Lai uzzinātu, kā atrast divu vai vairāku skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, jums ir jāsaprot, kas ir dabiskie, pirmskaitļi un kompleksie skaitļi.

Dabisks skaitlis ir jebkurš skaitlis, ko izmanto veselu skaitļu skaitīšanai.

Ja naturālu skaitli var dalīt tikai ar sevi un vienu, tad to sauc par pirmskaitļu.

Visus naturālos skaitļus var dalīt paši ar vienu, bet vienīgais pāra pirmskaitlis ir 2, visus pārējos pirmskaitļus var dalīt ar divi. Tāpēc pirmskaitļi var būt tikai nepāra skaitļi.

Ir daudz pirmskaitļu, nav pilnīga to saraksta. Lai atrastu GCD, ir ērti izmantot īpašas tabulas ar šādiem numuriem.

Lielāko daļu naturālo skaitļu var dalīt ne tikai ar vienu, paši, bet arī ar citiem skaitļiem. Tā, piemēram, skaitli 15 var dalīt ar 3 un 5. Tos visus sauc par skaitļa 15 dalītājiem.

Tādējādi jebkura A dalītājs ir skaitlis, ar kuru to var dalīt bez atlikuma. Ja skaitlim ir vairāk nekā divi dabiskie dalītāji, to sauc par saliktu.

Skaitlim 30 ir tādi dalītāji kā 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Var redzēt, ka skaitļiem 15 un 30 ir vienādi dalītāji 1, 3, 5, 15. Šo divu skaitļu lielākais kopīgais dalītājs ir 15.

Tādējādi skaitļu A un B kopējais dalītājs ir skaitlis, ar kuru jūs varat tos pilnībā sadalīt. Maksimumu var uzskatīt par maksimālo kopējo skaitu, ar kuru tos var dalīt.

Lai atrisinātu problēmas, tiek izmantots šāds saīsināts uzraksts:

GCD (A; B).

Piemēram, GCD (15; 30) = 30.

Lai pierakstītu visus naturāla skaitļa dalītājus, izmanto apzīmējumu:

D(15) = (1, 3, 5, 15)

gcd (9; 15) = 1

Šajā piemērā naturāliem skaitļiem ir tikai viens kopīgs dalītājs. Tos attiecīgi sauc par koprime, vienība ir to lielākais kopīgais dalītājs.

Kā atrast lielāko kopējo skaitļu dalītāju

Lai atrastu vairāku skaitļu GCD, jums ir nepieciešams:

Atrodiet katra naturālā skaitļa visus dalītājus atsevišķi, tas ir, sadaliet tos faktoros (pirmskaitļos);

Dotajiem skaitļiem atlasiet visus tos pašus faktorus;

Reiziniet tos kopā.

Piemēram, lai aprēķinātu lielāko kopējo dalītāju 30 un 56, jums jāraksta šādi:

Lai neapjuktu ar , ir ērti rakstīt reizinātājus, izmantojot vertikālās kolonnas. Līnijas kreisajā pusē jāievieto dividende, bet labajā pusē - dalītājs. Zem dividendes jānorāda iegūtais koeficients.

Tātad labajā kolonnā būs visi risinājumam nepieciešamie faktori.

Ērtības labad var pasvītrot identiskus dalītājus (atrastus faktorus). Tie ir jāpārraksta un jāreizina un jāpieraksta lielākais kopējais dalītājs.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

Tiešām ir tik vienkārši atrast lielāko kopējo skaitļu dalītāju. Nedaudz praktizējot, jūs to varat izdarīt gandrīz automātiski.

Tiek izsaukts lielākais naturālais skaitlis, ar kuru skaitļi a un b dalās bez atlikuma lielākais kopīgais dalītājsšie skaitļi. Apzīmē GCD(a, b).

Apsveriet iespēju atrast GCD, izmantojot divu naturālu skaitļu 18 un 60 piemēru:

1 Sadalīsim skaitļus primārajos faktoros:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Izdzēšot no pirmā skaitļa izvērsuma visus faktorus, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā, mēs iegūstam 2×3×3 .

3 Mēs reizinām atlikušos primāros koeficientus pēc izsvītrošanas un iegūstam lielāko kopējo skaitļu dalītāju: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Ņemiet vērā, ka nav nozīmes no pirmā vai otrā skaitļa, ko mēs izsvītrosim, rezultāts būs tāds pats:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 un 432

Sadalīsim skaitļus galvenajos faktoros:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Izdzēšot no pirmā skaitļa, kura faktori nav otrajā un trešajā ciparā, iegūstam:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

GCD( 324 , 111 , 432 )=3

GCD atrašana ar Eiklida algoritmu

Otrs veids, kā atrast lielāko kopīgo dalītāju, izmantojot Eiklida algoritms. Eiklida algoritms ir visefektīvākais veids, kā atrast GCD, izmantojot to, jums pastāvīgi jāatrod skaitļu sadalījuma atlikums un jāpiemēro atkārtota formula.

Atkārtota formula GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), kur a mod b ir atlikums, dalot a ar b.

Eiklida algoritms

Piemērs Atrodiet lielāko kopējo skaitļu dalītāju 7920 un 594

Atradīsim GCD( 7920 , 594 ) izmantojot Eiklida algoritmu, mēs aprēķināsim atlikušo dalījuma daļu, izmantojot kalkulatoru.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod. 594 = 7920 — 13 × 594 = 198
• 594 mod. 198 = 594 — 3 × 198 = 0

Rezultātā mēs iegūstam GCD( 7920 , 594 ) = 198

Vismazāk sastopamais daudzkārtnis

Lai, saskaitot un atņemot daļskaitļus ar dažādiem saucējiem, atrastu kopsaucēju, ir jāzina un jāprot aprēķināt vismazākais daudzkārtnis(NOC).

Skaitļa "a" daudzkārtnis ir skaitlis, kas pats dalās ar skaitli "a" bez atlikuma.

Skaitļi, kas reizinās ar 8 (tas ir, šie skaitļi tiks dalīti ar 8 bez atlikuma): tie ir skaitļi 16, 24, 32 ...

Vairāki no 9: 18, 27, 36, 45…

Atšķirībā no viena un tā paša skaitļa dalītājiem ir bezgalīgi daudz skaitļa a daudzkārtņu. Dalītāji – galīgs skaitlis.

Divu naturālu skaitļu kopīgs daudzkārtnis ir skaitlis, kas vienmērīgi dalās ar abiem šiem skaitļiem..

Vismazāk sastopamais daudzkārtnis Divu vai vairāku naturālu skaitļu skaitlis (LCM) ir mazākais dabiskais skaitlis, kas dalās ar katru no šiem skaitļiem.

Kā atrast NOC

LCM var atrast un rakstīt divos veidos.

Pirmais veids, kā atrast LCM

Šo metodi parasti izmanto maziem skaitļiem.

1. Mēs izrakstām reizinājumus katram no rindā esošajiem skaitļiem, līdz tiek iegūts reizinājums, kas ir vienāds abiem skaitļiem.
2. Skaitļa "a" daudzkārtnis tiek apzīmēts ar lielo burtu "K".

Piemērs. Atrodiet LCM 6 un 8.

Otrs veids, kā atrast LCM

Šo metodi ir ērti izmantot, lai atrastu LCM trim vai vairākiem numuriem.

Identisku faktoru skaits skaitļu izvērsumos var būt atšķirīgs.

Mazākā skaitļa izvēršanā (mazāki skaitļi) pasvītrojiet faktorus, kas netika iekļauti lielākā skaitļa izvēršanā (mūsu piemērā tas ir 2), un pievienojiet šos faktorus lielākā skaitļa izvēršanai.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Ierakstiet iegūto darbu atbildē.
Atbilde: LCM (24, 60) = 120

Varat arī formalizēt vismazākā daudzkārtņa (LCM) atrašanu šādi. Atradīsim LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Kā redzams no skaitļu izvērsuma, visi 12 faktori ir iekļauti 24 (lielākais no skaitļiem) izvērsumā, tāpēc no skaitļa 16 izvērsuma LCM pievienojam tikai vienu 2.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Atbilde: LCM (12, 16, 24) = 48

Īpaši NOC atrašanas gadījumi

Ja viens no skaitļiem vienmērīgi dalās ar citiem, tad šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir vienāds ar šo skaitli.

Piemēram, LCM(60, 15) = 60
Tā kā kopskaitļiem nav kopīgu pirmskaitļu dalītāju, to mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar šo skaitļu reizinājumu.

Mūsu vietnē varat arī izmantot īpašu kalkulatoru, lai tiešsaistē atrastu vismazāko reizinātāju un pārbaudītu savus aprēķinus.

Ja naturāls skaitlis dalās tikai ar 1 un pats sevi, tad to sauc par pirmskaitli.

Jebkurš naturāls skaitlis vienmēr dalās ar 1 un pats sevi.

Skaitlis 2 ir mazākais pirmskaitlis. Šis ir vienīgais pāra pirmskaitlis, pārējie pirmskaitļi ir nepāra.

Ir daudz pirmskaitļu, un pirmais no tiem ir skaitlis 2. Tomēr pēdējā pirmskaitļa nav. Sadaļā "Mācībām" varat lejupielādēt pirmskaitļu tabulu līdz 997.

Bet daudzi naturālie skaitļi vienmērīgi dalās ar citiem naturāliem skaitļiem.

• skaitlis 12 dalās ar 1, ar 2, ar 3, ar 4, ar 6, ar 12;
• 36 dalās ar 1, ar 2, ar 3, ar 4, ar 6, ar 12, ar 18, ar 36.

Skaitļus, ar kuriem skaitlis dalās vienmērīgi (12 tie ir 1, 2, 3, 4, 6 un 12), sauc par skaitļa dalītājiem.

Naturāla skaitļa a dalītājs ir tāds naturāls skaitlis, kas dala doto skaitli "a" bez atlikuma.

Dabisku skaitli, kuram ir vairāk nekā divi faktori, sauc par saliktu skaitli.

Ņemiet vērā, ka skaitļiem 12 un 36 ir kopīgi dalītāji. Tie ir skaitļi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Lielākais šo skaitļu dalītājs ir 12.

Divu doto skaitļu "a" un "b" kopējais dalītājs ir skaitlis, ar kuru abi dotie skaitļi "a" un "b" tiek dalīti bez atlikuma.

Lielākais kopīgais dalītājs(GCD) no diviem dotajiem skaitļiem "a" un "b" ir lielākais skaitlis, ar kuru abi skaitļi "a" un "b" dalās bez atlikuma.

Īsumā skaitļu "a" un "b" lielākais kopīgais dalītājs ir uzrakstīts šādi:

Piemērs: gcd (12; 36) = 12 .

Atrisinājuma ierakstā skaitļu dalītājus apzīmē ar lielo burtu "D".

Cipariem 7 un 9 ir tikai viens kopīgs dalītājs - skaitlis 1. Tādus numurus sauc pirmskaitļi.

Kopirma skaitļi ir naturāli skaitļi, kuriem ir tikai viens kopīgs dalītājs - skaitlis 1. Viņu GCD ir 1.

Kā atrast lielāko kopīgo dalītāju

Lai atrastu divu vai vairāku naturālu skaitļu gcd, jums ir nepieciešams:

• sadalīt skaitļu dalītājus pirmfaktoros;

Aprēķini ir ērti rakstīti, izmantojot vertikālu joslu. Pa kreisi no rindas vispirms pierakstiet dividendi, pa labi - dalītāju. Tālāk kreisajā kolonnā pierakstām privātās vērtības.

Tūlīt paskaidrosim ar piemēru. Faktorizēsim skaitļus 28 un 64 primārajos faktoros.

Pasvītrojiet tos pašus galvenos faktorus abos skaitļos.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Atrodam identisku pirmfaktoru reizinājumu un pierakstām atbildi;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Atbilde: GCD (28; 64) = 4

GCD atrašanās vietu var sakārtot divos veidos: kolonnā (kā tas tika darīts iepriekš) vai "rindā".

Pirmais veids, kā rakstīt GCD

Atrodiet GCD 48 un 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Otrs veids, kā rakstīt GCD

Tagad ierakstīsim GCD meklēšanas risinājumu rindā. Atrodiet GCD 10 un 15.

Mūsu informācijas vietnē jūs varat arī atrast lielāko kopīgo dalītāju tiešsaistē, izmantojot palīgprogrammu, lai pārbaudītu aprēķinus.

LCM atrašanas metožu, piemēru atrašana.

Tālāk sniegtais materiāls ir loģisks turpinājums teorijai no raksta ar virsrakstu LCM — vismazāk izplatītais, definīcija, piemēri, attiecības starp LCM un GCD. Šeit mēs runāsim par mazākā kopīgā reizinājuma atrašana (LCM), un īpašu uzmanību pievērsiet piemēru risināšanai. Vispirms parādīsim, kā divu skaitļu LCM tiek aprēķināts šo skaitļu GCD izteiksmē. Pēc tam apsveriet iespēju atrast vismazāko kopējo reizinātāju, skaitļus ierēķinot primārajos faktoros. Pēc tam mēs koncentrēsimies uz trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašanu, kā arī pievērsīsim uzmanību negatīvo skaitļu LCM aprēķinam.

Lapas navigācija.

Vismazākā daudzkārtņa (LCM) aprēķins, izmantojot gcd

Viens no veidiem, kā atrast vismazāko kopskaitu, ir balstīts uz LCM un GCD saistību. Esošās attiecības starp LCM un GCD ļauj aprēķināt divu pozitīvu veselu skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju, izmantojot zināmo lielāko kopīgo dalītāju. Atbilstošajai formulai ir forma LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Apsveriet piemērus LCM atrašanai saskaņā ar iepriekš minēto formulu.

Atrodiet divu skaitļu 126 un 70 mazāko kopīgo daudzkārtni.

Šajā piemērā a=126 , b=70 . Izmantosim LCM saiti ar GCD, ko izsaka ar formulu LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Tas ir, vispirms ir jāatrod lielākais skaitļu 70 un 126 kopējais dalītājs, pēc kura mēs varam aprēķināt šo skaitļu LCM pēc rakstītās formulas.

Atrodiet gcd(126, 70), izmantojot Eiklida algoritmu: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , tātad gcd(126, 70)=14 .

Tagad mēs atrodam nepieciešamo mazāko kopējo daudzkārtni: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Kas ir LCM(68, 34)?

Tā kā 68 vienmērīgi dalās ar 34 , tad gcd(68, 34)=34 . Tagad mēs aprēķinām mazāko kopējo daudzkārtni: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Ņemiet vērā, ka iepriekšējais piemērs atbilst šādam noteikumam LCM atrašanai pozitīviem veseliem skaitļiem a un b: ja skaitlis a dalās ar b , tad šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir a .

LCM atrašana, iedalot skaitļus galvenajos faktoros

Vēl viens veids, kā atrast vismazāko reizinātāju, ir skaitļu iekļaušana primārajos faktoros. Ja veidojam visu šo skaitļu pirmkoeficientu reizinājumu, pēc kura izslēdzam no šī reizinājuma visus kopīgos pirmfaktorus, kas ir šo skaitļu izvērsumos, tad iegūtais reizinājums būs vienāds ar šo skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni.

Paziņotais noteikums LCM atrašanai izriet no vienādības LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Patiešām, skaitļu a un b reizinājums ir vienāds ar visu to faktoru reizinājumu, kas iesaistīti skaitļu a un b paplašināšanā. Savukārt gcd(a, b) ir vienāds ar visu pirmfaktoru reizinājumu, kas vienlaicīgi atrodas skaitļu a un b izvērsumos (kas aprakstīts sadaļā par gcd atrašanu, izmantojot skaitļu sadalīšanu pirmfaktoros ).

Ņemsim piemēru. Ļaujiet mums zināt, ka 75 = 3 5 5 un 210 = 2 3 5 7 . Sastādiet visu šo paplašinājumu faktoru reizinājumu: 2 3 3 5 5 5 7 . Tagad mēs no šī produkta izslēdzam visus faktorus, kas ir gan skaitļa 75, gan skaitļa 210 paplašināšanā (šādi faktori ir 3 un 5), tad produkts iegūs formu 2 3 5 5 7 . Šī reizinājuma vērtība ir vienāda ar 75 un 210 mazāko kopējo daudzkārtni, tas ir, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

Pēc skaitļu 441 un 700 ierēķināšanas primārajos faktoros atrodiet šo skaitļu mazāko kopīgo daudzkārtni.

Sadalīsim skaitļus 441 un 700 primārajos faktoros:

Mēs iegūstam 441 = 3 3 7 7 un 700 = 2 2 5 5 7 .

Tagad izveidosim visu faktoru reizinājumu, kas saistīti ar šo skaitļu izvēršanu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Izslēgsim no šī produkta visus faktorus, kas vienlaikus ir abos paplašinājumos (tāds faktors ir tikai viens - tas ir skaitlis 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Tātad LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100.

Noteikumu LCM atrašanai, izmantojot skaitļu sadalīšanu primārajos faktoros, var formulēt nedaudz savādāk. Ja trūkstošos faktorus no skaitļa b izvērsuma pieskaita faktoriem no skaitļa a izvērsuma, tad iegūtā reizinājuma vērtība būs vienāda ar skaitļu a un b mazāko kopīgo daudzkārtni.

Piemēram, ņemsim visus tos pašus skaitļus 75 un 210, to izvērsumi pirmfaktoros ir šādi: 75=3 5 5 un 210=2 3 5 7 . Pie faktoriem 3, 5 un 5 no skaitļa 75 izvērsuma pieskaitām trūkstošos faktorus 2 un 7 no skaitļa 210 izvērsuma, iegūstam reizinājumu 2 3 5 5 7 , kura vērtība ir LCM(75 , 210) .

Atrodiet skaitļu 84 un 648 mazāko kopīgo daudzkārtni.

Vispirms mēs iegūstam skaitļu 84 un 648 sadalīšanos pirmfaktoros. Tie izskatās šādi: 84=2 2 3 7 un 648=2 2 2 3 3 3 3. Pie faktoriem 2 , 2 , 3 un 7 no skaitļa 84 dekompozīcijas pievienojam trūkstošos faktorus 2 , 3 , 3 un 3 no skaitļa 648 dekompozīcijas , iegūstam reizinājumu 2 2 2 3 3 3 3 7 , kas ir vienāds ar 4 536 . Tādējādi vēlamais skaitļu 84 un 648 mazākais kopīgais reizinājums ir 4536.

Trīs vai vairāku skaitļu LCM atrašana

Trīs vai vairāku skaitļu mazāko kopīgo reizinājumu var atrast, secīgi atrodot divu skaitļu LCM. Atgādiniet atbilstošo teorēmu, kas dod iespēju atrast trīs vai vairāk skaitļu LCM.

Ja ir doti pozitīvi veseli skaitļi a 1 , a 2 , …, a k, šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis m k tiek atrasts secīgajā aprēķinā m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Apsveriet šīs teorēmas piemērošanu četru skaitļu mazākā kopīgā daudzkāršā atrašanas piemērā.

Atrodiet četru skaitļu 140, 9, 54 un 250 LCM.

Vispirms atrodam m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Lai to izdarītu, izmantojot Eiklīda algoritmu, mēs nosakām gcd(140, 9) , mums ir 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , tāpēc gcd( 140, 9) = 1 , no kurienes LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . Tas ir, m 2 = 1 260 .

Tagad mēs atrodam m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Aprēķināsim to caur gcd(1 260, 54) , ko arī nosaka Eiklida algoritms: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tad gcd(1260,54)=18, no kurienes LCM(1260,54)=126054:gcd(1260,54)=1260 54:18=3780. Tas ir, m 3 \u003d 3 780.

Atliek atrast m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Lai to izdarītu, mēs atrodam GCD(3 780, 250), izmantojot Eiklida algoritmu: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Tāpēc gcd(3780,250)=10, tātad LCM(3780,250)=3780250:gcd(3780,250)=3780 250:10=94500. Tas ir, m 4 \u003d 94 500.

Tātad sākotnējo četru skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir 94 500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

Daudzos gadījumos trīs vai vairāku skaitļu mazāko kopējo reizinātāju var ērti atrast, izmantojot doto skaitļu primārās faktorizācijas. Šajā gadījumā ir jāievēro šāds noteikums. Vairāku skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar reizinājumu, ko veido šādi: trūkstošos faktorus no otrā skaitļa paplašināšanas pieskaita visiem faktoriem no pirmā skaitļa paplašināšanas, trūkstošos faktorus no skaitļa paplašināšanas. iegūtajiem faktoriem tiek pievienots trešais skaitlis utt.

Apsveriet piemēru, kā atrast vismazāko kopējo reizinātāju, izmantojot skaitļu sadalīšanu primārajos faktoros.

Atrodiet piecu skaitļu 84, 6, 48, 7, 143 mazāko kopīgo reizinātāju.

Vispirms iegūstam šo skaitļu sadalīšanos pirmfaktoros: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 ir pirmskaitlis, tas sakrīt ar tā sadalīšanos pirmfaktoros) un 143=11 13 .

Lai atrastu šo skaitļu LCM, pirmā skaitļa 84 faktoriem (tie ir 2 , 2 , 3 un 7) jāpievieno trūkstošie faktori no otrā skaitļa 6 izvērsuma. Skaitļa 6 izvērsumā nav iztrūkstošu faktoru, jo gan 2, gan 3 jau ir klāt pirmā skaitļa 84 izvērsumā. Tālāk pie faktoriem 2 , 2 , 3 un 7 pievienojam trūkstošos faktorus 2 un 2 no trešā skaitļa 48 izvērsuma , iegūstam faktoru kopu 2 ​​, 2 , 2 , 2 , 3 un 7 . Nākamajā darbībā šai kopai nav jāpievieno faktori, jo 7 tajā jau ir iekļauts. Visbeidzot, faktoriem 2 , 2 , 2 , 2 , 3 un 7 mēs pievienojam trūkstošos faktorus 11 un 13 no skaitļa 143 izvērsuma. Mēs iegūstam reizinājumu 2 2 2 2 3 7 11 13 , kas ir vienāds ar 48 048 .

Tāpēc LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

Visretāk sastopamā negatīvo skaitļu daudzuma atrašana

Dažkārt ir uzdevumi, kuros jāatrod mazākais kopīgs skaitļu daudzkārtnis, starp kuriem viens, vairāki vai visi skaitļi ir negatīvi. Šādos gadījumos visi negatīvie skaitļi jāaizstāj ar pretējiem skaitļiem, pēc tam jāatrod pozitīvo skaitļu LCM. Tas ir veids, kā atrast negatīvo skaitļu LCM. Piemēram, LCM(54, –34)=LCM(54, 34) un LCM(–622, –46, –54, –888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Mēs to varam izdarīt, jo a daudzkārtņu kopa ir tāda pati kā −a daudzkārtņu kopa (a un −a ir pretēji skaitļi). Patiešām, pieņemsim, ka b ir kāds a daudzkārtnis, tad b dalās ar a , un dalāmības jēdziens apliecina tāda vesela skaitļa q esamību, ka b=a q . Taču būs patiesa arī vienādība b=(−a)·(−q), kas, pamatojoties uz to pašu dalāmības jēdzienu, nozīmē, ka b dalās ar −a , tas ir, b ir −a daudzkārtnis. Patiess ir arī apgrieztais apgalvojums: ja b ir kāds −a daudzkārtnis, tad b ir arī a daudzkārtnis.

Atrodiet negatīvo skaitļu −145 un −45 mazāko kopīgo daudzkārtni.

Aizstāsim negatīvos skaitļus –145 un –45 ar tiem pretējiem skaitļiem 145 un 45 . Mums ir LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Nosakot gcd(145, 45)=5 (piemēram, izmantojot Eiklida algoritmu), mēs aprēķinām LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305. Tādējādi negatīvo veselo skaitļu –145 un –45 mazākais kopīgais daudzkārtnis ir 1,305 .

www.cleverstudents.ru

Mēs turpinām mācīties nodaļu. Šajā nodarbībā mēs aplūkosim tādus jēdzienus kā GCD un NOC.

GCD ir lielākais kopīgais dalītājs.

NOC ir mazākais kopīgais daudzkārtnis.

Tēma ir diezgan garlaicīga, bet tas ir jāsaprot. Neizprotot šo tēmu, jūs nevarēsiet efektīvi strādāt ar daļskaitļiem, kas matemātikā ir reāls šķērslis.

Lielākais kopīgais dalītājs

Definīcija. Lielākais kopējais skaitļu dalītājs a un b a un b sadalīts bez atlikuma.

Lai labi izprastu šo definīciju, mainīgo vietā mēs aizvietojam a un b piemēram, jebkuri divi skaitļi mainīgā vietā a aizstājiet skaitli 12 un mainīgā vietā b numurs 9. Tagad mēģināsim izlasīt šo definīciju:

Lielākais kopējais skaitļu dalītājs 12 un 9 ir lielākais skaitlis, pēc kura 12 un 9 sadalīts bez atlikuma.

No definīcijas ir skaidrs, ka mēs runājam par kopīgu skaitļu 12 un 9 dalītāju, un šis dalītājs ir lielākais no visiem esošajiem dalītājiem. Šis lielākais kopējais dalītājs (gcd) ir jāatrod.

Lai atrastu divu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, tiek izmantotas trīs metodes. Pirmā metode ir diezgan laikietilpīga, taču tā ļauj labi izprast tēmas būtību un sajust visu tās nozīmi.

Otrā un trešā metode ir diezgan vienkārša un ļauj ātri atrast GCD. Mēs apsvērsim visas trīs metodes. Un ko piemērot praksē - jūs izvēlaties.

Pirmais veids ir atrast visus iespējamos divu skaitļu dalītājus un izvēlēties lielāko no tiem. Apskatīsim šo metodi šādā piemērā: atrodiet skaitļu 12 un 9 lielāko kopīgo dalītāju.

Pirmkārt, mēs atrodam visus iespējamos skaitļa 12 dalītājus. Lai to izdarītu, mēs sadalām 12 visos dalītājos diapazonā no 1 līdz 12. Ja dalītājs ļauj dalīt 12 bez atlikuma, tad mēs to iezīmēsim zilā krāsā un iekavās sniedziet atbilstošu skaidrojumu.

12: 1 = 12
(12 dalīts ar 1 bez atlikuma, tāpēc 1 ir 12 dalītājs)

12: 2 = 6
(12 dalīts ar 2 bez atlikuma, tāpēc 2 ir 12 dalītājs)

12: 3 = 4
(12 dalīts ar 3 bez atlikuma, tāpēc 3 ir 12 dalītājs)

12: 4 = 3
(12 dalīts ar 4 bez atlikuma, tāpēc 4 ir 12 dalītājs)

12:5 = 2 (atlicis 2)
(12 nav dalīts ar 5 bez atlikuma, tāpēc 5 nav 12 dalītājs)

12: 6 = 2
(12 dalīts ar 6 bez atlikuma, tāpēc 6 ir 12 dalītājs)

12: 7 = 1 (atlicis 5)
(12 nav dalīts ar 7 bez atlikuma, tāpēc 7 nav 12 dalītājs)

12: 8 = 1 (palikuši 4)
(12 nav dalīts ar 8 bez atlikuma, tāpēc 8 nav 12 dalītājs)

12:9 = 1 (palikuši 3)
(12 nav dalīts ar 9 bez atlikuma, tāpēc 9 nav 12 dalītājs)

12: 10 = 1 (atlicis 2)
(12 nav dalīts ar 10 bez atlikuma, tāpēc 10 nav 12 dalītājs)

12:11 = 1 (atlicis 1)
(12 nav dalīts ar 11 bez atlikuma, tāpēc 11 nav 12 dalītājs)

12: 12 = 1
(12 dalīts ar 12 bez atlikuma, tāpēc 12 ir 12 dalītājs)

Tagad atradīsim skaitļa 9 dalītājus. Lai to izdarītu, pārbaudiet visus dalītājus no 1 līdz 9

9: 1 = 9
(9 dalīts ar 1 bez atlikuma, tāpēc 1 ir 9 dalītājs)

9: 2 = 4 (atlicis 1)
(9 nav dalīts ar 2 bez atlikuma, tāpēc 2 nav 9 dalītājs)

9: 3 = 3
(9 dalīts ar 3 bez atlikuma, tāpēc 3 ir 9 dalītājs)

9: 4 = 2 (atlicis 1)
(9 nav dalīts ar 4 bez atlikuma, tāpēc 4 nav 9 dalītājs)

9:5 = 1 (palikuši 4)
(9 nav dalīts ar 5 bez atlikuma, tāpēc 5 nav 9 dalītājs)

9: 6 = 1 (palikuši 3)
(9 nedalīja ar 6 bez atlikuma, tāpēc 6 nav 9 dalītājs)

9:7 = 1 (atlicis 2)
(9 nav dalīts ar 7 bez atlikuma, tāpēc 7 nav 9 dalītājs)

9:8 = 1 (atlicis 1)
(9 nav dalīts ar 8 bez atlikuma, tāpēc 8 nav 9 dalītājs)

9: 9 = 1
(9 dalīts ar 9 bez atlikuma, tāpēc 9 ir 9 dalītājs)

Tagad pierakstiet abu skaitļu dalītājus. Zilā krāsā iezīmētie skaitļi ir dalītāji. Izrakstīsim tos:

Pēc dalītāju izrakstīšanas jūs varat uzreiz noteikt, kurš no tiem ir lielākais un visizplatītākais.

Pēc definīcijas lielākais 12 un 9 kopīgais dalītājs ir skaitlis, ar kuru 12 un 9 dalās vienmērīgi. Lielākais un kopīgais skaitļu 12 un 9 dalītājs ir skaitlis 3

Gan skaitlis 12, gan skaitlis 9 dalās ar 3 bez atlikuma:

Tātad gcd (12 un 9) = 3

Otrais veids, kā atrast GCD

Tagad apsveriet otro veidu, kā atrast lielāko kopīgo dalītāju. Šīs metodes būtība ir sadalīt abus skaitļus primārajos faktoros un reizināt kopējos.

1. piemērs. Atrodiet skaitļu 24 un 18 GCD

Pirmkārt, iekļausim abus skaitļus galvenajos faktoros:

Tagad mēs reizinām to kopīgos faktorus. Lai neapjuktu, var pasvītrot kopīgos faktorus.

Mēs skatāmies uz skaitļa 24 sadalīšanos. Tā pirmais faktors ir 2. Mēs meklējam to pašu koeficientu skaitļa 18 sadalīšanā un redzam, ka tas ir arī tur. Mēs pasvītrojam abus divus:

Atkal mēs aplūkojam skaitļa 24 dekompozīcijas. Tā otrais faktors ir arī 2. Mēs meklējam to pašu koeficientu skaitļa 18 sadalīšanā un redzam, ka otrreiz tā nav. Tad mēs neko neizceļam.

Nākamo divu skaitļa 24 paplašinājumā trūkst arī skaitļa 18 paplašinājumā.

Mēs pārejam pie pēdējā faktora skaitļa 24 sadalīšanā. Tas ir faktors 3. Mēs meklējam to pašu faktoru skaitļa 18 sadalīšanā un redzam, ka tas arī ir. Mēs uzsveram abus trīs:

Tātad, skaitļu 24 un 18 kopējie faktori ir faktori 2 un 3. Lai iegūtu GCD, šie faktori ir jāreizina:

Tātad gcd (24 un 18) = 6

Trešais veids, kā atrast GCD

Tagad apsveriet trešo veidu, kā atrast lielāko kopīgo dalītāju. Šīs metodes būtība slēpjas faktā, ka skaitļi, kas jāmeklē, lai atrastu lielāko kopīgo dalītāju, tiek sadalīti pirmfaktoros. Pēc tam faktori, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā, tiek dzēsti no pirmā skaitļa izvērsuma. Atlikušie skaitļi pirmajā paplašinājumā tiek reizināti un iegūst GCD.

Piemēram, šādā veidā atradīsim GCD skaitļiem 28 un 16. Pirmkārt, mēs sadalām šos skaitļus galvenajos faktoros:

Mēs saņēmām divus paplašinājumus: un

Tagad no pirmā skaitļa izvēršanas mēs svītrojam faktorus, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā. Otrā numura paplašināšana neietver septiņus. Mēs to izdzēsīsim no pirmā paplašinājuma:

Tagad mēs reizinām atlikušos faktorus un iegūstam GCD:

Skaitlis 4 ir lielākais skaitļu 28 un 16 kopīgais dalītājs. Abi šie skaitļi dalās ar 4 bez atlikuma:

2. piemērs Atrodiet skaitļu 100 un 40 GCD

Izrēķinot skaitli 100

Izrēķinot skaitli 40

Mēs saņēmām divus paplašinājumus:

Tagad no pirmā skaitļa izvēršanas mēs svītrojam faktorus, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā. Otrā skaitļa paplašināšana neietver vienu piecinieku (ir tikai viens piecinieks). Mēs to izdzēšam no pirmās sadalīšanas

Reiziniet atlikušos skaitļus:

Mēs saņēmām atbildi 20. Tātad skaitlis 20 ir lielākais skaitļu 100 un 40 kopējais dalītājs. Šie divi skaitļi dalās ar 20 bez atlikuma:

GCD (100 un 40) = 20.

3. piemērs Atrodiet skaitļu 72 un 128 gcd

Izrēķinot skaitli 72

Izrēķinot skaitli 128

2×2×2×2×2×2×2

Tagad no pirmā skaitļa izvēršanas mēs svītrojam faktorus, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā. Otrā skaitļa izvērsumā nav iekļauti divi tripleti (tādu vispār nav). Mēs tos izdzēšam no pirmā paplašinājuma:

Mēs saņēmām atbildi 8. Tātad skaitlis 8 ir lielākais skaitļu 72 un 128 kopējais dalītājs. Šie divi skaitļi dalās ar 8 bez atlikuma:

GCD (72 un 128) = 8

GCD atrašana vairākiem numuriem

Lielāko kopējo dalītāju var atrast vairākiem skaitļiem, nevis tikai diviem. Šim nolūkam skaitļus, kas jāmeklē, lai atrastu lielāko kopējo dalītāju, tiek sadalīti pirmfaktoros, pēc tam tiek atrasts šo skaitļu kopējo pirmfaktoru reizinājums.

Piemēram, atradīsim GCD skaitļiem 18, 24 un 36

Faktorēšanas skaitlis 18

Faktorēšanas skaitlis 24

Faktorēšanas skaitlis 36

Mēs saņēmām trīs paplašinājumus:

Tagad mēs atlasām un pasvītrojam kopējos faktorus šajos skaitļos. Kopējie faktori ir jāiekļauj visos trīs skaitļos:

Mēs redzam, ka kopējie faktori skaitļiem 18, 24 un 36 ir faktori 2 un 3. Sareizinot šos faktorus, mēs iegūstam GCD, kuru mēs meklējam:

Mēs saņēmām atbildi 6. Tātad skaitlis 6 ir lielākais skaitļu 18, 24 un 36 kopējais dalītājs. Šie trīs skaitļi dalās ar 6 bez atlikuma:

GCD (18, 24 un 36) = 6

2. piemērs Atrodiet gcd skaitļiem 12, 24, 36 un 42

Faktorizēsim katru skaitli. Tad mēs atrodam šo skaitļu kopējo faktoru reizinājumu.

Faktorēšanas skaitlis 12

Faktorēšanas skaitlis 42

Mēs saņēmām četrus paplašinājumus:

Tagad mēs atlasām un pasvītrojam kopējos faktorus šajos skaitļos. Kopējie faktori ir jāiekļauj visos četros skaitļos:

Mēs redzam, ka kopējie faktori skaitļiem 12, 24, 36 un 42 ir faktori 2 un 3. Reizinot šos faktorus, mēs iegūstam meklēto GCD:

Mēs saņēmām atbildi 6. Tātad skaitlis 6 ir lielākais skaitļu 12, 24, 36 un 42 kopējais dalītājs. Šie skaitļi dalās ar 6 bez atlikuma:

gcd(12, 24, 36 un 42) = 6

No iepriekšējās nodarbības mēs zinām, ka, ja kādu skaitli dala ar citu bez atlikuma, to sauc par šī skaitļa daudzkārtni.

Izrādās, ka vairākkārtējs var būt kopīgs vairākiem skaitļiem. Un tagad mūs interesēs divu skaitļu reizinājums, kamēr tam jābūt pēc iespējas mazākam.

Definīcija. Vismazākais skaitļu daudzkārtnis (LCM). a un b- a un b a un numurs b.

Definīcija satur divus mainīgos a un b. Aizstāsim šos mainīgos ar jebkuriem diviem skaitļiem. Piemēram, mainīgā vietā a aizstājiet skaitli 9 un mainīgā vietā b aizstāsim skaitli 12. Tagad mēģināsim izlasīt definīciju:

Vismazākais skaitļu daudzkārtnis (LCM). 9 un 12 - ir mazākais skaitlis, kas ir daudzkārtnis 9 un 12 . Citiem vārdiem sakot, tas ir tik mazs skaitlis, kas bez atlikuma dalās ar skaitli 9 un uz numuru 12 .

No definīcijas ir skaidrs, ka LCM ir mazākais skaitlis, kas bez atlikuma dalās ar 9 un 12. Šis LCM ir jāatrod.

Ir divi veidi, kā atrast vismazāko kopskaitu (LCM). Pirmais veids ir tas, ka varat pierakstīt pirmos divu skaitļu reizinātājus un pēc tam no šiem skaitļiem izvēlēties tādu skaitļu, kas būs kopīgs gan skaitļiem, gan maziem. Pielietosim šo metodi.

Vispirms atradīsim skaitļa 9 pirmos reizinātājus. Lai atrastu reizinātājus 9, jums šie deviņi pēc kārtas jāreizina ar skaitļiem no 1 līdz 9. Iegūtās atbildes būs skaitļa 9 reizinātāji. Tātad, sāksim. Vairāki tiks iezīmēti sarkanā krāsā:

Tagad mēs atrodam skaitļa 12 reizinājumus. Lai to izdarītu, mēs reizinām 12 ar visiem skaitļiem no 1 līdz 12 pēc kārtas.

Apsveriet divus veidus, kā atrast lielāko kopīgo dalītāju.

Meklēšana pēc Faktoringa

Pirmais veids ir atrast lielāko kopīgo dalītāju, faktorējot dotos skaitļus primārajos faktoros.

Lai atrastu vairāku skaitļu GCD, pietiek tos sadalīt pirmfaktoros un reizināt savā starpā tos, kas ir kopīgi visiem dotajiem skaitļiem.

1. piemērs Atradīsim GCD (84, 90).

Mēs sadalām skaitļus 84 un 90 galvenajos faktoros:

Tātad, mēs esam pasvītrojuši visus izplatītos primāros faktorus, atliek tos reizināt savā starpā: 1 2 3 = 6.

Tātad gcd(84, 90) = 6.

2. piemērs Atradīsim GCD (15, 28).

Mēs sadalām 15 un 28 galvenajos faktoros:

Skaitļi 15 un 28 ir pirmskaitļi, jo to lielākais kopīgais dalītājs ir viens.

gcd (15, 28) = 1.

Eiklida algoritms

Otrā metode (citādi saukta par Eiklida metodi) ir GCD atrašana ar secīgu dalīšanu.

Pirmkārt, mēs aplūkosim šo metodi, kas piemērota tikai diviem dotajiem skaitļiem, un pēc tam izdomāsim, kā to piemērot trīs vai vairāk skaitļiem.

Ja lielākais no diviem dotajiem skaitļiem dalās ar mazāko, tad skaitlis, kas ir mazāks, būs to lielākais kopējais dalītājs.

1. piemērsŅemam divus skaitļus 27 un 9. Tā kā 27 dalās ar 9 un 9 dalās ar 9, tad 9 ir kopīgs skaitļu 27 un 9 dalītājs. Šis dalītājs arī ir lielākais, jo 9 nevar dalīties ar nevienu skaitli, lielāks nekā 9. Tāpēc gcd (27, 9) = 9.

Citos gadījumos, lai atrastu divu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, tiek izmantota šāda procedūra:

1. No diviem dotajiem skaitļiem lielākais skaitlis tiek dalīts ar mazāko.
2. Pēc tam mazākais skaitlis tiek dalīts ar atlikumu, kas iegūts, dalot lielāko skaitli ar mazāko.
3. Tālāk pirmo atlikumu dala ar otro atlikumu, ko iegūst, dalot mazāko skaitli ar pirmo atlikumu.
4. Otro atlikumu dala ar trešo, ko iegūst, dalot pirmo atlikumu ar otro utt.
5. Tādējādi sadalīšana turpinās, līdz atlikums ir nulle. Pēdējais dalītājs būs lielākais kopējais dalītājs.

2. piemērs Atradīsim lielāko kopējo skaitļu 140 un 96 dalītāju:

1) 140: 96 = 1 (atlikušais 44)

2) 96: 44 = 2 (atlikušais 8)

3) 44: 8 = 5 (atlikušais 4)

Pēdējais dalītājs ir 4, kas nozīmē gcd(140, 96) = 4.

Secīgo dalījumu var ierakstīt arī kolonnā:

Lai atrastu trīs vai vairāk norādīto skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, izmantojiet šādu procedūru:

1. Vispirms no vairākām datu kopām atrodiet jebkuru divu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju.
2. Tad atrodam atrastā dalītāja GCD un kādu trešo doto skaitli.
3. Tad atrodam pēdējā atrastā dalītāja GCD un ceturto doto skaitli utt.

3. piemērs Atradīsim skaitļu 140, 96 un 48 lielāko kopīgo dalītāju. Mēs jau esam atraduši skaitļu 140 un 96 GCD iepriekšējā piemērā (tas ir skaitlis 4). Atliek atrast skaitļa 4 un trešā dotā skaitļa lielāko kopīgo dalītāju - 48:

48 dalās ar 4 bez atlikuma. Tātad gcd(140, 96, 48) = 4.

Atcerieties!

Ja naturāls skaitlis dalās tikai ar 1 un pats sevi, tad to sauc par pirmskaitli.

Jebkurš naturāls skaitlis vienmēr dalās ar 1 un pats sevi.

Skaitlis 2 ir mazākais pirmskaitlis. Šis ir vienīgais pāra pirmskaitlis, pārējie pirmskaitļi ir nepāra.

Ir daudz pirmskaitļu, un pirmais no tiem ir skaitlis 2. Tomēr pēdējā pirmskaitļa nav. Sadaļā "Mācībām" varat lejupielādēt pirmskaitļu tabulu līdz 997.

Bet daudzi naturālie skaitļi vienmērīgi dalās ar citiem naturāliem skaitļiem.

Piemēram:

• skaitlis 12 dalās ar 1, ar 2, ar 3, ar 4, ar 6, ar 12;
• 36 dalās ar 1, ar 2, ar 3, ar 4, ar 6, ar 12, ar 18, ar 36.

Skaitļus, ar kuriem skaitlis dalās vienmērīgi (12 tie ir 1, 2, 3, 4, 6 un 12), sauc par skaitļa dalītājiem.

Atcerieties!

Naturāla skaitļa a dalītājs ir tāds naturāls skaitlis, kas dala doto skaitli "a" bez atlikuma.

Dabisku skaitli, kuram ir vairāk nekā divi faktori, sauc par saliktu skaitli.

Ņemiet vērā, ka skaitļiem 12 un 36 ir kopīgi dalītāji. Tie ir skaitļi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Lielākais šo skaitļu dalītājs ir 12.

Divu doto skaitļu "a" un "b" kopējais dalītājs ir skaitlis, ar kuru abi dotie skaitļi "a" un "b" tiek dalīti bez atlikuma.

Atcerieties!

Lielākais kopīgais dalītājs(GCD) no diviem dotajiem skaitļiem "a" un "b" - tas ir lielākais skaitlis, ar kuru abi skaitļi "a" un "b" tiek dalīti bez atlikuma.

Īsumā skaitļu "a" un "b" lielākais kopīgais dalītājs ir uzrakstīts šādi:

gcd (a; b) .

Piemērs: gcd (12; 36) = 12 .

Atrisinājuma ierakstā skaitļu dalītājus apzīmē ar lielo burtu "D".

D(7) = (1, 7)

D(9) = (1, 9)

gcd (7; 9) = 1

Cipariem 7 un 9 ir tikai viens kopīgs dalītājs - skaitlis 1. Tādus numurus sauc pirmskaitļi.

Atcerieties!

Kopirma skaitļi ir naturāli skaitļi, kuriem ir tikai viens kopīgs dalītājs - skaitlis 1. Viņu GCD ir 1.

Kā atrast lielāko kopīgo dalītāju

Lai atrastu divu vai vairāku naturālu skaitļu gcd, jums ir nepieciešams:

1. sadalīt skaitļu dalītājus pirmfaktoros;

Aprēķini ir ērti rakstīti, izmantojot vertikālu joslu. Pa kreisi no rindas vispirms pierakstiet dividendi, pa labi - dalītāju. Tālāk kreisajā kolonnā pierakstām privātās vērtības.

Tūlīt paskaidrosim ar piemēru. Faktorizēsim skaitļus 28 un 64 primārajos faktoros.

1. Pasvītrojiet tos pašus galvenos faktorus abos skaitļos.
   28 = 2 2 7

   64 = 2 2 2 2 2 2

2. Atrodam identisku pirmfaktoru reizinājumu un pierakstām atbildi;
   GCD (28; 64) = 2 2 = 4

   Atbilde: GCD (28; 64) = 4

GCD atrašanās vietu var sakārtot divos veidos: kolonnā (kā tas tika darīts iepriekš) vai "rindā".

Tagad un turpmāk mēs pieņemsim, ka vismaz viens no šiem skaitļiem atšķiras no nulles. Ja visi dotie skaitļi ir vienādi ar nulli, tad to kopējais dalītājs ir jebkurš vesels skaitlis, un, tā kā veselo skaitļu ir bezgalīgi daudz, nevar runāt par lielāko no tiem. Tāpēc nevar runāt par lielāko kopējo skaitļu dalītāju, no kuriem katrs ir vienāds ar nulli.

Tagad mēs varam dot atrast lielāko kopīgo dalītāju divi cipari.

Definīcija.

Lielākais kopīgais dalītājs no diviem veseliem skaitļiem ir lielākais veselais skaitlis, kas dala divus dotos veselus skaitļus.

Saīsinājumu GCD bieži izmanto, lai saīsinātu lielāko kopīgo dalītāju - Greatest Common Divisor. Arī divu skaitļu a un b lielākais kopīgais dalītājs bieži tiek apzīmēts kā gcd(a, b) .

Atvedīsim Lielākā kopējā dalītāja (gcd) piemērs divi veseli skaitļi. 6 un –15 lielākais kopīgais dalītājs ir 3. Pamatosim to. Pierakstīsim visus skaitļa sešiniekus: ±6, ±3, ±1, un skaitļa −15 dalītāji ir skaitļi ±15, ±5, ±3 un ±1. Tagad jūs varat atrast visus kopējos skaitļu 6 un -15 dalītājus, tie ir skaitļi -3, -1, 1 un 3. Kopš −3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .

Trīs vai vairāku veselu skaitļu lielākā kopējā dalītāja definīcija ir līdzīga divu skaitļu gcd definīcijai.

Definīcija.

Lielākais kopīgais dalītājs trīs vai vairāk veseli skaitļi ir lielākais veselais skaitlis, kas vienlaikus dala visus dotos skaitļus.

Lielāko n veselo skaitļu kopējo dalītāju a 1 , a 2 , …, a n apzīmēsim kā gcd(a 1 , a 2 , …, a n) . Ja ir atrasta šo skaitļu lielākā kopīgā dalītāja vērtība b, tad varam rakstīt GCD(a 1 , a 2 , …, a n)=b.

Piemēram, ņemot vērā četru veselu skaitļu -8, 52, 16 un -12 gcd, tas ir vienāds ar 4, tas ir, gcd(-8, 52, 16, -12)=4. To var pārbaudīt, pierakstot visus doto skaitļu dalītājus, izvēloties no tiem kopīgos dalītājus un nosakot lielāko kopīgo dalītāju.

Ņemiet vērā, ka lielākais veselo skaitļu kopējais dalītājs var būt vienāds ar vienu no šiem skaitļiem. Šis apgalvojums ir patiess, ja visi dotie skaitļi dalās ar vienu no tiem (pierādījums dots šī raksta nākamajā rindkopā). Piemēram, gcd(15, 60, -45)=15 . Tā ir taisnība, jo 15 dala 15 , 60 un –45 , un nav kopēja dalītāja 15 , 60 un –45 , kas būtu lielāks par 15 .

Īpaši interesanti ir tā sauktie nosacīti pirmskaitļi, tādi veseli skaitļi, kuru lielākais kopīgais dalītājs ir vienāds ar vienu.

Vislielākās kopējās dalītāju īpašības, Eiklida algoritms

Vislielākajam kopējam dalītājam ir vairāki raksturīgi rezultāti, citiem vārdiem sakot, vairākas īpašības. Tagad mēs uzskaitīsim galvenos lielākā kopīgā dalītāja (gcd) īpašības, mēs tos formulēsim teorēmu veidā un nekavējoties sniegsim pierādījumus.

Mēs formulēsim visas pozitīvo veselo skaitļu lielākā kopīgā dalītāja īpašības, savukārt ņemsim vērā tikai šo skaitļu pozitīvos dalītājus.

A un b lielākais kopīgais dalītājs ir vienāds ar b un a lielāko kopīgo dalītāju, tas ir, gcd(a, b)=gcd(a, b) .

Šī GCD īpašība tieši izriet no lielākā kopīgā dalītāja definīcijas.

Ja a dalās ar b , tad a un b kopīgo dalītāju kopa ir tāda pati kā b dalītāju kopa, konkrēti gcd(a, b)=b .

Pierādījums.

Jebkurš skaitļu a un b kopīgs dalītājs ir katra no šiem skaitļiem, ieskaitot skaitli b, dalītājs. No otras puses, tā kā a ir b daudzkārtnis, tad jebkurš skaitļa b dalītājs ir arī skaitļa a dalītājs tādēļ, ka dalāmībai piemīt pārejoši īpašība, tāpēc jebkurš skaitļa b dalītājs ir a skaitļu a un b kopējais dalītājs. Tas pierāda, ka, ja a dalās ar b, tad skaitļu a un b dalītāju kopa sakrīt ar viena skaitļa b dalītāju kopu. Un tā kā skaitļa b lielākais dalītājs ir pats skaitlis b, tad arī skaitļu a un b lielākais kopīgais dalītājs ir vienāds ar b , tas ir, gcd(a, b)=b .

Jo īpaši, ja skaitļi a un b ir vienādi, tad gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. Piemēram, gcd(132, 132)=132 .

Pierādītā lielākā dalītāja īpašība ļauj mums atrast divu skaitļu gcd, ja viens no tiem dalās ar otru. Šajā gadījumā GCD ir vienāds ar vienu no šiem skaitļiem, ar kuru cits skaitlis dalās. Piemēram, gcd(8, 24)=8, jo 24 ir astoņkārtnis.

Ja a=b q+c , kur a , b , c un q ir veseli skaitļi, tad skaitļu a un b kopējo dalītāju kopa sakrīt ar skaitļu b un c kopīgo dalītāju kopu, jo īpaši gcd( a, b)=gcd (b, c) .

Pamatosim šo GCD īpašību.

Tā kā spēkā ir vienādība a=b·q+c, tad jebkurš kopīgs skaitļu a un b dalītājs dala arī c (tas izriet no dalāmības īpašībām). Tā paša iemesla dēļ katrs b un c kopīgais dalītājs dala a . Tāpēc skaitļu a un b kopējo dalītāju kopa ir tāda pati kā skaitļu b un c kopīgo dalītāju kopa. Jo īpaši jāsakrīt arī lielākajam no šiem kopīgajiem dalītājiem, tas ir, nākamajai vienādībai ir jābūt patiesai gcd(a, b)=gcd(b, c) .

Tagad mēs formulējam un pierādam teorēmu, kas ir Eiklida algoritms. Eiklida algoritms ļauj atrast divu skaitļu GCD (skatiet GCD atrašanu, izmantojot Eiklida algoritmu). Turklāt Eiklida algoritms ļaus mums pierādīt šādas lielākās kopējās dalītāja īpašības.

Pirms teorēmas apgalvojuma sniegšanas iesakām atsvaidzināt teorēmas atmiņu no teorijas sadaļas, kurā teikts, ka dividendi a var attēlot kā b q + r, kur b ir dalītājs, q ir kāds vesels skaitlis, ko sauc par daļējo koeficientu, un r ir vesels skaitlis, kas atbilst nosacījumam, ko sauc par atlikumu.

Tātad, pieņemsim, ka diviem pozitīviem veseliem skaitļiem a un b vienādību sērija ir patiesa

beidzas, kad r k+1 =0 (kas ir neizbēgami, jo b>r 1 >r 2 >r 3 , … ir dilstošu veselu skaitļu virkne, un šajā rindā nevar būt vairāk par noteiktu skaitu pozitīvu skaitļu), tad r k – ir a un b lielākais kopīgais dalītājs, tas ir, r k =gcd(a, b) .

Pierādījums.

Vispirms pierādīsim, ka r k ir skaitļu a un b kopīgs dalītājs, pēc tam parādīsim, ka r k nav tikai skaitļu a un b dalītājs, bet gan lielākais kopīgais dalītājs.

Mēs virzīsimies pa rakstītajām vienādībām no apakšas uz augšu. No pēdējās vienādības varam teikt, ka r k−1 dalās ar r k . Ņemot vērā šo faktu, kā arī iepriekšējo GCD īpašību, priekšpēdējā vienādība r k−2 =r k−1 q k +r k ļauj apgalvot, ka r k−2 dalās ar r k , jo r k−1 dalās ar r k un r k dalās. autors r k . Pēc analoģijas no trešās vienādības no apakšas secinām, ka r k−3 dalās ar r k . Un tā tālāk. No otrās vienādības iegūstam, ka b dalās ar r k , un no pirmās vienādības iegūstam, ka a dalās ar r k . Tāpēc r k ir a un b kopīgs dalītājs.

Atliek pierādīt, ka r k =gcd(a, b) . Jo pietiek parādīt, ka jebkurš kopīgs skaitļu a un b dalītājs (to apzīmējam ar r 0 ) dala r k .

Mēs virzīsimies pa sākotnējām vienādībām no augšas uz leju. Iepriekšējās īpašības dēļ no pirmās vienādības izriet, ka r 1 dalās ar r 0 . Tad no otrās vienādības iegūstam, ka r 2 dalās ar r 0 . Un tā tālāk. No pēdējās vienādības iegūstam, ka r k dalās ar r 0 . Tādējādi r k =gcd(a, b) .

No lielākā kopīgā dalītāja aplūkotās īpašības izriet, ka skaitļu a un b kopējo dalītāju kopa sakrīt ar šo skaitļu lielākā kopīgā dalītāja kopu. Šis Eiklida algoritma secinājums ļauj mums atrast visus kopīgos divu skaitļu dalītājus kā šo skaitļu gcd dalītājus.

Lai a un b vienlaikus ir veseli skaitļi, kas nav vienādi ar nulli, tad ir tādi veseli skaitļi u 0 un v 0 , tad vienādība gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 ir patiesa. Pēdējā vienādība ir skaitļu a un b lielākā kopīgā dalītāja lineārs attēlojums, šo vienādību sauc par Bezout attiecību, un skaitļus u 0 un v 0 sauc par Bezout koeficientiem.

Pierādījums.

Saskaņā ar Eiklida algoritmu mēs varam uzrakstīt šādas vienādības



No pirmās vienādības mums ir r 1 =a−b q 1 , un, apzīmējot 1=s 1 un −q 1 =t 1 , šī vienādība iegūst formu r 1 =s 1 a+t 1 b , un skaitļi s 1 un t 1 ir veseli skaitļi. Tad no otrās vienādības iegūstam r 2 =b−r 1 q 2 = b−(s 1 a+t 1 b) q 2 =−s 1 q 2 a+(1−t 1 q 2) b. Apzīmējot −s 1 q 2 =s 2 un 1−t 1 q 2 =t 2 , pēdējo vienādību var uzrakstīt kā r 2 =s 2 a+t 2 b, un s 2 un t 2 ir veseli skaitļi (jo summa , starpība un veselu skaitļu reizinājums ir vesels skaitlis). Līdzīgi no trešās vienādības iegūstam r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, no ceturtās r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b utt. Visbeidzot, r k =s k ·a+t k ·b, kur s k un t k ir veseli skaitļi. Tā kā r k =gcd(a, b) , un apzīmējot s k =u 0 un t k =v 0 , iegūstam vajadzīgās formas gcd lineāru attēlojumu: gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 .

Ja m ir jebkurš naturāls skaitlis, tad gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).

Šīs lielākās kopējās dalītāja īpašības pamatojums ir šāds. Ja reizinām ar m abas Eiklida algoritma vienādības puses, iegūstam, ka gcd(m a, m b)=m r k , un r k ir gcd(a, b) . Sekojoši, gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).

Šī lielākā kopējā dalītāja īpašība ir pamats GCD noteikšanas metodei, izmantojot primāro faktorizāciju.

Lai p ir jebkurš kopīgs skaitļu a un b dalītājs, tad gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, jo īpaši, ja p=gcd(a, b) mums ir gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1, tas ir, skaitļi a:gcd(a, b) un b:gcd(a, b) ir pirmskaitļi.

Tā kā a=p (a:p) un b=p (b:p) , un iepriekšējās īpašības dēļ mēs varam uzrakstīt formas vienādību ķēdi gcd(a, b)=gcd(p (a:p), p (b:p))= p·gcd(a:p, b:p) , no kurienes izriet pierādāmā vienādība.

Vislielākā kopīgā dalītāja īpašība tikko izrādījās pamatā.

Tagad izrunāsim GCD īpašību, kas samazina trīs vai vairāku skaitļu lielākā kopīgā dalītāja atrašanas problēmu līdz divu skaitļu GCD secīgai atrašanai.

Ciparu lielākais kopīgais dalītājs a 1 , a 2 , ..., a k ir vienāds ar skaitli d k , kas atrodams GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a). 3)=d3, GCD(d3, a 4)=d4, …, GCD(dk-1, a k)=dk.

Pierādījums ir balstīts uz Eiklida algoritma secinājumu. Kopējie skaitļu a 1 un a 2 dalītāji ir tādi paši kā d 2 dalītāji. Tad skaitļu a 1 , a 2 un a 3 kopējie dalītāji sakrīt ar skaitļu d 2 un a 3 kopīgajiem dalītājiem, tāpēc tie sakrīt ar d 3 dalītājiem. Skaitļu a 1 , a 2 , a 3 un a 4 kopīgie dalītāji ir tādi paši kā d 3 un a 4 kopīgie dalītāji, tātad tādi paši kā d 4 dalītāji. Un tā tālāk. Visbeidzot, skaitļu a 1 , a 2 , …, a k kopējie dalītāji sakrīt ar d k dalītājiem. Un tā kā skaitļa d k lielākais dalītājs ir pats skaitlis d k, tad GCD(a 1 , a 2 , …, a k)=d k.

Ar to noslēdzies lielākā kopējā dalītāja galveno īpašību apskats.

Bibliogrāfija.

• Viļenkins N.Ya. utt. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata izglītības iestādēm.
• Vinogradovs I.M. Skaitļu teorijas pamati.
• Mihelovičs Sh.Kh. Skaitļu teorija.
• Kuļikovs L.Ja. u.c.. Algebras un skaitļu teorijas uzdevumu krājums: Mācību grāmata fiz.-mat. pedagoģisko institūtu specialitātes.