ពីចំនួនគត់និទស្សន្តនៃចំនួន a ការផ្លាស់ប្តូរទៅជានិទស្សន្តនិទស្សន្តបង្ហាញខ្លួនឯង។ ខាងក្រោមនេះ យើងកំណត់សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុសមផល ហើយយើងនឹងធ្វើវាតាមរបៀបដែលលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់ត្រូវបានរក្សាទុក។ នេះគឺចាំបាច់ព្រោះចំនួនគត់គឺជាផ្នែកមួយនៃលេខសនិទាន។

វាត្រូវបានគេដឹងថា សំណុំនៃលេខសនិទានភាពមានចំនួនគត់ និងលេខប្រភាគ ហើយចំនួនប្រភាគនីមួយៗអាចត្រូវបានតំណាងថាជាប្រភាគធម្មតាវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន។ យើងបានកំណត់សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់នៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន ដូច្នេះ ដើម្បីបំពេញនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដោយប្រើនិទស្សន្ត យើងត្រូវផ្តល់អត្ថន័យដល់កម្រិតនៃចំនួន កជាមួយប្រភាគ m/nកន្លែងណា មគឺជាចំនួនគត់ និង ន- ធម្មជាតិ។ តោះ​ធ្វើ​វា។

ពិចារណាដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគនៃទម្រង់។ ដើម្បីឱ្យទ្រព្យសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រមួយនៅតែមានសុពលភាព សមភាពត្រូវតែរក្សា . ប្រសិនបើយើងគិតគូរពីសមភាពលទ្ធផល និងរបៀបដែលយើងកំណត់ឫសគល់នៃសញ្ញាបត្រទី 0 នោះ វាជាឡូជីខលក្នុងការទទួលយក បើមានទិន្នន័យ ម, ននិង កការបញ្ចេញមតិធ្វើឱ្យយល់។

វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់មានសុពលភាពសម្រាប់ជា (នេះត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងផ្នែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល)។

ហេតុផលខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើដូចខាងក្រោម ការសន្និដ្ឋាន៖ ប្រសិនបើផ្តល់ឱ្យ ម, ននិង កការបញ្ចេញមតិធ្វើឱ្យយល់បាន បន្ទាប់មកអំណាចនៃលេខ កជាមួយប្រភាគ m/nហៅថាឫស នកម្រិតនៃ កដើម្បី​វិសាលភាព ម.

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះនាំយើងឱ្យជិតទៅនឹងនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ។ វានៅសល់តែដើម្បីពិពណ៌នានៅក្រោមអ្វី ម, ននិង កការបញ្ចេញមតិធ្វើឱ្យយល់។ អាស្រ័យលើការរឹតបន្តឹង ម, ននិង កមានវិធីសាស្រ្តសំខាន់ពីរ។

1. មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតគឺការដាក់កម្រិតលើ ក, ទទួលយក a≥0សម្រាប់វិជ្ជមាន មនិង a>0សម្រាប់អវិជ្ជមាន ម(ព្រោះនៅ m≤0សញ្ញាបត្រ 0 មមិនត្រូវបានកំណត់) ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាននិយមន័យដូចខាងក្រោមនៃដឺក្រេជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគ។

និយមន័យ។

កម្រិតនៃចំនួនវិជ្ជមាន កជាមួយប្រភាគ m/n កន្លែងណា មគឺទាំងមូល និង នគឺជាលេខធម្មជាតិ ហៅថាឫស ន- ទីពីក្នុងចំណោម កដើម្បី​វិសាលភាព មនោះគឺ .

ដឺក្រេប្រភាគនៃសូន្យក៏ត្រូវបានកំណត់ជាមួយការព្រមានតែមួយគត់ដែលនិទស្សន្តត្រូវតែវិជ្ជមាន។

និយមន័យ។

អំណាចនៃសូន្យជាមួយនឹងនិទស្សន្តវិជ្ជមានប្រភាគ m/n កន្លែងណា មគឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន និង នគឺជាលេខធម្មជាតិ ដែលកំណត់ជា .
នៅពេលដែលសញ្ញាប័ត្រមិនត្រូវបានកំណត់ នោះមានន័យថា កម្រិតនៃលេខសូន្យជាមួយនឹងនិទស្សន្តអវិជ្ជមានប្រភាគមិនសមហេតុផលទេ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាជាមួយនឹងនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគមាន nuance មួយ: សម្រាប់អវិជ្ជមានមួយចំនួន កនិងមួយចំនួន មនិង នកន្សោម​មាន​អត្ថន័យ ហើយ​យើង​បាន​បោះបង់​ករណី​ទាំង​នេះ​ដោយ​ការ​ណែនាំ​លក្ខខណ្ឌ a≥0. ឧទាហរណ៍វាសមហេតុផលក្នុងការសរសេរ ឬ ហើយនិយមន័យខាងលើបង្ខំយើងឱ្យនិយាយថាដឺក្រេជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគនៃទម្រង់ គ្មានន័យទេ ព្រោះមូលដ្ឋានមិនត្រូវអវិជ្ជមានទេ។

2. វិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតដើម្បីកំណត់ដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ m/nមាននៅក្នុងការពិចារណាដាច់ដោយឡែកពីនិទស្សន្តគូ និងសេសនៃឫស។ វិធីសាស្រ្តនេះទាមទារលក្ខខណ្ឌបន្ថែម៖ អំណាចនៃលេខ កសូចនាករ​របស់​វា​ជា​ប្រភាគ​ធម្មតា​ដែល​បាន​កាត់​បន្ថយ ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​អំណាច​នៃ​លេខ កសូចនាកររបស់វាគឺប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបានដែលត្រូវគ្នា (សារៈសំខាន់នៃលក្ខខណ្ឌនេះនឹងត្រូវបានពន្យល់ខាងក្រោម)។ នោះគឺប្រសិនបើ m/nគឺជាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ kសញ្ញាបត្រត្រូវបានជំនួសដោយ .

សម្រាប់សូម្បីតែ ននិងវិជ្ជមាន មការ​បញ្ចេញ​មតិ​មាន​ន័យ​សម្រាប់​អ្វី​ដែល​មិន​អវិជ្ជមាន ក(ឫសនៃកម្រិតគូនៃចំនួនអវិជ្ជមានមិនសមហេតុផលទេ) ជាមួយនឹងអវិជ្ជមាន មចំនួន កត្រូវតែខុសគ្នាពីសូន្យ (បើមិនដូច្នេះទេវានឹងជាការបែងចែកដោយសូន្យ)។ ហើយសម្រាប់សេស ននិងវិជ្ជមាន មចំនួន កអាចជាអ្វីក៏បាន (ឫសនៃសញ្ញាប័ត្រសេសត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ) និងសម្រាប់អវិជ្ជមាន មចំនួន កត្រូវតែខុសពីសូន្យ (ដូច្នេះគ្មានការបែងចែកដោយសូន្យទេ)។

ការវែកញែកខាងលើនាំយើងទៅរកនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រនេះជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគ។

និយមន័យ។

អនុញ្ញាតឱ្យ m/n- ប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។ មគឺទាំងមូល និង ន- លេខធម្មជាតិ។ សម្រាប់ប្រភាគធម្មតាដែលអាចកាត់បន្ថយបាន សញ្ញាបត្រត្រូវបានជំនួសដោយ . សញ្ញាបត្រ កជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។ m/n- វាគឺសម្រាប់

o ចំនួនពិតណាមួយ។ កចំនួនគត់វិជ្ជមាន មនិងធម្មជាតិចម្លែក ន, ឧទាហរណ៍, ;

o ចំនួនពិតដែលមិនមែនជាសូន្យ កចំនួនគត់អវិជ្ជមាន មនិងសេស ន, ឧទាហរណ៍, ;

o លេខដែលមិនអវិជ្ជមាន កចំនួនគត់វិជ្ជមាន មនិង​សូម្បីតែ ន, ឧទាហរណ៍, ;

o វិជ្ជមានណាមួយ។ កចំនួនគត់អវិជ្ជមាន មនិង​សូម្បីតែ ន, ឧទាហរណ៍, ;

o ក្នុងករណីផ្សេងទៀត ដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគមិនត្រូវបានកំណត់ទេ ដូចជាឧទាហរណ៍ ដឺក្រេមិនត្រូវបានកំណត់ .a ធាតុដែលយើងមិនភ្ជាប់អត្ថន័យណាមួយទេ យើងកំណត់កម្រិតសូន្យសម្រាប់និទស្សន្តប្រភាគវិជ្ជមាន m/nរបៀប សម្រាប់និទស្សន្តប្រភាគអវិជ្ជមាន កម្រិតនៃលេខសូន្យមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។

សរុបសេចក្តីនៃកថាខណ្ឌនេះ ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថា ប្រភាគនិទស្សន្តអាចត្រូវបានសរសេរជាប្រភាគទសភាគ ឬចំនួនចម្រុះ ឧទាហរណ៍។ . ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកន្សោមប្រភេទនេះ អ្នកត្រូវសរសេរនិទស្សន្តជាប្រភាគធម្មតា ហើយបន្ទាប់មកប្រើនិយមន័យនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ។ សម្រាប់ឧទាហរណ៍ទាំងនេះយើងមាន និង

សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល

Khasyanova T.G.,

គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា

សម្ភារៈដែលបានបង្ហាញនឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យានៅពេលសិក្សាប្រធានបទ "សញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករសមហេតុផល" ។

គោលបំណងនៃសម្ភារៈដែលបានបង្ហាញ៖ ការបង្ហាញបទពិសោធន៍របស់ខ្ញុំក្នុងការធ្វើមេរៀនលើប្រធានបទ "សញ្ញាប័ត្រដែលមានសូចនាករសមហេតុផល" នៃកម្មវិធីការងារនៃវិន័យ "គណិតវិទ្យា" ។

វិធីសាស្រ្តនៃមេរៀនត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រភេទរបស់វា - មេរៀនក្នុងការសិក្សា និងការបង្រួបបង្រួមបឋមនៃចំណេះដឹងថ្មី។ ចំណេះដឹង និងជំនាញជាមូលដ្ឋានត្រូវបានធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពដោយផ្អែកលើបទពិសោធន៍ដែលទទួលបានពីមុន។ ការទន្ទេញចាំបឋម ការបង្រួបបង្រួម និងការអនុវត្តព័ត៌មានថ្មី។ ការបង្រួបបង្រួម និងការអនុវត្តសម្ភារៈថ្មីបានធ្វើឡើងក្នុងទម្រង់នៃការដោះស្រាយបញ្ហានៃភាពស្មុគស្មាញផ្សេងៗគ្នា ដែលខ្ញុំបានសាកល្បង ដោយផ្តល់លទ្ធផលវិជ្ជមានក្នុងការធ្វើជាម្ចាស់លើប្រធានបទ។

នៅដើមមេរៀន ខ្ញុំបានកំណត់គោលដៅដូចខាងក្រោមសម្រាប់សិស្ស៖ ការអប់រំ ការអភិវឌ្ឍន៍ ការអប់រំ។ នៅមេរៀនខ្ញុំបានប្រើវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗនៃសកម្មភាព: ផ្នែកខាងមុខ, បុគ្គល, បន្ទប់ចំហាយទឹក, ឯករាជ្យ, ការធ្វើតេស្ត។ ភារកិច្ចត្រូវបានបែងចែកខុសគ្នា និងធ្វើឱ្យវាអាចកំណត់អត្តសញ្ញាណ នៅដំណាក់កាលនីមួយៗនៃមេរៀន កម្រិតនៃការបញ្ចូលចំណេះដឹង។ បរិមាណ និងភាពស្មុគស្មាញនៃកិច្ចការត្រូវគ្នាទៅនឹងលក្ខណៈអាយុរបស់សិស្ស។ តាមបទពិសោធន៍របស់ខ្ញុំ កិច្ចការផ្ទះ ស្រដៀងនឹងកិច្ចការដែលបានដោះស្រាយក្នុងថ្នាក់រៀន អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹង និងជំនាញដែលទទួលបានដោយសុវត្ថិភាព។ នៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន ការឆ្លុះបញ្ចាំងត្រូវបានអនុវត្ត ហើយការងាររបស់សិស្សម្នាក់ៗត្រូវបានវាយតម្លៃ។

គោលដៅត្រូវបានសម្រេច។ សិស្សបានសិក្សាពីគោលគំនិត និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល រៀនពីរបៀបប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង។ ថ្នាក់សម្រាប់ការងារឯករាជ្យត្រូវបានប្រកាសនៅមេរៀនបន្ទាប់។

ខ្ញុំជឿថាវិធីសាស្រ្តដែលខ្ញុំប្រើសម្រាប់ធ្វើថ្នាក់រៀនគណិតវិទ្យាអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយគ្រូគណិតវិទ្យា។

ប្រធានបទមេរៀន៖ សញ្ញាប័ត្រដែលមានសូចនាករសមហេតុផល

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

ការកំណត់អត្តសញ្ញាណកម្រិតនៃការធ្វើជាម្ចាស់ដោយសិស្សនៃភាពស្មុគស្មាញនៃចំណេះដឹង និងជំនាញ ហើយនៅលើមូលដ្ឋានរបស់វា ការអនុវត្តដំណោះស្រាយមួយចំនួនដើម្បីកែលម្អដំណើរការអប់រំ។

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

ការបង្រៀន៖ដើម្បីបង្កើតចំណេះដឹងថ្មីក្នុងចំណោមសិស្សនៃគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន ច្បាប់សម្រាប់កំណត់សញ្ញាបត្រជាមួយនឹងសូចនាករសមហេតុផល សមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តចំណេះដឹងដោយឯករាជ្យនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌស្តង់ដារ ក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្លាស់ប្តូរ និងមិនមានស្តង់ដារ។

អភិវឌ្ឍន៍៖គិតឡូជីខលនិងដឹងពីសមត្ថភាពច្នៃប្រឌិត;

អ្នកអប់រំ៖ដើម្បីបង្កើតចំណាប់អារម្មណ៍លើគណិតវិទ្យា បំពេញវាក្យសព្ទជាមួយនឹងពាក្យថ្មី ដើម្បីទទួលបានព័ត៌មានបន្ថែមអំពីពិភពលោកជុំវិញ។ បណ្តុះការអត់ធ្មត់ ការតស៊ូ សមត្ថភាពក្នុងការជម្នះការលំបាក។

ពេលវេលារៀបចំ

ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងមូលដ្ឋាន

នៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តត្រូវបានបន្ថែម ហើយមូលដ្ឋាននៅតែដដែល៖

ឧទាហរណ៍,

2. នៅពេលដែលបែងចែកអំណាចជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តត្រូវបានដក ហើយមូលដ្ឋាននៅតែដដែល៖

ឧទាហរណ៍,

3. នៅពេលបង្កើនដឺក្រេទៅជាថាមពល និទស្សន្តត្រូវបានគុណ ហើយមូលដ្ឋាននៅតែដដែល៖

ឧទាហរណ៍,

4. កម្រិតនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃអំណាចនៃកត្តា:

ឧទាហរណ៍,

5. កម្រិតនៃកូតាគឺស្មើនឹងកូតានៃអំណាចនៃភាគលាភ និងផ្នែកចែក៖

ឧទាហរណ៍,

លំហាត់ដំណោះស្រាយ

ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

ដំណោះស្រាយ៖

ក្នុងករណីនេះ គ្មានលក្ខណៈសម្បត្តិណាមួយនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិអាចត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងច្បាស់លាស់នោះទេ ព្រោះថាដឺក្រេទាំងអស់មានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា។ ចូរសរសេរកម្រិតខ្លះក្នុងទម្រង់ផ្សេង៖

(កម្រិតនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដឺក្រេនៃកត្តា);

(នៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តត្រូវបានបន្ថែម ហើយមូលដ្ឋាននៅតែដដែល។ នៅពេលបង្កើនកម្រិតដល់ថាមពល និទស្សន្តត្រូវបានគុណ ប៉ុន្តែមូលដ្ឋាននៅតែដដែល)។

បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងបួនដំបូងនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិត្រូវបានប្រើប្រាស់។

ឫសការ៉េនព្វន្ធ
គឺ​ជា​ចំនួន​មិន​អវិជ្ជមាន​ដែល​មាន​ការ៉េក,
. នៅ
- កន្សោម
មិនត្រូវបានកំណត់, ដោយសារតែ មិនមានចំនួនពិតដែលការ៉េស្មើនឹងចំនួនអវិជ្ជមានទេ។ក.

ការសរសេរតាមរូបមន្តគណិតវិទ្យា(៨-១០ នាទី)

ជម្រើស

II. ជម្រើស

1. រកតម្លៃនៃកន្សោម

ក)

ខ)

1. រកតម្លៃនៃកន្សោម

ក)

ខ)

2. គណនា

ក)

ខ)

អេ)

2. គណនា

ក)

ខ)

ក្នុង)

ការ​ធ្វើ​តេ​ស្ត​ដោយ​ខ្លួន(នៅលើបន្ទះក្តារ):

ម៉ាទ្រីសឆ្លើយតប៖

№ ជម្រើស / ភារកិច្ច

កិច្ចការទី 1

កិច្ចការទី 2

ជម្រើសទី 1

ក) ២

ខ) ២

ក) 0.5

ខ)

ក្នុង)

ជម្រើសទី 2

ក) ១.៥

ខ)

ក)

ខ)

នៅ 4

II. ការបង្កើតចំណេះដឹងថ្មី។

ពិចារណាអត្ថន័យនៃកន្សោម, កន្លែងណា - លេខវិជ្ជមាន- ចំនួនប្រភាគ និងចំនួនគត់ m, n-natural (n>1)

និយមន័យ៖ ដឺក្រេនៃចំនួន a›0 ជាមួយនឹងនិទស្សន្តនិទស្សន្តr = , ម- ទាំងមូល, ន- ធម្មជាតិ ( ន› 1) លេខមួយត្រូវបានហៅ.

ដូច្នេះ៖

ឧទាហរណ៍:

កំណត់ចំណាំ៖

1. សម្រាប់វិជ្ជមានណាមួយ និង r សនិទានភាពណាមួយ លេខ ជាវិជ្ជមាន។

2. ពេលណា
អំណាចសមហេតុផលនៃចំនួនមួយ។កមិន​ត្រូវ​បាន​កំណត់។

កន្សោមដូចជា
មិនសមហេតុផល។

3. ប្រសិនបើ ចំនួនវិជ្ជមានប្រភាគ
.

ប្រសិនបើ ក ប្រភាគ លេខអវិជ្ជមានបន្ទាប់មក -មិនសមហេតុផលទេ។

ឧទាហរណ៍: - មិនសមហេតុផល។

ពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល។

អនុញ្ញាតឱ្យ a>0, в>0; r, s - លេខសមហេតុផលណាមួយ។ បន្ទាប់មកសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផលណាមួយមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

1.
2.
3.
4.
5.

III. ការ​ច្របាច់​បញ្ចូល​គ្នា។ ការបង្កើតជំនាញ និងសមត្ថភាពថ្មីៗ។

កាតភារកិច្ចដំណើរការជាក្រុមតូចៗក្នុងទម្រង់នៃការធ្វើតេស្ត។

កន្សោម, ការបំប្លែងកន្សោម

កន្សោមអំណាច (កន្សោមជាមួយអំណាច) និងការផ្លាស់ប្តូររបស់វា។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងនិយាយអំពីការផ្លាស់ប្តូរកន្សោមជាមួយនឹងអំណាច។ ទីមួយ យើងនឹងផ្តោតលើការបំប្លែងដែលត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងកន្សោមនៃប្រភេទណាមួយ រួមទាំងការបង្ហាញថាមពល ដូចជាតង្កៀបបើក កាត់បន្ថយពាក្យស្រដៀងគ្នា។ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងវិភាគការបំប្លែងដែលមាននៅក្នុងកន្សោមជាមួយដឺក្រេ៖ ធ្វើការជាមួយមូលដ្ឋាន និងនិទស្សន្ត ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ។ល។

ការរុករកទំព័រ។

តើអ្វីជាការបញ្ចេញមតិថាមពល?

ពាក្យ "កន្សោមអំណាច" គឺមិនត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលាទេ ប៉ុន្តែជារឿយៗវាលេចឡើងនៅក្នុងការប្រមូលបញ្ហា ជាពិសេសត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម និង OGE ឧទាហរណ៍។ បន្ទាប់ពីការវិភាគភារកិច្ចដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីអនុវត្តសកម្មភាពណាមួយជាមួយកន្សោមអំណាច វាច្បាស់ថាកន្សោមអំណាចត្រូវបានយល់ថាជាកន្សោមដែលមានដឺក្រេនៅក្នុងធាតុរបស់វា។ ដូច្នេះសម្រាប់ខ្លួនអ្នក អ្នកអាចយកនិយមន័យដូចខាងក្រោមៈ

និយមន័យ។

កន្សោមអំណាចគឺជាការបញ្ចេញមតិដែលមានអំណាច។

ចូរនាំមក ឧទាហរណ៍នៃការបញ្ចេញថាមពល. ជាងនេះទៅទៀត យើងនឹងតំណាងឱ្យពួកគេតាមវិធីដែលការអភិវឌ្ឍន៍នៃទស្សនៈពីកម្រិតដែលមានសូចនាករធម្មជាតិទៅកម្រិតដែលមានសូចនាករពិតប្រាកដកើតឡើង។

ដូចដែលអ្នកដឹងដំបូងអ្នកស្គាល់កម្រិតនៃលេខដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិនៅដំណាក់កាលនេះ កន្សោមថាមពលសាមញ្ញបំផុតដំបូងនៃប្រភេទ 3 2 , 7 5 +1 , (2 + 1) 5 , (−0,1 ។ ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 ។ល។

បន្តិចក្រោយមក អំណាចនៃលេខដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់ត្រូវបានសិក្សា ដែលនាំទៅដល់ការលេចចេញនូវកន្សោមថាមពលដែលមានអំណាចចំនួនគត់អវិជ្ជមានដូចជា៖ ៣ −២, , a −2 +2 b −3 + c 2 ។

នៅក្នុងថ្នាក់ជាន់ខ្ពស់ពួកគេត្រលប់ទៅសញ្ញាបត្រម្តងទៀត។ នៅទីនោះ សញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផលត្រូវបានណែនាំ ដែលនាំទៅដល់ការលេចចេញនូវកន្សោមអំណាចដែលត្រូវគ្នា៖ , , ល។ ជាចុងក្រោយ ដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តមិនសមហេតុផល និងកន្សោមដែលមានពួកវាត្រូវបានពិចារណា៖ , .

បញ្ហាមិនត្រូវបានកំណត់ចំពោះកន្សោមថាមពលដែលបានរាយបញ្ជីទេ៖ អថេរបន្ថែមទៀតជ្រាបចូលទៅក្នុងនិទស្សន្ត ហើយមានឧទាហរណ៍ដូចជាកន្សោម 2 x 2 +1 ឬ . ហើយបន្ទាប់ពីបានស្គាល់ កន្សោមដែលមានអំណាច និងលោការីតចាប់ផ្តើមលេចឡើង ឧទាហរណ៍ x 2 lgx −5 x lgx ។

ដូច្នេះ យើង​បាន​រក​ឃើញ​នូវ​សំណួរ​ថា តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​ការ​បញ្ចេញ​អំណាច។ បន្ទាប់ យើងនឹងរៀនពីរបៀបបំប្លែងពួកវា។

ប្រភេទសំខាន់ៗនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃការបញ្ចេញថាមពល

ជាមួយនឹងកន្សោមថាមពល អ្នកអាចធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណមូលដ្ឋានណាមួយនៃការបញ្ចេញមតិ។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចពង្រីកតង្កៀប ជំនួសកន្សោមជាលេខជាមួយនឹងតម្លៃរបស់វា បន្ថែមពាក្យដូចជា ជាដើម។ តាមធម្មជាតិ ក្នុងករណីនេះ ចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តតាមនីតិវិធីដែលទទួលយកសម្រាប់អនុវត្តសកម្មភាព។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍។

គណនាតម្លៃនៃកន្សោមថាមពល 2 3 ·(4 2 −12) ។

ដំណោះស្រាយ។

យោងតាមលំដាប់នៃសកម្មភាពដំបូងយើងអនុវត្តសកម្មភាពនៅក្នុងតង្កៀប។ នៅទីនោះដំបូងយើងជំនួសថាមពល 4 2 ជាមួយនឹងតម្លៃរបស់វា 16 (សូមមើលប្រសិនបើចាំបាច់) ហើយទីពីរយើងគណនាភាពខុសគ្នា 16−12=4 ។ យើង​មាន 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

នៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល យើងជំនួសថាមពលនៃ 2 3 ជាមួយនឹងតម្លៃរបស់វា 8 បន្ទាប់ពីនោះយើងគណនាផលិតផល 8·4=32 ។ នេះគឺជាតម្លៃដែលចង់បាន។

ដូច្នេះ 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

ចម្លើយ៖

2 3 (4 2 −12)=32 ។

ឧទាហរណ៍។

សម្រួលការបញ្ចេញមតិថាមពល 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

ដំណោះស្រាយ។

ជាក់ស្តែង កន្សោមនេះមានពាក្យស្រដៀងគ្នា 3 · a 4 · b − 7 និង 2 · a 4 · b − 7 ហើយយើងអាចកាត់បន្ថយបាន៖ .

ចម្លើយ៖

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

ឧទាហរណ៍។

បញ្ចេញមតិដោយអំណាចជាផលិតផល។

ដំណោះស្រាយ។

ដើម្បីទប់ទល់នឹងភារកិច្ចអនុញ្ញាតឱ្យតំណាងនៃលេខ 9 ជាថាមពលនៃ 3 2 និងការប្រើប្រាស់ជាបន្តបន្ទាប់នៃរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ:

ចម្លើយ៖

វាក៏មានការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទមួយចំនួននៅក្នុងកន្សោមអំណាចផងដែរ។ បន្ទាប់យើងនឹងវិភាគពួកគេ។

ធ្វើការជាមួយមូលដ្ឋាននិងនិទស្សន្ត

មានដឺក្រេនៅក្នុងមូលដ្ឋាន និង/ឬសូចនាករដែលមិនមែនគ្រាន់តែជាលេខ ឬអថេរប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែកន្សោមមួយចំនួន។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងសរសេរ (2+0.3 7) 5−3.7 និង (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) ។

នៅពេលធ្វើការជាមួយកន្សោមបែបនេះ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីជំនួសទាំងកន្សោមនៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រ និងកន្សោមនៅក្នុងសូចនាករជាមួយនឹងកន្សោមស្មើគ្នាដូចគ្នានៅលើ DPV នៃអថេររបស់វា។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតយោងទៅតាមច្បាប់ដែលយើងស្គាល់យើងអាចបំប្លែងមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រដោយឡែកពីគ្នាហើយដាច់ដោយឡែកពីគ្នា - សូចនាករ។ វាច្បាស់ណាស់ថា ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរនេះ កន្សោមមួយត្រូវបានទទួលដែលដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងទម្រង់ដើម។

ការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្រួលការបញ្ចេញមតិដោយប្រើអំណាច ឬសម្រេចបាននូវគោលដៅផ្សេងទៀតដែលយើងត្រូវការ។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងកន្សោមអំណាច (2+0.3 7) 5−3.7 ដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ អ្នកអាចធ្វើប្រតិបត្តិការជាមួយលេខក្នុងគោល និងនិទស្សន្ត ដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទៅកាន់អំណាចនៃ 4.1 1.3 ។ ហើយ​បន្ទាប់​ពី​បើក​តង្កៀប​ហើយ​នាំ​ពាក្យ​ដូច​ជា​គោល​នៃ​សញ្ញាប័ត្រ (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) យើង​ទទួល​បាន​កន្សោម​អំណាច​នៃ​ទម្រង់​សាមញ្ញ​មួយ 2·(x+1) )

ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិថាមពល

ឧបករណ៍សំខាន់មួយសម្រាប់បំប្លែងការបញ្ចេញមតិជាមួយនឹងអំណាចគឺសមភាពដែលឆ្លុះបញ្ចាំង។ ចូរយើងរំលឹករឿងសំខាន់ៗ។ សម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ a និង b និងចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត r និង s លក្ខណៈសម្បត្តិថាមពលខាងក្រោមមាន៖

• a r a s = a r + s ;
• a r:a s = a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r = a r:b r ;
• (a r) s = a r s ។

ចំណាំថាសម្រាប់និទស្សន្តចំនួនគត់ និងនិទស្សន្តវិជ្ជមាន ការរឹតបន្តឹងលើលេខ a និង b ប្រហែលជាមិនតឹងរ៉ឹងទេ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់លេខធម្មជាតិ m និង n សមភាព a m ·a n = a m+n គឺពិតមិនត្រឹមតែសម្រាប់វិជ្ជមាន a ទេ ប៉ុន្តែក៏សម្រាប់លេខអវិជ្ជមាន និង a = 0 ។

នៅសាលារៀន ការយកចិត្តទុកដាក់ចម្បងក្នុងការផ្លាស់ប្តូរនៃការបញ្ចេញថាមពលគឺផ្តោតយ៉ាងជាក់លាក់ទៅលើសមត្ថភាពក្នុងការជ្រើសរើសទ្រព្យសម្បត្តិសមស្រប និងអនុវត្តវាបានត្រឹមត្រូវ។ ក្នុងករណីនេះមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេជាធម្មតាមានភាពវិជ្ជមានដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេដោយគ្មានការរឹតបន្តឹង។ អនុវត្តដូចគ្នាទៅនឹងការបំប្លែងនៃកន្សោមដែលមានអថេរក្នុងគោលដឺក្រេ - ជួរតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអថេរជាធម្មតាដូចជាមូលដ្ឋានយកតែតម្លៃវិជ្ជមាននៅលើវា ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិដោយសេរី។ នៃដឺក្រេ។ ជាទូទៅ អ្នកត្រូវសួរខ្លួនឯងជានិច្ចថា តើវាអាចទៅរួចក្នុងការអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិដឺក្រេណាមួយទេក្នុងករណីនេះ ពីព្រោះការប្រើប្រាស់អចលនទ្រព្យមិនត្រឹមត្រូវអាចនាំឱ្យមានការរួមតូចនៃ ODZ និងបញ្ហាផ្សេងៗទៀត។ ចំណុចទាំងនេះត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិត និងជាមួយឧទាហរណ៍នៅក្នុងអត្ថបទ ការផ្លាស់ប្តូរកន្សោមដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ។ នៅទីនេះយើងបង្ខាំងខ្លួនយើងទៅនឹងឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍។

បង្ហាញកន្សោម a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 ជាថាមពលដែលមានមូលដ្ឋាន a .

ដំណោះស្រាយ។

ទីមួយ យើងបំប្លែងកត្តាទីពីរ (a 2) −3 ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបង្កើនថាមពលទៅជាថាមពលមួយ៖ (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. ក្នុងករណីនេះ កន្សោមថាមពលដំបូងនឹងយកទម្រង់ 2.5 ·a −6:a −5.5 ។ ជាក់ស្តែង វានៅតែប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណ និងការបែងចែកអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងមាន
a 2.5 a -6:a -5.5 =
a 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5=
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

ចម្លើយ៖

a 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

លក្ខណៈសម្បត្តិថាមពលត្រូវបានប្រើនៅពេលបំប្លែងកន្សោមថាមពលទាំងពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងពីស្តាំទៅឆ្វេង។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោមថាមពល។

ដំណោះស្រាយ។

សមភាព (a·b) r =a r·b r អនុវត្តពីស្តាំទៅឆ្វេង អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទៅពីកន្សោមដើមទៅផលិតផលនៃទម្រង់ និងបន្ថែមទៀត។ ហើយនៅពេលគុណអំណាចជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា សូចនាករបន្ថែមឡើង៖ .

វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តការបំប្លែងនៃការបញ្ចេញមតិដើមតាមវិធីមួយផ្សេងទៀត៖

ចម្លើយ៖

.

ឧទាហរណ៍។

ដែលបានផ្តល់ឱ្យកន្សោមថាមពល 1.5 −a 0.5 −6 បញ្ចូលអថេរថ្មី t=a 0.5 ។

ដំណោះស្រាយ។

ដឺក្រេ 1.5 អាចត្រូវបានតំណាងជា 0.5 3 និងបន្ថែមទៀតនៅលើមូលដ្ឋាននៃទ្រព្យសម្បត្តិនៃដឺក្រេនៅក្នុងដឺក្រេ (a r) s = a r s បានអនុវត្តពីស្តាំទៅឆ្វេង បម្លែងវាទៅជាទម្រង់ (a 0.5) 3 ។ ដោយវិធីនេះ a 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. ឥឡូវនេះវាងាយស្រួលក្នុងការណែនាំអថេរថ្មី t=a 0.5 យើងទទួលបាន t 3 −t−6 ។

ចម្លើយ៖

t 3−t−6 ។

ការបំប្លែងប្រភាគដែលមានអំណាច

កន្សោមអំណាចអាចមានប្រភាគដែលមានអំណាច ឬតំណាងឱ្យប្រភាគបែបនេះ។ ការបំប្លែងប្រភាគជាមូលដ្ឋានណាមួយដែលមាននៅក្នុងប្រភាគនៃប្រភេទណាមួយគឺអាចអនុវត្តបានទាំងស្រុងចំពោះប្រភាគបែបនេះ។ នោះគឺប្រភាគដែលមានដឺក្រេអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ កាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងថ្មី ធ្វើការដោយឡែកពីគ្នាជាមួយភាគយករបស់ពួកគេ និងដាច់ដោយឡែកជាមួយភាគបែង។ល។ ដើម្បីបង្ហាញពីពាក្យខាងលើ សូមពិចារណាដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍។

សម្រួលការបញ្ចេញមតិថាមពល .

ដំណោះស្រាយ។

កន្សោមអំណាចនេះគឺជាប្រភាគ។ តោះធ្វើការជាមួយភាគបែង និងភាគបែងរបស់វា។ នៅក្នុងភាគយក យើងបើកតង្កៀប និងសម្រួលកន្សោមដែលទទួលបានបន្ទាប់ពីនោះដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាច ហើយនៅក្នុងភាគបែង យើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នានេះ៖

ហើយយើងក៏ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃភាគបែងដោយដាក់ដកនៅពីមុខប្រភាគ៖ .

ចម្លើយ៖

.

ការកាត់បន្ថយប្រភាគដែលមានអំណាចដល់ភាគបែងថ្មីត្រូវបានអនុវត្តស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការកាត់បន្ថយប្រភាគសមហេតុផលទៅភាគបែងថ្មី។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ កត្តាបន្ថែមមួយក៏ត្រូវបានរកឃើញផងដែរ ហើយភាគបែង និងភាគបែងនៃប្រភាគត្រូវបានគុណនឹងវា។ នៅពេលអនុវត្តសកម្មភាពនេះ វាគឺមានតំលៃចងចាំថា ការកាត់បន្ថយទៅភាគបែងថ្មីអាចនាំឱ្យមានការរួមតូចនៃ DPV ។ ដើម្បីបងា្ករកុំឱ្យវាកើតឡើង វាចាំបាច់ដែលកត្តាបន្ថែមមិនរលាយបាត់សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរពីអថេរ ODZ សម្រាប់កន្សោមដើម។

ឧទាហរណ៍។

នាំប្រភាគទៅភាគបែងថ្មី៖ ក) ទៅភាគបែង a, ខ) ដល់ភាគបែង។

ដំណោះស្រាយ។

ក) ក្នុងករណីនេះ វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការស្វែងយល់ថាតើកត្តាបន្ថែមអ្វីខ្លះដែលជួយឱ្យសម្រេចបានលទ្ធផលដែលចង់បាន។ នេះគឺជាមេគុណ a 0.3 ចាប់តាំងពី 0.7 a 0.3 = a 0.7 + 0.3 = a ។ ចំណាំថានៅលើជួរតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអថេរ a (នេះគឺជាសំណុំនៃចំនួនពិតវិជ្ជមានទាំងអស់) ដឺក្រេ 0.3 មិនបាត់ទេ ដូច្នេះយើងមានសិទ្ធិគុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដោយកត្តាបន្ថែមនេះ៖

ខ) ក្រឡេកមើលភាគបែងឱ្យកាន់តែជិត យើងឃើញថា

ហើយការគុណកន្សោមនេះដោយនឹងផ្តល់ផលបូកនៃគូប និង នោះគឺ . ហើយនេះគឺជាភាគបែងថ្មីដែលយើងត្រូវនាំយកប្រភាគដើម។

ដូច្នេះយើងបានរកឃើញកត្តាបន្ថែម។ កន្សោមមិនបាត់នៅលើជួរតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអថេរ x និង y ដូច្នេះយើងអាចគុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដោយវា៖

ចម្លើយ៖

ក) , ខ) .

មិនមានអ្វីថ្មីក្នុងការកាត់បន្ថយប្រភាគដែលមានដឺក្រេទេ៖ ភាគយក និងភាគបែងត្រូវបានតំណាងថាជាកត្តាមួយចំនួន ហើយកត្តាដូចគ្នានៃភាគយក និងភាគបែងត្រូវបានកាត់បន្ថយ។

ឧទាហរណ៍។

កាត់បន្ថយប្រភាគ៖ ក) , ខ).

ដំណោះស្រាយ។

ក) ទីមួយ ភាគយក និងភាគបែងអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយលេខ 30 និង 45 ដែលស្មើនឹង 15 ។ ដូចគ្នានេះផងដែរ, ជាក់ស្តែង, អ្នកអាចកាត់បន្ថយដោយ x 0.5 +1 និងដោយ . នេះជាអ្វីដែលយើងមាន៖

ខ) ក្នុងករណីនេះ កត្តាដូចគ្នានៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងមិនអាចមើលឃើញភ្លាមៗទេ។ ដើម្បីទទួលបានពួកវា អ្នកត្រូវតែធ្វើការផ្លាស់ប្តូរបឋម។ ក្នុង​ករណី​នេះ ពួក​វា​មាន​ក្នុង​ការ​បំបែក​ភាគបែង​ទៅ​ជា​កត្តា​ដោយ​យោង​ទៅ​តាម​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​រូបមន្ត​ការ៉េ៖

ចម្លើយ៖

ក)

ខ) .

ការកាត់បន្ថយប្រភាគទៅជាភាគបែងថ្មី និងកាត់បន្ថយប្រភាគត្រូវបានប្រើជាចម្បងដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការលើប្រភាគ។ សកម្មភាពត្រូវបានអនុវត្តយោងទៅតាមច្បាប់ដែលគេស្គាល់។ នៅពេលបូក (ដក) ប្រភាគ ពួកវាត្រូវកាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងធម្មតា បន្ទាប់ពីនោះលេខត្រូវបានបន្ថែម (ដក) ហើយភាគបែងនៅតែដដែល។ លទ្ធផលគឺជាប្រភាគដែលភាគបែងជាផលនៃភាគបែង ហើយភាគបែងជាផលនៃភាគបែង។ ការចែកដោយប្រភាគគឺជាការគុណដោយប្រភាគរបស់វា។

ឧទាហរណ៍។

អនុវត្តតាមជំហាន .

ដំណោះស្រាយ។

ដំបូងយើងដកប្រភាគក្នុងតង្កៀប។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងនាំពួកគេទៅភាគបែងធម្មតាដែលជា បន្ទាប់មកដកលេខយក៖

ឥឡូវនេះយើងគុណប្រភាគ៖

ជាក់ស្តែង ការកាត់បន្ថយដោយថាមពល x 1/2 គឺអាចធ្វើទៅបាន បន្ទាប់ពីនោះយើងមាន .

អ្នកក៏អាចសម្រួលកន្សោមថាមពលក្នុងភាគបែងបានដោយប្រើភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ៖ .

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍។

សម្រួលការបញ្ចេញមតិថាមពល .

ដំណោះស្រាយ។

ជាក់ស្តែង ប្រភាគនេះអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយ (x 2.7 +1) 2 នេះផ្តល់ឱ្យប្រភាគ . វាច្បាស់ណាស់ថាអ្វីផ្សេងទៀតត្រូវធ្វើដោយអំណាចនៃ x ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបម្លែងប្រភាគលទ្ធផលទៅជាផលិតផល។ នេះផ្តល់ឱ្យយើងនូវឱកាសក្នុងការប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបែងចែកអំណាចជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា: . ហើយនៅចុងបញ្ចប់នៃដំណើរការយើងឆ្លងកាត់ពីផលិតផលចុងក្រោយទៅប្រភាគ។

ចម្លើយ៖

.

ហើយយើងបន្ថែមថាវាអាចទៅរួច ហើយក្នុងករណីជាច្រើនដែលចង់ផ្ទេរកត្តាដែលមាននិទស្សន្តអវិជ្ជមានពីភាគយកទៅភាគបែង ឬពីភាគបែងទៅភាគយកដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃនិទស្សន្ត។ ការបំប្លែងបែបនេះច្រើនតែធ្វើឱ្យសកម្មភាពបន្ថែមកាន់តែងាយស្រួល។ ឧទាហរណ៍ កន្សោមថាមពលអាចត្រូវបានជំនួសដោយ .

ការបំប្លែងកន្សោមដោយឫស និងអំណាច

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងកន្សោមដែលការបំប្លែងខ្លះត្រូវបានទាមទារ រួមជាមួយនឹងដឺក្រេជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគ ក៏មានឫសផងដែរ។ ដើម្បីបំប្លែងកន្សោមបែបនេះទៅជាទម្រង់ដែលចង់បាន ក្នុងករណីភាគច្រើនវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីទៅតែឫស ឬតែអំណាចប៉ុណ្ណោះ។ ប៉ុន្តែដោយសារវាងាយស្រួលជាងក្នុងការធ្វើការជាមួយដឺក្រេ ពួកវាជាធម្មតាផ្លាស់ទីពីឫសទៅដឺក្រេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះនៅពេលដែល ODZ នៃអថេរសម្រាប់កន្សោមដើមអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកជំនួសឫសដោយដឺក្រេដោយមិនចាំបាច់ចូលប្រើម៉ូឌុល ឬបំបែក ODZ ទៅជាចន្លោះពេលជាច្រើន (យើងបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុង អត្ថបទ ការផ្លាស់ប្តូរពីឫសទៅអំណាច និងច្រាសមកវិញ បន្ទាប់ពីបានស្គាល់សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្ត សញ្ញាប័ត្រដែលមានសូចនាករមិនសមហេតុផលមួយត្រូវបានណែនាំ ដែលធ្វើឱ្យវាអាចនិយាយអំពីសញ្ញាបត្រជាមួយនឹងសូចនាករពិតប្រាកដតាមអំពើចិត្ត។ នៅដំណាក់កាលនេះ សាលាចាប់ផ្តើមសិក្សា អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយការវិភាគដោយសញ្ញាបត្រនៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលមានចំនួនមួយហើយនៅក្នុងសូចនាករ - អថេរមួយ។ ដូច្នេះយើងប្រឈមមុខនឹងកន្សោមអំណាចដែលមានលេខនៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេ ហើយនៅក្នុងនិទស្សន្ត - កន្សោមជាមួយអថេរ ហើយតាមធម្មជាតិ តម្រូវការកើតឡើងដើម្បីអនុវត្តការបំប្លែងនៃកន្សោមបែបនេះ។

វាគួរតែត្រូវបាននិយាយថាការផ្លាស់ប្តូរនៃកន្សោមនៃប្រភេទដែលបានចង្អុលបង្ហាញជាធម្មតាត្រូវតែត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលដោះស្រាយ សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនិង វិសមភាពអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលហើយការផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះគឺសាមញ្ញណាស់។ ក្នុងករណីភាគច្រើន ពួកវាផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ ហើយភាគច្រើនមានគោលបំណងណែនាំអថេរថ្មីនាពេលអនាគត។ សមីការនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពួកគេ។ 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 = 0.

ទីមួយ និទស្សន្ត ដែលនិទស្សន្តដែលផលបូកនៃអថេរមួយចំនួន (ឬកន្សោមជាមួយអថេរ) និងលេខមួយត្រូវបានរកឃើញ ត្រូវបានជំនួសដោយផលិតផល។ នេះអនុវត្តចំពោះលក្ខខណ្ឌដំបូង និងចុងក្រោយនៃកន្សោមនៅផ្នែកខាងឆ្វេង៖
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x = 0.

បន្ទាប់មក ផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពត្រូវបានបែងចែកដោយកន្សោម 7 2 x ដែលយកតែតម្លៃវិជ្ជមាននៅលើ ODV នៃអថេរ x សម្រាប់សមីការដើម (នេះជាបច្ចេកទេសស្តង់ដារសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការប្រភេទនេះ យើងមិនមែនទេ។ និយាយអំពីវាឥឡូវនេះ ដូច្នេះផ្តោតលើការផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់នៃការបញ្ចេញមតិជាមួយនឹងអំណាច ):

ឥឡូវនេះប្រភាគដែលមានអំណាចត្រូវបានលុបចោល ដែលផ្តល់ឱ្យ .

ជាចុងក្រោយ សមាមាត្រនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តដូចគ្នាត្រូវបានជំនួសដោយអំណាចនៃសមាមាត្រ ដែលនាំទៅដល់សមីការ ដែលស្មើនឹង . ការបំប្លែងដែលបានធ្វើឡើងអនុញ្ញាតឱ្យយើងណែនាំអថេរថ្មីមួយ ដែលកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដើមទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ។

I.V. Boikov, L. D. Romanovaការប្រមូលភារកិច្ចសម្រាប់ត្រៀមប្រលង។ ផ្នែកទី 1. Penza 2003 ។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងយល់ពីអ្វីដែលជាអ្វី ដឺក្រេនៃ. នៅទីនេះ យើងនឹងផ្តល់និយមន័យនៃកម្រិតនៃចំនួនមួយ ខណៈពេលដែលពិចារណាលម្អិតអំពីនិទស្សន្តដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃសញ្ញាបត្រ ដោយចាប់ផ្តើមដោយនិទស្សន្តធម្មជាតិ បញ្ចប់ដោយអសមហេតុផលមួយ។ នៅក្នុងសម្ភារៈអ្នកនឹងឃើញឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃដឺក្រេដែលគ្របដណ្តប់ subtleties ទាំងអស់ដែលកើតឡើង។

ការរុករកទំព័រ។

សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ ការ៉េនៃចំនួនមួយ គូបនៃចំនួនមួយ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយ។ ក្រឡេកមើលខាងមុខ ចូរនិយាយថានិយមន័យនៃដឺក្រេនៃ a ជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ n ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ a ដែលយើងនឹងហៅ មូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រនិង n ដែលយើងនឹងហៅ និទស្សន្ត. សូមចំណាំផងដែរថាសញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករធម្មជាតិត្រូវបានកំណត់ដោយផលិតផលដូច្នេះដើម្បីយល់ពីសម្ភារៈខាងក្រោមអ្នកត្រូវមានគំនិតអំពីការគុណលេខ។

និយមន័យ។

អំណាចនៃចំនួន a ជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ nគឺជាកន្សោមនៃទម្រង់ a n ដែលតម្លៃរបស់វាស្មើនឹងផលគុណនៃកត្តា n ដែលនីមួយៗស្មើនឹង a ពោលគឺ .
ជាពិសេសកម្រិតនៃលេខ a ដែលមាននិទស្សន្ត 1 គឺជាលេខ a ខ្លួនវា នោះគឺ a 1 = a ។

ភ្លាមៗវាមានតម្លៃនិយាយអំពីច្បាប់សម្រាប់ការអានដឺក្រេ។ វិធីសកលដើម្បីអានធាតុ a n គឺ៖ "a ដល់អំណាចនៃ n" ។ ក្នុងករណីខ្លះជម្រើសបែបនេះក៏អាចទទួលយកបានដែរ: "a ដល់ nth power" និង "nth power of number a" ។ ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកអំណាចនៃ 8 12 នេះគឺជា "ប្រាំបីទៅអំណាចនៃដប់ពីរ" ឬ "ប្រាំបីទៅដប់ពីរ" ឬ "អំណាចដប់ពីរនៃប្រាំបី" ។

អំណាចទីពីរនៃលេខមួយ ក៏ដូចជាអំណាចទីបីនៃលេខមួយ មានឈ្មោះរៀងៗខ្លួន។ អំណាចទីពីរនៃលេខត្រូវបានគេហៅថា ការ៉េនៃចំនួនមួយ។ឧទាហរណ៍ 7 2 ត្រូវបានអានថា "ប្រាំពីរការ៉េ" ឬ "ការេនៃលេខប្រាំពីរ" ។ អំណាចទីបីនៃលេខត្រូវបានគេហៅថា លេខគូបឧទាហរណ៍ 5 3 អាចត្រូវបានអានជា "ប្រាំគូប" ឬនិយាយថា "គូបនៃលេខ 5" ។

ដល់ពេលនាំយកហើយ។ ឧទាហរណ៍នៃដឺក្រេជាមួយសូចនាកររាងកាយ. ចូរចាប់ផ្តើមដោយអំណាចនៃ 5 7 ដែល 5 គឺជាមូលដ្ឋាននៃអំណាច ហើយ 7 គឺជានិទស្សន្ត។ សូមលើកឧទាហរណ៍មួយទៀត៖ ៤.៣២ ជាគោល ហើយលេខធម្មជាតិ ៩ ជានិទស្សន្ត (៤.៣២) ៩។

សូមចំណាំថានៅក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ មូលដ្ឋាននៃសញ្ញាប័ត្រ 4.32 ត្រូវបានសរសេរជាតង្កៀប៖ ដើម្បីជៀសវាងភាពមិនស្របគ្នា យើងនឹងយកតង្កៀបរាល់មូលដ្ឋាននៃដឺក្រេដែលខុសពីលេខធម្មជាតិ។ ជាឧទាហរណ៍ យើងផ្តល់សញ្ញាប័ត្រខាងក្រោមជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិ មូលដ្ឋានរបស់ពួកគេមិនមែនជាលេខធម្មជាតិទេ ដូច្នេះពួកគេត្រូវបានសរសេរក្នុងវង់ក្រចក។ ជាការប្រសើរណាស់ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ពេញលេញនៅចំណុចនេះ យើងនឹងបង្ហាញពីភាពខុសគ្នាដែលមាននៅក្នុងកំណត់ត្រានៃទម្រង់ (−2) 3 និង −2 3 ។ កន្សោម (−2) 3 គឺជាអំណាចនៃ −2 ជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ 3 ហើយកន្សោម −2 3 (វាអាចត្រូវបានសរសេរជា −(2 3)) ត្រូវនឹងលេខ តម្លៃនៃថាមពល 2 3 ។

ចំណាំថាមានសញ្ញាណសម្រាប់ដឺក្រេនៃ a ជាមួយនិទស្សន្ត n នៃទម្រង់ a^n ។ លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើ n គឺជាចំនួនធម្មជាតិដែលមានតម្លៃច្រើន នោះនិទស្សន្តត្រូវបានយកជាតង្កៀប។ ឧទាហរណ៍ 4^9 គឺជាសញ្ញាណមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់អំណាចនៃ 4 9 ។ ហើយនេះគឺជាឧទាហរណ៍ជាច្រើនទៀតនៃការសរសេរដឺក្រេដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញា "^": 14^(21), (−2,1)^(155) ។ នៅក្នុងអ្វីដែលខាងក្រោម យើងនឹងប្រើជាចម្បង សញ្ញាណនៃកម្រិតនៃទម្រង់ a n ។

បញ្ហាមួយ ការបញ្ច្រាសនៃនិទស្សន្តជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ គឺជាបញ្ហានៃការស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេពីតម្លៃដែលគេស្គាល់នៃដឺក្រេ និងនិទស្សន្តដែលគេស្គាល់។ ភារកិច្ចនេះនាំឱ្យ។

វាត្រូវបានគេដឹងថា សំណុំនៃលេខសនិទានភាពមានចំនួនគត់ និងលេខប្រភាគ ហើយចំនួនប្រភាគនីមួយៗអាចត្រូវបានតំណាងថាជាប្រភាគធម្មតាវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន។ យើងបានកំណត់សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់នៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន ដូច្នេះដើម្បីបំពេញនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រជាមួយនឹងនិទស្សន្ត យើងត្រូវផ្តល់អត្ថន័យនៃដឺក្រេនៃចំនួន a ជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគ m/n ។ ដែល m ជាចំនួនគត់ ហើយ n គឺជាលេខធម្មជាតិ។ តោះ​ធ្វើ​វា។

ពិចារណាដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគនៃទម្រង់។ ដើម្បីឱ្យទ្រព្យសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រមួយនៅតែមានសុពលភាព សមភាពត្រូវតែរក្សា . ប្រសិនបើយើងយកទៅក្នុងគណនីសមភាពលទ្ធផល និងវិធីដែលយើងបានកំណត់ នោះវាសមហេតុផលក្នុងការទទួលយក ប្រសិនបើសម្រាប់ m, n និង a កន្សោមមានន័យ។

វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់មានសុពលភាពសម្រាប់ជា (នេះត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងផ្នែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល)។

ហេតុផលខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើដូចខាងក្រោម ការសន្និដ្ឋាន: ប្រសិនបើសម្រាប់ m, n និងកន្សោមមានអត្ថន័យ នោះអំណាចនៃលេខ a ដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ m / n គឺជាឫសគល់នៃដឺក្រេទី n នៃ a ដល់អំណាច m ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះនាំយើងឱ្យជិតទៅនឹងនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ។ វានៅសល់តែពណ៌នាអំពីអ្វីដែល m, n និងកន្សោមសមហេតុផល។ ដោយផ្អែកលើការរឹតបន្តឹងដែលដាក់លើ m , n និង a មានវិធីសាស្រ្តសំខាន់ពីរ។

មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតក្នុងការរឹតបន្តឹង a គឺសន្មត់ a≥0 សម្រាប់វិជ្ជមាន m និង a> 0 សម្រាប់ m អវិជ្ជមាន (ព្រោះ m≤0 មិនមានថាមពល 0 m) ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាននិយមន័យដូចខាងក្រោមនៃដឺក្រេជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគ។

និយមន័យ។

អំណាចនៃចំនួនវិជ្ជមាន a ជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគ m/nដែល m ជាចំនួនគត់ ហើយ n ជាចំនួនធម្មជាតិ ត្រូវបានគេហៅថាឫសនៃលេខ n នៃចំនួន a ដល់អំណាចនៃ m នោះគឺ .

ដឺក្រេប្រភាគនៃសូន្យក៏ត្រូវបានកំណត់ជាមួយការព្រមានតែមួយគត់ដែលនិទស្សន្តត្រូវតែវិជ្ជមាន។

និយមន័យ។

អំណាចនៃសូន្យជាមួយនឹងនិទស្សន្តវិជ្ជមានប្រភាគ m/nដែល m ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ហើយ n ជាលេខធម្មជាតិ ត្រូវបានកំណត់ជា .
នៅពេលដែលសញ្ញាប័ត្រមិនត្រូវបានកំណត់ នោះមានន័យថា កម្រិតនៃលេខសូន្យជាមួយនឹងនិទស្សន្តអវិជ្ជមានប្រភាគមិនសមហេតុផលទេ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាជាមួយនឹងនិយមន័យនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ មានភាពខុសប្លែកគ្នាមួយ: សម្រាប់អវិជ្ជមានមួយចំនួន a និង m និង n មួយចំនួន កន្សោមគឺសមហេតុផល ហើយយើងបានបោះបង់ករណីទាំងនេះដោយការណែនាំលក្ខខណ្ឌ a≥0 ។ ឧទាហរណ៍វាសមហេតុផលក្នុងការសរសេរ ឬ ហើយនិយមន័យខាងលើបង្ខំយើងឱ្យនិយាយថាដឺក្រេជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគនៃទម្រង់ គ្មានន័យទេ ព្រោះមូលដ្ឋានមិនត្រូវអវិជ្ជមានទេ។

វិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតក្នុងការកំណត់ដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ m/n គឺត្រូវពិចារណាដោយឡែកពីគ្នានូវនិទស្សន្តលេខគូ និងសេសនៃឫស។ វិធីសាស្រ្តនេះតម្រូវឱ្យមានលក្ខខណ្ឌបន្ថែម៖ កម្រិតនៃលេខ a ដែលនិទស្សន្តគឺត្រូវបានចាត់ទុកថាជាកម្រិតនៃចំនួន a ដែលជានិទស្សន្តនៃប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន (សារៈសំខាន់នៃលក្ខខណ្ឌនេះនឹងត្រូវបានពន្យល់ខាងក្រោម) ។ នោះគឺប្រសិនបើ m/n គឺជាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន នោះសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ k ដឺក្រេត្រូវបានជំនួសដោយ .

សម្រាប់សូម្បីតែ n និង m វិជ្ជមាន កន្សោមគឺសមហេតុផលសម្រាប់អ្វីដែលមិនអវិជ្ជមាន a (ឫសនៃដឺក្រេគូពីលេខអវិជ្ជមានមិនសមហេតុផលទេ) សម្រាប់ m អវិជ្ជមាន ចំនួន a ត្រូវតែនៅតែមិនមែនជាសូន្យ (បើមិនដូច្នេះទេការបែងចែក សូន្យនឹងកើតឡើង) ។ ហើយសម្រាប់សេស n និង m វិជ្ជមាន លេខ a អាចជាអ្វីក៏បាន (ឫសនៃសញ្ញាប័ត្រសេសត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ) ហើយសម្រាប់ m អវិជ្ជមាន លេខ a ត្រូវតែខុសពីសូន្យ (ដូច្នេះមិនមានការបែងចែកដោយ សូន្យ) ។

ការវែកញែកខាងលើនាំយើងទៅរកនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រនេះជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគ។

និយមន័យ។

អនុញ្ញាតឱ្យ m/n ជាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន m ជាចំនួនគត់ និង n ជាចំនួនធម្មជាតិ។ សម្រាប់ប្រភាគធម្មតាដែលអាចកាត់បន្ថយបាន សញ្ញាបត្រត្រូវបានជំនួសដោយ . អំណាចនៃ a ដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន m/n គឺសម្រាប់



ចូរយើងពន្យល់ពីមូលហេតុដែលសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគកាត់បន្ថយត្រូវបានជំនួសដោយសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តមិនអាចកាត់បន្ថយបាន។ ប្រសិនបើ​យើង​កំណត់​កម្រិត​ជា​ធម្មតា ហើយ​មិន​បាន​ធ្វើការ​កក់ទុក​អំពី​ភាព​មិន​អាច​កែប្រែ​បាន​នៃ​ប្រភាគ m/n នោះ​យើង​នឹង​ជួប​នឹង​ស្ថានភាព​ដូច​ខាងក្រោម៖ ចាប់តាំងពី 6/10=3/5 នោះ​សមភាព , ប៉ុន្តែ , ក .

កន្សោម a n (អំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់) នឹងត្រូវបានកំណត់ក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់ លើកលែងតែករណីដែល a = 0 និង n តិចជាង ឬស្មើសូន្យ។

លក្ខណៈសម្បត្តិសញ្ញាបត្រ

លក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងនៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់៖

a m * a n = a (m + n);

a m: a n \u003d a (m-n) (ជាមួយ កមិនស្មើនឹងសូន្យ);

(a m) n = a (m * n);

(a * b) n = a n * b n ;

(a/b) n = (a n)/(b n) (សម្រាប់ ខមិនស្មើនឹងសូន្យ);

a 0 = 1 (ពេលណា កមិនស្មើនឹងសូន្យ);

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនឹងមានសុពលភាពសម្រាប់លេខណាមួយ a, b និងចំនួនគត់ m និង n ។ វាក៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់ផងដែរចំពោះទ្រព្យសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

ប្រសិនបើ m > n បន្ទាប់មក a m > a n សម្រាប់ a> 1 និង m

វាអាចទៅរួចក្នុងការធ្វើឱ្យទូទៅនូវគោលគំនិតនៃកម្រិតនៃចំនួនមួយទៅករណីដែលលេខសមហេតុផលដើរតួជានិទស្សន្ត។ ជាមួយគ្នានេះ ខ្ញុំចង់ឱ្យទ្រព្យសម្បត្តិទាំងអស់ខាងលើត្រូវបានបំពេញ ឬយ៉ាងហោចណាស់ក៏មានខ្លះដែរ។

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើទ្រព្យសម្បត្តិ (a m) n = a (m*n) ត្រូវបានប្រតិបត្តិ នោះសមភាពខាងក្រោមនឹងជាការពិត៖

(a (m/n)) n = a m ។

សមភាពនេះមានន័យថាលេខ a (m/n) ត្រូវតែជាឫស n-th នៃលេខ a m ។

អំណាចនៃចំនួនមួយចំនួន a (ធំជាងសូន្យ) ជាមួយនឹងនិទស្សន្តសមហេតុផល r = (m/n) ដែល m ជាចំនួនគត់ខ្លះ n គឺជាចំនួនធម្មជាតិមួយចំនួនធំជាងមួយ ត្រូវបានគេហៅថាលេខ n√(a m). ផ្អែកលើនិយមន័យ៖ a (m/n) = n√(a m) ។

សម្រាប់ r វិជ្ជមានទាំងអស់ ថាមពលនៃសូន្យនឹងត្រូវបានកំណត់។ តាមនិយមន័យ 0 r = 0។ យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថា សម្រាប់ចំនួនគត់ ធម្មជាតិណាមួយ m និង n និងវិជ្ជមាន កសមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖ a (m/n) = a ((mk)/(nk)) ។

ឧទាហរណ៍៖ 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12) ។

និយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុសមផលបង្ហាញដោយផ្ទាល់នូវការពិតដែលថាសម្រាប់វិជ្ជមានណាមួយ និង r សនិទានភាពណាមួយ លេខ r នឹងត្រូវបាន វិជ្ជមាន.

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល

សម្រាប់លេខសមហេតុផលណាមួយ p, q និង a> 0 និង b> 0 ភាពស្មើគ្នាខាងក្រោមគឺពិត៖

1. (a p)*(a q) = a (p+q);

2. (a p): (b q) = a (p-q);

3. (a p) q = a (p*q);

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p) ។

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះធ្វើតាមលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ឫស។ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នេះត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា ដូច្នេះយើងដាក់កម្រិតខ្លួនយើងក្នុងការបញ្ជាក់តែមួយគត់ក្នុងចំនោមពួកគេ ឧទាហរណ៍ ទីមួយ (a p)*(a q) = a (p + q) ។

អនុញ្ញាតឱ្យ p = m/n, និង q = k/l, ដែល n, l គឺជាចំនួនធម្មជាតិមួយចំនួន ហើយ m, k គឺជាចំនួនគត់មួយចំនួន។ បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវបញ្ជាក់៖

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) ។

ដំបូងយើងនាំយកប្រភាគ m/n k/l ទៅជាភាគបែងរួម។ យើងទទួលបានប្រភាគ (m*l)/(n*l) និង (k*n)/(n*l)។ យើងសរសេរផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការឡើងវិញដោយប្រើសញ្ញាណទាំងនេះ ហើយទទួលបាន៖

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l))) )

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l))) ) = (n*l)√(a(m*l))*(n*l)√(a(k*n)) = (n*l)√((a(m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l))។