Vienādojumu sistēmas ar parametru. Vienādojumi ar moduli - lai iegūtu maksimumu Vienotajā valsts eksāmenā matemātikā (2019) Vienādojumu sistēmu atrisināšana ar moduli saturošu parametru

§6. Vienādojumu risināšana ar moduļiem un parametriem

§ 3. Sistēmu risinājums ar parametriem un ar moduļiem

Portāls skolēniem. Pašgatavošanās

§6. Vienādojumu risināšana ar moduļiem un parametriem

§ 3. Sistēmu risinājums ar parametriem un ar moduļiem

§ 4. Problēmu risināšana, izmantojot vienādojumu sistēmas

§ 4. Problēmu risināšana, izmantojot vienādojumu sistēmas

SAISTĪTIE RAKSTI

21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 - 4 21 42 = 3025 - 3582< 0.

Atbilde: 1; 2.

Apskatīsim vairākus vienādojumus, kuros mainīgais x parādās zem moduļa zīmes. Atgādināsim jums to

x, ja x ≥ 0,

x = − x ja x< 0.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu:

a) x − 2 = 3; b) x + 1 - 2x - 3 = 1;

x+2

X = 1; d) x 2 −

6; e) 6x 2 −

x+1

x-1

a) Ja skaitļa modulis ir 3, tad šis skaitlis ir vienāds ar 3 vai (- 3),

t.i., x − 2 = 3, x = 5 vai x − 2 = − 3, x = − 1.

b) No moduļa definīcijas izriet, ka

x+1

X + 1, ja x + 1 ≥ 0,

i., ja x ≥ − 1 un

x+1

= − x − 1 pie x< − 1. Выражение

2x - 3

2 x – 3, ja x ≥ 3

un vienāds ar − 2 x + 3, ja x< 3 .

x< −1

vienādojums

ekvivalents

vienādojums

− x −1 −

(− 2 x + 3 ) = 1, no kā izriet, ka

x = 5. Bet skaitlis 5 nav

atbilst nosacījumam x< − 1, следовательно,

pie x< − 1 данное

vienādojumam nav atrisinājumu.

−1 ≤ x<

vienādojums

ekvivalents

vienādojums

x + 1− (2x + 3) = 1, kas nozīmē, ka x = 1;

numur 1 apmierināts-

atbilst nosacījumam − 1 ≤ x<

2010.-2011.mācību gads gads., 5.nr., 8.kl. Matemātika. Kvadrātvienādojumi

x ≥

vienādojums

ekvivalents

vienādojums

x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, kam ir risinājums x = 3. Un tā kā skaitlis ir 3

atbilst nosacījumam x ≥

tad tas ir vienādojuma risinājums.

x+2

c) Ja daļskaitļa skaitītājs un saucējs

ir tāds pats

x-1

pazīmes, tad frakcija ir pozitīva, un, ja atšķiras, tad tā ir negatīva, t.i.

x+2

Ja x ≤ – 2, ja x > 1,

x-1

x+2

Ja – 2< x < 1.

−1

Ja x ≤ – 2

un ja x > 1

sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam

x+2

X =1, x +2

X (x −1 ) = x −1, x 2 − x +3 =0.

x-1

Pēdējam vienādojumam nav atrisinājumu.

Plkst. – 2< x < 1 данное уравнение равносильно уравнению

x+2

X =1, − x −2 + x 2 − x = x −1, x 2 −3 x −1 = 0.

x-1

Atradīsim šī vienādojuma saknes:

x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13.

Nevienlīdzības

− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13

Sledova-

Tāpēc šis skaitlis ir vienādojuma risinājums.

x ≥ 0 dots

vienādojums

ekvivalents

vienādojums

x 2 - x -6 = 0,

kuru saknes ir skaitļi 3 un – 2. Skaitlis 3

atbilst nosacījumam x > 0,

un skaitlis 2 neatbilst šim nosacījumam-

Tāpēc tikai skaitlis 3 ir risinājums oriģinālam

x< 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

2010.-2011.mācību gads gads., 5.nr., 8.kl. Matemātika. Kvadrātvienādojumi
		x ≥ − 1 dots	vienādojums	ekvivalents		vienādojums
6 x 2 − x − 1 = 0, atrodiet tā saknes: x = 1 ±				25, x = 1, x		= −1 .

Abas saknes atbilst nosacījumam x ≥ − 1,					tāpēc viņi ir
ir šī vienādojuma risinājumi. Plkst				x< − 1 данное уравнение
ir ekvivalents vienādojumam 6 x 2 + x + 1 = 0, kuram nav atrisinājumu.
Dotas izteiksmes f (x, a) un g (x, a),					atkarīgs no izmaiņām
x	un a.	Tad vienādojums	f (x, a) = g (x, a)		par izmaiņām

sauc noah x vienādojums ar parametru a. Atrisinot vienādojumu ar parametru, jebkurai pieņemamai parametra vērtībai tiek atrasti visi dotā vienādojuma risinājumi.

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu visām parametra a derīgajām vērtībām:

a) ax 2 - 3 = 4 a 2 - 2 x 2 ; b) (a - 3 ) x 2 = a 2 - 9;

c) (a - 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a - 2 ) = 0.

x 2 =	4a 2 + 3	Izteiksme 4 un 2		3 > 0 jebkuram a ; par a > − 2 ir
	a+2
mums ir divi risinājumi: x =			4a 2 + 3	un x = −	4a 2	Ja	a+2< 0, то
mums ir divi risinājumi: x =				un x = −		Ja	a+2< 0, то
			a+2		a+2
			a+2		a+2

izteiksme 4 a 2 + 3< 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

Atbilde: x = ±	4a 2 + 3	Ja a > – 2;	a ≤ − 2 nav risinājumu.
	a+2
			tad x 2 = a + 3. Ja a + 3 = 0,
b) Ja a = 3, tad x. Ja a ≠ 3,
tie. ja a = -3,	tad vienādojumam ir unikāls risinājums x = 0. Ec-

vai a< − 3, то уравнение не имеет решений. Если a >− 3 un a ≠ 3, tad vienādojumam ir divi atrisinājumi: x 1 = a + 3 un x 2 = − a + 3.

2010.-2011.mācību gads gads., 5.nr., 8.kl. Matemātika. Kvadrātvienādojumi

a = 1 šis vienādojums iegūst šādu formu

4x − 1 = 0,

x = 1

ir viņa lēmums. Plkst

a ≠ 1 šis vienādojums ir

kvadrātā, tā diskriminants D 1 ir vienāds ar

(a + 1 ) 2 - (a - 1 ) (a - 2 ) = 5 a - 1.

Ja 5 a – 1< 0, т.е. a < 1 ,

tad šim vienādojumam nav atrisinājumu.

Ja a =

tad vienādojumam ir unikāls risinājums

a+1

x = −

a - 1

−1

Ja a >

un a ≠ 1,

tad šim vienādojumam ir divi risinājumi:

x = − (a + 1 ) ± 5 a − 1 .

a - 1

−(a +1 ) ±

1 plkst

a = 1; x = 3

pie a

; x =

5a–1

a - 1

par > 1

un a ≠ 1; pie a< 1

vienādojumam nav atrisinājumu.

§7. Vienādojumu sistēmu atrisināšana. Problēmu risināšana, kas reducējas uz kvadrātvienādojumiem

Šajā sadaļā aplūkosim sistēmas, kas satur otrās pakāpes vienādojumus.

Piemērs 1. Atrisiniet vienādojumu sistēmu

2x + 3y = 8,

xy = 2.

Šajā sistēmā vienādojums 2 x + 3 y = 8 ir pirmās pakāpes vienādojums, un vienādojums xy = 2 ir otrās pakāpes vienādojums. Atrisināsim šo sistēmu, izmantojot metodi

2010.-2011.mācību gads gads., 5.nr., 8.kl. Matemātika. Kvadrātvienādojumi

aizstāšanas. No pirmā sistēmas vienādojuma mēs izsakām x līdz y un šo izteiksmi aizstājam ar x sistēmas otrajā vienādojumā:

8-3 gadi	4 −
		gads, 4	y y = 2.

Pēdējais vienādojums tiek reducēts uz kvadrātvienādojumu

8y − 3y 2 = 4, 3y 2 − 8y + 4 = 0.

Mēs atrodam tās saknes:

4 ± 4

4 ± 2

Y=2,y

No nosacījuma x = 4 −

mēs iegūstam x = 1, x

Atbilde: (1;2) un

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu sistēmu:

x 2 + y 2 = 41,

xy = 20.

Reiziniet abas otrā vienādojuma puses ar 2 un pievienojiet tās pirmajam

sistēmas vienādojums:	x 2 + y 2 + 2xy = 41 + 20 2,			(x + y) 2 = 81, no kurienes
no tā izriet, ka x + y = 9 vai x + y = − 9.
Ja x + y = 9, tad	x = 9 − y. Aizstāsim šo izteiksmi ar x into
otrais sistēmas vienādojums:
(9 - y ) y = 20, y 2 - 9 y + 20 = 0,
y = 9 ± 81 - 80 = 9 ± 1, y = 5, y			4, x = 4, x = 5.

No nosacījuma x + y = − 9 iegūstam atrisinājumus (− 4; − 5) un (− 5; − 4).
Atbilde: (± 4;± 5) , (± 5;± 4) .
3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu sistēmu:
		y = 1,
	x−	y = 1,


	x−y

Ierakstīsim otro sistēmas vienādojumu formā

( x − y )( x + y ) = 5.

2010.-2011.mācību gads gads., 5.nr., 8.kl. Matemātika. Kvadrātvienādojumi

Izmantojot vienādojumu x − y = 1, iegūstam: x + y = 5. Tādējādi iegūstam vienādojumu sistēmu, kas ir ekvivalenta dotajam


	x−	y = 1,
	x−	y = 1,
		y = 5.
		y = 5.

Saskaitīsim šos vienādojumus, iegūstam: 2 x = 6,		x = 3, x = 9.
Pirmajā vienādojumā aizstājot x = 9			sistēmu saņemšana
mums ir 3 − y = 1, kas nozīmē, ka y = 4.
Atbilde: (9;4).	(x + y) (x		Y –4 ) = –4,
	(x + y) (x		Y –4 ) = –4,
Piemērs 4. Atrisiniet vienādojumu sistēmu: (x 2 + y 2 ) xy = − 160.
				xy = v;
Ieviesīsim jaunus mainīgos	x + y = u			xy = v;
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy - 2 xy = (x + y) 2 - 2 xy = u2 - 2 v,
u (u -4 ) = -4,
sistēma tiek reducēta līdz formai (u 2 − 2 v ) v = − 160.

Mēs atrisinām vienādojumu:
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2.
Mēs aizstājam šo u vērtību vienādojumā:
(u 2 - 2v ) v = - 160, (4 - 2 v ) v = - 160, 2 v 2 - 4 v - 160 = 0,
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1 ± 9, v= 10, v					= −8.
Mēs atrisinām divas vienādojumu sistēmas:
Mēs atrisinām divas vienādojumu sistēmas:	x + y = 2,
x + y = 2,	x + y = 2,
	Un
xy = 10	xy = − 8.
Abas sistēmas risinām, izmantojot aizstāšanas metodi. Pirmajai sistēmai mums ir:
x= 2 − y, ( 2 − y) y= 10, y2 − 2 y+ 10 = 0.

Iegūtajam kvadrātvienādojumam nav atrisinājumu. Otrajai sistēmai mums ir: x= 2 − y, (2 − y) y= − 8, y2 − 2 y− 8 = 0.

y= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, y1 = 4, y2 = − 2. Tadx1 = − 2 Unx2 = 4. Atbilde: (− 2;4 ) Un(4; − 2 ) .

reizinot ar 3, iegūstam:

2010.-2011.mācību gads gads., 5.nr., 8.kl. Matemātika. Kvadrātvienādojumi

5. piemērs. Atrisiniet vienādojumu sistēmu:

x 2 + 4 xy = 3,

y 2 + 3 xy = 2.

No pirmā vienādojuma, kas reizināts ar 2, atņemiet otro vienādojumu,

2 x 2 − xy − 3 y 2 = 0.

Ja y= 0, tad un x= 0, bet pāris cipari (0;0 ) nav sākotnējās sistēmas risinājums. Sadalīsim abas iegūtā vienādojuma puses

honorārs ieslēgts y2 ,

1 ± 5 , x = 2 y Un x = − y .

−3

= 0,

Aizstāsim

nozīmē

x =

pirmais vienādojums

9 y2 + 6 y2 = 3, 11y2 = 4, y=

, x=

, x= −

Aizstāt vērtību x= − y pirmajā sistēmas vienādojumā: y2 − 4 y2 = 3, − 3 y2 = 3.

Risinājumu nav.

9. piemērs. Atrodiet visas parametru vērtības a, kuriem vienādojumu sistēma

x 2 + ( y − 2 ) 2 = 1,

y = cirvis 2 .

ir vismaz viens risinājums.

Šo sistēmu sauc par sistēmu ar parametru. Tos var atrisināt analītiski, t.i. izmantojot formulas, vai arī varat izmantot tā saukto grafisko metodi.

Ņemiet vērā, ka pirmais vienādojums definē apli, kura centrs atrodas punktā (0;2 ) ar rādiusu 1. Otrais vienādojums pie a≠ 0 definē parabolu ar tās virsotni sākuma punktā.

Ja a 2

Gadījumā a) parabola ir pieskares riņķim. No sistēmas otrā vienādojuma izriet:

jā tā x2 = y/ a,

aizstāt šīs vērtības

x 2

pirmajā vienādojumā:

+(y−2 )

= 1,

+ y

− 4 y+ 4 = 1, y

4 − ay+ 3

= 0.

Pieskares gadījumā simetrijas dēļ ir tikai viena vērtība y, tāpēc iegūtā vienādojuma diskriminantam ir jābūt

ir vienāds ar 0. Tā kā ordinātu y saskarsmes punkts ir pozitīvs utt.

y = 2

− a

mēs saņemam,

> 0; D

1 2

4 − a

− 12 = 0,

4 − a

> 0

mēs iegūstam: 4

= 2

= 4 −2

a =

4 + 2 3

2 +

( 4 − 2 3)( 4 + 2 3) =

16 − 12 =

4 − 2 3

Ja a> 2 + 2 3 , tad parabola krustos apli 4 punktos -

2010.-2011.mācību gads gads., 5.nr., 8.kl. Matemātika. Kvadrātvienādojumi

Tāpēc sistēmai ir vismaz viens risinājums, ja

a≥ 2 + 2 3 .

10. piemērs. Kāda divciparu naturāla skaitļa ciparu kvadrātu summa ir 9 lielāka par šo ciparu reizinājumu divas reizes. Pēc šī divciparu skaitļa dalīšanas ar tā ciparu summu koeficients ir 4, bet atlikums ir 3. Atrodiet šo divciparu skaitli.

Ļaujiet divciparu skaitlim būt 10 a+ b, Kur a Un b- šī numura cipari. Tad no pirmā problēmas nosacījuma mēs iegūstam: a2 + b2 = 9 + 2 ab, un no otrā nosacījuma mēs iegūstam: 10 a+ b= 4 (a+ b) + 3.

a 2 + b 2 = 9 + 2 ab ,

Mēs atrisinām vienādojumu sistēmu: 6 a− 3 b= 3.

No sistēmas otrā vienādojuma iegūstam

6a− 3b= 3, 2a− b= 1, b= 2a− 1.

Aizstāt šo vērtību ar b uz sistēmas pirmo vienādojumu:

a2 + ( 2a− 1) 2 = 9 + 2a( 2a− 1) , 5a2 − 4a+ 1 = 9 + 4a2 − 2a,

a2 − 2a− 8 = 0, D1 = 1 + 8 = 9, a= 1 ± 3, a1 = 4, a2 = − 2 < 0, b1 = 7.

Atbilde: 47.

11. piemērs. Sajaucot divus šķīdumus, no kuriem viens satur 48 g un otrs 20 g bezūdens kālija jodīda, tika iegūts 200 g jauna šķīduma. Atrodiet katra sākotnējā šķīduma koncentrāciju, ja pirmā šķīduma koncentrācija bija par 15% lielāka nekā otrā.

Apzīmēsim ar x% ir otrā šķīduma koncentrācija un pēc tam (x+ 15 ) % – pirmā šķīduma koncentrācija.


(x+ 15 )%			x %
I risinājums			II risinājums

Pirmajā šķīdumā ir 48 g (x+ 15 ) % no kopējā šķīduma svara,

tāpēc šķīduma svars ir x48 + 15 100. Otrajā šķīdumā 20 g ko-

Mērķis:

atkārtojiet lineāro vienādojumu sistēmu risināšanu ar diviem mainīgajiem
definēt lineāru vienādojumu sistēmu ar parametriem
iemācīs atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas ar parametriem.

Nodarbību laikā

Laika organizēšana
Atkārtojums
Jaunas tēmas skaidrojums
Konsolidācija
Nodarbības kopsavilkums
Mājasdarbs

2. Atkārtošana:

I. Lineārs vienādojums ar vienu mainīgo:

1. Definējiet lineāru vienādojumu ar vienu mainīgo

[Vienādojumu formā ax=b, kur x ir mainīgais, a un b ir daži skaitļi, sauc par lineāru vienādojumu ar vienu mainīgo]

2. Cik sakņu var būt lineāram vienādojumam?

[- Ja a=0, b0, tad vienādojumam nav atrisinājumu, x

Ja a=0, b=0, tad x R

Ja a0, tad vienādojumam ir unikāls risinājums, x =

3. Noskaidrojiet, cik sakņu ir vienādojumam (atbilstoši opcijām)

II. Lineārais vienādojums ar 2 mainīgajiem un lineāro vienādojumu sistēma ar 2 mainīgajiem.

1. Definējiet lineāru vienādojumu divos mainīgajos. Sniedziet piemēru.

[Lineārs vienādojums ar diviem mainīgajiem ir vienādojums formā ax + by = c, kur x un y ir mainīgie, a, b un c ir daži skaitļi. Piemēram, x-y=5]

2. Ko sauc par vienādojuma atrisināšanu ar diviem mainīgajiem?

[Atrisinājums vienādojumam ar diviem mainīgajiem ir mainīgo vērtību pāris, kas pārvērš vienādojumu par patiesu vienādību.]

3. Vai mainīgo vērtību pāris x = 7, y = 3 ir vienādojuma 2x + y = 17 risinājums?

4. Kā sauc divu mainīgo vienādojuma grafiku?

[Vienādojuma grafiks ar diviem mainīgajiem ir visu koordinātu plaknes punktu kopa, kuru koordinātas ir šī vienādojuma atrisinājumi.]

5. Uzziniet, kāds ir vienādojuma grafiks:

[Izteiksim mainīgo y caur x: y=-1,5x+3

Formula y=-1,5x+3 ir lineāra funkcija, kuras grafiks ir taisna līnija. Tā kā vienādojumi 3x+2y=6 un y=-1.5x+3 ir līdzvērtīgi, šī līnija ir arī vienādojuma 3x+2y=6 grafiks]

6. Kāds ir vienādojuma ax+bу=c grafiks ar mainīgajiem x un y, kur a0 vai b0?

[Lineāra vienādojuma grafiks ar diviem mainīgajiem, kurā vismaz viens no mainīgo koeficientiem nav nulle, ir taisna līnija.]

7. Ko sauc par vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem risināšanu?

[Risinājums vienādojumu sistēmai ar diviem mainīgajiem ir mainīgo vērtību pāris, kas pārvērš katru sistēmas vienādojumu par patiesu vienādību]

8. Ko nozīmē atrisināt vienādojumu sistēmu?

[Atrisināt vienādojumu sistēmu nozīmē atrast visus tās risinājumus vai pierādīt, ka risinājumu nav.]

9. Uzziniet, vai šādai sistēmai vienmēr ir risinājumi un, ja ir, tad cik (grafiski).

10. Cik atrisinājumu var būt divu lineāru vienādojumu sistēmai ar diviem mainīgajiem?

[Vienīgais risinājums ir, ja līnijas krustojas; nav atrisinājumu, ja taisnes ir paralēlas; bezgalīgi daudz, ja līnijas sakrīt]

11. Kāds vienādojums parasti definē taisni?

12. Izveidojiet saikni starp leņķa koeficientiem un brīvajiem terminiem:

I variants:

y=-x+2
y= -x-3,

k 1 = k 2, b 1 b 2, nav risinājumu;

II variants:

y=-x+8
y=2x-1,

k 1 k 2, viens risinājums;

III variants:

y=-x-1
y=-x-1,

k 1 = k 2, b 1 = b 2, daudzi risinājumi.

Secinājums:

Ja līniju leņķiskie koeficienti, kas ir šo funkciju grafiki, ir atšķirīgi, tad šīs līnijas krustojas un sistēmai ir unikāls risinājums.
Ja līniju leņķiskie koeficienti ir vienādi un krustošanās punkti ar y asi ir atšķirīgi, tad taisnes ir paralēlas un sistēmai nav risinājumu.
Ja leņķiskie koeficienti un krustošanās punkti ar y asi ir vienādi, tad taisnes sakrīt un sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu.

Uz tāfeles ir tabula, kuru skolotājs un skolēni pamazām aizpilda.

III. Jaunas tēmas skaidrojums.

Definīcija: Skatīt sistēmu

A 1 x+B 1 y=C
A 2 x+B 2 y=C 2

kur A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 ir izteiksmes atkarībā no parametriem, bet x un y ir nezināmie, sauc par divu lineāru algebrisko vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmajiem parametros.

Ir iespējami šādi gadījumi:

1) Ja , tad sistēmai ir unikāls risinājums

2) Ja , tad sistēmai nav risinājumu

3) Ja , tad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu.

IV. Konsolidācija

1. piemērs.

Pie kādām parametra a vērtībām sistēma darbojas

2x - 3y = 7
ah — 6 g = 14

a) ir bezgalīgs atrisinājumu skaits;

b) ir unikāls risinājums

Atbilde:

a) ja a=4, tad sistēmai ir bezgalīgs atrisinājumu skaits;

b) ja a4, tad ir tikai viens risinājums.

2. piemērs.

Atrisiniet vienādojumu sistēmu

x+(m+1)y=1
x+2y=n

Risinājums: a) , t.i. m1 sistēmai ir unikāls risinājums.

b), t.i. ja m=1 (2=m+1) un n1 sākotnējā sistēmā nav risinājumu

c) , ja m=1 un n=1 sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Atbilde: a) ja m=1 un n1, tad atrisinājumu nav

b) m=1 un n=1, tad risinājums ir bezgalīga kopa

y — jebkurš
x=n-2y

c) ja m1 un n ir jebkurš, tad

3. piemērs.

akh-3ау=2а+3
x+ay=1

Risinājums: no II vienādojuma atrodam x = 1-аy un aizstājam vienādojumu I vienādojumā

а(1-ау)-3ау=2а+3

a-a 2 y-3ау=2а+3

A 2 y-3ау=а+3

A(a+3)y=a+3

Iespējamie gadījumi:

1) a=0. Tad vienādojums izskatās šādi: 0*y=3 [y]

Tāpēc a=0 sistēmai nav risinājumu

2) a=-3. Tad 0*y=0.

Tāpēc y. Šajā gadījumā x=1-ау=1+3у

3) a0 un a-3. Tad y=-, x=1-a(-=1+1=2

Atbilde:

1) ja a=0, tad (x; y)

2) ja a=-3, tad x=1+3y, y

3) ja a0 un a?-3, tad x=2, y=-

Apskatīsim otro sistēmas (1) risināšanas metodi.

Atrisināsim sistēmu (1), izmantojot algebriskās saskaitīšanas metodi: pirmkārt, reizinim sistēmas pirmo vienādojumu ar B 2, otro ar B 1 un saskaitīsim šos vienādojumus pa vārdam, tādējādi izslēdzot mainīgo y:

Jo A 1 B 2 -A 2 B 1 0, tad x =

Tagad noņemsim mainīgo x. Lai to izdarītu, reiziniet pirmo sistēmas (1) vienādojumu ar A 2 un otro ar A 1 un saskaitiet abus vienādojumus pēc vārda:

A 1 A 2 x +A 2 B 1 y=A 2 C 1
-A 1 A 2 x-A 1 B 2 y= - A 1 C 2
y(A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2 C 1 - A 1 C 2

jo A 2 B 1 -A 1 B 2 0 g =

Sistēmas (1) risināšanas ērtībai mēs ieviešam šādu apzīmējumu:

- galvenais noteicējs

Tagad sistēmas (1) risinājumu var uzrakstīt, izmantojot determinantus:

Dotās formulas sauc par Krāmera formulām.

Ja , tad sistēmai (1) ir unikāls risinājums: x=; y=

Ja , vai , tad sistēmai (1) nav risinājumu

Ja , , , , tad sistēmai (1) ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Šajā gadījumā sistēma ir jāturpina izpētīt. Šajā gadījumā, kā likums, tas tiek samazināts līdz vienam lineāram vienādojumam. Šajā gadījumā bieži ir ērti izpētīt sistēmu šādi: atrisinot vienādojumu, mēs atrodam konkrētas parametru vērtības vai izsakām vienu no parametriem ar citiem un aizstājam šīs parametru vērtības sistēma. Tad mēs iegūstam sistēmu ar konkrētiem skaitliskiem koeficientiem vai ar mazāku parametru skaitu, kas ir jāizpēta.

Ja sistēmas koeficienti A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ir atkarīgi no vairākiem parametriem, tad sistēmu ir ērti pētīt, izmantojot sistēmas determinantus.

4. piemērs.

Visām parametra a vērtībām atrisiniet vienādojumu sistēmu

(a+5)x+(2a+3)y=3a+2
(3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

Risinājums: Atradīsim sistēmas noteicēju:

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

Nodarbība “Lineāru vienādojumu risināšana ar parametru, kas satur moduli”.

Mērķis: attīstīt prasmi risināt lineārus vienādojumus ar parametru, kas satur moduli; attīstīt loģisko domāšanu un patstāvīgā darba iemaņas.

Aprīkojums: prezentācija.

Nodarbību laikā.

1. Lai aktualizētu studentu zināšanas, nepieciešams atkārtot moduļa jēdzienu un ar moduli atrisināt vairākus vienādojumus: |x|=3; |x|= - 5; |x|=0.

Pēc tam palūdziet studentiem atbildēt uz jautājumu: Cik sakņu var būt vienādojumam ar moduli un no kā tas ir atkarīgs?

Secinājums ir ietverts 2. slaidā. Tas ir pierakstīts piezīmju grāmatiņā.

Vienādojuma |x - 2 |= 3 risinājuma analīze

Frontālais darbs ar klasi: 1. vienādojuma atrisināšana |x + 4 |= 0.

Vienādojumu atrisināšana patstāvīgi:

2. |x - 3 |= 5; 3. |4 - x |= 7; 4. |5 - x |= - 9. Pārbaudīt.

Risinājuma analīze vingrinājums 1 :

Nosakiet vienādojuma sakņu skaitu

||x| +5 - a |= 2. (3. slaids)

Skolotāja komentāri: tas ir vienādojums ar parametru, t.i. ar mainīgo a. Atkarībā no šī mainīgā vērtības mainīsies vienādojuma forma. Tas nozīmē, ka vienādojuma sakņu skaits ir atkarīgs no a.

Aiciniet skolēnus atbildēt uz uzdevuma jautājumu “Atrodiet visas a vērtības, kurām katrai atbilst vienādojums ||x| +5 - un |= 2 ir tieši 3 saknes. (Ja ir vairākas a vērtības, pierakstiet to summu atbildes veidlapā). Atbilde: 7. (4. slaids)

Atrisiniet pie tāfeles 2. uzdevums: Atrodiet visas a vērtības, katrai no kurām vienādojums ||x| - 3 + a |= 4 ir tieši 3 saknes. Atbilde: - 1.

Patstāvīgs darbs.Vingrinājums 3 .Atrodiet visas a vērtības, katrai no kurām vienādojums ||x| -4+ un |= 3 ir tieši 1 sakne. Atbilde: 7.

4. uzdevums . Kurām a vērtībām tiek piemērots vienādojums

|a - 5 - |x||= 3 ir nepāra sakņu skaits (ja ir vairāk nekā viena a vērtība, pierakstiet to summu atbilžu lapā). Atbilde: 10.

Aiciniet studentus izdomāt, kā atrisināt problēmu, izmantojot funkcijas paritātes īpašību un grafisko metodi.

7. Nodarbības kopsavilkums. Ko tu šodien nodarbībā strādāji? Vai jums bija kaut kas jauns un izglītojošs? Pie kā jūs vēlētos strādāt savā nākamajā nodarbībā?

10x − 5y − 3z = − 9,

6 x + 4 y − 5 z = − 1,3 x − 4 y − 6 z = − 23.

Izlīdzināsim koeficientus x pirmajā un otrajā vienādojumā, lai to izdarītu, pirmā vienādojuma abas puses reizinām ar 6 un otrā vienādojuma puses ar 10, iegūstam:

60x − 30 y − 18z = −54,60x + 40 y − 50z = −10.

Mēs atņemam pirmo vienādojumu no iegūtās sistēmas otrā vienādojuma.

Tāpēc mēs iegūstam: 70 y − 32 z = 44, 35 y − 16 z = 22.

No sākotnējās sistēmas otrā vienādojuma mēs atņemam trešo vienādojumu, kas reizināts ar 2, iegūstam: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12 g + 7z = 45.

Tagad mēs atrisinām jaunu vienādojumu sistēmu:

35 g – 16z = 22,12 g + 7z = 45.

Jaunās sistēmas pirmajam vienādojumam, kas reizināts ar 7, mēs pievienojam otro vienādojumu, kas reizināts ar 16, mēs iegūstam:

35 7 g + 12 16 g = 22 7 + 45 16,

Tagad mēs aizstājam y = 2, z = 3 sākotnējās sistēmas pirmajā vienādojumā

tēmas, mēs iegūstam: 10x − 5 2 − 3 3 = − 9, 10x − 10 − 9 = − 9, 10x = 10, x = 1.

Atbilde: (1; 2;3). ▲

cirvis + 4 y = 2 a,

Apsveriet vienādojumu sistēmu

x + ay = a.

2010.-2011.mācību gads gads., Nr.3, 8.kl. Matemātika. Vienādojumu sistēmas.

Šajā sistēmā faktiski ir trīs mainīgie, proti: a, x, y. x un y tiek uzskatīti par nezināmiem, a sauc par parametru. Katrai parametra a vērtībai ir jāatrod šīs sistēmas risinājumi (x, y).

Ļaujiet mums parādīt, kā šādas sistēmas tiek atrisinātas. Izteiksim mainīgo x no sistēmas otrā vienādojuma: x = a − ay. Mēs aizstājam šo vērtību ar x pirmajā sistēmas vienādojumā, mēs iegūstam:

a (a - ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a ) y = a (2 − a ) .

Ja a = 2, tad iegūstam vienādojumu 0 y = 0. Šo vienādojumu apmierina jebkurš skaitlis y, un tad x = 2 − 2 y, t.i., ja a = 2, skaitļu pāris (2 − 2 y; y) ir sistēmas risinājums. Tā kā y var būt

jebkurš skaitlis, tad sistēmai ar a = 2 ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Ja a = − 2, tad iegūstam vienādojumu 0 y = 8. Šim vienādojumam nav atrisinājuma.

Ja tagad a ≠ ± 2,	tad y =	a (2–a)
		(2 - a ) (2 + a )	2+a
x = a − ay = a −
	2+a

Atbilde: Ja a = 2, sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu formā (2 − 2 y; y), kur y ir jebkurš skaitlis;

Mēs atrisinājām šo sistēmu un noskaidrojām, kādām parametra a vērtībām sistēmai ir viens risinājums, kad tai ir bezgalīgi daudz risinājumu un kādām parametra a vērtībām nav risinājumu.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu sistēmu

2010.-2011.mācību gads gads., Nr.3, 8.kl. Matemātika. Vienādojumu sistēmas.

−3

y - 1

3x − 2 y = 5.

No sistēmas otrā vienādojuma mēs izsakām x caur y, mēs iegūstam

2 g. + 5

mēs aizstājam šo vērtību ar x pirmajā sistēmas vienādojumā

tēmas, mēs iegūstam:

2 g + 5

−3

y - 1

−3

−1

5 = 0

Izteiksme

y = −

y > −

; Ja

−5

= −y

Izteiksme y – 1 = 0,

ja y = 1. Ja

y > 1, tad

y - 1

Y - 1 un es-

vai y< 1, то

y - 1

1– g.

Ja y ≥ 1, tad

y - 1

Y-1 un

mēs iegūstam vienādojumu:

−3(y

− 1) = 3,

−3 g

3, −

(2 2 +

5 ) = 3. Skaitlis 2 > 1, tātad pāris (3;2) ir atkārtoti

sistēmas maiņa.

Ļaujiet tai tagad

5 ≤ g<1,

y - 1

− y;

atrašana

mēs saņemam

vienādojums

3g–3

4 g. + 10

3 g = 6,

13 gadi = 8

2010.-2011.mācību gads gads., Nr.3, 8.kl. Matemātika. Vienādojumu sistēmas.

(2 gadi + 5) =

Bet mazāk nekā

tātad pāris cipari

ir sistēmas risinājums.

y< −

tad iegūstam vienādojumu:

3g–3

4 g -

3 g = 6,

5 g =

28, y = 28.

nozīmē

tāpēc risinājumu nav.

Tādējādi sistēmai ir divi risinājumi (3;2) un 13 27 ; 13 8 . ▲

Piemērs 1. Automašīna no pilsētas uz ciemu aizbrauc 2,5 stundās. Ja viņš palielina ātrumu par 20 km/h, tad 2 stundās viņš veiks par 15 km lielāku attālumu nekā attālums no pilsētas līdz ciematam. Atrodiet šo attālumu.

Apzīmēsim ar S attālumu starp pilsētu un ciematu un ar V automašīnas ātrumu. Tad, lai atrastu S, mēs iegūstam divu vienādojumu sistēmu

2,5 V = S,

(V + 20) 2 = S + 15.

2010.-2011.mācību gads gads., Nr.3, 8.kl. Matemātika. Vienādojumu sistēmas.

Atbilde: 125 km. ▲

2. piemērs. Divciparu skaitļa ciparu summa ir 15. Ja šie cipari tiek apmainīti, tiek iegūts skaitlis, kas ir par 27 vairāk nekā oriģināls. Atrodiet šos skaitļus.

Lai dotais skaitlis ab, t.i. desmitnieku skaits ir a, un vieninieku skaits ir b. No pirmā uzdevuma nosacījuma mums ir: a + b = 15. Ja no skaitļa ba atņemam skaitli ab, iegūstam 27, tātad iegūstam otro vienādojumu: 10 b + a − (10 a + b) = 27. x

2010.-2011.mācību gads gads., Nr.3, 8.kl. Matemātika. Vienādojumu sistēmas.

Reizināsim abas vienādojuma puses ar 20, iegūstam: x + 8 y = 840. Lai atrastu x un y, iegūstam vienādojumu sistēmu

Atbilde: 40 t, 100 t ▲

Piemērs 4. Datoroperators, strādājot ar skolēnu, apstrādā uzdevumu 2 stundās 24 minūtēs. Ja operators strādā 2 stundas, bet students 1 stundu, tad

bērni pabeidza 2 3 no visa darba. Cik ilgs laiks būs nepieciešams operācijai

ru un studentu atsevišķi apstrādāt uzdevumu?

Apzīmēsim visus darbus ar 1, operatora produktivitāti ar x un studentu produktivitāti ar y. Mēs to ņemam vērā

2 stundas 24 minūtes = 2 5 2 stundas = 12 5 stundas.

No uzdevuma pirmā nosacījuma izriet, ka (x+y) 12 5 = 1. No otrā uzdevuma nosacījuma izriet, ka 2 x + y = 2 3. Mēs saņēmām vienādojumu sistēmu

(x+y)

2 x + y =

Mēs atrisinām šo sistēmu, izmantojot aizstāšanas metodi:

− 2 x ;

-2x

−x

− 1;

; x =

; y =

1. Lineāro vienādojumu sistēmas ar parametru

Lineāro vienādojumu sistēmas ar parametru risina ar tādām pašām pamatmetodēm kā parastās vienādojumu sistēmas: aizstāšanas metodi, vienādojumu saskaitīšanas metodi un grafisko metodi. Zināšanas par lineāro sistēmu grafisko interpretāciju ļauj viegli atbildēt uz jautājumu par sakņu skaitu un to esamību.

1. piemērs.

Atrodiet visas parametra a vērtības, kurām vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu.

(x + (a 2–3)y = a,
(x + y = 2.

Risinājums.

Apskatīsim vairākus šī uzdevuma risināšanas veidus.

1 veids. Mēs izmantojam īpašību: sistēmai nav risinājumu, ja koeficientu attiecība priekšā x ir vienāda ar koeficientu attiecību pirms y, bet nav vienāda ar brīvo terminu attiecību (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Tad mums ir:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 vai sistēma

(un 2–3 = 1,
(a ≠ 2.

No pirmā vienādojuma a 2 = 4, tāpēc, ņemot vērā nosacījumu, ka a ≠ 2, mēs iegūstam atbildi.

Atbilde: a = -2.

2. metode. Mēs risinām ar aizstāšanas metodi.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Pēc kopējā koeficienta y izņemšanas no iekavām pirmajā vienādojumā mēs iegūstam:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Sistēmai nav atrisinājumu, ja pirmajam vienādojumam nav atrisinājumu, tas ir

(un 2–4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Acīmredzot a = ±2, bet, ņemot vērā otro nosacījumu, atbilde nāk tikai ar mīnusu.

Atbilde: a = -2.

2. piemērs.

Atrodiet visas parametra a vērtības, kurām vienādojumu sistēmai ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

(8x + ay = 2,
(cirvis + 2y = 1.

Risinājums.

Saskaņā ar īpašību, ja x un y koeficientu attiecība ir vienāda un ir vienāda ar sistēmas brīvo locekļu attiecību, tad tai ir bezgalīgs atrisinājumu skaits (t.i., a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Tāpēc 8/a = a/2 = 2/1. Atrisinot katru iegūto vienādojumu, mēs atklājam, ka šajā piemērā atbilde ir a = 4.

Atbilde: a = 4.

2. Racionālo vienādojumu sistēmas ar parametru

3. piemērs.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Risinājums.

Sareizināsim sistēmas pirmo vienādojumu ar 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Atņemot otro vienādojumu no pirmā, iegūstam 5|x| = 4 – a. Šim vienādojumam būs unikāls risinājums a = 4. Citos gadījumos šim vienādojumam būs divi risinājumi (a< 4) или ни одного (при а > 4).

Atbilde: a = 4.

4. piemērs.

Atrodiet visas parametra a vērtības, kurām vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums.

(x + y = a,
(y — x 2 = 1.

Risinājums.

Mēs atrisināsim šo sistēmu, izmantojot grafisko metodi. Tādējādi sistēmas otrā vienādojuma grafiks ir parabola, kas pa Oy asi pacelta uz augšu par vienu vienības segmentu. Pirmais vienādojums nosaka līniju kopu, kas ir paralēla taisnei y = -x (1. attēls). No attēla skaidri redzams, ka sistēmai ir risinājums, ja taisne y = -x + a ir pieskares parabolai punktā ar koordinātām (-0,5, 1,25). Aizvietojot šīs koordinātas taisnās līnijas vienādojumā, nevis x un y, mēs atrodam parametra a vērtību:

1,25 = 0,5 + a;

Atbilde: a = 0,75.

5. piemērs.

Izmantojot aizstāšanas metodi, noskaidrojiet, kādā parametra a vērtībā sistēmai ir unikāls risinājums.

(ass – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Risinājums.

No pirmā vienādojuma mēs izsakām y un aizstājam to ar otro:

(y = cirvis – a – 1,
(ass + (a + 2) (ass – a – 1) = 2.

Reducēsim otro vienādojumu līdz formai kx = b, kam būs unikāls risinājums k ≠ 0. Mums ir:

cirvis + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Mēs attēlojam kvadrātveida trinomu a 2 + 3a + 2 kā iekavu reizinājumu

(a + 2) (a + 1), un kreisajā pusē mēs izņemam x no iekavām:

(a 2 + 3a) x = 2 + (a + 2) (a + 1).

Acīmredzot 2 + 3a nedrīkst būt vienāds ar nulli, tāpēc

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, kas nozīmē a ≠ 0 un ≠ -3.

Atbilde: a ≠ 0; ≠ -3.

6. piemērs.

Izmantojot grafiskā risinājuma metodi, nosakiet, pie kādas parametra vērtības sistēmai ir unikāls risinājums.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Risinājums.

Pamatojoties uz nosacījumu, mēs izveidojam apli ar centru un 3 vienību segmentu rādiusu, ko nosaka pirmais sistēmas vienādojums

x 2 + y 2 = 9. Sistēmas otrais vienādojums (y = |x| + a) ir lauzta līnija. Izmantojot 2. attēls Mēs apsveram visus iespējamos tā atrašanās vietas gadījumus attiecībā pret apli. Ir viegli redzēt, ka a = 3.

Atbilde: a = 3.

Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt vienādojumu sistēmas?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja -.
Pirmā nodarbība bez maksas!

blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.

a = − 2 sistēmai nav risinājumu;

ja ≠ ± 2, sistēmai ir unikāls risinājums