ការគណនានៃកូអរដោនេនៃចំណុច C មួយចំនួនដែលបែងចែកផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ AB ក្នុងសមាមាត្រជាក់លាក់មួយអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើរូបមន្ត:

хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ),

ដែល (xA; yA) និង (xB; yB) គឺជាកូអរដោនេនៃចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ AB; លេខ λ \u003d AC / CB គឺជាសមាមាត្រដែលផ្នែក AB ត្រូវបានបែងចែកដោយចំណុច C ដែលមានកូអរដោនេ (xC; yC) ។

ប្រសិនបើផ្នែក AB ត្រូវបានបែងចែកដោយចំនុច C ជាពាក់កណ្តាល នោះលេខ λ \u003d 1 និងរូបមន្តសម្រាប់ xC និង yC នឹងយកទម្រង់៖

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 ។

វាត្រូវតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថានៅក្នុងភារកិច្ច λ គឺជាសមាមាត្រនៃប្រវែងនៃចម្រៀក ហើយដូច្នេះលេខដែលរួមបញ្ចូលក្នុងសមាមាត្រនេះមិនមែនជាប្រវែងនៃផ្នែកដោយខ្លួនឯងនៅក្នុងឯកតារង្វាស់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។ ឧទាហរណ៍ AC = 12 សង់ទីម៉ែត្រ CB = 16 សង់ទីម៉ែត្រ៖ λ = AC/CB = 12 សង់ទីម៉ែត្រ / 16 សង់ទីម៉ែត្រ = 3/4 ។

1. ស្វែងរកកូអរដោនេនៃផ្នែកកណ្តាលនៃផ្នែកជាក់លាក់មួយ យោងទៅតាមកូអរដោណេដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃចុងបញ្ចប់របស់វា។

ឧទាហរណ៍ ១

ចំណុច A (-2; 3) និង B (6; -9) គឺជាចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក AB ។ ស្វែងរកចំណុច C ដែលជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក AB ។

ដំណោះស្រាយ។

នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាវាត្រូវបានបញ្ជាក់ថា xA = -2; xB = 6; yA = 3 និង yB = −9 ។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរក C(xC; yC) ។

ការអនុវត្តរូបមន្ត xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 យើងទទួលបាន៖

xC \u003d (-2 + 6) / 2 \u003d 2, yC \u003d (3 + (-9)) / 2 \u003d -3 ។

ដូច្នេះចំណុច C ដែលជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក AB មានកូអរដោនេ (-2; 3) (រូបទី 1) ។
2. ការគណនានៃកូអរដោនេនៃចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកជាក់លាក់មួយ ដោយដឹងពីកូអរដោនេនៃផ្នែកកណ្តាល និងចុងផ្សេងទៀតរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ ២

ចុងម្ខាងនៃផ្នែក AB គឺជាចំណុច A ដែលមានកូអរដោណេ (-3; -5) ហើយចំនុចកណ្តាលរបស់វាគឺចំនុច C (3; -2) ។ គណនាកូអរដោនេនៃចុងទីពីរនៃផ្នែក - ចំណុច ខ។

ដំណោះស្រាយ។

យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាវាច្បាស់ថា xA = -3; yA = -5; xC = 3 និង yC = −2 ។

ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងរូបមន្ត xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 យើងទទួលបាន៖

3 = (-3 + xB)/2 និង

2 \u003d (-5 + uV) / 2 ។

ការដោះស្រាយសមីការទីមួយសម្រាប់ xB និងទីពីរសម្រាប់ yB យើងរកឃើញ: xB = 9 និង yB = 1 វាប្រែថាចំណុចដែលចង់បាន B នឹងត្រូវបានផ្តល់ដោយកូអរដោនេ (9; 1) (រូបទី 2) ។

3. ការគណនាកូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណជាក់លាក់មួយយោងទៅតាមកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃចំនុចកណ្តាលនៃភាគីរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ ៣

ចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុងនៃត្រីកោណ ABC គឺជាចំនុច D(1; 3), E(-1; -2) និង F(4; -1) ។ ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចកំពូល A, B និង C នៃត្រីកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដំណោះស្រាយ។

សូមឱ្យចំណុច D ជាចំណុចកណ្តាលនៃចំហៀង AB ចំណុច E ជាចំណុចកណ្តាលនៃ BC និងចំណុច F ជាចំណុចកណ្តាលនៃចំហៀង AC (រូបទី 3). ស្វែងរកចំណុច A, B និង C ។

យើងសម្គាល់ចំណុចកំពូលនៃត្រីកោណជា A (xA; yA), B (xB; yB) និង C (xC; yC) ហើយដឹងពីកូអរដោនេនៃចំនុច D, E និង F យោងទៅតាមរូបមន្ត xC \u003d (xA + xB) / 2, yC \u003d (yA + uV)/2 យើងទទួលបាន៖

(1 = (xA + xB)/2,
(-1 \u003d (xB + xC) / 2,
(4 \u003d (xA + xC) / 2,

(3 \u003d (uA + uB) / 2,
(-2 \u003d (uV + uS) / 2,
(-1 \u003d (yA + yC) / 2 ។

យើងនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ចំនួនគត់៖

(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,

(uA + uB = 6,
(uV + yC = -4,
(uA + yC = −2 ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធយើងទទួលបាន៖
xA = 6; xB = -4; xC = ២.
yA = 4; uV = 2; yC = −6 ។

ចំណុច A (6; 4), B (-4; 2) និង C (2; -6) គឺជាចំនុចកំពូលចាំបាច់នៃត្រីកោណ។

4. ការគណនាកូអរដោនេនៃចំនុចដែលបែងចែកផ្នែកក្នុងសមាមាត្រជាក់លាក់មួយ យោងទៅតាមកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកនេះ

ឧទាហរណ៍ 4

ផ្នែក AB ត្រូវបានបែងចែកដោយចំណុច C ក្នុងសមាមាត្រនៃ 3: 5 (រាប់ពីចំណុច A ដល់ចំណុច B) ។ ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក AB គឺជាចំណុច A(2; 3) និង B(10; 11) ។ រកចំណុច C ។

ដំណោះស្រាយ។

លក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានិយាយថា xA = 2; xB = 10; yA = 3; uV = 11; λ = AC/CB = 3/5 ។ ស្វែងរក C(xC; yC) (រូបទី 4) ។

យោងតាមរូបមន្ត xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) យើងទទួលបាន៖

xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 និង yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. ដូច្នេះហើយ យើងមាន C(5; ៦).

តោះពិនិត្យ៖ AC = 3√2, CB = 5√2, λ = AC/CB = 3√2/5√2 = 3/5 ។

មតិយោបល់។ លក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាបញ្ជាក់ថាការបែងចែកផ្នែកត្រូវបានអនុវត្តតាមសមាមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យពីចំណុច A ដល់ចំណុច B. ប្រសិនបើវាមិនបានបញ្ជាក់ទេនោះបញ្ហានឹងមានដំណោះស្រាយពីរ។ ដំណោះស្រាយទីពីរ៖ ការបែងចែកផ្នែកពីចំណុច B ដល់ចំណុច A ។

ឧទាហរណ៍ 5

ផ្នែកខ្លះ AB ត្រូវបានបែងចែកក្នុងសមាមាត្រ 2: 3: 5 (រាប់ពីចំណុច A ដល់ចំណុច B) ចុងបញ្ចប់របស់វាគឺជាចំនុចដែលមានកូអរដោនេ A (-11; 1) និង B (9; 11) ។ ស្វែងរកចំណុចបែងចែកនៃផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដំណោះស្រាយ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ចំណុចបែងចែកនៃផ្នែកពី A ទៅ B ដល់ C និង D ។ នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យថា
xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. រក C(xC; yC) និង D(xD; yD) ប្រសិនបើ AC: CD: DB = 2: 3: 5 ។

ចំណុច C បែងចែកផ្នែក AB ទាក់ទងទៅនឹង λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4 ។

យោងតាមរូបមន្ត xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) យើងទទួលបាន៖

xC = (−11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 និង yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3 ។

ដូច្នេះ C(-7; 3) ។

ចំណុច D គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក AB ។ ការអនុវត្តរូបមន្ត xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2 យើងរកឃើញ៖

xD \u003d (-11 + 9) / 2 \u003d -1, yD \u003d (1 + 11) / 2 \u003d 6. ដូច្នេះ D មានកូអរដោនេ (-1; 6) ។

5. ការគណនាកូអរដោណេនៃចំនុចដែលបែងចែកផ្នែក ប្រសិនបើកូអរដោនេនៃចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកនេះ និងចំនួននៃផ្នែកដែលផ្នែកនេះត្រូវបានបែងចែកត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

ឧទាហរណ៍ ៦

ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកគឺចំណុច A(-8; -5) និង B(10; 4) ។ ស្វែងរកចំណុច C និង D ដែលបែងចែកផ្នែកនេះជាបីផ្នែកស្មើគ្នា។

ដំណោះស្រាយ។

តាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគេដឹងថា xA = -8; xB = 10; yA = -5; yB = 4 និង n = 3. រក C(xC; yC) និង D(xD; yD) (រូបទី 5) ។

ចូររកចំណុច C. វាបែងចែកចម្រៀក AB ដោយគោរពតាម λ = 1/2 ។ យើងបែងចែកពីចំណុច A ដល់ចំណុច B. យោងតាមរូបមន្ត xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) យើងមាន៖

xC = (−8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 និង yC = (−5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2 ។ ដូច្នេះ C(-2; -2) ។

ការបែងចែកផ្នែក CB ត្រូវបានអនុវត្តក្នុងសមាមាត្រ 1: 1 ដូច្នេះយើងប្រើរូបមន្ត

xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:

xD \u003d (-2 + 10) / 2 \u003d 4, yD \u003d (-2 + 4) / 2 \u003d 1. ដូច្នេះ D (4; 1) ។

ពិន្ទុផ្នែក C(-2; -2) និង D(4; 1) ។

ចំណាំ៖ ចំណុច D អាចត្រូវបានរកឃើញដោយការបែងចែកផ្នែក AB ទាក់ទងនឹង 2: 1។ ក្នុងករណីនេះ វានឹងចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តរូបមន្ត xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA + λyB ) / (1 + λ).

ឧទាហរណ៍ ៧

ចំណុច A(5; -6) និង B(-5; 9) គឺជាចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។ ស្វែងរកចំណុចដែលបែងចែកផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យជាប្រាំផ្នែកស្មើគ្នា។

ដំណោះស្រាយ។

សូម​ឲ្យ​ចំណុច​ចែក​ជាប់​គ្នា​ពី A ទៅ B ជា C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) និង F(xF; yF)។ លក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានិយាយថា xA = 5; xB = -5; yA = -6; yB = 9 និង n = 5 ។

ដោយប្រើរូបមន្ត xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) ចំណុច C. វាបែងចែកផ្នែក AB ទាក់ទងនឹង λ = 1/4៖

xC = (5 + 1/4 (-5)) / (1 + 1/4) = 3 និង yC = (-6 + 1/4 9) / (1 + 1/4) = -3 យើងទទួលបាននោះ ចំណុច C មានកូអរដោនេ (3; -3) ។

ផ្នែក AB ត្រូវបានបែងចែកដោយចំណុច D ក្នុងសមាមាត្រ 2: 3 (ឧទាហរណ៍ λ = 2/3) ដូច្នេះ៖

xD = (5 + 2/3 (-5)) / (1 + 2/3) = 1 និង yD = (-6 + 2/3 9) / (1 + 2/3) = 0 ដូច្នេះ D (ដប់ )

ចូររកចំណុច E. វាបែងចែកចម្រៀក AB ទាក់ទងនឹង λ = 2/3៖

XE = (5 + 3/2 (-5)) / (1 + 3/2) = −1 និង yE = (−6 + 3/2 9) / (1 + 3/2) = 3. ដូចនេះ . អ៊ី(-១; ៣) ។

ចំនុច F បែងចែកផ្នែក AB ទាក់ទងនឹង λ = 4/1 ដូច្នេះ៖

XF = (5 + 4 (-5)) / (1 + 4) = -3 និង yF = (-6 + 4 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6) ។

ចំនុចចែក С(-2; -2); ឃ(4; 1); E(-1; 3) និង F(-3; 6) ។

តើអ្នកមានសំណួរទេ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហានៃការបែងចែកផ្នែកទេ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ចុះឈ្មោះ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

អនុញ្ញាតឱ្យផ្នែកបន្ទាត់ AB ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ; និយាយថាចំនុច

M នៃបន្ទាត់នេះបែងចែកផ្នែក AB ក្នុងសមាមាត្រស្មើនឹង X ដែលជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត ប្រសិនបើ

នៅពេលដែលចំនុច M ស្ថិតនៅចន្លោះចំនុច A និង B (ឧ. នៅខាងក្នុងផ្នែក

AB) បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ AM និង MB ត្រូវបានដឹកនាំក្នុងទិសដៅដូចគ្នា (រូបភាពទី 2) ហើយសមាមាត្រ (1) គឺវិជ្ជមាន។

នៅពេលដែលចំនុច M ស្ថិតនៅខាងក្រៅផ្នែក

AB បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ AM និង MB ត្រូវបានដឹកនាំក្នុងទិសដៅផ្ទុយ (រូបភាពទី 3) ហើយសមាមាត្រ (1) គឺអវិជ្ជមាន។

សូមមើលពីរបៀបដែលទំនាក់ទំនង (1) ផ្លាស់ប្តូរនៅពេលដែលចំនុច M រត់កាត់ខ្សែទាំងមូល។ នៅពេលដែលចំនុច M ស្របគ្នានឹងចំនុច A នោះទំនាក់ទំនង (1) ស្មើនឹងសូន្យ។ ប្រសិនបើចំណុច M រត់កាត់ផ្នែក AB ក្នុងទិសដៅពី A ទៅ B នោះសមាមាត្រ (1) កើនឡើងជាបន្តបន្ទាប់ ក្លាយជាធំតាមអំពើចិត្ត នៅពេលដែលចំណុច M ខិតទៅជិត B ។ នៅពេល នោះប្រភាគ (1) បាត់បង់អត្ថន័យរបស់វា ដោយសារភាគបែងរបស់វាប្រែទៅជាវ៉ិចទ័រសូន្យ។ ជាមួយនឹងចលនាបន្ថែមទៀតនៃចំណុចតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងទិសដៅដូចគ្នា (ក្នុងរូបភាពទី 3 a ទៅខាងស្តាំនៃ B) សមាមាត្រ (1) ក្លាយជាអវិជ្ជមាន ហើយប្រសិនបើ W គឺជិតល្មមនឹង B នោះសមាមាត្រនេះមានតាមអំពើចិត្ត។ តម្លៃដាច់ខាតដ៏ធំ។

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក (ដោយគុណធម៌នៃសំណើ 8 នៃ§ 4) យើងមាន

នៅពេលដែលចំនុច M ផ្លាស់ទីគ្រប់ពេលក្នុងទិសដៅដូចគ្នា (ក្នុងរូបភាពទី 3 របស់យើង និងពីឆ្វេងទៅស្តាំ) ប៉ុន្តែទៅត្រង់ទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ បន្ទាប់មកប្រភាគ - ទំនោរទៅសូន្យ (ចាប់តាំងពីភាគបែងរបស់វានៅថេរ ហើយភាគបែង កើនឡើងដោយគ្មានកំណត់) ដូច្នេះសមាមាត្រ , - ទំនោរទៅ -1 ។

ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យ M ទៅ "ខាងឆ្វេង" នៃពាក់កណ្តាលបន្ទាត់ពីរដែលចំនុច A បែងចែកបន្ទាត់ (នោះគឺចូលទៅក្នុងពាក់កណ្តាលបន្ទាត់ដែលមិនមានផ្នែក AB) ។ ប្រសិនបើក្នុងករណីនេះចំនុច M គឺនៅឆ្ងាយពីចំណុច A បន្ទាប់មកម្តងទៀតតូចតាមអំពើចិត្តហើយដូច្នេះសមាមាត្រនៃរូបមន្តខុសគ្នាតិចតួចតាមអំពើចិត្តពី -1 ។ នៅពេលដែលចំណុច M ខិតទៅជិតចំណុច A ពីខាងឆ្វេង (រូបភាពទី 3, ខ) សមាមាត្រ (I) ដែលនៅសេសសល់អវិជ្ជមាន បន្តថយចុះនៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាត ហើយចុងក្រោយនឹងស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលចំណុច M ត្រឡប់ទៅចំណុច A ។

ចំណាំថាសម្រាប់ទីតាំងណាមួយនៃចំណុច M នៅលើបន្ទាត់ សមាមាត្រមិនស្មើនឹង -1 ទេ។ ជាការពិតណាស់ សមាមាត្រគឺអវិជ្ជមានតែនៅពេលដែលចំណុច M ស្ថិតនៅខាងក្រៅផ្នែក AB ។ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះផ្នែក AM និង MB មិនស្មើគ្នាទេ ឧ.

ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើបន្ទាត់ហើយ O គឺជាប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធនេះ។ យើងបង្ហាញពីកូអរដោនេនៃចំណុច A ដល់ចំណុច B - ឆ្លងកាត់ និងចំណុចអថេរ M - តាមរយៈ . បន្ទាប់មក និង

សូមអោយចំនុច M 1 , M 2 , M 3 ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ វាត្រូវបានគេនិយាយថាចំនុច M បែងចែកផ្នែក M 1 M 2 ដោយគោរពតាម λ(λ≠-1) ប្រសិនបើ .
អនុញ្ញាតឱ្យកូអរដោនេនៃចំណុច M 1 និង M 2 ត្រូវបានដឹងទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយចំនួន: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃ ចំណុច M(x, y, z) ទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដូចគ្នាត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
ប្រសិនបើចំនុច M ស្ថិតនៅចំកណ្តាលផ្នែក M 1 M 2 នោះ នោះគឺ λ=1 ហើយរូបមន្ត (*) នឹងយកទម្រង់៖

(**)

ប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខខាងក្រោមដើម្បីដោះស្រាយ៖

1. ពិន្ទុត្រូវបានផ្តល់ដោយកូអរដោនេពីរ៖ A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) ។
2. ពិន្ទុត្រូវបានផ្តល់ដោយកូអរដោនេបី៖ A(x 1 ,y 1 ,z 1), B(x 2 ,y 2 ,z 2)។

ឧទាហរណ៍ #1 ។ ត្រីកោណត្រូវបានផ្តល់ដោយកូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលរបស់វា A(3, -2,1), B(3, 1,5), C(4, 0, 3)។ ស្វែងរកកូអរដោនេ D(x, y, z) - ចំនុចប្រសព្វនៃមេដ្យានរបស់វា។

ដំណោះស្រាយ. សម្គាល់ដោយ M(x 0, y 0, z 0) ចំណុចកណ្តាលនៃ BC បន្ទាប់មកដោយរូបមន្ត (**) និង M (7/2, ½, 4) ។ ចំណុច D បែងចែក AM មធ្យម ដោយគោរពទៅ λ=2 ។ ការអនុវត្តរូបមន្ត (*) យើងរកឃើញ
.

ឧទាហរណ៍ #2 ។ ផ្នែក AB ត្រូវបានបែងចែកដោយចំណុច C (4,1) ទាក់ទងទៅនឹង λ=1/4 ដោយរាប់ពីចំណុច A ។ រកកូអរដោនេនៃ A ប្រសិនបើ B(8,5) ។
ដំណោះស្រាយ. ការអនុវត្តរូបមន្ត (*) យើងទទួលបាន៖
តើនៅពេលណាដែលយើងរកឃើញ x = 3 , y = 0 ។

ឧទាហរណ៍ #3 ។ ផ្នែក AB ត្រូវបានបែងចែកជាបីផ្នែកស្មើៗគ្នាដោយចំណុច C(3, -1) និង D(1,4) ។ ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។
ដំណោះស្រាយ. សម្គាល់ A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) ។ ចំណុច C គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក AD ដូច្នេះដោយប្រើរូបមន្ត (**) យើងរកឃើញ៖ ពេលណា x 1 = 5, y 1 = −6 ។ ដូចគ្នានេះដែរ កូអរដោនេនៃចំណុច B ត្រូវបានរកឃើញ៖ x 2 \u003d -1, y 2 \u003d 9 ។

នៅពេលដែលមានលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការបែងចែកផ្នែកក្នុងសមាមាត្រជាក់លាក់មួយ វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់កូអរដោនេនៃចំនុចដែលដើរតួជាអ្នកបំបែក។ យើងទាញយករូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកកូអរដោនេទាំងនេះដោយកំណត់បញ្ហានៅលើយន្តហោះ។

ទិន្នន័យដំបូង៖ ប្រព័ន្ធកូអរដោណេរាងចតុកោណ O x y និងចំណុចមិនស្របគ្នាពីរដែលស្ថិតនៅលើវាជាមួយនឹងកូអរដោនេ A (x A, y A) និង B (x B, y B) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ហើយចំនុច C ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ ដោយបែងចែកផ្នែក A B ដោយគោរពតាម λ (ចំនួនពិតវិជ្ជមានមួយចំនួន)។ វាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃចំណុច C: x C និង y C ។

មុននឹងបន្តដំណោះស្រាយនៃកិច្ចការ សូមលាតត្រដាងបន្តិចអំពីអត្ថន័យនៃលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ "ចំណុច C ដោយបែងចែកផ្នែក A B ទាក់ទងនឹង λ" ។ ទីមួយ កន្សោមនេះបង្ហាញថាចំណុច C ស្ថិតនៅលើផ្នែក A B (នោះគឺរវាងចំនុច A និង B)។ ទីពីរវាច្បាស់ណាស់ថាយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យសមាមាត្រនៃប្រវែងនៃផ្នែក A C និង C B គឺស្មើនឹង λ ។ ទាំងនោះ។ សមភាពគឺត្រឹមត្រូវ៖

ក្នុងករណីនេះ ចំណុច A គឺជាការចាប់ផ្តើមនៃផ្នែក ចំនុច B គឺជាចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។ ប្រសិនបើវាត្រូវបានគេផ្តល់ឱ្យថាចំនុច C បែងចែកផ្នែក B A ក្នុងសមាមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះសមភាពនឹងជាការពិត: .

ជាការប្រសើរណាស់ វាគឺជាការពិតជាក់ស្តែងដែលថាប្រសិនបើ λ = 1 នោះចំណុច C គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក A B ។

ចូរដោះស្រាយបញ្ហាដោយមានជំនួយពីវ៉ិចទ័រ។ ចូរយើងបង្ហាញចំណុច A, B និងចំណុច C តាមអំពើចិត្តលើផ្នែក A B ក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណមួយចំនួន។ ចូរយើងបង្កើតវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចទាំងនេះ ក៏ដូចជាវ៉ិចទ័រ A C → និង C B → ។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាចំណុច C បែងចែកផ្នែក A B ទាក់ទងនឹង λ ។

កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុចគឺស្មើនឹងកូអរដោនេនៃចំនុចបន្ទាប់មកសមភាពគឺពិត: ​​O A → = (x A , y A) និង O B → = (x B , y B) ។

ចូរកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ: ពួកវានឹងស្មើនឹងកូអរដោនេនៃចំនុច C ដែលទាមទារឱ្យត្រូវបានរកឃើញតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។

ដោយប្រើប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ យើងសរសេរសមភាព៖ O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →

យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាចំណុច C បែងចែកផ្នែក A B ទាក់ទងនឹង λ, i.e. សមភាព A C = λ · C B គឺពិត។

វ៉ិចទ័រ A C → និង C B → ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា ហើយមានទិសដៅស្របគ្នា។ λ > 0 ដោយលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា បន្ទាប់មកយោងទៅតាមប្រតិបត្តិការនៃការគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខមួយ យើងទទួលបាន: A C → = λ · C B → ។

ចូរបំប្លែងកន្សោមដោយជំនួសវា៖ C B → = O B → - O C → ។

A C → = λ · (O B → - O C →) ។

សមភាព O C → = O A → + A C → អាចសរសេរឡើងវិញជា O C → = O A → + λ · (O B → - O C →) ។

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការលើវ៉ិចទ័រ សមភាពចុងក្រោយបង្កប់ន័យ៖ O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) ។

ឥឡូវនេះវានៅសល់សម្រាប់យើងគណនាដោយផ្ទាល់នូវកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → ។

ចូរយើងអនុវត្តប្រតិបត្តិការចាំបាច់លើវ៉ិចទ័រ O A → និង O B → ។

O A → = (x A , y A) និង O B → = (x B , y B) បន្ទាប់មក O A → + λ O B → = (x A + λ x B , y A + λ y B) ។

ដូច្នេះ O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ) ។

សេចក្តីសង្ខេប៖ កូអរដោនេនៃចំណុច C ដែលបែងចែកផ្នែក A B ក្នុងសមាមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យ λ ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖ x C \u003d x A + λ x B 1 + λ និង y C \u003d y A + λ y B 1 + λ .

កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចដែលបែងចែកផ្នែកក្នុងសមាមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ

ទិន្នន័យដំបូង៖ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ O x y z ចំណុចដែលមានកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ A (x A, y A, z A) និង B (x B, y B, z B) ។

ចំណុច C បែងចែកផ្នែក A B ដោយគោរពតាម λ ។ វាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃចំណុច C ។

ដោយប្រើគ្រោងការណ៍ហេតុផលដូចគ្នានឹងករណីខាងលើនៅលើយន្តហោះយើងមកដល់សមភាព:

O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →)

វ៉ិចទ័រ និងជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច A និង B ដែលមានន័យថា៖

O A → = (x A , y A , z A) និង O B → = (x B , y B , z B) ដូច្នេះ

O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →) = (x A + λ x B 1 + λ , y A + λ y B 1 + λ , z A + λ z B 1 + λ )

ដូច្នេះចំនុច C ដែលបែងចែកផ្នែក A B ក្នុងលំហក្នុងសមាមាត្រមួយ λ មានកូអរដោនេ៖ (x A + λ x B 1 + λ, y A + λ y B 1 + λ, z A + λ z B 1+λ )

ចូរយើងពិចារណាទ្រឹស្តីលើឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។

ឧទាហរណ៍ ១

ទិន្នន័យដំបូង: ចំណុច C បែងចែកផ្នែក A B ក្នុងសមាមាត្រប្រាំទៅបី។ កូអរដោនេនៃចំណុច A និង B ត្រូវបានផ្តល់ដោយ A (11 , 1 , 0), B (- 9 , 2 , - 4) ។

ដំណោះស្រាយ

តាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា λ = 5 3 . តោះអនុវត្តរូបមន្តខាងលើ និងទទួលបាន៖

x A + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (− 9) 1 + 5 3 = − 3 2

y A + λ y B 1 + λ = 1 + 5 3 2 1 + 5 3 = 13 8

z A + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (− 4) 1 + 5 3 = − 5 2

ចម្លើយ៖ C (- 3 2 , 13 8 , - 5 2)

ឧទាហរណ៍ ២

ទិន្នន័យដំបូង៖ វាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃត្រីកោណ A B C ។

កូអរដោនេ​រយៈទទឹង​របស់​វា​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​: A (2 , 3 , 1), B (4 , 1 , - 2), C (- 5 , - 4 , 8)

ដំណោះស្រាយ

វាត្រូវបានគេដឹងថាចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃត្រីកោណណាមួយគឺជាចំណុចប្រសព្វនៃមេដ្យានរបស់វា (ទុកនេះជាចំនុច M)។ មធ្យមភាគនីមួយៗត្រូវបានបែងចែកដោយចំណុច M ក្នុងសមាមាត្រនៃ 2 ទៅ 1 ដោយរាប់ពីកំពូល។ ដោយផ្អែកលើនេះយើងរកឃើញចម្លើយចំពោះសំណួរដែលបានដាក់។

សន្មតថា A D គឺជាមធ្យមនៃត្រីកោណ A B C ។ ចំណុច M គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃមេដ្យាន មានកូអរដោនេ M (x M, y M, z M) និងជាចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃត្រីកោណ។ M ជាចំនុចប្រសព្វនៃមេដ្យានបែងចែកផ្នែក A D ក្នុងសមាមាត្រ 2 ទៅ 1 i.e. λ = ២.

ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុច D ។ ដោយសារ A D គឺជាមេដ្យាន នោះចំនុច D គឺជាចំនុចកណ្តាលនៃផ្នែក B C ។ បន្ទាប់មក ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចកណ្តាលនៃផ្នែក យើងទទួលបាន៖

x D = x B + x C 2 = 4 + ( − 5 ) 2 = − 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + ( − 4 ) 2 = − 3 2 z D = z B + z C 2 = − 2 + 8 2 = 3

គណនាកូអរដោនេនៃចំណុច M:

x M = x A + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (− 1 2) 1 + 2 = 1 3

y M = y A + λ y D 1 + λ = 3 + 2 (− 3 2) 1 + 2 = 0

z M = z A + λ z D 1 + λ = 1 + 2 3 1 + 2 = 7 3

ចម្លើយ៖ (១ ៣, ០, ៧ ៣)

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ប្រសិនបើចំនុច M (x; y) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ M 1 (x 1; y 1) M 2 (x 2; y 2) និងសមាមាត្រ λ \u003d M 1 M / MM 2 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលចំនុច M បែងចែកផ្នែក M 1 M 2 បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃចំនុច M

ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), y = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)

ប្រសិនបើចំណុច M គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក M 1 M 2 នោះកូអរដោនេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

x \u003d (x 1 + x 2) / 2, y \u003d (y 1 + y 2) / 2

86. ផ្តល់ចុងបញ្ចប់ A(3; -5) និង 6(-1; 1) នៃដំបងដូចគ្នា។ កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញរបស់វា។

87. ចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃដំបងដូចគ្នាគឺត្រង់ចំនុច M (1; 4) ចុងម្ខាងរបស់វាស្ថិតនៅចំនុច P (-2; 2) ។ កំណត់កូអរដោនេនៃចំនុច Q នៃចុងម្ខាងទៀតនៃដំបងនេះ។

88. ត្រីកោណកែង A(1; -3), 6(3; -5) និង C(-5; 7) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ កំណត់ចំណុចកណ្តាលនៃភាគីរបស់វា។

89. ពីរពិន្ទុ A(3; - 1) និង B(2; 1) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ កំណត់៖

1) កូអរដោនេនៃចំណុច M, ស៊ីមេទ្រីទៅចំណុច A ទាក់ទងទៅនឹងចំណុច B;

2) កូអរដោនេនៃចំណុច N, ស៊ីមេទ្រីទៅចំណុច B ទាក់ទងទៅនឹងចំណុច A ។

90. ចំណុច M (2; -1), N (-1; 4) និង P (-2; 2) គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងនៃត្រីកោណ។ កំណត់ចំណុចកំពូលរបស់វា។

91. ចំនុចកំពូលបីនៃប្រលេឡូក្រាម A(3; -5), B(5; -3), C(-1; 3) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ កំណត់ចំនុចទីបួន D ទល់មុខ B ។

92. ផ្តល់ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វា M(-3; 5), B(1; 7) ។ កំណត់ចំនុចកំពូលពីរផ្សេងទៀត។

93. ចំនុចកំពូលបី A(2; 3), 6(4; -1) និង C(0; 5) នៃ parallelogram ABCD ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកចំនុចទីបួន D.

94. បញ្ឈរនៃត្រីកោណ A(1; 4), B(3; -9), С(-5; 2) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកប្រវែងមធ្យមរបស់វា ដែលទាញចេញពីចំណុចកំពូល B ។

95. ផ្នែកដែលចងដោយចំនុច A (1;-3) និង B(4; 3) ត្រូវបានបែងចែកជាបីផ្នែកស្មើគ្នា។ កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចបែងចែក។

96. ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ រកចំណុចប្រសព្វជាមួយចំហៀង AC នៃ bisector នៃមុំខាងក្នុងរបស់វានៅចំនុចកំពូល B ។

97. ត្រីកោណកែង A(3; -5), B(-3; 3) និង C(-1; -2) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ កំណត់ប្រវែងនៃ bisector នៃមុំខាងក្នុងរបស់វានៅ vertex A.

98. ផ្តល់ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ A(-1; -1), B(3; 5), C(-4; 1) ។ រកចំណុចប្រសព្វជាមួយផ្នែកបន្ថែមនៃចំហៀង BC នៃ bisector នៃមុំខាងក្រៅរបស់វានៅ vertex A ។

99. េដមប ី តៃមងៃនត្រីកោណ A (3; -5), B (1; - 3), C (2; -2) ។ កំណត់ប្រវែងនៃ bisector នៃមុំខាងក្រៅរបស់វានៅ vertex B ។

100. ផ្តល់បីពិន្ទុ A(1; -1), B(3; 3) និង C(4; 5) ដេកលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។ កំណត់សមាមាត្រ λ ដែលពួកវានីមួយៗបែងចែកផ្នែកដែលចងដោយពីរផ្សេងទៀត។

101. កំណត់កូអរដោនេនៃចុង A និង B នៃផ្នែកដែលបែងចែកដោយចំនុច P (2; 2) និង Q (1; 5) ជាបីផ្នែកស្មើគ្នា។

102. បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (-12; -13) និង M 2 (-2; -5) ។ ស្វែងរកចំណុចនៅលើបន្ទាត់នេះដែល abscissa គឺ 3 ។

103. បន្ទាត់ត្រង់កាត់តាមចំនុច M(2; -3) និង N(-6; 5) ។ នៅ​លើ​បន្ទាត់​នេះ សូម​រក​ចំណុច​មួយ​ដែល​តម្រៀប​គឺ -5 ។

104. បន្ទាត់ត្រង់កាត់តាមចំនុច A(7; -3) និង B(23;. -6) ។ រកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់នេះជាមួយអ័ក្ស x ។

105. បន្ទាត់កាត់តាមចំនុច A(5; 2) និង B(-4; -7) ។ រកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់នេះជាមួយអ័ក្ស y ។

106. បញ្ឈរនៃរាងបួនជ្រុង A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) និង D(5; 8) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ កំណត់សមាមាត្រអ្វីដែលអង្កត់ទ្រូង AC របស់វាបែងចែកអង្កត់ទ្រូង BD ។

107. បញ្ឈរ A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2) និង D(6; 10) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វា AC និង BD ។

108. ផ្តល់ចំនុចកំពូលនៃចានរាងត្រីកោណ A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) និង C (x 3; y 3) ។ កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញរបស់វា

ការណែនាំ។ ចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញគឺនៅចំណុចប្រសព្វនៃមេដ្យាន។

109. ចំនុច M នៃចំនុចប្រសព្វនៃមេដ្យាននៃត្រីកោណស្ថិតនៅលើអ័ក្ស abscissa ចំនុចកំពូលពីររបស់វាគឺ A (2; -3) និង B (-5; 1) ចំនុចកំពូលទីបី C ស្ថិតនៅលើ y- អ័ក្ស។ កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុច M និង C ។

110. ផ្តល់ចំនុចកំពូលនៃចានរាងត្រីកោណ A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) និង C (x 3; y 3) ។ ប្រសិនបើអ្នកភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃភាគីរបស់វា នោះចានរាងត្រីកោណថ្មីដែលដូចគ្នាត្រូវបានបង្កើតឡើង។ បង្ហាញថាចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃចានទាំងពីរគឺដូចគ្នា។

ការណែនាំ។ ប្រើលទ្ធផលនៃកិច្ចការ 108 ។

111. ចានដូចគ្នាមានរាងការ៉េដែលមានផ្នែកម្ខាងស្មើនឹង 12 ដែលក្នុងនោះការកាត់ការ៉េត្រូវបានធ្វើឡើង បន្ទាត់កាត់ឆ្លងកាត់កណ្តាលនៃការ៉េ អ័ក្ស

កូអរដោនេត្រូវបានដឹកនាំតាមគែមរបស់ចាន (រូបភាពទី 4) ។ កំណត់ចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃចាននេះ។

112. ចានដូចគ្នាមានរាងចតុកោណកែងដែលមានជ្រុងស្មើ a និង b ដែលកាត់រាងចតុកោណកែង។ បន្ទាត់ត្រង់នៃការកាត់ឆ្លងកាត់កណ្តាលអ័ក្សកូអរដោនេត្រូវបានតម្រង់តាមបណ្តោយគែមនៃចាន (រូបភាព 5) ។ កំណត់ចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃចាននេះ។

113. ចានដូចគ្នាមានរាងការ៉េដែលមានផ្នែកម្ខាងស្មើនឹង 2a ដែលត្រីកោណមួយត្រូវបានកាត់ចេញ។ បន្ទាត់កាត់ភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃភាគីទាំងពីរដែលនៅជាប់គ្នា អ័ក្សកូអរដោនេត្រូវបានតម្រង់តាមគែមចាន (រូបភាព 6) ។ កំណត់ចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញរបស់ចាន។

114. នៅចំណុចខាងក្រោម A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) និង C (x 3; y 3) ម៉ាស់ m, n និង p ត្រូវបានប្រមូលផ្តុំ។ កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃប្រព័ន្ធនេះនៃម៉ាស់បី។

115. ចំនុច A (4; 2), B (7; -2) និង C (1; 6) គឺជាចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណដែលធ្វើពីលួសដូចគ្នា។ ស្វែងរកចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញនៃត្រីកោណនេះ។