគឺស្មើនឹងមួយ។

កូរ៉ូឡារី 2. ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ និងស្មើនឹងមួយ។

.

បញ្ហា 1. មានឆ្នោត 100 សន្លឹក។ វាត្រូវបានគេដឹងថា 5 សំបុត្រឈ្នះ 20,000 rubles, 10 - 15,000 rubles, 15 - 10,000 rubles, 25 - 2,000 rubles ។ និងគ្មានអ្វីសម្រាប់នៅសល់។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលសំបុត្រដែលបានទិញនឹងឈ្នះយ៉ាងហោចណាស់ 10,000 រូប្លិ៍។

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ A, B, និង C ជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមាននៅក្នុងការពិតដែលថារង្វាន់ស្មើនឹង 20,000, 15,000 និង 10,000 rubles ធ្លាក់លើសំបុត្រដែលបានទិញ។ ចាប់តាំងពីព្រឹត្តិការណ៍ A, B និង C មិនឆបគ្នា។

កិច្ចការទី 2. នាយកដ្ឋានឆ្លើយឆ្លងរបស់សាលាបច្ចេកទេស ទទួលការប្រឡងគណិតវិទ្យាពីទីក្រុងនានា ក, ខនិង ពី. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលការងារត្រួតពិនិត្យពីទីក្រុង ប៉ុន្តែស្មើនឹង 0.6 ពីទីក្រុង អេ- 0.1 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលការងារត្រួតពិនិត្យបន្ទាប់នឹងមកពីទីក្រុង ពី.