Diezgan bieži mēs sastopamies ar paaugstinātas sarežģītības problēmām trigonometriskie vienādojumi, kas satur moduli. Lielākajai daļai no tām ir nepieciešama heiristiska pieeja risinājumam, kas lielākajai daļai skolēnu ir pilnīgi sveša.
Tālāk piedāvātās problēmas ir paredzētas, lai iepazīstinātu jūs ar tipiskākajām metodēm, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus, kas satur moduli.
1. uzdevums. Atrodiet vienādojuma 1 + 2sin x |cos x| mazākās pozitīvās un lielākās negatīvās saknes atšķirību (grādos). = 0.
Risinājums.
Izvērsīsim moduli:
1) Ja cos x ≥ 0, tad sākotnējais vienādojums būs 1 + 2sin x cos x = 0.
Izmantojot dubultā leņķa sinusa formulu, mēs iegūstam:
1 + grēks 2x = 0; grēks 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Tā kā cos x ≥ 0, tad x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Ja cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – grēks 2x = 0; grēks 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Tā kā cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) vienādojuma lielākā negatīvā sakne: -π/4; vienādojuma mazākā pozitīvā sakne: 5π/4.
Nepieciešamā starpība: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Atbilde: 270°.
2. uzdevums. Atrodiet (grādos) vienādojuma |tg x| mazāko pozitīvo sakni + 1/cos x = iedegums x.
Risinājums.
Izvērsīsim moduli:
1) Ja tan x ≥ 0, tad
iedegums x + 1/cos x = iedegums x;
Iegūtajam vienādojumam nav sakņu.
2) Ja tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 un cos x ≠ 0.
Izmantojot 1. attēlu un nosacījumu tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Vienādojuma mazākā pozitīvā sakne ir 5π/6. Pārvērsīsim šo vērtību grādos:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Atbilde: 150°.
3. uzdevums. Atrodiet vienādojuma sin |2x| dažādu sakņu skaitu = cos 2x intervālā [-π/2; π/2].
Risinājums.
Vienādojumu rakstīsim formā sin|2x| – cos 2x = 0 un apsveriet funkciju y = sin |2x| - jo 2x. Tā kā funkcija ir pāra, mēs atradīsim tās nulles, ja x ≥ 0.
sin 2x – cos 2x = 0; Sadalīsim abas vienādojuma puses ar cos 2x ≠ 0, iegūstam:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Izmantojot funkcijas paritāti, mēs atklājam, ka sākotnējā vienādojuma saknes ir formas skaitļi
± (π/8 + πn/2), kur n € Z.
Intervāls [-π/2; π/2] pieder pie skaitļiem: -π/8; π/8.
Tātad norādītajam intervālam pieder divas vienādojuma saknes.
Atbilde: 2.
Šo vienādojumu var atrisināt arī, atverot moduli.
4. uzdevums. Atrodiet vienādojuma sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x sakņu skaitu intervālā [-π; 2π].
Risinājums.
1) Aplūkosim gadījumu, kad 2cos x – 1 > 0, t.i. cos x > 1/2, tad vienādojums iegūst šādu formu:
sin x – grēks 2 x = grēks 2 x;
sin x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 vai 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 vai sin x = 1/2.
Izmantojot 2. attēlu un nosacījumu cos x > 1/2, mēs atrodam vienādojuma saknes:
x = π/6 + 2πn vai x = 2πn, n € Z.
2) Apsveriet gadījumu, kad 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
sin x + grēks 2 x = grēks 2 x;
x = 2πn, n € Z.
Izmantojot 2. attēlu un nosacījumu cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Apvienojot abus gadījumus, mēs iegūstam:
x = π/6 + 2πn vai x = πn.
3) Intervāls [-π; 2π] pieder pie saknēm: π/6; -π; 0; π; 2π.
Tādējādi dotajā intervālā ir piecas vienādojuma saknes.
Atbilde: 5.
5. uzdevums. Atrodiet vienādojuma sakņu skaitu (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 intervālā [-π; 2π].
Risinājums.
1) Ja sin x ≥ 0, tad sākotnējais vienādojums iegūst formu (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Pēc kopējā faktora sin x izņemšanas no iekavām iegūstam:
sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; tā kā (x – 0,7) 2 + 1 > 0 visiem reālajiem x, tad sinx = 0, t.i. x = πn, n € Z.
2) Ja grēks x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 vai (x – 0.7) 2 + 1 = 0. Tā kā sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0,7 = 1 vai x – 0,7 = -1, kas nozīmē, ka x = 1,7 vai x = -0,3.
Ņemot vērā nosacījumu sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, kas nozīmē, ka tikai skaitlis -0,3 ir sākotnējā vienādojuma sakne.
3) Intervāls [-π; 2π] pieder pie skaitļiem: -π; 0; π; 2π; -0.3.
Tādējādi vienādojumam ir piecas saknes noteiktā intervālā.
Atbilde: 5.
Stundām vai eksāmeniem var sagatavoties, izmantojot dažādus izglītības resursus, kas ir pieejami internetā. Šobrīd jebkurš 
cilvēkam vienkārši ir jāizmanto jaunas informācijas tehnoloģijas, jo to pareiza un, galvenais, atbilstošā izmantošana palīdzēs palielināt motivāciju mācību priekšmeta apguvē, vairos interesi un palīdzēs labāk asimilēt nepieciešamo materiālu. Taču neaizmirstiet, ka dators nemāca domāt, saņemtā informācija ir jāapstrādā, jāsaprot un jāatceras. Tāpēc varat vērsties pēc palīdzības pie mūsu tiešsaistes pasniedzējiem, kuri palīdzēs izdomāt, kā atrisināt jūs interesējošās problēmas.
Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja, reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!
tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.
Uzdevums Nr.1
Loģika ir vienkārša: mēs darīsim tāpat kā iepriekš, neatkarīgi no tā, ka tagad trigonometriskajām funkcijām ir sarežģītāks arguments!
Ja mums būtu jāatrisina formas vienādojums:
Tad mēs pierakstīsim šādu atbildi:
Vai (kopš)
Bet tagad mūsu lomu spēlē šis izteiciens:
Tad mēs varam rakstīt:
Mūsu mērķis ar jums ir nodrošināt, lai kreisā puse stāvētu vienkārši, bez jebkādiem “piemaisījumiem”!
Pamazām tiksim no tiem vaļā!
Pirmkārt, noņemsim saucēju: lai to izdarītu, reiziniet mūsu vienādību ar:
Tagad atbrīvosimies no tā, sadalot abas daļas:
Tagad atbrīvojamies no astoņiem:
Iegūto izteiksmi var uzrakstīt kā 2 risinājumu sērijas (pēc analoģijas ar kvadrātvienādojumu, kur mēs vai nu saskaitām, vai atņemam diskriminantu)
Mums jāatrod lielākā negatīvā sakne! Ir skaidrs, ka mums ir jāsakārto.
Vispirms apskatīsim pirmo sēriju:
Skaidrs, ja ņemsim, tad rezultātā saņemsim pozitīvus skaitļus, bet tie mūs neinteresē.
Tāpēc jums tas ir jāuztver negatīvi. Ļaujiet būt.
Kad sakne būs šaurāka:
Un mums jāatrod lielākais negatīvais!! Tas nozīmē, ka iet negatīvā virzienā šeit vairs nav jēgas. Un lielākā negatīvā sakne šai sērijai būs vienāda ar.
Tagad apskatīsim otro sēriju:
Un atkal mēs aizstājam: , tad:
Neesmu ieinteresēts!
Tad vairs nav jēgas palielināt! Samazināsim! Ļaujiet tad:
Der!
Ļaujiet būt. Tad
Tad - lielākā negatīvā sakne!
Atbilde:
Uzdevums Nr.2
Mēs atrisinām vēlreiz neatkarīgi no sarežģītā kosinusa argumenta:
Tagad mēs vēlreiz izsakām kreisajā pusē:
Reiziniet abas puses ar
Sadaliet abas puses ar
Atliek tikai pārvietot to pa labi, mainot tā zīmi no mīnusa uz plusu.
Mēs atkal iegūstam 2 sakņu sērijas, vienu ar un otru ar.
Mums jāatrod lielākā negatīvā sakne. Apskatīsim pirmo sēriju:
Ir skaidrs, ka mēs iegūsim pirmo negatīvo sakni pie, tā būs vienāda un būs lielākā negatīvā sakne 1 sērijā.
Par otro sēriju
Pirmā negatīvā sakne tiks iegūta arī pie un būs vienāda ar. Tā kā tad ir vienādojuma lielākā negatīvā sakne.
Atbilde: .
Uzdevums Nr.3
Mēs atrisinām neatkarīgi no sarežģītā pieskares argumenta.
Tagad tas nešķiet sarežģīti, vai ne?
Tāpat kā iepriekš, mēs izsakām kreisajā pusē:
Nu, tas ir lieliski, šeit ir tikai viena sakņu sērija! Atkal atrodam lielāko negatīvo.
Skaidrs, ka izrādās, ja noliek. Un šī sakne ir vienāda.
Atbilde:
Tagad mēģiniet pats atrisināt tālāk norādītās problēmas.
Mājas darbs vai 3 patstāvīgi risināmi uzdevumi.
- Atrisiniet vienādojumu.
- Atrisiniet vienādojumu.
Atbildē uz pi-shi-th-vismazāko iespējamo sakni. - Atrisiniet vienādojumu.
Atbildē uz pi-shi-th-vismazāko iespējamo sakni.
Vai esat gatavs? Pārbaudīsim. Es sīkāk neaprakstīšu visu risinājuma algoritmu, man šķiet, ka tam jau iepriekš ir pievērsta pietiekama uzmanība.
Nu, vai viss ir pareizi? Ak, tie nepatīkamie deguna blakusdobumi, ar tiem vienmēr ir kādas nepatikšanas!
Nu, tagad jūs varat atrisināt vienkāršus trigonometriskos vienādojumus!
Apskatiet risinājumus un atbildes:
Uzdevums Nr.1
Izteiksim
Mazāko pozitīvo sakni iegūst, ja liekam, kopš, tad
Atbilde:
Uzdevums Nr.2
Mazākā pozitīvā sakne tiek iegūta plkst.
Tas būs līdzvērtīgs.
Atbilde: .
Uzdevums Nr.3
Kad mēs saņemam, kad mums ir.
Atbilde: .
Šīs zināšanas palīdzēs atrisināt daudzas problēmas, ar kurām saskarsies eksāmenā.
Ja jūs piesakāties vērtējumam “5”, jums vienkārši jāturpina lasīt raksts par vidēja līmeņa kas būs veltīts sarežģītāku trigonometrisko vienādojumu risināšanai (uzdevums C1).
VIDĒJAIS LĪMENIS
Šajā rakstā es aprakstīšu sarežģītāku trigonometrisko vienādojumu risināšana un kā izvēlēties to saknes. Šeit es pievērsīšos šādām tēmām:
- Trigonometriskie vienādojumi iesācēju līmenim (skatīt iepriekš).
Sarežģītāki trigonometriskie vienādojumi ir progresīvu problēmu pamatā. Tie prasa gan paša vienādojuma atrisināšanu vispārējā formā, gan šī vienādojuma sakņu atrašanu, kas pieder noteiktam noteiktam intervālam.
Trigonometrisko vienādojumu risināšana sastāv no diviem apakšuzdevumiem:
- Vienādojuma atrisināšana
- Sakņu izvēle
Jāatzīmē, ka otrais ne vienmēr ir nepieciešams, taču lielākajā daļā piemēru izvēle joprojām ir nepieciešama. Bet, ja tas nav nepieciešams, mēs varam jums just līdzi - tas nozīmē, ka vienādojums pats par sevi ir diezgan sarežģīts.
Mana pieredze C1 problēmu analīzē liecina, ka tās parasti iedala šādās kategorijās.
Četras paaugstinātas sarežģītības uzdevumu kategorijas (agrāk C1)
- Vienādojumi, kas reducējas uz faktorizēšanu.
- Vienādojumi reducēti līdz formai.
- Vienādojumi atrisināti, mainot mainīgo.
- Vienādojumi, kas prasa papildu sakņu atlasi iracionalitātes vai saucēja dēļ.
Vienkārši sakot: ja tevi pieķers viens no pirmo trīs veidu vienādojumiem, tad uzskati sevi par laimīgu. Viņiem, kā likums, papildus ir jāizvēlas saknes, kas pieder noteiktam intervālam.
Ja jūs saskaraties ar 4. tipa vienādojumu, tad jums ir mazāk paveicies: ar to jāmācās ilgāk un rūpīgāk, taču diezgan bieži tas neprasa papildu sakņu atlasi. Tomēr es analizēšu šāda veida vienādojumus nākamajā rakstā, un šo es veltīšu pirmo trīs veidu vienādojumu risināšanai.
Vienādojumi, kas reducējas uz faktorizēšanu
Vissvarīgākā lieta, kas jums jāatceras, lai atrisinātu šāda veida vienādojumu, ir
Kā liecina prakse, parasti šīs zināšanas ir pietiekamas. Apskatīsim dažus piemērus:
1. piemērs. Vienādojums, kas reducēts līdz faktorizācijai, izmantojot reducēšanas un dubultleņķa sinusa formulas
- Atrisiniet vienādojumu
- Atrodiet visas šī vienādojuma saknes, kas atrodas virs griezuma
Šeit, kā es solīju, darbojas samazināšanas formulas:
Tad mans vienādojums izskatīsies šādi:
Tad manam vienādojumam būs šāda forma:
Tuvredzīgs students varētu teikt: tagad es samazināšu abas puses, iegūstu vienkāršāko vienādojumu un izbaudīšu dzīvi! Un viņš rūgti maldos!
| ATCERIETIES: JŪS NEKAD NEVARAT SAMAZINĀT ABAS TRIGONOMETRISKA VIENĀDOJUMA PUSES AR FUNKCIJU, KAS IETVER NEZINĀMU! TĀTAD JŪS ZAUDĒT SAKNES! |
Tātad, ko darīt? Jā, tas ir vienkārši, pārvietojiet visu uz vienu pusi un izņemiet kopējo faktoru:
Nu mēs to iekļāvām faktoros, urrā! Tagad pieņemsim lēmumu:
Pirmajam vienādojumam ir saknes:
Un otrais:
Tas pabeidz pirmo problēmas daļu. Tagad jums ir jāizvēlas saknes:
Atstarpe ir šāda:
Vai arī to var uzrakstīt šādi:
Nu, pieņemsim saknes:
Pirmkārt, strādāsim ar pirmo sēriju (un tā ir vienkāršāka, lai neteiktu vairāk!)
Tā kā mūsu intervāls ir pilnībā negatīvs, nav nepieciešams ņemt nenegatīvus, tie joprojām piešķirs nenegatīvas saknes.
Ņemam, tad - par daudz, nesit.
Ļaujiet tam būt - es to vairs netrāpīju.
Vēl viens mēģinājums - tad - jā, man izdevās! Pirmā sakne ir atrasta!
Es šauju vēlreiz: tad atkal trāpu!
Nu vēl vienu reizi: : - tas jau ir lidojums.
Tātad no pirmās sērijas ir 2 saknes, kas pieder intervālam: .
Strādājam ar otro sēriju (būvējam uz jaudu saskaņā ar noteikumu):
Nepieļauts!
Atkal pietrūkst!
Atkal pietrūkst!
Sapratu!
Lidojums!
Tādējādi manam intervālam ir šādas saknes:
Šis ir algoritms, ko izmantosim, lai atrisinātu visus pārējos piemērus. Praktizēsim kopā ar vēl vienu piemēru.
2. piemērs. Vienādojums, kas reducēts uz faktorizēšanu, izmantojot samazināšanas formulas
- Atrisiniet vienādojumu
Risinājums:
Atkal bēdīgi slavenās samazināšanas formulas:
Nemēģiniet vēlreiz samazināt!
Pirmajam vienādojumam ir saknes:
Un otrais:
Tagad atkal sakņu meklēšana.
Sākšu ar otro sēriju, es jau visu zinu par to no iepriekšējā piemēra! Apskatiet un pārliecinieties, vai intervālam piederošās saknes ir šādas:
Tagad pirmā sērija, un tas ir vienkāršāk:
Ja - piemērots
Ja arī tas ir labi
Ja tas jau ir lidojums.
Tad saknes būs šādas:
Patstāvīgs darbs. 3 vienādojumi.
Nu, vai tehnika jums ir skaidra? Vai trigonometrisko vienādojumu risināšana vairs nešķiet tik grūta? Pēc tam ātri pats atrisiniet šādas problēmas, un tad mēs atrisināsim citus piemērus:
- Atrisiniet vienādojumu
Atrodiet visas šī vienādojuma saknes, kas atrodas virs intervāla. - Atrisiniet vienādojumu
Norādiet vienādojuma saknes, kas atrodas virs griezuma - Atrisiniet vienādojumu
Atrodiet visas šī vienādojuma saknes, kas atrodas starp tām.
1. vienādojums.
Un atkal samazināšanas formula:
Pirmā sakņu sērija:
Otrā sakņu sērija:
Mēs sākam spraugas atlasi
Atbilde: , .
2. vienādojums. Patstāvīgā darba pārbaude.
Diezgan sarežģīta grupēšana faktoros (es izmantošu dubultā leņķa sinusa formulu):
tad vai
Šis ir vispārējs risinājums. Tagad mums ir jāizvēlas saknes. Problēma ir tāda, ka mēs nevaram noteikt precīzu leņķa vērtību, kura kosinuss ir vienāds ar vienu ceturtdaļu. Tāpēc es nevaru vienkārši atbrīvoties no loka kosinusa - tāds kauns!
Ko es varu darīt, ir izdomāt, ka tā, tā, tad.
Izveidosim tabulu: intervāls:
Ar sāpīgiem meklējumiem mēs nonācām pie neapmierinoša secinājuma, ka mūsu vienādojumam ir viena sakne norādītajā intervālā: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
3. vienādojums: Patstāvīgā darba pārbaude.
Biedējoša izskata vienādojums. Tomēr to var atrisināt pavisam vienkārši, izmantojot dubultā leņķa sinusa formulu:
Samazināsim to par 2:
Sagrupēsim pirmo terminu ar otro un trešo ar ceturto un noņemsim kopējos faktorus:
Ir skaidrs, ka pirmajam vienādojumam nav sakņu, un tagad aplūkosim otro:
Kopumā es grasījos nedaudz vēlāk pakavēties pie šādu vienādojumu risināšanas, bet, tā kā tas izrādījās, nav ko darīt, man tas ir jāatrisina...
Formas vienādojumi:
Šo vienādojumu atrisina, abas puses dalot ar:
Tādējādi mūsu vienādojumam ir viena sakņu sērija:
Mums jāatrod tie, kas pieder intervālam: .
Izveidosim tabulu vēlreiz, kā es to darīju iepriekš:
Atbilde: .
Vienādojumi reducēti līdz formai:
Nu, tagad ir pienācis laiks pāriet uz vienādojumu otro daļu, jo īpaši tāpēc, ka es jau esmu izskaidrojis, no kā sastāv jauna veida trigonometrisko vienādojumu risinājums. Bet ir vērts atkārtot, ka vienādojuma forma ir
Atrisināts, abas puses dalot ar kosinusu:
- Atrisiniet vienādojumu
Norādiet vienādojuma saknes, kas atrodas virs griezuma. - Atrisiniet vienādojumu
Norādiet vienādojuma saknes, kas atrodas starp tām.
1. piemērs.
Pirmais ir diezgan vienkāršs. Pārvietojieties pa labi un izmantojiet dubultā leņķa kosinusa formulu:
Jā! Formas vienādojums: . Es sadalu abas daļas ar
Veicam sakņu skrīningu:
Plaisa:
Atbilde:
2. piemērs.
Viss ir arī diezgan triviāls: atvērsim labajā pusē esošās iekavas:
Pamata trigonometriskā identitāte:
Dubultā leņķa sinuss:
Visbeidzot mēs iegūstam:
Sakņu skrīnings: intervāls.
Atbilde: .
Nu, kā jums patīk tehnika, vai tā nav pārāk sarežģīta? ES ceru ka nē. Mēs varam nekavējoties izdarīt atrunu: tīrā veidā vienādojumi, kas nekavējoties reducējas līdz tangensas vienādojumam, ir diezgan reti. Parasti šī pāreja (dalīšana ar kosinusu) ir tikai daļa no sarežģītākas problēmas. Šeit ir piemērs, ko praktizēt:
- Atrisiniet vienādojumu
- Atrodiet visas šī vienādojuma saknes, kas atrodas virs griezuma.
Pārbaudīsim:
Vienādojumu var atrisināt uzreiz, pietiek ar to, ka abas puses dala ar:
Sakņu skrīnings:
Atbilde: .
Vienā vai otrā veidā mums vēl nav jāsaskaras ar tāda veida vienādojumiem, ko tikko pārbaudījām. Tomēr vēl ir pāragri to saukt par dienu: joprojām ir vēl viens vienādojumu “slānis”, kuru neesam analizējuši. Tātad:
Trigonometrisko vienādojumu risināšana, mainot mainīgos
Šeit viss ir caurspīdīgs: mēs rūpīgi skatāmies uz vienādojumu, pēc iespējas vienkāršojam to, veicam aizstāšanu, atrisinām to, veicam apgriezto aizstāšanu! Vārdos viss ir ļoti vienkārši. Apskatīsim darbībā:
Piemērs.
- Atrisiniet vienādojumu:.
- Atrodiet visas šī vienādojuma saknes, kas atrodas virs griezuma.
Nu, lūk, pati nomaiņa mums sevi ierosina!
Tad mūsu vienādojums pārvērtīsies par šādu:
Pirmajam vienādojumam ir saknes:
Un otrais ir šāds:
Tagad atradīsim saknes, kas pieder intervālam
Atbilde: .
Apskatīsim nedaudz sarežģītāku piemēru kopā:
- Atrisiniet vienādojumu
- Norādiet dotā vienādojuma saknes, kas atrodas starp tām.
Šeit nomaiņa nav uzreiz redzama, turklāt tā nav īpaši acīmredzama. Vispirms padomāsim: ko mēs varam darīt?
Mēs, piemēram, varam iedomāties
Un tajā pašā laikā
Tad manam vienādojumam būs šāda forma:
Un tagad uzmanība, fokuss:
Sadalīsim abas vienādojuma puses ar:
Pēkšņi jums un man ir kvadrātvienādojuma radinieks! Veiksim nomaiņu, tad mēs iegūsim:
Vienādojumam ir šādas saknes:
Nepatīkama sakņu otrā sērija, bet neko nevar izdarīt! Mēs izvēlamies saknes intervālā.
Mums tas arī jāņem vērā
Kopš un tad
Atbilde:
Lai to nostiprinātu, pirms pats risinat problēmas, šeit ir vēl viens vingrinājums:
- Atrisiniet vienādojumu
- Atrodiet visas šī vienādojuma saknes, kas atrodas starp tām.
Šeit jums ir jātur acis vaļā: tagad mums ir saucēji, kas var būt nulle! Tāpēc jums ir jābūt īpaši uzmanīgam pret saknēm!
Pirmkārt, man ir jāpārkārto vienādojums, lai es varētu veikt piemērotu aizstāšanu. Es tagad nevaru iedomāties neko labāku kā pārrakstīt pieskares sinusa un kosinusa izteiksmē:
Tagad es pāriešu no kosinusa uz sinusu, izmantojot pamata trigonometrisko identitāti:
Un visbeidzot, es visu apvienošu pie kopsaucēja:
Tagad es varu pāriet uz vienādojumu:
Bet pie (tas ir, plkst).
Tagad viss ir gatavs nomaiņai:
Tad vai
Tomēr ņemiet vērā, ka, ja, tad tajā pašā laikā!
Kurš no tā cieš? Pieskares problēma ir tā, ka tā nav definēta, kad kosinuss ir vienāds ar nulli (notiek dalīšana ar nulli).
Tādējādi vienādojuma saknes ir:
Tagad mēs izsijājam saknes intervālā:
| - der | |
| - pārspīlēts |
Tādējādi mūsu vienādojumam šajā intervālā ir viena sakne, un tas ir vienāds.
Redziet: saucēja parādīšanās (tāpat kā pieskares, rada zināmas grūtības ar saknēm! Šeit jums jābūt uzmanīgākam!).
Nu, mēs ar jums gandrīz esam pabeiguši trigonometrisko vienādojumu analīzi; atlicis pavisam maz - pašam atrisināt divas problēmas. Šeit tie ir.
- Atrisiniet vienādojumu
Atrodiet visas šī vienādojuma saknes, kas atrodas virs griezuma. - Atrisiniet vienādojumu
Norādiet šī vienādojuma saknes, kas atrodas virs griezuma.
Izlemts? Vai tas nav ļoti grūti? Pārbaudīsim:
- Mēs strādājam pēc samazināšanas formulām:
Aizstāt vienādojumā:
Pārrakstīsim visu caur kosinusiem, lai būtu vieglāk veikt nomaiņu:
Tagad ir viegli veikt nomaiņu:
Ir skaidrs, ka tā ir sveša sakne, jo vienādojumam nav atrisinājumu. Pēc tam:
Intervālā meklējam vajadzīgās saknes
Atbilde: .
Šeit nomaiņa ir uzreiz redzama:Tad vai
- der! - der! - der! - der! - daudz! - arī daudz! Atbilde:
Nu, tas ir tagad! Taču ar to trigonometrisko vienādojumu risināšana nebeidzas, mēs atpaliekam vissarežģītākajos gadījumos: kad vienādojumos ir iracionalitāte vai dažāda veida “sarežģīti saucēji”. Kā atrisināt šādus uzdevumus, mēs apskatīsim rakstā augstākajam līmenim.
PAPILDINĀJUMS
Papildus trigonometriskajiem vienādojumiem, kas tika apspriesti iepriekšējos divos rakstos, mēs apsvērsim vēl vienu vienādojumu klasi, kas prasa vēl rūpīgāku analīzi. Šie trigonometriskie piemēri satur vai nu iracionalitāti, vai saucēju, kas padara to analīzi grūtāku. Tomēr jūs varat saskarties ar šiem vienādojumiem eksāmena darba C daļā. Tomēr katram mākonim ir sudraba odere: šādiem vienādojumiem, kā likums, vairs netiek izvirzīts jautājums par to, kura no tā saknēm pieder noteiktam intervālam. Nesitāsim pa krūmiem, bet ķersimies pie trigonometriskajiem piemēriem.
1. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu un atrodiet segmentam piederošās saknes.
Risinājums:
Mums ir saucējs, kas nedrīkst būt vienāds ar nulli! Tad šī vienādojuma atrisināšana ir tāda pati kā sistēmas atrisināšana
Atrisināsim katru no vienādojumiem:
Un tagad otrais:
Tagad apskatīsim sēriju:
Ir skaidrs, ka šī opcija mums nav piemērota, jo šajā gadījumā mūsu saucējs tiek atiestatīts uz nulli (skatiet otrā vienādojuma sakņu formulu)
Ja, tad viss ir kārtībā, un saucējs nav nulle! Tad vienādojuma saknes ir šādas: , .
Tagad mēs atlasām saknes, kas pieder intervālam.
| - nav piemērots | - der | |
| - der | - der | |
| pārspīlēts | pārspīlēts |
Tad saknes ir šādas:
Redziet, pat neliela traucējuma parādīšanās saucēja formā būtiski ietekmēja vienādojuma atrisinājumu: mēs atmetām virkni sakņu, kas anulēja saucēju. Lietas var kļūt vēl sarežģītākas, ja saskaraties ar neracionāliem trigonometriskiem piemēriem.
2. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu:
Risinājums:
Nu, vismaz jums nav jāatņem saknes, un tas ir labi! Vispirms atrisināsim vienādojumu neatkarīgi no iracionalitātes:
Tātad, vai tas ir viss? Nē, diemžēl, tas būtu pārāk viegli! Jāatceras, ka zem saknes var parādīties tikai nenegatīvi skaitļi. Pēc tam:
Šīs nevienlīdzības risinājums ir:
Tagad atliek noskaidrot, vai daļa no pirmā vienādojuma saknēm netīšām nonāca tur, kur nevienlīdzība nav spēkā.
Lai to izdarītu, atkal varat izmantot tabulu:
| : , Bet | Nē! | |
| Jā! | ||
| Jā! |
Tādējādi viena no manām saknēm “izkrita”! Tas izrādās, ja jūs to noliekat. Tad atbildi var uzrakstīt šādi:
Atbilde:
Redziet, sakne prasa vēl lielāku uzmanību! Padarīsim to sarežģītāku: tagad man zem saknes ir trigonometriskā funkcija.
3. piemērs.
Tāpat kā iepriekš: vispirms risināsim katru atsevišķi, un tad domāsim par paveikto.
Tagad otrais vienādojums:
Tagad visgrūtāk ir noskaidrot, vai zem aritmētiskās saknes tiek iegūtas negatīvas vērtības, ja tur aizvietojam saknes no pirmā vienādojuma:
Skaitlis ir jāsaprot kā radiāni. Tā kā radiāns ir aptuveni grādi, tad radiāni ir grādos. Šis ir otrās ceturtdaļas stūris. Kāda ir otrā ceturkšņa kosinusa zīme? Mīnuss. Kā ar sinusu? Plus. Tātad, ko mēs varam teikt par izteicienu:
Tas ir mazāks par nulli!
Tas nozīmē, ka tā nav vienādojuma sakne.
Tagad ir pienācis laiks.
Salīdzināsim šo skaitli ar nulli.
Kotangenss ir funkcija, kas samazinās par 1 ceturksni (jo mazāks arguments, jo lielāks kotangenss). radiāni ir aptuveni grādi. Tajā pašā laikā
kopš, tad un tāpēc
,
Atbilde: .
Vai tas varētu kļūt vēl sarežģītāk? Lūdzu! Tas būs grūtāk, ja sakne joprojām ir trigonometriskā funkcija, bet vienādojuma otrā daļa atkal ir trigonometriskā funkcija.
Jo vairāk trigonometrisku piemēru, jo labāk, skatiet tālāk:
4. piemērs.
Sakne nav piemērota ierobežotā kosinusa dēļ
Tagad otrais:
Tajā pašā laikā pēc saknes definīcijas:
Mums ir jāatceras vienības aplis: proti, tie ceturtdaļas, kur sinuss ir mazāks par nulli. Kas ir šie kvartāli? Trešais un ceturtais. Tad mūs interesē tie pirmā vienādojuma risinājumi, kas atrodas trešajā vai ceturtajā ceturksnī.
Pirmā sērija dod saknes, kas atrodas trešā un ceturtā ceturkšņa krustojumā. Otrā sērija - diametrāli pretēja tai - rada saknes, kas atrodas uz pirmā un otrā ceturkšņa robežas. Tāpēc šī sērija mums nav piemērota.
Atbilde: ,
Un atkal trigonometriski piemēri ar "sarežģītu iracionalitāti". Mums ne tikai atkal ir trigonometriskā funkcija zem saknes, bet tagad tā ir arī saucējā!
5. piemērs.
Nu neko nevar darīt – darām kā agrāk.
Tagad mēs strādājam ar saucēju:
Es nevēlos atrisināt trigonometrisko nevienlīdzību, tāpēc izdarīšu kaut ko viltīgu: ņemšu un aizstāju savu sakņu sēriju ar nevienlīdzību:
Ja - ir pāra, tad mums ir:
jo visi skata leņķi atrodas ceturtajā ceturksnī. Un atkal svētais jautājums: kāda ir sinusa zīme ceturtajā ceturksnī? Negatīvs. Tad nevienlīdzība
Ja - nepāra, tad:
Kurā ceturksnī atrodas leņķis? Šis ir otrās ceturtdaļas stūris. Tad visi stūri atkal ir otrās ceturtdaļas stūri. Sinuss tur ir pozitīvs. Tieši tas, kas jums nepieciešams! Tātad sērija:
Der!
Ar otro sakņu sēriju mēs rīkojamies tādā pašā veidā:
Mēs aizstājam savu nevienlīdzību:
Ja - pat, tad
Pirmās ceturtdaļas stūri. Sinuss ir pozitīvs, kas nozīmē, ka sērija ir piemērota. Tagad, ja - nepāra, tad:
der arī!
Nu, tagad mēs pierakstām atbildi!
Atbilde:
Nu, šis, iespējams, bija darbietilpīgākais gadījums. Tagad es piedāvāju jums problēmas atrisināt pašiem.
Apmācība
- Atrisiniet un atrodiet visas segmentam piederošās vienādojuma saknes.
Risinājumi:
Pirmais vienādojums:
vai
Saknes ODZ:Otrais vienādojums:
Intervālam piederošo sakņu atlase
Atbilde:
Or
vai
Bet
Apsvērsim:. Ja - pat, tad
- neder!
Ja - nepāra, : - piemērots!
Tas nozīmē, ka mūsu vienādojumam ir šādas sakņu sērijas:
vai
Sakņu izvēle intervālā:
| - nav piemērots | - der | |
| - der | - daudz | |
| - der | daudz |
Atbilde: , .
Or
Kopš tā laika tangenss nav definēts. Mēs nekavējoties atmetam šo sakņu sēriju!
Otrā daļa:
Tajā pašā laikā, pēc DZ domām, tas tiek prasīts
Mēs pārbaudām saknes, kas atrodamas pirmajā vienādojumā:
Ja zīme:
Pirmā ceturkšņa leņķi, kur tangensa ir pozitīva. Neder!
Ja zīme:
Ceturtās ceturtdaļas stūris. Tur tangenss ir negatīvs. Der. Mēs pierakstām atbildi:
Atbilde: , .
Šajā rakstā mēs kopā esam aplūkojuši sarežģītus trigonometriskos piemērus, taču vienādojumi ir jāatrisina pašam.
KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULAS
Trigonometriskais vienādojums ir vienādojums, kurā nezināmais ir stingri zem trigonometriskās funkcijas zīmes.
Ir divi veidi, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus:
Pirmais veids ir izmantot formulas.
Otrais veids ir caur trigonometrisko apli.
Ļauj izmērīt leņķus, atrast to sinusus, kosinusus utt.
