VISPĀRĪGIE SPĒKI

VISPĀRĪGIE SPĒKI

Daudzumi, kas spēlē parasto spēku lomu, pētot līdzsvaru vai mehānisko kustību. sistēma, tās atrašanās vietu nosaka vispārinātas koordinātas. O. s. skaits. vienāds ar sistēmas brīvības pakāpju skaitu s; Šajā gadījumā katra vispārinātā koordināte qi atbilst savai koordinātu sistēmai. Qi. O. s. vērtība. Koordinātai q1 atbilstošo Q1 var atrast, aprēķinot elementu. visu spēku darbs dA1 uz iespējamo sistēmas kustību, kura laikā mainās tikai koordināte q1: saņemot pieaugumu dq1. Tad dA1=Q1dq1т. e) dqi koeficients izteiksmē dA1 būs O. s. Q1. Q2, Q3, tiek aprēķināti līdzīgi. . ., Qs.

Izmērs O. s. ir atkarīgs no vispārinātās koordinātas dimensijas. Ja qi ir garums, tad Qi ir parastā spēka dimensija; ja cji ir leņķis, tad Qi ir spēka momenta dimensija utt. Pētot mehāniskā mehānisma kustību O. sistēmu sistēmas parasto spēku vietā ienāk mehānikas Lagranža vienādojumos, un līdzsvarā visas O. sistēmas. ir vienādi ar nulli.

Fiziskā enciklopēdiskā vārdnīca. - M.: Padomju enciklopēdija. Galvenais redaktors A. M. Prohorovs. 1983 .

Skatiet, kas ir “GENERALIZED SPĒKI” citās vārdnīcās:

Lielumi, kas spēlē parasto spēku lomu, kad, pētot mehāniskās sistēmas līdzsvaru vai kustību, tās stāvokli nosaka vispārinātas koordinātas (sk. Vispārējās koordinātas). O. s. skaits. vienāds ar sistēmas brīvības pakāpju skaitu s; plkst……

Mehānikā lielumi Qi, lielumu Qi reizinājums un vispārināto koordinātu qi elementārie atrisinājumi dqi ir mehāniski. sistēmas dod elementāra darba izteiksmi bA, kur tas veidojas no šķiedru materiālu (kokvilnas, viskozes) kaudzes. Uzlīmēm O. parasti...... Lielā enciklopēdiskā politehniskā vārdnīca

- (ASV) (Amerikas Savienotās Valstis, ASV). I. Vispārīga informācija ASV ir štats Ziemeļamerikā. Platība 9,4 miljoni km2. Iedzīvotāju skaits 216 miljoni cilvēku. (1976, vērtējums). Galvaspilsēta ir Vašingtona. Administratīvi ASV teritorija... Lielā padomju enciklopēdija

- (PSRS Gaisa spēki) Padomju gaisa spēku karogs pastāvēšanas gadi ... Wikipedia

- الإمارات العربية المتحدة‎ al Emarat al Arabiya al Muttahida ... Wikipedia

Spēka lauks ir norādīts konfigurācijas telpas Q apgabalā kā skalārās funkcijas gradients: kur (vispārinātas) koordinātes, U(q) potenciālā enerģija. Darbs P. s. pa jebkuru Q slēgtu kontūru, kas savelkas līdz punktam, ir vienāda ar nulli. Zīme... ... Fiziskā enciklopēdija

- (Gaisa spēki) valsts bruņoto spēku veids, kas paredzēts patstāvīgai darbībai operatīvo stratēģisko uzdevumu risināšanā un kopīgai darbībai ar cita veida bruņotajiem spēkiem. Runājot par kaujas spējām, mūsdienu gaisa spēki...... Lielā padomju enciklopēdija

Spēks, spēka darbības mērs, kas ir atkarīgs no spēka skaitliskā lieluma un virziena un no tā pielietošanas punkta kustības. Ja spēks F ir nemainīgs skaitliski un virzienā un pārvietojums M0M1 ir taisnstūrveida (1. att.), tad P. A = F․s․cosα, kur s = M0M1 … Lielā padomju enciklopēdija

Spēks, spēka darbības mērs, kas ir atkarīgs no spēka skaitliskā lieluma un virziena un no tā pielietošanas punkta kustības. Ja spēks F ir nemainīgs skaitliski un virzienā, un pārvietojums M0M1 ir taisnstūrveida (1. att.), tad P. A = F s cosa, kur s = M0M1, un leņķis... ... Fiziskā enciklopēdija

Mehānika. 1) 1. veida Lagranža vienādojumi, mehāniskās kustības diferenciālvienādojumi. sistēmas, kuras ir dotas projekcijās uz taisnstūra koordinātu asīm un satur t.s. Lagranža reizinātāji. Ieguvis J. Lagrenžs 1788. gadā. Holonomiskai sistēmai, ... ... Fiziskā enciklopēdija

Protams, aprēķinot šo vispārināto spēku, potenciālā enerģija jānosaka kā funkcija no vispārinātajām koordinātām

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Piezīmes.

Pirmkārt. Aprēķinot vispārinātos reakcijas spēkus, ideālie savienojumi netiek ņemti vērā.

Otrkārt. Vispārinātā spēka izmērs ir atkarīgs no vispārinātās koordinātas izmēra. Tātad, ja dimensija [ q] – metrs, tad izmērs

[Q] = Nm/m = Ņūtons, ja [ q] – radiāns, tad [Q] = Nm; Ja [ q] = m 2, tad [Q] = H/m utt.

4. piemērs. Gredzens slīd pa stieni, kas šūpojas vertikālā plaknē. M svars R(10. att.). Mēs uzskatām stieni par bezsvara. Definēsim vispārinātos spēkus.

10. att

Risinājums. Sistēmai ir divas brīvības pakāpes. Mēs piešķiram divas vispārinātas koordinātas s Un .

Atradīsim vispārināto spēku, kas atbilst koordinātei s. Mēs piešķiram šai koordinātei pieaugumu, atstājot koordinātu nemainīgu un aprēķinot vienīgā aktīvā spēka darbu R, mēs iegūstam vispārināto spēku

Tad mēs palielinām koordinātu, pieņemot s= konst. Kad stienis tiek pagriezts leņķī, spēka pielikšanas punkts R, gredzens M, pārvietosies uz . Vispārinātais spēks būs

Tā kā sistēma ir konservatīva, vispārējos spēkus var atrast arī izmantojot potenciālo enerģiju. Mēs saņemam Un . Tas izrādās daudz vienkāršāk.

Lagranža līdzsvara vienādojumi

Pēc definīcijas (7) vispārinātie spēki , k = 1,2,3,…,s, Kur s– brīvības pakāpju skaits.

Ja sistēma ir līdzsvarā, tad saskaņā ar iespējamo pārvietojumu principu (1) . Šeit ir kustības, ko pieļauj savienojumi, iespējamās kustības. Tāpēc, kad materiāla sistēma ir līdzsvarā, visi tās vispārinātie spēki ir vienādi ar nulli:

Q k= 0, (k=1,2,3,…, s). (10)

Šie vienādojumi līdzsvara vienādojumi vispārinātās koordinātās vai Lagranža līdzsvara vienādojumi , ļaujiet vēl vienu metodi statikas problēmu risināšanai.

Ja sistēma ir konservatīva, tad . Tas nozīmē, ka tas atrodas līdzsvara stāvoklī. Tas ir, šādas materiālās sistēmas līdzsvara stāvoklī tās potenciālā enerģija ir vai nu maksimālā, vai minimālā, t.i. funkcijai П(q) ir ekstrēmums.

Tas ir skaidrs no vienkāršākā piemēra analīzes (11. att.). Bumbiņas potenciālā enerģija pozīcijā M 1 ir minimums, pozīcijā M 2 – maksimums. Var pamanīt, ka pozīcijā M 1 līdzsvars būs stabils; grūtniece M 2 – nestabils.

11. att

Līdzsvars tiek uzskatīts par stabilu, ja ķermenim šajā stāvoklī tiek dots mazs ātrums vai tas tiek pārvietots nelielā attālumā un šīs novirzes nākotnē nepalielinās.

Var pierādīt (Lagranža-Dirihlē teorēma), ka, ja konservatīvas sistēmas līdzsvara stāvoklī tās potenciālajai enerģijai ir minimums, tad šī līdzsvara pozīcija ir stabila.

Konservatīvai sistēmai ar vienu brīvības pakāpi minimālās potenciālās enerģijas nosacījumu un līdz ar to līdzsvara stāvokļa stabilitāti nosaka otrais atvasinājums, tā vērtība līdzsvara stāvoklī,

5. piemērs. Kodols OA svars R var griezties vertikālā plaknē ap asi PAR(12. att.). Ļaujiet mums atrast un pētīt līdzsvara pozīciju stabilitāti.

12. att

Risinājums. Stienim ir viena brīvības pakāpe. Vispārinātā koordināte – leņķis.

Potenciālā enerģija P = attiecībā pret apakšējo nulles pozīciju Ph vai

Līdzsvara stāvoklī jābūt . Tādējādi mums ir divas līdzsvara pozīcijas, kas atbilst leņķiem un (pozīcijām OA 1 un OA 2). Izpētīsim to stabilitāti. Otrā atvasinājuma atrašana. Protams, ar , . Līdzsvara stāvoklis ir stabils. plkst. . Otrā līdzsvara pozīcija ir nestabila. Rezultāti ir acīmredzami.

Vispārējie inerces spēki.

Izmantojot to pašu metodi (8), ar kuru tika aprēķināti vispārinātie spēki Q k, kas atbilst aktīvajiem, norādītajiem, spēkiem, tiek noteikti arī vispārinātie spēki S k, kas atbilst sistēmas punktu inerces spēkiem:

Un, kopš Tas

Dažas matemātiskas transformācijas.

Acīmredzot

Tā kā a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), tad

Tas nozīmē, ka ātruma daļējais atvasinājums attiecībā pret

Turklāt pēdējā terminā (14) varat mainīt diferenciācijas secību:

Aizstājot (15) un (16) ar (14) un pēc tam (14) ar (13), mēs iegūstam

Dalot pēdējo summu ar divi un paturot prātā, ka atvasinājumu summa ir vienāda ar summas atvasinājumu, mēs iegūstam

kur ir sistēmas kinētiskā enerģija un vispārinātais ātrums.

Lagranža vienādojumi.

Pēc definīcijas (7) un (12) vispārinātie spēki

Bet, pamatojoties uz vispārējo dinamikas vienādojumu (3), vienādības labā puse ir vienāda ar nulli. Un tā kā viss ( k = 1,2,3,…,s) atšķiras no nulles, tad . Aizvietojot vispārinātā inerces spēka vērtību (17), iegūstam vienādojumu

Šie vienādojumi tiek saukti par kustības diferenciālvienādojumiem vispārinātās koordinātās, otrā veida Lagranža vienādojumi vai vienkārši – Lagranža vienādojumi.

Šo vienādojumu skaits ir vienāds ar materiālās sistēmas brīvības pakāpju skaitu.

Ja sistēma ir konservatīva un pārvietojas potenciālo lauka spēku ietekmē, kad vispārinātie spēki ir , Lagranža vienādojumus var sastādīt formā

Kur L = T– sauc P Lagranža funkcija (tiek pieņemts, ka potenciālā enerģija P nav atkarīga no vispārinātajiem ātrumiem).

Bieži vien, pētot materiālu sistēmu kustību, atklājas, ka dažas vispārinātas koordinātas q j nav tieši iekļauti Lagranža funkcijā (vai tajā T un P). Šādas koordinātas sauc ciklisks. Šīm koordinātām atbilstošie Lagranža vienādojumi tiek iegūti vienkāršāk.

Pirmo šādu vienādojumu integrāli var atrast uzreiz. To sauc par ciklisko integrāli:

Turpmākie Lagranža vienādojumu pētījumi un pārveidojumi ir speciālas teorētiskās mehānikas sadaļas “Analītiskā mehānika” priekšmets.

Lagranža vienādojumiem ir vairākas priekšrocības salīdzinājumā ar citām sistēmu kustības izpētes metodēm. Galvenās priekšrocības: vienādojumu sastādīšanas metode visos uzdevumos ir vienāda, ideālo savienojumu reakcijas, risinot uzdevumus, netiek ņemtas vērā.

Un vēl viena lieta - ar šiem vienādojumiem var pētīt ne tikai mehāniskās, bet arī citas fizikālās sistēmas (elektriskās, elektromagnētiskās, optiskās utt.).

6. piemērs. Turpināsim pētīt gredzena kustību M uz šūpošanās stieņa (4. piemērs).

Tiek piešķirtas vispārinātās koordinātas – un s (13. att.). Vispārinātos spēkus nosaka: un .

13. att

Risinājums. Gredzena kinētiskā enerģija Kur a un .

Mēs sastādām divus Lagranža vienādojumus

tad vienādojumi izskatās šādi:

Esam ieguvuši divus nelineārus otrās kārtas diferenciālvienādojumus, kuru atrisināšanai nepieciešamas īpašas metodes.

7. piemērs. Izveidosim stara kustības diferenciālvienādojumu AB, kas ripo neslīdot pa cilindrisku virsmu (14. att.). Sijas garums AB = l, svars - R.

Līdzsvara stāvoklī stars bija horizontāls un smaguma centrs AR tas atradās cilindra augšējā punktā. Sijai ir viena brīvības pakāpe. Tās atrašanās vietu nosaka vispārināta koordināta – leņķis (76. att.).

14. att

Risinājums. Sistēma ir konservatīva. Tāpēc mēs sastādīsim Lagranža vienādojumu, izmantojot potenciālo enerģiju P=mgh, kas aprēķināta attiecībā pret horizontālo stāvokli. Saskares punktā atrodas momentānais ātrumu centrs un (vienāds ar apļveida loka garumu ar leņķi).

Tāpēc (sk. 76. att.) un.

Kinētiskā enerģija (staurs tiek pakļauts plaknei paralēlai kustībai)

Atrodam nepieciešamos atvasinājumus vienādojumam un

Izveidosim vienādojumu

vai, visbeidzot,

Pašpārbaudes jautājumi

Kā sauc ierobežotas mehāniskās sistēmas iespējamo kustību?

Kā ir saistītas iespējamās un faktiskās sistēmas kustības?

Kādus savienojumus sauc: a) stacionāri; b) ideāls?

Formulējiet iespējamo kustību principu. Pierakstiet tā formulu izteiksmi.

Vai ir iespējams piemērot virtuālo kustību principu sistēmām ar neideāliem savienojumiem?

Kādas ir mehāniskās sistēmas vispārīgās koordinātas?

Kāds ir mehāniskās sistēmas brīvības pakāpju skaits?

Kādā gadījumā sistēmas punktu Dekarta koordinātas ir atkarīgas ne tikai no vispārinātām koordinātām, bet arī no laika?

Kā sauc iespējamās mehāniskās sistēmas kustības?

Vai iespējamās kustības ir atkarīgas no spēkiem, kas iedarbojas uz sistēmu?

Kādus mehāniskās sistēmas savienojumus sauc par ideāliem?

Kāpēc saite, kas izveidota ar berzi, nav ideāla saite?

Kā tiek formulēts iespējamo kustību princips?

Kādi veidi var būt darba vienādojumam?

Kāpēc iespējamo pārvietojumu princips vienkāršo līdzsvara nosacījumu atvasināšanu spēkiem, kas pielietoti ierobežotām sistēmām, kas sastāv no liela skaita ķermeņu?

Kā tiek konstruēti darba vienādojumi spēkiem, kas iedarbojas uz mehānisku sistēmu ar vairākām brīvības pakāpēm?

Kāda ir saistība starp virzošo spēku un pretestības spēku vienkāršās mašīnās?

Kā tiek formulēts mehānikas zelta likums?

Kā tiek noteiktas savienojumu reakcijas, izmantojot iespējamo kustību principu?

Kādus savienojumus sauc par holonomiskiem?

Kāds ir mehāniskās sistēmas brīvības pakāpju skaits?

Kādas ir sistēmas vispārīgās koordinātas?

Cik vispārinātu koordinātu ir nebrīvai mehāniskai sistēmai?

Cik brīvības pakāpju ir automašīnas stūrei?

Kas ir vispārināts spēks?

Pierakstiet formulu, kas izsaka visu sistēmai pielikto spēku kopējo elementāro darbu vispārinātās koordinātēs.

Kā tiek noteikts vispārinātā spēka izmērs?

Kā konservatīvajās sistēmās aprēķina vispārinātos spēkus?

Pierakstiet vienu no formulām, kas izsaka vispārēju sistēmas dinamikas vienādojumu ar ideāliem savienojumiem. Kāda ir šī vienādojuma fiziskā nozīme?

Kāds ir sistēmai pielikto aktīvo spēku vispārējais spēks?

Kas ir vispārinātais inerces spēks?

Formulējiet d'Alemberta principu vispārinātos spēkos.

Kāds ir vispārējais dinamikas vienādojums?

Ko sauc par vispārināto spēku, kas atbilst kādai vispārinātai sistēmas koordinātei, un kāda tā dimensija ir?

Kādas ir ideālo saišu vispārinātās reakcijas?

Atvasiniet vispārējo dinamikas vienādojumu vispārinātos spēkos.

Kādi ir līdzsvara nosacījumi mehāniskai sistēmai pieliktajiem spēkiem, kas iegūti no vispārējā dinamikas vienādojuma vispārinātos spēkos?

Kādas formulas izsaka vispārinātus spēkus, izmantojot spēku projekcijas uz Dekarta koordinātu fiksētajām asīm?

Kā tiek noteikti vispārinātie spēki konservatīvo un nekonservatīvo spēku gadījumā?

Kādus savienojumus sauc par ģeometriskiem?

Dodiet iespējamo pārvietojumu principa vektorattēlu.

Nosauc nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu mehāniskas sistēmas līdzsvaram ar ideāliem stacionāriem ģeometriskiem savienojumiem.

Kāda īpašība ir konservatīvas sistēmas spēka funkcijai līdzsvara stāvoklī?

Pierakstiet otrā veida Lagranža diferenciālvienādojumu sistēmu.

Cik otrā veida Lagranža vienādojumus var izveidot ierobežotai mehāniskai sistēmai?

Vai mehāniskās sistēmas Lagranža vienādojumu skaits ir atkarīgs no sistēmā iekļauto ķermeņu skaita?

Kāds ir sistēmas kinētiskais potenciāls?

Kurām mehāniskām sistēmām pastāv Lagranža funkcija?

Kādi argumenti ir mehāniskai sistēmai piederoša punkta ātruma vektora funkcija ar s brīvības pakāpes?

Kāds ir sistēmas punkta ātruma vektora daļējais atvasinājums attiecībā pret kādu vispārinātu ātrumu?

Kuru argumentu funkcija ir sistēmas kinētiskā enerģija pakļauta holonomiskiem nestacionāriem ierobežojumiem?

Kāda forma ir otrā veida Lagranža vienādojumiem? Kāds ir šo vienādojumu skaits katrai mehāniskajai sistēmai?

Kādu formu iegūst otrā veida Lagranža vienādojumi, ja uz sistēmu vienlaikus iedarbojas konservatīvi un nekonservatīvi spēki?

Kas ir Lagranža funkcija jeb kinētiskais potenciāls?

Kāda forma ir otrā veida Lagranža vienādojumiem konservatīvai sistēmai?

Atkarībā no kādiem mainīgajiem ir jāizsaka mehāniskās sistēmas kinētiskā enerģija, veidojot Lagranža vienādojumus?

Kā nosaka mehāniskās sistēmas potenciālo enerģiju elastīgo spēku ietekmē?

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

1. uzdevums. Izmantojot iespējamo pārvietojumu principu, noteikt salikto konstrukciju savienojumu reakcijas. Strukturālās diagrammas ir parādītas attēlā. 15, un risinājumam nepieciešamie dati doti tabulā. 1. Attēlos visi izmēri ir metros.

1. tabula

R 1, kN R 2, kN q, kN/m M, kNm R 1, kN R 2, kN q, kN/m M, kNm

1. iespēja 2. iespēja

3. iespēja 4. iespēja

5. iespēja 6. iespēja

7. iespēja 8. iespēja

16. att. 17. att

Risinājums. Ir viegli pārbaudīt, vai šajā uzdevumā ir izpildīti visi Lagranža principa piemērošanas nosacījumi (sistēma ir līdzsvarā, savienojumi ir stacionāri, holoniski, ierobežojoši un ideāli).

Atbrīvosimies no reakcijai atbilstošās saiknes X A (17. att.). Lai to izdarītu, punktā A ir jānomaina fiksētā vira, piemēram, ar stieņa balstu, un tādā gadījumā sistēma saņem vienu brīvības pakāpi. Kā jau minēts, sistēmas iespējamo kustību nosaka tai uzliktie ierobežojumi, un tā nav atkarīga no pielietotajiem spēkiem. Tāpēc iespējamo pārvietojumu noteikšana ir kinemātiska problēma. Tā kā šajā piemērā rāmis var kustēties tikai attēla plaknē, arī tā iespējamās kustības ir plakanas. Plakanā kustībā ķermeņa kustību var uzskatīt par rotāciju ap momentāno ātrumu centru. Ja momentānais ātrumu centrs atrodas bezgalībā, tad tas atbilst momentānas translācijas kustības gadījumam, kad visu ķermeņa punktu nobīdes ir vienādas.

Lai atrastu momentāno ātrumu centru, ir jāzina jebkuru divu ķermeņa punktu ātruma virzieni. Tāpēc kompozītmateriālu struktūras iespējamo pārvietojumu noteikšana jāsāk ar tā elementa iespējamo pārvietojumu atrašanu, kuram ir zināmi šādi ātrumi. Šajā gadījumā jums vajadzētu sākt ar rāmi CDB, kopš tā punkta IN ir nekustīgs, un tāpēc šī rāmja iespējamā kustība ir tā griešanās leņķī ap asi, kas iet caur viru B. Tagad, zinot iespējamo punkta kustību AR(tā vienlaikus pieder abiem sistēmas rāmjiem) un punkta iespējamā kustība A(iespējamā punkta A kustība ir tā kustība pa asi X), atrodiet kadra momentānā ātruma centru C 1 AES. Tādējādi iespējama rāmja kustība AES ir tā rotācija ap punktu C 1 par leņķi . Savienojums starp leņķiem un tiek noteikts caur punkta C kustību (sk. 17. att.)

No trīsstūru līdzības EC 1 C un BCD mums ir

Rezultātā mēs iegūstam atkarības:

Pēc iespējamo kustību principa

Ļaujiet mums secīgi aprēķināt iespējamos šeit iekļautos darbus:

Q=2q – sadalītās slodzes rezultants, kura pielikšanas punkts parādīts att. 79; iespējamais darbs, ko tas veic, ir vienāds.

Aplūkosim mehānisku sistēmu, kas sastāv no materiāliem punktiem, uz kuriem iedarbojas spēki.Lai sistēmai ir s brīvības pakāpes un tās atrašanās vieta tiks noteikta ar vispārinātām koordinātām (104). Informēsim sistēmu par tādu neatkarīgu iespējamu kustību, pie kuras koordināte saņem inkrementu un atlikušās koordinātas nemainās. Tad katrs no sistēmas punktu rādiusa vektoriem saņems elementāru pieaugumu. Tā kā saskaņā ar vienādību (106), , un apskatāmās kustības laikā mainās tikai koordinātas (pārējās saglabā nemainīgas vērtības), to aprēķina kā daļēju diferenciāli un tāpēc

Izmantojot šo vienādību un formulu (42) no 87. §, mēs aprēķinām visu iedarbīgo spēku elementāro darbu summu uz aplūkojamo pārvietojumu, ko mēs apzīmējam Iegūstam

Izņemot kopējo faktoru no iekavām, mēs beidzot atrodam

kur norādīts

Pēc analoģijas ar vienādību, kas nosaka spēka F elementāro darbu, lielumu sauc par vispārināto spēku, kas atbilst koordinātei

Informējot sistēmu par citu neatkarīgu iespējamo kustību, kuras laikā mainās tikai koordinātas, iegūstam izteiksmi visu iedarbojošo spēku elementāram darbam uz šo kustību.

Daudzums apzīmē vispārināto spēku, kas atbilst koordinātei utt.

Acīmredzot, ja sistēmai tiek dota tāda iespējamā kustība, kas vienlaikus maina visas tās vispārinātās koordinātas, tad uz šo kustību pielikto spēku elementāro darbu summu noteiks vienādība

Formula (112) parāda visu spēku, kas iedarbojas uz sistēmu, kopējo elementāro darbu vispārinātās koordinātās. No šīs vienlīdzības ir skaidrs, ka vispārinātie spēki ir lielumi, kas vienādi ar vispārināto koordinātu pieauguma koeficientiem, izsakot kopējo elementāro spēku darbu, kas iedarbojas uz sistēmu.

Ja visi sistēmai uzliktie savienojumi ir ideāli, tad darbu iespējamo kustību laikā veic tikai aktīvie spēki un lielumi attēlos vispārinātos sistēmas aktīvos spēkus.

Vispārinātā spēka izmērs ir atkarīgs no atbilstošās vispārinātās koordinātas izmēra. Tā kā produkts un tāpēc ir darba dimensija, tad

tas ir, vispārinātā spēka izmērs ir vienāds ar darba izmēru, kas dalīts ar atbilstošās vispārinātās koordinātas izmēru. No tā ir skaidrs, ka, ja q ir lineārs lielums, tad Q ir parastā spēka izmērs (SI to mēra ņūtonos), ja q ir leņķis (neizmērāms lielums), tad Q tiks mērīts un ir momenta dimensija; ja q ir tilpums (piemēram, virzuļa pozīciju cilindrā var noteikt pēc virzuļa telpas tilpuma), tad Q tiks mērīts un tam ir spiediena izmērs utt.

Kā redzam, pēc analoģijas ar vispārināto ātrumu, vispārinātā spēka jēdziens aptver visus lielumus, kas iepriekš tika sastapti kā materiālo ķermeņu mehāniskās mijiedarbības mēri (spēks, spēka moments, spiediens).

Aprēķināsim vispārinātos spēkus, izmantojot formulas (108), (110), kas reducējas līdz iespējamā elementārā darba aprēķināšanai (sk. § 140). Vispirms jānoskaidro, kāds ir sistēmas brīvības pakāpju skaits, jāizvēlas vispārinātas koordinātas un zīmējumā jāattēlo visi sistēmai pielietotie aktīvie spēki un berzes spēki (ja tie darbojas). Tad, lai noteiktu, ir jāinformē sistēma par tādu iespējamu kustību, pie kuras mainās tikai koordinātas, saņemot pozitīvu pieaugumu, pēc formulām (101) aprēķina visu uz šo kustību iedarbojošo spēku elementāro darbu summu. parādīt iegūto izteiksmi formā (108). Tad koeficients un dod vēlamo vērtību. Aprēķiniet līdzīgi

Piemērs 1. Aprēķināsim vispārināto spēku sistēmai, kas parādīta attēlā. 366, kur svaru A šķērso pa gludu slīpu plakni un svaru B šķērso pa nelīdzenu horizontālu plakni, kuras berzes koeficients ir vienāds ar

Atsvarus savieno ar vītni, kas izmesta pāri blokam O. Mēs neņemam vērā vītnes un bloka masu. Sistēmai ir viena brīvības pakāpe; pozīciju nosaka koordinātas (pozitīvo atskaites virzienu parāda bultiņa). Lai noteiktu, mēs informējam sistēmu par iespējamo pārvietojumu, pie kura un aprēķinām spēku elementāro darbu uz šo pārvietojumu; pārējie spēki nedarbojas. Kopš tā laika

Tāpēc

2. piemērs. Neņemot vērā berzi, mēs atrodam vispārinātos spēkus sistēmai, kas parādīta attēlā. 367. Viendabīgam stieņam A B ir garums l un svars P, un tas var griezties ap asi A vertikālā plaknē. Uz tā savērtajai bumbiņai M ir svars. Atsperes garums AM ir vienāds nenospriegotā stāvoklī, un stingrība ir c.

Sistēmai ir divas brīvības pakāpes (bumbiņas kustība pa stieni un stieņa griešanās ap asi A ir neatkarīgi). Kā vispārinātas koordinātas mēs izvēlamies lodītes leņķi un attālumu no nespriegtās atsperes gala, koordinātu pozitīvos virzienus parāda ar bultiņām.

Vispirms mēs informējam sistēmu par iespējamo kustību, pie kuras leņķis saņem pieaugumu. Šajā kustībā darbu veic spēki. Izmantojot otro no formulām (101), mēs atrodam (šeit mīnusa zīme, jo momenta virziens ir pretējs virzienam)

Tāpēc

Tagad mēs informējam sistēmu par iespējamu kustību, kuras laikā mainās tikai koordinātas, saņemot pieaugumu, un leņķi. Pie šī pārvietojuma darbu veic gravitācija un elastības spēks, kura modulis ir Tad

Apskatīsim mehānisku sistēmu ar ideāliem savienojumiem. Ļaut būt aktīviem sistēmas spēkiem. Dosim mehāniskajai sistēmai virtuālu pārvietojumu un aprēķināsim sistēmas spēku elementāro darbu uz šo pārvietojumu:

.

Izmantojot vienādību (17.2), izsakām variāciju
rādiusa vektors punktus M k caur variācijām
vispārinātas koordinātas:

tātad,

. (17.6)

Mainīsim summēšanas secību vienādībā (17.6):

. (17.7)

Apzīmēsim izteiksmē (17.7)

. (17.8)

.

Ar vispārinātiem spēkiem J j nosauc koeficientus vispārināto koordinātu variācijām sistēmas spēku elementārā darba izteiksmē.

Atkarībā no vispārināto koordinātu variāciju dimensijas
vispārinātie spēki J j var būt spēka, momenta utt. izmēri.

Vispārējo spēku aprēķināšanas metodes

Apskatīsim trīs veidus, kā aprēķināt vispārinātos spēkus.

1. Vispārināto spēku noteikšana, izmantojot pamatformulu(17.8)

. (17.9)

Formulu (17.9) praksē izmanto reti. Risinot problēmas, visbiežāk tiek izmantota otrā metode.

2. Vispārējo koordinātu “iesaldēšanas” metode.

Piešķirsim mehāniskajai sistēmai tādu virtuālu nobīdi, ka visas vispārināto koordinātu variācijas, izņemot
ir vienādi ar nulli:

Aprēķināsim darbu šai kustībai
visi sistēmai pieliktie aktīvie spēki

.

Pēc definīcijas variācijas reizinātājs
vienāds ar pirmo vispārināto spēku J 1 .

un definējiet otro vispārināto spēku J 2, aprēķinot visu sistēmas spēku virtuālo darbu

.

Līdzīgi aprēķināsim arī visus pārējos vispārinātos sistēmas spēkus.

3. Potenciāla spēka lauka gadījums.

Pieņemsim, ka ir zināma mehāniskās sistēmas potenciālā enerģija

Tad
un saskaņā ar formulu (32.8)

Statikas virtuālo kustību princips vispārinātās koordinātās

Saskaņā ar statikas virtuālo pārvietojumu principu sistēmas līdzsvaram ar ideāliem holonomiskiem, stacionāriem savienojumiem ir nepieciešams un pietiekams nosacījums:

pie nulles sākuma ātruma.

Pārejot uz vispārinātām koordinātām, mēs iegūstam

. (17.11)

Tā kā vispārināto koordinātu variācijas ir neatkarīgas, izteiksmes (17.11) vienādība ar nulli ir iespējama tikai tad, ja visi vispārināto koordinātu variāciju koeficienti ir vienādi ar nulli:

Tādējādi Lai mehāniskā sistēma ar ideāliem, holonomiskiem, stacionāriem un ierobežojošiem savienojumiem būtu līdzsvarā, ir nepieciešams un pietiekami, lai visi sistēmas vispārinātie spēki būtu vienādi ar nulli (pie nulles sistēmas sākuma ātrumiem).

Lagranža vienādojumi vispārinātās koordinātās (otrā veida Lagranža vienādojumi)

Lagranža vienādojumi ir iegūti no vispārējā dinamikas vienādojuma, aizstājot virtuālos pārvietojumus ar to izteiksmēm, izmantojot vispārinātu koordinātu variācijas. Tie attēlo mehāniskās sistēmas kustības diferenciālvienādojumu sistēmu vispārīgās koordinātās:

. (17.13)

Kur
- vispārināti ātrumi,

T sistēmas kinētiskā enerģija, kas attēlota kā vispārināto koordinātu un vispārināto ātrumu funkcija

J j- vispārinātie spēki.

Sistēmas vienādojumu skaitu (17.13) nosaka brīvības pakāpju skaits un tas nav atkarīgs no sistēmā iekļauto ķermeņu skaita. Ar ideāliem savienojumiem vienādojumu labajā pusē iekļūs tikai aktīvie spēki. Ja savienojumi nav ideāli, tad to reakcijas jāklasificē kā aktīvie spēki.

Ja uz mehānisko sistēmu iedarbojas potenciālie spēki, vienādojumi (17.13.) iegūst šādu formu

.

Ja ieviešam Lagranža funkciju L = T  P, tad ņemot vērā, ka potenciālā enerģija nav atkarīga no vispārinātajiem ātrumiem, iegūstam otrā veida Lagranža vienādojumus potenciālo spēku gadījumam šādā formā

.

Sastādot otrā veida Lagranža vienādojumus, jāveic šādas darbības:

Iestatiet mehāniskās sistēmas brīvības pakāpju skaitu un izvēlieties tās vispārinātās koordinātas.

Sastādiet sistēmas kinētiskās enerģijas izteiksmi un attēlojiet to kā vispārināto koordinātu un vispārināto ātrumu funkciju.

Izmantojot iepriekš aprakstītās metodes, atrodiet vispārinātos sistēmas aktīvos spēkus.

Veiciet visas Lagranža vienādojumos nepieciešamās diferenciācijas darbības.

Piemērs.

Kur Dž z ķermeņa inerces moments attiecībā pret griešanās asi z,
- ķermeņa leņķiskais ātrums.

3. Definēsim vispārināto spēku. Dosim ķermenim virtuālo pārvietojumu  un aprēķināsim visu sistēmas aktīvo spēku virtuālo darbu:

Tāpēc J = M z sistēmas aktīvo spēku galvenais moments attiecībā pret ķermeņa rotācijas asi.

4. Veiksim diferenciācijas operācijas Lagranža vienādojumā

: (17.14)

. (17.15)

Vienādību (17.15) aizstāšana vienādojumā (173

14) iegūstam ķermeņa rotācijas kustības diferenciālvienādojumu

.

Vispārināto spēku definīcija

Sistēmai ar vienu brīvības pakāpi vispārināts spēks, kas atbilst vispārinātajai koordinātei q, sauc par daudzumu, ko nosaka formula

kur d q– neliels vispārinātās koordinātas pieaugums; – sistēmas spēku elementāro darbu summa uz tās iespējamo kustību.

Atgādināsim, ka sistēmas iespējamā kustība tiek definēta kā sistēmas pārvietošanās uz bezgalīgi tuvu pozīciju, ko noteiktā laika momentā pieļauj savienojumi (sīkāk sk. 1. pielikumā).

Ir zināms, ka ideālo saišu reakcijas spēku veiktā darba summa uz jebkuru iespējamo sistēmas nobīdi ir vienāda ar nulli. Tāpēc sistēmai ar ideāliem savienojumiem izteiksmē jāņem vērā tikai sistēmas aktīvo spēku darbs. Ja savienojumi nav ideāli, tad to reakcijas spēki, piemēram, berzes spēki, nosacīti tiek uzskatīti par aktīviem spēkiem (sk. zemāk norādījumus par diagrammu 1.5. attēlā). Tas ietver aktīvo spēku elementāro darbu un aktīvo spēku pāru momentu elementāro darbu. Pierakstīsim formulas šo darbu noteikšanai. Teiksim, spēks ( F kx ,F ky ,F kz) pielietots punktā UZ, kura rādiusa vektors ir ( x k , y k , z k), un iespējamā pārvietošanās – (d xk, d y k , d z k). Spēka elementārais darbs pie iespējamā pārvietojuma ir vienāds ar skalāro reizinājumu, kas analītiskā formā atbilst izteiksmei

d A( ) = F līdz d r uz cos(), (1.3.a)

un koordinātu formā – izteiksme

d A( ) = F kx d x k + F ky d y k + F kz d z k. (1.3b)

Ja pāris spēki ar momentu M uzliek rotējošam ķermenim, kura leņķiskā koordināte ir j, un iespējamais pārvietojums ir dj, tad momenta elementārais darbs M uz iespējamo pārvietojumu dj nosaka pēc formulas

d A(M) = ± M d j. (1,3 v)

Šeit zīme (+) atbilst gadījumam, kad brīdis M un iespējamais kustības dj sakrīt virzienā; zīme (–), ja tie atrodas pretējā virzienā.

Lai varētu noteikt vispārināto spēku, izmantojot formulu (1.3), ir jāizsaka iespējamās ķermeņu un punktu kustības iekšā, izmantojot nelielu vispārinātās koordinātas d pieaugumu. q, izmantojot atkarības (1)…(7) adj. 1.

Vispārējā spēka definīcija J, kas atbilst izvēlētajai vispārinātajai koordinātei q, ieteicams to darīt šādā secībā.

· Uzzīmējiet projektēšanas diagrammā visus sistēmas aktīvos spēkus.

· Piešķiriet nelielu pieaugumu vispārinātajai koordinātei d q> 0; parādīt aprēķinu diagrammā atbilstošos iespējamos nobīdes visiem punktiem, kuros tiek pielikti spēki, un visu ķermeņu iespējamos leņķiskos pārvietojumus, kuriem tiek pielietoti spēku pāru momenti.

· Izveidojiet izteiksmi visu sistēmas aktīvo spēku elementāram darbam uz šīm kustībām, izsakiet iespējamās kustības caur d q.

· Noteikt vispārināto spēku, izmantojot formulu (1.3).

1.4. piemērs (sk. 1.1. att. nosacījumu).

Definēsim vispārinātajai koordinātei atbilstošo vispārināto spēku s(1.4. att.).

Uz sistēmu iedarbojas aktīvi spēki: P- kravas svars; G– trumuļa svars un griezes moments M.

Nelīdzenā slīpā plakne ir paredzēta slodzei A nepilnīgs savienojums. Slīdes berzes spēks F tr, iedarbojoties uz slodzi A no šī savienojuma, ir vienāds ar F tr = f N.

Lai noteiktu spēku N slodzes normāls spiediens uz plakni kustības laikā, mēs izmantojam D'Alemberta principu: ja katram sistēmas punktam papildus aktīvajiem aktīvajiem spēkiem un savienojumu reakcijas spēkiem tiek pielikts nosacīts inerces spēks, tad iegūtā kopa spēki tiks līdzsvaroti un dinamiskajiem vienādojumiem var piešķirt statiskā līdzsvara vienādojumu formu. Ievērojot labi zināmo šī principa piemērošanas metodi, mēs attēlosim visus spēkus, kas iedarbojas uz slodzi A(1.5. att.), – un , kur ir troses stiepes spēks.

Rīsi. 1.4. att. 1.5

Saskaitīsim inerces spēku, kur ir slodzes paātrinājums. D'Alemberta principa vienādojums projekcijā uz asi y izskatās kā N–Pcos a = 0.

No šejienes N = PC a. Slīdes berzes spēku tagad var noteikt pēc formulas F tr = f P cos a.

Dosim vispārināto koordinātu s neliels pieaugums d s> 0. Šajā gadījumā slodze (1.4. att.) virzīsies augšup pa slīpo plakni līdz attālumam d s, un cilindrs griezīsies pretēji pulksteņrādītāja virzienam par leņķi dj.

Izmantojot tādas formulas kā (1.3a) un (1.3c), izveidosim izteiksmi elementāru griezes momenta darbu summai M, spēks P Un F tr:

Izteiksim dj šajā vienādojumā caur d s: , Tad

mēs definējam vispārināto spēku, izmantojot formulu (1.3)

Ņemsim vērā iepriekš uzrakstīto formulu par F tr un mēs beidzot saņemsim

Ja tajā pašā piemērā par vispārināto koordinātu ņemam leņķi j, tad vispārināto spēku Qj izteikts ar formulu

1.4.2. Vispārējo sistēmas spēku noteikšana
ar divām brīvības pakāpēm

Ja sistēmai ir n brīvības pakāpes, tiek noteikta tā pozīcija n vispārinātas koordinātas. Katra koordināte qi(i = 1,2,…,n) atbilst tā vispārinātajam spēkam Q i, ko nosaka pēc formulas

kur ir aktīvo spēku elementāro darbu summa uz i-th iespējamā sistēmas kustība, kad d q i > 0, un pārējās vispārinātās koordinātas nav mainītas.

Nosakot, ir jāņem vērā norādījumi vispārināto spēku noteikšanai pēc formulas (1.3).

Sistēmas ar divām brīvības pakāpēm vispārinātos spēkus ieteicams noteikt sekojošā secībā.

· Projektēšanas diagrammā parādīt visus sistēmas aktīvos spēkus.

· Noteikt pirmo vispārināto spēku 1. jautājums. Lai to izdarītu, piešķiriet sistēmai pirmo iespējamo kustību, kad d q 1 > 0 un d q 2 =q 1 visu ķermeņu un sistēmas punktu iespējamās kustības; komponēt - sistēmas spēku elementārā darba izpausme uz pirmo iespējamo pārvietojumu; iespējamās kustības, kas izteiktas caur d q 1; atrast 1. jautājums pēc formulas (1.4), ņemot i = 1.

· Noteikt otro vispārināto spēku 2. jautājums. Lai to izdarītu, piešķiriet sistēmai otru iespējamo kustību, kad d q 2 > 0 un d q 1 = 0; dizaina diagrammā parādiet atbilstošo d q 2 visu ķermeņu un sistēmas punktu iespējamās kustības; komponēt - sistēmas spēku elementārā darba izpausme uz otro iespējamo pārvietojumu; iespējamās kustības, kas izteiktas caur d q 2; atrast 2. jautājums pēc formulas (1.4), ņemot i = 2.

1.5. piemērs (skatiet 1.2. att. nosacījumu)

Definēsim 1. jautājums Un 2. jautājums, kas atbilst vispārinātām koordinātām xD Un x A(1.6. att. A).

Uz sistēmu iedarbojas trīs aktīvi spēki: P A = 2P, P B = P D = P.

Definīcija 1. jautājums. Dosim sistēmai pirmo iespējamo kustību, kad d xD> 0, d x A = 0 (1.6. att., A). Tajā pašā laikā slodze D xD, bloķēt B griezīsies pretēji pulksteņrādītāja virzienam ar leņķi dj B, cilindra ass A paliks nekustīgs, cilindrisks A griezīsies ap asi A leņķī dj A pulksteņrādītāja virzienā. Apkoposim norādīto kustību darba summu:

definēsim

Definēsim 2. jautājums. Dosim sistēmai otru iespējamo kustību, kad d x D = 0, d xA> 0 (1.6. att., b). Šajā gadījumā cilindra ass A pārvietosies vertikāli uz leju par attālumu d x A, cilindrs A griezīsies ap asi A pulksteņrādītāja virzienā uz leņķi dj A, bloķēt B un kravas D paliks nekustīgs. Apkoposim norādīto kustību darba summu:

definēsim

1.6. piemērs (skatiet 1.3. att. nosacījumu)

Definēsim 1. jautājums Un 2. jautājums, kas atbilst vispārinātajām koordinātām j, s(1.7. att. A). Uz sistēmu iedarbojas četri aktīvie spēki: stieņa svars P, lodītes svars, atsperes elastīgais spēks un .

Ņemsim to vērā. Elastības spēku moduli nosaka pēc formulas (a).

Ņemiet vērā, ka spēka pielietošanas punkts F 2 ir nekustīgs, tāpēc šī spēka darbs uz jebkuru iespējamo sistēmas nobīdi ir nulle, vispārināto spēku izteiksmē spēks F 2 neies iekšā.

Definīcija 1. jautājums. Dosim sistēmai pirmo iespējamo kustību, kad dj > 0, d s = 0 (1.7. att., A). Šajā gadījumā stienis AB griezīsies ap asi z pretēji pulksteņrādītāja virzienam ar leņķi dj, iespējamās bumbas kustības D un centrs E stieņi ir vērsti perpendikulāri segmentam AD, pavasara garums nemainīsies. Ieliksim koordinātu formā [sk. formula (1.3b)]:

(Lūdzu, ņemiet vērā, ka tāpēc darbs, ko šis spēks veic pirmajā iespējamā pārvietojumā, ir nulle).

Izteiksim pārvietojumus d x E un d xD caur dj. Lai to izdarītu, mēs vispirms rakstām

Pēc tam saskaņā ar formulu (7) adj. 1 mēs atradīsim

Atrastās vērtības aizstājot ar , mēs iegūstam

Izmantojot formulu (1.4), ņemot vērā to, mēs nosakām

Definīcija 2. jautājums. Dosim sistēmai otru iespējamo kustību, kad dj = 0, d s> 0 (1.7. att., b). Šajā gadījumā stienis AB paliks nekustīgs, un bumba M pārvietosies pa stieni par attālumu d s. Apkoposim norādīto kustību darba summu:

definēsim

aizstājot spēka vērtību F 1 no formulas (a), mēs iegūstam

1.5. Sistēmas kinētiskās enerģijas izteikšana
vispārinātās koordinātēs

Sistēmas kinētiskā enerģija ir vienāda ar tās ķermeņu un punktu kinētisko enerģiju summu (2. pielikums). Lai iegūtu par T Izteiksmei (1.2.) jāizsaka visu sistēmas ķermeņu un punktu ātrumi, izmantojot vispārinātus ātrumus, izmantojot kinemātikas metodes. Šajā gadījumā sistēma tiek uzskatīta par patvaļīgu pozīciju, visi tās vispārinātie ātrumi tiek uzskatīti par pozitīviem, t.i., ir vērsti uz vispārināto koordinātu palielināšanu.

1. piemērs. 7 (skatīt nosacījumu 1.1. att.)

Nosakīsim sistēmas kinētisko enerģiju (1.8. att.), attālumu ņemot par vispārinātu koordinātu s,

T = TA + T B.

Saskaņā ar formulām (2) un (3) adj. 2 mums ir: .

Šo datu aizstāšana ar T un ņemot vērā to, mēs iegūstam

Piemērs 1.8(skatīt nosacījumu 1.2. att.)

Ļaujiet mums noteikt sistēmas kinētisko enerģiju attēlā. 1.9, par vispārinātām koordinātēm ņemot daudzumus xD Un x A,

T = T A + T B + T D.

Saskaņā ar formulām (2), (3), (4) adj. 2 mēs pierakstīsim

Izteiksim V A , V D , w B un w A caur:

Nosakot w A tiek ņemts vērā, ka punkts O(1.9. att.) – cilindru apgriezienu momentu centrs A Un V k = V D(sk. atbilstošos skaidrojumus, piemēram, 2. pielikuma 2. pielikumu).

Iegūto rezultātu aizstāšana ar T un ņemot vērā to

definēsim

Piemērs 1.9(skatīt nosacījumu 1.3. att.)

Ļaujiet mums noteikt sistēmas kinētisko enerģiju attēlā. 1.10, ņemot j un kā vispārinātas koordinātas s,

T = TAB + T D.

Saskaņā ar formulām (1) un (3) adj. 2 mums ir

Izteiksim w AB Un V D izmantojot un:

kur ir bumbiņas pārvietošanas ātrums D, tā moduli nosaka pēc formulas

Ir vērsta perpendikulāri segmentam AD leņķa j pieauguma virzienā; – bumbiņas relatīvais ātrums, tās moduli nosaka formula, kas vērsta uz pieaugošām koordinātām s. Ņemiet vērā, ka tāpēc ir perpendikulārs

Šo rezultātu aizstāšana ar T un ņemot vērā to

1.6. Diferenciālvienādojumu sastādīšana
mehānisko sistēmu kustība

Lai iegūtu nepieciešamos vienādojumus, Lagranža vienādojumos (1.1.) ir jāaizvieto iepriekš atrastā sistēmas kinētiskās enerģijas izteiksme vispārinātās koordinātēs un vispārinātos spēkos. J 1 , J 2 , … , Qn.

Meklējot daļējus atvasinājumus T izmantojot vispārinātās koordinātas un vispārinātos ātrumus, jāņem vērā, ka mainīgie q 1 , q 2 , … , q n; tiek uzskatīti par neatkarīgiem viens no otra. Tas nozīmē, ka, definējot daļējo atvasinājumu T vienam no šiem mainīgajiem, visi pārējie mainīgie izteiksmē for T jāuzskata par konstantēm.

Veicot darbību, visi mainīgajā iekļautie mainīgie ir jādiferencē laikā.

Mēs uzsveram, ka Lagranža vienādojumi ir rakstīti katrai vispārinātajai koordinātei qi (i = 1, 2,…n) sistēmas.