Lekcija 6. Atvasinājumu pielietošana funkciju izpētē

Ja funkcija f(x) katrā segmenta punktā ir atvasinājums [ A, b], tad tā uzvedību var pētīt, izmantojot atvasinājumu f"(X).

Apskatīsim diferenciālrēķinu pamatteorēmas, kas ir atvasinājumu lietojumu pamatā.

Fermā teorēma

Teorēma(ferma) ( par atvasinājuma vienādību ar nulli ). Ja funkcija f(x), diferencējams pēc intervāla (a, b) un sasniedz savu lielāko vai mazāko vērtību punktā c є ( a, b), tad funkcijas atvasinājums šajā punktā ir nulle, t.i. f"(Ar) = 0.

Pierādījums. Ļaujiet funkcijai f(x) ir diferencējams intervālā ( a, b) un punktā X = Ar aizņem vislielāko vērtību M plkst Ar є ( a, b) (1. att.), t.i.

f(Ar) ≥ f(x) vai f(x) – f(c) ≤ 0 vai f(s +Δ X) – f(Ar) ≤ 0.

Atvasinājums f"(x) punktā X = Ar: .

Ja x> c, Δ X> 0 (t.i., Δ X→ 0 pa labi no punkta Ar), Tas un tāpēc f"(Ar) ≤ 0.

Ja x< с , Δ X< 0 (т.е. ΔX→ 0 pa kreisi no punkta Ar), Tas , no kā izriet, ka f"(Ar) ≥ 0.

Pēc nosacījuma f(x) ir diferencējams punktā Ar, tāpēc tās robeža plkst x→ Ar nav atkarīgs no argumenta pieejas virziena izvēles x līdz punktam Ar, t.i. .

Mēs iegūstam sistēmu, no kuras tas izriet f"(Ar) = 0.

Gadījumā f(Ar) = T(tie. f(x) ņem pie punkta Ar mazākā vērtība), pierādījums ir līdzīgs. Teorēma ir pierādīta.

Fermā teorēmas ģeometriskā nozīme: intervālā sasniegtās lielākās vai mazākās vērtības punktā funkcijas grafika pieskare ir paralēla x asij.

Fails FERMA-KDVar © N. M. Koziy, 2008

Ukrainas sertifikāts Nr.27312

FERmata pēdējās teorēmas ĪSS PIERĀDĪJUMS

Fermā pēdējā teorēma ir formulēta šādi: Diofantīna vienādojums (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

A n + B n = C n * /1/

Kur n- pozitīvam veselam skaitlim, kas ir lielāks par diviem, nav atrisinājuma ar pozitīviem veseliem skaitļiem A , B , AR .

APLIECINĀJUMS

No Fermā pēdējās teorēmas formulējuma izriet: ja n ir pozitīvs vesels skaitlis, kas ir lielāks par diviem, ar nosacījumu, ka divi no trim skaitļiem A , IN vai AR- pozitīvi veseli skaitļi, viens no šiem skaitļiem nav pozitīvs vesels skaitlis.

Mēs veidojam pierādījumu, pamatojoties uz aritmētikas pamatteorēmu, ko sauc par "unikālo faktorizācijas teorēmu" vai "saliktu veselu skaitļu faktorizācijas unikalitātes teorēmu". Ir iespējami nepāra un pāra eksponenti n . Apskatīsim abus gadījumus.

1. Pirmais gadījums: eksponents n - nepāra skaitlis.

Šajā gadījumā izteiksme /1/ tiek pārveidota pēc zināmām formulām šādi:

A n + IN n = AR n /2/

Mēs tam ticam A Un B– pozitīvi veseli skaitļi.

Skaitļi A , IN Un AR jābūt savstarpēji pirmskaitļiem.

No vienādojuma /2/ izriet, ka noteiktām skaitļu vērtībām A Un B faktors ( A + B ) n , AR.

Pieņemsim, ka skaitlis AR - pozitīvs vesels skaitlis. Ņemot vērā pieņemtos nosacījumus un aritmētikas pamatteorēmu, nosacījumam ir jābūt izpildītam :

AR n = A n + B n = (A+B) n ∙ D n , / 3/

kur ir faktors Dn D

No vienādojuma /3/ izriet:

No vienādojuma /3/ arī izriet, ka skaitlis [ Cn = A n + Bn ] ar nosacījumu, ka numurs AR ( A + B ) n. Tomēr ir zināms, ka:

A n + Bn < ( A + B ) n /5/

Tātad:

- daļskaitlis, kas mazāks par vienu. /6/

Daļējs skaitlis.

n

Nepāra eksponentiem n >2 numurs:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

No vienādojuma /2/ analīzes izriet, ka nepāra eksponentam n numurs:

AR n = A n + IN n = (A+B)

sastāv no diviem specifiskiem algebriskiem faktoriem un jebkurai eksponenta vērtībai n algebriskais faktors paliek nemainīgs ( A + B ).

Tādējādi Fermā pēdējai teorēmai nav atrisinājuma pozitīvos veselos skaitļos nepāra eksponentiem n >2.

2. Otrais gadījums: eksponents n - pāra skaitlis .

Fermā pēdējās teorēmas būtība nemainīsies, ja vienādojumu /1/ pārrakstīsim šādi:

A n = Cn - Bn /7/

Šajā gadījumā vienādojums /7/ tiek pārveidots šādi:

A n = C n - B n = ( AR +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/

Mēs to pieņemam AR Un IN- veseli skaitļi.

No vienādojuma /8/ izriet, ka noteiktām skaitļu vērtībām B Un C faktors (C+ B ) ir tāda pati vērtība jebkurai eksponenta vērtībai n , tāpēc tas ir skaitļa dalītājs A .

Pieņemsim, ka skaitlis A– vesels skaitlis. Ņemot vērā pieņemtos nosacījumus un aritmētikas pamatteorēmu, nosacījumam ir jābūt izpildītam :

A n = C n - Bn =(C+ B ) n ∙ Dn , / 9/

kur ir faktors Dn ir jābūt veselam skaitlim un līdz ar to skaitlim D jābūt arī veselam skaitlim.

No vienādojuma /9/ izriet:

/10/

No vienādojuma /9/ arī izriet, ka skaitlis [ A n = AR n - Bn ] ar nosacījumu, ka numurs A– vesels skaitlis, jādalās ar skaitli (C+ B ) n. Tomēr ir zināms, ka:

AR n - Bn < (С+ B ) n /11/

Tātad:

- daļskaitlis, kas mazāks par vienu. /12/

Daļējs skaitlis.

No tā izriet, ka eksponenta nepāra vērtībai n Fermā pēdējās teorēmas vienādojumam /1/ nav atrisinājuma ar pozitīviem veseliem skaitļiem.

Pat eksponentiem n >2 numurs:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Tādējādi Fermā pēdējai teorēmai nav atrisinājuma pozitīviem veseliem skaitļiem un pāra eksponentiem n >2.

No iepriekš minētā izriet vispārīgs secinājums: Fermā pēdējās teorēmas vienādojumam /1/ nav atrisinājuma ar pozitīviem veseliem skaitļiem A, B Un AR ar nosacījumu, ka eksponents n >2.

PAPILDU PAMATOJUMS

Gadījumā, ja eksponents n – pāra skaitlis, algebriskā izteiksme ( Cn - Bn ) sadalās algebriskajos faktoros:

C 2 – B 2 =(C-B) ∙ (C+B); /13/

C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

C 6 – B 6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 + CB+ B 2) ; /15/

C8-B8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Sniegsim piemērus skaitļos.

1. PIEMĒRS: B=11; C=35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 323;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 323 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) = 2 ∙ 3 ​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

2. PIEMĒRS: B=16; C=25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) = 3 2 ∙ 41 · 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

No /13/, /14/, /15/ un /16/ vienādojumu un atbilstošo skaitlisko piemēru analīzes izriet:

Noteiktam eksponentam n , ja tas ir pāra skaitlis, skaitlis A n = C n - Bn sadalās precīzi noteiktā skaitā labi definētu algebrisko faktoru;

Jebkuram eksponentam n , ja tas ir pāra skaitlis, algebriskajā izteiksmē ( Cn - Bn ) vienmēr ir reizinātāji ( C - B ) Un ( C + B ) ;

Katrs algebriskais faktors atbilst pilnīgi noteiktam skaitliskam faktoram;

Par dotajiem skaitļiem IN Un AR skaitliskie faktori var būt pirmskaitļi vai saliktie skaitliskie faktori;

Katrs saliktais skaitliskais faktors ir pirmskaitļu reizinājums, kas daļēji vai pilnīgi nav citu saliktu skaitlisko faktoru;

Pirmskaitļu lielums salikto skaitlisko faktoru sastāvā palielinās, palielinoties šiem faktoriem;

Lielākais saliktais skaitliskais koeficients, kas atbilst lielākajam algebriskajam faktoram, ietver lielāko pirmskaitli ar pakāpi, kas ir mazāka par eksponentu n(visbiežāk pirmajā pakāpē).

SECINĀJUMI: Papildu pierādījumi apstiprina secinājumu, ka Fermā pēdējai teorēmai nav atrisinājuma ar pozitīviem veseliem skaitļiem.

inženieris mehāniķis

Spriežot pēc vaicājuma "Fermata teorēma - īss pierādījums"šī matemātiskā problēma patiešām interesē daudzus cilvēkus. Pirmo reizi šo teorēmu 1637. gadā izteica Pjērs de Fermā uz Aritmētikas kopijas malas, kur viņš apgalvoja, ka viņam ir pārāk liels risinājums, lai ietilptu malā.

Pirmais veiksmīgais pierādījums tika publicēts 1995. gadā, pilnīgs Fermā teorēmas pierādījums, ko veica Endrjū Vilzs. Tas tika raksturots kā "satriecošs progress", un 2016. gadā Vilss saņēma Ābela balvu. Lai gan Fermā teorēmas pierādījums tika aprakstīts salīdzinoši īsi, tas pierādīja arī lielu daļu modularitātes teorēmas un pavēra jaunas pieejas daudzām citām problēmām un efektīvām metodēm modularitātes palielināšanai. Šie sasniegumi uzlaboja matemātiku par 100 gadiem. Fermā mazās teorēmas pierādījums mūsdienās nav nekas neparasts.

Neatrisinātā problēma rosināja algebrisko skaitļu teorijas attīstību 19. gadsimtā un modularitātes teorēmas pierādījuma meklējumus 20. gadsimtā. Tā ir viena no ievērojamākajām teorēmām matemātikas vēsturē, un pirms Fermā pēdējās teorēmas pilnīgas pierādīšanas pēc dalīšanas tā tika iekļauta Ginesa rekordu grāmatā kā "visgrūtākā matemātikas problēma", kuras viena no iezīmēm ir ka tajā ir vislielākais neveiksmīgo pierādījumu skaits.

Vēsturiska atsauce

Pitagora vienādojumam x 2 + y 2 = z 2 ir bezgalīgs skaits pozitīvu veselu skaitļu atrisinājumu x, y un z. Šie risinājumi ir pazīstami kā Pitagora trīsvienības. Ap 1637. gadu Fermā uz kādas grāmatas malas rakstīja, ka vispārīgākajam vienādojumam a n + b n = c n nav atrisinājumu naturālajos skaitļos, ja n ir vesels skaitlis, kas lielāks par 2. Lai gan pats Fermā apgalvoja, ka viņam ir problēmas risinājums, viņš to darīja. neatstāj nekādu informāciju par viņas pierādījumu. Fermā teorēmas elementārais pierādījums, ko apgalvoja tās radītājs, drīzāk bija viņa lielīgs izgudrojums. Lielā franču matemātiķa grāmata tika atklāta 30 gadus pēc viņa nāves. Šis vienādojums, ko sauc par Fermā pēdējo teorēmu, matemātikā palika neatrisināts trīsarpus gadsimtus.

Teorēma galu galā kļuva par vienu no ievērojamākajām neatrisinātajām matemātikas problēmām. Mēģinājumi to pierādīt izraisīja ievērojamu attīstību skaitļu teorijā, un laika gaitā Fermā pēdējā teorēma kļuva pazīstama kā neatrisināta matemātikas problēma.

Īsa pierādījumu vēsture

Ja n = 4, kā pierādīja pats Fermā, pietiek ar to, lai pierādītu teorēmu indeksiem n, kas ir pirmskaitļi. Nākamo divu gadsimtu laikā (1637-1839) minējums tika pierādīts tikai attiecībā uz pirmskaitļiem 3, 5 un 7, lai gan Sofija Žermēna atjaunināja un pierādīja pieeju, kas attiecās uz visu pirmskaitļu klasi. 19. gadsimta vidū Ernsts Kummers to paplašināja un pierādīja teorēmu visiem parastajiem pirmskaitļiem, liekot neregulāros pirmskaitļus analizēt atsevišķi. Balstoties uz Kummera darbu un izmantojot sarežģītus datorpētījumus, citi matemātiķi varēja paplašināt teorēmas risinājumu, cenšoties aptvert visus galvenos eksponentus līdz četriem miljoniem, taču pierādījums visiem eksponentiem joprojām nebija pieejams (tas nozīmē, ka matemātiķi parasti uzskatīja risinājumu uz teorēmu neiespējama, ārkārtīgi sarežģīta vai nesasniedzama ar pašreizējām zināšanām).

Shimura un Taniyama darbs

1955. gadā japāņu matemātiķiem Goro Šimura un Jutaka Tanijama radās aizdomas, ka pastāv saikne starp eliptiskām līknēm un moduļu formām, divām pilnīgi atšķirīgām matemātikas jomām. Tolaik pazīstams kā Taniyama-Shimura-Weil minējums un (galu galā) kā modularitātes teorēma, tas pastāvēja pats par sevi, bez redzamas saistības ar Fermā pēdējo teorēmu. Tā tika plaši uzskatīta par svarīgu matemātisko teorēmu pati par sevi, taču tika uzskatīta (tāpat kā Fermā teorēma) neiespējama pierādīt. Tajā pašā laikā Fermā lielās teorēmas pierādījums (ar dalīšanas metodi un sarežģītu matemātisku formulu izmantošanu) tika veikts tikai pusgadsimtu vēlāk.

1984. gadā Gerhards Frejs pamanīja acīmredzamu saistību starp šīm divām iepriekš nesaistītajām un neatrisinātajām problēmām. Pilnīgu pierādījumu tam, ka abas teorēmas bija cieši saistītas, 1986. gadā publicēja Kens Ribets, kurš balstījās uz daļēju Žana Pjēra Serresa pierādījumu, kurš pierādīja visu, izņemot vienu daļu, kas pazīstama kā "epsilona minējums". Vienkārši sakot, šie Freja, Serresa un Ribes darbi parādīja, ka, ja modularitātes teorēmu varētu pierādīt vismaz puslīdz noteiktai eliptisku līkņu klasei, tad agrāk vai vēlāk tiktu atklāts arī Fermā pēdējās teorēmas pierādījums. Jebkuru risinājumu, kas var būt pretrunā ar Fermā pēdējo teorēmu, var izmantot arī, lai pretrunā modularitātes teorēmai. Tāpēc, ja modularitātes teorēma izrādījās patiesa, tad pēc definīcijas nevar būt risinājuma, kas būtu pretrunā ar Fermā pēdējo teorēmu, kas nozīmē, ka tas drīzumā bija jāpierāda.

Lai gan abas teorēmas bija sarežģītas matemātikas problēmas, kuras uzskatīja par neatrisināmām, abu japāņu darbs bija pirmais ierosinājums, kā Fermā pēdējo teorēmu varētu paplašināt un pierādīt visiem skaitļiem, ne tikai dažiem. Pētniekiem, kuri izvēlējās pētījuma tēmu, bija svarīgi fakts, ka atšķirībā no Fermā pēdējās teorēmas modularitātes teorēma bija galvenā aktīvā pētniecības joma, kurai bija izstrādāts pierādījums, nevis tikai vēsturiska dīvainība, tāpēc pavadītais laiks. darbs pie tā varētu būt attaisnojams no profesionālā viedokļa. Tomēr vispārēja vienprātība bija tāda, ka Taniyama-Shimura minējuma risināšana nebija praktiska.

Fermā pēdējā teorēma: Vilsa pierādījums

Uzzinājis, ka Rībeta ir pierādījusi Freija teorijas pareizumu, angļu matemātiķis Endrjū Vilss, kurš kopš bērnības bija interesējies par Fermā pēdējo teorēmu un kuram bija pieredze darbā ar eliptiskām līknēm un saistītiem laukiem, nolēma mēģināt pierādīt Taniyama-Shimura minējumu kā veidu, pierādīt Fermā pēdējo teorēmu. 1993. gadā, sešus gadus pēc sava mērķa izziņošanas, slepus strādājot pie teorēmas risināšanas problēmas, Vilsam izdevās pierādīt saistītu minējumu, kas savukārt palīdzētu viņam pierādīt Fermā pēdējo teorēmu. Vilsa dokumentam bija milzīgs apjoms un apjoms.

Trūkums tika atklāts vienā viņa sākotnējā raksta daļā salīdzinošās pārskatīšanas laikā, un bija nepieciešams vēl viens gads sadarbībā ar Ričardu Teiloru, lai kopīgi atrisinātu teorēmu. Rezultātā Vilsa pēdējais pierādījums Fermā pēdējai teorēmai nebija ilgi jāgaida. 1995. gadā tas tika publicēts daudz mazākā mērogā nekā iepriekšējais Vilsa matemātiskais darbs, skaidri parādot, ka viņš nav kļūdījies savos iepriekšējos secinājumos par teorēmas pierādīšanas iespēju. Par Wiles sasniegumiem plaši tika ziņots populārajā presē un popularizēts grāmatās un televīzijas programmās. Pārējās Taniyama-Shimura-Weil pieņēmuma daļas, kas tagad ir pierādītas un ir pazīstamas kā modularitātes teorēma, vēlāk pierādīja citi matemātiķi, kas balstījās uz Vilsa darbu laikā no 1996. līdz 2001. gadam. Par sasniegumiem Vilss tika pagodināts un saņēma daudzas balvas, tostarp 2016. gada Ābela balvu.

Vilsa pierādījums Fermā pēdējai teorēmai ir īpašs eliptisku līkņu modularitātes teorēmas risinājuma gadījums. Tomēr šis ir slavenākais tik liela mēroga matemātiskas darbības gadījums. Līdz ar Ribeta teorēmas atrisināšanu britu matemātiķis ieguva arī Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu. Mūsdienu matemātiķi gandrīz vispār uzskatīja par nepierādāmu Fermā pēdējo teorēmu un modularitātes teorēmu, taču Endrjū Vilss spēja pierādīt visai zinātniskajai pasaulei, ka pat zinātāji var kļūdīties.

Villss pirmo reizi paziņoja par savu atklājumu trešdien, 1993. gada 23. jūnijā, lekcijā Kembridžā ar nosaukumu "Modulārās formas, eliptiskās līknes un Galois attēlojumi". Tomēr 1993. gada septembrī tika konstatēts, ka viņa aprēķinos ir kļūda. Gadu vēlāk, 1994. gada 19. septembrī, tajā, ko viņš sauca par "savas darba dzīves vissvarīgāko brīdi", Villss paklupa uz atklāsmi, kas ļāva viņam izlabot problēmas risinājumu tiktāl, ka tas varētu apmierināt matemātisko. kopienai.

Darba raksturojums

Endrjū Vilza Fermā teorēmas pierādījumā tiek izmantotas daudzas metodes no algebriskās ģeometrijas un skaitļu teorijas, un tam ir daudz atzaru šajās matemātikas jomās. Viņš izmanto arī mūsdienu algebriskās ģeometrijas standarta konstrukcijas, piemēram, shēmu kategoriju un Ivasavas teoriju, kā arī citas 20. gadsimta metodes, kas Pjēram Fermā nebija pieejamas.

Divi raksti, kas satur pierādījumus, ir 129 lappuses un tika rakstīti septiņu gadu laikā. Džons Koutss raksturoja šo atklājumu kā vienu no lielākajiem skaitļu teorijas sasniegumiem, un Džons Konvejs to nosauca par galveno 20. gadsimta matemātisko sasniegumu. Villss, lai pierādītu Fermā pēdējo teorēmu, pierādot modularitātes teorēmu īpašam gadījumam, kad tiek veidotas dalītas eliptiskas līknes, izstrādāja spēcīgas metodes modularitātes pacelšanai un atklāja jaunas pieejas daudzām citām problēmām. Par Fermā pēdējās teorēmas atrisināšanu viņš tika iecelts par bruņinieku un saņēma citus apbalvojumus. Kad tika paziņots, ka Vilss ir ieguvis Ābela prēmiju, Norvēģijas Zinātņu akadēmija viņa sasniegumu raksturoja kā "brīnišķīgu un elementāru Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu".

Kā bija

Viens no cilvēkiem, kurš analizēja Vilsa oriģinālo teorēmas risinājuma manuskriptu, bija Niks Katzs. Pārskatīšanas laikā viņš britam uzdeva virkni precizējošu jautājumu, kas lika Vilsam atzīt, ka viņa darbā nepārprotami ir nepilnības. Bija kļūda vienā kritiskā pierādījuma daļā, kas sniedza aplēsi noteiktas grupas secībai: Eilera sistēma, ko izmantoja Kolyvagin un Flach metodes paplašināšanai, bija nepilnīga. Tomēr kļūda nepadarīja viņa darbu bezjēdzīgu – katra Vilza darba daļa pati par sevi bija ļoti nozīmīga un novatoriska, tāpat kā daudzas no viņa darba gaitā radītajām izstrādnēm un metodēm, kas skāra tikai vienu daļu manuskripts. Tomēr šis oriģinālais darbs, kas publicēts 1993. gadā, faktiski nesniedza Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu.

Villss pavadīja gandrīz gadu, mēģinot no jauna atklāt teorēmas risinājumu, vispirms vienatnē un pēc tam sadarbībā ar savu bijušo studentu Ričardu Teiloru, taču šķita, ka viss bija veltīgi. Līdz 1993. gada beigām izplatījās baumas, ka Vilesa pierādījumi testēšanā ir bijuši neveiksmīgi, taču nebija zināms, cik nopietna bija neveiksme. Matemātiķi sāka izdarīt spiedienu uz Vilsu, lai viņš atklātu viņa darba detaļas neatkarīgi no tā, vai tas bija pabeigts vai nē, lai plašāka matemātiķu kopiena varētu izpētīt un izmantot visu, ko viņš bija sasniedzis. Tā vietā, lai ātri labotu savu kļūdu, Vilzs tikai atklāja papildu sarežģījumus Fermā pēdējās teorēmas pierādīšanā un beidzot saprata, cik tas ir grūti.

Vilss norāda, ka 1994. gada 19. septembra rītā viņš bija uz padošanās un padošanās robežas un gandrīz samierinājās ar to, ka viņam nav izdevies. Viņš bija gatavs publicēt savus nepabeigtos darbus, lai citi varētu to izmantot un atrast, kur viņš ir kļūdījies. Angļu matemātiķis nolēma dot sev pēdējo iespēju un pēdējo reizi analizēja teorēmu, lai mēģinātu izprast galvenos iemeslus, kāpēc viņa pieeja nedarbojās, kad pēkšņi saprata, ka Kolivagina-Flaka pieeja nedarbosies, kamēr viņš neiekļaus arī pierādījumus. process Ivasavas teorija, liekot tai darboties.

6. oktobrī Villss lūdza trīs kolēģus (tostarp Faltinsu) pārskatīt viņa jauno darbu, un 1994. gada 24. oktobrī viņš iesniedza divus manuskriptus "Modulārās eliptiskās līknes un Fermā pēdējā teorēma" un "Dažu Heke algebru gredzena teorētiskās īpašības ", no kuriem otrais Villss rakstīja kopā ar Teilori un apgalvoja, ka ir izpildīti daži nosacījumi, kas nepieciešami, lai attaisnotu galvenajā rakstā laboto soli.

Šie divi dokumenti tika pārskatīti un visbeidzot publicēti kā pilna teksta izdevums 1995. gada maija izdevumā Annals of Mathematics. Endrjū jaunie aprēķini tika plaši analizēti un galu galā pieņemti zinātnieku aprindās. Šie darbi izveidoja modularitātes teorēmu puslīdzināmām eliptiskām līknēm, kas ir pēdējais solis ceļā uz Fermā pēdējās teorēmas pierādīšanu 358 gadus pēc tās izveidošanas.

Lielās problēmas vēsture

Šīs teorēmas risināšana daudzus gadsimtus tika uzskatīta par lielāko matemātikas problēmu. 1816. gadā un vēlreiz 1850. gadā Francijas Zinātņu akadēmija piedāvāja balvu par Fermā pēdējās teorēmas vispārīgu pierādījumu. 1857. gadā akadēmija Kummeram par ideālo skaitļu izpēti piešķīra 3000 franku un zelta medaļu, lai gan viņš uz balvu nepretendēja. Vēl vienu balvu viņam piedāvāja 1883. gadā Briseles akadēmija.

Volfskela balva

1908. gadā vācu rūpnieks un matemātiķis amatieris Pols Volfskels novēlēja Getingenes Zinātņu akadēmijai 100 000 zelta marku (tam laikam liela summa) kā balvu par Fermā pēdējās teorēmas pilnīgu pierādījumu. 1908. gada 27. jūnijā Akadēmija publicēja deviņus balvu piešķiršanas noteikumus. Cita starpā šie noteikumi paredzēja pierādījumu publicēšanu recenzējamā žurnālā. Balva tika piešķirta tikai divus gadus pēc publicēšanas. Konkursam bija jābeidzas 2007. gada 13. septembrī — aptuveni gadsimtu pēc tā sākuma. 1997. gada 27. jūnijā Vilss saņēma Volfšela naudas balvu un pēc tam vēl 50 000 dolāru. 2016. gada martā viņš saņēma 600 000 eiro no Norvēģijas valdības kā daļu no Ābela balvas par "satriecošu pierādījumu Fermā pēdējai teorēmai, izmantojot modularitātes pieņēmumus puslīdzināmām eliptiskām līknēm, atklājot jaunu ēru skaitļu teorijā". Pazemīgajam anglim tas bija pasaules triumfs.

Pirms Vilsa pierādījuma Fermā teorēma, kā minēts iepriekš, gadsimtiem ilgi tika uzskatīta par absolūti neatrisināmu. Volfskelas komitejai dažādos laikos tika iesniegti tūkstošiem nepareizu pierādījumu, kuru apjoms bija aptuveni 10 pēdas (3 metri) korespondences. Pirmajā balvas pastāvēšanas gadā vien (1907-1908) tika iesniegts 621 pieteikums, kas pretendē uz teorēmas atrisināšanu, lai gan līdz 20. gadsimta 70. gadiem šis skaits bija samazinājies līdz aptuveni 3-4 pieteikumiem mēnesī. Saskaņā ar Volfšela recenzenta F. Šlihtinga teikto, lielākā daļa pierādījumu balstījās uz skolās mācītām rudimentārām metodēm, un tos bieži iesniedza "cilvēki ar tehnisku priekšstatu, bet neveiksmīgu karjeru". Kā norāda matemātikas vēsturnieks Hovards Avess, Fermā pēdējā teorēma uzstādīja sava veida rekordu – tā ir teorēma ar visnepareizākajiem pierādījumiem.

Fermata lauri tika japāņiem

Kā minēts iepriekš, ap 1955. gadu japāņu matemātiķi Goro Šimura un Jutaka Tanijama atklāja iespējamu saikni starp divām šķietami pilnīgi atšķirīgām matemātikas nozarēm – eliptiskām līknēm un moduļu formām. Rezultātā iegūtā modularitātes teorēma (toreiz pazīstama kā Taniyama-Shimura minējums) no viņu pētījumiem norāda, ka katra eliptiskā līkne ir modulāra, kas nozīmē, ka to var saistīt ar unikālu modulāru formu.

Sākotnēji šī teorija tika noraidīta kā maz ticama vai ļoti spekulatīva, taču tā tika uztverta nopietnāk, kad skaitļu teorētiķis Andrē Veils atrada pierādījumus, kas apstiprina japāņu atklājumus. Rezultātā minējumus bieži sauca par Taniyama-Shimura-Weil minējumu. Tā kļuva par daļu no Langlands programmas, kas ir saraksts ar svarīgām hipotēzēm, kuras nākotnē ir jāpierāda.

Pat pēc nopietnas uzmanības mūsdienu matemātiķi minējumu atzina par ārkārtīgi grūti vai, iespējams, neiespējamu pierādīt. Tagad tieši šī teorēma gaida Endrjū Vilzu, kurš ar savu risinājumu varētu pārsteigt visu pasauli.

Fermā teorēma: Perelmana pierādījums

Neskatoties uz populāro mītu, krievu matemātiķim Grigorijam Perelmanam, neskatoties uz visu savu ģēniju, nav nekāda sakara ar Fermā teorēmu. Tomēr tas nekādā veidā nemazina viņa daudzos pakalpojumus zinātnieku aprindām.

Tātad Fermā pēdējā teorēma (bieži saukta par Fermā pēdējo teorēmu), ko 1637. gadā formulēja izcilais franču matemātiķis Pjērs Fermā, pēc būtības ir ļoti vienkārša un saprotama ikvienam ar vidējo izglītību. Tajā teikts, ka formulai a pakāpei n + b pakāpei n = c pakāpei n nav dabisku (tas ir, nevis daļēju) atrisinājumu n > 2. Viss šķiet vienkāršs un skaidrs, bet labākie matemātiķi un parastie amatieri vairāk nekā trīsarpus gadsimtus cīnījās ar risinājuma meklējumiem.

Kāpēc viņa ir tik slavena? Tagad mēs to uzzināsim...



Vai ir daudz pārbaudītu, nepierādītu un vēl nepierādītu teorēmu? Lieta ir tāda, ka Fermā pēdējā teorēma atspoguļo vislielāko kontrastu starp formulējuma vienkāršību un pierādījuma sarežģītību. Fermā pēdējā teorēma ir neticami grūts uzdevums, un tomēr tās formulējumu var saprast ikviens vidusskolas 5. klasē, taču pat ne katrs profesionāls matemātiķis var saprast pierādījumu. Ne fizikā, ne ķīmijā, ne bioloģijā, ne matemātikā nav nevienas problēmas, kuru varētu tik vienkārši formulēt, bet tik ilgi tā paliktu neatrisināta. 2. No kā tas sastāv?

Sāksim ar Pitagora biksēm.Formulējums tiešām vienkāršs - no pirmā acu uzmetiena. Kā mēs zinām no bērnības, "Pitagora bikses ir vienādas no visām pusēm." Problēma izskatās tik vienkārša, jo tā balstījās uz matemātisku apgalvojumu, ko visi zina – Pitagora teorēmu: jebkurā taisnleņķa trijstūrī uz hipotenūzas uzbūvētais kvadrāts ir vienāds ar uz kājām uzbūvēto kvadrātu summu.

5. gadsimtā pirms mūsu ēras. Pitagors nodibināja Pitagora brālību. Pitagorieši, cita starpā, pētīja veselu skaitļu trīskāršus, kas apmierina vienādību x²+y²=z². Viņi pierādīja, ka ir bezgalīgi daudz Pitagora trīskāršu, un ieguva vispārīgas formulas to atrašanai. Viņi droši vien mēģināja meklēt C un augstākus grādus. Būdami pārliecināti, ka tas nedarbojās, pitagorieši atmeta savus bezjēdzīgos mēģinājumus. Brālības locekļi bija vairāk filozofi un estēti, nevis matemātiķi.


Tas ir, ir viegli izvēlēties skaitļu kopu, kas lieliski atbilst vienādībai x²+y²=z²

Sākot no 3, 4, 5 - patiešām jaunākais students saprot, ka 9 + 16 = 25.

Vai 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Lieliski.

Un tā tālāk. Ko darīt, ja ņemtu līdzīgu vienādojumu x³+y³=z³? Varbūt ir arī tādi cipari?




Un tā tālāk (1. att.).

Tātad, izrādās, ka tie NAV. Šeit sākas triks. Vienkāršība ir šķietama, jo ir grūti pierādīt nevis kaut kā esamību, bet, gluži pretēji, tā neesamību. Ja jums ir jāpierāda, ka ir risinājums, jūs varat un vajadzētu vienkārši uzrādīt šo risinājumu.

Pierādīt prombūtni ir grūtāk: piemēram, kāds saka: tādam un tādam vienādojumam nav atrisinājumu. Ielikt viņu peļķē? viegli: bam – un lūk, risinājums! (dod risinājumu). Un tas arī viss, pretinieks ir uzvarēts. Kā pierādīt prombūtni?

Sakiet: "Es neesmu atradis šādus risinājumus"? Vai varbūt jūs neizskatījāties labi? Ko darīt, ja tie pastāv, tikai ļoti lieli, ļoti lieli, tādi, ka pat ļoti jaudīgam datoram joprojām nav pietiekami daudz spēka? Tas ir tas, kas ir grūti.

Vizuāli to var parādīt šādi: ja ņemat divus piemērota izmēra kvadrātus un izjaucat tos vienības kvadrātos, tad no šīs vienības kvadrātu kopas iegūstat trešo kvadrātu (2. att.):


Bet darīsim to pašu ar trešo dimensiju (3. att.) - tas nedarbojas. Nav pietiekami daudz kubu vai ir palikuši papildu:





Bet 17. gadsimta franču matemātiķis Pjērs de Fermā ar entuziasmu pētīja vispārējo vienādojumu x n +y n =z n . Un visbeidzot es secināju: n>2 nav veselu skaitļu risinājumu. Fermā pierādījums ir neatgriezeniski zaudēts. Manuskripti deg! Palicis tikai viņa piezīme Diofanta aritmētikā: "Es esmu atradis patiesi pārsteidzošu pierādījumu šim priekšlikumam, taču piemales šeit ir pārāk šauras, lai to ietvertu."

Faktiski teorēmu bez pierādījumiem sauc par hipotēzi. Bet Fermatam ir reputācija, ka viņš nekad nepieļauj kļūdas. Pat ja viņš neatstāja pierādījumus par paziņojumu, tas vēlāk tika apstiprināts. Turklāt Fermā pierādīja savu tēzi par n=4. Tādējādi franču matemātiķa hipotēze iegāja vēsturē kā Fermā pēdējā teorēma.

Pēc Fermā pierādījuma meklējumos strādāja tādi lieli prāti kā Leonhards Eilers (1770. gadā viņš piedāvāja risinājumu n = 3),

Adriens Legendre un Johans Dirihlets (šie zinātnieki kopīgi atrada pierādījumu n = 5 1825. gadā), Gabriels Lamē (kurš atrada pierādījumu n = 7) un daudzi citi. Līdz pagājušā gadsimta 80. gadu vidum kļuva skaidrs, ka zinātniskā pasaule ir ceļā uz Fermā pēdējās teorēmas galīgo risinājumu, taču tikai 1993. gadā matemātiķi ieraudzīja un uzskatīja, ka trīs gadsimtu eposā meklējot pierādījumus Fermā pēdējā teorēma praktiski bija beigusies.

Ir viegli parādīt, ka pietiek ar Fermā teorēmu pierādīt tikai vienkāršam n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Saliktajam n pierādījums paliek spēkā. Bet pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz...

1825. gadā, izmantojot Sofijas Žermenas metodi, matemātiķes Dirihlē un Ledžendre neatkarīgi pierādīja teorēmu n=5. 1839. gadā, izmantojot šo pašu metodi, francūzis Gabriels Lams parādīja teorēmas patiesumu n=7. Pamazām teorēma tika pierādīta gandrīz visiem n mazāk nekā simts.


Visbeidzot, vācu matemātiķis Ernsts Kummers izcilā pētījumā parādīja, ka teorēmu kopumā nevar pierādīt, izmantojot 19. gadsimta matemātikas metodes. Francijas Zinātņu akadēmijas balva, kas dibināta 1847. gadā par Fermā teorēmas pierādīšanu, palika nepiešķirta.

1907. gadā bagātais vācu rūpnieks Pols Volfskels nolēma atņemt sev dzīvību nelaimīgas mīlestības dēļ. Tāpat kā īsts vācietis, viņš noteica pašnāvības datumu un laiku: tieši pusnaktī. Pēdējā dienā viņš sastādīja testamentu un rakstīja vēstules draugiem un radiem. Lietas beidzās pirms pusnakts. Jāsaka, ka Pāvilu interesēja matemātika. Neko citu darīt, viņš devās uz bibliotēku un sāka lasīt slaveno Kummera rakstu. Pēkšņi viņam šķita, ka Kummers ir pieļāvis kļūdu savā argumentācijā. Volfskels sāka analizēt šo raksta daļu ar zīmuli rokās. Pusnakts ir pagājusi, ir pienācis rīts. Pierādījuma robs ir aizpildīts. Un pats pašnāvības iemesls tagad izskatījās pilnīgi smieklīgs. Pāvils saplēsa savas atvadu vēstules un pārrakstīja testamentu.

Drīz viņš nomira dabīgā nāvē. Mantinieki bija diezgan pārsteigti: 100 000 marku (vairāk nekā 1 000 000 pašreizējo sterliņu mārciņu) tika pārskaitītas Getingenes Karaliskās zinātniskās biedrības kontā, kas tajā pašā gadā izsludināja konkursu uz Volfskela balvu. 100 000 marku tika piešķirtas cilvēkam, kurš pierādīja Fermā teorēmu. Par teorēmas atspēkošanu netika piešķirts neviens pfenigs...

Lielākā daļa profesionālo matemātiķu uzskatīja Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu meklēšanu par bezcerīgu uzdevumu un apņēmīgi atteicās tērēt laiku šādam bezjēdzīgam uzdevumam. Bet amatieriem bija sprādziens. Dažas nedēļas pēc paziņojuma Getingenes Universitāti skāra "pierādījumu" lavīna. Profesors E.M. Landau, kura pienākums bija analizēt nosūtītos pierādījumus, izdalīja kartītes saviem studentiem:


Dārgs. . . . . . . .

Paldies, ka atsūtījāt man manuskriptu ar Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu. Pirmā kļūda ir lapā ... rindā... . Tā dēļ viss pierādījums zaudē savu derīgumu.
Profesors E. M. Landau











1963. gadā Pols Koens, paļaujoties uz Gēdela atklājumiem, pierādīja vienas no Hilberta divdesmit trīs problēmām – kontinuuma hipotēzes – neatrisināmību. Ja nu arī Fermā pēdējā teorēma ir neizšķirama?! Taču patiesie Lielās teorēmas fanātiķi nemaz nebija vīlušies. Datoru parādīšanās pēkšņi radīja matemātiķiem jaunu pierādīšanas metodi. Pēc Otrā pasaules kara programmētāju un matemātiķu komandas pierādīja Fermā pēdējo teorēmu visām vērtībām n līdz 500, pēc tam līdz 1000 un vēlāk līdz 10 000.

Astoņdesmitajos gados Semjuels Vāgstafs paaugstināja robežu līdz 25 000, un 90. gados matemātiķi paziņoja, ka Fermā pēdējā teorēma ir patiesa visām vērtībām no n līdz 4 miljoniem. Bet, ja no bezgalības atņem pat triljonu triljonu, tā nekļūs mazāka. Matemātiķus statistika nepārliecina. Pierādīt Lielo teorēmu nozīmēja to pierādīt VISIEM n līdz bezgalībai.




1954. gadā divi jauni japāņu matemātiķu draugi sāka pētīt moduļu formas. Šīs veidlapas ģenerē skaitļu sērijas, katrai no kurām ir sava sērija. Nejauši Taniyama salīdzināja šīs sērijas ar eliptisku vienādojumu radītajām sērijām. Viņi sakrita! Bet moduļu formas ir ģeometriski objekti, un eliptiskie vienādojumi ir algebriski. Saikne starp tik dažādiem objektiem nekad nav atrasta.

Tomēr pēc rūpīgas pārbaudes draugi izvirzīja hipotēzi: katram eliptiskajam vienādojumam ir dvīņi - modulāra forma un otrādi. Tieši šī hipotēze kļuva par visa matemātikas virziena pamatu, taču līdz brīdim, kad tika pierādīta Taniyama-Shimura hipotēze, visa ēka jebkurā brīdī varēja sabrukt.

1984. gadā Gerhards Frejs parādīja, ka Fermā vienādojuma risinājumu, ja tāds pastāv, var iekļaut kādā eliptiskā vienādojumā. Divus gadus vēlāk profesors Kens Ribets pierādīja, ka šim hipotētiskajam vienādojumam modulārajā pasaulē nevar būt līdzinieks. No šī brīža Fermā pēdējā teorēma bija nesaraujami saistīta ar Taniyama-Shimura minējumu. Pierādījuši, ka jebkura eliptiskā līkne ir modulāra, mēs secinām, ka nav neviena eliptiska vienādojuma ar Fermā vienādojuma atrisinājumu, un Fermā pēdējā teorēma tiktu pierādīta nekavējoties. Taču trīsdesmit gadus nebija iespējams pierādīt Taniyama-Shimura hipotēzi, un palika arvien mazāk cerību uz panākumiem.

1963. gadā, kad viņam bija tikai desmit gadu, Endrjū Vilsu jau aizrāva matemātika. Kad viņš uzzināja par Lielo teorēmu, viņš saprata, ka nevar atteikties no tās. Būdams skolnieks, students un absolvents, viņš gatavojās šim uzdevumam.

Uzzinājis par Kena Ribeta atklājumiem, Vilss ar galvu metās pierādīt Taniyama-Shimura minējumu. Viņš nolēma strādāt pilnīgā izolācijā un slepenībā. "Es sapratu, ka viss, kas ir saistīts ar Fermā pēdējo teorēmu, izraisa pārāk lielu interesi... Pārāk daudz skatītāju acīmredzami traucē sasniegt mērķi." Septiņu gadu smags darbs atmaksājās; Wiles beidzot pabeidza Taniyama-Shimura minējuma pierādījumu.

1993. gadā angļu matemātiķis Endrjū Vilss iepazīstināja pasauli ar savu Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu (Vils nolasīja savu sensacionālo rakstu konferencē Sera Īzaka Ņūtona institūtā Kembridžā.), darbs pie kura ilga vairāk nekā septiņus gadus.







Kamēr ažiotāža turpinājās presē, sākās nopietns darbs, lai pārbaudītu pierādījumus. Katrs pierādījums ir rūpīgi jāpārbauda, ​​pirms pierādījumus var uzskatīt par stingriem un precīziem. Vilss pavadīja nemierīgu vasaru, gaidot atsauksmes no recenzentiem, cerot, ka viņam izdosies iegūt viņu piekrišanu. Augusta beigās eksperti spriedumu atzina par nepietiekami pamatotu.

Izrādījās, ka šajā lēmumā ir rupja kļūda, lai gan kopumā tas ir pareizs. Villss nepadevās, aicināja palīgā slaveno skaitļu teorijas speciālistu Ričardu Teiloru un jau 1994. gadā publicēja izlabotu un paplašinātu teorēmas pierādījumu. Pats pārsteidzošākais ir tas, ka šis darbs matemātikas žurnālā “Matemātikas gadagrāmata” aizņēma pat 130 (!) lappuses. Taču ar to stāsts arī nebeidzās - galapunkts tika sasniegts tikai nākamajā, 1995. gadā, kad tika publicēta galīgā un “ideālā”, no matemātiskā viedokļa, pierādījuma versija.

“...pusminūti pēc svinīgo vakariņu sākuma viņas dzimšanas dienā es uzdāvināju Nadjai pilnīgā pierādījuma manuskriptu” (Endrjū Velss). Vai es vēl neesmu teicis, ka matemātiķi ir dīvaini cilvēki?






Šoreiz par pierādījumiem šaubu nebija. Divi raksti tika pakļauti visrūpīgākajai analīzei un tika publicēti 1995. gada maijā žurnālā Annals of Mathematics.

Kopš tā brīža ir pagājis daudz laika, taču sabiedrībā joprojām valda uzskats, ka Fermā pēdējā teorēma ir neatrisināma. Bet pat tie, kas zina par atrasto pierādījumu, turpina strādāt šajā virzienā – retais ir apmierināts, ka Lielā teorēma prasa 130 lappušu atrisinājumu!

Tāpēc tagad daudzu matemātiķu (pārsvarā amatieru, nevis profesionālu zinātnieku) pūles tiek iemestas vienkārša un kodolīga pierādījuma meklējumos, taču šis ceļš, visticamāk, nekur nevedīs...

Veseliem skaitļiem n, kas lielāki par 2, vienādojumam x n + y n = z n naturālajos skaitļos nav atrisinājumu, kas atšķiras no nulles.

Jūs droši vien atceraties no skolas laikiem Pitagora teorēma: taisnleņķa trijstūra hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu. Varat arī atcerēties klasisko taisnleņķa trīsstūri ar malām, kuru garumi ir 3:4:5. Tam Pitagora teorēma izskatās šādi:

Šis ir piemērs vispārinātā Pitagora vienādojuma atrisināšanai veselos skaitļos, kas nav nulles ar n= 2. Fermā pēdējā teorēma (saukta arī par "Fermā pēdējo teorēmu" un "Fermā pēdējo teorēmu") ir apgalvojums, ka vērtībām n> 2 formas vienādojumi x n + g n = z n naturālajos skaitļos nav atrisinājumu, kas atšķiras no nulles.

Fermā pēdējās teorēmas vēsture ir ļoti interesanta un pamācoša, turklāt ne tikai matemātiķiem. Pjērs de Fermā veicināja dažādu matemātikas jomu attīstību, taču viņa zinātniskā mantojuma galvenā daļa tika publicēta tikai pēcnāves laikā. Fakts ir tāds, ka matemātika Fermā bija hobijs, nevis profesionāla nodarbošanās. Viņš sarakstījās ar sava laika vadošajiem matemātiķiem, taču necentās publicēt savus darbus. Fermā zinātniskie raksti galvenokārt atrodami privātas sarakstes un fragmentāru piezīmju veidā, kas bieži rakstītas dažādu grāmatu malās. Tas atrodas malās (senās grieķu Diofanta “Aritmētikas” otrā sējuma malās. - Piezīme tulkotājs) drīz pēc matemātiķa nāves pēcnācēji atklāja slavenās teorēmas un pēcraksta formulējumu:

« Es atradu tam patiesi brīnišķīgu pierādījumu, taču šie lauki tam ir par šauru».

Diemžēl Fermā nekad neuztraucās pierakstīt atrasto “brīnumaino pierādījumu”, un pēcnācēji to neveiksmīgi meklēja vairāk nekā trīs gadsimtus. No visa Fermā izkaisītā zinātniskā mantojuma, kurā ir daudz pārsteidzošu apgalvojumu, tieši Lielā teorēma spītīgi atteicās tikt atrisināta.

Tas, kurš ir mēģinājis pierādīt Fermā pēdējo teorēmu, ir veltīgi! Cits izcils franču matemātiķis Renē Dekarts (1596–1650) nosauca Fermā par “lielībnieku”, bet angļu matemātiķis Džons Voliss (1616–1703) viņu sauca par “sasodītu francūzi”. Tomēr pats Fermats joprojām atstāja savas teorēmas pierādījumu šai lietai n= 4. Ar pierādījumu par n= 3 atrisināja izcilais 18. gadsimta Šveices-krievu matemātiķis Leonhards Eilers (1707–83), pēc kura, nespējot atrast pierādījumus n> 4, jokojot ieteica pārmeklēt Fermā māju, lai atrastu pazaudēto pierādījumu atslēgu. 19. gadsimtā jaunas metodes skaitļu teorijā ļāva pierādīt apgalvojumu daudziem veseliem skaitļiem 200 robežās, bet atkal ne visiem.

1908. gadā par šīs problēmas risināšanu tika nodibināta prēmija 100 000 Vācijas marku apmērā. Balvu fondu novēlēja vācu rūpnieks Pols Volfskels, kurš, kā vēsta leģenda, grasījās izdarīt pašnāvību, taču viņu tik ļoti aizrāva Fermā pēdējā teorēma, ka viņš mainīja savas domas par nāvi. Līdz ar mašīnu un pēc tam datoru pievienošanu vērtību josla n sāka celties arvien augstāk - līdz 2. pasaules kara sākumam līdz 617, 1954. gadā līdz 4001, 1976. gadā līdz 125 000. 20. gadsimta beigās Losalamos (Ņūmeksika, ASV) militārajās laboratorijās jaudīgākie datori tika ieprogrammēti, lai fonā atrisinātu Fermā problēmu (līdzīgi kā personālā datora ekrānsaudzētāja režīmā). Tādējādi bija iespējams parādīt, ka teorēma ir patiesa neticami lielām vērtībām x, y, z Un n, taču tas nevarētu kalpot kā stingrs pierādījums, jo kāda no tālāk norādītajām vērtībām n vai naturālu skaitļu trīskārši varētu atspēkot teorēmu kopumā.

Visbeidzot, 1994. gadā angļu matemātiķis Endrjū Džons Vilss (dz. 1953), strādājot Prinstonā, publicēja Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu, kas pēc dažām modifikācijām tika uzskatīts par visaptverošu. Pierādīšana aizņēma vairāk nekā simts žurnāla lappušu un balstījās uz modernu augstākās matemātikas aparātu izmantošanu, kas nebija izstrādāts Fermā laikmetā. Ko tad Fermā domāja, grāmatas malās atstājot ziņu, ka ir atradis pierādījumu? Lielākā daļa matemātiķu, ar kuriem es runāju par šo tēmu, norādīja, ka gadsimtu gaitā ir bijis vairāk nekā pietiekami daudz nepareizu Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu un ka, visticamāk, pats Fermā bija atradis līdzīgu pierādījumu, bet nespēja atpazīt kļūdu. tajā. Tomēr iespējams, ka joprojām ir kāds īss un elegants pierādījums Fermā pēdējai teorēmai, ko neviens vēl nav atradis. Droši var teikt tikai vienu: šodien mēs noteikti zinām, ka teorēma ir patiesa. Manuprāt, lielākā daļa matemātiķu bez ierunām piekristu Endrjū Vilsam, kurš atzīmēja savu pierādījumu: "Tagad beidzot mans prāts ir mierīgs."