Dotas logaritma pamatīpašības, logaritma grafiks, definīcijas apgabals, vērtību kopa, pamatformulas, palielināšana un samazināšana. Tiek apsvērta logaritma atvasinājuma atrašana. Kā arī integrālis, pakāpju rindu paplašināšana un attēlošana, izmantojot kompleksos skaitļus.

Saturs

Domēns, vērtību kopa, pieaug, samazinās

Logaritms ir monotona funkcija, tāpēc tai nav ekstrēmu. Galvenās logaritma īpašības ir parādītas tabulā.

Domēns	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Vērtību diapazons	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotons	monotoni palielinās	monotoni samazinās
Nulles, y = 0	x = 1	x = 1
Pārtveršanas punkti ar ordinātu asi, x = 0	Nē	Nē
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Privātās vērtības

Tiek izsaukts logaritms līdz 10. bāzei decimāllogaritms un tiek apzīmēts šādi:

Logaritms līdz bāzei e sauca naturālais logaritms:

Logaritmu pamatformulas

Logaritma īpašības, kas izriet no apgrieztās funkcijas definīcijas:

Logaritmu galvenā īpašība un tās sekas

Bāzes nomaiņas formula

Logaritms ir logaritma ņemšanas matemātiska darbība. Ņemot logaritmus, faktoru produkti tiek pārvērsti terminu summās.
Potenciācija ir matemātiska darbība, kas ir apgriezta logaritmam. Potencēšanas laikā dotā bāze tiek paaugstināta līdz izteiksmes pakāpei, kurā tiek veikta potenciācija. Šajā gadījumā terminu summas tiek pārveidotas par faktoru produktiem.

Logaritmu pamatformulu pierādījums

Ar logaritmiem saistītās formulas izriet no eksponenciālo funkciju formulām un no apgrieztās funkcijas definīcijas.

Apsveriet eksponenciālās funkcijas īpašību
.
Tad
.
Pielietosim eksponenciālās funkcijas īpašību
:
.

Pierādīsim bāzes aizstāšanas formulu.
;
.
Pieņemot, ka c = b, mums ir:

Apgrieztā funkcija

Logaritma apgrieztā vērtība bāzei a ir eksponenciāla funkcija ar eksponentu a.

Ja tad

Ja tad

Logaritma atvasinājums

Moduļa x logaritma atvasinājums:
.
N-tās kārtas atvasinājums:
.
Formulu atvasināšana >>>

Lai atrastu logaritma atvasinājumu, tas jāsamazina līdz bāzei e.
;
.

Integrāls

Logaritma integrāli aprēķina, integrējot pa daļām: .
Tātad,

Izteiksmes, izmantojot kompleksos skaitļus

Apsveriet komplekso skaitļu funkciju z:
.
Izteiksim kompleksu skaitli z caur moduli r un arguments φ :
.
Tad, izmantojot logaritma īpašības, mums ir:
.
Or

Tomēr arguments φ nav unikāli definēts. Ja tu ieliec
, kur n ir vesels skaitlis,
tad tas būs vienāds numurs dažādiem n.

Tāpēc logaritms kā kompleksa mainīgā funkcija nav vienvērtības funkcija.

Jaudas sērijas paplašināšana

Kad notiek paplašināšana:

Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.

Skatīt arī:

Materiāls no Wikipedia - brīvās enciklopēdijas

Definīcija un īpašības

Kompleksajai nullei nav logaritma, jo kompleksais eksponents nepieņem nulles vērtību. No nulles $z$ var attēlot eksponenciālā formā:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ Kur $k$- patvaļīgs vesels skaitlis

Tad $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$ tiek atrasts pēc formulas:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash right)$

Šeit $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- reāls logaritms. No tā izriet:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash punkti)$

Sarežģītu logaritmu vērtību piemēri

Uzrādīsim logaritma galveno vērtību ( $\backslash ln$) un tā vispārīgā izteiksme ( $\backslash mathrm(Ln)$) dažiem argumentiem:

$\backslash ln\; (1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Pārveidojot sarežģītus logaritmus, jums jābūt uzmanīgiem, ņemot vērā, ka tiem ir daudzvērtības, un tāpēc jebkuru izteiksmju logaritmu vienādība nenozīmē šo izteiksmju vienādību. Piemērs kļūdains argumentācija:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- acīmredzama kļūda.

Ņemiet vērā, ka kreisajā pusē ir logaritma galvenā vērtība, bet labajā pusē ir vērtība no pamatā esošās filiāles ( $k=-1$). Kļūdas cēlonis ir neuzmanīga īpašuma izmantošana $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, kas, vispārīgi runājot, sarežģītā gadījumā nozīmē visu bezgalīgo logaritma vērtību kopu, nevis tikai galveno vērtību.

Sarežģīta logaritmiskā funkcija un Rīmaņa virsma

Vienkāršās savienojamības dēļ logaritma Rīmaņa virsma ir universāls segums kompleksai plaknei bez punkta $0$.

Analītisks turpinājums

Kompleksā skaitļa logaritmu var definēt arī kā reālā logaritma analītisko turpinājumu visai kompleksajai plaknei. Ļaujiet līknei $\backslash Gamma$ sākas pie viena, neiet cauri nullei un nešķērso reālās ass negatīvo daļu. Tad logaritma galvenā vērtība beigu punktā $w$ greizs $\backslash Gamma$ var noteikt pēc formulas:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Ja $\backslash Gamma$- vienkārša līkne (bez paškrustojumiem), tad uz tās esošajiem skaitļiem bez bailēm var izmantot logaritmiskās identitātes, piemēram:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Logaritmiskās funkcijas galvenā atzara ir nepārtraukta un diferencējama visā kompleksajā plaknē, izņemot reālās ass negatīvo daļu, uz kuras iedomātā daļa strauji mainās uz $2\backslash pi$. Bet šis fakts ir sekas galvenās vērtības iedomātās daļas mākslīgam ierobežojumam ar intervālu $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Ja ņemam vērā visas funkcijas atzarus, tad nepārtrauktība notiek visos punktos, izņemot nulli, kur funkcija nav definēta. Ja atrisināsiet līkni $\backslash Gamma$šķērso reālās ass negatīvo daļu, tad pirmais šāds krustojums pārnes rezultātu no galvenās vērtības zara uz blakus zaru, un katrs nākamais krustojums izraisa līdzīgu nobīdi pa logaritmiskās funkcijas zariem (skat. attēlu).

No analītiskās turpinājuma formulas izriet, ka jebkurā logaritma atzarā:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash virs\; z)$

Jebkuram lokam $S$, kas aptver punktu $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Integrālis tiek ņemts pozitīvā virzienā (pretēji pulksteņrādītāja virzienam). Šī identitāte ir atlieku teorijas pamatā.

Var arī definēt kompleksā logaritma analītisko turpinājumu, izmantojot sērijas, kas zināmas reālajam gadījumam:

{{{2}}}

(1. rinda)

{{{2}}}

(2. rinda)

Tomēr no šo rindu formas izriet, ka pie viena rindas summa ir vienāda ar nulli, tas ir, rinda attiecas tikai uz sarežģītā logaritma daudzvērtību funkcijas galveno atzaru. Abu rindu konverģences rādiuss ir 1.

Saistība ar apgrieztām trigonometriskām un hiperboliskām funkcijām

$\backslash operatora\; nosaukums(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operatora\; nosaukums(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatora\; nosaukums(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatora\; nosaukums(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatora\; nosaukums(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatora\; nosaukums(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatora\; nosaukums(Arsh)z\; =\; \backslash operatora\; nosaukums(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- apgrieztais hiperboliskais sinuss $\backslash operatora\; nosaukums(Arch)z=\backslash operatora\; nosaukums(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- apgriezts hiperboliskais kosinuss $\backslash operatora\; nosaukums(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatora\; nosaukums(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash right)$- apgrieztā hiperboliskā tangenss $\backslash operatora\; nosaukums(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatora\; nosaukums(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash right)$- apgrieztā hiperboliskā kotangenss

Vēsturiskā skice

Pirmos mēģinājumus paplašināt logaritmus līdz kompleksajiem skaitļiem 17.-18.gadsimta mijā veica Leibnics un Johans Bernulli, taču viņiem neizdevās izveidot holistisko teoriju, galvenokārt tāpēc, ka pats logaritma jēdziens vēl nebija skaidri definēts. Diskusija par šo jautājumu vispirms notika starp Leibnicu un Bernulli, bet 18. gadsimta vidū starp D’Alembertu un Eileru. Bernulli un D'Alemberts uzskatīja, ka tas ir jānosaka $\backslash log(-x)\; =\; \backslash log(x)$, savukārt Leibnics pierādīja, ka negatīva skaitļa logaritms ir iedomāts skaitlis. Pilno negatīvo un komplekso skaitļu logaritmu teoriju Eilers publicēja 1747.–1751. gadā, un tā būtībā neatšķiras no mūsdienu. Lai gan debates turpinājās (D'Alemberts aizstāvēja savu viedokli un detalizēti argumentēja to rakstā savā enciklopēdijā un citos darbos), Eilera pieeja saņēma vispārēju atzinību līdz 18. gadsimta beigām.

Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Komplekss logaritms"

Literatūra

Logaritmu teorija

• Korns G., Korns T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 lpp.
• Švešņikovs A. G., Tihonovs A. N. Sarežģīta mainīgā funkciju teorija. - M.: Nauka, 1967. - 304 lpp.
• Fikhtengolts G. M. Diferenciālrēķina un integrālrēķina kurss. - red. 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 lpp.

Logaritmu vēsture

• 18. gadsimta matemātika // / Rediģējis A. P. Juškevičs, trīs sējumos. - M.: Zinātne, 1972. - T. III.
• Kolmogorovs A. N., Juškevičs A. P. (red.). 19. gadsimta matemātika. Ģeometrija. Analītisko funkciju teorija. - M.: Zinātne, 1981. - T. II.

Piezīmes

1. Logaritmiskā funkcija. // . - M .: Padomju enciklopēdija, 1982. - T. 3.
2. , II sējums, 520.-522.lpp..
3. , Ar. 623..
4. , Ar. 92-94..
5. , Ar. 45-46, 99-100..
6. Boltjanskis V. G., Efremovičs V. A.. - M .: Nauka, 1982. - S. 112. - (Kvantu bibliotēka, 21. izdevums).
7. , II sējums, 522.-526.lpp..
8. , Ar. 624..
9. , Ar. 325-328..
10. Ribņikovs K. A. Matemātikas vēsture. Divos sējumos. - M.: Izdevniecība. Maskavas Valsts universitāte, 1963. - T. II. - 27., 230.-231. lpp.
11. , Ar. 122-123..
12. Kleins F.. - M.: Zinātne, 1987. - T. II. Ģeometrija. - 159.-161.lpp. - 416 s.

Sarežģīto logaritmu raksturojošs fragments

Bija skaidrs, ka šis spēcīgais, dīvainais vīrietis bija zem neatvairāmas ietekmes, ko uz viņu atstāja šī tumšā, graciozā, mīlošā meitene.
Rostova pamanīja kaut ko jaunu starp Dolokhovu un Soniju; bet viņš pats nenoteica, kādas ir šīs jaunās attiecības. "Viņi visi tur ir iemīlējušies," viņš domāja par Soniju un Natašu. Bet viņš nebija tik ērti ar Soniju un Dolokhovu kā iepriekš, un viņš sāka retāk atrasties mājās.
Kopš 1806. gada rudens viss atkal sāka runāt par karu ar Napoleonu ar vēl lielāku degsmi nekā pagājušajā gadā. Tika iecelti ne tikai jauniesauktie, bet arī vēl 9 karotāji no tūkstoš. Visur viņi lamāja Bonapartu ar anatēmu, un Maskavā tika runāts tikai par gaidāmo karu. Rostovu ģimenei visa šī kara gatavošanās interese bija tikai tā, ka Nikoluška nekad nepiekrita palikt Maskavā un gaidīja tikai Denisova atvaļinājuma beigas, lai pēc brīvdienām dotos kopā ar viņu uz pulku. Gaidāmā aizbraukšana viņam ne tikai netraucēja izklaidēties, bet arī mudināja to darīt. Lielāko daļu laika viņš pavadīja ārpus mājas, vakariņās, vakaros un ballēs.

XI
Trešajā Ziemassvētku dienā Nikolajs vakariņoja mājās, kas viņam pēdējā laikā notika reti. Tās oficiāli bija atvadu vakariņas, jo viņš un Deņisovs devās uz pulku pēc Epifānijas. Pusdienoja apmēram divdesmit cilvēku, tostarp Dolohovs un Deņisovs.
Nekad Rostovas namā mīlestības gaiss, mīlestības gaisotne nav licis sevi manīt ar tādu spēku kā šajos svētkos. “Noķer laimes mirkļus, piespied sevi mīlēt, iemīli sevi! Tikai šī viena lieta pasaulē ir reāla – pārējais viss ir muļķības. Un tas ir viss, ko mēs šeit darām, ”sacīja atmosfēra. Nikolajs, kā vienmēr, spīdzinājis divus zirgu pārus un nepaspējis apmeklēt visas vietas, kur viņam vajadzēja būt un kur viņu sauca, mājās ieradās īsi pirms pusdienām. Jau ieejot, viņš pamanīja un sajuta mājā valdošo saspringto, mīlestības pilno gaisotni, taču pamanīja arī dīvainu apjukumu, kas valdīja starp dažiem biedrības biedriem. Īpaši satraukti bija Sonja, Dolohovs, vecā grāfiene un mazā Nataša. Nikolajs saprata, ka pirms vakariņām starp Soniju un Dolohovu kaut kas notiks, un ar viņam raksturīgo sirds jūtīgumu vakariņu laikā bija ļoti maigs un uzmanīgs attiecībās ar abiem. Tajā pašā brīvdienu trešās dienas vakarā bija jābūt vienai no tām ballēm pie Jogeļa (deju skolotāja), ko viņš sniedza brīvdienās visiem saviem audzēkņiem un studentēm.
- Nikoļenka, vai tu dosies uz Jogelu? Lūdzu, ej," Nataša viņam teica, "viņš jums īpaši lūdza, un Vasilijs Dmitričs (tas bija Deņisovs) dodas."
"Lai kur es dotos pēc Atēnas kunga pavēles," sacīja Deņisovs, kurš jokojot iekārtojās Rostovas namā bruņinieces Natašas pakājē, "pas de chale [deja ar šalli] ir gatava dejai."
- Ja man būs laiks! "Es apsolīju Arharoviem, ka tas ir viņu vakars," sacīja Nikolajs.
"Un jūs?..." viņš pagriezās pret Dolokhovu. Un tikai tagad es to jautāju, es pamanīju, ka to nevajadzēja jautāt.
"Jā, varbūt ..." Dolokhovs vēsi un dusmīgi atbildēja, paskatījās uz Soniju un, saraucis pieri, ar tādu pašu skatienu, kāds bija skatījies uz Pjēru kluba vakariņās, atkal paskatījās uz Nikolaju.
"Tur kaut kas ir," nodomāja Nikolajs, un šo pieņēmumu vēl vairāk apstiprināja fakts, ka Dolokhovs devās prom tūlīt pēc vakariņām. Viņš piezvanīja Natašai un jautāja, kas tas bija?
"Es tevi meklēju," Nataša sacīja, izskrējusi pie viņa. "Es teicu, ka jūs joprojām nevēlaties ticēt," viņa triumfējoši sacīja, "viņš bildināja Sonju.
Neatkarīgi no tā, cik mazs Nikolajs Sonja šajā laikā paveicās, šķita, ka viņā kaut kas atdalījās, kad viņš to dzirdēja. Dolohovs bija pieklājīgs un dažos aspektos izcili saderīgs ar bezpūra bāreni Soniju. No vecās grāfienes un pasaules viedokļa viņam nebija iespējams atteikt. Un tāpēc pirmā Nikolaja sajūta, to dzirdot, bija rūgtums pret Soniju. Viņš gatavojās teikt: "Un tas ir labi, protams, ir jāaizmirst bērnības solījumi un jāpieņem piedāvājums"; bet viņam vēl nebija laika to pateikt...
– Varat iedomāties! Viņa atteicās, pilnībā atteicās! – Nataša ierunājās. "Viņa teica, ka mīl kādu citu," viņa piebilda pēc īsa klusuma.
"Jā, mana Sonja nevarēja rīkoties citādi!" domāja Nikolajs.
"Neatkarīgi no tā, cik daudz mana māte viņai jautāja, viņa atteicās, un es zinu, ka viņa nemainīs to, ko viņa teica...
- Un mamma viņai jautāja! – Nikolajs pārmetoši teica.
"Jā," sacīja Nataša. - Zini, Nikoļenka, nedusmojies; bet es zinu, ka tu viņu neprecēsi. Es zinu, Dievs zina, kāpēc, es noteikti zinu, ka jūs neprecēsities.
"Nu, jūs to nezināt," sacīja Nikolajs; – bet man ar viņu jāparunā. Cik skaista ir šī Sonja! – viņš smaidot piebilda.
- Tas ir tik jauki! Es tev to nosūtīšu. - Un Nataša, skūpstīdama brāli, aizbēga.
Pēc minūtes Sonija ienāca nobijusies, apmulsusi un vainīga. Nikolajs piegāja pie viņas un noskūpstīja viņas roku. Šī bija pirmā reize šajā vizītē, kad viņi runāja aci pret aci un par savu mīlestību.
"Sofija," viņš sākumā kautrīgi sacīja, bet pēc tam arvien drosmīgāk, "ja vēlaties atteikt ne tikai izcilu, ienesīgu maču; bet viņš ir brīnišķīgs, cēls cilvēks... viņš ir mans draugs...
Sonja viņu pārtrauca.
"Es jau atteicos," viņa steidzīgi teica.
- Ja tu man atsakās, tad es baidos, ka uz mani...
Sonja viņu atkal pārtrauca. Viņa paskatījās uz viņu lūdzošām, izbiedētām acīm.
"Nikolajs, nesaki man to," viņa teica.
- Nē, man vajag. Varbūt tā ir pietiekama [augstprātība] no manas puses, bet labāk teikt. Ja tu man atteiksies, tad man tev jāsaka visa patiesība. Es tevi mīlu, manuprāt, vairāk par jebkuru citu...
"Man ar to pietiek," Sonja sacīja pietvīkusi.
- Nē, bet es esmu iemīlējusies tūkstoš reižu un iemīlēsies arī turpmāk, lai gan man nav tādas draudzības, uzticības, mīlestības sajūtas ne pret vienu kā pret tevi. Tad es esmu jauns. Maman to nevēlas. Nu vienkārši es neko nesolu. Un es lūdzu jūs padomāt par Dolokhova priekšlikumu," viņš teica, viņam bija grūtības izrunāt drauga uzvārdu.
- Nestāsti man to. ES neko nevēlos. Es mīlu tevi kā brāli un vienmēr mīlēšu, un man nevajag neko vairāk.
"Tu esi eņģelis, es neesmu tevis cienīgs, bet es tikai baidos tevi maldināt." – Nikolajs vēlreiz noskūpstīja viņas roku.

Jogelam bija visjautrākās balles Maskavā. Tā teica mātes, skatīdamies uz savām pusaudzēm [meitenēm], kas veica tikko apgūtos soļus; to teica paši pusaudži un pusaudži, [meitenes un zēni], kuri dejoja, līdz nokrita; šīs pieaugušās meitenes un jaunekļi, kuri ieradās uz šīm ballēm ar domu tām piekāpties un tajās atrast labāko jautrību. Tajā pašā gadā šajās ballēs notika divas laulības. Abas glītās Gorčakovu princeses atrada pielūdzējus un apprecējās, un vēl jo vairāk viņas palaida šīs bumbiņas godībā. Īpašs šajās ballēs bija tas, ka nebija saimnieka un saimnieces: tur bija labsirdīgais Jogels, kā lidojošas spalvas, kas pēc mākslas likumiem mudījās apkārt, kas pieņēma biļetes uz nodarbībām no visiem saviem viesiem; bija tā, ka uz šīm ballēm grib iet tikai tie, kas vēlas dejot un izklaidēties, piemēram, 13 un 14 gadus vecas meitenes, kuras pirmo reizi uzvelk garās kleitas. Visi, ar retiem izņēmumiem, bija vai šķita glīti: viņi visi tik entuziastiski smaidīja un viņu acis tik ļoti iemirdzējās. Reizēm pas de chale dejoja pat labākie skolēni, no kuriem labākā bija Nataša, kas izcēlās ar savu grāciju; bet šajā pēdējā ballē tika dejotas tikai ekozāles, anglaises un mazurka, kas tikko nāca modē. Zāli Jogels aizveda uz Bezuhova māju, un balle, kā visi teica, bija ļoti veiksmīga. Bija daudz skaistu meiteņu, un Rostovas dāmas bija starp labākajām. Viņi abi bija īpaši priecīgi un dzīvespriecīgi. Tovakar Sonja, lepojoties ar Dolokhova priekšlikumu, savu atteikumu un paskaidrojumus ar Nikolaju, joprojām griezās mājās, neļaujot meitenei pabeigt bizes, un tagad viņa kvēloja cauri un cauri ārdošā priekā.
Nataša, ne mazāk lepna, ka pirmo reizi īstā ballē bija uzvilkusi garu kleitu, bija vēl priecīgāka. Abām bija mugurā baltas muslīna kleitas ar rozā lentītēm.
Nataša iemīlējās no pašas minūtes, kad viņa iegāja bumbiņā. Viņa nebija iemīlējusies nevienā īpaši, bet viņa bija iemīlējusies visos. Tas, uz kuru viņa paskatījās brīdī, kad skatījās, bija tas, kurā viņa bija iemīlējusies.
- Ak, cik labi! – viņa turpināja teikt, pieskrienot pie Sonijas.
Nikolajs un Deņisovs staigāja pa zālēm, sirsnīgi un aizbildnieciski skatījās uz dejotājiem.
"Cik viņa būs mīļa," sacīja Denisovs.
- PVO?
"Atēna Nataša," atbildēja Denisovs.
“Un kā viņa dejo, kāda g”šana!” pēc īsa klusuma viņš atkal sacīja.
- Par ko tu runā?
"Par tavu māsu," Denisovs dusmīgi kliedza.
Rostovs pasmaidīja.
– Mon cher comte; vous etes l "un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez," sacīja mazais Jogels, tuvojoties Nikolajam. "Voyez combien de jolies demoiselles. [Dārgais grāf, jūs esat viens no maniem labākajiem studentiem. Jums jādejo. Paskatieties, kā daudz skaistas meitenes!] - Viņš vērsās ar tādu pašu lūgumu pie Deņisova, arī viņa bijušā audzēkņa.
"Non, mon cher, je fe"ai tapisse"ie, [Nē, mans dārgais, es sēdēšu pie sienas," sacīja Denisovs. "Vai jūs neatceraties, cik slikti es izmantoju jūsu nodarbības?"
- Ak nē! – Jogels steidzīgi teica, mierinot viņu. – Tu biji tikai neuzmanīga, bet tev bija spējas, jā, tev bija spējas.
Tika spēlēta jaunieviestā mazurka; Nikolajs nevarēja atteikt Jogelam un uzaicināja Soniju. Deņisovs apsēdās blakus vecajām sievietēm un atspiedās uz zobena, sita ar kājām, kaut ko jautri stāstīja un lika vecajām dāmām smieties, skatīdamies uz dejojošo jaunatni. Jogels pirmajā pārī dejoja ar Natašu, savu lepnumu un labāko studentu. Maigi, maigi kustinot kājas kurpēs, Jogels pirmais pārlidoja pāri zālei ar Natašu, kura bija bikli, bet cītīgi darīja savus soļus. Deņisovs nenolaida no viņas skatienu un sita ar zobenu ar gaisu, kas skaidri vēstīja, ka viņš pats nedejo tikai tāpēc, ka negrib, nevis tāpēc, ka nevar. Figūras vidū viņš piesauca garāmejošo Rostovu.
"Tas nepavisam nav tas pats," viņš teica. - Vai šī ir poļu mazu "ka? Un viņa labi dejo." Zinot, ka Denisovs pat Polijā bija slavens ar savu prasmi dejot poļu mazurku, Nikolajs pieskrēja pie Natašas:
- Ej un izvēlies Deņisovu. Šeit viņš dejo! Brīnums! - viņš teica.
Kad atkal pienāca Natašas kārta, viņa piecēlās un ātri aptaustījusi kurpes ar banti, bailīgi viena pati skrēja pāri gaitenim uz stūri, kur sēdēja Denisovs. Viņa redzēja, ka visi skatās uz viņu un gaida. Nikolajs redzēja, ka Denisovs un Nataša strīdas smaidot, un ka Denisovs atsakās, bet priecīgi smaida. Viņš pieskrēja augšā.
"Lūdzu, Vasīlij Dmitrič," sacīja Nataša, "ejam, lūdzu."
"Jā, tas tā ir, g'athena," sacīja Denisovs.
"Nu, ar to pietiek, Vasja," sacīja Nikolajs.
"Tas ir tā, it kā viņi mēģinātu pierunāt kaķi Vasku," jokojot sacīja Denisovs.
"Es tev dziedāšu visu vakaru," sacīja Nataša.
– Burve man darīs visu! - Denisovs teica un atsprādzēja zobenu. Viņš iznāca no aiz krēsliem, stingri satvēra savu kundzi aiz rokas, pacēla galvu un nolika kāju, gaidīdams taktu. Tikai zirga mugurā un mazurkā Denisova īsais augums nebija redzams, un šķita, ka viņš bija tas pats jauneklis, par kādu viņš jutās. Sagaidījis sitienu, viņš triumfējoši un rotaļīgi paskatījās uz savu dāmu no sāniem, pēkšņi uzsita ar vienu kāju un kā bumba elastīgi atlēca no grīdas un aizlidoja riņķī, velkot sev līdzi savu dāmu. Viņš klusībā uz vienas kājas lidoja pāri zālei, un likās, ka viņš neredzēja sev priekšā stāvošos krēslus un metās taisni tiem pretī; bet pēkšņi, klaudzīdams spuras un izpletījis kājas, viņš apstājās uz papēžiem, mirklīti stāvēja, piešiem rūcot, sasita kājas vienā vietā, ātri apgriezās un, ar kreiso kāju noklikšķinot labo kāju, atkal lidoja riņķī. Nataša uzminēja, ko viņš plāno darīt, un, nezinot, kā, sekoja viņam - nododoties viņam. Tagad viņš riņķoja viņai, tagad pa labo, tagad pa kreiso roku, tagad nokritis uz ceļiem, viņš apmeta viņu ap sevi, un atkal viņš uzlēca un skrēja uz priekšu tik ātri, it kā būtu nodomājis skriet pāri visām istabām. neatvelkot elpu; tad pēkšņi viņš atkal apstājās un atkal uzmeta jaunu un negaidītu ceļgalu. Kad viņš, strauji pagriežot dāmu priekšā viņas vietai, atcirta spurtu, paklanīdamies viņas priekšā, Nataša pat nesaucās par viņu. Viņa apmulsusi skatījās uz viņu, smaidot, it kā viņa viņu nepazītu. - Kas tas ir? - viņa teica.
Neskatoties uz to, ka Jogels neatzina šo mazurku par īstu, visi bija sajūsmā par Deņisova prasmi, viņi sāka viņu nemitīgi izvēlēties, un vecie cilvēki smaidot sāka runāt par Poliju un vecajiem labajiem laikiem. Deņisovs, pietvīcis no mazurkas un noslaucījies ar kabatlakatiņu, apsēdās blakus Natašai un visas bumbas laikā nepameta viņas pusi.

Definīcija un īpašības

Kompleksajai nullei nav logaritma, jo kompleksais eksponents nepieņem nulles vērtību. No nulles texvc var attēlot eksponenciālā formā:

Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet math/README — palīdzība ar iestatīšanu.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, Kur Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): k- patvaļīgs vesels skaitlis

Tad Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \mathrm(Ln)\,z tiek atrasts pēc formulas:

Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet math/README — palīdzība ar iestatīšanu.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Šeit Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \ln\,r= \ln\,|z|- reāls logaritms. No tā izriet:

No formulas ir skaidrs, ka vienai un tikai vienai no vērtībām ir iedomāta daļa intervālā Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc . Šo vērtību sauc galvenā nozīme kompleksais naturālais logaritms. Tiek izsaukta atbilstošā (jau nepārprotamā) funkcija galvenā filiāle logaritms un tiek apzīmēts Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \ln\,z. Dažreiz cauri Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet math/README iestatīšanas palīdzību.): \ln\, z apzīmē arī logaritma vērtību, kas neatrodas galvenajā zarā. Ja Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet math/README iestatīšanas palīdzību.): z ir reāls skaitlis, tad tā logaritma galvenā vērtība sakrīt ar parasto reālo logaritmu.

No iepriekš minētās formulas arī izriet, ka logaritma reālo daļu nosaka šādi, izmantojot argumenta komponentus:

Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet math/README, lai saņemtu palīdzību saistībā ar iestatīšanu.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Attēlā redzams, ka reālā daļa kā komponentu funkcija ir centrāli simetriska un atkarīga tikai no attāluma līdz izcelsmei. To iegūst, pagriežot reālā logaritma grafiku ap vertikālo asi. Tuvojoties nullei, funkcijai ir tendence Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet matemātiku/README — palīdzība ar iestatīšanu.): -\infty.

Negatīvā skaitļa logaritmu nosaka pēc formulas:

Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 ,\ pm 2\punkti)

Sarežģītu logaritmu vērtību piemēri

Uzrādīsim logaritma galveno vērtību ( Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \ln) un tā vispārīgā izteiksme ( Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \mathrm(Ln)) dažiem argumentiem:

Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet math/README iestatīšanas palīdzību.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet matemātiku/README — palīdzība ar iestatīšanu.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Pārveidojot sarežģītus logaritmus, jums jābūt uzmanīgiem, ņemot vērā, ka tiem ir daudzvērtības, un tāpēc jebkuru izteiksmju logaritmu vienādība nenozīmē šo izteiksmju vienādību. Piemērs kļūdains argumentācija:

Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet matemātiku/README — palīdzība ar iestatīšanu.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi- acīmredzama kļūda.

Ņemiet vērā, ka kreisajā pusē ir logaritma galvenā vērtība, bet labajā pusē ir vērtība no pamatā esošās filiāles ( Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet matemātiku/README — palīdzība ar iestatīšanu.): k=-1). Kļūdas cēlonis ir neuzmanīga īpašuma izmantošana Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, kas, vispārīgi runājot, sarežģītā gadījumā nozīmē visu bezgalīgo logaritma vērtību kopu, nevis tikai galveno vērtību.

Sarežģīta logaritmiskā funkcija un Rīmaņa virsma

Vienkāršās savienojamības dēļ logaritma Rīmaņa virsma ir universāls segums kompleksai plaknei bez punkta Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc .

Analītisks turpinājums

Kompleksā skaitļa logaritmu var definēt arī kā reālā logaritma analītisko turpinājumu visai kompleksajai plaknei. Ļaujiet līknei Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc sākas pie viena, neiet cauri nullei un nešķērso reālās ass negatīvo daļu. Tad logaritma galvenā vērtība beigu punktā Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): w greizs Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \Gamma var noteikt pēc formulas:

Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet math/README, lai saņemtu palīdzību par iestatīšanu.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Ja Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \Gamma- vienkārša līkne (bez paškrustojumiem), tad uz tās esošajiem skaitļiem bez bailēm var izmantot logaritmiskās identitātes, piemēram:

Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet math/README, lai saņemtu palīdzību par iestatīšanu: \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Logaritmiskās funkcijas galvenā atzara ir nepārtraukta un diferencējama visā kompleksajā plaknē, izņemot reālās ass negatīvo daļu, uz kuras iedomātā daļa strauji mainās uz Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet math/README — palīdzība ar iestatīšanu.): 2\pi. Bet šis fakts ir sekas galvenās vērtības iedomātās daļas mākslīgam ierobežojumam ar intervālu Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): (-\pi, \pi]. Ja ņemam vērā visas funkcijas atzarus, tad nepārtrauktība notiek visos punktos, izņemot nulli, kur funkcija nav definēta. Ja atrisināsiet līkni Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \Gammašķērso reālās ass negatīvo daļu, tad pirmais šāds krustojums pārnes rezultātu no galvenās vērtības zara uz blakus zaru, un katrs nākamais krustojums izraisa līdzīgu nobīdi pa logaritmiskās funkcijas zariem (skat. attēlu).

No analītiskās turpinājuma formulas izriet, ka jebkurā logaritma atzarā:

Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

Jebkuram lokam Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet matemātikas/README.): S, kas aptver punktu Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet matemātikas/README iestatīšanas palīdzību.): 0 :

Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet math/README, lai saņemtu palīdzību par iestatīšanu.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Integrālis tiek ņemts pozitīvā virzienā (pretēji pulksteņrādītāja virzienam). Šī identitāte ir atlieku teorijas pamatā.

Var arī definēt kompleksā logaritma analītisko turpinājumu, izmantojot sērijas, kas zināmas reālajam gadījumam:

Tomēr no šo rindu formas izriet, ka pie viena rindas summa ir vienāda ar nulli, tas ir, rinda attiecas tikai uz sarežģītā logaritma daudzvērtību funkcijas galveno atzaru. Abu rindu konverģences rādiuss ir 1.

Saistība ar apgrieztām trigonometriskām un hiperboliskām funkcijām

Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \operatora nosaukums(Arcsin) z = -i \operatora nosaukums(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \operatora nosaukums(Arccos) z = -i \operatora nosaukums(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatīt math/README — palīdzība ar iestatīšanu.): \operatora nosaukums(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatīt math/README — palīdzība ar iestatīšanu.): \operatora nosaukums(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \operatora nosaukums(Arsh)z = \operatora nosaukums(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- apgrieztais hiperboliskais sinuss Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Skatiet matemātiku/README — palīdzība ar iestatīšanu.): \operatora nosaukums(Arch)z=\operatora nosaukums(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- apgriezts hiperboliskais kosinuss Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.: \operatora nosaukums(Arth)z=\frac(1)(2)\operatora nosaukums(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- apgrieztā hiperboliskā tangenss Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.: \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- apgrieztā hiperboliskā kotangenss

Vēsturiskā skice

Pirmos mēģinājumus paplašināt logaritmus līdz kompleksajiem skaitļiem 17.-18.gadsimta mijā veica Leibnics un Johans Bernulli, taču viņiem neizdevās izveidot holistisko teoriju, galvenokārt tāpēc, ka pats logaritma jēdziens vēl nebija skaidri definēts. Diskusija par šo jautājumu vispirms notika starp Leibnicu un Bernulli, bet 18. gadsimta vidū starp D’Alembertu un Eileru. Bernulli un D'Alemberts uzskatīja, ka tas ir jānosaka Nevar parsēt izteiksmi (izpildāms fails texvc nav atrasts; Iestatīšanas palīdzību skatiet math/README.): \log(-x) = \log(x), savukārt Leibnics pierādīja, ka negatīva skaitļa logaritms ir iedomāts skaitlis. Pilno negatīvo un komplekso skaitļu logaritmu teoriju Eilers publicēja 1747.–1751. gadā, un tā būtībā neatšķiras no mūsdienu. Lai gan debates turpinājās (D'Alemberts aizstāvēja savu viedokli un detalizēti argumentēja to rakstā savā enciklopēdijā un citos darbos), Eilera pieeja saņēma vispārēju atzinību līdz 18. gadsimta beigām.

Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Komplekss logaritms"

Literatūra

Logaritmu teorija

• Korns G., Korns T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 lpp.
• Švešņikovs A. G., Tihonovs A. N. Sarežģīta mainīgā funkciju teorija. - M.: Nauka, 1967. - 304 lpp.
• Fikhtengolts G. M. Diferenciālrēķina un integrālrēķina kurss. - red. 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 lpp.

Logaritmu vēsture

• 18. gadsimta matemātika // / Rediģējis A. P. Juškevičs, trīs sējumos. - M.: Zinātne, 1972. - T. III.
• Kolmogorovs A. N., Juškevičs A. P. (red.). 19. gadsimta matemātika. Ģeometrija. Analītisko funkciju teorija. - M.: Zinātne, 1981. - T. II.

Piezīmes

1. Logaritmiskā funkcija. // . - M .: Padomju enciklopēdija, 1982. - T. 3.
2. , II sējums, 520.-522.lpp..
3. , Ar. 623..
4. , Ar. 92-94..
5. , Ar. 45-46, 99-100..
6. Boltjanskis V. G., Efremovičs V. A.. - M .: Nauka, 1982. - S. 112. - (Kvantu bibliotēka, 21. izdevums).
7. , II sējums, 522.-526.lpp..
8. , Ar. 624..
9. , Ar. 325-328..
10. Ribņikovs K. A. Matemātikas vēsture. Divos sējumos. - M.: Izdevniecība. Maskavas Valsts universitāte, 1963. - T. II. - 27., 230.-231. lpp.
11. , Ar. 122-123..
12. Kleins F.. - M.: Zinātne, 1987. - T. II. Ģeometrija. - 159.-161.lpp. - 416 s.

Sarežģīto logaritmu raksturojošs fragments

No mežonīgajām šausmām, kas mūs pārņēma, mēs kā lodes metāmies cauri plašai ielejai, pat nedomājot, ka varētu ātri doties uz citu “stāvu” ... Mums vienkārši nebija laika par to domāt - mēs bijām pārāk nobijušies.
Radījums lidoja tieši virs mums, skaļi klikšķinot ar savu zobaino knābi, un mēs metāmies tik tālu, cik varējām, smidzinot uz sāniem nekrietnus gļotainus aerosolus un garīgi lūdzot, lai kaut kas cits pēkšņi ieinteresētu šo briesmīgo “brīnumputnu” ... Bija jūtams, ka tas ir daudz ātrāk un mums vienkārši nebija iespēju no tā atrauties. Kā ļaunums tuvumā neauga neviens koks, nebija ne krūmu, ne akmeņu, aiz kuriem varētu paslēpties, tikai tālumā bija redzama draudīga melna klints.
- Tur! – Stella kliedza, rādot ar pirkstu uz to pašu akmeni.
Taču pēkšņi, negaidīti, tieši mūsu priekšā no kaut kurienes uzradās radījums, kuru ieraugot mūsu asinis burtiski sasaldēja mūsu vēnās... Tas radās it kā “tieši no zila gaisa” un bija patiesi šausminošs. .. Milzīgais melnais karkass bija pilnībā pārklāts ar gariem stīviem matiem, liekot tam izskatīties pēc vēdervēdera lāča, tikai šis "lācis" bija tik garš kā trīsstāvu māja ... Monstra bedrainā galva bija "precēta" ar diviem milzīgiem izliektiem ragiem, un pāris neticami garu ilkņu, asi kā naži, rotāja tā briesmīgo muti, uz kuru vien skatoties, ar izbīli kājas padevās... Un tad, mūs neizsakāmi pārsteidzot, briesmonis viegli uzlēca. augšā un .... pacēla lidojošo "muļķi" uz viena no tā milzīgajiem ilkņiem... Mēs sastingām apmulsuši.
- Skrienam!!! – Stella iesaucās. – Skriesim, kamēr viņš ir “aizņemts”!
Un mēs bijām gatavi atkal steigties, neatskatoties, kad pēkšņi aiz muguras atskanēja kalsna balss:
- Meitenes, pagaidiet!!! Nav jābēg!.. Dīns tevi izglāba, viņš nav ienaidnieks!
Mēs asi pagriezāmies - aiz muguras stāvēja sīka, ļoti skaista melnacīga meitene... un mierīgi glāstīja briesmoni, kas viņai tuvojās! .. Mūsu acis izlēca no pārsteiguma... Tas bija neticami! Noteikti - tā bija pārsteigumu diena!.. Meitene, skatoties uz mums, laipni pasmaidīja, nemaz nebaidoties no tuvumā stāvošā pūkainā briesmoņa.
- Lūdzu, nebaidies no viņa. Viņš ir ļoti laipns. Mēs redzējām, ka Ovara tevi dzenā un nolēmām palīdzēt. Dīns bija lielisks, viņš to paveica laikā. Tiešām, mans dārgais?
“Labi” nomurmināja, kas izklausījās pēc nelielas zemestrīces, un, noliecis galvu, nolaizīja meitenes seju.
– Kas ir Ovara, un kāpēc viņa mums uzbruka? - ES jautāju.
"Viņa uzbrūk visiem, viņa ir plēsējs." Un ļoti bīstami,” meitene mierīgi atbildēja. – Vai drīkstu jautāt, ko jūs šeit darāt? Jūs neesat no šejienes, meitenes?
- Nē, ne no šejienes. Mēs vienkārši pastaigājāmies. Bet tev tas pats jautājums - ko tu te dari?
"Es iešu pie savas mātes..." mazā meitene kļuva skumja. "Mēs nomira kopā, bet kāda iemesla dēļ viņa nokļuva šeit." Un tagad es šeit dzīvoju, bet es viņai to nesaku, jo viņa nekad tam nepiekritīs. Viņa domā, ka es tikai nāku...
– Vai nav labāk vienkārši atnākt? Te ir tik šausmīgi!.. – Stella paraustīja plecus.
"Es nevaru atstāt viņu šeit vienu, es viņu vēroju, lai ar viņu nekas nenotiktu." Un te Dīns ir ar mani... Viņš man palīdz.
Es vienkārši nespēju tam noticēt... Šī mazā drosmīgā meitene brīvprātīgi pameta savu skaisto un laipno "grīdu", lai dzīvotu šajā aukstajā, briesmīgajā un svešajā pasaulē, aizsargājot savu māti, kura savā ziņā bija ļoti "vainīga"! Nedomāju, ka būtu daudz tik drosmīgu un nesavtīgu cilvēku (pat pieauguši cilvēki!), kuri uzdrošināsies uzņemties šādu varoņdarbu... Un es uzreiz nodomāju - varbūt viņa vienkārši nesaprata, kam sevi nolems. ?!
– Cik ilgi tu šeit esi, meitiņ, ja tas nav noslēpums?
"Nesen..." melnacainais mazulis skumji atbildēja, ar pirkstiem raustīdams savu cirtaino matu melno šķipsnu. – Es nomirstot nokļuvu tik skaistā pasaulē!.. Viņš bija tik laipns un gaišs!.. Un tad es ieraudzīju, ka mammas nav ar mani, un metos viņu meklēt. Sākumā tas bija tik biedējoši! Nez kāpēc viņa nebija nekur... Un tad es iekritu šajā briesmīgajā pasaulē... Un tad es viņu atradu. Man te bija tik bail... Tik vientuļi... Mamma teica, lai braucu prom, pat aizrādīja. Bet es nevaru viņu pamest... Tagad man ir draugs, mans labais Dīns, un es jau varu kaut kā šeit pastāvēt.
Viņas “labais draugs” atkal ņurdēja, kas mums ar Stellu sagādāja milzīgas “apakšējā astrālā” zosāda... Saņēmusi sevi, centos nedaudz nomierināties un sāku vērīgāk aplūkot šo pūkaino brīnumu... Un viņš, uzreiz juzdams, ka viņu pamana, viņš šausmīgi atlaida ilkņoto muti... Es atlēcu atpakaļ.
- Ak, nebaidies, lūdzu! "Viņš tev smaida," meitene "mierināja."
Jā... No tāda smaida tu iemācīsies ātri skriet... - pie sevis nodomāju.
– Kā tas gadījās, ka sadraudzējies ar viņu? – Stella jautāja.
– Kad es pirmo reizi šeit ierados, man bija ļoti bail, it īpaši, kad šodien uzbruka tādi briesmoņi kā jūs. Un tad kādu dienu, kad es gandrīz nomiru, Dīns mani izglāba no vesela bara rāpojošu lidojošu “putnu”. Man arī sākumā bija bail no viņa, bet tad sapratu, kāda viņam ir zelta sirds... Viņš ir labākais draugs! Man nekad nekas tāds nav bijis, pat tad, kad es dzīvoju uz Zemes.
– Kā jūs tik ātri pieradāt? Viņa izskats nav gluži, teiksim, pazīstams...
– Un te es sapratu vienu ļoti vienkāršu patiesību, kuru nez kāpēc uz Zemes neievēroju – izskatam nav nozīmes, vai cilvēkam vai radījumam ir laba sirds... Mamma bija ļoti skaista, bet brīžiem ļoti dusmīga. arī. Un tad viss viņas skaistums kaut kur pazuda... Un Dīns, lai arī biedējošs, vienmēr ir ļoti laipns, un vienmēr mani sargā, es jūtu viņa laipnību un ne no kā nebaidos. Bet pie izskata var pierast...
– Vai zini, ka būsi šeit ļoti ilgi, daudz ilgāk, nekā cilvēki dzīvo uz Zemes? Vai tiešām gribi šeit palikt?...
"Mana māte ir šeit, tāpēc man viņai jāpalīdz." Un, kad viņa atkal “aizies” dzīvot uz Zemes, es arī aizbraukšu... Tur, kur vairāk labestības. Šajā briesmīgajā pasaulē cilvēki ir ļoti dīvaini - it kā viņi nemaz nedzīvotu. Kāpēc ir tā, ka? Vai jūs kaut ko zināt par šo?
– Kurš tev teica, ka tava māte aizbrauks atkal dzīvot? – Stella ieinteresējās.
– Dīns, protams. Viņš zina daudz, viņš šeit dzīvo ļoti ilgu laiku. Viņš arī teica, ka tad, kad mēs (mana māte un es) atkal dzīvosim, mūsu ģimenes būs atšķirīgas. Un tad man vairs nebūs šīs mātes... Tāpēc es tagad gribu būt kopā ar viņu.
- Kā tu ar viņu runā, tavs dekāns? – Stella jautāja. – Un kāpēc tu nevēlies mums pateikt savu vārdu?
Bet tā ir taisnība - mēs joprojām nezinājām viņas vārdu! Un viņi arī nezināja, no kurienes viņa nāk...
– Mani sauca Marija... Bet vai tam tiešām šeit ir nozīme?
- Noteikti! – Stella iesmējās. - Kā es varu ar tevi sazināties? Kad tu aiziesi, tev dos jaunu vārdu, bet kamēr tu būsi šeit, tev būs jādzīvo ar veco. Vai tu šeit runāji ar kādu citu, meitene Marija? – Stella jautāja, aiz ieraduma lēkādama no tēmas uz tēmu.
"Jā, es runāju..." mazā meitene vilcinājās. "Bet viņi šeit ir tik dīvaini." Un tik nelaimīgi... Kāpēc viņi ir tik nelaimīgi?
– Vai tas, ko jūs šeit redzat, veicina laimi? – Mani pārsteidza viņas jautājums. – Pat vietējā “realitāte” jau iepriekš nogalina jebkādas cerības!.. Kā gan te var būt laimīga?
- Nezinu. Kad esmu kopā ar mammu, man šķiet, ka es varētu būt laimīga arī šeit... Tiesa, te ir ļoti bailīgi, un viņai te ļoti nepatīk... Kad teicu, ka piekritu palikt pie viņu, viņa man kliedza un teica, ka es esmu viņas "bezsmadzeņu nelaime"... Bet es neapvainojos... Es zinu, ka viņa vienkārši baidās. Tāpat kā es...
– Varbūt viņa vienkārši gribēja jūs pasargāt no jūsu “galējā” lēmuma un tikai gribēja, lai tu atgrieztos savā “grīdā”? – Stella uzmanīgi jautāja, lai neapvainotos.
– Nē, protams... Bet paldies par labajiem vārdiem. Mamma mani bieži sauca ne pārāk labos vārdos, pat uz Zemes... Bet es zinu, ka tas nebija aiz dusmām. Viņa vienkārši bija nelaimīga, ka es piedzimu, un bieži man teica, ka es sabojāju viņas dzīvi. Bet tā nebija mana vaina, vai ne? Es vienmēr centos viņu iepriecināt, bet nez kāpēc man neveicās... Un man nekad nav bijis tēta. – Marija bija ļoti skumja, un viņas balss trīcēja, it kā viņa grasītos raudāt.
Mēs ar Stellu saskatījāmies, un es biju gandrīz pārliecināta, ka līdzīgas domas viņu apmeklēja... Man jau ļoti nepatika šī izlutinātā, egoistiskā “māte”, kura tā vietā, lai pati uztraukties par savu bērnu, nerūpējās par viņa varonīgo upuri vispār es sapratu un piedevām arī sāpīgi sāpināju viņu.
"Bet Dīns saka, ka es esmu labs un es viņu ļoti iepriecinu!" – mazā meitenīte jautrāk noburkšķēja. "Un viņš vēlas ar mani draudzēties." Un citi, ko esmu šeit sastapusi, ir ļoti auksti un vienaldzīgi, un dažreiz pat ļauni... Īpaši tie, kuriem ir pieķērušies briesmoņi...
"Briesmoņi — kas?..." mēs nesapratām.
- Nu, viņiem ir briesmīgi briesmoņi, kas sēž uz muguras un stāsta, kas viņiem jādara. Un, ja viņi neklausās, briesmoņi viņus šausmīgi ņirgājas... Es mēģināju ar viņiem runāt, bet šie briesmoņi man neļaus.
Mēs no šī "skaidrojuma" nesapratām absolūti neko, taču pats fakts, ka dažas astrālās būtnes spīdzina cilvēkus, nevarēja palikt mūsu "izpētīts", tāpēc mēs viņai uzreiz jautājām, kā mēs varam redzēt šo apbrīnojamo parādību.
- Ak, jā visur! Īpaši pie “melnā kalna”. Tur viņš ir, aiz kokiem. Vai vēlaties, lai mēs arī ejam ar jums?
- Protams, mēs būsim pārāk priecīgi! – sajūsmā Stella uzreiz atbildēja.
Godīgi sakot, es arī īsti nesmaidīju par iespēju satikties ar kādu citu, “rāpojošu un nesaprotamu”, it īpaši vienatnē. Bet interese pārvarēja bailes, un mēs, protams, būtu gājuši, neskatoties uz to, ka bijām nedaudz... Bet, kad mums līdzi gāja tāds aizsargs kā Dīns, uzreiz kļuva jautrāk...
Un tad pēc īsa mirkļa mūsu acu priekšā pavērās īsta elle, plaši atvērta no izbrīna... Vīzija atgādināja Bosch (vai Bosc, atkarībā no tā, kādā valodā jūs to tulkojat), "trakā" mākslinieka gleznas. kurš reiz šokēja visu pasauli ar savu mākslas pasauli... Viņš, protams, nebija traks, bet vienkārši bija gaišreģis, kurš nez kāpēc varēja redzēt tikai zemāko Astrālu. Bet mums ir jāatdod viņam savs pienākums — viņš viņu lieliski attēloja... Es redzēju viņa gleznas grāmatā, kas atradās mana tēva bibliotēkā, un es joprojām atcerējos baismīgo sajūtu, ko pārņēma lielākā daļa viņa gleznu...
"Kas par šausmām!..." čukstēja šokētā Stella.
Droši vien varētu teikt, ka esam jau daudz redzējuši šeit, “grīdās”... Bet pat mēs to nespējām iztēloties savā visbriesmīgākajā murgā!.. Aiz “melnās klints” pavērās kaut kas pavisam neiedomājams. .. Izskatījās kā milzīgs, plakans klintī iecirsts “katls”, kura apakšā mutuļoja sārtināta “lava”... Karstais gaiss visur “uzsprāga” ar dīvainiem mirgojošiem sarkanīgiem burbuļiem, no kuriem izplūda applaucējoši tvaiki. un nokrita lielās lāsēs zemē, vai cilvēkiem, kas tajā brīdī pakļuva zem tās... Atskanēja sirdi plosoši kliedzieni, bet uzreiz apklusa, jo tiem pašiem cilvēkiem mugurā sasēdās vispretīgākie radījumi, kuri ar a. apmierināts skatiens “savaldīja” savus upurus, nepievēršot ne mazāko uzmanību viņu ciešanām... Zem cilvēku kailajām kājām kļuva sarkani karsti akmeņi, karstumā plosošā sārtinātā zeme burbuļoja un “kusa”... Karsta šļakatas tvaiki izlauzās cauri milzīgām plaisām un, dedzinot sāpēs šņukstošu cilvēku pēdas, tika nesti augstumos, iztvaikodami ar viegliem dūmiem... Un pašā “bedres” vidū tecēja koši sarkana, plata ugunīga upe, kurā ik pa laikam vieni un tie paši pretīgie briesmoņi negaidot iemeta vienu vai otru mocīto būtni, kas, krītot, izraisīja vien īsu oranžu dzirksteļu šļakstu, un tad, bet, uz mirkli pārvērtusies pūkaini baltā mākonī, pazuda. .. uz visiem laikiem... Tā bija īsta elle, un mēs ar Stella gribējām pēc iespējas ātrāk no turienes “pazust”...
"Ko mēs darīsim?" Stella klusās šausmās čukstēja. - Vai tu gribi iet tur lejā? Vai mēs varam kaut ko darīt, lai viņiem palīdzētu? Paskaties, cik to ir!...
Mēs stāvējām uz melni brūnas, karstumā izžuvušas klints, vērojot šausmu pilno sāpju, bezcerības un vardarbības “mieru”, kas stiepjas lejā, un jutāmies tik bērnišķīgi bezspēcīgi, ka pat mana kareivīgā Stella šoreiz kategoriski salocīja savus saburzītos “spārnus”. .” “un jau pēc pirmā zvana bija gatava steigties uz savu, tik mīļo un uzticamo augšējo “stāvu”...

Formulas pierādījums .

=

= =

jo sinuss un kosinuss nav atkarīgi no leņķa pievienošanas, kas ir vairākkārtējs

Un šī vienlīdzība jau ir acīmredzama, jo šī ir kompleksā skaitļa trigonometriskā forma.

Tādējādi logaritms pastāv visiem plaknes punktiem, izņemot nulli. Reālam pozitīvam skaitlim arguments ir 0, tāpēc šai bezgalīgajai punktu kopai ir forma , tas ir, viena no vērtībām, proti, pie , kritīs uz reālās ass. Ja mēs aprēķinām negatīva skaitļa logaritmu, mēs iegūstam , tas ir, punktu kopa tiek nobīdīta uz augšu un neviens no tiem nenokrīt uz reālās ass.

No formulas ir skaidrs, ka tikai tad, ja sākotnējā skaitļa arguments ir nulle, viena no logaritma vērtībām nokrīt uz reālās ass. Un tas atbilst pareizajai pusasij, un tāpēc skolas matemātikas kursā tika ņemti vērā tikai pozitīvo skaitļu logaritmi. Pastāv arī negatīvu un iedomātu skaitļu logaritmi, taču tiem nav vienas vērtības uz reālās ass.

Nākamajā zīmējumā parādīts, kur plaknē atrodas visas pozitīva skaitļa logaritma vērtības. Viens no tiem atrodas uz reālās ass, pārējie atrodas virs un zem uz , , un tā tālāk. Negatīvā vai kompleksā skaitļa arguments nav nulle, tāpēc šī punktu secība tiek nobīdīta vertikāli, kā rezultātā uz reālās ass nav punktu.

Piemērs. Aprēķināt.

Risinājums. Definēsim skaitļa moduli (vienāds ar 2) un argumentu 180 0, tas ir. Tad = .

Pielikums 1. Jautājumi pierādījumiem (par biļetēm).

Lekcija Nr.1

1. Pierādiet formulu integrēšanai pa daļām.

Lekcija Nr.2

1. Pierādīt, ka aizstāšana , kur r = LCM (r 1 ,...,r k) samazina integrāli uz racionālās daļas integrāli.

2. Pierādīt, ka aizstāšana samazina formas integrāli uz racionālas daļdaļas integrāli.

3. Atvasināt formulas sinusa un kosinusa pārvēršanai

Universālai trigonometriskai aizstāšanai.

4. Pierādīt, ka gadījumā, ja funkcija ir nepāra attiecībā pret kosinusu, aizstāšana integrāli samazina līdz racionālai daļai.

5. Pierādiet, ka gadījumā, kad

aizstāšana: integrāli samazina līdz racionālai daļai.

6. Pierādiet, ka formas integrālim

7. Pierādi formulu

8. Pierādiet, ka formas integrālim aizstāšana rada racionālas daļas integrāli.

9. Pierādiet, ka formas integrālim aizstāšana integrāli samazina līdz racionālai daļai.

Lekcija Nr.3

1. Pierādiet, ka funkcija ir funkcijas antiatvasinājums.

2. Pierādiet Ņūtona-Leibnica formulu: .

3. Pierādiet formulu precīzi norādītas līknes garumam:

.

4. Pierādiet formulu līknes garumam, kas dots polārajās koordinātēs

Lekcija Nr.4

Pierādīt teorēmu: saplūst, saplūst.

Lekcija Nr.5

1. Atvasiniet (pierādiet) skaidri norādītas virsmas laukuma formulu .

2. Formulu atvasināšana pārejai uz polārajām koordinātām.

3. Polāro koordinātu Jēkaba ​​determinanta atvasināšana.

4. Formulu atvasināšana pārejai uz cilindriskām koordinātām.

5. Cilindrisko koordinātu Jēkaba ​​determinanta atvasināšana.

6. Formulu atvasināšana pārejai uz sfēriskām koordinātām:

.

Lekcija Nr.6

1. Pierādīt, ka aizvietošana reducē viendabīgu vienādojumu par vienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem.

2. Atvasiniet lineāra homogēna vienādojuma risinājuma vispārīgo formu.

3. Atvasiniet lineāra nehomogēna vienādojuma risinājuma vispārīgo formu ar Lagranža metodi.

4. Pierādīt, ka aizstāšana samazina Bernulli vienādojumu līdz lineāram vienādojumam.

Lekcija Nr.7.

1. Pierādīt, ka aizstāšana samazina vienādojuma secību par k.

2. Pierādīt, ka aizstāšana samazina vienādojuma secību par vienu .

3. Pierādīt teorēmu: Funkcija ir lineāra homogēna diferenciālvienādojuma atrisinājums un tai ir raksturīga sakne.

4. Pierādīt teorēmu, ka lineārai viendabīgai atrisinājumu lineārai kombinācijai. vienādojums ir arī tā risinājums.

5. Pierādi teorēmu par atrisinājumu uzlikšanu: Ja ir lineāra nehomogēna diferenciālvienādojuma atrisinājums ar labo pusi un ir tā paša diferenciālvienādojuma atrisinājums, bet ar labo pusi, tad summa ir vienādojuma risinājums ar labo pusi.

Lekcija Nr.8.

1. Pierādīt teorēmu, ka funkciju sistēma ir lineāri atkarīga.

2. Pierādīt teorēmu, ka lineāram homogēnam diferenciālvienādojumam n kārtas ir n lineāri neatkarīgi atrisinājumi.

3. Pierādiet, ka, ja 0 ir daudzkārtības sakne, tad šai saknei atbilstošo atrisinājumu sistēmai ir forma .

Lekcija Nr.9.

1. Izmantojot eksponenciālo formu, pierādiet, ka, reizinot kompleksos skaitļus, tiek reizināti moduļi un saskaitīti argumenti.

2. Pierādiet Moivra formulu pakāpei n

3. Pierādiet n kārtas kompleksā skaitļa saknes formulu

4. Pierādiet to Un

ir sinusa un kosinusa vispārinājumi, t.i. reāliem skaitļiem šīs formulas iegūs sinusu (kosinusu).

5. Pierādiet kompleksa skaitļa logaritma formulu:

2. pielikums.

Nelieli un mutiski jautājumi par teorijas zināšanām (kolokvijiem).

Lekcija Nr.1

1. Kas ir antiatvasinājumi un nenoteiktie integrāļi, kā tie atšķiras?

2. Paskaidrojiet, kāpēc tas ir arī antiatvasinājums.

3. Uzrakstiet formulu integrācijai pa daļām.

4. Kāda aizstāšana ir nepieciešama formas integrālī un kā tas novērš saknes?

5. Uzrakstiet racionālas daļskaitļa integrāda paplašināšanas veidu vienkāršākajā gadījumā, ja visas saknes ir atšķirīgas un reālas.

6. Uzrakstiet racionālo daļskaitļu integrāda paplašināšanas veidu vienkāršās gadījumā, ja visas saknes ir reālas un ir viena k daudzkārtēja sakne.

Lekcija Nr.2.

1. Uzrakstiet, kāda ir racionālas daļas sadalīšana vienkāršākajās gadījumā, ja saucējam ir koeficients 2 grādi ar negatīvu diskriminantu.

2. Kāda aizstāšana integrāli samazina līdz racionālai daļai?

3. Kas ir universālās trigonometriskās aizstāšanas?

4. Kādi aizvietojumi tiek veikti gadījumos, kad funkcija zem integrāļa zīmes ir nepāra attiecībā pret sinusu (kosinusu)?

5. Kādi aizvietojumi tiek veikti, ja integrands satur izteiksmes , vai .

Lekcija Nr.3.

1. Noteikta integrāļa definīcija.

2. Uzskaitiet dažas noteiktā integrāļa pamatīpašības.

3. Uzrakstiet Ņūtona-Leibnica formulu.

4. Uzrakstiet apgriezienu ķermeņa tilpuma formulu.

5. Uzrakstiet formulu precīzi norādītas līknes garumam.

6. Uzrakstiet parametriski definētas līknes garuma formulu.

Lekcija Nr.4.

1. Nepareiza integrāļa definīcija (izmantojot ierobežojumu).

2. Kāda ir atšķirība starp nepareizajiem 1. un 2. veida integrāļiem?

3. Sniedziet vienkāršus 1. un 2. veida konverģentu integrāļu piemērus.

4. Pie kādām vērtībām integrāļi (T1) saplūst?

5. Kā konverģence ir saistīta ar antiatvasinājuma (T2) galīgo robežu?

6. Kāds ir nepieciešamais konverģences kritērijs, tā formulējums.

7. Salīdzināšanas tests galīgajā formā

8. Salīdzinājuma zīme ekstremālā formā.

9. Vairāku integrāļa definīcija.

Lekcija Nr.5.

1. Integrācijas secības maiņa, parādiet ar vienkāršu piemēru.

2. Uzrakstiet virsmas laukuma formulu.

3. Kas ir polārās koordinātas, uzrakstiet pāreju formulas.

4. Kāds ir polāro koordinātu sistēmas jakobiskais?

5. Kas ir cilindriskās un sfēriskās koordinātas, kāda ir to atšķirība.

6. Kas ir cilindrisku (sfērisku) koordinātu Jacobiāns?

Lekcija Nr.6.

1. Kas ir 1. kārtas diferenciālvienādojums (vispārējs skats).

2. Kas ir pirmās kārtas diferenciālvienādojums, kas atrisināts attiecībā pret atvasinājumu. Sniedziet kādu piemēru.

3. Kas ir vienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem.

4. Kas ir vispārīgs, konkrētais risinājums, Košī nosacījumi.

5. Kas ir homogēns vienādojums, kāda ir tā risināšanas vispārīgā metode.

6. Kas ir lineārais vienādojums, kāds ir tā risināšanas algoritms, kas ir Lagranža metode.

7. Kas ir Bernulli vienādojums, tā risināšanas algoritms.

Lekcija Nr.7.

1. Kāds aizvietojums nepieciešams formas vienādojumam .

2. Kāds aizvietojums nepieciešams formas vienādojumam .

3. Parādiet ar piemēriem, kā to var izteikt formā .

4. Kas ir n kārtas lineārais diferenciālvienādojums?

5. Kas ir raksturīgs polinoms, raksturīgs vienādojums.

6. Formulējiet teorēmu, kurā r funkcija ir lineāra homogēna diferenciālvienādojuma atrisinājums.

7. Formulējiet teorēmu, ka lineāra viendabīga vienādojuma atrisinājumu lineāra kombinācija ir arī tā atrisinājums.

8. Noformulēt teorēmu par risinājumu uzspiešanu un tā sekām.

9. Kas ir lineāri atkarīgas un lineāri neatkarīgas funkciju sistēmas, sniedziet dažus piemērus.

10. Kas ir n funkciju sistēmas Vronska determinants, sniedziet Vronska determinanta piemēru LZS un LNS sistēmām.

Lekcija Nr.8.

1. Kāda īpašība piemīt Vronska determinantam, ja sistēma ir lineāri atkarīga funkcija.

2. Cik lineāri viendabīgam n kārtas diferenciālvienādojumam pastāv lineāri neatkarīgi atrisinājumi.

3. Lineāra viendabīga n kārtas vienādojuma FSR (atrisinājumu fundamentālās sistēmas) definīcija.

4. Cik funkciju satur FSR?

5. Pierakstiet vienādojumu sistēmas formu atrašanai ar Lagranža metodi n=2.

6. Pierakstiet konkrētā risinājuma veidu, ja

7. Kas ir lineāra diferenciālvienādojumu sistēma, uzrakstiet kādu piemēru.

8. Kas ir autonoma diferenciālvienādojumu sistēma.

9. Diferenciālvienādojumu sistēmas fiziskā nozīme.

10. Uzrakstiet, no kādām funkcijām sastāv vienādojumu sistēmas FSR, ja ir zināmas šīs sistēmas galvenās matricas īpašvērtības un īpašvektori.

Lekcija Nr.9.

1. Kas ir iedomāta vienība.

2. Kas ir konjugātais skaitlis un kas notiek, ja to reizina ar oriģinālu.

3. Kāda ir kompleksā skaitļa trigonometriskā, eksponenciālā forma.

4. Uzrakstiet Eilera formulu.

5. Kas ir kompleksa skaitļa modulis, arguments.

6. kas notiek ar moduļiem un argumentiem reizināšanas (dalīšanas) laikā.

7. Uzrakstiet De Moivra formulu pakāpei n.

8. Uzrakstiet secības n saknes formulu.

9. Uzrakstiet kompleksā argumenta vispārinātās sinusa un kosinusa formulas.

10. Uzrakstiet kompleksa skaitļa logaritma formulu.

Pielikums 3. Uzdevumi no lekcijām.

Lekcija Nr.1

Piemērs. . Piemērs. .

Piemērs. . Piemērs. .

Piemērs. Piemērs. .

Piemērs. . Piemērs. .

Lekcija Nr.2

Piemērs. . Piemērs. .

Piemērs. . Piemērs. .

Piemērs. . Piemērs.. , kur, numurs .

Piemērs. Sadaliet eksponenciālā formā.

Piemērs. Atrodiet, izmantojot Moivre formulu.

Piemērs. Atrodiet visas saknes vērtības.

Reāla mainīgā (ar pozitīvu bāzi) eksponenciālo funkciju nosaka vairākos posmos. Pirmkārt, dabas vērtībām - kā vienādu faktoru produkts. Pēc tam definīcija attiecas uz negatīviem veseliem skaitļiem un vērtībām, kas nav nulles, saskaņā ar noteikumiem. Tālāk mēs aplūkojam daļējos eksponentus, kuros eksponenciālās funkcijas vērtību nosaka, izmantojot saknes: . Iracionālām vērtībām definīcija jau ir saistīta ar matemātiskās analīzes pamatjēdzienu - ar pāreju uz robežu nepārtrauktības apsvērumu dēļ. Visi šie apsvērumi nekādā veidā nav piemērojami mēģinājumiem paplašināt eksponenciālo funkciju līdz indikatora sarežģītām vērtībām, un, piemēram, kas tas ir, ir pilnīgi neskaidrs.

Pirmo reizi pakāpju ar sarežģītu eksponentu ar dabisku bāzi ieviesa Eilers, pamatojoties uz vairāku integrālrēķina konstrukciju analīzi. Dažreiz ļoti līdzīgas algebriskās izteiksmes, ja tās ir integrētas, sniedz pilnīgi atšķirīgas atbildes:

Tajā pašā laikā šeit otro integrāli formāli iegūst no pirmā, aizstājot ar

No tā mēs varam secināt, ka, pareizi definējot eksponenciālo funkciju ar sarežģītu eksponentu, apgrieztās trigonometriskās funkcijas ir saistītas ar logaritmiem un tādējādi eksponenciālā funkcija ir saistīta ar trigonometriskām.

Eileram pietika drosmes un iztēles, lai sniegtu saprātīgu definīciju eksponenciālai funkcijai ar bāzi, proti,

Tā ir definīcija, un tāpēc šo formulu nevar pierādīt, var tikai meklēt argumentus par labu šādas definīcijas pamatotībai un lietderībai. Matemātiskā analīze sniedz daudz šāda veida argumentu. Mēs aprobežosimies tikai ar vienu.

Ir zināms, ka patiesībā pastāv ierobežojoša sakarība: . Labajā pusē ir polinoms, kas ir jēga arī sarežģītām vērtībām . Komplekso skaitļu virknes robeža tiek noteikta dabiski. Secība tiek uzskatīta par konverģentu, ja reālo un iedomāto daļu secības saplūst un tiek pieņemtas

Atradīsim. Lai to izdarītu, pievērsīsimies trigonometriskajai formai, un argumentam mēs atlasīsim vērtības no intervāla. Ar šo izvēli ir skaidrs, ka priekš . Tālāk,

Lai pārietu uz limitu, jums ir jāpārbauda ierobežojumu esamība un jāatrod šie ierobežojumi. Ir skaidrs ka

Tātad izteiksmē

reālā daļa mēdz , iedomātā daļa tiecas uz to

Šis vienkāršais arguments sniedz vienu no argumentiem par labu Eilera eksponenciālās funkcijas definīcijai.

Tagad noskaidrosim, ka, reizinot eksponenciālās funkcijas vērtības, eksponenti summējas. Tiešām:

2. Eilera formulas.

Ieliksim eksponenciālās funkcijas definīciju. Mēs iegūstam:

Aizstājot b ar -b, mēs iegūstam

Saskaitot un atņemot šīs vienādības pēc termiņa, mēs atrodam formulas

sauc par Eilera formulām. Tie izveido saikni starp trigonometriskajām funkcijām un eksponenciālajām funkcijām ar iedomātiem eksponentiem.

3. Kompleksa skaitļa naturālais logaritms.

Trigonometriskā formā dots komplekss skaitlis var tikt uzrakstīts formā.Šo kompleksā skaitļa rakstīšanas formu sauc par eksponenciālu. Tas saglabā visas labās trigonometriskās formas īpašības, bet ir vēl kodolīgāks. Turklāt tāpēc ir dabiski pieņemt, ka kompleksā skaitļa logaritma reālā daļa ir tā moduļa logaritms, bet iedomātā daļa ir tā arguments. Tas zināmā mērā izskaidro argumenta “logaritmisko” īpašību - produkta arguments ir vienāds ar faktoru argumentu summu.