Kvadrātvienādojumi.

Kvadrātvienādojums- vispārējās formas algebriskais vienādojums

kur x ir brīvs mainīgais,

a, b, c ir koeficienti un

Izteiksme sauc par kvadrātveida trinomu.

Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes.

1. METODE : Vienādojuma kreisās puses faktorēšana.

Atrisināsim vienādojumu x 2 + 10x - 24 = 0. Faktorizēsim kreiso pusi:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Tāpēc vienādojumu var pārrakstīt šādi:

(x + 12) (x - 2) = 0

Tā kā reizinājums ir nulle, tad vismaz viens no tā faktoriem ir nulle. Tāpēc vienādojuma kreisā puse kļūst par nulli pie x = 2, un arī kad x = - 12. Tas nozīmē, ka numurs 2 Un - 12 ir vienādojuma saknes x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METODE : Pilna kvadrāta izvēles metode.

Atrisināsim vienādojumu x 2 + 6x - 7 = 0. Kreisajā pusē atlasiet pilnu kvadrātu.

Lai to izdarītu, mēs ierakstām izteiksmi x 2 + 6x šādā formā:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Rezultātā iegūtajā izteiksmē pirmais vārds ir skaitļa x kvadrāts, bet otrais ir x dubultreizinājums ar 3. Tāpēc, lai iegūtu pilnu kvadrātu, jums jāpievieno 3 2, jo

x 2+ 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Tagad pārveidosim vienādojuma kreiso pusi

x 2 + 6x - 7 = 0,

pievienojot tai un atņemot 3 2. Mums ir:

x 2 + 6x - 7 = x 2+ 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Tādējādi šo vienādojumu var uzrakstīt šādi:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

Tāpēc x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 vai x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODE :Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot formulu.

Sareizināsim abas vienādojuma puses

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

4a un secīgi mums ir:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Piemēri.

A) Atrisināsim vienādojumu: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, divas dažādas saknes;

Tātad pozitīvā diskriminanta gadījumā, t.i. plkst

b 2 - 4ac >0, vienādojums ax 2 + bx + c = 0 ir divas dažādas saknes.

b) Atrisināsim vienādojumu: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 = 0,

D = 0, viena sakne;

Tātad, ja diskriminants ir nulle, t.i. b 2 - 4ac = 0, tad vienādojums

ax 2 + bx + c = 0 ir viena sakne

V) Atrisināsim vienādojumu: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Šim vienādojumam nav sakņu.

Tātad, ja diskriminants ir negatīvs, t.i. b 2 - 4ac< 0 , vienādojums

ax 2 + bx + c = 0 nav sakņu.

Kvadrātvienādojuma sakņu formula (1). ax 2 + bx + c = 0ļauj atrast saknes jebkura kvadrātvienādojums (ja tāds ir), ieskaitot reducēto un nepilnīgo. Formula (1) ir izteikta verbāli šādi: kvadrātvienādojuma saknes ir vienādas ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir vienāds ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi, plus mīnus šī koeficienta kvadrātsakne bez četrkāršošanas pirmā koeficienta reizinājuma ar brīvo biedru, un saucējs ir divreiz lielāks par pirmo koeficientu.

4. METODE: Vienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu.

Kā zināms, reducētajam kvadrātvienādojumam ir forma

x 2 + pikseļi + c = 0.(1)

Tās saknes atbilst Vietas teorēmai, kas, kad a =1 izskatās kā

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

No tā varam izdarīt šādus secinājumus (no koeficientiem p un q varam paredzēt sakņu zīmes).

a) Ja pusloceklis q dotais vienādojums (1) ir pozitīvs ( q > 0), tad vienādojumam ir divas vienādības zīmes saknes, un tas ir atkarīgs no otrā koeficienta lpp. Ja R< 0 , tad abas saknes ir negatīvas, ja R< 0 , tad abas saknes ir pozitīvas.

Piemēram,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 Un x 2 = 1, jo q = 2 > 0 Un p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 Un x 2 = - 1, jo q = 7 > 0 Un p= 8 > 0.

b) Ja brīvais biedrs q dotais vienādojums (1) ir negatīvs ( q< 0 ), tad vienādojumam ir divas dažādas zīmes saknes, un lielākā sakne būs pozitīva, ja lpp< 0 , vai negatīvs, ja p > 0 .

Piemēram,

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 Un x 2 = 1, jo q = - 5< 0 Un p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 Un x 2 = - 1, jo q = - 9< 0 Un p = - 8< 0.

Piemēri.

1) Atrisināsim vienādojumu 345x2 – 137x - 208 = 0.

Risinājums. Jo a + b + c = 0 (345–137–208 = 0), Tas

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Atbilde: 1; -208/345.

2) Atrisiniet vienādojumu 132x2 – 247x + 115 = 0.

Risinājums. Jo a + b + c = 0 (132–247 + 115 = 0), Tas

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Atbilde: 1; 115/132.

B. Ja otrais koeficients b = 2k ir pāra skaitlis, tad saknes formula

Piemērs.

Atrisināsim vienādojumu 3x2 - 14x + 16 = 0.

Risinājums. Mums ir: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1, D > 0, divas dažādas saknes;

Atbilde: 2; 8/3

IN. Samazināts vienādojums

x 2 + pikseļi + q = 0

sakrīt ar vispārīgu vienādojumu, kurā a = 1, b = p Un c = q. Tāpēc reducētajam kvadrātvienādojumam saknes formula ir

Pieņem šādu formu:

Formulu (3) ir īpaši ērti lietot, kad R- pāra skaitlis.

Piemērs. Atrisināsim vienādojumu x 2 - 14x - 15 = 0.

Risinājums. Mums ir: x 1,2 =7±

Atbilde: x 1 = 15; x 2 = -1.

5. METODE: Vienādojumu atrisināšana grafiski.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu x2 - 2x - 3 = 0.

Uzzīmēsim funkciju y = x2 - 2x - 3

1) Mums ir: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. Tas nozīmē, ka parabolas virsotne ir punkts (1; -4), bet parabolas ass ir taisne x = 1.

2) Ņem divus punktus uz x ass, kas ir simetriski pret parabolas asi, piemēram, punkti x = -1 un x = 3.

Mums ir f(-1) = f(3) = 0. Konstruēsim punktus (-1; 0) un (3; 0) koordinātu plaknē.

3) Caur punktiem (-1; 0), (1; -4), (3; 0) zīmējam parabolu (68. att.).

Vienādojuma saknes x2 - 2x - 3 = 0 ir parabolas ar x asi krustošanās punktu abscises; Tas nozīmē, ka vienādojuma saknes ir: x1 = - 1, x2 - 3.

Atcerēsimies grādu pamatīpašības. Lai a > 0, b > 0, n, m ir jebkuri reāli skaitļi. Tad
1) a n a m = a n+m

2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)

3) (a n) m = a nm

4) (ab) n = a n b n

5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)

7) a n > 1, ja a > 1, n > 0

8) a n 1, n
9) a n > a m, ja 0

Praksē bieži tiek izmantotas funkcijas formā y = a x, kur a ir dots pozitīvs skaitlis, x ir mainīgais. Šādas funkcijas sauc indikatīvs. Šis nosaukums ir izskaidrojams ar to, ka eksponenciālās funkcijas arguments ir eksponents, bet eksponenta bāze ir dotais skaitlis.

Definīcija. Eksponenciālā funkcija ir forma y = a x, kur a ir noteikts skaitlis, a > 0, \(a \neq 1\)

Eksponenciālajai funkcijai ir šādas īpašības

1) Eksponenciālās funkcijas definīcijas apgabals ir visu reālo skaitļu kopa.
Šī īpašība izriet no fakta, ka pakāpe a x, kur a > 0, ir definēta visiem reālajiem skaitļiem x.

2) Eksponenciālās funkcijas vērtību kopa ir visu pozitīvo skaitļu kopa.
Lai to pārbaudītu, jums jāparāda, ka vienādojumam a x = b, kur a > 0, \(a \neq 1\), nav sakņu, ja \(b \leq 0\), un ir sakne jebkuram b > 0 .

3) Eksponenciālā funkcija y = a x palielinās visu reālo skaitļu kopā, ja a > 1, un samazinās, ja 0. Tas izriet no (8) un (9) pakāpes īpašībām.

Konstruēsim eksponenciālu funkciju grafikus y = a x, ja a > 0 un 0. Izmantojot aplūkotās īpašības, atzīmējam, ka funkcijas y = a x grafiks a > 0 iet caur punktu (0; 1) un atrodas virs tā. Vērša ass.
Ja x 0.
Ja x > 0 un |x| palielinās, grafiks ātri paceļas.

Funkcijas y = a x grafiks pie 0 Ja x > 0 un palielinās, tad grafiks ātri tuvojas Ox asij (to nešķērsojot). Tādējādi Vērša ass ir diagrammas horizontālā asimptote.
Ja x

Eksponenciālie vienādojumi

Apskatīsim vairākus eksponenciālo vienādojumu piemērus, t.i. vienādojumi, kuros nezināmais ir ietverts eksponentā. Atrisinot eksponenciālos vienādojumus, bieži vien jāatrisina vienādojums a x = a b, kur a > 0, \(a \neq 1\), x ir nezināms. Šis vienādojums tiek atrisināts, izmantojot pakāpju īpašību: pakāpes ar vienādu bāzi a > 0, \(a \neq 1\) ir vienādas tad un tikai tad, ja to eksponenti ir vienādi.

Atrisiniet vienādojumu 2 3x 3 x = 576
Tā kā 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, vienādojumu var uzrakstīt kā 8 x 3 x = 24 2 vai 24 x = 24 2, no kura x = 2.
Atbilde x = 2

Atrisiniet vienādojumu 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Izņemot kopējo koeficientu 3 x - 2 no iekavām kreisajā pusē, mēs iegūstam 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
no kurienes 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Atbilde x = 2

Atrisiniet vienādojumu 3 x = 7 x
Tā kā \(7^x \neq 0 \) , vienādojumu var uzrakstīt formā \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), no kuras \(\left(\frac(3) )( 7) \pa labi) ^x = 1 \), x = 0
Atbilde x = 0

Atrisiniet vienādojumu 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Nomainot 3 x = t, šis vienādojums tiek reducēts uz kvadrātvienādojumu t 2 - 4t - 45 = 0. Atrisinot šo vienādojumu, atrodam tā saknes: t 1 = 9, t 2 = -5, no kurienes 3 x = 9, 3 x = -5.
Vienādojumam 3 x = 9 ir sakne x = 2, un vienādojumam 3 x = -5 nav sakņu, jo eksponenciālā funkcija nevar iegūt negatīvas vērtības.
Atbilde x = 2

Atrisiniet vienādojumu 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Ierakstīsim vienādojumu formā
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, no kurienes
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Atbilde x = 2

Atrisiniet vienādojumu 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Tā kā 3 > 0, \(3 \neq 1\), tad sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam |x-1| = |x+3|
Izšķirot šo vienādojumu kvadrātā, mēs iegūstam tā secinājumu (x - 1) 2 = (x + 3) 2, no kura
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Pārbaude parāda, ka x = -1 ir sākotnējā vienādojuma sakne.
Atbilde x = -1

Kabelis LSV 2-7 16x0,12 pieder pie lentes šķirņu veida, ko veiksmīgi izmanto elektrisko un radioelektronisko ierīču iekšējai un starpierīču uzstādīšanai, kas darbojas elektrotīklos ar līdzstrāvu 350 V vai ar 250 V. maiņspriegums frekvencēs līdz 50 Hz. Aparatūras uzstādīšana tiek veikta, piedaloties dažāda veida spraudsavienojumiem, izmantojot gofrēšanas un kontaktsavienotājus, kuriem izolāciju var caurdurt, izmantojot lodēšanu, kā arī līmes un lakas, kas neietekmē izolāciju. Izolācija netiek apdraudēta, ja serdes ir atdalītas ar džemperi. Zīmols lieliski iztur sinusoidālās vibrācijas, akustiskā trokšņa, lineārā paātrinājuma, vienreizēju un vairāku mehānisku triecienu ietekmi.

Marķējuma LSV 2-7 16x0.12 skaidrojums:

• L - lente
• S - sērija
• B - PVC izolācija

Kabeļa LSV 2-7 konstruktīvie elementi 16x0,12

1. Vienvadu alvota vara iekšējais vadītājs
2. Polimēru PVC izolācija

Kabeļa LSV 2-7 tehniskie parametri 16x0,12

Sertifikāti un garantijas

I. cirvis 2 =0 – nepilnīgs kvadrātvienādojums (b=0, c=0 ). Risinājums: x=0. Atbilde: 0.

Atrisiniet vienādojumus.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Risinājums. Atvērsim iekavas, reizinot 2x katram terminam iekavās:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; Mēs pārvietojam terminus no labās puses uz kreiso:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Šeit ir līdzīgi termini:

3x2 =0, tātad x=0.

Atbilde: 0.

II. cirvis 2 +bx=0 –nepilnīgs kvadrātvienādojums (c=0 ). Risinājums: x (ax+b)=0 → x 1 =0 vai ax+b=0 → x 2 =-b/a. Atbilde: 0; -ba.

5x2 -26x=0.

Risinājums. Izņemsim kopējo faktoru Xārpus iekavām:

x(5x-26)=0; katrs koeficients var būt vienāds ar nulli:

x=0 vai 5x-26=0→ 5x=26, dalīt abas vienādības puses ar 5 un iegūstam: x=5.2.

Atbilde: 0; 5,2.

3. piemērs. 64x+4x2 =0.

Risinājums. Izņemsim kopējo faktoru 4xārpus iekavām:

4x(16+x)=0. Mums ir trīs faktori, 4≠0, tāpēc vai x=0 vai 16+x=0. No pēdējās vienādības iegūstam x=-16.

Atbilde: -16; 0.

4. piemērs.(x-3) 2 + 5x=9.

Risinājums. Izmantojot formulu divu izteiksmju starpības kvadrātam, mēs atvērsim iekavas:

x 2 -6x+9+5x=9; pārveidot formā: x 2 -6x+9+5x-9=0; Piedāvāsim līdzīgus terminus:

x 2 -x=0; mēs to izņemsim Xārpus iekavām iegūstam: x (x-1)=0. No šejienes vai x=0 vai x-1=0→ x=1.

Atbilde: 0; 1.

III. cirvis 2 +c=0 –nepilnīgs kvadrātvienādojums (b=0 ); Risinājums: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Ja (-c/a)<0 , tad īstu sakņu nav. Ja (-с/а)>0

5. piemērs. x 2 -49=0.

Risinājums.

x 2 = 49, no šejienes x=±7. Atbilde:-7; 7.

6. piemērs. 9x2 -4=0.

Risinājums.

Bieži vien ir jāatrod kvadrātvienādojuma sakņu kvadrātu summa (x 1 2 +x 2 2) vai kubu summa (x 1 3 +x 2 3), retāk - abpusējo vērtību summa. kvadrātvienādojuma sakņu kvadrātu vai kvadrātvienādojuma sakņu aritmētisko kvadrātsakņu summa:

Vietas teorēma var palīdzēt šajā jautājumā:

x 2 + pikseļi + q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Izteiksim cauri lpp Un q:

1) vienādojuma sakņu kvadrātu summa x 2 +px+q=0;

2) vienādojuma sakņu kubu summa x 2 + pikseļi + q=0.

Risinājums.

1) Izteiksme x 1 2 + x 2 2 ko iegūst, abas vienādojuma puses kvadrātā x 1 + x 2 = -p;

(x 1 + x 2) 2 = (-p) 2; atveriet iekavas: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; izsakām nepieciešamo summu: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Mēs saņēmām noderīgu vienlīdzību: x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q.

2) Izteiksme x 1 3 + x 2 3 Attēlosim kubu summu, izmantojot formulu:

(x 1 3 + x 2 3)=(x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Vēl viens noderīgs vienādojums: x 1 3 + x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Piemēri.

3) x 2 -3x-4=0. Neatrisinot vienādojumu, aprēķiniet izteiksmes vērtību x 1 2 + x 2 2.

Risinājums.

x 1 + x 2 =-p=3, un darbs x 1 ∙x 2 =q=1. piemērā) vienlīdzība:

x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q. Mums ir -lpp=x 1 +x 2 = 3 → p 2 = 3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Tad x 1 2 + x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Atbilde: x 1 2 + x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Aprēķināt: x 1 3 +x 2 3 .

Risinājums.

Saskaņā ar Vietas teorēmu šī reducētā kvadrātvienādojuma sakņu summa ir x 1 + x 2 =-p=2, un darbs x 1 ∙x 2 =q=-4. Pielietosim to, ko esam saņēmuši ( 2. piemērā) vienlīdzība: x 1 3 + x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Atbilde: x 1 3 + x 2 3 =32.

Jautājums: ko darīt, ja mums tiek dots nereducēts kvadrātvienādojums? Atbilde: to vienmēr var “samazināt”, dalot termiņu ar pirmo koeficientu.

5) 2x2 -5x-7=0. Neizlemjot, aprēķiniet: x 1 2 + x 2 2.

Risinājums. Mums ir dots pilnīgs kvadrātvienādojums. Sadaliet abas vienādības puses ar 2 (pirmais koeficients) un iegūstiet šādu kvadrātvienādojumu: x 2 -2,5x-3,5=0.

Saskaņā ar Vietas teorēmu sakņu summa ir vienāda ar 2,5 ; sakņu reizinājums ir vienāds -3,5 .

Mēs to atrisinām tāpat kā piemērā 3) izmantojot vienlīdzību: x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Atbilde: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Atrast:

Pārveidosim šo vienādību un, izmantojot Vietas teorēmu, aizstāsim sakņu summu cauri -lpp, un produkts no saknēm cauri q, mēs iegūstam vēl vienu noderīgu formulu. Atvasinot formulu, mēs izmantojām vienādojumu 1): x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q.

Mūsu piemērā x 1 + x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Mēs aizstājam šīs vērtības iegūtajā formulā:

7) x 2 -13x+36=0. Atrast:

Pārveidosim šo summu un iegūsim formulu, ar kuras palīdzību var atrast aritmētisko kvadrātsakņu summu no kvadrātvienādojuma saknēm.

Mums ir x 1 + x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 = q = 36. Mēs aizstājam šīs vērtības iegūtajā formulā:

Padoms : vienmēr pārbaudiet iespēju atrast kvadrātvienādojuma saknes, izmantojot piemērotu metodi, jo 4 pārskatīts noderīgas formulasļauj ātri izpildīt uzdevumu, īpaši gadījumos, kad diskriminants ir “neērts” numurs. Visos vienkāršos gadījumos atrodiet saknes un operējiet ar tām. Piemēram, pēdējā piemērā mēs atlasām saknes, izmantojot Vietas teorēmu: sakņu summai jābūt vienādai ar 13 , un sakņu produkts 36 . Kādi ir šie skaitļi? noteikti, 4 un 9. Tagad aprēķiniet šo skaitļu kvadrātsakņu summu: 2+3=5. Tieši tā!

I. Vietas teorēma reducētajam kvadrātvienādojumam.

Reducētā kvadrātvienādojuma sakņu summa x 2 + pikseļi + q=0 ir vienāds ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Atrodiet dotā kvadrātvienādojuma saknes, izmantojot Vietas teorēmu.

1. piemērs) x 2 -x-30=0.Šis ir reducētais kvadrātvienādojums ( x 2 + pikseļi + q=0), otrais koeficients p=-1, un bezmaksas dalībnieks q=-30. Vispirms pārliecināsimies, ka šim vienādojumam ir saknes un ka saknes (ja tādas ir) tiks izteiktas veselos skaitļos. Lai to izdarītu, pietiek ar to, ka diskriminants ir ideāls vesela skaitļa kvadrāts.

Diskriminanta atrašana D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Tagad, saskaņā ar Vietas teorēmu, sakņu summai jābūt vienādai ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi, t.i. ( -lpp), un produkts ir vienāds ar brīvo termiņu, t.i. ( q). Pēc tam:

x 1 + x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Mums ir jāizvēlas divi skaitļi, lai to reizinājums būtu vienāds ar -30 , un summa ir vienība. Tie ir skaitļi -5 Un 6 . Atbilde: -5; 6.

2. piemērs) x 2 +6x+8=0. Mums ir samazināts kvadrātvienādojums ar otro koeficientu p=6 un bezmaksas dalībnieks q=8. Pārliecināsimies, ka ir vesela skaitļa saknes. Atradīsim diskriminantu D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminants D 1 ir ideāls skaitļa kvadrāts 1 , kas nozīmē, ka šī vienādojuma saknes ir veseli skaitļi. Atlasīsim saknes, izmantojot Vietas teorēmu: sakņu summa ir vienāda ar –р=-6, un sakņu reizinājums ir vienāds ar q=8. Tie ir skaitļi -4 Un -2 .

Faktiski: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Atbilde: -4; -2.

3. piemērs) x 2 +2x-4=0. Šajā reducētajā kvadrātvienādojumā otrais koeficients p=2, un bezmaksas dalībnieks q=-4. Atradīsim diskriminantu D 1, jo otrais koeficients ir pāra skaitlis. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminants nav ideāls skaitļa kvadrāts, tāpēc mēs to darām secinājums: Šī vienādojuma saknes nav veseli skaitļi, un tās nevar atrast, izmantojot Vietas teorēmu. Tas nozīmē, ka mēs atrisinām šo vienādojumu, kā parasti, izmantojot formulas (šajā gadījumā izmantojot formulas). Mēs iegūstam:

4. piemērs). Uzrakstiet kvadrātvienādojumu, izmantojot tā saknes, ja x 1 = -7, x 2 = 4.

Risinājums. Nepieciešamais vienādojums tiks uzrakstīts šādā formā: x 2 + pikseļi + q=0, un, pamatojoties uz Vietas teorēmu –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 . Tad vienādojumam būs šāda forma: x 2 +3x-28=0.

5. piemērs). Uzrakstiet kvadrātvienādojumu, izmantojot tā saknes, ja:

II. Vietas teorēma pilnīgam kvadrātvienādojumam ax 2 +bx+c=0.

Sakņu summa ir mīnus b, dalīts ar A, sakņu reizinājums ir vienāds ar Ar, dalīts ar A:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 = c/a.

6. piemērs). Atrodiet kvadrātvienādojuma sakņu summu 2x2 -7x-11=0.

Risinājums.

Mēs pārliecināmies, ka šim vienādojumam būs saknes. Lai to izdarītu, pietiek izveidot diskriminanta izteiksmi un, to neaprēķinot, vienkārši pārliecinieties, vai diskriminants ir lielāks par nulli. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Tagad izmantosim teorēma Vieta pilniem kvadrātvienādojumiem.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

7. piemērs). Atrodiet kvadrātvienādojuma sakņu reizinājumu 3x2 +8x-21=0.

Risinājums.

Atradīsim diskriminantu D 1, kopš otrā koeficienta ( 8 ) ir pāra skaitlis. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Kvadrātvienādojumam ir 2 sakne, saskaņā ar Vietas teorēmu, sakņu produkts x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. cirvis 2 +bx+c=0– vispārējais kvadrātvienādojums

Diskriminējošais D=b 2 - 4ac.

Ja D>0, tad mums ir divas reālas saknes:

Ja D=0, tad mums ir viena sakne (vai divas vienādas saknes) x=-b/(2a).

Ja D<0, то действительных корней нет.

Piemērs 1) 2x2 +5x-3=0.

Risinājums. a=2; b=5; c=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 īstas saknes.

4x2 +21x+5=0.

Risinājums. a=4; b=21; c=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 īstas saknes.

II. ax 2 +bx+c=0 – noteiktas formas kvadrātvienādojums ar pat otro

koeficients b

Piemērs 3) 3x2 -10x+3=0.

Risinājums. a=3; b=-10 (pāra skaitlis); c=3.

4. piemērs) 5x2 -14x-3=0.

Risinājums. a=5; b= -14 (pāra skaitlis); c=-3.

5. piemērs) 71x2 +144x+4=0.

Risinājums. a=71; b=144 (pāra skaitlis); c=4.

6. piemērs) 9x2 -30x+25=0.

Risinājums. a=9; b=-30 (pāra skaitlis); c=25.

III. ax 2 +bx+c=0 – kvadrātvienādojums nodrošināts privātais veids: a-b+c=0.

Pirmā sakne vienmēr ir vienāda ar mīnus viens, bet otrā sakne vienmēr ir vienāda ar mīnusu Ar, dalīts ar A:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

7. piemērs) 2x2 +9x+7=0.

Risinājums. a=2; b=9; c=7. Pārbaudīsim vienlīdzību: a-b+c=0. Mēs iegūstam: 2-9+7=0 .

Tad x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3,5. Atbilde: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – noteiktas formas kvadrātvienādojums : a+b+c=0.

Pirmā sakne vienmēr ir vienāda ar vienu, bet otrā sakne ir vienāda ar Ar, dalīts ar A:

x 1 = 1, x 2 = c/a.

8. piemērs) 2x2 -9x+7=0.

Risinājums. a=2; b=-9; c=7. Pārbaudīsim vienlīdzību: a+b+c=0. Mēs iegūstam: 2-9+7=0 .

Tad x 1 = 1, x 2 = c/a = 7/2 = 3,5. Atbilde: 1; 3,5.

1. lapa no 1 1

Tas sastāv no tā, ka betons, kas pastiprināts ar stipriem tērauda karkasiem, ir ļoti izturīgs būvmateriāls un nav pakļauts daudzām vides ietekmēm, kuru dēļ gaisvadu līnijas balsta pamatu konstrukcija spēj balstīt tēraudu un stiegrotu. betona elektrolīniju balsti bez to apgāšanās draudiem gadu desmitiem. Izturība, noturība pret slodzēm un stiprība ir galvenās priekšrocības, izmantojot dzelzsbetona pamatus FP2,7x2,7-A 220 kV vienkontūras gaisvadu līniju, 330 kV vienas ķēdes gaisvadu līniju metāla balstiem energobūvniecībā.

Dzelzsbetona pamati FP2,7x2,7-A 220 kV vienas ķēdes gaisvadu līniju metāla balstiem, 330 kV vienķēdes gaisvadu līnijām ir izgatavoti no smaga betona ar spiedes stiprības klasi vismaz B30, marka - no M300. Betona pakāpe salizturībai nav zemāka par F150, ūdensizturībai - W4 - W6. Betona ražošanai izmantotajam cementam un inertiem jāatbilst SNiP I-B.3-62 un TP4-68 prasībām. Lielākais graudu izmērs betona konstrukcijā nedrīkst pārsniegt 20-40 mm. Atbalsta pamatu betona stiprības kontrole saskaņā ar GOST 10180-67 “Smagais betons. Stiprības noteikšanas metodes" un GOST 10181-62 "Smagais betons. Betona maisījuma mobilitātes un stingrības noteikšanas metodes."

Kā armatūra tiek izmantoti pamati FP2,7x2,7-A 220 kV vienas ķēdes gaisvadu līniju metāla balstiem, 330 kV vienas ķēdes gaisvadu līnijām: karsti velmēti A-I klases stiegrojuma tērauda stieņi, karsti velmēti armatūras tērauda stieņi A-III klases periodiskais profils, A-IV periodiskā profila klases stiegrojuma tērauda stieņi un B1 klases parastās stiegrojuma stieples. Montāžas cilpām izmanto tikai A-I klases karsti velmētu stieņu stiegrojumu, kas izgatavots no oglekļa mīksta tērauda.

Elektropārvades līniju balstu pamati energobūvei saskaras ar atbildīgu uzdevumu - uzturēt elektropārvades līniju balstu stabilitāti un izturību daudzu gadu garumā dažādos klimatiskajos apstākļos, jebkurā gadalaikā un jebkuros laikapstākļos. Tāpēc atbalsta fondiem tiek izvirzītas ļoti augstas prasības. Pirms nosūtīšanas klientam tiek pārbaudīti FP2,7x2,7-A balstu pamati 220 kV vienas ķēdes gaisvadu līniju, 330 kV vienas ķēdes gaisvadu līniju metāla balstiem pēc dažādiem parametriem, piemēram, stabilitātes pakāpes. , izturība, izturība un nodilumizturība, izturība pret negatīvām temperatūrām un atmosfēras ietekmi . Pirms metināšanas savienojuma daļām jābūt bez rūsas. Dzelzsbetona pamati, kuru betona aizsargslāņa biezums ir mazāks par 30 mm, kā arī pamati, kas ierīkoti agresīvās augsnēs, ir jāaizsargā ar hidroizolāciju.

Ekspluatācijas laikā pamati FP2,7x2,7-A 220 kV vienas ķēdes gaisvadu līniju, 330 kV vienķēdes gaisvadu līniju metāla balstiem ir pakļauti rūpīgai uzraudzībai, īpaši pirmajos gaisvadu līnijas ekspluatācijas gados. Viens no nopietnākajiem pamatu būvniecības defektiem, kurus ekspluatācijas apstākļos ir grūti novērst, ir tehnoloģisko standartu pārkāpums to izgatavošanas laikā: nekvalitatīvas vai slikti mazgātas grants izmantošana, proporciju pārkāpšana betona maisījuma pagatavošanā utt. . Tikpat nopietns defekts ir pamatu slāņu betonēšana, kad viena un tā paša pamata atsevišķi elementi tiek betonēti dažādos laikos bez iepriekšējas virsmas sagatavošanas. Šajā gadījumā viena pamatu elementa betons nesaskaras ar otru, un var rasties pamatu bojājums pie ārējām slodzēm, kas ir ievērojami mazākas par aprēķinātajām.

Izgatavojot dzelzsbetona pamatus balstiem, dažkārt tiek pārkāpti arī standarti: izmantots nekvalitatīvs betons, stiegrojums likts nepareizos izmēros, kā paredzēts projektā. Elektrolīniju būvniecībā uz saliekamiem vai pāļu dzelzsbetona pamatiem var rasties nopietni defekti, ko nepieļauj energobūvniecība. Pie šādiem defektiem var minēt salauztu dzelzsbetona pamatu ierīkošanu, to nepietiekamu iekļūšanu zemē (īpaši uzstādot balstus pauguru un gravu nogāzēs), neatbilstošu sablīvējumu aizbēršanas laikā, mazāka izmēra saliekamo pamatu ierīkošanu u.c. Uzstādīšanas defekti ietver nepareizu dzelzsbetona pamatu ierīkošana, kurā atsevišķiem saliekamiem pamatiem, kas paredzēti kā metāla balsta pamats, ir dažādi atsevišķu pamatu vertikālie pacēlumi vai nobīdes plānā. Nepareizi atslogojot, var tikt bojāti pamati FP2,7x2,7-A 220 kV vienas ķēdes gaisvadu līniju, 330 kV vienķēdes gaisvadu līniju metāla balstiem, var tikt atsegtas betona šķembas un stiegrojums. Pieņemšanas procesā īpaša uzmanība jāpievērš enkura skrūvju un to uzgriežņu atbilstībai projektētajiem izmēriem.

Ekspluatācijas apstākļos dzelzsbetona pamati FP2,7x2,7-A 220 kV vienkontūras gaisvadu līniju, 330 kV vienķēdes gaisvadu līniju metāla balstiem tiek bojāti gan no vides ietekmes, gan no lielām ārējām slodzēm. Pamatu stiegrojumu ar porainu betona konstrukciju bojā gruntsūdeņu agresīvā ietekme. Plaisas, kas veidojas uz pamatu virsmas, pakļaujot mainīgām ekspluatācijas slodzēm, kā arī vējam, mitrumam un zemai temperatūrai, izplešas, kas galu galā noved pie betona iznīcināšanas un stiegrojuma iedarbības. Vietās, kas atrodas netālu no ķīmiskajām rūpnīcām, enkura skrūves un metāla kāju balstu augšējā daļa ātri sabojājas.

Atbalsta pamatnes lūzums var rasties arī tā neatbilstības dēļ ar statīviem, kas rada lielus lieces momentus. Līdzīgs sabrukums var rasties, ja pamatnes pamatni izskalo gruntsūdeņi un novirzās no tā vertikālā stāvokļa.

Pieņemšanas procesā tiek pārbaudīti FP2,7x2,7-A pamati 220 kV vienas ķēdes gaisvadu līniju metāla balstiem, 330 kV vienas ķēdes gaisvadu līniju atbilstība projektam, ieklāšanas dziļums, betona kvalitāte, darba stiegrojuma un enkura skrūvju metināšana, aizsardzības klātbūtne un kvalitāte pret agresīvu ūdeņu iedarbību . Pamatu vertikālās atzīmes tiek izmērītas un enkurskrūvju atrašanās vieta tiek pārbaudīta atbilstoši šablonam. Ja tiek konstatēta neatbilstība standartiem, visi defekti tiek novērsti pirms bedru aizbēršanas. Tiek remontēti pamati, kuriem ir šķeldēts betons un atsegts stiegrojums augšējā daļā. Lai to izdarītu, tiek uzstādīts 10-20 cm biezs betona karkass, kas aprakts 20-30 cm zem zemes līmeņa Jāpatur prātā, ka energokonstrukcijā nav pieļaujams rāmis, kas izgatavots no sārņu betona, jo izdedži satur piedevu sērs, kas izraisa intensīvu stiegrojuma un enkuru koroziju.skrūves Būtiskāku pamatu (arī monolīto) bojājumu gadījumā bojātā daļa tiek pārklāta ar stiegrojumu, kas piemetināts pie galvenā pamata stiegrojuma, un pēc veidņu uzstādīšanas tiek betonēts.