និយមន័យ។ រាងពងក្រពើគឺជាទីតាំងនៃចំនុចនៅក្នុងយន្តហោះ ផលបូកនៃចម្ងាយនៃពួកវានីមួយៗពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរនៃយន្តហោះនេះហៅថា foci គឺជាតម្លៃថេរ (ផ្តល់ថាតម្លៃនេះគឺធំជាងចម្ងាយរវាង foci) ។
ចូរសម្គាល់ foci តាមរយៈចម្ងាយរវាងពួកវា - ឆ្លងកាត់ និងតម្លៃថេរស្មើនឹងផលបូកនៃចម្ងាយពីចំណុចនីមួយៗនៃពងក្រពើទៅ foci តាមរយៈ (តាមលក្ខខណ្ឌ) ។
ចូរយើងបង្កើតប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ដើម្បីឱ្យ foci ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស abscissa ហើយប្រភពដើមនៃកូអរដោណេស្របគ្នាជាមួយនឹងផ្នែកកណ្តាលនៃផ្នែក (រូបភាព 44) ។ បន្ទាប់មកការផ្តោតអារម្មណ៍នឹងមានកូអរដោណេដូចខាងក្រោមៈ ការផ្តោតអារម្មណ៍ឆ្វេង និងការផ្តោតអារម្មណ៍ស្តាំ។ ចូរយើងទាញយកសមីការនៃពងក្រពើនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលយើងបានជ្រើសរើស។ ដល់ទីបញ្ចប់នេះ សូមពិចារណាចំណុចបំពាននៃរាងពងក្រពើ។ តាមនិយមន័យនៃរាងពងក្រពើ ផលបូកនៃចម្ងាយពីចំណុចនេះទៅ foci គឺ៖
ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ចម្ងាយរវាងចំណុចពីរ យើងទទួលបាន ដូច្នេះ
ដើម្បីសម្រួលសមីការនេះ យើងសរសេរវាក្នុងទម្រង់
បន្ទាប់មក squaring ភាគីទាំងពីរនៃសមីការផ្តល់ឱ្យ
ឬបន្ទាប់ពីភាពសាមញ្ញជាក់ស្តែង៖
ឥឡូវនេះម្តងទៀត យើងធ្វើការ៉េទាំងសងខាងនៃសមីការ បន្ទាប់មកយើងនឹងមាន៖
ឬបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទ៖
ដោយសារយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌក្នុងនិយមន័យនៃពងក្រពើ នោះគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។ យើងណែនាំការសម្គាល់
បន្ទាប់មកសមីការនឹងមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
តាមនិយមន័យនៃពងក្រពើ កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយរបស់វាបំពេញសមីការ (26) ។ ប៉ុន្តែសមីការ (29) គឺជាផលវិបាកនៃសមីការ (26) ។ ដូច្នេះវាក៏បំពេញកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយនៃពងក្រពើផងដែរ។
វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាកូអរដោនេនៃចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅលើរាងពងក្រពើមិនបំពេញសមីការ (29) ។ ដូច្នេះសមីការ (២៩) គឺជាសមីការនៃពងក្រពើ។ វាត្រូវបានគេហៅថាសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ។
ចូរបង្កើតរូបរាងពងក្រពើដោយប្រើសមីការ Canonical របស់វា។
ជាដំបូង ចំណាំថាសមីការនេះមានតែអំណាច x និង y ប៉ុណ្ណោះ។ នេះមានន័យថា ប្រសិនបើចំណុចណាមួយជារបស់ពងក្រពើ នោះវាក៏រួមបញ្ចូលចំណុចដែលស៊ីមេទ្រីជាមួយនឹងចំណុចអំពីអ័ក្សអាប់ស៊ីសា និងចំណុចដែលស៊ីមេទ្រីជាមួយនឹងចំណុចអំពីអ័ក្ស y ។ ដូច្នេះ ពងក្រពើមានអ័ក្សកាត់កែងគ្នាពីរនៃស៊ីមេទ្រី ដែលនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលបានជ្រើសរើសរបស់យើងស្របគ្នានឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។ អ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃពងក្រពើនឹងត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សនៃរាងពងក្រពើហើយចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ - កណ្តាលនៃរាងពងក្រពើ។ អ័ក្សដែល foci នៃរាងពងក្រពើមានទីតាំងនៅ (ក្នុងករណីនេះអ័ក្ស abscissa) ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សប្រសព្វ។
ចូរកំណត់រាងពងក្រពើជាមុនសិនក្នុងត្រីមាសទីមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយសមីការ (28) ទាក់ទងនឹង y:
វាច្បាស់ណាស់ថានៅទីនេះ ចាប់តាំងពី y យកតម្លៃស្រមើលស្រមៃសម្រាប់ . ជាមួយនឹងការកើនឡើងពី 0 ទៅ a, y ថយចុះពី b ដល់ 0. ផ្នែកនៃរាងពងក្រពើដែលដេកនៅត្រីមាសទី 1 នឹងជាធ្នូដែលចងដោយចំនុច B (0; b) ហើយដេកលើអ័ក្សកូអរដោណេ (រូបភាព 45)។ ដោយប្រើស៊ីមេទ្រីនៃរាងពងក្រពើឥឡូវនេះ យើងសន្និដ្ឋានថារាងពងក្រពើមានរូបរាងដែលបង្ហាញក្នុងរូប។ ៤៥.
ចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្សត្រូវបានគេហៅថា ចំនុចកំពូលនៃរាងពងក្រពើ។ វាធ្វើតាមពីស៊ីមេទ្រីនៃរាងពងក្រពើ ដែលបន្ថែមពីលើចំនុចកំពូល ពងក្រពើមានចំនុចកំពូលពីរទៀត (សូមមើលរូបទី 45)។
ចម្រៀក និងការតភ្ជាប់បញ្ឈរផ្ទុយគ្នានៃរាងពងក្រពើ ព្រមទាំងប្រវែងរបស់វាត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សសំខាន់ និងអនីតិជននៃពងក្រពើរៀងគ្នា។ លេខ a និង b ត្រូវបានគេហៅថា semiaxes សំខាន់ និង minor នៃ ellipse រៀងគ្នា។
សមាមាត្រនៃចម្ងាយពាក់កណ្តាលរវាង foci ទៅអ័ក្សពាក់កណ្តាលសំខាន់នៃរាងពងក្រពើត្រូវបានគេហៅថា eccentricity នៃរាងពងក្រពើ ហើយជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ:
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ភាពប្លែកនៃរាងពងក្រពើគឺតិចជាងមួយ៖ ភាពប្លែក កំណត់លក្ខណៈរាងពងក្រពើ។ ជាការពិត វាធ្វើតាមរូបមន្ត (28) ពីនេះ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថា ភាពតូចជាងនៃរាងពងក្រពើ នោះ semiaxis អនីតិជន b របស់វាតិចជាង ខុសពី semiaxis ធំ a ពោលគឺ ពងក្រពើកាន់តែតូចត្រូវបានពង្រីក (តាមបណ្តោយចំនុចប្រសព្វ។ អ័ក្ស) ។
ក្នុងករណីកំណត់ នៅពេលអ្នកទទួលបានរង្វង់នៃកាំ a: , ឬ . ក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះ foci នៃរាងពងក្រពើដូចដែលវាត្រូវបានបញ្ចូលគ្នានៅចំណុចមួយ - កណ្តាលនៃរង្វង់។ ភាពប្លែកនៃរង្វង់គឺសូន្យ៖
ការតភ្ជាប់រវាងរាងពងក្រពើនិងរង្វង់អាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីចំណុចផ្សេងទៀត។ ចូរយើងបង្ហាញថាពងក្រពើដែលមានអ័ក្សពាក់កណ្តាល a និង b អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការព្យាករនៃរង្វង់នៃកាំ a ។
ចូរយើងពិចារណាប្លង់ពីរ P និង Q ដែលបង្កើតមុំបែបនេះរវាងពួកវា (រូបភាព 46) ។ យើងបង្កើតប្រព័ន្ធកូអរដោណេនៅក្នុងយន្តហោះ P ហើយប្រព័ន្ធ Oxy នៅក្នុងយន្តហោះ Q ដែលមានប្រភពដើមទូទៅ O និងអ័ក្ស abscissa ធម្មតាស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ។ ពិចារណាក្នុងយន្តហោះ P រង្វង់
ផ្តោតលើប្រភពដើម និងកាំ a. ទុកជាចំនុចរង្វង់ដែលបានជ្រើសរើសតាមអំពើចិត្ត ជាការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះ Q និងជាការព្យាករនៃចំនុច M ទៅលើអ័ក្សអុក។ ចូរយើងបង្ហាញថាចំនុចស្ថិតនៅលើរាងពងក្រពើដែលមានអ័ក្សពាក់កណ្តាល a និង b ។
ជួរនៃលំដាប់ទីពីរ។
អេលីប និងសមីការ Canonical របស់វា។ រង្វង់
បន្ទាប់ពីការសិក្សាហ្មត់ចត់ បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះយើងបន្តសិក្សាធរណីមាត្រនៃពិភពលោកពីរវិមាត្រ។ ប្រាក់ភ្នាល់ត្រូវបានកើនឡើងទ្វេដង ហើយខ្ញុំសូមអញ្ជើញអ្នកឱ្យទៅមើលវិចិត្រសាលរូបភាពនៃរាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា ដែលជាតំណាងធម្មតានៃ ជួរលំដាប់ទីពីរ. ដំណើរកម្សាន្តបានចាប់ផ្តើមរួចហើយ ហើយជាដំបូង ព័ត៌មានសង្ខេបអំពីការតាំងពិព័រណ៍ទាំងមូលនៅជាន់ផ្សេងៗគ្នានៃសារមន្ទីរ៖
គំនិតនៃបន្ទាត់ពិជគណិត និងលំដាប់របស់វា។
បន្ទាត់នៅលើយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថា ពិជគណិត, ប្រសិនបើនៅក្នុង ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល affineសមីការរបស់វាមានទម្រង់ ដែលជាពហុធាដែលមានលក្ខខណ្ឌនៃទម្រង់ (ជាចំនួនពិត ជាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមាន)។
ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ សមីការនៃបន្ទាត់ពិជគណិតមិនមានស៊ីនុស កូស៊ីនុស លោការីត និងមុខងារ beau monde ផ្សេងទៀតទេ។ មានតែ "x" និង "y" នៅក្នុង ចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមានដឺក្រេ។
លំដាប់ជួរគឺស្មើនឹងតម្លៃអតិបរមានៃលក្ខខណ្ឌដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។
យោងតាមទ្រឹស្តីបទដែលត្រូវគ្នា គំនិតនៃបន្ទាត់ពិជគណិត ក៏ដូចជាលំដាប់របស់វា មិនអាស្រ័យលើជម្រើសនោះទេ។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល affineដូច្នេះ ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើងពិចារណាថា ការគណនាជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់កើតឡើងនៅក្នុង កូអរដោណេ Cartesian.
សមីការទូទៅបន្ទាត់លំដាប់ទីពីរមានទម្រង់ កន្លែងណា 
គឺជាចំនួនពិតដែលបំពាន (វាជាទម្លាប់ក្នុងការសរសេរជាមួយមេគុណ - "ពីរ")ហើយមេគុណមិនស្របគ្នានឹងសូន្យទេ។
ប្រសិនបើ នោះសមីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញទៅ 
ហើយប្រសិនបើមេគុណមិនស្របគ្នានឹងសូន្យទេនោះ នេះគឺពិតប្រាកដ សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ "រាបស្មើ"ដែលតំណាងឱ្យ ជួរលំដាប់ទីមួយ.
មនុស្សជាច្រើនបានយល់ពីអត្ថន័យនៃពាក្យថ្មីនេះ ប៉ុន្តែទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីបញ្ចូលវត្ថុធាតុឱ្យបាន 100% យើងដាក់ម្រាមដៃរបស់យើងទៅក្នុងរន្ធ។ ដើម្បីកំណត់លំដាប់ជួរ សូមធ្វើម្តងទៀត លក្ខខណ្ឌទាំងអស់។សមីការរបស់វា និងសម្រាប់ពួកគេម្នាក់ៗរកឃើញ ផលបូកនៃអំណាចអថេរចូល។
ឧទាហរណ៍:
ពាក្យមាន "x" ដល់សញ្ញាប័ត្រទី 1;
ពាក្យមាន "Y" ដល់ដឺក្រេទី 1;
មិនមានអថេរនៅក្នុងពាក្យទេ ដូច្នេះផលបូកនៃអំណាចរបស់ពួកគេគឺសូន្យ។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងយល់ថាហេតុអ្វីបានជាសមីការកំណត់បន្ទាត់ ទីពីរបញ្ជាទិញ៖
ពាក្យមាន "x" នៅក្នុងសញ្ញាបត្រទី 2;
ពាក្យមានផលបូកនៃដឺក្រេនៃអថេរ: 1 + 1 = 2;
ពាក្យមាន "y" នៅក្នុងសញ្ញាបត្រទី 2;
លក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀតទាំងអស់ - តិចសញ្ញាបត្រ។
តម្លៃអតិបរមា៖ ២
ប្រសិនបើយើងបន្ថែមទៅលើសមីការរបស់យើង និយាយថា នោះវានឹងកំណត់រួចហើយ លំដាប់ទីបី. វាច្បាស់ណាស់ថាទម្រង់ទូទៅនៃសមីការបន្ទាត់លំដាប់ទី 3 មាន "សំណុំពេញលេញ" នៃពាក្យដែលជាផលបូកនៃដឺក្រេនៃអថេរដែលស្មើនឹងបី:
ដែលមេគុណមិនស្របគ្នានឹងសូន្យ។
ក្នុងករណីដែលលក្ខខណ្ឌសមស្របមួយ ឬច្រើនត្រូវបានបន្ថែមដែលមាន 
បន្ទាប់មកយើងនឹងនិយាយអំពី លំដាប់ទី ៤ល។
យើងនឹងត្រូវដោះស្រាយជាមួយជួរពិជគណិតនៃលំដាប់ទី 3 ទី 4 និងខ្ពស់ជាងនេះច្រើនជាងម្តង ជាពិសេសនៅពេលស្គាល់។ ប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។.
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អនុញ្ញាតឱ្យយើងត្រឡប់ទៅសមីការទូទៅ ហើយរំលឹកឡើងវិញនូវការប្រែប្រួលសាលាដ៏សាមញ្ញបំផុតរបស់វា។ ឧទាហរណ៍គឺប៉ារ៉ាបូឡា ដែលសមីការរបស់វាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយយ៉ាងងាយស្រួលទៅជាទម្រង់ទូទៅ ហើយអ៊ីពែបូឡាដែលមានសមីការសមមូល។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏មិនមែនគ្រប់យ៉ាងរលូននោះទេ…។
គុណវិបត្តិដ៏សំខាន់នៃសមីការទូទៅគឺថា វាស្ទើរតែមិនច្បាស់ថាបន្ទាត់ណាដែលវាកំណត់។ សូម្បីតែនៅក្នុងករណីដ៏សាមញ្ញបំផុតក៏ដោយ អ្នកនឹងមិនអាចដឹងភ្លាមៗថានេះគឺជាអ្វីដែលលើស។ ប្លង់បែបនេះគឺល្អតែនៅក្លែងបន្លំប៉ុណ្ណោះ ដូច្នេះហើយក្នុងដំណើរការនៃធរណីមាត្រវិភាគ បញ្ហាធម្មតាត្រូវបានចាត់ទុកថា ការកាត់បន្ថយសមីការបន្ទាត់លំដាប់ទី 2 ទៅជាទម្រង់ Canonical.
តើអ្វីជាទម្រង់នៃសមីការ Canonical?
នេះគឺជាទម្រង់ស្ដង់ដារដែលទទួលយកជាទូទៅនៃសមីការ នៅពេលដែលក្នុងរយៈពេលមួយវិនាទី វាច្បាស់ថាតើវត្ថុធរណីមាត្រដែលវាកំណត់។ លើសពីនេះទៀតទម្រង់ Canonical គឺងាយស្រួលណាស់សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងជាច្រើន។ ដូច្នេះឧទាហរណ៍យោងទៅតាមសមីការ Canonical "រាបស្មើ" ត្រង់ទីមួយ វាច្បាស់ភ្លាមៗថានេះជាបន្ទាត់ត្រង់ ហើយទីពីរ ចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់វា និងវ៉ិចទ័រទិសដៅគឺអាចមើលឃើញយ៉ាងសាមញ្ញ។
ជាក់ស្តែង ជួរលំដាប់ទី 1តំណាងឱ្យបន្ទាត់ត្រង់។ នៅជាន់ទី 2 លែងមានអ្នកមើលការខុសត្រូវរង់ចាំយើងទៀតហើយ ប៉ុន្តែមានរូបសំណាកចំនួន 9 ដ៏សម្បូរបែបជាងនេះទៅទៀត។
ចំណាត់ថ្នាក់នៃលំដាប់ទីពីរ
ដោយមានជំនួយពីសំណុំសកម្មភាពពិសេស សមីការបន្ទាត់លំដាប់ទីពីរត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រភេទមួយដូចខាងក្រោម៖
(និងជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន)
1) 
គឺជាសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ;
2) គឺជាសមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា;
3) 
គឺជាសមីការ canonical នៃ parabola នេះ;
4) – ការស្រមើស្រមៃពងក្រពើ;
5) - គូនៃបន្ទាត់ប្រសព្វមួយ;
6) - ប្តីប្រពន្ធ ការស្រមើស្រមៃបន្ទាត់ប្រសព្វ (ជាមួយចំណុចប្រសព្វពិតប្រាកដតែមួយគត់នៅដើម);
7) - គូនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលមួយ;
8) - ប្តីប្រពន្ធ ការស្រមើស្រមៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល;
9) គឺជាគូនៃបន្ទាត់ស្របគ្នា។
អ្នកអានខ្លះអាចទទួលបានចំណាប់អារម្មណ៍ថាបញ្ជីមិនពេញលេញ។ ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងកថាខណ្ឌលេខ 7 សមីការកំណត់គូ ផ្ទាល់, ស្របទៅនឹងអ័ក្ស ហើយសំណួរកើតឡើង៖ តើសមីការដែលកំណត់បន្ទាត់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស y នៅឯណា? ចម្លើយ៖ វា។ មិនត្រូវបានចាត់ទុកថាជា Canon. បន្ទាត់ត្រង់តំណាងឱ្យករណីស្តង់ដារដូចគ្នាដែលបង្វិលដោយ 90 ដឺក្រេ ហើយធាតុបន្ថែមក្នុងការចាត់ថ្នាក់គឺមិនអាចខ្វះបាន ព្រោះវាមិនមានអ្វីថ្មីជាមូលដ្ឋានទេ។
ដូច្នេះមាន 9 និង 9 ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃបន្ទាត់លំដាប់ទី 2 ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្តទូទៅបំផុតគឺ ពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា.
សូមក្រឡេកមើលពងក្រពើជាមុនសិន។ ដូចធម្មតា ខ្ញុំផ្តោតលើចំណុចទាំងនោះដែលមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា ហើយប្រសិនបើអ្នកត្រូវការប្រភពលម្អិតនៃរូបមន្ត ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ សូមយោងឧទាហរណ៍ទៅកាន់សៀវភៅសិក្សាដោយ Bazylev / Atanasyan ឬ Aleksandrov ។
អេលីប និងសមីការ Canonical របស់វា។
អក្ខរាវិរុទ្ធ ... សូមកុំនិយាយឡើងវិញនូវកំហុសរបស់អ្នកប្រើ Yandex មួយចំនួនដែលចាប់អារម្មណ៍លើ "របៀបបង្កើតពងក្រពើ" "ភាពខុសគ្នារវាងរាងពងក្រពើនិងរាងពងក្រពើ" និង "elebs eccentricity" ។
សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើមានទម្រង់ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន និង . ខ្ញុំនឹងបង្កើតនិយមន័យនៃពងក្រពើនៅពេលក្រោយ ប៉ុន្តែសម្រាប់ពេលនេះ ដល់ពេលសម្រាកពីការនិយាយ និងដោះស្រាយបញ្ហាទូទៅមួយ៖
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកសាងរាងពងក្រពើ?
បាទ, យកវាហើយគ្រាន់តែគូរវា។ កិច្ចការគឺជារឿងធម្មតា ហើយផ្នែកសំខាន់នៃសិស្សមិនមានជំនាញច្បាស់លាស់ជាមួយគំនូរទេ៖
ឧទាហរណ៍ ១
បង្កើតពងក្រពើដែលផ្តល់ដោយសមីការ
ដំណោះស្រាយ: ដំបូងយើងនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ Canonical: 
ហេតុអ្វីបានជានាំយក? គុណសម្បត្តិមួយនៃសមីការ Canonical គឺថាវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់ភ្លាមៗ រាងពងក្រពើដែលស្ថិតនៅចំណុច។ វាងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញថាកូអរដោនេនៃចំណុចនីមួយៗនេះបំពេញសមីការ។
ក្នុងករណីនេះ : 
ផ្នែកបន្ទាត់ហៅ អ័ក្សសំខាន់ពងក្រពើ;
ផ្នែកបន្ទាត់ – អ័ក្សតូច;
ចំនួន 
ហៅ អ័ក្សពាក់កណ្តាលសំខាន់ពងក្រពើ;
ចំនួន 
– អ័ក្សពាក់កណ្តាលអនីតិជន.
ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង៖ .
ដើម្បីស្រមៃយ៉ាងឆាប់រហ័សថាតើរាងពងក្រពើនេះមានរូបរាងយ៉ាងណា គ្រាន់តែមើលទៅតម្លៃ "a" និង "be" នៃសមីការ Canonical របស់វា។
អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺល្អ ស្អាត និងល្អ ប៉ុន្តែមានចំនុចមួយគឺខ្ញុំបានបញ្ចប់ការគូរដោយប្រើកម្មវិធី។ ហើយអ្នកអាចគូរជាមួយកម្មវិធីណាមួយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងការពិតដ៏អាក្រក់ ក្រដាសមួយសន្លឹកនៅលើតុ ហើយសត្វកណ្ដុររាំជុំវិញដៃរបស់យើង។ មនុស្សដែលមានទេពកោសល្យសិល្បៈ ពិតណាស់អាចប្រកែកបាន ប៉ុន្តែអ្នកក៏មានសត្វកណ្តុរដែរ (ទោះបីជាតូចជាងក៏ដោយ)។ វាមិនមែនជាការឥតប្រយោជន៍ទេដែលមនុស្សជាតិបានបង្កើតអ្នកគ្រប់គ្រង ត្រីវិស័យ ប្រដាប់ការពារ និងឧបករណ៍សាមញ្ញផ្សេងទៀតសម្រាប់គូរ។
ដោយហេតុផលនេះ យើងទំនងជាមិនអាចគូរពងក្រពើបានត្រឹមត្រូវទេ ដោយគ្រាន់តែដឹងតែចំនុចកំពូលប៉ុណ្ណោះ។ នៅតែត្រឹមត្រូវ ប្រសិនបើពងក្រពើតូច ឧទាហរណ៍ជាមួយ semiaxes ។ ម៉្យាងទៀតអ្នកអាចកាត់បន្ថយមាត្រដ្ឋាន ហើយតាមនោះ វិមាត្រនៃគំនូរ។ ប៉ុន្តែក្នុងករណីទូទៅវាជាការចង់ស្វែងរកចំណុចបន្ថែម។
មានវិធីសាស្រ្តពីរក្នុងការសាងសង់រាងពងក្រពើ - ធរណីមាត្រ និងពិជគណិត។ ខ្ញុំមិនចូលចិត្តការសាងសង់ដោយត្រីវិស័យ និងបន្ទាត់ទេ ដោយសារតែក្បួនដោះស្រាយខ្លី និងភាពច្របូកច្របល់នៃគំនូរ។ ក្នុងករណីមានអាសន្ន សូមយោងទៅសៀវភៅសិក្សា ប៉ុន្តែតាមពិត វាមានហេតុផលច្រើនជាងក្នុងការប្រើឧបករណ៍នៃពិជគណិត។ ពីសមីការពងក្រពើនៅលើសេចក្តីព្រាង យើងបង្ហាញយ៉ាងរហ័ស៖ 
បន្ទាប់មកសមីការត្រូវបានបែងចែកជាពីរមុខងារ៖ 
- កំណត់អ័ក្សខាងលើនៃរាងពងក្រពើ; 
- កំណត់ធ្នូខាងក្រោមនៃរាងពងក្រពើ។
ពងក្រពើដែលផ្តល់ដោយសមីការ Canonical គឺស៊ីមេទ្រីដោយគោរពតាមអ័ក្សកូអរដោនេ ក៏ដូចជាទាក់ទងនឹងប្រភពដើម។ ហើយនោះជាការល្អណាស់ - ស៊ីមេទ្រីគឺស្ទើរតែតែងតែជា harbinger នៃ freebie មួយ។ ជាក់ស្តែង វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការដោះស្រាយជាមួយនឹងត្រីមាសទី ១ ដូច្នេះយើងត្រូវការមុខងារមួយ។ 
. វាស្នើឱ្យស្វែងរកចំណុចបន្ថែមជាមួយ abscissas 
. យើងវាយសារ SMS ចំនួនបីនៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខ៖ 
ជាការពិតណាស់វាក៏គួរឱ្យរីករាយផងដែរដែលថាប្រសិនបើមានកំហុសធ្ងន់ធ្ងរត្រូវបានធ្វើឡើងនៅក្នុងការគណនានោះវានឹងច្បាស់ភ្លាមៗក្នុងអំឡុងពេលសាងសង់។
សម្គាល់ចំណុចនៅលើគំនូរ (ពណ៌ក្រហម) ចំណុចស៊ីមេទ្រីនៅលើធ្នូផ្សេងទៀត (ពណ៌ខៀវ) ហើយភ្ជាប់ក្រុមហ៊ុនទាំងមូលដោយប្រុងប្រយ័ត្នជាមួយបន្ទាត់មួយ: 
វាជាការល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីគូរគំនូរព្រាងដំបូងស្តើងនិងស្តើងហើយមានតែបន្ទាប់មកដាក់សម្ពាធលើខ្មៅដៃ។ លទ្ធផលគួរតែជារាងពងក្រពើសមរម្យ។ អញ្ចឹងតើអ្នកចង់ដឹងទេថា ខ្សែកោងនេះជាអ្វី?
និយមន័យនៃរាងពងក្រពើ។ foci រាងអេលីប និងភាពរាងអេលីប
ពងក្រពើគឺជាករណីពិសេសនៃរាងពងក្រពើ។ ពាក្យ "រាងពងក្រពើ" មិនគួរត្រូវបានយល់ក្នុងន័យ philistine ទេ ("កុមារគូររាងពងក្រពើ" ។ល។)។ នេះគឺជាពាក្យគណិតវិទ្យាដែលមានរូបមន្តលម្អិត។ គោលបំណងនៃមេរៀននេះគឺមិនមែនដើម្បីពិចារណាទ្រឹស្ដីនៃរាងពងក្រពើ និងប្រភេទផ្សេងៗរបស់ពួកគេ ដែលជាក់ស្តែងមិនត្រូវបានផ្តល់ការយកចិត្តទុកដាក់នៅក្នុងវគ្គសិក្សាស្តង់ដារនៃធរណីមាត្រវិភាគនោះទេ។ ហើយដោយអនុលោមតាមតម្រូវការបច្ចុប្បន្នបន្ថែមទៀត យើងចូលទៅកាន់និយមន័យដ៏តឹងរឹងនៃពងក្រពើ៖
ពងក្រពើ- នេះគឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះ ផលបូកនៃចម្ងាយទៅនីមួយៗ ដែលពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ ហៅថា ល្បិចរាងពងក្រពើ គឺជាតម្លៃថេរ ជាលេខស្មើនឹងប្រវែងនៃអ័ក្សសំខាន់នៃរាងពងក្រពើនេះ៖ .
ក្នុងករណីនេះចម្ងាយរវាង foci គឺតិចជាងតម្លៃនេះ៖ .
ឥឡូវនេះវានឹងកាន់តែច្បាស់៖ 
ស្រមៃថាចំណុចពណ៌ខៀវ "ជិះ" នៅលើរាងពងក្រពើ។ ដូច្នេះ មិនថាចំនុចណានៃពងក្រពើដែលយើងយកនោះទេ ផលបូកនៃប្រវែងនៃចម្រៀកនឹងតែងតែដូចគ្នា៖
ចូរប្រាកដថាក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង តម្លៃនៃផលបូកគឺពិតជាស្មើនឹងប្រាំបី។ ដាក់ចំណុច "em" ផ្លូវចិត្តនៅក្នុងចំនុចកំពូលខាងស្តាំនៃរាងពងក្រពើ បន្ទាប់មក៖ ដែលត្រូវបានទាមទារដើម្បីត្រួតពិនិត្យ។
វិធីមួយទៀតដើម្បីគូរពងក្រពើគឺផ្អែកលើនិយមន័យនៃរាងពងក្រពើ។ ជួនកាលគណិតវិទ្យាកាន់តែខ្ពស់គឺជាមូលហេតុនៃភាពតានតឹង និងភាពតានតឹង ដូច្នេះវាដល់ពេលដែលត្រូវមានវគ្គមួយទៀតនៃការមិនផ្ទុក។ សូមយកក្រដាសមួយសន្លឹក ឬក្រដាសកាតុងធំមួយ ហើយខ្ទាស់វានឹងក្រចកពីរ។ ទាំងនេះនឹងក្លាយជាល្បិច។ ចងខ្សែពណ៌បៃតងទៅនឹងក្បាលក្រចកដែលលេចចេញ ហើយទាញវាគ្រប់ផ្លូវដោយខ្មៅដៃ។ ករបស់ខ្មៅដៃនឹងមាននៅចំណុចខ្លះដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពងក្រពើ។ ឥឡូវនេះចាប់ផ្តើមណែនាំខ្មៅដៃឆ្លងកាត់សន្លឹកក្រដាសដោយរក្សាខ្សែស្រឡាយពណ៌បៃតងតឹង។ បន្តដំណើរការរហូតដល់អ្នកត្រលប់ទៅចំណុចចាប់ផ្តើមវិញ ... ល្អណាស់ ... គំនូរអាចត្រូវបានបញ្ជូនសម្រាប់ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយវេជ្ជបណ្ឌិតទៅគ្រូ =)
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកការផ្តោតអារម្មណ៍នៃរាងពងក្រពើ?
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ ខ្ញុំបានពណ៌នាចំណុចផ្តោតអារម្មណ៍ "រួចរាល់" ហើយឥឡូវនេះ យើងនឹងរៀនពីរបៀបដើម្បីស្រង់ពួកវាចេញពីជម្រៅនៃធរណីមាត្រ។
ប្រសិនបើពងក្រពើត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ Canonical នោះ foci របស់វាមានកូអរដោនេ 
, វានៅឯណា ចម្ងាយពី foci នីមួយៗទៅកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រីនៃពងក្រពើ.
ការគណនាគឺងាយស្រួលជាង turnips ចំហុយ៖ 
! ជាមួយនឹងអត្ថន័យ "ce" វាមិនអាចទៅរួចទេដើម្បីកំណត់កូអរដោនេជាក់លាក់នៃល្បិច!ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀត នេះគឺ ចម្ងាយពីចំណុចផ្តោតនីមួយៗទៅកណ្តាល(ដែលក្នុងករណីទូទៅមិនត្រូវមានទីតាំងពិតប្រាកដនៅដើមឡើយ)។
ដូច្នេះហើយ ចម្ងាយរវាង foci មិនអាចត្រូវបានចងទៅនឹងទីតាំង Canonical នៃរាងពងក្រពើនោះទេ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ពងក្រពើអាចត្រូវបានផ្លាស់ទីទៅកន្លែងផ្សេងទៀត ហើយតម្លៃនឹងនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ខណៈពេលដែល foci នឹងផ្លាស់ប្តូរកូអរដោនេរបស់វា។ សូមពិចារណា ពេលនេះក្នុងអំឡុងពេលសិក្សាបន្ថែមលើប្រធានបទ។
ភាពប្លែកនៃរាងពងក្រពើ និងអត្ថន័យធរណីមាត្ររបស់វា។
ភាពប្លែកនៃរាងពងក្រពើគឺជាសមាមាត្រដែលអាចយកតម្លៃនៅក្នុង .
ក្នុងករណីរបស់យើង៖
ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបដែលរូបរាងនៃពងក្រពើអាស្រ័យលើភាពប្លែករបស់វា។ សម្រាប់ការនេះ ជួសជុលបញ្ឈរខាងឆ្វេងនិងស្តាំនៃរាងពងក្រពើដែលកំពុងពិចារណា នោះគឺតម្លៃនៃអ័ក្សពាក់កណ្តាលសំខាន់នឹងនៅថេរ។ បន្ទាប់មករូបមន្ត eccentricity នឹងយកទម្រង់៖ .
ចូរចាប់ផ្តើមដើម្បីប៉ាន់ស្មានតម្លៃនៃ eccentricity ទៅជាឯកភាព។ នេះអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ . តើវាមានន័យយ៉ាងដូចម្តេច? ...ចងចាំល្បិច 
. នេះមានន័យថា foci នៃរាងពងក្រពើនឹង "បែកខ្ញែក" តាមអ័ក្ស abscissa ទៅផ្នែកខាងលើចំហៀង។ ហើយដោយសារតែ "ផ្នែកបៃតងមិនមែនជាកៅស៊ូ" នោះរាងពងក្រពើនឹងចាប់ផ្តើមសំប៉ែតដោយជៀសមិនរួច ប្រែទៅជាសាច់ក្រកស្តើង និងស្តើងជាងដែលជាប់នៅលើអ័ក្ស។
ដោយវិធីនេះ ភាពកាន់តែជិតនៃរាងពងក្រពើគឺទៅមួយ ពងក្រពើកាន់តែវែង.
ឥឡូវនេះ ចូរយើងក្លែងធ្វើដំណើរការផ្ទុយគ្នា៖ foci នៃរាងពងក្រពើ 
ដើរទៅរកគ្នាទៅជិតកណ្តាល។ នេះមានន័យថាតម្លៃនៃ "ce" កាន់តែតូចទៅៗ ហើយយោងទៅតាម eccentricity មាននិន្នាការទៅសូន្យ៖ .
ក្នុងករណីនេះ "ផ្នែកពណ៌បៃតង" ផ្ទុយទៅវិញ "ក្លាយជាមនុស្សច្រើន" ហើយពួកគេនឹងចាប់ផ្តើម "រុញ" បន្ទាត់រាងពងក្រពើឡើងលើចុះក្រោម។
ដោយវិធីនេះ តម្លៃ eccentricity កាន់តែជិតដល់សូន្យ ពងក្រពើកាន់តែមើលទៅ... សូមក្រឡេកមើលករណីកំណត់នៅពេលដែល foci ត្រូវបានបង្រួបបង្រួមដោយជោគជ័យនៅប្រភពដើម៖
រង្វង់គឺជាករណីពិសេសនៃរាងពងក្រពើ
ជាការពិតណាស់នៅក្នុងករណីនៃសមភាពនៃ semiaxes សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើយកទម្រង់ដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីការផ្លាស់ប្តូរទៅជាសមីការរង្វង់ល្បីពីសាលាដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅដើមនៃកាំ "a" ។
នៅក្នុងការអនុវត្ត ការសម្គាល់ដែលមានអក្សរ "និយាយ" "er" ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ជាង:. កាំត្រូវបានគេហៅថាប្រវែងនៃផ្នែកខណៈពេលដែលចំនុចនីមួយៗនៃរង្វង់ត្រូវបានដកចេញពីកណ្តាលដោយចម្ងាយនៃកាំ។
ចំណាំថានិយមន័យនៃរាងពងក្រពើនៅតែត្រឹមត្រូវទាំងស្រុង៖ foci ត្រូវគ្នា ហើយផលបូកនៃប្រវែងនៃផ្នែកដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ចំណុចនីមួយៗនៅលើរង្វង់គឺជាតម្លៃថេរ។ ចាប់តាំងពីចម្ងាយរវាង foci គឺ ភាពប្លែកនៃរង្វង់ណាមួយគឺសូន្យ.
រង្វង់មួយត្រូវបានសាងសង់យ៉ាងងាយស្រួល និងឆាប់រហ័ស វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបំពាក់ខ្លួនអ្នកជាមួយនឹងត្រីវិស័យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ពេលខ្លះវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុចមួយចំនួនរបស់វា ក្នុងករណីនេះយើងទៅតាមរបៀបដែលធ្លាប់ស្គាល់ - យើងនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ Matan ដ៏រីករាយ៖
គឺជាមុខងារនៃពាក់កណ្តាលរង្វង់ខាងលើ;
គឺជាមុខងារនៃពាក់កណ្តាលរង្វង់ទាប។
បន្ទាប់មកយើងរកឃើញតម្លៃដែលចង់បាន ខុសគ្នា, រួមបញ្ចូលនិងធ្វើអំពើល្អផ្សេងទៀត។
ជាការពិតណាស់ អត្ថបទនេះគឺសម្រាប់ជាឯកសារយោងតែប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែតើមនុស្សអាចរស់នៅដោយគ្មានស្នេហាក្នុងលោកដោយរបៀបណា? ភារកិច្ចច្នៃប្រឌិតសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ
ឧទាហរណ៍ ២
ចងក្រងសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ ប្រសិនបើ foci មួយរបស់វា និងអ័ក្សពាក់កណ្តាលអនីតិជនត្រូវបានគេស្គាល់ (ចំណុចកណ្តាលគឺនៅដើម)។ ស្វែងរកចំនុចកំពូល ចំនុចបន្ថែម និងគូសបន្ទាត់លើគំនូរ។ គណនាភាពចម្លែក។
ដំណោះស្រាយ និងគូរនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន
តោះបន្ថែមសកម្មភាព៖
បង្វិល និងបកប្រែពងក្រពើ
ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើវិញ ពោលគឺ ទៅកាន់លក្ខខណ្ឌ ដែលជា riddle ដែលត្រូវបានធ្វើទារុណកម្មចិត្តដែលចង់ដឹងចង់ឃើញ ចាប់តាំងពីការលើកឡើងដំបូងនៃខ្សែកោងនេះ។ នៅទីនេះយើងបានចាត់ទុកពងក្រពើ 
ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្តមិនអាចសមីការបានទេ។ 
? យ៉ាងណាមិញ នៅទីនេះ វាហាក់ដូចជាពងក្រពើផងដែរ!
សមីការបែបនេះគឺកម្រណាស់ ប៉ុន្តែវាកើតឡើង។ ហើយវាកំណត់ពងក្រពើ។ តោះកំចាត់អាថ៍កំបាំង៖ 
ជាលទ្ធផលនៃការសាងសង់ ពងក្រពើដើមរបស់យើងត្រូវបានទទួល បង្វិលដោយ 90 ដឺក្រេ។ នោះគឺ 
- នេះគឺជា ធាតុដែលមិនមែនជា Canonicalពងក្រពើ 
. កត់ត្រា!- សមីការ 
មិនបញ្ជាក់ពងក្រពើផ្សេងទៀតទេ ព្រោះគ្មានចំណុច (foci) នៅលើអ័ក្សដែលអាចបំពេញនិយមន័យនៃរាងពងក្រពើ។
រាងពងក្រពើគឺជាទីតាំងនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះ ផលបូកនៃចម្ងាយពីពួកវានីមួយៗទៅពីរចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ F_1 ហើយ F_2 គឺជាតម្លៃថេរ (2a) ធំជាងចម្ងាយ (2c) រវាងចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងនេះ (រូបភាពទី 2) ។ ៣.៣៦, ក). និយមន័យធរណីមាត្រនេះបង្ហាញ លក្ខណៈសំខាន់នៃរាងពងក្រពើ.
លក្ខណៈសំខាន់នៃរាងពងក្រពើ
ចំនុច F_1 និង F_2 ត្រូវបានគេហៅថា foci នៃរាងពងក្រពើ ចម្ងាយរវាងពួកវា 2c=F_1F_2 គឺជាប្រវែងប្រសព្វ ចំនុចកណ្តាល O នៃផ្នែក F_1F_2 គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃរាងពងក្រពើ លេខ 2a គឺជាប្រវែងនៃអ័ក្សសំខាន់នៃ ពងក្រពើ (រៀងគ្នាលេខ a គឺជាពាក់កណ្តាលសំខាន់នៃពងក្រពើ) ។ ចម្រៀក F_1M និង F_2M ដែលភ្ជាប់ចំណុចបំពាន M នៃរាងពងក្រពើជាមួយ foci របស់វាត្រូវបានគេហៅថា កាំប្រសព្វនៃចំនុច M ។ ចម្រៀកបន្ទាត់ដែលតភ្ជាប់ចំណុចពីរនៃរាងពងក្រពើត្រូវបានគេហៅថាអង្កត់ធ្នូនៃរាងពងក្រពើ។
សមាមាត្រ e=\frac(c)(a) ត្រូវបានគេហៅថា eccentricity នៃរាងពងក្រពើ។ តាមនិយមន័យ (2a>2c) វាធ្វើតាមថា 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
និយមន័យធរណីមាត្រនៃរាងពងក្រពើការបង្ហាញលក្ខណៈប្រសព្វរបស់វា ស្មើនឹងនិយមន័យវិភាគរបស់វា - បន្ទាត់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ៖
ពិតហើយ សូមណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ (រូបភាព 3.36, គ)។ ចំណុចកណ្តាល O នៃរាងពងក្រពើត្រូវបានគេយកជាប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ; បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ foci (អ័ក្សប្រសព្វឬអ័ក្សទីមួយនៃពងក្រពើ) យើងនឹងយកជាអ័ក្ស abscissa (ទិសដៅវិជ្ជមាននៅលើវាពីចំណុច F_1 ដល់ចំណុច F_2); បន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សប្រសព្វ និងឆ្លងកាត់កណ្តាលនៃរាងពងក្រពើ (អ័ក្សទីពីរនៃរាងពងក្រពើ) ត្រូវបានគេយកជាអ័ក្ស y (ទិសដៅនៅលើអ័ក្ស y ត្រូវបានជ្រើសរើស ដូច្នេះប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណកែងគឺត្រូវ )
ចូរយើងបង្កើតសមីការនៃរាងពងក្រពើដោយប្រើនិយមន័យធរណីមាត្ររបស់វា ដែលបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិប្រសព្វ។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានជ្រើសរើសយើងកំណត់កូអរដោនេនៃ foci F_1(-c,0),~F_2(c,0). សម្រាប់ចំណុចបំពាន M(x,y) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពងក្រពើ យើងមាន៖
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a។
ការសរសេរសមភាពនេះក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ យើងទទួលបាន៖
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a ។
យើងផ្ទេររ៉ាឌីកាល់ទីពីរទៅផ្នែកខាងស្តាំ ការ៉េទាំងសងខាងនៃសមីការ ហើយផ្តល់លក្ខខណ្ឌដូចជា៖
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx។
ចែកដោយ 4 យើងការ៉េទាំងសងខាងនៃសមីការ៖
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2)។
ការបញ្ជាក់ b=\sqrt(a^2-c^2)>0, យើងទទួលបាន b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. ដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ a^2b^2\ne0 យើងមកដល់សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ៖
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1។
ដូច្នេះប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលបានជ្រើសរើសគឺជា Canonical ។
ប្រសិនបើ foci នៃពងក្រពើស្របគ្នា នោះពងក្រពើគឺជារង្វង់មួយ (រូបភាព 3.36.6) ចាប់តាំងពី a=b ។ ក្នុងករណីនេះ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណណាមួយដែលមានប្រភពដើមនៅចំណុច O\equiv F_1\equiv F_2ហើយសមីការ x^2+y^2=a^2 គឺជាសមីការនៃរង្វង់ដែលមានកណ្តាល O និងកាំ a ។
តាមរយៈការវែកញែកថយក្រោយ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាចំណុចទាំងអស់ដែលសំរបសំរួលបំពេញសមីការ (3.49) ហើយមានតែពួកវាប៉ុណ្ណោះដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ទីតាំងនៃចំនុចដែលហៅថាពងក្រពើ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត និយមន័យវិភាគនៃរាងពងក្រពើគឺស្មើនឹងនិយមន័យធរណីមាត្ររបស់វា ដែលបង្ហាញពីលក្ខណៈប្រសព្វនៃរាងពងក្រពើ។
ទ្រព្យសម្បត្តិបញ្ជីនៃរាងពងក្រពើ
directrixes នៃ ellipse គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ពីរឆ្លងកាត់ស្របទៅនឹងអ័ក្សតម្រៀបនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Canonical នៅចម្ងាយដូចគ្នា \frac(a^2)(c) ពីវា។ សម្រាប់ c=0 នៅពេលដែលពងក្រពើជារង្វង់ នោះមិនមាន directrixes (យើងអាចសន្មត់ថា directrixes ត្រូវបានដកចេញដោយគ្មានកំណត់)។
រាងពងក្រពើ 0
ជាឧទាហរណ៍ សម្រាប់ការផ្តោតអារម្មណ៍ F_2 និង directrix d_2 (រូបភាព 3.37.6) លក្ខខណ្ឌ \frac(r_2)(\rho_2)=eអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់កូអរដោនេ៖
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
កម្ចាត់ភាពមិនសមហេតុផល និងការជំនួស e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2យើងមកដល់សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ (3.49)។ ហេតុផលស្រដៀងគ្នាអាចត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ការផ្តោត F_1 និង directrix d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
សមីការរាងពងក្រពើនៅក្នុងកូអរដោណេប៉ូល។
សមីការពងក្រពើនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូឡា F_1r\varphi (Fig.3.37,c និង 3.37(2)) មានទម្រង់
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
ដែល p=\frac(b^2)(a) គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វនៃពងក្រពើ។
តាមការពិត ចូរយើងជ្រើសរើសការផ្តោតអារម្មណ៍ខាងឆ្វេង F_1 នៃរាងពងក្រពើជាបង្គោលនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូឡា ហើយកាំរស្មី F_1F_2 ជាអ័ក្សប៉ូល (រូបភាព 3.37, គ)។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ចំណុចបំពាន M(r,\varphi) យោងតាមនិយមន័យធរណីមាត្រ (ទ្រព្យសម្បត្តិប្រសព្វ) នៃពងក្រពើ យើងមាន r+MF_2=2a ។ យើងបង្ហាញចម្ងាយរវាងចំណុច M(r,\varphi) និង F_2(2c,0) (សូមមើលចំណុចទី 2 នៃការកត់សម្គាល់ 2.8)៖
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot cos\varphi +4\cdot c^2)។\end(តម្រឹម)
ដូច្នេះ ក្នុងទម្រង់សំរបសំរួល សមីការនៃពងក្រពើ F_1M+F_2M=2a មានទម្រង់
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
យើងញែករ៉ាឌីកាល់ ការ៉េទាំងសងខាងនៃសមីការ ចែកនឹង 4 ហើយផ្តល់ពាក្យដូចជា៖
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot cos\varphi +4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2 ។
យើងបង្ហាញកាំប៉ូល r ហើយធ្វើការជំនួស e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃមេគុណនៅក្នុងសមីការពងក្រពើ
ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃរាងពងក្រពើ (សូមមើលរូប 3.37, ក) ជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ (ចំនុចកំពូលនៃ zllips) ។ ការជំនួស y=0 ទៅក្នុងសមីការ យើងរកឃើញចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្ស abscissa (ជាមួយអ័ក្សប្រសព្វ): x=\pm a . ដូច្នេះប្រវែងនៃផ្នែកនៃអ័ក្សប្រសព្វដែលរុំព័ទ្ធក្នុងរាងពងក្រពើគឺស្មើនឹង 2a ។ ផ្នែកនេះ ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ខាងលើ ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សសំខាន់នៃពងក្រពើ ហើយលេខ a គឺជាអ័ក្សពាក់កណ្តាលសំខាន់នៃពងក្រពើ។ ជំនួស x=0 យើងទទួលបាន y=\pm b ។ ដូច្នេះប្រវែងផ្នែកនៃអ័ក្សទីពីរនៃរាងពងក្រពើដែលរុំព័ទ្ធក្នុងរាងពងក្រពើគឺស្មើនឹង 2b ។ ផ្នែកនេះត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សតូចនៃរាងពងក្រពើ ហើយលេខ b ត្រូវបានគេហៅថា semiaxis តូចនៃរាងពងក្រពើ។
ពិតជា b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=aហើយសមភាព b=a ត្រូវបានទទួលតែក្នុងករណី c=0 នៅពេលដែលពងក្រពើជារង្វង់។ អាកប្បកិរិយា k=\frac(b)(a)\leqslant1ត្រូវបានគេហៅថាកត្តាកន្ត្រាក់នៃរាងពងក្រពើ។
សុន្ទរកថា 3.9
1. បន្ទាត់ x=\pm a,~y=\pm b កំណត់ចតុកោណកែងសំខាន់នៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ ដែលខាងក្នុងរាងពងក្រពើស្ថិតនៅ (មើលរូបភាព 3.37, a)។
2. ពងក្រពើអាចត្រូវបានកំណត់ថាជា ទីតាំងនៃចំណុចដែលទទួលបានដោយការចុះរង្វង់ទៅអង្កត់ផ្ចិតរបស់វា។
ជាការពិត អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Oxy សមីការរង្វង់មានទម្រង់ x^2+y^2=a^2 ។ នៅពេលបង្ហាប់ទៅអ័ក្ស x ដែលមានកត្តា 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) ការជំនួស x=x" និង y=\frac(1)(k)y" ទៅក្នុងសមីការនៃរង្វង់ យើងទទួលបានសមីការសម្រាប់កូអរដោនេនៃរូបភាព M"(x",y") នៃចំនុច M(x y)៖ (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} ចាប់តាំងពី b=k\cdot a ។ នេះគឺជាសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ។ 3. អ័ក្សកូអរដោនេ (នៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Canonical) គឺជាអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃរាងពងក្រពើ (ហៅថាអ័ក្សសំខាន់នៃពងក្រពើ) ហើយចំណុចកណ្តាលរបស់វាគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រី។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើចំនុច M(x,y) ជារបស់ពងក្រពើ។ បន្ទាប់មកចំនុច M"(x,-y) និង M""(-x,y) ស៊ីមេទ្រីដល់ចំនុច M ដោយគោរពតាមអ័ក្សកូអរដោនេ ក៏ជារបស់ពងក្រពើដូចគ្នាដែរ។ 4. ពីសមីការនៃពងក្រពើនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។ r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)។ \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. The eccentricity e កំណត់លក្ខណៈនៃរាងពងក្រពើ ពោលគឺភាពខុសគ្នារវាងរាងពងក្រពើ និងរង្វង់។ អ៊ីកាន់តែធំ ពងក្រពើកាន់តែវែង ហើយអ៊ីកាន់តែជិតដល់សូន្យ ពងក្រពើកាន់តែខិតទៅជិតរង្វង់ (រូបភាព 3.38, ក)។ ពិតប្រាកដណាស់ ដែលបានផ្តល់ឱ្យ e=\frac(c)(a) និង c^2=a^2-b^2 យើងទទួលបាន E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} ដែល k គឺជាកត្តាកន្ត្រាក់នៃពងក្រពើ 0 6. សមីការ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1សម្រាប់ ក
7. សមីការ \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bកំណត់រាងពងក្រពើនៅកណ្តាលចំណុច O "(x_0, y_0) ដែលអ័ក្សរបស់វាស្របនឹងអ័ក្សកូអរដោណេ (រូបទី 3.38, គ)។ សមីការនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា Canonical ដោយប្រើការបកប្រែស្រប (3.36)។ សម្រាប់ a=b=R សមីការ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2ពិពណ៌នាអំពីរង្វង់នៃកាំ R ដែលដាក់កណ្តាលនៅចំណុច O"(x_0,y_0) ។ សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃរាងពងក្រពើនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Canonical មានទម្រង់ \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
ជាការពិតណាស់ ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជាសមីការ (3.49) យើងទៅដល់អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន \cos^2t+\sin^2t=1 ។ ឧទាហរណ៍ 3.20 ។គូររាងពងក្រពើ \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Canonical Oxy ។ ស្វែងរក semiaxes, focal length, eccentricity, aspect ratio, focal parameter, directrix equations។ ដំណោះស្រាយ។ការប្រៀបធៀបសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយ canonical មួយ យើងកំណត់ semiaxes: a=2 - the major semiaxis, b=1 - the minor semiaxis of the ellipse. យើងបង្កើតចតុកោណកែងធំដែលមានជ្រុង 2a = 4, ~ 2b = 2 ផ្តោតលើប្រភពដើម (រូបភាព 3.39) ។ ដោយគិតពីស៊ីមេទ្រីនៃពងក្រពើ យើងដាក់វាទៅក្នុងចតុកោណកែងសំខាន់។ បើចាំបាច់យើងកំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចមួយចំនួននៃរាងពងក្រពើ។ ឧទាហរណ៍ ការជំនួស x=1 ទៅក្នុងសមីការពងក្រពើ យើងទទួលបាន \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2) ។ ដូច្នេះចំណុចជាមួយកូអរដោណេ \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពងក្រពើ។ គណនាសមាមាត្របង្ហាប់ k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ប្រវែងប្រសព្វ 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ភាពចម្លែក e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វ p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). យើងបង្កើតសមីការ directrix៖ x=\pm\frac(a^2)(c)~\leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). ១១.១. គំនិតជាមូលដ្ឋាន ពិចារណាបន្ទាត់ដែលបានកំណត់ដោយសមីការនៃដឺក្រេទីពីរទាក់ទងទៅនឹងកូអរដោនេបច្ចុប្បន្ន មេគុណនៃសមីការគឺជាចំនួនពិត ប៉ុន្តែយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមលេខ A, B, ឬ C គឺមិនមែនសូន្យទេ។ បន្ទាត់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់ (ខ្សែកោង) នៃលំដាប់ទីពីរ។ វានឹងត្រូវបានបង្កើតឡើងខាងក្រោមសមីការ (11.1) កំណត់រង្វង់ រាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ឬប៉ារ៉ាបូឡានៅក្នុងយន្តហោះ។ មុននឹងបន្តការអះអាងនេះ ចូរយើងសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃខ្សែកោងដែលបានរាប់បញ្ចូល។ ១១.២. រង្វង់ បន្ទាប់មកពីលក្ខខណ្ឌយើងទទួលបានសមីការ សមីការ (11.2) ពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយនៅលើរង្វង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហើយមិនពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើរង្វង់។ សមីការ (១១.២) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃរង្វង់ ជាពិសេស ការសន្មត់ និង , យើងទទួលបានសមីការនៃរង្វង់ដែលផ្តោតលើប្រភពដើម សមីការរង្វង់ (11.2) បន្ទាប់ពីការបំលែងសាមញ្ញនឹងយកទម្រង់។ នៅពេលប្រៀបធៀបសមីការនេះជាមួយនឹងសមីការទូទៅ (11.1) នៃខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរ វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាលក្ខខណ្ឌពីរគឺពេញចិត្តសម្រាប់សមីការនៃរង្វង់មួយ៖ 1) មេគុណនៅ x 2 និង y 2 គឺស្មើគ្នា។ 2) មិនមានសមាជិកដែលមានផលិតផល xy នៃកូអរដោនេបច្ចុប្បន្នទេ។ ចូរយើងពិចារណាបញ្ហាបញ្ច្រាស។ ដាក់ក្នុងសមីការ (១១.១) តម្លៃ ហើយយើងទទួលបាន ចូរយើងបំប្លែងសមីការនេះ៖ វាធ្វើតាមសមីការ (11.3) កំណត់រង្វង់ក្រោមលក្ខខណ្ឌ ប្រសិនបើ វាត្រូវបានពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចតែមួយ ប្រសិនបើ ក ១១.៣. ពងក្រពើ សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ ពងក្រពើ
គឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះ ផលបូកនៃចម្ងាយពីពួកវានីមួយៗទៅចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃយន្តហោះនេះ ហៅថា ល្បិច
, គឺជាតម្លៃថេរដែលធំជាងចម្ងាយរវាង foci ។ ដើម្បីទាញយកសមីការនៃរាងពងក្រពើ យើងជ្រើសរើសប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ដូច្នេះ foci F1និង F2ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស ហើយប្រភពដើមស្របគ្នានឹងចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក F 1 F ២. បន្ទាប់មក foci នឹងមានកូអរដោនេដូចខាងក្រោម: និង . សូមឱ្យជាចំណុចបំពាននៃរាងពងក្រពើ។ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមនិយមន័យនៃរាងពងក្រពើ i.e. តាមពិតនេះគឺជាសមីការនៃពងក្រពើ។ យើងបំប្លែងសមីការ (១១.៥) ទៅជាទម្រង់សាមញ្ញដូចខាងក្រោម៖ ដោយសារតែ ក>ជាមួយបន្ទាប់មក។ តោះដាក់ បន្ទាប់មកសមីការចុងក្រោយយកទម្រង់ ឬ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាសមីការ (11.7) គឺស្មើនឹងសមីការដើម។ វាត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ
. រាងពងក្រពើគឺជាខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរ។ សិក្សាពីរាងពងក្រពើតាមសមីការរបស់វា។ ចូរបង្កើតរូបរាងពងក្រពើដោយប្រើសមីការ Canonical របស់វា។ 1. សមីការ (11.7) មាន x និង y តែនៅក្នុងអំណាចគូ ដូច្នេះប្រសិនបើចំនុចមួយជារបស់ពងក្រពើ នោះចំនុច ,, ក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់វាផងដែរ។ វាធ្វើតាមថាពងក្រពើគឺស៊ីមេទ្រីដោយគោរពតាមអ័ក្ស និង ក៏ដូចជាទាក់ទងនឹងចំណុច ដែលត្រូវបានគេហៅថាកណ្តាលនៃពងក្រពើ។ 3. វាធ្វើតាមសមីការ (11.7) ដែលពាក្យនីមួយៗនៅខាងឆ្វេងដៃមិនលើសពីមួយ ពោលគឺឧ។ មានវិសមភាព និង ឬ និង។ ដូច្នេះចំនុចទាំងអស់នៃពងក្រពើស្ថិតនៅខាងក្នុងចតុកោណកែងដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់។ 4. នៅក្នុងសមីការ (11.7) ផលបូកនៃពាក្យមិនអវិជ្ជមាន និងស្មើនឹងមួយ។ អាស្រ័យហេតុនេះ នៅពេលដែលពាក្យមួយកើនឡើង មួយទៀតនឹងថយចុះ ពោលគឺប្រសិនបើវាកើនឡើង នោះវាថយចុះ ហើយផ្ទុយមកវិញ។ ពីអ្វីដែលបាននិយាយ វាដូចខាងក្រោមថាពងក្រពើមានរាងដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ 50 (ខ្សែកោងបិទរាងពងក្រពើ) ។ បន្ថែមទៀតអំពីពងក្រពើ រូបរាងនៃពងក្រពើអាស្រ័យលើសមាមាត្រ។ នៅពេលដែលពងក្រពើប្រែទៅជារង្វង់ សមីការពងក្រពើ (11.7) ទទួលបានទម្រង់។ ជាលក្ខណៈនៃរាងពងក្រពើ សមាមាត្រត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ជាង។ សមាមាត្រនៃចម្ងាយពាក់កណ្តាលរវាង foci ទៅអ័ក្សពាក់កណ្តាលសំខាន់នៃរាងពងក្រពើត្រូវបានគេហៅថា eccentricity នៃរាងពងក្រពើ ហើយ o6o ត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរ ε ("epsilon"): ជាមួយ 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу
(11.8) можно переписать в виде នេះបង្ហាញថា ភាពច្របូកច្របល់នៃរាងពងក្រពើកាន់តែតូច រាងពងក្រពើនឹងកាន់តែតូច។ ប្រសិនបើយើងដាក់ ε = 0 នោះពងក្រពើប្រែទៅជារង្វង់។ មានរូបមន្ត បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថា វាធ្វើតាមសមភាព (11.6) នោះ។ ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកសមីការ (11.7) កំណត់ពងក្រពើ អ័ក្សធំដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្ស Oy ហើយអ័ក្សតូចស្ថិតនៅលើអ័ក្ស Ox (សូមមើលរូប 52)។ foci នៃរាងពងក្រពើបែបនេះគឺនៅចំណុចនិង , កន្លែងណា ១១.៤. អ៊ីពែបូឡា សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា អ៊ីពែបូល។
សំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថា ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយពីចំនុចនីមួយៗទៅចំណុចពីរនៃយន្តហោះនេះ ហៅថា ល្បិច
ជាតម្លៃថេរ តូចជាងចម្ងាយរវាង foci ។ ដើម្បីទាញយកសមីការអ៊ីពែបូឡា យើងជ្រើសរើសប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ដូច្នេះ foci F1និង F2ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស ហើយប្រភពដើមស្របគ្នានឹងចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក F 1 F ២(សូមមើលរូប 53)។ បន្ទាប់មក foci នឹងមានកូអរដោនេនិង ទុកជាចំណុចបំពាននៃអ៊ីពែបូឡា។ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡា អ៊ីពែបូឡាគឺជាជួរនៃលំដាប់ទីពីរ។ ការស៊ើបអង្កេតលើទម្រង់នៃអ៊ីពែបូឡា យោងទៅតាមសមីការរបស់វា។ ចូរយើងបង្កើតរូបរាងរបស់អ៊ីពែបូឡា ដោយប្រើសមីការ caconic របស់វា។ 1. សមីការ (11.9) មាន x និង y ក្នុងអំណាចគូប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះអ៊ីពែបូឡាគឺស៊ីមេទ្រីដោយគោរពតាមអ័ក្ស និង ក៏ដូចជាទាក់ទងនឹងចំណុច ដែលត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីពែបូឡា។
2. ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡាដែលមានអ័ក្សកូអរដោនេ។ ការដាក់សមីការ (11.9) យើងរកឃើញចំនុចប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡាពីរជាមួយនឹងអ័ក្ស : និង . ការដាក់ (11.9) យើងទទួលបាន ដែលមិនអាចជា។ ដូច្នេះអ៊ីពែបូឡាមិនប្រសព្វអ័ក្ស y ទេ។ ចំណុចនិងត្រូវបានគេហៅថា
កំពូល
អ៊ីពែបូឡាស និងផ្នែក អ័ក្សពិត
, ផ្នែកបន្ទាត់ - semiaxis ពិតប្រាកដ
អ៊ីពែបូល ផ្នែកបន្ទាត់តភ្ជាប់ចំណុចត្រូវបានគេហៅថា
អ័ក្សស្រមៃ
, លេខ ខ - អ័ក្សស្រមៃ
. ចតុកោណជាមួយភាគី 2 កនិង 2 ខហៅ ចតុកោណកែងសំខាន់នៃអ៊ីពែបូឡា
. 3. វាធ្វើតាមសមីការ (11.9) ដែល minuend មិនតិចជាងមួយ ពោលគឺ ថា ឬ . នេះមានន័យថាចំនុចនៃអ៊ីពែបូឡាស្ថិតនៅខាងស្តាំបន្ទាត់ (សាខាខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូឡា) និងនៅខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់ (សាខាខាងឆ្វេងនៃអ៊ីពែបូឡា)។ 4. ពីសមីការ (11.9) នៃអ៊ីពែបូឡា គេអាចមើលឃើញថានៅពេលដែលវាកើនឡើង នោះវាក៏កើនឡើងផងដែរ។ នេះកើតឡើងពីការពិតដែលថាភាពខុសគ្នារក្សាតម្លៃថេរស្មើនឹងមួយ។ វាធ្វើតាមអ្វីដែលត្រូវបានគេនិយាយថាអ៊ីពែបូឡាមានរាងដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 54 (ខ្សែកោងដែលមានមែកធាងពីរដែលមិនមានព្រំដែន)។ រោគសញ្ញានៃអ៊ីពែបូឡា
បន្ទាត់ L ត្រូវបានគេហៅថា asymptote ចូរយើងបង្ហាញថាអ៊ីពែបូឡាមាន asymtotes ពីរ៖ ដោយសារបន្ទាត់ (11.11) និងអ៊ីពែបូឡា (11.9) គឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិចារណាតែចំណុចទាំងនោះនៃបន្ទាត់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញដែលមានទីតាំងនៅក្នុង quadrant ដំបូង។ យកបន្ទាត់ត្រង់ចំនុច N ដែលមាន abscissa x ដូចគ្នាជាចំនុចនៅលើអ៊ីពែបូឡា ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅពេលដែល x កើនឡើង ភាគបែងនៃប្រភាគកើនឡើង។ លេខភាគគឺជាតម្លៃថេរ។ ដូច្នេះប្រវែងនៃផ្នែក នៅពេលសាងសង់អ៊ីពែបូឡា (11.9) ជាដំបូងគួរតែសាងសង់ចតុកោណកែងសំខាន់នៃអ៊ីពែបូឡា (សូមមើលរូប 57) គូរបន្ទាត់កាត់តាមចំនុចកំពូលទល់មុខនៃចតុកោណកែងនេះ - អនាមិកនៃអ៊ីពែបូឡា ហើយសម្គាល់ចំណុចកំពូល និង អ៊ីពែបូឡា . សមីការនៃអ៊ីពែបូឡាសមមូល។ asymtotes ដែលជាអ័ក្សកូអរដោណេ asymtotes នៃអ៊ីពែបូឡាសមមូលមានសមីការ ហើយដូច្នេះគឺជាផ្នែកនៃមុំកូអរដោនេ។ ពិចារណាសមីការនៃអ៊ីពែបូឡានេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេថ្មី (សូមមើលរូប 58) ដែលទទួលបានពីចំណុចចាស់ដោយការបង្វិលអ័ក្សកូអរដោនេដោយមុំមួយ។ យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការបង្វិលអ័ក្សកូអរដោនេ៖ យើងជំនួសតម្លៃនៃ x និង y ក្នុងសមីការ (11.12)៖ សមីការនៃអ៊ីពែបូឡាសមមូល ដែលអ័ក្ស Ox និង Oy ជា asymptotes នឹងមានទម្រង់។ បន្ថែមទៀតអំពី hyperbole ភាពចម្លែក
អ៊ីពែបូឡា (១១.៩) គឺជាសមាមាត្រនៃចម្ងាយរវាង foci ទៅនឹងតម្លៃនៃអ័ក្សពិតនៃអ៊ីពែបូឡា ដែលតំណាងដោយε៖ ដោយសារអ៊ីពែបូឡា ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាគឺធំជាងមួយ៖ . Eccentricity កំណត់រូបរាងរបស់អ៊ីពែបូឡា។ ពិតប្រាកដណាស់ វាធ្វើតាមសមភាព (11.10) ពោលគឺឧ។ និង នេះបង្ហាញថា ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាកាន់តែតូច សមាមាត្រនៃពាក់កណ្តាលអ័ក្សរបស់វាកាន់តែតូច ដែលមានន័យថា ចតុកោណកែងសំខាន់របស់វាកាន់តែពង្រីក។ ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាសមមូលគឺ . ពិតជា កាំប្រសព្វ បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថា directrixes នៃអ៊ីពែបូឡា។ ចាប់តាំងពីសម្រាប់អ៊ីពែបូឡា ε > 1 បន្ទាប់មក . នេះមានន័យថា directrix ខាងស្តាំស្ថិតនៅចន្លោះកណ្តាល និង vertex ខាងស្តាំនៃ hyperbola នោះ directrix ខាងឆ្វេងស្ថិតនៅចន្លោះកណ្តាល និង vertex ខាងឆ្វេង។ directrixes នៃ hyperbola មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នាទៅនឹង directrixes នៃ ellipse មួយ។ ខ្សែកោងដែលកំណត់ដោយសមីការក៏ជាអ៊ីពែបូឡាដែរ អ័ក្សពិត 2b ដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្សអូយ និងអ័ក្សស្រមើស្រមៃ 2 ក- នៅលើអ័ក្សអុក។ នៅក្នុងរូបភាពទី 59 វាត្រូវបានបង្ហាញជាបន្ទាត់ចំនុច។ ជាក់ស្តែង អ៊ីពែបូឡាស និងមាន asymtotes ទូទៅ។ អ៊ីពែបូឡាសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា conjugate ។ ១១.៥. ប៉ារ៉ាបូឡា សមីការប៉ារ៉ាបូឡា Canonical ប៉ារ៉ាបូឡាគឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៅក្នុងយន្តហោះ ដែលនីមួយៗស្ថិតនៅចម្ងាយស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហៅថាការផ្តោតអារម្មណ៍ និងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហៅថា directrix ។ ចម្ងាយពីការផ្តោតអារម្មណ៍ F ទៅ directrix ត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃ parabola និងត្រូវបានតំណាងដោយ p (p> 0) ។ 1. នៅក្នុងសមីការ (11.13) អថេរ y ត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងដឺក្រេគូ ដែលមានន័យថា ប៉ារ៉ាបូឡាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សអុក។ អ័ក្ស x គឺជាអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃប៉ារ៉ាបូឡា។ 2. ចាប់តាំងពី ρ > 0 វាធ្វើតាមពី (11.13) នោះ។ ដូច្នេះប៉ារ៉ាបូឡាមានទីតាំងនៅខាងស្តាំអ័ក្ស y ។ 3. នៅពេលដែលយើងមាន y \u003d 0. ដូច្នេះ ប៉ារ៉ាបូឡាឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។ 4. ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់ក្នុង x ម៉ូឌុល y ក៏កើនឡើងដោយគ្មានកំណត់។ ប៉ារ៉ាបូឡាមានទម្រង់ (រាង) ដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី ៦១។ ចំនុច O (0; 0) ត្រូវបានគេហៅថា vertex នៃ parabola, ផ្នែក FM \u003d r ត្រូវបានគេហៅថា កាំប្រសព្វនៃចំនុច M. សមីការ , , ( p>0) ក៏កំណត់ប៉ារ៉ាបូឡាផងដែរ ពួកវាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាព 62 វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាក្រាហ្វនៃត្រីកោណការ៉េដែល , B និង C គឺជាចំនួនពិតណាមួយ គឺជាប៉ារ៉ាបូឡាក្នុងន័យនៃនិយមន័យរបស់វាខាងលើ។ ១១.៦. សមីការទូទៅនៃលំដាប់ទីពីរ សមីការនៃខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរដែលមានអ័ក្សស៊ីមេទ្រីស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ ទីមួយ ចូរយើងស្វែងរកសមីការនៃពងក្រពើដែលដាក់កណ្តាលនៅចំណុចដែលអ័ក្សស៊ីមេទ្រីគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ Ox និង Oy ហើយ semiaxes រៀងគ្នាស្មើនឹង កនិង ខ. ចូរយើងដាក់នៅចំកណ្តាលនៃពងក្រពើ O 1 ដែលជាប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេថ្មី ដែលអ័ក្ស និងពាក់កណ្តាលអ័ក្ស កនិង ខ(សូមមើលរូប ៦៤)៖ ហើយចុងក្រោយ ប៉ារ៉ាបូឡាដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 65 មានសមីការដែលត្រូវគ្នា។ សមីការ សមីការនៃរាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា និងសមីការនៃរង្វង់មួយបន្ទាប់ពីការបំប្លែង (តង្កៀបបើក ផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃសមីការក្នុងទិសដៅមួយ នាំមកនូវពាក្យដូច ណែនាំសញ្ញាណថ្មីសម្រាប់មេគុណ) អាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើសមីការតែមួយនៃ ទំរង់ ដែលមេគុណ A និង C មិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។ សំណួរកើតឡើង៖ តើសមីការនៃទម្រង់ (11.14) កំណត់ខ្សែកោងណាមួយ (រង្វង់ រាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា) នៃលំដាប់ទីពីរទេ? ចម្លើយត្រូវបានផ្តល់ដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។ ទ្រឹស្តីបទ ១១.២. សមីការ (១១.១៤) តែងតែកំណត់៖ រង្វង់មួយ (សម្រាប់ A = C) ឬរាងពងក្រពើ (សម្រាប់ A C> 0) ឬអ៊ីពែបូឡា (សម្រាប់ A C< 0), либо
параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности)
- в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся
прямых, для параболы - в пару параллельных прямых. សមីការទូទៅនៃលំដាប់ទីពីរ ឥឡូវនេះ សូមពិចារណាសមីការទូទៅនៃសញ្ញាប័ត្រទីពីរដែលមានពីរមិនស្គាល់៖ វាខុសគ្នាពីសមីការ (11.14) ដោយវត្តមាននៃពាក្យជាមួយនឹងផលគុណនៃកូអរដោណេ (B¹ 0)។ វាអាចទៅរួចដោយការបង្វិលអ័ក្សកូអរដោណេដោយមុំ a ដើម្បីបំប្លែងសមីការនេះ ដូច្នេះពាក្យដែលមានផលិតផលនៃកូអរដោណេគឺអវត្តមាននៅក្នុងវា។ ការប្រើប្រាស់រូបមន្តសម្រាប់បង្វិលអ័ក្ស ចូរបង្ហាញពីកូអរដោណេចាស់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃថ្មី: យើងជ្រើសរើសមុំ a ដើម្បីឱ្យមេគុណនៅ x "y" បាត់ ពោលគឺ ដូច្នេះសមភាព ដូច្នេះនៅពេលដែលអ័ក្សត្រូវបានបង្វិលតាមមុំមួយ ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ (11.17) សមីការ (11.15) កាត់បន្ថយទៅជាសមីការ (11.14)។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ សមីការទូទៅនៃលំដាប់ទីពីរ (11.15) កំណត់នៅលើយន្តហោះ (លើកលែងតែករណីនៃការ degeneration និង decay) ខ្សែកោងខាងក្រោម៖ រង្វង់ ពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា។ ចំណាំ៖ ប្រសិនបើ A = C នោះសមីការ (11.17) បាត់បង់អត្ថន័យរបស់វា។ ក្នុងករណីនេះ cos2α = 0 (សូមមើល (11.16)) បន្ទាប់មក 2α = 90° ពោលគឺ α = 45°។ ដូច្នេះនៅ A = C ប្រព័ន្ធកូអរដោនេគួរតែត្រូវបានបង្វិលដោយ 45 °។សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃរាងពងក្រពើ
ការគ្រប់គ្រង ActiveX ត្រូវតែបើក ដើម្បីធ្វើការគណនា!
ខ្សែកោងសាមញ្ញបំផុតនៃលំដាប់ទីពីរគឺរង្វង់។ សូមចាំថារង្វង់នៃកាំ R ដែលដាក់ចំកណ្តាលចំណុចគឺជាសំណុំនៃចំនុចទាំងអស់Μនៃយន្តហោះដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ។ អនុញ្ញាតឱ្យចំណុចមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណមានកូអរដោនេ x 0, y 0 a - ចំណុចបំពាននៃរង្វង់ (សូមមើលរូបភាពទី 48) ។
(11.2)
.
(11.4)
. ចំណុចកណ្តាលរបស់វាស្ថិតនៅត្រង់ចំណុច 
, និងកាំ
.
បន្ទាប់មកសមីការ (១១.៣) មានទម្រង់
.
. ក្នុងករណីនេះពួកគេនិយាយថា "រង្វង់បានធ្លាក់ចុះទៅជាចំណុចមួយ" (មានកាំសូន្យ) ។
បន្ទាប់មកសមីការ (11.4) ហើយដូច្នេះសមីការសមមូល (11.3) នឹងមិនកំណត់បន្ទាត់ណាមួយទេ ដោយសារផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (11.4) គឺអវិជ្ជមាន ហើយផ្នែកខាងឆ្វេងមិនអវិជ្ជមាន (និយាយថា "រង្វង់ស្រមើលស្រមៃ")។
សម្គាល់ foci ដោយ F1និង F2, ចម្ងាយរវាងពួកវាក្នុង 2 គនិងផលបូកនៃចម្ងាយពីចំណុចបំពាននៃពងក្រពើទៅ foci - ដល់ 2 ក(សូមមើលរូប 49)។ តាមនិយមន័យ ២ ក > 2គ, i.e. ក
> គ.
(11.6)
(11.7)
2. រកចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។ ការដាក់ យើងរកឃើញចំណុចពីរ ហើយដែលអ័ក្សកាត់កែងពងក្រពើ (សូមមើលរូប 50)។ ដាក់ក្នុងសមីការ (១១.៧) យើងរកឃើញចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្ស៖ និង . ពិន្ទុ ក 1 ,
ក២ , ខ១, ខ២ហៅ ចំនុចកំពូលនៃរាងពងក្រពើ. ចម្រៀក ក 1 ក២និង B1 B2ក៏ដូចជាប្រវែងរបស់ពួកគេ ២ កនិង ២ ខត្រូវបានគេហៅថារៀងៗខ្លួន អ័ក្សធំនិងតូចពងក្រពើ។ លេខ កនិង ខត្រូវបានគេហៅថាធំនិងតូចរៀងគ្នា។ អ័ក្សអ័ក្សពងក្រពើ។
អនុញ្ញាតឱ្យ M(x; y) ជាចំណុចបំពាននៃរាងពងក្រពើជាមួយ foci F 1 និង F 2 (សូមមើលរូបភាព 51) ។ ប្រវែងនៃផ្នែក F 1 M = r 1 និង F 2 M = r 2 ត្រូវបានគេហៅថាកាំប្រសព្វនៃចំនុច M ។ ជាក់ស្តែង
ទ្រឹស្តីបទ ១១.១.ប្រសិនបើចម្ងាយពីចំណុចបំពាននៃពងក្រពើទៅការផ្តោតអារម្មណ៍មួយចំនួន d គឺជាចម្ងាយពីចំណុចដូចគ្នាទៅ directrix ដែលត្រូវគ្នានឹងការផ្តោតអារម្មណ៍នេះ នោះសមាមាត្រគឺជាតម្លៃថេរស្មើនឹង eccentricity នៃរាងពងក្រពើ៖
.
សម្គាល់ foci ដោយ F1និង F2ចម្ងាយរវាងពួកគេឆ្លងកាត់ 2 វិនិងម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយពីចំណុចនីមួយៗនៃអ៊ីពែបូឡាទៅ foci តាមរយៈ 2 ក. តាមនិយមន័យ 2 ក < 2 វិ, i.e. ក < គ.
ឬ ឧ. បន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ ដូចដែលបានធ្វើនៅពេលដែលទទួលបានសមីការពងក្រពើ យើងទទួលបាន
សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា
(11.9)
(11.10)
នៃខ្សែកោងគ្មានដែនកំណត់ K ប្រសិនបើចម្ងាយ d ពីចំណុច M នៃខ្សែកោង K ទៅបន្ទាត់នេះមានទំនោរទៅសូន្យ ដោយសារចំនុច M ផ្លាស់ទីតាមខ្សែកោង K ដោយមិនកំណត់ពីប្រភពដើម។ រូបភាពទី 55 បង្ហាញពីគំនិតនៃ asymptote មួយ៖ បន្ទាត់ L គឺជា asymptote សម្រាប់ខ្សែកោង K ។
(11.11)
(សូមមើលរូបទី 56) ហើយស្វែងរកភាពខុសគ្នា ΜN រវាងការចាត់តាំងនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងសាខានៃអ៊ីពែបូឡា៖
ΜN ទំនោរទៅសូន្យ។ ដោយសារ ΜN ធំជាងចំងាយ d ពីចំនុចΜ ទៅបន្ទាត់ នោះ d កាន់តែមានទំនោរទៅសូន្យ។ ដូច្នេះ បន្ទាត់គឺជារោគសញ្ញានៃអ៊ីពែបូឡា (១១.៩)។
Hyperbola (11.9) ត្រូវបានគេហៅថា equilateral ប្រសិនបើ semiaxes របស់វាស្មើគ្នា () ។ សមីការ Canonical របស់វា។
(11.12)
.
និង 
សម្រាប់ចំនុចនៃសាខាខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូឡាមានទម្រង់ និង និងសម្រាប់ខាងឆ្វេង - 
និង 
.
ដើម្បីទទួលបានសមីការប៉ារ៉ាបូឡា យើងជ្រើសរើសប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Oxy ដើម្បីឱ្យអ័ក្ស Oxy ឆ្លងកាត់ការផ្តោត F កាត់កែងទៅ directrix ក្នុងទិសដៅពី directrix ទៅ F ហើយប្រភពដើម O ស្ថិតនៅចំកណ្តាលរវាងចំនុចផ្តោត និង directrix (សូមមើលរូប 60)។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលបានជ្រើសរើស ការផ្តោត F មានកូអរដោនេ ហើយសមីការ directrix មានទម្រង់ ឬ .
