Salikts vārds "paralēlogramma"? Un aiz tā slēpjas pavisam vienkārša figūra.
Tas ir, mēs paņēmām divas paralēlas līnijas:
Šķērso vēl divi:
Un iekšā ir paralelograms!
Kādas īpašības piemīt paralelogramam?
Paralelograma īpašības.
Tas ir, ko jūs varat izmantot, ja problēmai ir dots paralelograms?
Uz šo jautājumu atbild šāda teorēma:
Uzzīmēsim visu sīkāk.
Ko tas nozīmē teorēmas pirmais punkts? Un fakts ir tāds, ka, ja jums IR paralelograms, tad jums tas noteikti būs
Otrais punkts nozīmē, ka, ja ir paralelograms, tad atkal noteikti:
Visbeidzot, trešais punkts nozīmē, ka, ja jums IR paralelograms, noteikti:
Vai redzat, kāda ir izvēles bagātība? Ko izmantot problēmā? Mēģiniet koncentrēties uz uzdevuma jautājumu vai vienkārši izmēģiniet visu pēc kārtas - kāda “atslēga” noderēs.
Tagad uzdosim sev vēl vienu jautājumu: kā mēs varam atpazīt paralelogramu “pēc skata”? Kam jānotiek ar četrstūri, lai mums būtu tiesības piešķirt tam paralelograma “nosaukumu”?
Uz šo jautājumu atbild vairākas paralelograma zīmes.
Paralelograma zīmes.
Uzmanību! Sāciet.
Paralēlogramma.
Lūdzu, ņemiet vērā: ja savā uzdevumā atradāt vismaz vienu zīmi, tad jums noteikti ir paralelograms, un jūs varat izmantot visas paralelograma īpašības.
2. Taisnstūris
Es domāju, ka tas jums nemaz nebūs jaunums
Pirmais jautājums: vai taisnstūris ir paralelograms?
Protams tas ir! Galu galā viņam ir - atcerieties, mūsu zīme 3?
Un no šejienes, protams, izriet, ka taisnstūrī, tāpat kā jebkurā paralelogramā, diagonāles tiek dalītas uz pusēm ar krustpunktu.
Bet taisnstūrim ir arī viena atšķirīga īpašība.
Taisnstūra īpašums
Kāpēc šis īpašums ir atšķirīgs? Jo nevienam citam paralelogramam nav vienādas diagonāles. Noformulēsim to skaidrāk.
Lūdzu, ņemiet vērā: lai četrstūris kļūtu par taisnstūri, tam vispirms jākļūst par paralelogramu un pēc tam jāparāda diagonāļu vienādība.
3. Dimants
Un atkal jautājums: vai rombs ir paralelograms vai nav?
Ar visām tiesībām - paralelograms, jo tam ir un (atcerieties mūsu 2. pazīmi).
Un atkal, tā kā rombs ir paralelograms, tad tam ir jābūt visām paralelograma īpašībām. Tas nozīmē, ka rombā pretējie leņķi ir vienādi, pretējās malas ir paralēlas, un diagonāles krustošanās punktā sadalās uz pusēm.
Romba īpašības
Skaties uz bildi:
Tāpat kā taisnstūra gadījumā, šīs īpašības ir atšķirīgas, tas ir, par katru no šīm īpašībām mēs varam secināt, ka tas nav tikai paralelograms, bet gan rombs.
Dimanta zīmes
Un atkal, pievērsiet uzmanību: jābūt ne tikai četrstūrim, kura diagonāles ir perpendikulāras, bet gan paralelogramam. Pārliecinies:
Nē, protams, lai gan tā diagonāles ir perpendikulāras, un diagonāle ir leņķu bisektrise un. Bet... diagonāles nav dalītas uz pusēm ar krustpunktu, tāpēc - NAV paralelograms, un tāpēc NAV rombs.
Tas ir, kvadrāts ir taisnstūris un rombs vienlaikus. Paskatīsimies, kas notiks.
Vai ir skaidrs, kāpēc? - rombs ir leņķa A bisektrise, kas ir vienāda ar. Tas nozīmē, ka tas sadalās (un arī) divos leņķos.
Nu, tas ir pilnīgi skaidrs: taisnstūra diagonāles ir vienādas; Romba diagonāles ir perpendikulāras, un kopumā diagonāļu paralelograms tiek dalīts uz pusēm ar krustošanās punktu.
VIDĒJAIS LĪMENIS
Četrstūru īpašības. Paralēlogramma
Paralelograma īpašības
Uzmanību! Vārdi" paralelograma īpašības"Tas nozīmē, ja jūsu uzdevums Tur ir paralelograms, tad var izmantot visu tālāk minēto.
Teorēma par paralelograma īpašībām.
Jebkurā paralelogramā:
Citiem vārdiem sakot, sapratīsim, kāpēc tas viss ir taisnība MĒS PIERĀDĪSIM teorēma.
Tātad, kāpēc 1) ir taisnība?
Ja tas ir paralelograms, tad:
- guļ kā krustu šķērsu
- guļ kā krusti.
Tas nozīmē (saskaņā ar II kritēriju: un - vispārīgi.)
Nu tas tā, lūk! - pierādījās.
Bet starp citu! Mēs arī pierādījām 2)!
Kāpēc? Bet (paskaties uz attēlu), tas ir, tieši tāpēc.
Atlikuši tikai 3).
Lai to izdarītu, jums joprojām ir jāvelk otrā diagonāle.
Un tagad mēs to redzam - saskaņā ar II raksturlielumu (leņķi un mala starp tiem).
Īpašības pierādītas! Pāriesim pie zīmēm.
Paralelograma zīmes
Atcerieties, ka paralelograma zīme atbild uz jautājumu "kā jūs zināt, ka figūra ir paralelograms?"
Ikonās tas ir šādi:
Kāpēc? Būtu jauki saprast, kāpēc – ar to pietiek. Bet paskaties:
Nu, mēs sapratām, kāpēc 1. zīme ir patiesa.
Nu, tas ir vēl vienkāršāk! Vēlreiz zīmēsim diagonāli.
Kas nozīmē:
UN Tas ir arī viegli. Bet... savādāk!
Nozīmē,. Oho! Bet arī - iekšējais vienpusējs ar sekantu!
Tāpēc fakts, kas nozīmē, ka.
Un ja skatās no otras puses, tad - iekšējais vienpusējs ar sekantu! Un tāpēc.
Vai redzi, cik tas ir lieliski?!
Un atkal vienkārši:
Tieši tas pats, un.
Pievērs uzmanību: ja atradi vismaz viena paralelograma zīme jūsu uzdevumā, tad jums ir tieši tā paralelograms un jūs varat izmantot visi paralelograma īpašības.
Lai iegūtu pilnīgu skaidrību, skatiet diagrammu:
Četrstūru īpašības. Taisnstūris.
Taisnstūra īpašības:
Punkts 1) ir diezgan acīmredzams - galu galā zīme 3 () ir vienkārši izpildīta
Un punkts 2) - ļoti svarīgs. Tātad, pierādīsim to
Tas nozīmē no divām pusēm (un - vispārīgi).
Tā kā trīsstūri ir vienādi, tad arī to hipotenūzas ir vienādas.
To pierādīja!
Un iedomājieties, diagonāļu vienādība ir taisnstūra atšķirīga īpašība starp visiem paralelogramiem. Tas ir, šis apgalvojums ir patiess^
Sapratīsim, kāpēc?
Tas nozīmē (tas nozīmē paralelograma leņķus). Bet atcerēsimies vēlreiz, ka tas ir paralelograms, un tāpēc.
Nozīmē,. Nu, protams, no tā izriet, ka katrs no tiem! Galu galā viņiem ir jādod kopā!
Tātad viņi pierādīja, ka, ja paralelograms pēkšņi (!) diagonāles izrādās vienādas, tad šī tieši taisnstūris.
Bet! Pievērs uzmanību! Tas ir par paralelogrami! Ne viens vienčetrstūris ar vienādām diagonālēm ir taisnstūris, un tikai paralelograms!
Četrstūru īpašības. Rombs
Un atkal jautājums: vai rombs ir paralelograms vai nav?
Ar pilnu labo - paralelograms, jo tam ir (Atcerieties mūsu 2. pazīmi).
Un atkal, tā kā rombs ir paralelograms, tam ir jābūt visām paralelograma īpašībām. Tas nozīmē, ka rombā pretējie leņķi ir vienādi, pretējās malas ir paralēlas, un diagonāles krustošanās punktā sadalās uz pusēm.
Bet ir arī īpašas īpašības. Formulēsim to.
Romba īpašības
Kāpēc? Nu, tā kā rombs ir paralelograms, tad tā diagonāles tiek sadalītas uz pusēm.
Kāpēc? Jā, tieši tāpēc!
Citiem vārdiem sakot, diagonāles izrādījās romba stūru bisektrise.
Tāpat kā taisnstūra gadījumā, šīs īpašības ir īpatnējs, katrs no tiem ir arī romba zīme.
Dimanta zīmes.
Kāpēc ir šis? Un skaties,
Tas nozīmē ganŠie trīsstūri ir vienādsānu.
Lai četrstūris būtu rombs, tam vispirms ir “jākļūst” par paralelogramu un pēc tam jāuzrāda 1. vai 2. pazīme.
Četrstūru īpašības. Kvadrāts
Tas ir, kvadrāts ir taisnstūris un rombs vienlaikus. Paskatīsimies, kas notiks.
Vai ir skaidrs, kāpēc? Kvadrāts - rombs - ir leņķa bisektrise, kas ir vienāda ar. Tas nozīmē, ka tas sadalās (un arī) divos leņķos.
Nu, tas ir pilnīgi skaidrs: taisnstūra diagonāles ir vienādas; Romba diagonāles ir perpendikulāras, un kopumā diagonāļu paralelograms tiek dalīts uz pusēm ar krustpunktu.
Kāpēc? Nu, pielietosim Pitagora teorēmu...
KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULAS
Paralelograma īpašības:
- Pretējās puses ir vienādas: , .
- Pretējie leņķi ir vienādi: , .
- Leņķi vienā pusē kopā veido: , .
- Diagonāles tiek dalītas uz pusēm ar krustpunktu: .
Taisnstūra īpašības:
- Taisnstūra diagonāles ir vienādas: .
- Taisnstūris ir paralelograms (taisnstūrim ir izpildītas visas paralelograma īpašības).
Romba īpašības:
- Romba diagonāles ir perpendikulāras: .
- Romba diagonāles ir tā leņķu bisektrise: ; ; ; .
- Rombs ir paralelograms (rombam ir izpildītas visas paralelograma īpašības).
Kvadrāta īpašības:
Kvadrāts ir vienlaikus rombs un taisnstūris, tāpēc kvadrātam ir izpildītas visas taisnstūra un romba īpašības. Un:
Nu tēma beigusies. Ja jūs lasāt šīs rindas, tas nozīmē, ka esat ļoti foršs.
Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un, ja izlasi līdz galam, tad esi šajos 5%!
Tagad pats svarīgākais.
Jūs esat sapratis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, šis... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.
Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...
Par ko?
Par sekmīgu vienotā valsts eksāmena nokārtošanu, stāšanos koledžā ar budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.
Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...
Cilvēki, kuri ir ieguvuši labu izglītību, nopelna daudz vairāk nekā tie, kas to nav saņēmuši. Tā ir statistika.
Bet tas nav galvenais.
Galvenais, lai viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...
Bet padomājiet paši...
Kas nepieciešams, lai vienotajā valsts eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?
IEGŪT SAVU ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.
Eksāmena laikā jums netiks prasīta teorija.
Jums būs nepieciešams risināt problēmas pret laiku.
Un, ja jūs tos neesat atrisinājis (DAUDZ!), jūs noteikti kaut kur kļūdīsities vai vienkārši nebūs laika.
Tas ir kā sportā – tas ir jāatkārto daudzas reizes, lai noteikti uzvarētu.
Atrodiet kolekciju, kur vien vēlaties, obligāti ar risinājumiem, detalizētu analīzi un izlem, izlem, lem!
Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (pēc izvēles), un mēs, protams, tos iesakām.
Lai labāk izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.
Kā? Ir divas iespējas:
- Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā -
- Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 mācību grāmatas rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 899 RUR
Jā, mūsu mācību grāmatā ir 99 šādi raksti, un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.
Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta VISU vietnes darbības laiku.
Noslēgumā...
Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties pie teorijas.
“Sapratu” un “Es varu atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.
Atrodi problēmas un atrisini tās!
Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma
1. Paralelograma definīcija un pamatīpašības
Sāksim, atgādinot para-ral-le-lo-gram definīciju.
Definīcija. Paralēlogramma- what-you-rekh-gon-nick, kuram ik pēc divām pro-ti-false malām ir paralēlas (sk. 1. att.).
Rīsi. 1. Pa-ral-le-lo-gram
Atcerēsimies pa-ral-le-lo-gram-ma pamatīpašības:
Lai varētu izmantot visas šīs īpašības, jums ir jābūt pārliecinātam, ka fi-gu-ra, par kādu -roy jautājumu, - par-ral-le-lo-gram. Lai to izdarītu, ir jāzina tādi fakti kā pa-ral-le-lo-gram-ma pazīmes. Mēs tagad aplūkojam pirmos divus no tiem.
2. Paralelograma pirmā zīme
Teorēma. Pirmā pa-ral-le-lo-gram-ma zīme. Ja četroglēm abas pretējās puses ir vienādas un paralēlas, tad šis četrogļu segvārds - paralelograms. 
.
Rīsi. 2. Pirmā pa-ral-le-lo-gram-ma zīme
Pierādījums. Ieliksim dia-go-nālu četru-reh-coal-ni-ka (skat. 2. att.), viņa to sadala divās tri-coal-ni-ka. Pierakstīsim, ko zinām par šiem trijstūriem:
saskaņā ar pirmo trīsstūru vienādības zīmi.
No norādīto trīsstūru vienādības izriet, ka ar taisnu līniju paralēlisma zīmi, šķērsojot ch-nii to s-ku-shchi. Mums ir tas:
Do-ka-za-but.
3. Paralelograma otrā zīme
Teorēma. Otrā zīme ir pa-ral-le-lo-gram-ma. Ja četrstūrī katras divas pro-ti-false malas ir vienādas, tad šis četrstūris ir vienāds paralelograms. 
.
Rīsi. 3. Otrā pa-ral-le-lo-gram-ma zīme
Pierādījums. Ieliekam dia-go-nal četrstūrī (skat. 3. att.), viņa sadala to divos trīsstūros. Pierakstīsim, ko mēs zinām par šiem trijstūriem, pamatojoties uz teorijas formu:
saskaņā ar trešo trīsstūru vienādības zīmi.
No trijstūra vienādības izriet, ka pēc paralēlu līniju zīmes, krustojot tās s-ku-shchey. Ēdam:
par-ral-le-lo-gram pēc definīcijas. Q.E.D.
Do-ka-za-but.
4. Pirmā paralelograma pazīmes izmantošanas piemērs
Apskatīsim pa-ral-le-lo-gram zīmju lietošanas piemēru.
Piemērs 1. Izspiedumā nav ogļu Atrodi: a) ogļu stūrus; b) simtro-aka.
Risinājums. Ilustrācija Fig. 4.
pa-ral-le-lo-gram saskaņā ar pirmo pa-ral-le-lo-gram-ma zīmi.
A. 
ar par-ral-le-lo-gram īpašību par pro-ti-viltus leņķiem, ar par-ral-le-lo-gram īpašību par leņķu summu, guļot uz vienu pusi.
B. 
pēc viltus atbalstošo pušu vienlīdzības rakstura.
re-tiy zīme pa-ral-le-lo-gram-ma
5. Pārskats: Paralelogrammas definīcija un īpašības
Atcerēsimies to paralelograms- tas ir četru kvadrātu stūris, kuram ir pro-ti-false malas pa pāriem. Tas ir, ja - par-ral-le-lo-gram, tad 
(skat. 1. att.).
Paralēlai-le-lo-gramai ir vairākas īpašības: pro-ti-viltus leņķi ir vienādi (), pro-ti-viltus leņķi -mēs esam vienādi ( 
). Turklāt dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram re-se-che-niya punktā tiek sadalīta atbilstoši leņķu summai, at-le- nospiežot uz jebkuru pusi pa -ral-le-lo-gram-ma, vienāds utt.
Bet, lai izmantotu visas šīs īpašības, ir jābūt pilnīgi pārliecinātam, ka ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. Šim nolūkam ir par-ral-le-lo-gram pazīmes: tas ir, tie fakti, no kuriem var izdarīt vienvērtīgu secinājumu, ka what-you-rekh-coal-nick ir par-ral- le-lo-gram-mamma. Iepriekšējā nodarbībā mēs jau apskatījām divas zīmes. Tagad skatāmies trešo reizi.
6. Paralelograma trešā zīme un tās pierādījums
Ja četrās oglēs ir dia-go-on vietā re-se-che-niya viņi dara-by-lams, tad dotais četru-jūs Roh-coal-niks ir pa-ral-le -lo-gram-mamma.
Ņemot vērā:
Kas-jūs-re-ogļu-niks; ; .
Pierādīt:
Paralēlogramma.
Pierādījums:
Lai pierādītu šo faktu, ir jāparāda pušu paralēlisms par-le-lo-gram. Un taisnu līniju paralēlisms visbiežāk tiek panākts, izmantojot iekšējos šķērseniskos leņķus šajos taisnajos leņķos. Tādējādi šī ir nākamā metode, kā iegūt trešo par-ral zīmi -le-lo-gram-ma: izmantojot trīsstūru vienādību. 
.
Apskatīsim, kā šie trīsstūri ir vienādi. Patiešām, no nosacījuma izriet: . Turklāt, tā kā leņķi ir vertikāli, tie ir vienādi. Tas ir:
(pirmā vienlīdzības zīmetri-coal-ni-cov- gar divām malām un stūri starp tām).
No trīsstūru vienādības: (jo iekšējie šķērsleņķi pie šīm taisnēm un atdalītājiem ir vienādi). Turklāt no trīsstūru vienādības izriet, ka . Tas nozīmē, ka mēs saprotam, ka četrās oglēs divi simti ir vienādi un paralēli. Pēc pirmās zīmes pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-but.
7. Paralelograma trešās zīmes uzdevuma piemērs un vispārinājums
Apskatīsim pa-ral-le-lo-gram trešās zīmes izmantošanas piemēru.
1. piemērs
Ņemot vērā:
- paralelograms; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (skat. 2. att.).
Pierādīt:- pa-ral-le-lo-gram.
Pierādījums:
Tas nozīmē, ka četru ogļu-no-dia-go-on-vai punktā re-se-che-niya viņi dara-by-lam. Pēc trešās pa-ral-le-lo-gram zīmes no tā izriet, ka - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-but.
Ja analizējat trešo pa-ral-le-lo-gram zīmi, varat pamanīt, ka šai zīmei ir ar-vet- ir par-ral-le-lo-gram īpašība. Tas ir, fakts, ka dia-go-na-li de-la-xia nav tikai par-le-lo-gram īpašība, bet arī tās atšķirīgā kha-rak-te-ri-sti-che- īpašums, pēc kura to var atšķirt no kopas what-you-rekh-coal-ni-cov.
AVOTS
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif
Videokursā “Saņem A” iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas, lai sekmīgi nokārtotu vienoto valsts eksāmenu matemātikā ar 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikas uzdevumi 1-13. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!
Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.
Visa nepieciešamā teorija. Vienotā valsts eksāmena ātrie risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.
Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.
Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu skaidri skaidrojumi. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats Vienotā valsts eksāmena 2. daļas sarežģītu problēmu risināšanai.
Pierādījums
Vispirms uzzīmēsim diagonāli AC. Mēs iegūstam divus trīsstūrus: ABC un ADC.
Tā kā ABCD ir paralelograms, ir taisnība:
AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 kā šķērsām guļot.
AB || CD\Rightarrow\angle3 =\angle 4 kā šķērsām guļot.
Tāpēc \trijstūris ABC = \trijstūris ADC (saskaņā ar otro kritēriju: un AC ir kopīgs).
Un tāpēc \trijstūris ABC = \trijstūris ADC, tad AB = CD un AD = BC.
Pierādīts!
2. Pretējie leņķi ir identiski.
Pierādījums
Saskaņā ar pierādījumu īpašības 1 Mēs to zinām \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Tādējādi pretējo leņķu summa ir: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Ņemot vērā, ka \trijstūris ABC = \trijstūris ADC, iegūstam \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Pierādīts!
3. Diagonāles tiek dalītas uz pusēm ar krustpunktu.
Pierādījums
Uzzīmēsim vēl vienu diagonāli.
Autors īpašums 1 mēs zinām, ka pretējās puses ir identiskas: AB = CD. Vēlreiz atzīmējiet šķērsām vienādus leņķus.
Tādējādi ir skaidrs, ka \trijstūris AOB = \trijstūris COD pēc otrā trijstūra vienādības kritērija (divi leņķi un mala starp tiem). Tas ir, BO = OD (pretī stūriem \angle 2 un \angle 1) un AO = OC (pretī stūriem \angle 3 un \angle 4, attiecīgi).
Pierādīts!
Paralelograma zīmes
Ja jūsu uzdevumā ir tikai viena iezīme, tad figūra ir paralelograms un jūs varat izmantot visas šī attēla īpašības.
Lai labāk iegaumētu, ņemiet vērā, ka paralelograma zīme atbildēs uz šādu jautājumu: "kā uzzināt?". Tas ir, kā uzzināt, ka dotais skaitlis ir paralelograms.
1. Paralelograms ir četrstūris, kura divas malas ir vienādas un paralēlas.
AB = CD; AB || CD \Rightarrow ABCD ir paralelograms.
Pierādījums
Apskatīsim tuvāk. Kāpēc AD || BC?
\trijstūris ABC = \trijstūris ADC pēc īpašums 1: AB = CD, AC - kopīgs un \angle 1 = \angle 2, kas atrodas šķērsām ar paralēlo AB un CD un secant AC.
Bet, ja \trijstūris ABC = \trijstūris ADC , tad \angle 3 = \angle 4 (atrodas attiecīgi pretī AB un CD). Un tāpēc AD || BC (\angle 3 un \angle 4 - tie, kas atrodas šķērsām, arī ir vienādi).
Pirmā zīme ir pareiza.
2. Paralelograms ir četrstūris, kura pretējās malas ir vienādas.
AB = CD, AD = BC \Labā bultiņa ABCD ir paralelograms.
Pierādījums
Apskatīsim šo zīmi. Atkal uzzīmēsim diagonāli AC.
Autors īpašums 1\trijstūris ABC = \trijstūris ACD .
No tā izriet, ka: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || B.C. Un \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD, tas ir, ABCD ir paralelograms.
Otrā zīme ir pareiza.
3. Paralelograms ir četrstūris, kura pretējie leņķi ir vienādi.
\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \labā bultiņa ABCD- paralelograms.
Pierādījums
2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(tā kā ABCD ir četrstūris un \angle A = \angle C , \angle B = \angle D pēc nosacījuma).
Izrādās, ka \alpha + \beta = 180^(\circ) . Bet \alpha un \beta ir iekšēji vienpusēji pie secant AB.
Un tas, ka \alpha + \beta = 180^(\circ) nozīmē arī to, ka AD || B.C.
Turklāt \alpha un \beta ir iekšēji vienpusēji pie secant AD. Un tas nozīmē AB || CD.
Trešā zīme ir pareiza.
4. Paralelograms ir četrstūris, kura diagonāles krustošanās punkts dala uz pusēm.
AO = OC; BO = OD\labās bultiņas paralelograms.
Pierādījums
BO=OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 kā vertikāla \Labā bultiņa \trijstūris AOB = \trijstūris COD, \Labā bultiņa \angle 3 = \angle 4, un \Rightarrow AB || CD.
Līdzīgi BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \RightArrow \trijstūris AOD = \trijstūris BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, un \Rightarrow AD || B.C.
Ceturtā zīme ir pareiza.
Pašvaldības budžeta izglītības iestāde
Savinskas vidusskola
Pētījumi
Paralelogramma un tās jaunās īpašības
Pabeidza: 8.B klases skolnieks
MBOU Savinskas vidusskola
Kuzņecova Svetlana, 14 gadi
Vadītājs: matemātikas skolotājs
Tulčevskaja N.A.
Savino lpp
Ivanovas apgabals, Krievija
2016. gads
es Ievads ____________________________________________________________ 3. lpp
II. No paralelograma vēstures ____________________________________4.lpp
III Paralelograma papildu īpašības _______________________________4.lpp
IV. Rekvizītu apliecinājums ________________________________________ 5.lpp
V. Problēmu risināšana, izmantojot papildu īpašības __________8.lpp
VI. Paralelograma īpašību pielietojums dzīvē ______________________11.lpp
VII. Secinājums __________________________________________________________ 12. lpp
VIII. Literatūra ___________________________________________________________13.lpp
Ievads
"Starp līdzvērtīgiem prātiem
plkst citu nosacījumu vienlīdzība
tas, kurš zina ģeometriju, ir pārāks"
(Blēzs Paskāls).
Apgūstot tēmu “Paralelogramma” ģeometrijas stundās, apskatījām divas paralelograma īpašības un trīs pazīmes, taču, sākot risināt uzdevumus, izrādījās, ka ar to ir par maz.
Man radās jautājums: vai paralelogramam ir citas īpašības, un kā tās palīdzēs problēmu risināšanā?
Un es nolēmu izpētīt paralelograma papildu īpašības un parādīt, kā tās var izmantot problēmu risināšanā.
Studiju priekšmets : paralelograms
Pētījuma objekts
: paralelograma īpašības
Darba mērķis:
paralelograma papildu īpašību formulēšana un pierādīšana, kuras skolā neapgūst;
šo īpašību izmantošana problēmu risināšanā.
Uzdevumi:
Izpētīt paralelograma parādīšanās vēsturi un tā īpašību attīstības vēsturi;
Atrast papildu literatūru par pētāmo jautājumu;
Izpētīt paralelograma papildu īpašības un pierādīt tās;
Parādīt šo īpašību pielietojumu problēmu risināšanai;
Apsveriet paralelograma īpašību pielietojumu dzīvē.
Pētījuma metodes:
Darbs ar izglītojošo un populārzinātnisko literatūru, interneta resursiem;
Teorētiskā materiāla apguve;
Problēmu loka identificēšana, kuras var atrisināt, izmantojot paralelograma papildu īpašības;
Novērošana, salīdzināšana, analīze, analoģija.
Pētījuma ilgums : 3 mēneši: 2016. gada janvāris-marts
No paralelograma vēstures
Ģeometrijas mācību grāmatā mēs lasām šādu paralelograma definīciju: Paralelograms ir četrstūris, kura pretējās malas ir paralēlas pa pāriem.
Vārds "paralēlogramma" tiek tulkots kā "paralēlas līnijas" (no grieķu vārdiem Parallelos - paralēla un grame - līnija), šo terminu ieviesa Eiklīds. Savā grāmatā Elementi Eiklīds pierādīja šādas paralelograma īpašības: paralelograma pretējās malas un leņķi ir vienādi, un diagonāle sadala to uz pusēm. Eiklīds nemin paralelograma krustošanās punktu. Tikai viduslaiku beigās tika izstrādāta pilnīga paralelogramu teorija, un tikai 17. gadsimtā mācību grāmatās parādījās teorēmas par paralelogramu, kas tiek pierādītas, izmantojot Eiklida teorēmu par paralelograma īpašībām.
III Paralelograma papildu īpašības
Ģeometrijas mācību grāmatā ir dotas tikai 2 paralelograma īpašības:
Pretējie leņķi un malas ir vienādas
Paralelograma diagonāles krustojas un tiek dalītas ar krustpunktu.
Dažādos avotos par ģeometriju var atrast šādus papildu rekvizītus:
Paralelograma blakus leņķu summa ir 180 0
Paralelograma leņķa bisektrise nogriež no tā vienādsānu trijstūri;
Paralelograma pretējo leņķu bisektrise atrodas uz paralēlām taisnēm;
Paralelograma blakus leņķu bisektrise krustojas taisnā leņķī;
Kad paralelograma visu leņķu bisektrise krustojas, tās veido taisnstūri;
Attālumi no paralelograma pretējiem stūriem līdz tai pašai diagonālei ir vienādi.
Ja savienojat pretējās virsotnes paralelogramā ar pretējo malu viduspunktiem, iegūstat citu paralelogramu.
Paralelograma diagonāļu kvadrātu summa ir divreiz lielāka par blakus esošo malu kvadrātu summu.
Ja paralelogramā zīmējat augstumus no diviem pretējiem leņķiem, jūs iegūstat taisnstūri.
IV Paralelograma īpašību pierādījums
Paralelograma blakus leņķu summa ir 180 0
Ņemot vērā:
ABCD – paralelograms
Pierādīt:
A+ B= 
Pierādījums:
A un B – iekšējie vienpusējie leņķi ar paralēlām taisnēm BC 
AD un sekants AB, kas nozīmē A+ B=
2
Ņemot vērā: ABCD - paralelograms,
AK bisektors 
A.
Pierādīt: 
AVK – vienādsānu
Pierādījums:
1) 1=3 (šķērsām atrodas pie BC AD un sekants AK),
2) 2=3, jo AK ir bisektrise,
nozīmē 1= 2.
3) ABC - vienādsānu, jo trijstūra 2 leņķi ir vienādi
3
Ņemot vērā: ABCD ir paralelograms,
AK – bisektors A,
CP - bisektors C.
Pierādīt: AK║ SR
Pierādījums:
1) 1=2, jo AK ir bisektrise
2) 4=5, jo CP – bisektrise
3) 3=1 (šķērsvirziena guļus leņķi pie
BC ║ AD un AK-sekants),
4) A =C (pēc paralelograma īpašības), kas nozīmē 2=3=4=5.
4) No 3. un 4. punkta izriet, ka 1 = 4, un šie leņķi atbilst taisnēm AK un CP un nogriezni BC,
tas nozīmē AK ║ CP (pamatojoties uz līniju paralēlismu)
. Paralelograma pretējo leņķu bisektrise atrodas uz paralēlām taisnēm
Paralelograma blakus leņķu bisektrise krustojas taisnā leņķī
Ņemot vērā: ABCD - paralelograms,
AK bisektors A,
DP bisektrise D
Pierādīt: DP 
AK.
Pierādījums:
1) 1=2, jo AK - bisektors
Lai 1=2=x, tad A=2x,
2) 3=4, jo D Р – bisektrise
Lai 3=4=y, tad D=2y
3) A + D =180 0, jo paralelograma blakus leņķu summa ir 180
2) Apsveriet A OD
1+3=90 0 , tad <5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)
5. Visu paralelograma leņķu bisektrise krustojoties veido taisnstūri
Ņemot vērā: ABCD — paralelograms, AK bisektrise A,
DP bisektors D,
CM bisektors C,
BF - bisektors B .
Pierādīt: KRNS - taisnstūris
Pierādījums:
Pamatojoties uz iepriekšējo īpašību 8=7=6=5=90 0 ,
nozīmē, ka KRNS ir taisnstūris.
Attālumi no paralelograma pretējiem stūriem līdz tai pašai diagonālei ir vienādi.
Ņemot vērā: ABCD-paralelogramma, AC-diagonāle.
VC AC, D.P. A.C.
Pierādīt: BC=DP
Pierādījums: 1) DCP = KAB, kā iekšējie krusti, kas atrodas ar AB ║ CD un secantu AC.
2) AKB= CDP (gar sānu un diviem blakus leņķiem AB=CD CD P=AB K).
Un vienādos trīsstūros atbilstošās malas ir vienādas, kas nozīmē DP=BK.
Ja savienojat pretējās virsotnes paralelogramā ar pretējo malu viduspunktiem, iegūstat citu paralelogramu.
Ņemot vērā: ABCD paralelograms.
Pierādīt: VKDR ir paralelograms.
Pierādījums:
1) BP=KD (AD=BC, punkti K un P
sadaliet šīs puses uz pusēm)
2) BP ║ KD (gulēt uz AD BC)
Ja četrstūra pretējās malas ir vienādas un paralēlas, tad četrstūris ir paralelograms.
Ja paralelogramā zīmējat augstumus no diviem pretējiem leņķiem, jūs iegūstat taisnstūri.
Paralelograma diagonāļu kvadrātu summa ir divreiz lielāka par blakus esošo malu kvadrātu summu.
Ņemot vērā: ABCD ir paralelograms. BD un AC ir diagonāles.
Pierādīt: AC 2 +ВD 2 =2(AB 2 + AD 2 )
Pierādījums: 1)JAUTĀT:
A.C.
²=
+
2)B RD : BD 2 = B R 2 + RD 2 (saskaņā ar Pitagora teorēmu)
3) A.C. ²+ BD ²=SK²+A K²+B Р²+РD ²
4) SC = BP = N(augstums )
5) AC 2 +BD 2 = H 2 + A UZ 2 + H 2 +PD 2
6)
Ļaujiet
D
K=A
P=x, Tad C
UZD
:
H
2
=
CD
2
- X 2
saskaņā ar Pitagora teorēmu )
7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,
AC²+BD ²=2СD 2 -2x 2 + A UZ 2 +PD 2
8) A UZ=AD+ X, RD=AD- X,
AC²+BD ² =2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,
AC²+
IND²=2
ARD²-2
X² + AD
2
+2AD
X+
X 2
+ AD
2
-2 AD
X+
X 2
,
AC²+
IND² = 2 CD
2
+2AD
2
=2 (CD
2
+ AD
2
).
V . Problēmu risināšana, izmantojot šīs īpašības
Vienai malai blakus esošu paralelograma divu leņķu bisektrišu krustpunkts pieder pretējai malai. Paralelograma īsākā mala ir 5 . Atrodi tā lielo pusi.
Ņemot vērā: ABCD ir paralelograms,
AK – bisektrise A,
D K – bisektrise D , AB=5
Atrast: Saule
lēmumu Risinājums
Jo AK - bisektors Un tad ABC ir vienādsānu.
Jo D K – bisektrise D, tad DCK - vienādsānu
DC = C K = 5
Pēc tam BC=VC+SC=5+5=10
Atbilde: 10
2. Atrodiet paralelograma perimetru, ja viena tā leņķa bisektrise sadala paralelograma malu 7 cm un 14 cm segmentos.
1 gadījums
Ņemot vērā: A,
VK=14 cm, KS=7 cm
Atrast: P paralelograms
Risinājums
VS=VK+KS=14+7=21 (cm)
Jo AK – bisektrise Un tad ABC ir vienādsānu.
AB=BK= 14 cm
Tad P=2 (14+21) =70 (cm)
Ņemot vērā: ABCD ir paralelograms,
D K – bisektrise D
VK=14 cm, KS=7 cm
Atrast: P paralelograms
Risinājums
VS=VK+KS=14+7=21 (cm)
Jo D K – bisektrise D, tad DCK - vienādsānu
DC =C K= 7
Tad P = 2 (21+7) = 56 (cm)
Atbilde: 70 cm vai 56 cm
3. Paralelograma malas ir 10 cm un 3 cm Divu leņķu bisektrise, kas atrodas blakus lielākajai malai, sadala pretējo malu trīs segmentos. Atrodiet šos segmentus.
1 gadījums: bisektrise krustojas ārpus paralelograma
Ņemot vērā: ABCD – paralelograms, AK – bisektrise A,
D K – bisektrise D , AB=3 cm, BC=10 cm
Atrast: VM, MN, NC
Risinājums
Jo AM - bisektors Un tad AVM ir vienādsānu.
Jo DN – bisektrise D, tad DCN - vienādsānu
DC=CN=3
Tad MN = 10 – (BM + NC) = 10 – (3+3) = 4 cm
2. gadījums: bisektrise krustojas paralelograma iekšpusē
Jo AN - bisektors Un tad ABN ir vienādsānu.
AB=BN = 3 D
Un bīdāmo režģi vajadzētu pārvietot līdz vajadzīgajam attālumam durvju ailē
Paralēlogrammas mehānisms- četrstieņu mehānisms, kura saites veido paralelogramu. To izmanto, lai īstenotu translācijas kustību ar šarnīru mehānismiem.
Paralelogramma ar fiksētu saiti- viena saite ir nekustīga, pretējā veic šūpošanas kustību, paliekot paralēli nekustīgajam. Divi viens pēc otra savienoti paralelogrami dod gala saitei divas brīvības pakāpes, atstājot to paralēli stacionārajai saitei.
Piemēri: autobusu logu tīrītāji, autoiekrāvēji, statīvi, pakaramie, automašīnu balstiekārtas.
Paralelogramma ar fiksētu savienojumu- tiek izmantota paralelograma īpašība uzturēt nemainīgu attālumu attiecību starp trim punktiem. Piemērs: zīmēšanas pantogrāfs - ierīce rasējumu mērogošanai.
Rombs- visas saites ir vienāda garuma, pretējo eņģu pāra tuvošanās (savilkšanās) noved pie pārējo divu eņģu atdalīšanas. Visas saites darbojas saspiešanā.
Piemēri - automašīnu rombveida domkrats, tramvaja pantogrāfs.
Šķēres vai X formas mehānisms, zināms arī kā Nirnbergas šķēres- rombveida versija - divas saites, kas savienotas vidū ar eņģēm. Mehānisma priekšrocības ir kompaktums un vienkāršība, trūkums ir divu bīdāmu pāru klātbūtne. Divi (vai vairāki) šādi virknē savienoti mehānismi veido dimantu(-s) vidū. Izmanto liftos un bērnu rotaļlietās.
VII Secinājums
Kurš ir mācījies matemātiku kopš bērnības?
viņš attīsta uzmanību, trenē smadzenes,
paša griba, audzina neatlaidību
un neatlaidība mērķu sasniegšanā
A. Markuševičs
Darba gaitā pierādīju paralelograma papildu īpašības.
Es biju pārliecināts, ka, izmantojot šīs īpašības, jūs varat ātrāk atrisināt problēmas.
Es parādīju, kā šīs īpašības tiek pielietotas, izmantojot konkrētu problēmu risināšanas piemērus.
Es daudz uzzināju par paralelogramu, kura mūsu ģeometrijas mācību grāmatā nav
Par to, ka ģeometrijas zināšanām dzīvē ir liela nozīme, pārliecinājos caur paralelograma īpašību pielietošanas piemēriem.
Mana pētnieciskā darba mērķis ir izpildīts.
Par matemātikas zināšanu nozīmi liecina fakts, ka tika iedibināta balva cilvēkam, kurš izdod grāmatu par cilvēku, kurš visu mūžu nodzīvojis bez matemātikas palīdzības. Šo balvu vēl nav saņēmis neviens cilvēks.
VIII Literatūra
Pogorelovs A.V. Ģeometrija 7-9: vispārējās izglītības mācību grāmata. iestādes - M.: Izglītība, 2014
L.S.Atanasjans un citi. Pievienot. Nodaļas 8. klases mācību grāmatai: mācību grāmata. rokasgrāmata skolu un progresīvo klašu skolēniem. studējis matemātiku. – M.: Vita-press, 2003
Interneta resursi
Vikipēdijas materiāli
