Nesta lição, falaremos sobre funções exponenciais e logarítmicas. Eles geralmente são estudados juntos, pois são mutuamente inversos. Falaremos sobre o uso dessas funções, sobre por que essas funções são selecionadas para estudo.

A função exponencial é usada para descrever todos os fenômenos que chamamos de processos de avalanche. Para colocar mais claramente, são processos em que a mudança de magnitude é proporcional à quantidade de magnitude já presente (quanto mais, mais muda; quanto menos, menos muda).

Um exemplo de tal processo é a reprodução de bactérias. Vamos considerar tal tarefa. Há uma bactéria no vidro. A cada segundo ele se divide em duas bactérias, novas bactérias também se dividem em duas a cada segundo, e assim por diante. Em um minuto, todo o vidro estava cheio de bactérias. Quantas bactérias estavam no vidro um segundo antes?

Eu gostaria de dizer que um pouco menos de um copo inteiro foi enchido, em algum lugar, mas a resposta correta é: meio copo. Se meio copo estiver cheio, em um segundo cada bactéria se dividirá em partes e encherá o copo inteiro. Como você pode ver, a primeira metade do copo foi enchida em segundos e a segunda metade foi enchida em apenas um segundo.

Geleiras derretendo

Certamente todo mundo já ouviu falar sobre o problema do derretimento do gelo no planeta. Por que ocorrem tais processos de glaciação e, inversamente, de aquecimento? Eles eram antes, embora agora digam que a atividade humana tem uma influência fundamental em sua velocidade. Existem várias hipóteses, mas isso não é tão importante.

Mais importante, reduzir a quantidade de gelo aumenta a quantidade de energia solar absorvida. Ou seja, quanto menos gelo se tornar, mais rápido ele derreterá. O processo é exponencial, ou, em outras palavras, auto-invocado, auto-alimentado.

Tal processo é descrito função exponencial (ou exponencial): (Figura 1). - base, , e - expoente, alterando o valor.

Arroz. 1. Gráfico de uma função

Outro exemplo de uma função exponencial que é familiar para muitos é juros compostos. Se colocarmos dinheiro no banco em uma porcentagem fixa, enquanto não sacamos dinheiro, e os juros são cobrados sobre todo o valor disponível, o valor que receberemos nos períodos: , onde é o depósito inicial, é a taxa de juros, é o número de períodos (anos, meses, etc.) passados. No início, a quantidade crescerá lentamente, mas depois o crescimento acelerará.

Outro bom exemplo. Se elevarmos a uma potência, obteremos aproximadamente, mas em uma potência, será praticamente. Se apresentarmos este exemplo na forma de juros, no primeiro caso será cobrado por dia, o valor aumentará por um fator de um ano. E no segundo caso, um por cento por dia é retirado, então em um ano não restará quase nada.

Ao mesmo tempo, uma das características da função exponencial é que, sob tal esquema, a soma não pode diminuir. Um exemplo semelhante da física nuclear é a meia-vida. Elementos radioativos têm meia-vida, por exemplo, com o passar dos anos a massa de uma substância diminuirá pela metade (Fig. 2).

Arroz. 2. Tabela de meias-vidas de alguns elementos

Ou seja, se tivéssemos um quilograma de substância, nos primeiros anos um grama de substância (bastante) desaparecerá e nos próximos anos - já um grama etc. E então haverá um período em que cerca de um grama de uma substância irá ao longo dos anos. Este é um exemplo de um expoente decrescente.

Se considerarmos o conjunto de todas as funções e selecionarmos entre elas aquelas que possuem a seguinte propriedade: , então será satisfeita para funções exponenciais: .