Videokursā “Saņem A” iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas, lai sekmīgi nokārtotu vienoto valsts eksāmenu matemātikā ar 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikas uzdevumi 1-13. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss, kas nepieciešams, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.

Visa nepieciešamā teorija. Vienotā valsts eksāmena ātrie risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu skaidri skaidrojumi. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats Vienotā valsts eksāmena 2. daļas sarežģītu problēmu risināšanai.

Šoreiz ierosinu sarīkot tādu kā “uz pierādījumiem balstītu maratonu”, lai risinātu uzdevumus, kas tiek piedāvāti devītklasniekiem Valsts akadēmiskajā eksāmenā matemātikā. Tie ir saistīti ar vienkāršu, bet tajā pašā laikā ļoti noderīgu ģeometrisku faktu pierādīšanu. Rakstā apzināti nav sniegti detalizēti problēmu risinājumi, tikai dažas skices un padomi. Mēģiniet šo maratona distanci pārvarēt saviem spēkiem, bez kļūdām un vienā piegājienā.

1. uzdevums. Pierādīt, ka blakus esošo leņķu bisektrise ir perpendikulāra.

Leņķi α apzīmē ar vienu loku, β ar diviem

Pierādījums: no attēla ir skaidrs, ka α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (taisns leņķis), tāpēc α + β = 90 0 . Q.E.D.

2. uzdevums. Divi segmenti A.C. Un BD krustojas punktā O, kas ir katra no tām vidusdaļa. Pierādiet trijstūra vienādību ACD Un TAKSIS.

ABCD, protams, būs paralelograms, taču nosacījumā tas nav norādīts

Pierādījums: sānu trīsstūri ir vienādi divās malās un leņķis starp tiem ( B.O. = O.D.- pēc nosacījuma, A.O. = O.C.— pēc nosacījuma, ∠ DOC = ∠AOB- vertikāli), tas ir ∠ ACD = ∠TAKSIS, un tā kā tie atrodas šķērsām taisnās līnijās AB, CD un sekants A.C., Tas AB paralēli DC. Līdzīgi pierādām līniju paralēlismu B.C. Un A.D. Tātad, ABCD ir paralelograms pēc definīcijas. B.C. = AD, AB = CD(paralelogramā pretējās malas ir vienādas), A.C.- kopīgs trijstūriem ACD Un TAKSIS, tāpēc tie ir vienādi no trim pusēm. Q.E.D.

3. uzdevums. Pierādīt, ka mediāna, kas novilkta uz vienādsānu trijstūra pamatni, ir leņķa bisektrise, kas atrodas pretī pamatnei un ir arī perpendikulāra pamatnei.

Leņķi, ko veido mediāna un pamatne, tiks saukti par “apakšējo”, mediānu un malas – “augšējo”

Pierādījums: attēlā redzamie sānu trijstūri ir vienādi no trim malām, no kā izriet, ka, pirmkārt, "augšējie" leņķi ir vienādi (tie pierādīja, ka bisektrise), otrkārt, "apakšējie" leņķi, kopā kā blakus esošie, kas dod 180 0, un tāpēc katrs ir vienāds ar 90 0 (pierādīta perpendikularitāte). Q.E.D.

4. uzdevums. Pierādīt, ka mediānas, kas novilktas uz vienādsānu trijstūra sānu malām, ir vienādas.

Trijstūri, ko veido sākotnējā trīsstūra sānu malu vidusdaļas, pamatne un apakšējās puses, tiek saukti par “apakšējo”

Pierādījums: vienādsānu trijstūra pamatnes leņķi ir vienādi, tāpēc “apakšējie” trijstūri ir vienādi no divām pusēm un leņķis starp tiem, kas nozīmē novilkto mediānu vienādību. Q.E.D.

5. uzdevums. Pierādīt, ka bisektrise, kas novilkta no vienādsānu trijstūra pamatnes virsotnēm, ir vienādas.

Visi attēlā atzīmētie leņķi, protams, ir vienādi, lai gan tie ir norādīti ar dažādiem lokiem

Pierādījums:“Apakšējais” trīsstūris ir vienādsānu, kas izriet no leņķu vienādības tā pamatnē, “sānu” trijstūri ir vienādi pēc malām (vienāds no bisektrise, kas pierādīts iepriekš) un divi leņķi (pirmie ir vienādi pēc nosacījuma, otrie ir vertikālas), tāpēc arī pārējās bisektoru daļas ir vienādas viena otrai, kas nozīmē, ka pašas visas bisektrise ir vienādas. Q.E.D.

6. uzdevums. Pierādīt, ka nogriežņa, kas savieno trijstūra divu malu viduspunktus, garums ir vienāds ar pusi no trešās malas.

Tīrās puses sauksim par “bāzēm”, nosvītrotās – par “malām”

Pierādījums: attēlā redzamā mazā un lielā trijstūra sānu malas ir saistītas kā 1: 2, turklāt tām ir viens kopīgs leņķis, kas nozīmē, ka tās ir līdzīgas otrajā atribūtā ar līdzības koeficientu 1:2, tāpēc bāzes ir saistīti kā 1: 2. Kas ir tas, kas bija jāpierāda .

7. uzdevums. Pierādīt, ka paralelograma diagonāle sadala to divos vienādos trīsstūros.

Paralelograms ar diagonāli, iespējams, vairs nav ko piebilst

Pierādījums: Paralelograma pretējās malas ir vienādas, diagonāle ir šo trīsstūru kopējā mala, tāpēc tās ir vienādas no trim malām. Q.E.D.

8. uzdevums. Pierādiet, ka taisnleņķa trijstūra mediāna, kas novilkta uz hipotenūzu, ir vienāda ar pusi no hipotenūzas.

Citiem vārdiem sakot, mediānu zīmē no taisnā leņķa virsotnes

Pierādījums: ja aprakstam apli ap doto taisnleņķa trijstūri, tad šajā aplī ierakstītā trijstūra taisnleņķi aprakstīs ar pusloku, tātad hipotenūza būs šī riņķa diametrs, bet hipotenūzas puses un mediāna dota mums problēmā būs rādiusi, tāpēc tie visi ir vienādi. Q.E.D.

9. uzdevums. Pierādīt, ka pieskares atzari, kas novilkti riņķī no viena punkta, ir vienādi.

Papildu konstrukcija: savienojiet punktu C ar punktu O (garīgi)

Pierādījums: leņķi B Un A taisnas līnijas (apļa rādiusi, kas novilkta uz šūpošanās punktu, ir perpendikulāri pieskarēm), kas nozīmē taisnleņķa trijstūri AOC Un BOC vienāda hipotenūzā (tā puse, kuru mēs iedomājamies, viņiem ir kopīga O.C.) un kāju (apļa rādiusi O.B. = O.A.), kas nozīmē A.C. = C.B.. Q.E.D.

10. problēma. Pierādīt, ka diametrs, kas iet caur riņķa līnijas hordas viduspunktu, ir tai perpendikulārs.

Līnija, kas savieno divus punktus attēlā, ir trijstūra mediāna, ko mēs apsvērsim

Pierādījums: vienādsānu trijstūrī, ko veido hordas krustošanās punkti ar riņķi ​​un šī apļa centrs, attēlotā mediāna būs augstums, kas nozīmē, ka diametrs, kas satur šo augstumu, ir perpendikulārs hordai. Q.E.D.

11. problēma. Pierādīt, ka, ja diviem riņķiem ir kopēja horda, tad taisne, kas iet caur šo apļu centru, ir perpendikulāra šai hordai.

Garīgi savienojiet kopā visus attēlā atzīmētos punktus, sauksim par horizontālās un vertikālās H krustošanās punktu

Pierādījums: trijstūri O 1 A.O. 2 un O 1 B.O. 2 ir vienādas no trim pusēm, tāpēc ∠ HO 2 A = ∠HO 2 B, tad trijstūri HAO 2 un HBO 2 ir vienādi abās pusēs un leņķis starp tām, kas nozīmē ∠ AHO 2 = ∠BHO 2, un kopā divi vienādi leņķi var dot 180 0 tikai tad, ja katrs no tiem ir vienāds ar 90 0. Q.E.D.

12. problēma. Pierādīt, ja apli var ierakstīt četrstūrī, tad tā pretējo malu garumu summas ir vienādas.

Apzīmēts četrstūris. Sauksim to par ABCD. Lai M, E, X un L ir pieskares punkti

Pierādījums: Mēs izmantojam teorēmu par pieskares segmentiem (9. uzdevums). VC = VR, SR = CH, DX = D.L. Un AT = AK. Apkoposim puses AB Un CD: AB + CD= (A.M.+ M.B.) + (DX+ XC) = AL+ BE+ D.L.+ C.E.= (AL+ LD) + (BE+ E.C.) = AD+ B.C. Q.E.D.

13. problēma. Pierādīt, ka, ja apli var apvilkt ap četrstūri, tad tā pretējo leņķu summas ir vienādas.

Aplis

Pierādījums: Saskaņā ar ierakstītā leņķa teorēmu šī četrstūra pretējo leņķu summa ir vienāda ar 180 0, jo kopā tie balstās uz pilnu apli, kura pakāpes mērs ir 360 0. Q.E.D.

14. problēma. Pierādīt, ja ap trapeci var apvilkt apli, tad trapece ir vienādsānu.

Pierādījums: riņķī ierakstīta četrstūra pretējo leņķu summa ir vienāda ar α + β = 180 0 (skat. 13. uzdevumu), arī leņķu summa trapeces sānu malā ir vienāda ar α + γ = 180 0 (šie leņķi ir vienpusēji ar paralēlām pamatnēm un šķērsmalu), salīdzinot šīs formulas, mēs atklājam, ka β = γ , tas ir, šādas trapeces leņķi pie pamatnes ir vienādi, un tā patiešām ir vienādsānu. Q.E.D.

15. problēma. Kvadrātveida ABCD punktus UZ Un E- sānu viduspunkti AB Un AD attiecīgi. Pierādiet to KD perpendikulāri C.E..

1. teorēma . Ierakstītā leņķa lielums ir vienāds ar pusi no centrālā leņķa lieluma, ko aptver tas pats loks.

Pierādījums . Vispirms apskatīsim ierakstīto leņķi ABC, sānu B.C. kas ir apļa diametrs un centrālais leņķis AOC(5. att.).

Kopš segmentiem A.O. Un B.O. ir apļa rādiusi, tad trīsstūris AOB– vienādsānu un leņķi ABO vienāds ar leņķi OAB. Jo leņķis AOC ir trijstūra ārējais leņķis AOB, tad vienādības ir patiesas

Tādējādi gadījumā, ja viena no ierakstītā leņķa malām iet caur apļa centru, tiek pierādīta 1. teorēma.

Tagad apsveriet gadījumu, kad apļa centrs atrodas ierakstītā leņķa iekšpusē (6. att.).

un 1. teorēma šajā gadījumā ir pierādīta.

Atliek apsvērt gadījumu, kad apļa centrs atrodas ārpus ierakstītā leņķa (7. att.).

Šajā gadījumā vienādības ir patiesas

kas pabeidz 1. teorēmas pierādījumu.

2. teorēma . Leņķa lielums, ko veido krustošanās akordi, ir vienāds ar pusi no starp tā malām noslēgto loku lielumu summas.

Pierādījums . Apsveriet 8. attēlu.

Mūs interesē leņķis AED E akordi AB Un CD. Jo leņķis AED– trijstūra ārējais leņķis GULTA, un leņķi CDB Un ABD

Q.E.D.

3. teorēma . Leņķa lielums, ko veido ārpus apļa krustojošie sekanti, ir vienāds ar pusi no starp šī leņķa malām noslēgto loku izmēru starpības.

Pierādījums . Apsveriet 9. attēlu.

Mūs interesē leņķis GULTA, kas veidojas, krustojoties punktā E sekanti AB Un CD. Jo leņķis ADC– trijstūra ārējais leņķis ADE, un leņķi ADC , DCB Un DAB ir ierakstīti leņķi, tad vienādības ir patiesas

Q.E.D.

4. teorēma . Leņķa lielums, ko veido pieskares un horda, kas iet caur saskares punktu, ir vienāda ar pusi no loka lieluma, kas atrodas starp tā malām.

Pierādījums . Apsveriet 10. attēlu.

Mūs interesē leņķis BAC ko veido tangenss AB un akords A.C.. Tāpēc ka AD ir diametrs, kas iet caur saskares punktu, un leņķis ACD ir ierakstīts leņķis, kura pamatā ir diametrs, tad leņķi DAB Un DCA- taisni. Tāpēc vienādības ir patiesas

Q.E.D.

5. teorēma . Leņķa lielums, ko veido tangenss un sekants, ir vienāds ar pusi no starp šī leņķa malām noslēgto loku izmēru starpības.

Pierādījums . Apsveriet 11. attēlu.

Mūs interesē leņķis GULTA ko veido tangenss AB un sekants CD. Ņemiet vērā, ka leņķis BDC– trijstūra ārējais leņķis DBE, un leņķi BDC Un BCD ir ierakstīti leņķi. Turklāt leņķi DBE Un DCB, saskaņā ar 4. teorēmu, ir vienādi. Tāpēc vienādības ir patiesas

Instrukcijas

Ja trijstūriem ABC un DEF mala AB ir vienāda ar malu DE, un leņķi, kas atrodas blakus malai AB, ir vienādi ar leņķiem, kas atrodas blakus malai DE, tad šos trīsstūrus uzskata par kongruentiem.

Ja trijstūriem ABC ir malas AB, BC un CD, kas vienādas ar tām atbilstošajām trijstūra DEF malām, tad šie trijstūri ir kongruenti.

Piezīme

Ja jums ir jāpierāda divu taisnleņķa trīsstūru vienādība, to var izdarīt, izmantojot šādas taisnleņķa trijstūra vienādības zīmes:

Viena no kājām un hipotenūza;
- no divām zināmām pusēm;
- gar vienu no kājām un tai blakus esošo asu leņķi;
- gar hipotenūzu un vienu no asajiem leņķiem.

Trijstūri ir asi (ja visi tā leņķi ir mazāki par 90 grādiem), neasi (ja viens no tā leņķiem ir lielāks par 90 grādiem), vienādmalu un vienādsānu (ja divas tā malas ir vienādas).

Noderīgs padoms

Papildus tam, ka trīsstūri ir vienādi viens ar otru, tie paši trīsstūri ir līdzīgi. Līdzīgi trijstūri ir tādi, kuru leņķi ir vienādi viens ar otru, un viena trijstūra malas ir proporcionālas otra trijstūra malām. Ir vērts atzīmēt, ka, ja divi trīsstūri ir līdzīgi viens otram, tas negarantē to vienlīdzību. Sadalot līdzīgas trīsstūru malas vienu ar otru, tiek aprēķināts tā sauktais līdzības koeficients. Šo koeficientu var iegūt arī dalot līdzīgu trīsstūru laukumus.

Avoti:

• pierādīt trīsstūru laukumu vienādību

Divi trīsstūri ir vienādi, ja visi viena elementi ir vienādi ar otra elementiem. Bet, lai izdarītu secinājumu par to vienādību, nav jāzina visi trīsstūru izmēri. Pietiek ar noteiktiem parametru kopumiem dotajiem skaitļiem.

Instrukcijas

Ja ir zināms, ka viena trijstūra divas malas ir vienādas ar otru un leņķi starp šīm malām ir vienādi, tad attiecīgie trijstūri ir kongruenti. Lai to pierādītu, izlīdziniet divu figūru vienādu leņķu virsotnes. Turpiniet slāņošanu. No iegūtā punkta, kas ir kopīgs abiem trijstūriem, virziet vienu pārklājošā trīsstūra stūra malu gar apakšējās figūras atbilstošo malu. Pēc nosacījuma šīs abas puses ir vienādas. Tas nozīmē, ka segmentu gali sakritīs. Līdz ar to dotajos trīsstūros ir sakritis vēl viens virsotņu pāris. Leņķa, no kura tas sākās, otro malu virzieni sakritīs šo leņķu vienādības dēļ. Un tā kā šīs puses ir vienādas, pēdējā virsotne pārklājas. Starp diviem punktiem var novilkt vienu taisnu līniju. Tāpēc abu trīsstūru trešās malas sakritīs. Jūs esat saņēmis divas pilnīgi sakrītošas ​​figūras un pārbaudīto pirmo trīsstūru vienlīdzības zīmi.

Ja mala un divi blakus esošie leņķi vienā trijstūrī ir vienādi ar atbilstošajiem leņķiem citā trijstūrī, tad šie divi trijstūri ir kongruenti. Lai pierādītu šī apgalvojuma pareizību, novietojiet divas figūras, izlīdzinot vienādu leņķu virsotnes ar vienādām malām. Leņķu vienādības dēļ otrās un trešās malas virzieni sakritīs un tiks nepārprotami noteikta to krustošanās vieta, tas ir, pirmā trijstūra trešā virsotne noteikti sakritīs ar līdzīgu trijstūra punktu. otrais. Otrs trīsstūru vienādības kritērijs ir pierādīts.