Darba avots: Risinājums 4954. Vienotais valsts eksāmens 2016 Matemātika, I.V. Jaščenko. 36 iespējas. Atbilde.

19. uzdevums. Sauksim naturālu skaitli par palindromu, ja tā decimālajā apzīmējumā visi cipari ir sakārtoti simetriski (pirmais un pēdējais cipars ir vienādi, otrais un priekšpēdējais utt.). Piemēram, skaitļi 121 un 953359 ir palindromi, bet skaitļi 10 un 953953 nav palindromi.

a) Dodiet piemēru palindromiskam skaitlim, kas dalās ar 45.

b) Cik piecciparu palindromisku skaitļu ir, kas dalās ar 45?

c) Atrodi desmito lielāko palindromu, kas dalās ar 45.

Risinājums.

a) Vienkāršākais variants būtu palindromiskais skaitlis 5445, kas dalās ar 45.

Atbilde: 5445.

b) Sadalīsim skaitli 45 pirmfaktoros, iegūstam

tas ir, skaitlim ir jādalās gan ar 5, gan ar 9. Pazīme, ka skaitlis dalās ar 5, ir skaitļa 5 klātbūtne skaitļa beigās (skaitli 0 mēs neņemam vērā, jo tas nav piemērots). Mēs iegūstam palindromisku skaitli formā 5aba5, kur a, b ir skaitļa cipari. Pazīme, ka skaitlis dalās ar 9, ir ciparu summa

jādalās ar 9. No šī nosacījuma mums ir:

Ja b=0: ;

Ja b=1: ;

Ja b=2: ;

Ja b=3: ;

Ja b=5: ;

Ja b=6: ;

Ja b=7: ;

Prezentācijas apraksts pa atsevišķiem slaidiem:

1 slaids

Slaida apraksts:

Kas ir palindroms? Darbu veica matemātikas skolotāja Gaļina Vladimirovna Prihodko

2 slaids

Slaida apraksts:

Problēma Autobraucējs paskatījās uz savas automašīnas skaitītāju un ieraudzīja simetrisku skaitli (palindromu) 15951 km (lasiet to pašu no kreisās puses uz labo vai otrādi). Viņš domāja, ka, visticamāk, cits simetrisks skaitlis drīz neparādīsies. Tomēr pēc 2 stundām viņš atklāja jaunu simetrisku skaitli. Ar kādu nemainīgu ātrumu šo divu stundu laikā brauca autobraucējs? Risinājums: nākamais simetriskais skaitlis ir 16061. Atšķirība ir 16061 - 15951 = 110 km. Ja dalāt 110 km ar 2 stundām, iegūstat ātrumu 55 km/h. Atbilde: 55 km/h

3 slaids

Slaida apraksts:

Vienotā valsts eksāmena uzdevums a) Sniedziet piemēru palindromam skaitlim, kas dalās ar 15. b) Cik ir piecciparu palindromu skaitļu, kas dalās ar 15? c) Atrodi 37. lielāko palindromisko skaitli, kas dalās ar 15. Atbildes: a) 5115; b) 33; c) 59295

4 slaids

Slaida apraksts:

Ko nozīmē “palindroms”? Vārds palindroms cēlies no grieķu vārda palindromos, kas nozīmē “atkal skrien atpakaļ”. Palindromi var būt ne tikai skaitļi, bet arī vārdi, teikumi un pat teksti.

5 slaids

Slaida apraksts:

Matemātikā skaitļus - palindromus lasa vienādi gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso. Piemēri ir visi viencipara skaitļi, divciparu skaitļi formā αα, piemēram, 11 un 99, trīsciparu skaitļi formā αβα, piemēram, 535 utt. Turklāt visi divciparu skaitļi dod palindromus (lielākajam soļu skaitam - 24 - nepieciešami skaitļi 89 un 98). Bet vai skaitlis 196 dod palindromu, vēl nav zināms. Skaitliski palindromi 676 (mazākais palindroma skaitlis, kas ir nepalindroma kvadrāts, ir 26). 121 (mazākais palindroma skaitlis, kas ir palindroma kvadrāts, ir 11).

6 slaids

Slaida apraksts:

Superpalindroms Dažas palindromiskas frāzes un frāzes mums ir zināmas kopš seniem laikiem. Tad viņiem bieži tika piešķirta maģiska nozīme. Pie maģiskajiem palindromiem pieder arī maģiski kvadrāti, piemēram, SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (tulkojumā “Arepo sējējs diez vai var noturēt savus riteņus”).

7 slaids

Slaida apraksts:

Pašlaik palindromam nav nekādu maģisku spēku, un tā ir vienkārša vārdu spēle, kas ļauj nedaudz izmantot savas smadzenes. Lielākā daļa palindromu ir samērā sakarīgs vārdu kopums, taču ir arī interesantas neatņemamas un saprotamas frāzes, piemēram, "Bet neredzamais Erceņģelis apgūlās templī un bija brīnišķīgs." Ja runājam par palindromiskiem vārdiem, par garāko vārdu pasaulē tiek uzskatīts “SAIPPUAKIVIKAUPPIAS”, kas tulkojumā no somu valodas nozīmē “ziepju pārdevējs”.

8 slaids

Slaida apraksts:

Uzdevums: noskaidrot, cik bieži starp pirmskaitļiem sastopami simetriski skaitļi. Skaitļiem, kas ir mazāki par 1000, to ir viegli noskaidrot no pirmskaitļu tabulas. Starp vienkāršajiem divciparu skaitļiem ir tikai viens simetrisks skaitlis - 11. Tad mēs atradām: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 797, 919, 929.

9. slaids

Slaida apraksts:

Pierādījums Četrciparu skaitļu vidū nav simetrisku pirmskaitļu. Pierādīsim to. Četrciparu simetriskam skaitlim ir forma abba. Saskaņā ar dalāmības ar 11 kritēriju starpība starp skaitļu summu nepāra vietās un skaitļu summu nepāra vietās: (a + b) - (b + a) = 0. Tas nozīmē, ka visi četrciparu simetriskie skaitļi dalās ar 11, t.i., saliktie. Tāpat var pierādīt, ka starp visiem 2n ciparu simetriskiem skaitļiem nebūs pirmskaitļu.

10 slaids

Slaida apraksts:

Līdz 100 ir 25 pirmskaitļi, starp tiem viens ir simetrisks, kas ir 4%. Līdz 1000 pirmskaitļiem kļūst par 168. Simetriskiem skaitļiem - 16. Tas ir aptuveni 9,5%. Līdz 10000 simetrisko skaitļu skaits nemainās. Līdz 1000000 - 78498 pirmskaitļiem. Tagad ir 109 simetriski skaitļi. Tas ir aptuveni 0,13%. Skaidrs, ka simetrisko skaitļu procentuālais daudzums samazinās, taču nebūs nemaz neiespējami teikt, ka starp ļoti lieliem skaitļiem pirmskaitļi ir simetriski.

11 slaids

Slaida apraksts:

Man ir ideja.Ciparu palindromi var būt citu rakstzīmju darbību rezultāts. Mārtins Gārdners, grāmatas “Ideja ir!” autors, būdams diezgan pazīstams zinātnes popularizētājs, izvirza noteiktu hipotēzi. Ja ņemat naturālu skaitli (jebkuru) un pievienojat tam tā apgriezto (kas sastāv no tiem pašiem skaitļiem, bet apgrieztā secībā), tad atkārtojiet darbību, bet ar iegūto summu, tad vienā no soļiem jūs iegūsit palindromu. . Dažos gadījumos pietiek vienreiz veikt pievienošanu: 213 + 312 = 525. Bet parasti ir nepieciešamas vismaz divas darbības. Tā, piemēram, ja ņemam skaitli 96, tad, veicot secīgu saskaitīšanu, palindromu var iegūt tikai ceturtajā līmenī: 96 + 69 = 165 165 + 651 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 hipotēzes būtība ir tāda, ka, veicot jebkuru skaitu, pēc noteikta darbību skaita jūs noteikti iegūsit palindromu. Piemērus var atrast ne tikai papildus, bet arī kāpināšanā, sakņu ieguvē un citās darbībās.

12 slaids

Slaida apraksts:

1. piemērs Paņemsim skaitli 619 Nolasīsim to 1 soli no labās puses uz kreiso 916 Saskaitīsim divus skaitļus 1535 “apgriezt” 5351 2. solis Saskaitīsim 6886 Skaitlis 6886 ir palindroms. Turklāt tas tika iegūts tikai 2 soļos. Lasot to no labās puses uz kreiso vai no kreisās uz labo, mēs iegūstam to pašu numuru.

13. slaids

Slaida apraksts:

2. piemērs Paņemsim skaitļa 95 1 soli. 1. darbība “Apgriezīsim” 59 Pievienojiet to 154 2. darbība. “Apgriezīsim” 451 2. solis Pievienosim 605 3. solis “Apgriezīsim” 506 3. solis Pievienosim 1111 Skaitlis 1111 ir palindroms.

14. slaids

Slaida apraksts:

Pinokio Jūs visi droši vien atceraties grāmatu par Pinokio piedzīvojumiem. Vai atceries, cik stingri Malvīne viņam iemācīja rakstīt? Viņa lika viņam pierakstīt šādu frāzi: UN ROZE NOkrita UZ AZORA ķepas - tas ir vēl viens palindroms.

15 slaids

Slaida apraksts:

Palindromi literatūrā VIRS SPIEŽA BAKLAŽĀNU,TU,SAŠA,ESI PILNĪGA,UZ PIERES,BOOM ARGENTINĀNA KĻŪST PAR NEGRU BET TU ESI TIEVS,KĀ TONA NOTIS,ADA MEDNIEKS UN PŪTĪBA

16 slaids

Slaida apraksts:

Vārdi-palindromi ŠALAŠS, NAGANS, KAZAKS, KOK, TOPOT, ROTORS, KABAC, PULP, VECTĒVS, RADARS

17. slaids

Slaida apraksts:

Palindromiskas frāzes RITES APSTĀJĀS, ES NEESMU BRĀLIS SEŅJA ES ĒDU ČŪSKU UN SUNS BOSA ARGENTĪNA BEKS NEGRU MEKLĒT TAKSI NOVĒRTĒ NEGRO ARGENTĪNIETE LIOŠA ATRADA KĻŪDU Plauktā

18 slaids

Slaida apraksts:

Palindromi svešvalodās “Madam, I’m Adam” - vīrieša iepazīstināšana ar dāmu (Madam, I’m Adam). Uz to kundze var pieticīgi atbildēt ar “pārslēdzēju”: “Ieva” (Ieva). Ne tikai teikumi vai burtu kopas ir simetriski. Race fast, safe car (Race fast, safe car) Vai tu redzi Dievu? (Vai zosis redz Dievu?) Nekad nepāra vai pāra (Nekad nepāra vai pāra) Nepamāj (Nepamāj) Dogma: Es esmu Dievs (Dogma: Es esmu Dievs) Kundze, Ēdenē es esmu Ādams (Madam, paradīzē) Es esmu Ādams) Ak, sātans redz Natašu (Ak, sātans redz Natašu) Dievs redzēja, ka esmu suns (Dievs redzēja, ka esmu suns) Es dodu priekšroku Pi (es dodu priekšroku π) Pārāk karsts, lai bļautu (Pārāk karsts, lai bļautu) )

19. slaids

Slaida apraksts:

Palindromi-dzejoļi Reti kad turu ar roku izsmēķi... Sēžu te nopietni, nikni radot klusumā, vienreiz pasmēšos, reiz iesmešos - Jā, priecājos ! To var izlasīt no sākuma vai beigām.

20 slaids

Slaida apraksts:

Mūzikā palindromiskie skaņdarbi tiek atskaņoti “kā parasti” saskaņā ar noteikumiem. Kad gabals ir pabeigts, notis tiek apgrieztas. Tad skaņdarbs tiek atskaņots vēlreiz, bet melodija nemainīsies. Var būt jebkāds atkārtojumu skaits, taču nav zināms, kas ir apakšā un kas ir augšā. Šos mūzikas skaņdarbus var atskaņot divi cilvēki, vienlaikus lasot notis abās pusēs. Šādu palindromisku darbu piemēri ietver Mošelsa sacerēto The Way of the World un Mocarta komponēto Table Tune for Two.

Formulēšana. Tiek dots četrciparu skaitlis. Pārbaudiet, vai tas ir palindroms. Piezīme. Palindroms ir skaitlis, vārds vai teksts, kas skan vienādi no kreisās uz labo un no labās uz kreiso. Piemēram, mūsu gadījumā tie ir skaitļi 1441, 5555, 7117 utt.

Citu patvaļīgu decimāldaļu palindromisko skaitļu piemēri, kas nav saistīti ar risināmo problēmu: 3, 787, 11, 91519 utt.

Risinājums. Lai ievadītu numuru no tastatūras, mēs izmantosim mainīgo n. Ievadītais skaitlis pieder naturālo skaitļu kopai un ir četrciparu, tātad acīmredzami ir lielāks par 255, tāpēc tips baits nav piemērots, lai mēs to aprakstītu. Tad mēs izmantosim veidu vārdu.

Kādas īpašības piemīt palindromiskajiem skaitļiem? No iepriekš minētajiem piemēriem ir viegli saprast, ka, pateicoties to identiskajai “lasāmībai” abās pusēs, pirmais un pēdējais cipars, otrais un priekšpēdējais utt., tajos līdz vidum ir vienādi. Turklāt, ja skaitlim ir nepāra ciparu skaits, tad pārbaudot vidējo ciparu var ignorēt, jo, izpildot iepriekšminēto noteikumu, skaitlis ir palindroms neatkarīgi no tā vērtības.

Mūsu problēmā viss ir pat nedaudz vienkāršāk, jo ievade ir četrciparu skaitlis. Tas nozīmē, ka, lai atrisinātu problēmu, mums jāsalīdzina tikai skaitļa 1. cipars ar 4. un 2. cipars ar 3. Ja abas šīs vienādības ir patiesas, tad skaitlis ir palindroms. Atliek vien iegūt atbilstošos skaitļa ciparus atsevišķos mainīgajos un pēc tam, izmantojot nosacījumu operatoru, pārbaudīt abu vienādību izpildi, izmantojot Būla (loģisko) izteiksmi.

Tomēr jums nevajadzētu steigties ar lēmuma pieņemšanu. Varbūt mēs varam vienkāršot iegūto shēmu? Ņemiet, piemēram, jau iepriekš minēto skaitli 1441. Kas notiek, ja mēs to sadalīsim divos divciparu skaitļos, no kuriem pirmais satur oriģināla tūkstoš un simtu vietu, bet otrais - desmitus un vienības vietu no oriģināla. Mēs iegūstam skaitļus 14 un 41. Tagad, ja otro skaitli aizstāj ar tā apgriezto apzīmējumu (mēs to izdarījām 5. uzdevums), tad iegūstam divus vienādus skaitļus 14 un 14! Šī transformācija ir diezgan acīmredzama, jo palindroms tiek nolasīts vienādi abos virzienos, tas sastāv no skaitļu kombinācijas, kas atkārtojas divas reizes, un viena no kopijām tiek vienkārši pagriezta atpakaļ.

No tā izriet secinājums: jums ir jāsadala sākotnējais skaitlis divos divciparu skaitļos, jāapgriež viens no tiem un pēc tam jāsalīdzina iegūtie skaitļi, izmantojot nosacīto operatoru. ja. Starp citu, lai iegūtu skaitļa otrās puses apgrieztu ierakstu, mums ir jāizveido vēl divi mainīgie, lai saglabātu izmantotos ciparus. Apzīmēsim tos kā a Un b, un tie būs līdzīgi baits.

Tagad aprakstīsim pašu algoritmu:

1) Ievadiet numuru n;

2) Piešķiriet skaitļa vienības ciparu n mainīgs a, pēc tam izmetiet to. Tad piešķiram desmitnieku vietu n mainīgs b un arī izmetiet to:

3) Piešķirt mainīgajam a skaitlis, kas apzīmē mainīgajos lielumos saglabāto apgriezto ierakstu a Un b oriģinālā numura otrā daļa n pēc jau zināmās formulas:

4) Tagad mēs varam izmantot Būla izteiksmes testu iegūto skaitļu vienādībai n Un a operatora palīdzība ja un organizēt atbildes izvadi, izmantojot filiāles:

ja n = a then writeln('Jā') else writeln('Nē');

Tā kā problēmas izklāstā nav skaidri norādīts, kādā formā ir jāparāda atbilde, mēs uzskatīsim par loģiski to parādīt lietotājam intuitīvā līmenī, kas pieejams pašā valodā. Paskāls. Atgādiniet to, izmantojot operatoru rakstīt (rakstīts) var attēlot Būla tipa izteiksmes rezultātu, un, ja šī izteiksme ir patiesa, tiks parādīts vārds 'TRUE' (true angļu valodā nozīmē "patiess"), ja false - vārds FALSE (false angļu valodā) angļu valodā nozīmē "nepatiess"). Tad iepriekšējā būvniecība ar ja var aizstāt ar

1. programma PalindromeNum;
2. n: vārds;
3. a, b: baits;
4. sākt
5. readln(n);
6. a:= n mod 10;
7. n:= n div 10;
8. b:= n mod 10;
9. n:= n div 10;
10. a:= 10 * a + b;
11. writeln(n = a)

Jakovļevs Daņils

Gandrīz visi matemātiskie jēdzieni vienā vai otrā veidā balstās uz skaitļa jēdzienu, un jebkuras matemātiskās teorijas gala rezultāts parasti tiek izteikts skaitļu valodā. Daudzi no tiem, īpaši naturālie skaitļi, pēc noteiktām pazīmēm un īpašībām ir sagrupēti atsevišķās struktūrās (kolekcijās) un tiem ir savi nosaukumi. Tādējādi pētījuma mērķis ir iepazīties ar palindromiskajiem skaitļiem

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

KRIEVIJAS FEDERĀCIJA

Pašvaldības budžeta izglītības iestāde

"7. vidusskola"

Ņižņevartovskas pilsēta

Pētnieciskais darbs
uz skolu jauno pētnieku zinātniski praktisko konferenci

Palindromi matemātikā

2016. gads

IEVADS 4

GALVENĀ DAĻA................................................ .................................................. ......................................5

SECINĀJUMS 9

ATSAUCES 11

Hipotēze
Pirmskaitļi ir daļa no skaitļiem, kas veido visus naturālos skaitļus.
Izpētot pirmskaitļu kopu, var iegūt pārsteidzošas skaitļu kopas ar to neparastajām īpašībām.

Pētījuma mērķis
Gandrīz visi matemātiskie jēdzieni vienā vai otrā veidā balstās uz skaitļa jēdzienu, un jebkuras matemātiskās teorijas gala rezultāts parasti tiek izteikts skaitļu valodā. Daudzi no tiem, īpaši naturālie skaitļi, pēc noteiktām pazīmēm un īpašībām ir sagrupēti atsevišķās struktūrās (kolekcijās) un tiem ir savi nosaukumi. Tādējādipētījuma mērķisir ievads palindromiskajos skaitļos.

Pētījuma mērķi

1. Izpētīt literatūru par pētāmo tēmu.

2. Apsveriet palindromu īpašības.

3. Noskaidrojiet, kāda loma ir pirmskaitļiem, mainot mūs interesējošo skaitļu īpašības.

Studiju priekšmets– pirmskaitļu kopa.

Pētījuma objekts- skaitļi ir palindromi.

Pētījuma metodes:

• teorētiski
• aptauja
• analīze

IEVADS

Kādu dienu, spēlējot boulingu, es pamanīju neparastus skaitļus: 44, 77, 99, 101, un es prātoju, kādi ir šie skaitļi? Paskatoties internetā, uzzināju, ka šie skaitļi ir palindromi.

Palindroms (no grieķu valodas πάλιν - “atpakaļ, atkal” un grieķu δρóμος - “skriet”), dažreiz arī palindromons, no gr. palindromos atskrien).

Runājot par to, kas ir palindroms, jāsaka, ka “mainītāji” ir zināmi kopš seniem laikiem. Bieži tiem tika piešķirta maģiska sakrāla nozīme. Parādījās palindromi, kuru piemērus var atrast dažādās valodās, domājams, viduslaikos.

Palindromu var iegūt, veicot darbības ar citiem skaitļiem. Tātad grāmatā “Man ir ideja!” Slavenais zinātnes popularizētājs Martins Gārdners saistībā ar šo problēmu min “palindroma hipotēzi”.Ja ņemat naturālu skaitli (jebkuru) un pievienojat tam tā apgriezto (kas sastāv no tiem pašiem skaitļiem, bet apgrieztā secībā), tad atkārtojiet darbību, bet ar iegūto summu, tad vienā no soļiem jūs iegūsit palindromu. . Dažos gadījumos pietiek vienreiz veikt pievienošanu: 213 + 312 = 525. Bet parasti ir nepieciešamas vismaz divas darbības. Tā, piemēram, ja ņemam skaitli 96, tad, veicot secīgu saskaitīšanu, palindromu var iegūt tikai ceturtajā līmenī: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 hipotēzes būtība ir tāda, ka, veicot jebkuru skaitu, pēc noteikta darbību skaita jūs noteikti iegūsit palindromu.

GALVENĀ DAĻA

Skaitļi ir palindromi

Atrast skaitļus – palindromus matemātikā nebija grūti. Mēģināju šiem cipariem uzrakstīt ciparu – palindromus.

Divciparu skaitļos - palindromos vienību skaits sakrīt ar desmitnieku skaitu.

– trīsciparu skaitļos – palindromos, simtu skaits vienmēr sakrīt ar vienību skaitu.

Četrciparu skaitļos - palindromos tūkstošu vienību skaits sakrīt ar vienību skaitu, bet simtnieku skaits - ar desmitnieku skaitu utt.

Formulas ir palindromi

Palindromiskās formulas izraisīja manu interesi. Ar formulām - palindromiem es domāju izteiksmi (kas sastāv no skaitļu summas vai starpības), kuras rezultāts nemainās izteiksmes nolasīšanas rezultātā no labās uz kreiso pusi.

Ja pievienojat skaitļus, kas ir palindromi, summa nemainās. Divciparu skaitļu saskaitīšana ir pavisam vienkārša, nolēmu pierakstīt summu trīsciparu skaitļiem.

Piemēram: 121+343=464

Kopumā to var uzrakstīt šādi:

+ = +

(100 x + 10 x+ x) + (100 g + 10 g + y) = (100 g + 10 g + y) + (100 x + 10 g + x)

100x + 10x+ x + 100y + 10y + y = 100y + 10y + y + 100x +10x + x

111x + 111g = 111g + 111x

111 (x + y) = 111 (y + x)

x + y = y + x

Noteikumu pārkārtošana summu nemaina(saskaitīšanas komutatīva īpašība).

Tieši tādā pašā veidā to var pierādīt 4, 5 un n-ciparu skaitļiem.

Apskatīsim visus šādu divciparu skaitļu pārus, lai to atņemšanas rezultāts nemainītos, nolasot starpību no labās uz kreiso.

Jebkuru divciparu skaitli var attēlot kā ciparu vārdu summu:

10 x 1 + y 1 = 10 x 2 + y 2

- = (10x1 + y 1) - (10x2 + y 2)

- = (10у 2 + x 2) – (10у 1 + x 1)

(10 x 1 + y 1) – (10 x 2 + y 2) = (10 g 2 + x 2) – (10 g 1 + x 1)

10x 1 + y 1 - 10x 2 - y 2 = 10 g 2 + x 2 - 10 g 1 - x 1

10x 1 + x 1 + y 1 + 10 g 1 = 10 g 2 + y 2 + 10x 2 + x 2

11 x 1 + 11 g 1 = 11 x 2 + 11 g 2

11 (x 1 + y 1) = 11 (x 2 + y 2)

x 1 + y 1 = x 2 + y 2

Šādiem skaitļiem ir vienādas ciparu summas.

Tagad varat veikt šādas atšķirības:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52–16 = 61–25 utt.

Nominālie palindromi

Palindromi ir atrodami dažās skaitļu kopās, kurām ir savi nosaukumi: Fibonači numurs, Smita numurs, Repdigit, Repunit.

Fibonači skaitļinosauciet skaitļu virknes elementus. Tajā katrs nākamais skaitlis sērijā tiek iegūts, summējot divus iepriekšējos skaitļus.

Piemērs: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

Smita numurs - salikts skaitlis, kura ciparu summa ir vienāda ar tā galveno dalītāju ciparu summu.

Piemērs: 202=2+0+2=4

Repdigit - naturāls skaitlis, kurā visi cipari ir vienādi.

Atkārtoti - naturāls skaitlis, kas rakstīts, izmantojot tikai vienības

Ciparu konstruktors

No pirmskaitļiem palindromiskiem skaitļiem, tos sakārtojot noteiktā veidā, teiksim, rindiņu pa rindiņai, var izveidot simetriskas figūras, kas atšķiras ar oriģinālu atkārtojošu skaitļu modeli.

Šeit, piemēram, ir skaista vienkāršu palindromu kombinācija, kas rakstīta ar 1 un 3 (1. att.). Šī skaitļu trīsstūra īpatnība ir tāda, ka viens un tas pats fragments atkārtojas trīs reizes, nepārkāpjot raksta simetriju.

Rīsi. 1

Ir viegli redzēt, ka kopējais rindu un kolonnu skaits ir pirmskaitlis (17). Turklāt pirmskaitļi un ciparu summas: fragmenti iezīmēti sarkanā krāsā (17); katra rinda, izņemot pirmo (5, 11, 17, 19, 23); trešā, piektā, septītā un devītā kolonna (7, 11) un vienību “kāpnes”, kas veido trīsstūra malas (11). Visbeidzot, ja virzāmies paralēli norādītajām “malām” un atsevišķi saskaitām trešās un piektās rindas skaitļus (2. att.), iegūstam vēl divus pirmskaitļus (17, 5).

Rīsi. 2

Turpinot konstrukciju, jūs varat izveidot sarežģītākas figūras, pamatojoties uz šo trīsstūri. Tātad, nav grūti iegūt citu trīsstūri ar līdzīgām īpašībām, virzoties no gala, tas ir, sākot no pēdējā skaitļa, katrā solī izsvītrojot divus identiskus simetriski izvietotus skaitļus un pārkārtojot vai aizvietojot citus - 3 ar 1 un otrādi. . Šajā gadījumā paši skaitļi jāizvēlas tā, lai iegūtais skaitlis izrādītos vienkāršs. Apvienojot abas figūras, iegūstam rombu ar raksturīgu skaitļu rakstu, kas slēpj daudzus pirmskaitļus (3. att.). Jo īpaši sarkanā krāsā iezīmēto skaitļu summa ir 37.

Rīsi. 3

Varat arī izveidot daudzstūra figūras no skaitļiem, kuriem ir noteiktas īpašības. Pieņemsim, ka jums ir jākonstruē figūra no vienkāršiem palindromiem, kas rakstīti, izmantojot 1 un 3, un katrā no tiem ir galējie cipari, kas ir vieni, un visu ciparu summa un kopējais vieninieku skaits rindā ir pirmskaitļi (izņēmums ir viens -ciparu palindroms). Turklāt vienkāršam skaitlim ir jāizsaka kopējais ierakstā atrasto rindu skaits, kā arī cipari 1 vai 3.

Attēlā 4. attēlā parādīts viens no problēmas risinājumiem - no 11 dažādiem palindromiem uzbūvēta “māja”.

Rīsi. 4

Protams, nav jāierobežo sevi ar diviem cipariem un jāpieprasa visu norādīto ciparu klātbūtne katra izmantotā numura ierakstā. Drīzāk gluži pretēji: galu galā tieši viņu neparastās kombinācijas piešķir figūras rakstam oriģinalitāti. Lai to apstiprinātu, mēs sniedzam vairākus skaistu palindromisku atkarību piemērus (5.-7. att.).

Rīsi. 5

Rīsi. 6

Rīsi. 7

SECINĀJUMS

Savā darbā aplūkoju skaitļus - palindromus, formulas - palindromus trīsciparu skaitļu summai un divciparu skaitļu starpībai un varēju tos pierādīt. Es iepazinos ar pārsteidzošiem naturālajiem skaitļiem: palindromiem un atkārtotajiem skaitļiem. Viņi visi ir parādā savas īpašības pirmskaitļiem.
Intuitīvi sastādīju formulas n-ciparu skaitļu summai un starpībai, divciparu skaitļu reizinājumam un koeficientam.

Reizināšanas gadījumā mums ir:

63 ∙ 48 = 84 ∙ 36

82 ∙ 14 = 41 ∙ 28

26 ∙ 31 = 62 ∙ 13 utt.

Pirmo ciparu reizinājums ir vienāds ar to otro ciparu reizinājumu x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2

Sadalīšanai mēs iegūstam šādus piemērus:

62: 31 = 26: 13

96:32 = 69:23 utt.

Šos apgalvojumus man vēl nav izdevies pierādīt, bet domāju, ka man tas izdosies nākotnē.

Literatūrā man izdevās atrast formulas - palindromus daudzciparu skaitļu reizināšanai

20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302

726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312

Es sasniedzu sava darba mērķi. Es paskatījos uz skaitļiem - palindromiem un pierakstīju tos vispārīgā formā. Viņš sniedza piemērus un pierādītas formulas – palindromus divciparu skaitļu saskaitīšanai un atņemšanai. Es atklāju vairākas problēmas, pie kurām man vēl jāstrādā un jāizpēta formulas – palindromi. Tas nozīmē, ka es apstiprināju hipotēzi, ka pirmskaitļi ir daļa no skaitļiem, kas veido visus naturālos skaitļus. Izpētot pirmskaitļu kopu, var iegūt pārsteidzošas skaitļu kopas ar to neparastajām īpašībām.

Priekšskatījums:

Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumus, izveidojiet Google kontu un pierakstieties:

Natālija Karpušina.

ATPAKAĻ

Ciparu palindroms ir dabisks skaitlis, kas skan vienādi no kreisās uz labo un no labās uz kreiso. Citiem vārdiem sakot, tas izceļas ar apzīmējuma simetriju (skaitļu izkārtojumu), un rakstzīmju skaits var būt pāra vai nepāra. Palindromi ir atrodami dažās skaitļu kopās, kurām ir savi nosaukumi: starp Fibonači skaitļiem - 8, 55 (tāda paša nosaukuma virknes 6. un 10. dalībnieks); skaitļi - 676, 1001 (attiecīgi kvadrātveida un piecstūraini); Smita numuri - 45454, 983389. Jebkurš repunit, piemēram, 2222222 un, jo īpaši, repunit, ir arī šis īpašums.

Palindromu var iegūt, veicot darbības ar citiem skaitļiem. Tātad grāmatā “Man ir ideja!” Slavenais zinātnes popularizētājs Martins Gārdners saistībā ar šo problēmu min “palindroma hipotēzi”. Ņemsim jebkuru naturālu skaitli un pievienosim to apgrieztajam skaitlim, tas ir, rakstītam ar tiem pašiem cipariem, bet apgrieztā secībā. Izdarīsim to pašu darbību ar iegūto summu un atkārtosim, līdz veidojas palindroms. Dažreiz pietiek ar vienu soli (piemēram, 312 + 213 = 525), bet parasti ir nepieciešami vismaz divi. Pieņemsim, ka skaitlis 96 ģenerē palindromu 4884 tikai ceturtajā darbībā. Patiešām:

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884.

Un hipotēzes būtība ir tāda, ka, ņemot jebkuru skaitli, pēc ierobežota darbību skaita mēs noteikti iegūsim palindromu.

Varat apsvērt ne tikai pievienošanu, bet arī citas darbības, tostarp sakņu palielināšanu un ekstrakciju. Šeit ir daži piemēri, kā tos var izmantot, lai no dažiem palindromiem izveidotu citus:

SKAITĻU SPĒLES

Līdz šim mēs galvenokārt esam aplūkojuši saliktos skaitļus. Tagad pievērsīsimies vienkāršiem skaitļiem. To bezgalīgajā daudzveidībā ir daudz ziņkārīgu īpatņu un pat veselas palindromu ģimenes. Tikai starp pirmajiem simts miljoniem naturālo skaitļu ir 781 vienkāršs palindroms, no kuriem divdesmit ietilpst pirmajā tūkstotī, no kuriem četri ir viencipara skaitļi - 2, 3, 5, 7 un tikai viens divciparu - 11. Daudzi interesanti fakti un skaisti raksti ir saistīti ar šādiem skaitļiem.

Pirmkārt, ir unikāls vienkāršs palindroms ar pāra ciparu skaitu - 11. Citiem vārdiem sakot, jebkurš palindroms ar pāra ciparu skaitu, kas lielāks par diviem, ir salikts skaitlis, ko ir viegli pierādīt, pamatojoties uz dalāmības ar 11 testu. .

Otrkārt, jebkura vienkārša palindroma pirmais un pēdējais cipars var būt tikai 1, 3, 7 vai 9. Tas izriet no zināmajām dalīšanas zīmēm ar 2 un 5. Interesanti, ka visi vienkāršie divciparu skaitļi ir rakstīti, izmantojot uzskaitītos ciparus. (izņemot 19), var iedalīt “apgriezto” skaitļu pāros (savstarpēji apgrieztos skaitļos) formas un , kur skaitļi a un b ir atšķirīgi. Katrs no tiem neatkarīgi no tā, kurš skaitlis ir pirmais, tiek lasīts vienādi no kreisās uz labo un no labās uz kreiso:

13 un 31, 17 un 71,

37. un 73., 79. un 97.

Ieskatoties pirmskaitļu tabulā, mēs atradīsim līdzīgus pārus, kuru ierakstā ir arī citi skaitļi, jo īpaši starp trīsciparu skaitļiem būs četrpadsmit šādi pāri.

Turklāt starp vienkāršiem trīsciparu palindromiem ir skaitļu pāri, kuru vidējais cipars atšķiras tikai par 1:

18 1 un 1 9 1, 37 3. un 3 8 3,

78 7 un 7 9 7, 91 9 un 9 2 9.

Līdzīgs attēls tiek novērots lielākiem pirmskaitļiem, piemēram:

948 49 un 94 9 49,

1177 711 un 117 8 711.

Palindromiskos pirmskaitļus var “iestatīt” ar dažādām simetriskām formulām, kas atspoguļo to apzīmējuma pazīmes. Tas ir skaidri redzams piecciparu skaitļu piemērā:

Starp citu, vienkārši formas daudzciparu skaitļi, šķiet, ir sastopami tikai starp Repunites. Ir zināmi pieci šādi skaitļi. Zīmīgi, ka katram no tiem ciparu skaits tiek izteikts kā pirmskaitlis: 2, 19, 23, 317, 1031. Bet starp pirmskaitļiem, kuros visi cipari, izņemot centrālo, ir ļoti iespaidīga garuma palindroms. tika atklāts - tajā ir 1749 cipari:

Kopumā starp galvenajiem palindromiskajiem skaitļiem ir pārsteidzoši piemēri. Šeit ir tikai viens piemērs – skaitlisks gigants

Un tas ir interesanti, jo tajā ir 11 811 cipari, kurus var iedalīt trīs palidromiskās grupās, un katrā grupā ciparu skaits tiek izteikts kā pirmskaitlis (5903 vai 5).

IEVĒROJI PĀRI

Ziņkārīgus palindromiskus modeļus var redzēt arī pirmskaitļu grupās, kas satur noteiktus ciparus. Teiksim, tikai skaitļi 1 un 3, un katrā ciparā. Tādējādi divciparu pirmskaitļi veido sakārtotus pārus 13 - 31 un 31 - 13, no sešiem trīsciparu pirmskaitļiem uzreiz piecus skaitļus, starp kuriem ir divi palindromi: 131 un 313, un vēl divi skaitļi veido pārus “Apvērsumi” 311 - 113 un 113 - 311 Visos šajos gadījumos izveidotie pāri ir vizuāli attēloti ciparu kvadrātu veidā (1. att.).

Rīsi. 1

To īpašības atgādina maģiju un latīņu kvadrātus. Piemēram, vidējā kvadrātā skaitļu summa katrā rindā un katrā kolonnā ir 444, pa diagonālēm - 262 un 626. Saskaitot skaitļus no visām šūnām, iegūstam 888. Un, kas ir raksturīgi, katra summa ir palindroms. Pat tikai izrakstot vairākus skaitļus no vienas tabulas bez atstarpes, mēs iegūstam jaunus palindromus: 3113, 131313131 utt. Kāds ir lielākais skaitlis, ko var sastādīt šādā veidā? Vai tas būs palindroms?

Ja katram no pāriem 311 - 113 un 113 - 311 pievienojam 131 vai 313, veidojas četri palindromiskie tripleti. Vienu no tiem ierakstīsim kolonnā:

Kā redzam, gan paši skaitļi, gan vēlamā to kombinācija liek par sevi manīt, lasot dažādos virzienos. Turklāt skaitļu izkārtojums ir simetrisks, un to summa katrā rindā, katrā kolonnā un vienā no diagonālēm tiek izteikta ar vienkāršu skaitli - 5.

Jāsaka, ka aplūkotie skaitļi paši par sevi ir interesanti. Piemēram, palindroms 131 ir ciklisks pirmskaitlis: jebkura secīga pirmā cipara pārkārtošana uz pēdējo vietu rada pirmskaitļus 311 un 113. Vai varat norādīt citus primāros palindromus, kuriem ir tāda pati īpašība?

Bet “apgriezto” skaitļu pāri 13 - 31 un 113 - 311, saliekot kvadrātā, dod arī "apgriezto" skaitļu pārus: 169 - 961 un 12769 - 96721. Interesanti, ka pat to ciparu summas izrādījās viltīgā veidā saistīti:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Piebildīsim, ka starp naturālajiem skaitļiem ir arī citi “apvērstu” pāri ar līdzīgu īpašību: 103 - 301, 1102 - 2011, 11113 - 31111 utt. Kas izskaidro novēroto modeli? Lai atbildētu uz šo jautājumu, jums ir jāsaprot, kas ir īpašs šo skaitļu ierakstīšanā, kādi skaitļi un kādos daudzumos tajā var būt.

SKAITLISKAIS KONSTRUKTORS

No pirmskaitļiem palindromiskiem skaitļiem, tos sakārtojot noteiktā veidā, teiksim, rindiņu pa rindiņai, var izveidot simetriskas figūras, kas atšķiras ar oriģinālu atkārtojošu skaitļu modeli.

Šeit, piemēram, ir skaista vienkāršu palindromu kombinācija, kas rakstīta ar 1 un 3 (izņemot pirmo, 2. att.). Šī skaitļu trīsstūra īpatnība ir tāda, ka viens un tas pats fragments atkārtojas trīs reizes, nepārkāpjot raksta simetriju.

Rīsi. 2

Ir viegli redzēt, ka kopējais rindu un kolonnu skaits ir pirmskaitlis (17). Turklāt pirmskaitļi un ciparu summas: fragmenti iezīmēti sarkanā krāsā (17); katra rinda, izņemot pirmo (5, 11, 17, 19, 23); trešā, piektā, septītā un devītā kolonna (7, 11) un vienību “kāpnes”, kas veido trīsstūra malas (11). Visbeidzot, ja virzāmies paralēli norādītajām “malām” un atsevišķi saskaitām trešās un piektās rindas skaitļus (3. att.), iegūstam vēl divus pirmskaitļus (17, 5).

Rīsi. 3

Turpinot konstrukciju, jūs varat izveidot sarežģītākas figūras, pamatojoties uz šo trīsstūri. Tātad, nav grūti iegūt citu trīsstūri ar līdzīgām īpašībām, virzoties no gala, tas ir, sākot no pēdējā skaitļa, katrā solī izsvītrojot divus identiskus simetriski izvietotus skaitļus un pārkārtojot vai aizvietojot citus - 3 ar 1 un otrādi. . Šajā gadījumā paši skaitļi jāizvēlas tā, lai iegūtais skaitlis izrādītos vienkāršs. Apvienojot abas figūras, iegūstam rombu ar raksturīgu skaitļu rakstu, kas slēpj daudzus pirmskaitļus (4. att.). Jo īpaši sarkanā krāsā iezīmēto skaitļu summa ir 37.

Rīsi. 4

Vēl viens piemērs ir trīsstūris, kas iegūts no sākotnējā, pievienojot tam sešus vienkāršus palindromus (5. att.). Figūra nekavējoties piesaista uzmanību ar savu eleganto vienību rāmi. To robežojas ar divām vienkāršām vienāda garuma vienībām: 23 vienības veido trijstūra “pamatni”, un tikpat daudz – trijstūra “malas”.

Rīsi. 5

Vēl daži skaitļi

Varat arī izveidot daudzstūra figūras no skaitļiem, kuriem ir noteiktas īpašības. Pieņemsim, ka jums ir jākonstruē figūra no vienkāršiem palindromiem, kas rakstīti, izmantojot 1 un 3, un katrā no tiem ir galējie cipari, kas ir vieni, un visu ciparu summa un kopējais vieninieku skaits rindā ir pirmskaitļi (izņēmums ir viens -ciparu palindroms). Turklāt vienkāršam skaitlim ir jāizsaka kopējais ierakstā atrasto rindu skaits, kā arī cipari 1 vai 3.

Attēlā 6. attēlā parādīts viens no problēmas risinājumiem - no 11 dažādiem palindromiem uzbūvēta “māja”.

Rīsi. 6

Protams, nav jāierobežo sevi ar diviem cipariem un jāpieprasa visu norādīto ciparu klātbūtne katra izmantotā numura ierakstā. Drīzāk gluži pretēji: galu galā tieši viņu neparastās kombinācijas piešķir figūras rakstam oriģinalitāti. Lai to apstiprinātu, mēs sniedzam vairākus skaistu palindromisku atkarību piemērus (7.-9. att.).

Rīsi. 7

Rīsi. 8

Rīsi. 9

Tagad, bruņojoties ar pirmskaitļu tabulu, jūs pats varat izveidot tādus skaitļus, kādus mēs piedāvājām.

Un visbeidzot vēl viens kuriozs - trīsstūris, burtiski gareniski un šķērsām caurdurts ar palindromiem (10. att.). Tajā ir 11 pirmskaitļu rindas, un kolonnas veido atkārtojoši cipari. Un pats galvenais: palindroms 193111111323111111391, kas ierobežo figūru no sāniem, ir pirmskaitlis!